Космические лучи и естественный радиационный фон у
реклама
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра общей и теоретической физики КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ И ЕСТЕСТВЕННЫЙ РАДИАЦИОННЫЙ ФОН У ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве электронного учебного пособия Самара Издательство «Самарский университет» 2012 1 УДК 539.1 ББК 22.38 К71 Рецензенты: И. П. Завершинский, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой физики Самарского государственного аэрокосмического университета; Л. С. Молчатский, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики Поволжской государственной социально-гуманитарной академии Авторы: А. А. Бирюков, А. Ф. Крутов, А. Г. Пузырный, И. С. Цирова К71 Космические лучи и естественный радиационный фон у поверхности Земли [Электронный ресурс]: учебное пособие / А.А. Бирюков [и др.] – Электрон. учебное пособие. – Самара : Изд-во «Самарский университет», 2012. –118 с. ISBN 978-5-86465-553-5 Данное пособие является методическим руководством по изучению раздела «Физика атомного ядра и элементарных частиц» курса «Общая физика» Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направления 011200 «Физика», цикл Б3 «Профессиональный», базовая (общепрофессиональная) часть, квалификация (степень) выпускника – бакалавр. В пособии излагаются такие разделы, как «Галактические космические лучи и потоки заряженных частиц от Солнца», «Прохождение космических лучей через атмосферу Земли», «Радиационный фон у поверхности Земли». Изложенный материал иллюстрируется рядом задач. Излагаются экспериментальные методы исследования радиационного фона у поверхности Земли. Выполнение экспериментальных работ предусматривает подробное знакомство со статистическими функциями распределения применительно к модели регистрации частиц радиационного фона, а также методами обработки на компьютере результатов проведенных экспериментов. Пособие предназначено для студентов, бакалавров, магистров обучающихся по направлению «физика» и желающих ознакомиться с данной темой. УДК 539.1 ББК 22.38 ISBN 978-5-86465-553-5 © Авторы, 2012 © Самарский государственный университет, 2012 © Оформление. Издательство «Самарский университет», 2012 2 Оглавление 0H0H0H0H0H 1H1H1H1H1H 2H2H2H2H2H Предисловие ..................................................................................................... 4 19H19H19H19H 19H Введение ........................................................................................................... 5 20H20H20H20H 20H Глава 1. Потоки элементарных частиц и ядер в околоземном пространстве и у поверхности Земли ...................................................................................... 8 21H21H21H21H 21H 3H3H3H3H3H 4H4H4H4H4H 5H5H5H5H5H 6H6H6H6H6H 7H7H7H7H7H 8H8H8H8H8H 9H9H9H9H9H 1.1. Галактические космические лучи .......................................................... 8 22H22H22H22H 22H 1.2. Потоки заряженных частиц от Солнца ................................................ 18 23H23H23H23H 23H 1.3. Движение заряженных частиц в магнитосфере Земли ....................... 31 24H24H24H24H 24H 1.4. Прохождение космических лучей через атмосферу Земли................ 42 25H25H25H25H 25H 1.5. Рассеянное фоновое излучение на поверхности Земли ...................... 51 26H26H26H26H 26H Глава 2. Вероятности распределения случайных событий ....................... 59 27H27H27H27H 27H 2.1. Регистрация естественного радиоактивного фона Земли .................. 59 10H10H10H10H 10H 11H11H11H11H 11H 12H12H12H12H 12H 13H13H13H13H 13H 14H14H14H14H 14H 28H28H28H28H 28H 2.2. Распределение Бернулли (биноминальное распределение) .............. 62 29H29H29H29H 29H 2.3. Распределение Пуассона ....................................................................... 68 30H30H30H30H 30H 2.4. Распределение Лапласа ......................................................................... 71 31H31H31H31H 31H 2.5. Распределение Гаусса ............................................................................ 77 32H32H32H32H 32H Глава 3. Экспериментальные исследования естественного радиоактивного фона у поверхности Земли ................................................. 82 33H33H33H33H 33H 15H15H15H15H 15H 3.1. Подготовка экспериментальной установки к работе. Меры безопасности .................................................................................................... 82 34H34H34H34H 34H 16H16H16H16H 16H 17H17H17H17H 17H 18H18H18H18H 18H 3.2. Экспериментальные исследования ...................................................... 83 35H35H35H35H 35H Приложения ................................................................................................. 106 36H36H36H36H 36H Библиографический список ....................................................................... 115 37H37H37H37H 37H 3 Предисловие В начале двадцатого века были открыты космические лучи, и в течении столетия был собран обширный экспериментальный материал по изучению свойств космических лучей и потока заряженных частиц от Солнца, их взаимодействию с магнитным полем и атмосферой Земли, радиационному фону у поверхности Земли. Открытые физические явления и закономерности их протекания имеют большое значение как научное, для формирования современного мировоззрения, так и прикладное (например, в медицине, космонавтике и др.). Данное пособие предназначено для студентов, изучающих указанные вопросы физики в разделе «Физика атомного ядра и элементарных частиц» модуля «Общая физика» Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования направления 011200 «Физика», цикл Б3 «Профессиональный», базовая (общепрофессиональная) часть, квалификация (степень) выпускника — бакалавр. В пособии дано описание галактических космических лучей, физических процессов генерации частиц Солнцем, взаимодействия потока заряженных частиц с магнитным полем Земли, прохождения космических лучей через атмосферу Земли и формирования радиационного фона у поверхности Земли. Материал иллюстрируется рядом физических задач. Излагаются экспериментальные методы исследования радиационного фона у поверхности Земли. Для выполнения экспериментальных работ излагаются статистические методы применительно к модели регистрации частиц радиационного фона, а также методы обработки результатов измерений на компьютере. 4 Введение В начале XX века было установлено наличие ионизирующего излучения в атмосфере у поверхности Земли. Физическое объяснение этого явления впервые дал австрийский физик Виктор Франц Гесс (1883-1964). В 1912 году он наблюдал ионизацию в электрометре, установленном на воздушном шаре. На высоте, большей 1000 м, интенсивность начала возрастать и удвоилась на высоте 4000 м. Сам он так сформулировал основной итог своей работы: "Результаты моих наблюдений лучше всего объясняются предположением, что из мирового пространства на границу атмосферы падает излучение очень большой проникающей способности". Это излучение впоследствии было названо космическими лучами. За открытие космических лучей В.Ф. Гесс в 1936 году удостоен Нобелевской премии. Именно космические лучи в основном и формируют естественный радиоактивный фон у поверхности Земли. Дополнительный, значительно меньший вклад в этот фон вносят излучения природных изотопов, работа ядерных реакторов, ускорителей и других промышленных установок. Впервые указание на возможность существования ионизирующего излучения внеземного происхождения было получено в начале XX века в опытах по изучению проводимости газов. Обнаруженный спонтанный электрический ток в газе не удавалось объяснить ионизацией, возникающей от естественной радиоактивности Земли. Наблюдаемое излучение оказалось настолько проникающим, что в ионизационных камерах, экранированных толстыми слоями свинца, все равно наблюдался остаточный ток. 5 В 1911-1912 годах был проведен ряд экспериментов с ионизационными камерами на воздушных шарах. Гесс обнаружил, что излучение растет с высотой, в то время как ионизация, вызванная радиоактивностью Земли, должна была бы падать с высотой. В опытах Кольхерстера было доказано, что это излучение направлено сверху вниз. В 1921-1925 годах американский физик Милликен, изучая поглощение космического излучения в атмосфере Земли в зависимости от высоты наблюдения, обнаружил, что в свинце это излучение поглощается так же, как и гамма-излучение ядер. Милликен первым и назвал это излучение космическими лучами. В 1925 году советские физики Л. А. Тувим и Л. В. Мысовский провели измерение поглощения космического излучения в воде: оказалось, что это излучение поглощалось в десять раз слабее, чем гамма-излучение ядер. Опыты Д. В. Скобельцына с камерой Вильсона, помещенной в постоянное магнитное поле, дали возможность «увидеть», за счет ионизации, следы (треки) космических частиц. Д. В. Скобельцын открыл ливни космических частиц. Л. В. Мысовский предложил использовать толстые фотоэмульсии для регистрации ядерного излучения. Этот метод широко используется и в настоящее время для изучения взаимодействий космических лучей со средой. В ряде экспериментов было обнаружено, что в космических лучах есть как бы две различные по своей проникающей способности компоненты. Оказалось, что есть частицы, которые полностью поглощаются в 10 см свинца — их назвали мягкими. Остальные частицы, интенсивность которых после прохождения 10 см свинца оставалась практически постоянной, назвали жесткими. Впоследствии было установлено, что мягкую компоненту составляют электроны, а жесткую — мюоны. Дальнейшие опыты по изучению зависимости интенсивности излучения от высоты показали, что имеется максимум интенсивности космиче6 ских частиц на высоте 20 км над уровнем моря. На больших высотах интенсивность космических лучей несколько уменьшается, а затем, начиная с высоты 60 км, становится постоянной. Эксперименты в космических лучах позволили сделать ряд принципиальных для физики микромира открытий. В 1932 году Андерсон открыл в космических лучах позитрон. В 1937 году Андерсоном и Неддермейером были открыты мюоны и указан тип их распада. В 1947 году открыли мезоны. В 1955 году в космических лучах установили наличие К-мезонов, а также и тяжелых нейтральных частиц — гиперонов. Квантовая характеристика «странность» появилась в опытах с космическими лучами. Эксперименты в космических лучах поставили вопрос о сохранении четности, обнаружили процессы множественной генерации частиц в нуклонных взаимодействиях, позволили определить величину эффективного сечения взаимодействия нуклонов высокой энергии. Появление космических ракет и спутников привело к новым открытиям — обнаружению радиационных поясов Земли (1958 г., С. Н. Вернов и А. Е. Чудаков и, независимо от них в том же году, Ван-Аллен) — и позволило создать новые методы исследования галактического и межгалактического пространств. В настоящее время физика космических лучей изучает широкий спектр вопросов: 1) проблемы собственно ядерной физики и физики элементарных частиц, сейчас уже в области сверхвысоких (> 1012 эВ) энергий, поскольку появились ускорители с энергией в тысячи ГэВ; 2) явления, связанные со взаимодействием космических лучей с космическими объектами, планетами, их атмосферой и магнитными полями; 3) процессы рождения космических лучей и их ускорения в косми7 ческом пространстве. Глава 1. Потоки элементарных частиц и ядер в околоземном пространстве и у поверхности Земли 1.1. Галактические космические лучи Космическими лучами называются заполняющие космическое пространство высокоэнергичные стабильные микрочастицы — протоны, α–частицы и т. д. с энергией от десятка МэВ до 1020 эВ и выше. На пути к поверхности Земли космические лучи должны пройти толстый ( 103 г/см2) слой вещества — атмосферу, в которой они претерпевают сложную цепь превращений. Вследствие этого на поверхность Земли падает излучение, по своему составу не имеющее ничего общего с существующим в космическом пространстве. Это излучение часто называют вторичным космическим излучением, оставляя термин первичное космическое излучение за высокоэнергичными микрочастицами космического пространства. По своему происхождению первичные космические лучи можно разделить на несколько групп: 1) космические лучи галактического происхождения. Их источником является наша Галактика, в которой происходит ускорение частиц до энергий ~ 1016 эВ; 2) космические лучи метагалактического происхождения. Эти частицы образуются в других галактиках и имеют самые большие энергии от Е ~ 1016 эВ до Е ~ 1021 эВ; 3) солнечные космические лучи. Они генерируются на Солнце во время солнечных вспышек и имеют умеренные энергии (<1 ГэВ). 8 Космические лучи галактического и метагалактического происхождения составляют подавляющую часть первичных космических лучей, приходящих к Земле. Солнечные космические лучи составляют лишь небольшую их часть. Если отвлечься от искажающего влияния магнитных полей Земли и межпланетного пространства, то в месте нахождения Солнечной системы первичное космическое излучение (галактические и метагалактические космические лучи) изотропно по направлению и постоянно во времени. Интенсивность его равняется 2 – 4 частиц/(см2с). Пространственная и временная изотропия являются, по-видимому, результатом длительного «блуждания» частиц, в процессе которого стерлась всякая пространственная и временная выделенность источников космических частиц по отношению к Земле. Общий поток энергии, который они переносят на Землю (~ 0,01 эрг на 1 см2 в 1 сек), чрезвычайно мал по сравнению с излучаемым на Землю потоком солнечной энергии и сравним с энергией видимого излучения звёзд. Однако не исключено, что в далёком прошлом космические лучи сыграли определённую роль в ускорении эволюции жизни на Земле. В масштабах всей Галактики средняя плотность энергии галактических и метагалактических космических лучей велика (~ 1 эВ/см3) — порядка плотностей всех других видов энергии: энергии магнитных полей, кинетической энергии движения межзвёздного газа, энергии электромагнитного излучения звёзд. Поэтому космические лучи могут оказывать заметное влияние на эволюцию Галактики в целом. Важная особенность космических лучей — нетепловое происхождение их энергии. При температуре 109 К, характерной, по-видимому, для звездных недр, энергия теплового движения частиц не превышает 105 эВ. Основная же масса частиц космических лучей, наблюдаемых у Земли, имеет энергии от 108 эВ и выше. Это означает, что космические лучи при9 обретают энергию в специфических астрофизических процессах электромагнитной и плазменной природы. Окончательной теории происхождения космических лучей в настоящее время пока нет. Любая модель, претендующая на эту роль, должна объяснить основные установленные экспериментальные характеристики первичных космических лучей, а именно: 1) химический состав; 2) форму энергетического спектра и полную энергию; 3) практически постоянную во времени интенсивность. Одна из первых гипотез происхождения космических лучей была разработана российским физиком, лауреатом Нобелевской премии по физике в 2003 году В. Л. Гинзбургом (1963 г.). В. Л. Гинзбург показал, что возможными источниками космических лучей могут быть вспышки сверхновых звезд. Космические лучи ускоряются на ударных волнах, образующихся в этих взрывах. Максимальная энергия, которую могут приобрести частицы в таких процессах, составляет Емах ~ 1016 эВ. Частота вспышек сверхновых звезд в нашей галактике — в среднем два раза в столетие, что обеспечивает постоянную интенсивность космических лучей. Космические лучи еще больших энергий образуются в метагалактике. Одним из источников космических лучей ультравысоких энергий могут быть ядра активных галактик. Первичные космические лучи имеют определенный химический состав, который тщательно исследуется. Знание химического состава необходимо для решения вопроса о происхождении космических лучей. Космические лучи — это составная часть нашей Вселенной, и поэтому их химический состав должен соответствовать распространенности элементов во Вселенной. Любые аномалии в составе могут служить указанием на особенности рождения и распространения космических лучей в межзвездном пространстве. 10 Изучение состава первичных космических лучей проводилось с помощью фотоэмульсий, сцинтилляционных и черенковских детекторов, установленных на самолетах и шарах-зондах, на спутниках и автоматических космических станциях. Кривая распространенности элементов в космических лучах приведена на рис. 1. Рис. 1. Распространенности элементов (N — число ядер по отношению к числу протонов, умноженное на 1011): сплошная линия — распространенность в космических лучах; пунктирная линия — распространенность в Солнечной системе Часто вместо распространенностей отдельных элементов приводят распространенности целых групп элементов. Разделение на группы обычно проводится следующим образом: 11 1) р-группа содержит протоны, дейтроны и тритоны; 2) α-группа — α-частицы и ядра изотопа гелия He23; 3) L-группа (легкие ядра) — ядра лития, бериллия и бора (Z = 3–5); 4) М-группа (средние ядра) — ядра углерода, кислорода, азота (Z = 6–9); 5) H-группа (тяжелые ядра) — ядра с Z ≥ 10; 6) VH – группа (очень тяжелые ядра) — ядра с Z > 20; 7) VVH – группа, в которую входят ядра c Z ≥ 30. Данные распространенности групп приведены в таблице 1. Таблица 1. Распространенность групп частиц в космических лучах Группа частиц Z Интегральная Количество частиц на 105 интенсивность протонов частиц, В космиче- Во Вселен- м-2 с-1 ср-1 ских лучах ной p 1 1300 10000 10000 α 2 94 720 1600 L 3–5 2 15 10-4 M 6–9 6,7 52 14 H 10–19 2 15 6 VH 20–30 0,5 4 0,06 VVH > 30 10-4 10-3 710-5 электроны 1 13 100 10000 антипротоны 1 > 0.1 5 Из рис. 1 и таблицы 1 видно, что космические лучи состоят, как и все вещество, в основном из протонов и α-частиц. Однако, в отличие от распространенности элементов в среднем по Вселенной, в космических лучах наблюдается повышенная распространенность тяжелых элементов и ано12 мально большая распространенность ядер группы L. Соотношение в первичном излучении числа ядер групп L и М составляет 0,30, что в 106 раз больше соотношения этих групп ядер в природе. Избыток тяжелых ядер в космических лучах, возможно, связан с более эффективным процессом их образования. Факт аномально большого содержания L-элементов в космических лучах можно использовать для определения порядка величины времени блуждания космических частиц в Галактике и пути, который они проходят до встречи с Землей. Так как ядра изотопов бериллия, лития и бора во Вселенной встречаются очень редко, то естественно считать, что тяжелые ядра при движении к Земле взаимодействуют с межзвездным веществом и расщепляются (фрагментируют) на более легкие ядра группы L. В этой модели очевидно, что все ядра группы L появились в результате столкновений тяжелых ядер с межзвездным газом. Сопоставление соотношения NL/NM в космических лучах с вероятностью фрагментации тяжелых ядер позволяет оценить возраст космических лучей (время их блуждания в космическом пространстве до встречи с Землей). Он составляет 108 лет. При этом оказывается, что космические лучи проходят путь 1026 см, что намного превышает радиус галактики 1023 см. Это связано с тем, что движение частицы в Галактике осуществляется в хаотично ориентированных магнитных полях. Экспериментально электроны в космических лучах были обнаружены в 1961 г. Оказалось, что поток электронов составляет около 1,5% потока всех космических частиц; а энергия потока электронов — около 1% полной энергии космических частиц. В прямых измерениях числа позитронов в космических лучах установлено, что позитронов примерно в десять раз меньше, чем электронов. Из теоретического анализа следует, что основная доля космических электронов испускается непосредственно источниками космического излучения. 13 В 1981 году были получены экспериментальные свидетельства наличия в космических лучах антипротонов (10-4 по отношению к протонам). Необходимо отметить, что в космических лучах в небольшом количестве обнаружены также γ-кванты (10 фотон/(м2с) с Eγ 50 МэВ) и, повидимому, должны быть нейтрино, обнаружить которые очень трудно. Исследования, проведенные в последние годы на спутниках и на Луне, показали, что химический состав первичного космического излучения очень слабо меняется с энергией: доля ядер группы L и ядер с зарядом 17 < Z < 25 уменьшается с ростом энергии (при энергиях порядка нескольких ГэВ/нуклон). Важной характеристикой космических лучей является распределение по энергиям входящих в их состав частиц. Диапазон энергий частиц, зарегистрированных в космических лучах, весьма велик: от 109 до 1020 эВ. Методы исследования зависимости интенсивности J космических лучей от их энергии E0 определяются значениями энергии, при которой проводятся измерения интенсивности: 1) методы, использующие геомагнитные эффекты (энергии до десятков ГэВ); 2) ионизационные калориметры, установленные на спутниках (интервал энергий от 10 до 106 ГэВ); 3) изучение черенковской вспышки от частиц, идущих в составе широких атмосферных ливней (энергии 106–1011 ГэВ). На основании проведенных экспериментальных исследований был составлен график зависимости интенсивности космических лучей от энергии, представленный на рис. 2. 14 Рис. 2. Энергетический спектр космических лучей Проведенные эксперименты показали, что с ростом энергии интенсивность космических лучей резко уменьшается, а сам энергетический спектр космических лучей можно описать степенной функцией: J E0 dE0 AE0 dE0 , где γ = 2,75 (до энергии ~ 106 ГэВ). В интервале энергий (1–3)·106 ГэВ наблюдается изменение наклона спектра до значений γ = 3,2. В области 15 энергий E0 ~ 109 ГэВ, по некоторым данным, происходит новое изменение наклона спектра — возвращение к значению γ = 2,7. Самые высокие зарегистрированные значения энергии частиц достигают 2·1020–1021 эВ. Число частиц со сверхвысокими энергиями (> 1019 — 1020 эВ) очень мало. Например, одна частица с энергией, большей 1019 эВ, пролетает через 1 м2 земной поверхности один раз в 2000 лет, а через площадь в 10 км2 один раз в несколько суток. Поэтому данные о частицах сверхвысоких энергий менее точные. Важной особенностью энергетического спектра космического излучения является отсутствие частиц с кинетической энергией Е < 1 ГэВ/нуклон. Эта особенность носит название высокоширотного обрезания и объясняется, по-видимому, влиянием магнитных полей Солнечной системы. Усреднение энергии по спектру дает для средней энергии космической частицы значение 10 ГэВ. В окрестности Земли средняя плотность энергии космических лучей Wкл = 0,3 эВ/см3, что очень близко к средним плотностям световой, магнитной и кинетической энергий движения межзвездного газа в окрестности Земли Вопросы и задачи 1. Какие имеются свидетельства существования вещества в межзвездном пространстве? 2. За счет какого механизма происходит образование в космических лучах Li, Be, B? 3. В космических лучах отношение NL – числа ядер элементов ли- тия, бериллия, бора (ядра группы L) к числу NMHVH лых и тяжелых ядер с Z > 20 равно 1/5 – средних, тяже- . На основании механиз- ма образования в космических лучах ядер группы L определить путь, кото16 рый проходят космические лучи от источника до Земли, и время, в течение которого они движутся вдоль этого пути. Решение Ядра элементов лития, бериллия и бора образуются при столкновениях тяжелых космических частиц с межзвездным газом протонов. Число образовавшихся ядер определяется уравнением N L f N MHVH Nl , где f 1030 м 2 (1) — сечение фрагментации с вылетом ядер группы L, N – средняя плотность частиц межзвездного газа в Галактике, l — длина пути, проходимого космическими лучами от источника до Земли, N MHVH 5N L . Можно представить N NA где NA — , (2) число Авогадро, µ = 1 г/моль, 2 1020 г/м3 — молярный вес и средняя плотность межзвездного газа. Из уравнений (1), (2) находим l 2 1025 м. Длина пути, проходимого космическими лучами от источника до Земли, намного превосходит радиус Галактики R = 1,5 1021 м. Это связано с тем, что движение заряженной частицы в Галактике напоминает диффузию частицы в хаотично ориентированных магнитных полях. Время движения частицы вдоль этого пути определяется как 3 108 17 лет. 1.2. Потоки заряженных частиц от Солнца На фоне галактических космических лучей в околоземном пространстве наблюдаются потоки заряженных частиц, источником которых является Солнце. Для выявления природы и свойств заряженных частиц, исходящих из Солнца, рассмотрим его структуру и протекающие в нем физические процессы. Солнце, как и множество звезд, является плазменным шаром. Солнце относится к звездам карликам, это стационарная звезда, практически не изменяющая своей светимости в течение миллиардов лет. Для детального изучения внутреннего строения Солнца строят его модели и сравнивают их предсказания с данными наблюдений. Стандартная модель Солнца рассматривается при следующих предположениях: Солнце является сферически-симметричным и находится в гидростатическом равновесии; Солнце находится в состоянии теплового равновесия, за исключением небольших изменений энтропии во время эволюции; изменение химического состава обусловлено ядерными реакциями в водородном и углеродно-азотном циклах; вещество перемешивается только в конвективной зоне; Солнце было первоначально однородным по химическому составу и эволюционировало без изменения массы в течение 9 4,7·10 лет к современным значениям радиуса и светимости. Основные параметры Солнца в стандартной модели, сформулированной в 1982 году, представлены в таблице 2. 18 Таблица 2 Параметры Солнца согласно стандартной модели Светимость Солнца ( Lc ) 3,86·10 26 Вт Масса ( M c ) 1,99·10 30 кг Радиус ( Rc ) 6,96·10 м Возраст ( tc ) 4,7·10 лет Плотность в центре (ρс) 156 г/см Температура в центре (Тс) 15,5·10 К 8 9 3 6 Содержание водорода по массе на 0,732 поверхности (Х1) Содержание водорода по массе в 0,355 центре (Х1,с) Эффективная температура поверх- 3 ности (Тэ) 5,78·10 К Для наглядности сравним параметры Солнца с параметрами Земли. Радиус Солнца в 109 раз больше экваториального радиуса Земли; масса Солнца в 333 000 раз больше массы Земли. В Солнце сосредоточено 99,866 % массы Солнечной системы. Средняя плотность солнечного веще3 ства 1,41 г/см , что составляет 0,256 средней плотности Земли (солнечное вещество содержит по массе 68 % водорода, 30 % гелия и около 2 % других элементов). Ускорение свободного падения на уровне видимой по2 2 верхности Солнца g = 2,7·10 м/с . Вращение Солнца имеет дифференцио альный характер: экваториальная зона движется быстрее (14,4 за 1 сутки), 19 о чем высокоширотные зоны (10·10 за 1 сутки у полюсов). Средний период вращения Солнца 25,38 суток, скорость вращения на экваторе около 2 км/с (у Земли 0,4 км/с). Под действием гравитации Солнце, как и любая другая звезда, стремится сжаться. Этому сжатию противодействует перепад давления, возникающий из-за высокой температуры и плотности внутренних слоев Солнца. 7 3 В центре Солнца температура Т ≈ 1,6·10 К, плотность ≈ 160 г/см . Столь высокая температура в центральных областях Солнца может поддерживаться длительно только ядерными реакциями синтеза гелия из водорода. Эти реакции и являются основным источников энергии Солнца. При температурах, характерных для центра Солнца, основная энергия излучения приходится на рентгеновский диапазон. Из центральной области Солнца до его поверхности электромагнитное излучение из-за многократного поглощения и переизлучения доходит за время ~ 1 млн лет, при этом спектр существенно изменяется (путь, приблизительно в 200 раз больший, — от Солнца до Земли — свет проходит за время ≈ 8 мин). Структура Солнца определяется следующими слоями: зона энерговыделения (в центре Солнца); конвекционная зона; фотосфера; хромосфера; корона. Положения и физические характеристики различных слоев приведены на рис. 3, где для наглядности толщина фотосферы несколько преувеличена, а в хромосфере (от фотосферы до 5000 км над фотосферой) условно выделена нижняя хромосфера толщиной ~ 1500 км, где газ более однороден. Нагрев верхней атмосферы Солнца (хромосферы и короны) может быть обусловлен механической энергией, переносимой волнами, возникающими в верхней части конвективной зоны, диссипацией (поглощением) энергии электрических токов, генерируемых магнитными полями. 20 Корональный луч Солнечный ветер Внутренняя корона ρ ≈ 10–15 г/см3 Т ≈ 1,5·106 К р = 6·10–8 атм n =3·108 см–3 Протуберанец Хромосфера ρ ≈ 3·10–12 г/см3 Т ≈ 10 000 К р =10–6 атм n =1012 см–3 1500 км Фотосфера ρ ≈ 2·10–7г/см3 Т ≈ 6000 К р = 0,1 атм 3 n =1017см– 8 7·10 м 8 5·10 м Зона энерговыделения ρ ≈ 2·102 г/см3 Т ≈ 14·106 К р = 4·1011 атм Нижнее основание конвективной зоны ρ ≈ 10–2 г/см3 Т ≈ 106 К р = 106 атм Рис. 3. Физические характеристики слоев Солнца: ρ – плотность; Т – температура; р – давление; n – число частиц в 1 см3. Толщина фотосферы и хромосферы на рисунке несколько преувеличена. Черные области в фотосфере – солнечные пятна На Солнце протекает целый ряд нестационарных процессов. Наиболее сильное выражение солнечной активности дают хромосферные вспышки. В видимом оптическом диапазоне хромосферная вспышка проявляется внезапным усилением яркости хромосферы, расположенной над темными пятнами в фотосфере Солнца. 21 Хромосферная вспышка обычно начинается с внезапного появления нескольких ярких точек. Затем ее площадь быстро увеличивается, причем наиболее яркие детали вспышки часто принимают лентообразную форму (см. рис. 4). Площадь хромосферной вспышки достигает более 20 квадратных градусов на диске Солнца, т. е. превышает площадь поверхности Земли (в центре диска Солнца 1 квадратный градус соответствует 146 млн км2). Возгорание хромосферной вспышки продолжается не более 5 – 10 мин, угасание — в несколько раз дольше. Самые мощные хромосферные вспышки длятся несколько часов. Энергия, выделяющаяся при хромосферной вспышке, может достигать 1025 Дж, т. е. она равна энергии взрыва миллиардов атомных бомб. Обычно максимальное число хромосферных вспышек приходится на 8 – 15-е сутки хорошо развитого центра активности. Во вспышечно-активных группах пятен за одно прохождение по диску (~ 14 дней) происходит 30 – 50 хромосферных вспышек (максимальное число — до 100 за прохождение). Рис.4. Фотографии хромосферной вспышки в лучах линии Нα Спектры хромосферных вспышек похожи на существенно усиленные хромосферные спектры. Физические процессы, обуславливающие возникновение вспышек и генерирующие большую энергию в них, имеют сложный характер. В 22 настоящее время общепринято, что основным механизмом является взаимодействие конвекционных потоков вещества и магнитных полей. Хромосферные вспышки представляют собой мощные нарушения нормальной жизнедеятельности Солнца, сопровождаемые усилением излучения не только в оптическом диапазоне, но и в ультрафиолетовой и рентгеновской областях, а также в радиочастотах. Усиливается корпускулярное излучение в форме космических лучей. Впервые такое резкое увеличение интенсивности потока частиц в окрестности Земли во время мощной хромосферной вспышки было замечено 28 февраля 1942 года (С. Форбуш). Особенно были хорошо изучены потоки космических частиц, связанные с хромосферными вспышками на Солнце 23 февраля 1956 года, 12 мая 1959 года и 12 ноября 1960 года. Во время хромосферных вспышек возрастание потока частиц бывает очень большим: для нейтронов — до 6-кратного по отношению к среднему уровню, для мезонов — достигает увеличения в 1,5 раза, а для протонов — в 1000 раз (13 мая 1959 года). Потоки солнечных космических лучей меняются от вспышки к вспышке на несколько порядков величин. Частота появления солнечных космических лучей коррелирует с уровнем солнечной активности в одиннадцатилетнем солнечном цикле. Циклы различаются по мощности генерации солнечных космических лучей. В состав солнечных космических лучей входят протоны, более тяжелые ядра и электроны. Относительное содержание ядер в области энергий ε > (1 ÷ 3)·107 эВ совпадает с их распространенностью в солнечной короне. В области меньших энергий потоки солнечных космических лучей часто обогащены тяжелыми ядрами. Наиболее заметные отклонения от состава солнечной атмосферы связаны с изотопами гелия 3Не. Зарегистрированы события с аномально большим содержанием 3Не, в некоторых из них от- 23 ношение содержания 3 Не/4Не в области энергий порядка нескольких МэВ/нуклон в 103 – 104 раз превышает солнечное. Поток солнечных космических лучей состоит из частиц более низких по сравнению с галактическими космическими лучами энергий. Величина пороговой (минимальной) энергии, с которой начинается устойчивое ускорение частиц, не установлена. В межпланетном пространстве в солнечных космических лучах наблюдаются электроны с минимальной энергией 2 кэВ, ядра — с энергией в десятки кэВ/нуклон. Максимальная наблюдавшаяся энергия протонов солнечных космических лучей ≈ 2·1010 эВ (вспышка 23 февраля 1956года). Во всем интервале наблюдаемых энергий спектр солнечных космических лучей падающий, с более быстрым уменьшением числа частиц в области больших энергий. Обычно форма дифференциальных спектров, измеренных в межпланетном пространстве, описывается степенной функцией εγ. Характерная величина γ в событиях, когда измеренные спектры наиболее близки к спектрам в источнике, составляет 2 ÷ 4 (10 ≤ ε ≤ 100 МэВ). Мощное событие наблюдалось 29 сентября 1991 года (энергия протонов > 1010 эВ). С начала непрерывных наблюдений (1956 – 1991) на Земле зарегистрировано 48 событий с релятивистскими протонами (ε ≥ 109 эВ). Случаи, когда из Солнца выбрасываются протоны меньших энергий (≥ 107 эВ), происходят гораздо чаще — от одного до нескольких десятков в год, близкий к максимуму солнечной активности. Еще чаще после слабых вспышек регистрируются только потоки нерелятивистских электронов с энергией до 100 – 200 кэВ. Большое влияние на состояние околоземного пространства и земной атмосферы оказывает солнечный ветер. Солнечный ветер — непрерывный поток плазмы солнечного происхождения, распространяющийся приблизительно радиально от Солнца 24 и заполняющий Солнечную систему до гелиоцентрических расстояний R ~ 100 а.е. Первые свидетельства существования постоянного потока плазмы от Солнца получены Л. Бирманом в 1950-х годах по анализу сил, действующих на плазменные хвосты комет. В 1957 году Ю. Паркер, анализируя условия равновесия вещества короны, пришел к выводу, что при высоких температурах, которые существуют в солнечной короне (≈ 1,5·106 К), давление вышележащих слоев не может уравновесить газовое давление вещества короны, и корона расширяется. Это расширение при имеющихся граничных условиях должно приводить к разгону коронального вещества до сверхзвуковых скоростей. Впервые поток плазмы солнечного происхождения был зарегистрирован на советском космическом аппарате «Луна-2» в 1959 году. Существование постоянного истечения плазмы из Солнца было доказано в результате многомесячных измерений на американском космическом аппарате «Маринер-2» в 1962 году. Средние характеристики солнечного ветра приведены в таблице 3. Потоки солнечного ветра можно разделить на два класса: медленные — со скоростью 600 – 700 км/с. Быстрые потоки исходят из областей солнечной короны, где структура магнитного поля близка к радиальной. Часть этих областей являются корональными дырами. Медленные потоки солнечного ветра связаны, по-видимому, с областями короны, в которых имеется значительный тангенциальный компонент магнитного поля. Помимо основных составляющих солнечного ветра — протонов и электронов, в его составе также обнаружены α-частицы, высокоионизованные ионы водорода, ионы кислорода, кремния, серы, железа. При анализе газов, захваченных в экспонированных на Луне фольгах, найдены атомы Ne и Ar. Средний относительный химический состав солнечного ветра приведен в таблице 4. 25 Таблица 3 Средние характеристики солнечного ветра на орбите Земли Скорость 400 км/с Концентрация протонов 6 см Температура протонов 5·10 К Температура электронов 1,5·10 К Плотность потока протонов 2,4·10 см ·с –з 4 5 –2 –1 8 Таблица 4 Относительный химический состав солнечного ветра Элемент Относительное Элемент содержание Н Не 1,7·10 4 Не 0,04 О содержание 0,96 3 5·10 Относительное –5 –4 Ne 7,5·10 Si 7,5·10 Ar 3,0·10 Fe 4,7·10 –5 –5 –6 –5 На стационарный процесс истечения плазмы короны накладываются нестационарные процессы, связанные со вспышками на Солнце. При сильных вспышках происходит выброс вещества из нижних областей короны в межпланетную среду. При этом образуется ударная волна (рис. 5), которая постепенно замедляется, распространяясь в плазме солнечного ветра. 26 Ударная волна Выброс плазмы Высокоскоростной поток Через 2 – 3 суток после вспышки Солнце Исходное положение вспышки Рис. 5. Распространение межпланетной ударной волны и выброса от солнечной вспышки. Стрелками показано направление движения плазмы солнечного ветра, линии без подписи – силовые линии магнитного поля. Вопросы и задачи 1. Излучение Солнца обусловлено, главным образом, выделением энергии при термоядерных реакциях водородного цикла (протонпротонной цепочки): I p + p 1 H + e+ + e 2 3 1H + p 2He + 3 3 4 2He + 2He 2He + 2p 2 II p + p 1H + e + + e 2 3 1H + p 2He + 3 4 7 2He + 2He 4Be + 7 – 7 4Be + e 3Li + e 7 4 3Li + p 2 2He 2 III p + p 1H + e + + e 2 3 1H + p 2He + 3 4 7 2He + 2He 4Be + 7 8 4Be + p 5B + 8 8 + 5B 4Be + e + e 8 Be 242He 2 Водородный цикл может заканчиваться тремя различными способами I, II и III. Для реализации ветви I первые две реакции должны осуществиться дважды (см. рис. 6), поскольку в третьей реакции исчезают сразу два ядра 32He. 27 Рис. 6. Реакция водородного цикла I Все три последовательности реакций приводят к превращению водорода в гелий без участия катализаторов: 4p → 42He + 2e+ + 2νe + Q. Рассчитайте энергетический выход на каждом этапе последовательностей реакций I, II и III. Для расчета воспользуйтесь данными таблицы дефектов масс (см. приложение 1). Решение Обозначим — дефект масс. Энергетический выход ядерной реакции равен Q = (исходных ядер) (продуктов реакции). Проведем поэтапный расчет энергии, выделяющейся в реакциях: I Q p + p→ 21H + e+ + e Q1 = 1442,228 (КэВ) 2 1H Q2 = 5493,554 (КэВ) 3 2He + p→ 32He + + 32He → 42He + 2p Q3 = 12859,632 (КэВ) Q=2Q1+2Q2+Q3 26,7 (МэВ) 28 Убедимся, что полученный результат совпадает с результатом прямого расчета: 4p → 42He + 2e+ + 2e Q=47289,034 - 2424,94 26,7 (МэВ) Теперь расчет для ветви II. II p + p→ 21H + e + + e 2 1H + p→ 32He + 3 2He 7 4Be + 42He → 74Be + + e–→ 73Li + e 7 4 3Li + p→ 2 2He Q Q1 = 1442,228 (КэВ) Q2 = 5493,554 (КэВ) Q3 = 1586,16 (КэВ) Q4 = 861,9 (КэВ) Q5 = 17347,35 (КэВ) Q = Q1 + Q2+ Q3 + Q4 + Q5 26,7 (МэВ) В случае III расчет следующий. III p + p→ 21H + e + + e Q Q1 = 1442,228 (КэВ) 2 1H Q2 = 5493,554 (КэВ) 3 2He + 42He→ 74Be + Q3 = 1586,16 (КэВ) 7 4Be + p→ 85B + Q4 = 137,234 (КэВ) 8 + p→ 32He + 8 + 5B→ 4Be + e 8 4 4Be → 2 2He + e Q5 = 17980,14 (КэВ) Q6 = 91,88 (КэВ) Q= Q1 + Q2 + Q3 + Q4 + Q5 + Q6 26,7(МэВ) Ответ: Q 26,7 МэВ. 2. В недрах Солнца, где температура и плотность достигают наибольших значений, возможны термоядерные реакции углеродного цикла. Это реакции, приводящие к образованию гелия из водорода с участием углерода, азота, кислорода и фтора в качестве катализаторов: 29 I 12 II + p→ 137N + 13 13 + 7N→ 6C + e + e 13 14 6C + p→ 7N + 14 15 7N + p→ 8O + 15 15 + 8O→ 7N + e + e 15 12 4 7N +p → 6C + 2He III 15 16 7N + p→ 8O + м 16 17 8O + p → 9 F + м 17 17 + 9F → 8O + e + e 17 18 8O + p→ 9F + м 18 18 + 9Fм 8O + e + e 18 15 4 8O +p → 7N + 2He 14 + p→ 158O + 15 15 + 8 O → 7 N + e + e 15 16 7N + p→ 8O + 16 17 8O + p→ 9F + 17 17 + 9F→ 8O + e + e 17 14 4 8O +p → 7N + 2He IV 16 17 8O + p→ 9F + 17 17 + 9F → 8O + e + e 17 18 8 O + p → 9F + 18 18 + 9F→ 8O + e + e 18 19 8O + p→ 9F + 19 16 4 9F +p м 8O + 2He 6C 7N Все четыре последовательности реакций приводят к превращению водорода в гелий: 4p → 42He + 2e+ + 2νe + Q. Рассчитайте энергетический выход на каждом этапе последовательностей реакций I, II, III и IV. Для расчета воспользуйтесь данными таблицы дефектов масс (приложение 1). Ответ: Q 26,7 МэВ. 3. В центре Солнца плотность водорода 15 г/см3, температура 1,5·107 К. Сечение реакции образования дейтерия порядка 10-51 см2. Рассчитать время выгорания водорода в центре Солнца на 50% за счет реакции p p D e . 30 Решение Запишем уравнение, описывающее процесс выгорания водорода: dn n2 v, dt 2 где n – плотность вещества, v – тепловая скорость. Интегрируя это уравнение, получим 1 1 vt . n(t ) n(0) 2 Отсюда следует, что в 2 раза концентрация водорода уменьшится за время t2 1,1 года, средняя v 3kT / m 6 см/с, квадратичная плотность скорость водорода атома водорода n N A 9,5 см-3. 1.3. Движение заряженных частиц в магнитосфере Земли Галактические космические лучи и заряженные частицы, генерируемые Солнцем, при приближении к Земле взаимодействуют с магнитным полем Земли. На основании анализа измерений геомагнитного поля во многих районах земного шара было установлено, что в среднем оно близко к полю простого магнитного диполя, расположенного в центре Земли, с осью, наклоненной к оси вращения примерно на 11° (это приводит к различному положению на Земле географических и магнитных полюсов). На это основное магнитное поле накладываются как мелкомасштабные аномалии (такие, например, как известная Курская магнитная аномалия), так и крупномасштабные («мировые») аномалии. Наиболее значительные мировые аномалии расположены над территорией Сибири (здесь поле значительно превышает среднее) и над Южной Америкой и Атлантикой (здесь поле аномально мало). Мировые аномалии оказывают большое влияние на дви31 жение заряженных частиц в поясах радиации до высот в несколько тысяч километров от поверхности Земли, мелкомасштабные аномалии почти не заметны уже на высотах порядка сотни километров. Поток заряженных частиц, солнечный ветер, взаимодействуя с геомагнитным полем, формирует магнитосферу Земли. Поток солнечной плазмы является сверхзвуковым. Его радиальная скорость, равная обычно 300 — 400 км/с, в несколько раз превосходит свойственную этой среде скорость звука. При встрече с Землей в этом сверхзвуковом потоке образуется ударная волна. Солнечный ветер несет с собой магнитное поле, поэтому препятствием для ветра служит уже магнитное поле Земли. Солнечный ветер оказывает давление на геомагнитное поле, которое с дневной стороны сжимается (см. рис. 7). Здесь между границей магнитосферы и отошедшей ударной волной располагается магнитопауза, которая отделяет магнитное поле Земли от межпланетного поля, и именно в ней сливаются силовые линии того и другого поля. На фронте ударной волны происходит изменение направления движения частиц солнечного ветра, их направленная скорость уменьшается, а «хаотическая» растет так, что плазма между фронтами ударной волны и магнитопаузой нагревается до десятка миллионов градусов. Ширина слоя плазмы составляет примерно 10 тыс. км. Эта разогретая плазма заполняет переходную область и обтекает магнитосферу. Нормальная дневная граница магнитосферы отстоит на 10 земных радиусов от центра Земли, но при сильных возмущениях со стороны особенно обильных корпускулярных солнечных потоков она приближается к Земле до расстояния в 6 радиусов. Граница магнитосферы неустойчива и, так сказать, «шероховата» из-за переменного влияния корпускулярных потоков. Тут же находятся нейтральные точки, через которые открывается внешним частицам доступ в земную атмосферу. 32 Тот же солнечный ветер «заметает» магнитные силовые линии на ночную сторону, так что здесь магнитосфера приобретает вид магнитного хвоста Земли. В сечении толщина хвоста достигает 40 земных радиусов, длина прослеживается до 30 радиусов, а простирается, вероятно, гораздо дальше, вливаясь незаметным образом в межпланетные поля. Магнитосфера ограничена снаружи резкой границей, по которой течёт электрический ток. Этот ток создают ионы солнечного ветра. При проникновении в магнитосферу Земли они отклоняются геомагнитным полем к западу, а электроны — к востоку. Потоки разделённых заряженных частиц образуют ток на границе магнитосферы. Магнитное поле тока отделяет магнитосферу от области, где движется поток плазмы от Солнца. Эта граница называется магнитопаузой (см. рис. 7). Шлейф образован двумя пучками силовых линий с противоположным направлением магнитного поля: пучком, выходящим из южной полярной шапки и уходящим на ночную сторону, и пучком, приходящим из далеких областей шлейфа в северную полярную шапку. Поскольку магнитные силовые линии не могут иметь конца, оба пучка где-то далеко от Земли постепенно соединяются — частично между собой, частично с силовыми линиями межпланетного магнитного поля, уносимого солнечным ветром. Конец шлейфа, находящегося на расстояниях ~ 1000 RЗ или более, космические корабли еще не обнаружили, и его свойства пока не изучены. В наблюдаемом шлейфе пучки силовых линий противоположного направления разделены областью очень слабого поля, в которой концентрируется сравнительно горячая плазма с температурой в миллион градусов. Плазма своим давлением «расталкивает» эти пучки, препятствуя аннигиляции (взаимному уничтожению) магнитного поля в шлейфе. «Рога» этого плазменного слоя опускаются к овалам полярных сияний над Землей. 33 34 Рис. 7. Магнитосфера Земли в меридиональном разрезе Пока ещё остается неясным, поступают ли частицы этой плазмы только из солнечного ветра или же частично и из земной ионосферы над полярными шапками. Магнитосферный хвост был предсказан Дж. Пиддингтоном в 1960 году и открыт Н. Нессом (США) в 1964 году, а плазменный слой хвоста был открыт К. И. Грингаузом (Россия) в 1961 году. В сердцевине магнитосферы магнитное поле имеет близкую к дипольной конфигурацию. Заряженные частицы не слишком большой энергии могут длительное время удерживаться здесь на замкнутых траекториях, то есть эта область является зоной захваченной радиации (геомагнитная ловушка). Область заполнена частицами радиационных поясов и кольцевого тока. Со стороны магнитосферного хвоста к геомагнитной ловушке примыкает плазменной слой, который является основным поставщиком частиц радиационных поясов и кольцевых токов (см. рис. 7). Наблюдения показали, что зона, заполненная частицами высокой энергии, простирается от нескольких сотен километров над поверхностью Земли до самой внешней границы магнитосферы, то есть до расстояния в 6 − 10 радиусов Земли. Рассмотрим важнейшую составляющую магнитосферы — радиационные пояса (РП). РП имеют форму тороида («бублика») с осью симметрии, примерно совпадающей с осью геомагнитного диполя. Они состоят в основном из захваченных электронов и протонов с энергией от ~ 100 кэВ до нескольких сотен МэВ. Ядра и ионы гелия, кислорода и других элементов с Z > 1 составляют в радиационных поясах незначительные — порядка нескольких процентов — добавки. РП были открыты в экспериментах на ИСЗ в 1958 году. Внутренний пояс открыт в экспериментах на ИСЗ «Explorer-1» и «Explorer-3», проводившихся под руководством Дж. Ван Аллена (США). Внешний электронный пояс открыт в экспериментах на 3-м советском корабле-спутнике (май 1958 года), проводившихся под руководством С. Н. Вернова и 35 А. Е. Чудакова в НИИЯФ МГУ. На рис. 8 приведено пространственное распределение протонов, а на рис. 9 — электронов РП по данным экспериментов НИИЯФ МГУ на ИСЗ серии «Электрон». Рис. 8. Изолинии потоков протонов с Е > 30 МэВ (слева) и Е > 1 МэВ (справа) в меридиональных сечениях РП по данным ИСЗ «Электрон». Для протонов с Е > 30 МэВ приведены изолинии J = 102 см2 -1 с (самая внешняя), 103, 104 и 3104 см-2с-1 (самая внутренняя), а для протонов с Е > 1 МэВ — изолинии J = 102 см-2с-1 (самая внешняя), 103, 104, 105, 106, 3106 и 107 см-2с-1 (самая внутренняя). Тонкими линиями в правой части рисунка нанесены силовые линии магнитного поля Рис. 9. Изолинии потоков электронов с Е > 150 кэВ в утреннем (слева) и вечернем (справа) меридиональных сечениях внешнего РП по данным ИСЗ серии «Электрон»: J = 10 см-2с-1 (самая внешняя), 105, 106, 3106 и 107 см-2с-1 (самая внутренняя). На L > 10 располагается зона неустойчивой радиации (область квазизахвата) 36 Для большей наглядности РП представлены изолиниями (линиями равной интенсивности) потоков протонов и электронов в различных меридиональных плоскостях. По оси L, лежащей в плоскости геомагнитного экватора, отложены расстояния до центра Земли (в RЗ), изображённой в виде окружности. Чтобы понять пространственно-энергетическую структуру и динамику радиационных поясов, в первую очередь нужно рассмотреть особенности движения заряженных частиц в геомагнитной ловушке. При движении заряженной частицы в магнитном поле её траектория искривляется под действием силы Лоренца, которая тем больше, чем больше индукция магнитного поля и скорость частицы. Эта сила всегда перпендикулярна как к линиям магнитного поля, так и к скорости частицы. Она не производит работы, и, следовательно, в стационарном магнитном поле любой конфигурации величина скорости и кинетической энергии частицы не меняются. Траектории захваченных частиц имеют вид спирали, витки которой сжимаются и сближаются между собой по мере увеличения локальной индукции поля. При достаточно большой величине локальной индукции (Вm) частица отражается назад, к экваториальной плоскости (см. рис. 10). Центр витка этой спирали (мгновенный центр вращения) называется ведущим центром, время прохождения частицей одного витка спирали — ларморовским периодом или гиропериодом (обратная величина — ларморовской частотой или гирочастотой). Гирочастота не зависит от энергии частицы, прямо пропорциональна индукции поля и заряду частицы и обратно пропорциональна её массе. Гирорадиус прямо пропорционален импульсу частицы и обратно пропорционален заряду частицы и индукции поля. 37 38 Рис. 10. Силовая линия геомагнитной ловушки и траектория захваченной частицы Ведущий центр частицы качается вдоль силовой линии магнитного поля, отражаясь (меняя направление своего движения) в так называемых зеркальных точках. Положение этих точек симметрично относительно плоскости геомагнитного экватора. По мере приближения частицы к зеркальной точке угол α между векторами магнитного поля и скорости частицы (локальный питч-угол) увеличивается и в момент отражения достигает величины 90°. Кроме ларморовского вращения и качаний вдоль силовых линий в движении частиц в геомагнитной ловушке проявляется ещё одна периодичность. Из-за неоднородности поля на более близких к Земле участках траектория частицы имеет большую кривизну. В результате этого ведущий центр частицы постепенно смещается по долготе (дрейфует вокруг Земли). Протоны и положительные ионы дрейфуют на запад, электроны — на восток. Чем больше кинетическая энергия частицы и чем дальше она от Земли, тем меньше период её дрейфа вокруг Земли. Таким образом, характерной особенностью движения заряженных частиц в геомагнитной ловушке является тройная периодичность: каждую захваченную частицу можно рассматривать как быстро крутящийся ларморовский волчок, который, плавно покачиваясь вдоль силовых линий, периодически оборачивается вокруг Земли. Гиропериоды частиц РП в экваториальной плоскости составляют величину ~ 10103 мкс для электронов и ~ 10103 мс для протонов (с увеличением широты эти значения уменьшаются в десятки-сотни раз). Периоды качаний частиц РП вдоль силовых линий магнитного поля имеют порядок ~ 0,11 с для электронов и ~ 0,550 с для протонов. Периоды азимутального дрейфа частиц РП вокруг Земли не зависят от массы частиц и составляют ~ 0,1500 мин. До начала космических полётов полагалось, что накопление в геомагнитной ловушке значительного количества энергичных частиц невозмож39 но. Такое представление было основано на теории движения заряженных частиц в дипольном магнитном поле (теории Штёрмера) и учитывало возможные потери энергии частиц. Поэтому открытие РП Земли было большой неожиданностью. Существует несколько механизмов заполнения магнитных ловушек околоземного пространства частицами. Один механизм предложен вскоре после открытия РП и называется альбедным. В этом механизме при взаимодействии галактических космических лучей с атмосферой генерируются (кроме всего прочего) нейтроны, часть которых попадает в геомагнитную ловушку и распадается (-распад). Рождающиеся при этом электроны и протоны захватываются геомагнитной ловушкой и входят в состав внутреннего РП. Этот механизм вносит основной вклад в потоки протонов РП с Е > 2030 МэВ на L < 1,5. По современным экспериментальным данным и теоретическим расчетам альбедный механизм генерирует не более 1 % всех частиц РП. Но основным источником частиц РП с Е < 2030 МэВ на высотах Н > 12 тыс. км (L > 1,5) является плазма солнечного ветра (её химический состав близок к составу РП), частицы которой ускоряются в хвосте магнитосферы, захватываются в геомагнитную ловушку и ускоряются в ней до энергий РП в результате флуктуации магнитного и электрического полей. Такие флуктуации возникают под действием резких скачков давления солнечного ветра. Некоторый вклад в высокоэнергичный хвост спектров протонов во внешних областях РП вносят солнечные космические лучи. В РП существуют физические процессы, которые приводят к потере ими частиц. Поскольку траектория заряженной частицы в магнитном поле всегда искривлена, то она излучает электромагнитные волны и, следовательно, теряет энергию. 40 Для частиц РП гораздо большее значение имеют другие механизмы потерь. Основной механизм потерь протонов и других ионов РП — ионизационные потери в результате взаимодействий с атомами и холодной плазмой, приходящими в магнитосферу из атмосферы и из верхних слоев ионосферы. При столкновениях с атомами ионы РП не только теряют свою энергию, но и могут перезаряжаться. Так, протон РП может захватить атомарный электрон и, превратившись в быстрый нейтральный атом водорода, покинуть ловушку. В потери электронов РП кроме ионизационных потерь большой вклад вносит циклотронная неустойчивость, которая приводит к питч-угловой диффузии частиц. Такие процессы развиваются в результате взаимодействия электронов с электромагнитными циклотронными волнами, частоты которых близки к гирочастотам электронов и которые представляют собой поперечные электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль силовых линий магнитного поля. Ещё один механизм потерь частиц РП связан с тем, что в геомагнитном поле наблюдаются значительные аномалии, из которых особенно выделяются Бразильская и Кейптаунская. Над этой областью нашей планеты дрейфовые оболочки с L < 1,2 опускаются в плотные слои атмосферы, что приводит к резкому усилению ионизационных потерь частиц. Указанные механизмы потерь задают времена жизни частиц РП в диапазоне от нескольких часов до сотен лет (в зависимости от L, вида частиц, их энергии, питч-угла, уровня геомагнитной активности и некоторых других факторов). В среднем за большие промежутки времени число частиц в радиационных поясах остается постоянным, то есть потеря частиц компенсируется их пополнением. 41 Важнейшей составляющей магнитосферы является кольцевой ток (КТ). КТ лежит в основе механизма геомагнитных бурь. Он был предсказан теоретически задолго до начала эры космических полётов (С. Чепмен и В. Ферраро, 1933). Во время геомагнитных бурь горизонтальная составляющая напряжённости магнитного поля на низких и средних широтах (и на всех долготах) понижается (на ~ 0,11%). В соответствии с законом Ампера, это отвечает циркулирующему вокруг Земли замкнутому электрическому току, направленному на запад. На главной фазе бури, которая продолжается ~ 110 ч, КТ постепенно усиливается, а на фазе восстановления бури, которая длится от нескольких десятков часов до нескольких десятков дней (в зависимости от силы бури), КТ затухает. Загадка КТ прояснилась только после открытия в 1967 году Л. Франком (США) пояса частиц с Е < 100 кэВ. В настоящее время к КТ принято относить только захваченные в геомагнитную ловушку заряженные частицы с Е/Q ~ 20200 кэВ (Q — заряд частицы по отношению к заряду электрона). КТ принципиально отличается от РП по ионному составу: состав частиц РП близок к среднему составу солнечного ветра, а КТ обогащен ионами кислорода, азота и других элементов, распространенных в атмосфере Земли. 1.4. Прохождение космических лучей через атмосферу Земли Попадая в магнитное поле Земли, галактические космические лучи (ГКЛ) отклоняются от первоначального направления вследствие действия на них силы Лоренца. На заданную широту вблизи Земли с данного направления приходят частицы только с энергией, превышающей некоторое пороговое значение. Этот эффект называется геомагнитным обрезанием. Отклоняющее действие магнитного поля проявляется тем сильнее, чем 42 меньше геомагнитная широта места наблюдения. Так, например, с вертикального направления на экватор попадают протоны только с энергией Ек ≥ 1.5·1010 эВ, на географическую широту 510 — только с энергией Ек ≥2,5·109 эВ. Поскольку ГКЛ имеют падающий спектр, их интенсивность на экваторе меньше, чем на высоких широтах, — так называемый широтный эффект КЛ. Влетая в атмосферу Земли, ГКЛ взаимодействуют с ядрами атомов азота и кислорода (атмосфера Земли состоит в основном из азота (75,5 %) кислорода (23 %)). Первое взаимодействие протоны испытывают в среднем на высоте около 20 км. Вероятность достичь поверхности Земли, не испытав столкновений, для первичной частицы ничтожно мала. При столкновении протонов и других ядер первичных космических лучей с ядрами атомов земной атмосферы происходит частичное расщепление этих ядер и множественное рождение нестабильных элементарных частиц, в основном π-мезонов. С вероятностью в 5 − 10 раз меньшей рождаются К-мезоны, с еще меньшей (~1%) — гипероны и антипротоны, электроны и мюоны. Как правило, одна из вторичных частиц, того же типа, что и первичная, получает в среднем около 50 % начальной энергии (так называемый эффект «лидирования»). Поэтому такая частица в состоянии еще несколько раз провзаимодействовать в атмосфере. Первичный нуклон с энергией > 1012 эВ может испытать до десятка таких последовательных столкновений с ядрами атомов воздуха. Рожденные в этих взаимодействиях заряженные пионы затем или распадаются, или могут сами провзаимодействовать с ядрами. Время жизни заряженных пионов 210-8 c, а распадаются они с образовани- ем мюонной компоненты и нейтрино: , . 43 Нейтральные пионы 0 из-за малого времени их жизни 10-16 c практически сразу распадаются на два гамма-кванта, давая тем самым начало электронно-фотонной компоненте ( 0 2 ). Действительно, энергия, которую получает эта пара квантов, много больше массы нейтрального пиона 0 (~ 135 МэВ), и, следовательно, для таких -квантов наиболее вероятным процессом взаимодействия со средой будет образование электрон-позитронных пар ( e e ). Электроны, в свою очередь, за счет тормозного излучения на ядрах атомов воздуха дают опять высокоэнергичные -кванты, те — опять e e -пару и т. д. Таким образом в воздухе появляется электроннофотонный каскад. В атмосфере развиваются два каскада: 1) ядерно-активные частицы (пионы, каоны, нуклоны, и т. д.); 2) электронно-фотонный каскад за счет процессов тормозного излучения и образования пар (рис. 11). Однако размножение частиц в этих каскадах ограничивается процессами диссипации энергии. Для ядерных каскадов на пионах и каонах такими диссипационными процессами будут распады частиц, в результате которых вместо ядерно-активных частиц рождаются ядерно-пассивные (мюоны и нейтрино) или, как в случае распада нейтрального пиона, энергия перейдет в электронно-фотонную компоненту. В случае электронно-фотонных каскадов диссипация энергии идет за счет ионизационных потерь электронов и комптон- и фотоэффекта для фотонов. Развитие электронно-фотонных каскадов продолжается до тех пор, пока ионизационные потери электрона на одной радиационной длине не станут равными энергии Екр самой частицы. В воздухе значение критической энергии равно 81 МэВ. 44 Рис. 11. Попадающий в верхние слои атмосферы протон с высокой энергией создает каскадный ливень 45 Выше уже упоминалось, что в результате распада заряженных пионов в атмосфере появляются мюоны. Мюон — частица нестабильная: его время жизни составляет 210-8c. и являются частицей и античастицей. Схемы их распадов зарядово-сопряженные. распадается на электрон e , мюонное нейтрино и электронное антинейтрино e . распадается на позитрон е+, мюонное антинейтрино и электронное нейтрино e : e e , e e . Масса и энергия покоя мюона соответственно равны m = 210 me и 105 МэВ. Максимальная генерация мюонов приходится на высоту ~ 10 - 20 км. Основными процессами, за счет которых мюоны поглощаются в атмосфере, являются распад и ионизационные потери. Посмотрим, какое расстояние сможет пролететь, не распавшись, мюон, имеющий, например, энергию Е ~ 2·109 эВ или скорость с ( ~ 1), т. е. найдем его распадный пробег. Время жизни такого мюона равно τ. Тогда Lpacn c 0 cE m c 2 13 (км). 1 Теперь видим, что до уровня моря с высоты преимущественной генерации мюонов (~ 20 км) могут долететь лишь частицы с энергией Е > 2 109 эВ. На ионизацию в атмосфере мюоны теряют в среднем около 2 МэВ г-1 см2. В 30 % случаев электрону передается столь большая энергия, что он сам превращается в быструю частицу. Такие электроны названы -электронами. -электроны, обладая энергией в 103-104 эВ, могут сами испытывать ионизационные потери. Радиационные же потери мюонов в воздухе из-за их большой массы малы по сравнению с потерями для электронов. 46 Действительно, ускорение, испытываемое при радиационном торможении мюонами, в m/mе раз меньше, а излучение энергии — в (m/mе)2 раз меньше тех же величин для электронов. Потери энергии на излучение будут: dE / dx рад. изл. ~ (m е /m)2 Е0. Следовательно, энергия E0, теряемая мюоном на одной радиационной длине, в ~ (200)2 = 40000 раз меньше потерь электрона на той же длине. Таким образом, поток высокоэнергичных мюонов слабо поглощается в атмосфере. Ядерно-активные частицы быстро поглощаются в атмосфере. Поэтому на уровне моря вторичное космическое излучение состоит в основном из мюонов (жесткая компонента), электронов и фотонов (мягкая компонента). Интенсивность заряженных частиц на уровне моря имеет следующие значения (для вертикального потока): Jж = 0,82 10-2см-2с-1ср-1, Jм = 0,31 10-2см-2с-1ср-1. Следует отметить, что состав жесткой компоненты на разных высотах в атмосфере неодинаков. На уровне моря жесткая компонента состоит из мюонов, а на верхней границе атмосферы — из протонов и -частиц. При сверхвысоких энергиях первичной частицы (E0 > 105ГэВ) в атмосфере Земли число ее вторичных потомков в ядерных и электроннофотонных каскадах достигает 106 − 109 частиц. Это явление получило название широкого атмосферного ливня (ШАЛ). Частицы ШАЛ регистрируются с помощью многочисленных и разнообразных детекторов, размещенных на площади в несколько квадратных километров. Интенсивный поток заряженных частиц высокой энергии, движущихся почти параллельным пучком, приводит к появлению электромагнитного излучения Черенкова − Вавилова, пространственная и временная зависимости которого дают дополнительную информацию о продольном разви47 тии атмосферного ливня и, следовательно, о характере взаимодействия частиц при сверхвысоких энергиях. Измерение числа частиц разной природы в широком атмосферном ливне, их энергетических и пространственных характеристик дает возможность получить информацию о характеристиках первичных частиц и их взаимодействиях. Итак, наличие у Земли довольно толстого слоя атмосферы позволяет первичным космическим лучам испытать многократные взаимодействия и развиться каскадным процессам, а также является причиной появления мюонов и широких атмосферных ливней. Космические лучи, взаимодействуя с атмосферой, создают вторичное излучение, которое на уровне моря состоит в основном из лептонов — мюонов и электронов. Различия в свойствах электронов и мюонов хорошо видны при изучении поглощения этих частиц в плотных средах, например в свинце. Впервые это наблюдал в своих экспериментах Б. Росси. Таким образом, у поверхности Земли формируется естественный радиоактивный фон. Вопросы и задачи 1.Космические лучи падают на Землю со всех направлений и отклоняются магнитным полем Земли. Объяснить, почему поверхности Земли в полярных областях достигает большее количество частиц и почему наблюдается повышенное количество частиц, достигающих поверхности Земли с западного направления. 2.Объяснить природу радиационных поясов Земли. 3.Как влияет магнитное поле Земли на наблюдаемый спектр первичного космического излучения на границе атмосферы? 48 4.Как трансформируется спектр первичного космического излучения в результате прохождения атмосферы Земли? 5. Написать реакции, в которых под действием космического излучения в атмосфере образуются следующие основные радионуклиды: 3H, 7Be, 10 Be, 14C, 22Na, 26Al, 32Si, 32P, 35S, 36Cl, 39Cl, 41Ca, 81Kr. 6. Покажите, что при столкновении фотона со свободным электроном фотон не может передать ему всю свою энергию. Решение Пусть фотон передает электрону свою энергию, тогда h m0c 2 pe2c 2 m0c 4 . h m0c 2 m0c 2 Следовательно pe 1 2 p 1 2 p , что противоc h h речит закону сохранения импульса. 7. Получить выражение, определяющее пороговую энергию -кванта для образования пары в поле покоящегося ядра массы М, если каждая частица пары имеет массу m. Решение Воспользуемся инвариантностью величины Е2-р2 и запишем ее в лабораторной и центра масс системах отсчета при пороговых значениях энергии и импульса -кванта: E por M E2 por M 2m , откуда 2 2 E por 2m 1 m / M , m — масса каждой частицы пары. Для рождения пары -мезонов Е por = 0,32 ГэВ. Ответ: E por 2m 1 m / M . 8. В результате неупругого столкновения релятивистской частицы с кинетической энергией Ek = m0c2 c такой же частицей, покоящейся относительно неподвижной системы отсчета, образуется составная частица. Найти массу покоя m’0 составной частицы. 49 Решение E 2 p 2c 2 E '2 p'2c 2 . До столкновения Е = Е1 + Е2 = Ек + Е0 + Е0 = = Ек После p1 2Е0, + 1 c р столкновения р1, = E ' E0' , p ' 0. р2 = Учитывая, 0. что 2E0 Ek Ek , 3E0 получим: 2 3E02 m0'2c 4 , m0 ' 6m0 . откуда Ответ: m0 ' 6m0 . 9. Заряженный пион, имеющий энергию Eπ = 420 МэВ, распадается на лету на мюон и нейтрино. Определить энергию мюона Eµ в лабораторной системе, если в системе покоя пиона мюон вылетел под углом 900 к направлению полета пиона. Ответ: Eµ= m2 c 4 m2 c 4 2m c 2 E 330 m c 2 (МэВ). 10. Отрицательный -мезон с энергией К = 50 МэВ распался на лету на мюон и нейтрино. Найти энергию нейтрино, вылетевшего под прямым углом к направлению движения -мезона. Ответ: E m2 m2 c 4 / 2 m c 2 K 22 (МэВ). 11. Определить в лабораторной системе отсчета минимальную и максимальную энергию электрона, образованного при распаде мюона с энергией 10,5 ГэВ. Решение Emin = mec2 0,5 (МэВ). Emax m 2c 4 E 10,5 (МэВ). 2 E 50 12. Свободный нейтрон распадается по схеме: n p e . Найти суммарную кинетическую энергию всех частиц, возникающих в процессе распада нейтрона. Кинетической энергией нейтрона и массой покоя антинейтрино пренебречь. Ответ: 0,78 МэВ. 13. Мюоны космических лучей образуются в основном в стратосфере Земли под действием первичного космического излучения. Оценить энергию мюона, достигающего поверхности Земли, если он образовался на высоте 40км. Потерями энергии мюона на ионизацию воздуха пренебречь. Ответ: Eµ=mµc2 E m c 2 H 6,4 (ГэВ). 0c 14. Среднее время жизни К+-мезонов 0 = 12,3 нс. Найти средний путь, проходимый К+-мезонами с кинетической энергией, которая в η = 1,2 раза превышает их энергию покоя. Ответ: l c 0 2 1 2 3,3 (м). 15. Мюон µ- пролетел в неподвижной системе отсчета от места своего рождения до точки распада l = 4,6 км. Найти собственное время жизни мюона, если скорость его движения υ = 0,99 с. Ответ: 0 l 1 v 2 / c 2 2,1 (мкс). v 1.5. Рассеянное фоновое излучение на поверхности Земли Космическое излучение является основным источником радиоактивного фона на поверхности Земли. Вторичное излучение, которое достигает уровня моря, состоит из мюонов, электронов и позитронов, пионов, нейтронов, протонов. Плотность потока заряженных частиц космического излучения на уровне Земли через сферу площадью сечения 1 см 2 равна 51 2,4110-2см-2с-1, а жесткой, в основном мюонной, компоненты после фильтрации через 15 см свинца — 1,68 10-2см-2с-1. Плотность потока вторичных нейтронов на уровне моря составляет: для медленных нейтронов Е0,4 эВ — 2,310-3см-2с-1 и для более быстрых (Е0,4 эВ) — 4,210-3см-2с-1. Интенсивность космического излучения независимо от земных факторов флуктуирует на несколько процентов и падает по мере погружения в толщу Земли или под водную поверхность. Основная часть космического излучения на уровне моря — мюоны — обладает высокой проникающей способностью, а мягкая компонента — электроны и гамма-излучение — снимается как атмосферой, так и защитой, но вновь воспроизводится под действием мюонов. Благодаря тому, что мюоны при энергиях 1012 эВ теряют энергию в основном на ионизацию атомов вещества, их пробег почти пропорционален энергии и достигает 1 км грунта. Мюоны существенно большей энергии поглощаются по экспоненциальному закону и проникают в грунт на глубину 3 – 5 км. Нейтрино, участвующие только в слабом взаимодействии, практически беспрепятственно проникают сквозь весь земной шар. Сильное поглощение в атмосфере ядерно-активной и электроннофотонной компонент и незначительная генерация мюонной компоненты первичными частицами с энергией < 10 ГэВ приводят к тому, что первичные протоны с энергией в несколько ГэВ практически не дают никакого вклада в интенсивность вторичного излучения на уровне моря. С этим связано очень малое влияние солнечных космических лучей на интенсивность космического излучения на малых высотах. Однако космическое излучение является не единственным источником радиоактивного фона на поверхности Земли. Свой вклад также вносят излучения радиоактивных газов и аэрозолей. Их присутствие в атмосфере обусловлено как процессами, происходящими в природе, так и деятельно52 стью человека. Соответственно различают естественную и искусственную радиоактивность. Естественный радиационный фон создается в основном - и излучениями природного радионуклида 40 К и радионуклидов уранового и ториевого радиоактивных рядов, содержащихся в почве, строительных материалах, в теле человека, а также космическим излучением. Естественные радиоактивные газы, изотопы 222 Rn — радон, 220 Rn — торон, 217Rn — актион, образуются вследствие радиоактивного распада U, Th, Ac и поступают в атмосферу с почвенным воздухом при обмене его с атмосферным или путем диффузии. Средняя активность радона составляет 10-10 кюри/л. Основная масса естественных радиоактивных изотопов, возникающих при взаимодействии космического излучения с ядрами атомов химических элементов воздуха (7Be, 10Be, 35S, 32P, 33P, 22Na, 14C, 3H), образуется в стратосфере, где и отмечаются наибольшие их концентрации. Перечень радиоактивных ядер, открытых в атмосфере и возникших под действием космического излучения, приведен в табл. 5. Помимо названий радиоактивных ядер, в таблице приведены также периоды их полураспада и тип процесса, в результате которого они образовались. Выход перечисленных в табл. 5 радиоактивных веществ, порожденных космическим излучением, чрезвычайно мал. В наибольшем количестве образуется 14С (около 1,8 ядра на 1 кг воздуха в 1 с), для других радиоактивных продуктов выход значительно меньше. Это соответствует годовой «выработке» во всем объеме земной атмосферы — около 6,8 кг изотопа 14С, 3.6 кг 32Р и еще меньшего количества 22Na. Их концентрация при этом чрезвычайно мала. Например, в дождевой воде в среднем содержится около 40 атомов 32Р на миллилитр, что соответствует атмосферной концентрации — около 10-21 см-3. При такой концентрации в литре дождевой воды происходит в среднем один радиоактивный распад в минуту. 53 Таблица 5 Радиоактивные изотопы Название ядра Период полураспада В каких процессах образуются 10 Be 2,7 млн. лет Реакция «скалывания» на 14N, 16O 14 C 5600 лет Реакция 14N(n,p)14C H 12,5 лет Реакция скалывания 14N, 16O 3 22 Na 2,5 лет Реакция скалывания 40А 35 S 87 суток То же Be 53 суток Реакция скалывания 14N, 16O 7 33 P 25 суток Реакция скалывания 40А 32 P 14 суток То же 39 Cl 1 час Захват мюона ядром 40А Детектирование радиоактивных продуктов в столь малой концентрации оказалось возможным лишь в результате значительного прогресса в технике измерений. Важнейшей из реакций активации является образование радиоуглерода из азота 147N. Образовавшийся в реакции 14 N + n 14C + p -радиоактивный углерод довольно быстро связывается с молекулой СО2, т. е. превращается в радиоактивный углекислый газ. Через 10 – 15 лет он полностью перемешивается с основной массой углекислого газа атмосферы. Через углекислый газ радиоуглерод попадает в растения, а оттуда — в живые организмы. Если считать, что поток космических лучей примерно постоянен во времени, то во всех органических тканях образуется строго постоянная равновесная концентрация изотопа 54 14 C, соответствующая при- мерно 15 распадам в минуту на один грамм углерода органического происхождения. Но эта равновесная концентрация начинает падать, как только прекращается обмен веществ. На этом основан метод датировки различных археологических предметов органического происхождения. Чем меньше концентрация радиоуглерода, тем больше возраст предмета. Этот метод позволяет определять возраст предметов, пролежавших в земле от 1000 до 50000 лет, с точностью до 100 лет. Результаты измерений возраста ряда египетских древностей оказались в хорошем согласии с достаточно надежными летописными данными, что не только подтвердило надежность методики, но и дало возможность сделать заключение о постоянстве потока космических лучей за последние пять тысяч лет. Изотоп 10Ве, период полураспада которого 2,7 млн лет, дает возможность устанавливать более далекие геологические даты, в частности возраст древних океанских отложений. 12,5-летний период полураспада трития делает этот изотоп весьма удобным при решении многих геофизических проблем, в частности при изучении вертикальной циркуляции в морях и океанах, быстроты обмена подземных вод, процесса обмена между океанскими водами и атмосферой. Техногенный радиационный фон обусловлен главным образом добычей и сжиганием каменного угля, нефти, газа, других горючих ископаемых, использованием фосфатных удобрений, добычей и переработкой неурановых руд, в процессе которых происходит перераспределение и концентрирование естественных радионуклидов. Вклад в техногенный радиационный фон дают также испытания ядерного оружия, ядерная энергетика. Ускорители частиц во время работы испускают гамма-излучение, рассеянные частицы другого сорта. Ядерные реакторы в нейтронных пучках испускают мощные потоки -квантов, причем отношение нейтронной и активности меняется в зависимости от мощности реактора. 55 Сейчас в результате деятельности атомной промышленности всегда есть вероятность встретиться со слегка радиоактивными материалами. Поэтому при изготовлении тяжелой и дорогой защиты и регистрирующего оборудования следует тщательно проверять идущие на их изготовление компоненты. Следует также проверять радиоактивность стекла, которое почти всегда содержит калий. При средней концентрации Ra и Th в дереве 0,2 – 0,5 Бк/кг, в природном гипсе и обычном бетоне от 1,5 до 10 Бк/кг выявлены строительные материалы с повышенной удельной активностью 1200 Бк/кг (Финляндия), 2600 Бк/кг (Швеция), 4600 Бк/кг (США). Коллективная эквивалентная доза за счет использования фосфогипса в жилищном строительстве достигает 3105 челЗв, за счет сжигания угля в жилых домах и при использовании угольной золы в строительных материалах — 4104 челЗв, при сжигании угля на электростанциях — 2103 челЗв (2105 челбэр). Полная ожидаемая доза за год не превышает 5105 челЗв, чему для населения соответствует средняя эквивалентная индивидуальная доза 100 мкЗв. В целом на поверхности Земли, в обычных зданиях, рассеянное фоновое излучение многокомпонентно, имеет сложные спектральные и прочие характеристики, зависящие от своего местоположения. Взаимодействие частиц излучения с объектами носит статистический характер, и поэтому для описания радиоактивного фона необходимо применять статистические методы, методы теории вероятностей. Вопросы и задачи 1. Какова вероятность, что нейтрино е с энергией 100 МэВ будет поглощено в веществе Земли при движении сквозь Землю через ее центр? 56 При оценках вероятности примите, что сечение поглощения нейтрино 10-39 см2. Радиус Земли R = 6,4103 км, масса m = 61027 г. Можно принять, что в Земле 50 % нейтронов и 50 % протонов. Решение Вероятность поглощения нейтрино нейтронами с энергией 100 МэВ равняется P 0,5 N A 2 R 3M N A 210-6 , 2 4 R где — плотность Земли; М — ее масса; R — радиус; NA — число Авогадро. Таким образом, нейтрино практически проходит сквозь Землю без поглощения. Для справки: Величина ионизационных потерь энергии Т для тяжелых заряженных частиц (при условии Е<<(M/me)Mc2), где М и me — массы тяжелой частицы и электрона, определяется соотношением 2 dT 2 5 Zz d 2 3,1 10 11,2 ln , эВ/см, 2 dx A 2 Z 1 где z — заряд частицы; =v/c (v — скорость частицы); Z, А — заряд и массовое число ядер вещества среды; d — плотность вещества среды в г/см3. 3. Описать механизм передачи энергии тяжелой заряженной частицы веществу. 4. Как зависят удельные ионизационные потери энергии тяжелых заряженных частиц от свойств среды, в которой они движутся? 57 5. Рассчитать отношение удельных ионизационных потерь протонов и -частиц с одинаковой кинетической энергией: 1) 1 МэВ; 2) 1 ГэВ. 6. Рассчитать отношение удельных ионизационных потерь для протонов с энергией 10 МэВ в углероде и свинце. 7. Определить удельные ионизационные потери протонов в алюминии, если их кинетическая энергия равна 1) 1 МэВ; 2) 10 МэВ; 3) 100 МэВ; 4) 1 ГэВ. Для справки: Удельные ионизационные потери энергии электронов определяются соотношением dT dx ion 2T 7,25 ln 2 2 1 2 1 2 ln 2 2 Zd Z (1 ) , эВ/см, 1,5 105 2 2 A 1 2 2 1 8 1 1 где =v/c (v — скорость частицы); Z,A — заряд и массовое число ядер вещества среды; d — плотность вещества среды в г/см3; величина энергии Т в правой части формулы выражена в эВ. 8. В чем различие механизмов потерь энергии при прохождении тяжелой и легкой заряженных частиц через вещество? 9. Определить энергию электронов на входе в свинцовую пластину толщиной 0,1 см, если на ее выходе энергия электронов равна 3 МэВ. 10. Оценить отношение удельных ионизационных потерь в железе для протонов и электронов с энергией: 1) 10 МэВ; 2) 100 МэВ; 3) 1 ГэВ. 11. Электроны и протоны с энергией 100 МэВ падают на алюминиевую пластинку толщиной 5 мм. Определить энергии электронов и протонов на выходе пластинки. 58 Глава 2. Вероятности распределения случайных событий 2.1. Регистрация естественного радиоактивного фона Земли Блок-схема установки для регистрации естественного радиоактивного фона Земли представлена на рис. 12. ГС У ПУ R ИП + – Рис. 12. Блок-схема экспериментальной установки Частица (электрон, -частица и т. д.), попадая в счетчик Гейгера – Мюллера ГС, вызывает в нем ионизацию газа. Под действием сильного электрического поля, создаваемого большой разностью потенциалов от источника ИП, развивается газовый разряд, проходит ток, и на сопротивлении R формируется электрический импульс. Импульсы от счетчика ГС поступают в электронный усилитель У, а затем в пересчетное устройство ПУ. При наблюдении работы счетчика мы замечаем, что появление импульсов носит явно случайный характер, т.е. регистрация частицы – это случайное событие (которое мы обозначим ω. Случайность обусловлена тем, что траектории частиц распределены в пространстве случайным образом и частица может попасть в счетчик лишь с некоторой вероятностью 59 Pчастицы. В то же время счетчик срабатывает при попадании частицы с вероятностью Рсчет, так как не всегда частица вызывает тот уровень ионизации, который достаточен для образования разряда. Таким образом, вероятность регистрации частицы в некоторый момент времени будет P Рчаст. Pсчет p, (3) то есть определяется и вероятностью попадания частицы в счетчик, и вероятностью срабатывания счетчика. Случайное событие «отсутствие регистрации частицы» обозначим , а его вероятность — q P . Заметим, что ω и — статистически независимые события. В соответствии с положениями теории вероятностей, элементарные случайные события ω и образуют полное пространство событий , , так что P P P p q 1. (4) При исследовании естественного радиоактивного фона Земли с помощью указанной установки мы регистрируем число частиц n за выбранный интервал времени t. Ясно, что число n зависит от длительности интервала времени наблюдения t и является случайной величиной, то есть в экспериментах с одинаковыми временами наблюдения t мы будем регистрировать разное число частиц n (n= 0, 1, 2, …, ). Для описания экспериментов необходимо ввести вероятность P(n, t ) регистрации счетчиком n частиц за интервал времени наблюдения t. В течение выбранного интервала времени наблюдения t обязательно реализуется одно из значений числа n, то есть случайные события регистрации n=0, 1, 2, … частиц, являясь независимыми, образуют полный набор, поэтому для распределения вероятности P(n, t ) должно всегда выполняться условие нормировки P(n, t ) 1. n 0 60 (5) Заметим, что lim P(n, t ) 0, n0 то есть вероятность не зарегистрировать ни одной частицы мала, и lim P(n, t ) 0, так как зарегистрировать бесконечно n большое число частиц невозможно. В связи с тем что случайные числа n зарегистрированных частиц за определенный интервал времени t неоднозначно характеризуют поток этих частиц, вводится среднее число зарегистрированных частиц потока n за интервал времени t: n nP n, t . (6) n 0 Ясно, что число частиц n, зарегистрированных за интервал времени t, не совпадает с их средним значением n за этот же интервал (за исключением, быть может, единичных случаев). Отклонение зарегистрированного числа частиц n от их среднего числа n за определенный интервал времени наблюдения t называется флуктуацией числа частиц в исследуемом потоке радиоактивного фона. Для характеристики флуктуаций частиц вводится дисперсия D(n) случайных чисел n: D(n) (n n ) 2 (n n ) 2 P(n, t ). n0 (7) Дисперсию D(n) на основании данного определения можно представить в форме, которая более удобна для ее вычисления в ряде задач, 2 D ( n) n 2 n . (8) Важной характеристикой степени разброса случайных чисел n около среднего значения n является среднеквадратичное отклонение (n) случайных величин n от среднего значения n : (n) D(n). 61 (9) Поток заряженных частиц естественного радиоактивного фона у поверхности Земли мы будем описывать функцией распределения вероятности P(n, t ) регистрации n частиц за выбранный интервал времени наблюдения t и соответствующими этому распределению средним числом частиц n , дисперсией D(n) и среднеквадратичным уклонением (n). Явный вид функции вероятности Р(n, t ) можно построить, исходя из моделей потока заряженных частиц, регистрации частиц счетчиком и принципов теории вероятностей. 2.2. Распределение Бернулли (биноминальное распределение) Для получения явного вида функции распределения P(n, t ) конкретизируем модель регистрации установкой n частиц за произвольный интервал времени t. Разобьем интервал t на N более мелких одинаковых интервалов ti : t ti , N N t i 1 i t , (10) так что в каждом интервале ti может произойти (или не произойти) лишь одно случайное событие ω — регистрация одной частицы с вероятностью р (случайное событие «отсутствие регистрации хотя бы одной частицы» обозначается индексом , его вероятность — q ). Случайные события ω и являются независимыми и образуют полную систему событий, то есть P( ) p q 1. (11) Выполнить такое разбиение можно, потому что естественный радиоактивный фон представляет собой весьма разреженный поток частиц. 62 На основании предложенной модели можно доказать, что вероятность P (n, N ) регистрации счетчиком n частиц за интервал времени t Nt i определяется выражением P n, N CNn p n q N n N! p n q N n , n! N n ! (12) где CNn N! n!( N n)! (13) есть число сочетаний из N элементов по n. Данная функция P(n, N ) для вероятности регистрации n частиц за интервал времени t N ti называется распределением Бернулли. Распределение удовлетворяет условию нормировки N N P n, N C n 0 n 0 n N p n q N n p q 1, N (14) т. к. p + q = 1. Из этой формулы видно, что P n, N является n–м членом разложения бинома p q N , поэтому распределение P n, N часто называют биномиальным. Докажем справедливость выражения (12) для P(n, N ) . 38H38H38H38H38H В предложенной модели нетрудно выделить систему некоторого числа случайных событий (пронумеруем их индексом k), каждое из которых соответствует регистрации установкой n частиц за интервал времени t N ti . Эти случайные события Аk(n,N) являются функциями элемен- тарных случайных событий i и i . Построим данные случайные события для случая N = 3, n = 2. Результаты построения представим в таблице 6. 63 Таблица 6 Случайные события и их вероятности Порядок появления № Структура слу- случайных событий во временных интерва- Вероятность случайного со- чайного собы- бытия Аk(2,3): тия лах P(Аk(2,3)) Аk(2,3) t1, t2, t3 А1(2,3) 1 2 3 1 2 3 P(1 ) P(2 ) P(3 ) p 2q А2(2,3) 1 2 3 1 2 3 P(1 ) P(2 ) P(3 ) p 2q А3(2,3) 1 2 3 1 2 3 P(1 ) P(2 ) P(3 ) p 2q Очевидно, число случайных событий, которые соответствуют регистрации 2 частиц, равно числу способов, которыми можно выбрать 2 элемента из 3, т.е. C32 3! . 2! 3 2 ! (15) Примечательно то, что все три случайных события являются статистически независимыми, приводят к регистрации установкой двух частиц с одинаковой вероятностью p2q и поэтому с точки зрения эксперимента эквивалентны (неразличимы). Учитывая данное обстоятельство, можно утверждать, что вероятность Р(2, 3) регистрации прибором 2 частиц за интервал времени t 3t 3 есть вероятность осуществления одного из событий: А1(2,3), А2(2,3), А3(2,3), то есть P 2,3 P A1 3 A2 A3 P Ak . k 1 Так как P A1 P A2 P A3 p 2q, то (16) принимает вид 39H39H39H39H3 9H 64 (16) P 2,3 C32 p 2 q 3! p 2 q. 2! 3 2 ! (17) Ясно, что данная схема без принципиальных трудностей обобщается для нахождения вероятности регистрации прибором n частиц, когда N произвольное. В этом случае каждое случайное событие Аk(n,N), соответствующее регистрации установкой n частиц за интервал времени t Nt i , является произведением n элементарных случайных событий ω и (N – n) n событий . Например, A1 (n, N ) i i 1 N i и т.д. Число этих случайных со- i n 1 бытий — CNn N! . n! N n ! (18) Все они отличаются порядком следования элементарных событий i , i в их произведении. Вероятности этих случайных событий одинаковы P A1 P Ak p n q N n , (19) в этом смысле события эквивалентны. Таким образом, вероятность регистрации n частиц за интервал времени t Nt i будет определяться вероятностью суммы всех случайных событий Аk : P n, N P A1 CNn Ak P Ak (n, N ) . (20) k 1 С учетом (18), (19) и (20) получаем распределение Бернулли (12). 40H40H40H4 0H40H 41H41H41H41H41H 42H42H42H42H42H 43H43H43H 43H43H Найдем теперь среднее значение n числа частиц, регистрируемых за интервал времени N ti , и дисперсию D(n). С этой целью вычислим момент k-го порядка случайного числа n, то есть n k : 65 N n N n PN n C Nn n k p n q N n k k n 0 p p n 0 p p N C p q n 0 n N n N n p p k p q . N (21) k раз После того как оператор p применен k раз, нужно учесть в полученном p результате, что p + q = 1. На основании формулы (7.12) находим: n p n 2 N N 1 p q pN p q pN , p p p 2 p q N pN 1 p N 1 , (22) (23) и, следовательно, дисперсия определяется выражением D(n) n2 n Npq, 2 (24) а среднеквадратичное отклонение имеет вид (n) Npq . (25) Из формулы (25) видно, что среднеквадратичное отклонение растет с 44H44H44H44H44H увеличением N, т.е. растут флуктуации наблюдаемой величины n. Однако относительное среднее отклонение n n ( n) с ростом N убывает, так как n q . pN (26) Найдем значение nm, при котором вероятность Pn, N максимальна, т. е. наивероятнейшее значение n. Из условия PN nm 1 PN nm , PN nm PN nm 1 66 (27) нетрудно получить, что N 1 p 1 nm N 1 p. (28) Если Np 1, то nm Np, т.е. совпадает со средним значением n . На рис. 13 представлены графики распределений Бернулли для разных значений параметров. График черного цвета представляет распределение Бернулли для значений параметров p = 0.1, q = 0.9, N = 10. График серого цвета — p = 0.4, q = 0.6, N = 10. 0,45 Распределение Бернулли 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n p=0,4; q=0,6; N=10; p=0,1; q=0,9; N=10 Рис. 13. Распределение Бернулли Полученное распределение Бернулли описывает эксперимент по регистрации естественного радиоактивного фона Земли. Однако на практике его применение неудобно, т. к. в него входит два параметра N и p, которые нам неизвестны, более того, мы не имеем определенных рецептов для конкретизации N. Это обстоятельство заставляет искать более удобную для практических расчетов функцию распределения. 67 2.3. Распределение Пуассона В экспериментах по изучению естественного радиоактивного фона Земли измерения проводятся в течение конечного, достаточно большого интервала времени t, так что число N в распределении Бернулли велико. В то же время вероятность р элементарного события ω столь мала, что среднее значение числа регистрируемых частиц n Np является конечной величиной. При этих условиях распределение Бернулли удобно аппроксимировать распределением вероятности Пуассона: Pn n n n! e n . (29) Докажем, что n lim P(n, N ) lim C p q N N n N n N n n n e n! (30) при условии, что n Np является конечной величиной. Для доказательства вычислим n 1 1 P n, N Np n 1 p Np N . P n 1, N nq n 1 p Учтем, что Np n , тогда n 1 n 1 N P(n 1, N ). P(n, N ) n n 1 N Так как n, n — фиксированные числа, то при N имеем рекуррентную формулу 68 n Pn n Pn 1 для любого числа n. Из распределения Бернулли находим вероятность не зарегистрировать ни одной частицы за интервал времени t Nt i : P n 0, N q N 1 p . N (31) Используя выражение (31), находим вероятность P(0) не зарегистриро45H45H45H45H45H вать ни одной частицы за достаточно большой интервал времени, когда N достаточно велико N lim P(n 0, N ) lim 1 p N N N n n lim 1 e P 0, N N где мы положили, как и в распределении Бернулли, Np n . Зная явный вид P(0) , по рекуррентной формуле находим: P 1 n n n P 0 e , 1 1 2 n n n P 2 P 1 e , 2 1 2 n n n n P n P n 1 e . n n! Таким образом, предельный переход от распределения Бернулли к распределению Пуассона доказан. Рассмотрим основные свойства распределения Пуассона. 1. Распределение нормировано: n 0 n 0 P n n n n n e e n! 69 n 0 n n n n e e 1. n! 2. Среднее значение числа частиц совпадает со средним значением, вычисленным по распределению Бернулли: n nP n n n 0 ( Np)e n 0 ( Np ) ( Np ) e ( Np)n ( Np ) ( Np) n1 e Npe ( Np ) n! n 1 ! n 1 Np. 3. Среднеквадратичное отклонение числа частиц D(n) выражается через n т.е. D ( n) n 2 n n . 2 Это следует из того, что n n 2 n n n e n n ! n 0 2 n 1 n n e n 1 1 n 1! n 1 n 1 n 1 n n n n n n 1 e e n 1! n 1 n 1! n1 2 n n 1 n n . Распределение Пуассона удобно для практической работы, т.к. оно зависит от одного параметра n , который сравнительно легко определяется из опытных данных. Графики функций распределения Пуассона для разных значений n представлены на рис. 14. График, изображенный черным цветом, представляет распределение Пуассона для < n > = 3. График, изображенный серым цветом — распределение Пуассона для < n > = 12. 70 Рспределение Пуассона 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 n <n>=3 <n>=12 Рис. 14. Распределение Пуассона 2.4. Распределение Лапласа При регистрации естественного радиоактивного фона Земли можно столь значительно увеличить интервал времени наблюдения N , что возможна регистрация десятков частиц. При этом вероятность p имеет пусть малое, но определенное отличное от нуля значение, а n Np, т. е. растет с ростом N. При этих условиях распределение Бернулли переходит в распределение Лапласа: PЛ n, N 1 e 2 Npq n pN 2 2 Npq . Этот переход называется локальной предельной теоремой, доказанной Муавром (1730 г.) для p = ½, а затем Лапласом для любого p ( конечно, условие p + q =1 обязательно выполняется). 71 Локальная теорема Муавра − Лапласа утверждает следующее: Если вероятность p постоянна, отлична от 0 и 1, то 2 n N n lim C p q N N n x n 1 e 2, 2 Npq где xn n pN , Npq (32) равномерно для всех n, при которых xn находится в конечном интервале, т.е. xn M , где M — некоторое положительное число. Доказательство теоремы опирается на формулу Стирлинга N ! 2 N N N e N eS , в которой остаточный показатель S удовлетворяет неравенству S 1 . 12 N Формулу (32) перепишем в виде 46H46H 46H46H4 6H n Np xn Npq или n N Nq xn Npq . Последние два равенства позволяют нам заключить, что если xn остается ограниченным какими-то постоянными числами a и b, то как n, так и N n стремятся к бесконечности при N . Применяя формулу Стирлинга, представим распределение Бернулли в виде P(n, N ) N N N p n q N n e , 2 n N n nn N n N n где N n N n . В силу оценки имеем: 72 (33) 11 1 1 . 12 N n N n Если a xn b, то соответствующие значения n и N n удовлетворяют неравенствам q n Np a Npq Np 1 a , Np p N n nq b Npq Nq 1 b , Nq и для всех указанных n и N n имеет место оценка 1 1 1 . 1 12N pq pq pa q b N N (34) Отсюда видно, что, каков бы ни был интервал a, b , величина равномерно относительно xn в этом интервале стремится к нулю при N . Следовательно, множитель e при тех же условиях равномерно стремится к единице, так что выражение 47H47H47H47H47H (33) для распределения можно представить в виде P(n, N ) N A(n, N ), 2 n( N n) (35) где A(n, N ) N N p n q N n nn N n N n . Оценим функцию A(n,N) при больших значениях N. С этой целью рассмотрим логарифм этой функции: 73 ln A(n, N ) n ln Np xn n N n N n ln Np Nq q p Npq ln 1 xn Nq xn Npq ln 1 xn . Np Nq (36) В условиях теоремы величины xn q p , xn Np Nq при достаточно больших N могут быть сделаны сколь угодно малыми, поэтому мы можем разложить в степенной ряд функции q p ln 1 xn , ln 1 xn Np Nq и ограничиться двумя первыми членами разложения, так что: q q 1 qxn2 1 ln 1 xn O 3 2 , xn Np Np 2 Np N p p 1 pxn2 1 ln 1 xn O 3 2 , xn Nq Nq 2 Nq N 1 где оценки остаточных членов O 3 2 N (37) равномерны в любом конечном интервале изменения xn. Подставляя выражения (37) в формулу (36), получим 48H48H48H48H48H ln A(n, N ) Np xn Nq xn Npq xn 49H49H4 9H49H49H q 1 qxn2 1 Npq xn O 3 2 Np 2 Np N p 1 pxn2 xn2 1 1 O 3 2 O . Nq 2 Nq 2 N n Таким образом, равномерно относительно xn в любом конечном отрезке a xn b имеет место соотношение 74 A(n, N ) N N p n q N n nn N n N n e xn2 2 e 1 O n (38) . В формуле (35) осталось оценить выражение 50H50H5 0H50H50H 1 N n N n 2 1 1 . Npq q p 1 xn 1 xn Np Nq В условиях теоремы второй множитель правой части этого равенства при N стремится к единице, причем равномерно в каждом конечном ин- тервале изменения xn, т. е. справедливо соотношение N n N n Учитывая 51H51H51H51H51H (34), 52H52H52H52H52H (38), 53H53H53H53H53H 1 1 1 O . Npq N (39) (39), распределение Бернулли можно запи- сать в виде 2 1 N x 1 1 2n O P n, N 1 O e e 2 Npq N e 1 O N , откуда следует, что 2 x n 1 lim P n, N e 2 PЛ (n, N ). N 2 Npq Теорема доказана. Распределение Лапласа нормировано: n 1 e 2 Npq n Np 2 2 Npq 1. (40) Среднее значение и дисперсия случайной величины n имеют такое же выражение, как и у распределения Бернулли: 75 n n n 1 e 2 Npq n n D ( n) n 2 n Np 2 Np, 2 Npq 1 e 2 Npq n Np 2 Npq. 2 Npq Для примера, вычислим D(n) по формуле 56H56H56H56H 56H (41) 5 4H54H54H54H5 4H (42), используя (42) 55H55H 55H55H55H (40) и (41): D ( n) n Np 2 n n 1 e 2 Npq n Np 2 2 Npq 1 2 e 2 Npq 2 Npq 2 Npq 2 Npq n Np 2 2 Npq 2 12 2 Npq Npq. 2 Npq 2 Npq С учетом формул (41), (42) распределение Лапласа можно записать 5 7H57H57H5 7H57H 58H58H58H58H58H в виде PЛ (n) 1 e 2 n n 2 2 2 , (43) где Npq — среднеквадратичное уклонение. Примеры графиков распределения Лапласа для разных значений приведены на рис. 15. Как уже неоднократно упоминалось, при регистрации счетчиком Гейгера – Мюллера естественного радиоактивного фона Земли вероятность p элементарного события ω чрезвычайно мала, поэтому q 1 p 1. Учитывая данное обстоятельство, распределение Лапласа можно упростить. Так как N2 Npq Np n , то 76 PЛ (n, N ) 1 2 n e n n 2 2n . 0,14 РаспределениеЛапласа 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 n p=0,4; q=0,6; N=100; p=0,1; q=0,9; N=100 Рис. 15. Распределение Лапласа 2.5. Распределение Гаусса Особенность применения распределения Лапласа обуславливается дискретностью изменения переменной n и вычислением бесконечных сумм, например, в формулах 59H59H59H59H 59H (40), 60H60H60H60H60H (41). Эта трудность преодолевается путем перехода к распределению с непрерывно меняющейся переменной с помощью интегральной предельной теоремы Муавра – Лапласа. Теорема. Равномерно относительно a и b ( a b ) при N имеет место соотношение 77 b x n Np 1 lim P a b e 2 dx P a, b , N Npq 2 a 2 где 0 p 1, x b n n Np 1 n Np P a b e 2 , xn Npq Npq xn a 2 Npq 2 — вероятность обнаружить случайную величину в интервале (a, b). Доказательство теоремы представлено в учебниках по теории вероятностей (см. список литературы). Это распределение вероятностей называют нормальным или распределением Гаусса. Вероятность обнаружить непрерывную случайную величину x в бесконечно малом интервале x x x, согласно теореме, представляется в виде P x, x x x x x 2 2 1 x2 1 x2 e dx e x. 2 2 Соответственно, функция P x, x x 1 x2 f x e x 2 2 (44) называется плотностью вероятности распределения Гаусса (нормального распределения). Она нормирована: 2 1 x2 e dx 1. 2 Закон (44) записан для центрированной случайной величины x, у ко61H61H61H61H61H торой среднее значение равно нулю x 2 x x2 e dx 0, 2 а дисперсия равна единице 78 x 2 x 2 2 x 2 x2 e dx 1. 2 Можно записать плотность вероятности распределения Гаусса для случайной величины x с заданным средним значением x a 0 и дисперсией x x 2 x2 : 1 e 2 x f x x a 2 2 x2 . График плотности вероятности распределения Гаусса представлен на рис. 16. <x>=10 Рис. 16. Распределение Гаусса Путем вычислений можно найти: 1) нормировку 1 e 2 x x a 2 79 2 x2 dx 1; 2) среднее значение случайной величины x x x 2 x e x a 2 2 x2 dx a, которое совпадает с наиболее вероятным ее значением xвер x a ; 3) дисперсию случайной величины D( x) x a x a 2 2 2 x e x a 2 2 x2 dx x2 . В заключении необходимо отметить, что распределения Бернулли, Пуассона, Лапласа, Гаусса рассмотрены применительно к описанию вероятностной модели регистрации частиц естественного радиоактивного фона Земли. Однако их значение шире, существует большое количество вероятностных моделей описания процессов не только в физике, но и в химии, биологии, технике, где используются перечисленные распределения. Вопросы и задачи 1. При измерении активности некоторого препарата счетчик дает в среднем 6 имп/мин. Найти с помощью функции распределения Пуассона вероятность того, что скорость счета будет находиться в интервале от 9 до 11 имп/мин. Ответ: приблизительно 8 %. 2. Предполагается провести 2000 измерений активности препарата в течение одинаковых промежутков времени. Среднее число импульсов за время каждого измерения равно 10. Считая время проведения всех измерений малым по сравнению с периодом полураспада исследуемого радиоизотопа, определить число измерений, в которых следует ожидать точно 10 и 5 импульсов. Ответ: 250 и 76. 80 3. Среднее значение скорости счета импульсов от исследуемого радиоизотопа с большим периодом полураспада составляет 100 имп/мин. Определить вероятность получения 105 имп/мин и вероятность того, что абсолютное отклонение от среднего числа будет больше 5 имп/мин. Решение С помощью распределения Гаусса находим для 0 = 5 имп/мин и 100 p(0) = 3,52 %: p 0 2 2 p( )d 1 2 0 / e x / 2dx 61,7 (%). 2 0 4. Вычислить вероятность получения абсолютной ошибки измерения, превосходящей: а) и б) 2, где — среднеквадратичная ошибка. Ответ: а) 31,7 %; б) 4,55 %. 5. Определить полное число импульсов, необходимое для обеспечения точности измерения, характеризуемой: среднеквадратичной ошибкой в 1 и 10 %. Ответ: 104 и 102. 6. Найти среднеквадратичную ошибку в скорости счета (имп/мин), если известно, что при измерении счетчик зарегистрировал 3600 импульсов за 10 мин. Ответ: 6 имп/мин, т. е. 1,67 %. 81 Глава 3. Экспериментальные исследования естественного радиоактивного фона у поверхности Земли 3.1. Подготовка экспериментальной установки к работе. Меры безопасности Экспериментальная установка для регистрации заряженных частиц естественного радиоактивного фона Земли состоит из четырех блоков: 1) индикатор ионизирующих частиц, основным элементом которого является счетчик Гейгера – Мюллера; 2) источник постоянного напряжения, обеспечивающий работу блока индикатора ионизирующих частиц; 3) пересчетное устройство (ведет счет зарегистрированных счетчиком частиц); 4) измеритель интервалов времени между импульсами. Источник постоянного напряжения Индикатор ионизирующих частиц Измеритель интервалов времени Пересчетное устройство Рис. 17. Блок-схема экспериментальной установки Конструктивно эти блоки могут быть выполнены в различных вариантах. При подготовке установки к измерениям необходимо тщательно изучить описание приборов, представленных в лаборатории, инструкции по их эксплуатации. 82 Подготовка экспериментальной установки к работе Внимательно проверить заземление блоков. Разрешается работать только в случае надежного заземления приборов. Проверить соединительные провода между блоками (надежность контактов, отсутствие оголенных проводов и т. д.). Подключить источник постоянного напряжения, пересчетное устройство и блок измерения времени к сети напряжением 220 В. Категорически запрещается проводить какие-либо манипуляции с блоками, монтаж установки и какие-либо изменения в схеме при включенных источнике питания и пересчетном устройстве. С индикатором ионизирующих частиц следует всегда обращаться осторожно, предохраняя его от ударов и механических повреждений. Установить нули на шкалах пересчетного устройства, выбрать режим его работы. Подготовить секундомер для регистрации времени. 3.2. Экспериментальные исследования Упражнение 1 Задание Провести статистический анализ распределения числа частиц, регистрируемых счетчиком при измерении естественного радиоактивного фона Земли. Проверить линейную зависимость среднего числа частиц n , регистрируемых счетчиком, от времени наблюдения. В условиях нашего эксперимента число срабатываний счетчика подчиняется распределению Пуассона (рис. 18) n n n P ( n) e . n! 83 В данном упражнении выполняется оценка параметров распределения Пуассона, предусмотрено проведение расчетов в среде Microsoft Excel. Рассчитываются следующие величины: 1) среднее количество отсчетов n 1 N ni , N i 1 где N — количество измерений в одной серии; 1 N 2) дисперсия D ni n N i 1 2 ; 2 3) стандартное отклонение D ; n ni n 4) массив P(ni) значений распределения Пуассона P(ni ) e . ni ! Затем строятся экспериментальная гистограмма и теоретическая кривая для распределения Пуассона. <n > = 0.5 0,7 0,6 0,25 0,5 P <n > = 2 0,3 0,2 0,4 P 0,3 0,15 0,2 0,1 0,1 0,05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 0 1 2 3 4 n <n > = 6 0,18 0,16 0,14 0,12 P 5 n 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 n Рис. 18. Примеры распределения Пуассона для разных значений n 84 6 7 8 9 10 Выполнение эксперимента 1. Провести четыре серии по сто измерений срабатываний счетчика с интервалами однократного измерения 5 с, 10 с, 15 с и 20 с соответственно (всего 400 измерений). 2. Первая серия измерений: Включить одновременно секундомер и тумблер "счет" пересчетного устройства. Пересчетное устройство начнет счет регистрируемых частиц. Через 5 с выключить пересчетное устройство, снять показания на шкалах. Показание пересчетного устройства записать в рабочую тетрадь. Сбросить показания. Измерения повторить 100 раз. 3. Аналогично провести еще три серии по 100 измерений с интервалами однократного измерения 10 с, 15 с и 20 с. 4. После окончания измерений приборы установки отключить от сети. Обработка и оформление результатов в среде OpenOffice.org Calc 1. Заполнить 4 таблицы (по одной на каждую серию измерений) Порядок заполнения электронной таблицы 1) В ячейки с A2 по D26 в любом порядке внести экспериментальные данные (количество отсчётов прибора в каждом акте измерения). 2) В ячейку N24 внести номер выполненной серии измерений срабатываний счётчика. В ячейку N25 внести время однократного измерения. 3) В ячейку E2 внести формулу для вычисления среднего количества отсчётов = AVERAGE(A2:D26). 85 4) В ячейку F2 внести формулу для вычисления дисперсии = VAR(A2:D26). 5) В ячейку G2 внести формулу для вычисления стандартного отклонения = STDEV(A2:D26). 6) В ячейку H2 внести формулу для вычисления относительной ошибки = G2/E2. 7) В ячейку I2 внести формулу = MIN(A2:D26). 8) В ячейку J2 внести формулу = MAX(A2:D26). 9) В ячейку K2 внести количество измерений в серии. 10) Диапазон имеющихся значений ni (от 0 до максимального) разбиваем на некоторое произвольное число равных интервалов группировки ni, (удобно взять ni 1 ): в ячейку L2 внести минимальное значение из имеющегося диапазона полученных экспериментальных данных (число в ячейке I2); в ячейку L3 внести значение на единицу больше, чем в ячейке L2; выделить курсором ячейки L2 и L3; в правом нижнем углу выделенной области появится маркер, при наведении на который курсор примет вид чёрного крестика. Удерживая курсором маркер, заполнить ячейки ниже в столбце L до нужного значения — максимального значения из имеющегося диапазона экспериментальных данных (число в ячейке J2). 11) В ячейку M2 внести формулу для подсчёта групповой частоты = COUNTIF($A$2:$D$26;L2)/$K$2. Выделить ячейку M2 и, используя маркер в правом нижнем углу выделенной области, скопировать формулу так, чтобы каждому значению в столбце L соответствовала групповая частота в столбце M. 12) В ячейку N2 внести формулу для расчета распределения Пуассона = ($E$2^L2*EXP(-$E$2))/FACT(L2). Скопировать эту формулу в столбце N для каждого значения в столбце L (аналогично п. 5). 86 13) В построенной таблице выделить столбец групповых частот и столбец значений распределения Пуассона. 14) Вызовите Мастера диаграмм кнопкой Мастер диаграмм из панели инструментов или командой Вставка/Диаграмма (рис. 18). 15) В первом диалоговом окне выбрать тип диаграммы Гистограмма. Рис. 18. Выбор типа диаграммы 16) Щёлкнуть по кнопке Далее и использовать возможности программы для оформления графиков. Обработка и оформление результатов в среде Microsoft Excel 1. Заполнить 4 таблицы (по одной на каждую серию измерений). Порядок заполнения электронной таблицы 1) В ячейки с A2 по D26 в любом порядке внести экспериментальные данные (количество отсчётов прибора в каждом акте измерения). 87 2) В ячейку N24 внести номер выполненной серии измерений срабатываний счётчика. В ячейку N25 внести время однократного измерения. 3) В ячейку E2 внести формулу для вычисления среднего количества отсчётов = СРЗНАЧ(A2:D26). 4) В ячейку F2 внести формулу для вычисления дисперсии = ДИСП(A2:D26). 5) В ячейку G2 внести формулу для вычисления стандартного отклонения = СТАНДОТКЛОН(A2:D26). 6) В ячейку H2 внести формулу для вычисления относительной ошибки = G2/E2. 7) В ячейку I2 внести формулу = МИН(A2:D26). 8) В ячейку J2 внести формулу = МАКС(A2:D26). 9) В ячейку K2 внести количество измерений в серии. 10) Диапазон имеющихся значений ni (от 0 до максимального) разбить на некоторое произвольное число равных интервалов группировки ni, (удобно взять ni 1 ): в ячейку L2 внести минимальное значение из имеющегося диапазона полученных экспериментальных данных (число в ячейке I2); в ячейку L3 внести значение на единицу больше, чем в ячейке L2; выделить курсором ячейки L2 и L3; в правом нижнем углу выделенной области появится маркер, при наведении на который курсор примет вид чёрного крестика. Удерживая курсором маркер, заполнить ячейки ниже в столбце L до нужного значения — максимального значения из имеющегося диапазона экспериментальных данных (число в ячейке J2). 11) В ячейку M2 внести формулу для подсчёта групповой частоты = СЧЁТЕСЛИ($A$2:$D$26;L2)/$K$2. Выделить ячейку M2 и, используя маркер в правом нижнем углу выделенной области, скопи88 ровать формулу так, чтобы каждому значению в столбце L соответствовала групповая частота в столбце M. 12) В ячейку N2 внести формулу для расчета распределения Пуассона = ($E$2^L2*EXP(-$E$2))/ФАКТР(L2). Скопировать эту формулу в столбце N для каждого значения в столбце L (аналогично п. 5). 13) В построенной таблице выделите столбец групповых частот и столбец значений распределения Пуассона. 14) Вызовите Мастера диаграмм кнопкой Мастер диаграмм из панели инструментов или командой Вставка/Диаграмма (рис. 19). 15) В первом диалоговом окне выбрать тип диаграммы Гистограмма. 16) Щёлкните по кнопке Далее и используйте возможности программы для оформления графиков (рис. 20). Рис. 19. Выбор типа диаграммы 89 90 Рис. 20. Пример заполнения таблицы в Упражнении 1 2. Проверить линейную зависимость величины n от времени наблюдения. Начертить график n t . Очевидно, справедлива следующая цепочка равенств: t p n pN p t p t. Для экспериментальной проверки данного соотношения постройте график n t , где n — среднее число частиц в каждой серии опытов (его величину возьмите из построенных таблиц); t — время наблюдения в соответствующей серии (рис. 21). Постройте линейную регрессию экспериментальных точек. Рис. 21. Пример построения графика n t Упражнение 2 Задание Определить экспериментально среднее время между регистрациями частиц и функцию распределения интервалов времени между соседними регистрациями. 91 Так как события регистрации частиц случайны, то и интервалы времени между этими событиями будут случайными величинами. Найдем плотность вероятности распределения для данных интервалов времени t. Пусть для определенности отсчет начинается от некоторого события регистрации частицы. Заметим, что вероятность W t t осуществления двух независимых событий — того, что интервал 0,t пустой и что в интервале t , t t произойдет регистрация одной частицы, — равна произведению вероятностей этих событий, т. е. W t t Q 0, t P t , t t . Здесь Q 0, t — вероятность того, что интервал 0,t пустой; P t , t t — вероятность регистрации одной частицы в интервале t , t t . Разобьем ось t на малые интервалы длины , и пусть N таких интервалов содержится в 0, t , и t N , и N — в t , t N . Вероятность Q 0, t пустого интервала 0,t имеет вид Q 0, t q 1 p 1 n1 N N N N nt 1 1 , N где q 1 p — вероятность того, что в интервале t регистрация чаN стицы не произойдет. Так как среднее число частиц, регистрируемое в интервале времени t , будет n t pN p t то p n t t 92 n1 . , Здесь n1 — среднее число частиц, регистрируемых в единицу времени; p — вероятность регистрации частицы в интервале . В пределе имеем N nt Q 0, t lim 1 1 e n1t . N N Вероятность регистрации частицы в интервале t , t t равна P t , t t 1 q N . Выведем эту формулу. Вероятность регистрации n частиц в этом интервале определятся распределением Бернулли PN n CnN p n q N n . Вероятность регистрации в данном интервале или одной, или двух… или N частиц по правилу сложения вероятностей дается формулой N N n 1 n 0 PN 1 PN n PN n PN 0 1 PN 0 1 q N . Итак, вероятность P t , t t можно представить P t , t t 1 q N 1 1 p N t 1 1 n1 nt 1 1 1 N t N t . В пределе получим N t t n t 1 P t , t t lim 1 1 1 e n1t . N N Так как t 0, то P t , t t n1t , W t t Q P n1e n1 t t. Получаем W t n1e n1 t . Используя полученную функцию распределения W t , можно вычислить среднее время молчания счетчика между двумя импульсами 93 t tW t dt 0 1 . n1 Вычислим момент второго порядка t 2 t 2 n1e n1 t dt 0 2 . n12 Отсюда D 2 t2 t 2 1 . n12 Итак, мы получили плотность вероятности W t времени молчания счетчика между двумя последовательными регистрациями частиц. Эта функция зависит от одного параметра n1 — среднего количества срабатываний счетчика в единицу времени. Изучим данное экспоненциальное распределение. Выполнение эксперимента 1. Для регистрации интервалов времени между импульсами индикатор ионизирующих частиц подключите к блоку "измеритель интервалов времени между импульсами". Длительность интервалов фиксируется индикатором. 2. Проведите не менее ста измерений интервалов времени ti между соседними импульсами счетчика. Результаты занесите в рабочую тетрадь. 3. После окончания измерений приборы установки отключить от сети. Обработка и оформление результатов В среде Microsoft Excel (OpenOffice.org Calc) заполнить таблицу, построить гистограмму. 94 Порядок заполнения электронной таблицы 1) В ячейки с A2 по D26 внести экспериментальные значения времён молчания счётчика в произвольном порядке (в миллисекундах). 2) В ячейку E2 внести формулу для вычисления среднего времени между двумя ближайшими импульсами = СРЗНАЧ(A2:D26). 3) В ячейку F2 внести формулу для вычисления среднего количества срабатываний счётчика в одну секунду = 1000/E2. 4) В ячейку G2 внести формулу для вычисления дисперсии = ДИСП(A2:D26) (=VAR(A2:D26)). 5) В ячейку H2 внести формулу для вычисления стандартного отклонения = СТАНДОТКЛ(A2:D26) (=STDEV(A2:D26)). 6) В ячейку I2 внести формулу для нахождения минимального значения времени молчания счетчика = МИН(A2:D26) (= MIN(A2:D26)). 7) В ячейку J2 внести формулу для нахождения максимального значения времени молчания счетчика = МАКС(A2:D26) (= MAX(A2:D26)). 8) В ячейку K2 внести формулу для вычисления величины интервала группировки = J2/20. 9) Сформируем интервалы группировки. В ячейку L2 записать цифру 0, в ячейку L3 внести формулу = L2+$K$2. Выделить ячейки L2 – L3 и, используя маркер в правом нижнем углу выделенной области, скопировать формулу так, чтобы в ячейке L22 появилось максимальное значение времени молчания счетчика. 10) Далее используем матричную функцию «Частота». Необходимо выделить курсором пока пустые ячейки M2:M23, ввести формулу массива = ЧАСТОТА(A2:D26;L2:L26) (= FREQUENCY(A2:D26; L2:L26)), затем нажать клавишу F2, затем — одновременно нажать 95 CTRL+SHIFT+ENTER. Эта функция вычисляет частоту появления значений из A2:D26 в каждом из интервалов L2:L26. В столбце M2:M23 теперь размещаются частоты для времени регистрации частиц. 11) Случайным событием в нашей схеме является отсутствие срабатываний счетчика в моменты времени, предшествующие регистрации частицы. Если измеренное время между ближайшими срабатываниями счетчика ti лежит в интервале группировки ti , то это означает отсутствие tk , k 1,2, регистрации частицы в интервалах i 1. Другими словами, если счетчик зарегистрировал частицу в момент ti ti , то в этом эксперименте мы наблюдали событие (отсутствие импульса) в каждом интервале t1, t2 , ti1. Необходимо вычислить частоты этих случайных событий. В ячейку N2 введите = СУММ(M3:$M$23) (= SUM(M3:$M$23)), в ячейку N3 введите = СУММ(M4:$M$23) (= SUM(M4:$M$23), затем маркером скопируйте формулу в столбец N2:N23. 12) Вычислим общее число случайных событий. В ячейку N24 введите = СУММ(N2:N23) (= SUM(N2:N23)). 13) Сформируем столбец (нормированных) групповых частот. В ячейку О2 внесите = N2/$N$24, в ячейку О3 внесите = N3/$N$24 затем маркером скопируйте формулу в столбец О2:О22. 14) В ячейку Р2 внести формулу для расчета распределения W(t): = $F$2*EXP(-$F$2*L3/1000). Скопировать эту формулу в столбце P для каждого значения в столбце O. 15) В таблице для построения гистограммы выделить столбец групповых частот О и столбец P значений распределения W(t). Построить диаграмму (см. Рекомендации в Упражнении 1). Для Оси X (категорий) гистограммы указать ячейки c L2 по L22 (рис. 22). 96 97 Рис. 22. Пример заполнения таблицы в Упражнении 2 Упражнение 3 Задание Оценить вклад жёсткой и мягкой компонент в интенсивность космических лучей на уровне моря. На уровне моря принято разделять космические лучи на мягкую компоненту, которая быстро поглощается свинцом, и жесткую компоненту, которая проходит практически без поглощения 20 см свинца. В основе этого разделения были положены опыты Росси по определению проникающей способности космических лучей. В состав мягкой и жесткой компонент входят различные частицы, они теряют свою энергию в различных процессах, потому и различны их коэффициенты поглощения. Мягкая компонента состоит в основном из электронов, позитронов и фотонов — частиц, которые быстро поглощаются из-за тормозного излучения и рождения электрон-позитронных пар, из-за процессов, приводящих к образованию электромагнитных каскадных ливней. Жесткая компонента представлена на уровне моря релятивистскими мюонами. Из-за значительно большей, чем у электронов, массы их радиационные потери незначительны, и мюоны поглощаются почти исключительно из-за ионизационных потерь. Именно мюоны ответственны за высокую проникающую способность космических лучей. В настоящее время известно, что электроны и мюоны относятся к одному классу частиц – лептонов, которые не участвуют в сильных взаимодействиях и являются бесструктурными, точечными частицами. Взаимодействие заряженных лептонов с веществом происходит только за счет электромагнитных процессов. Сильно взаимодействующими частицами (адронами) на уровне моря в основном являются протоны и нейтроны малых энергий и небольшая при- 98 месь -мезонов, общее число которых ничтожно мало по сравнению с числом мюонов. Итак, будем считать, что поглощение мягкой компоненты на уровне моря в слое свинца толщиной примерно 4 – 5 см происходит по закону Бугера: Is(x) = I0e-μx, а поглощение жёсткой компоненты ничтожно мало: Ih = const. Так как в эксперименте для регистрации частиц используется счётчик Гейгера – Мюллера, то под интенсивностью будем понимать интенсивность счёта прибора, то есть I N . Общая интенсивность космиt ческих лучей на уровне моря складывается из интенсивностей мягкой Is и жёсткой Ih компонент: I = Is + Ih . До прохождения слоя свинца интенсивность космических лучей I(0) равна I(0) = I0 + Ih, после прохождения слоя свинца толщиной x интенсивность космических лучей равна I(x) = I0e-μx + Ih. Выразив Ih из обоих уравнений, найдём интенсивность мягкой компоненты до её поглощения: I h I 0 I 0 I x I 0e x I 0 I 0 I x . 1 e x Оценим вклад интенсивности мягкой и жёсткой компонент в общую интенсивность космических лучей на уровне моря: I 0 I x Is I 0 . I s I h I 0 1 e x I 0 Считая интенсивность пропорциональной количеству зарегистрированных счётчиком частиц за фиксированный интервал времени, получим: 99 N 0 N x Is . I N 0 1 e x Аналогично: N 0 N x I 0 I0 I 0 I x Ih 1 1 . Is Ih I 0 I 0 1 e x N 0 1 e x Выполнение эксперимента и обработка результатов 1. Измерить общую интенсивность счёта (мюонов и электронов) космического излучения вне «свинцового домика» (фон): провести не менее десяти измерений срабатываний счетчика ni с интервалом однократного измерения 60 с. Записать зарегистрированные измерения и число отсчётов N (рекомендуется N = 10). N Вычислить среднее значение N 0 n i i 1 N . 2. Поместить камеру счётчика в «свинцовый домик». Провести N измерений срабатываний счетчика nj с интервалом однократного измерения 60 с в «свинцовом домике». Вычислить среднее значение N N x n j 1 N j . 3. Измерить толщину свинцового домика x (x 4 см). 4. Оценить вклад интенсивности жёсткой и мягкой компоненты в общую интенсивность космических лучей по следующим формулам: Ps N 0 N x N 0 N x Is Ih , P 1 . h Is Ih Is Ih N 0 1 e x N 0 1 e x Считать μ 0,791 см-1 (фотоны с энергией порядка 1 МэВ). 5. Вычислить ошибку измеряемой величины: 100 N x 1 N 0 Is 1 e x Is Ih , N x N 0 N 0 N x N x N 0 N 0 2 I Is h . I I I I s h s h 6. Записать результат в виде Is Is Ps , I I I I s h s h I I Ph h h . Is Ih Is Ih 7. Заполнить таблицу 7. Таблица 7 Компоненты космических лучей на уровне моря Число частиц ni (фон) N (0) Число частиц nj (свинцовая защита N ( x) Ps Ph 8. Сделать вывод о соотношении жёсткой и мягкой компонент в общем потоке космических лучей на уровне моря. 101 , Упражнение 4 Анализ данных наземных наблюдений и динамики потока космических лучей Радиационный фон в зависимости от местоположения, времени года может меняться в значительных пределах. Космические ливни, составляющие вторичное космическое излучение, проникают в нижние слои атмосферы и регистрируются специальными установками. Как правило, наземная установка состоит из нескольких станций наблюдения, которые расположены на площади 10 – 15 квадратных километров на расстоянии порядка сотен метров друг от друга и связываются подземными и воздушными электро- и радиокоммуникациями. С помощью этих станций регистрируется широкий атмосферный ливень (ШАЛ), определяется направление прихода первичных космических лучей, их энергия, характеристики ядерного взаимодействия с веществом атмосферы. Детекторы размещаются на большой площади с тем, чтобы зарегистрировать максимально возможное число вторичных частиц каскада ШАЛ. Установка совмещает в себе различные методы регистрации ШАЛ, содержит различные типы детекторов. Здесь организуется круглосуточная регистрация данных. А Задание Провести самостоятельное исследование состояния радиационного фона по данным станций наземных наблюдений, выставленным в интернет-сети и доступным научному сообществу. 102 Выполнение задания и оформление результатов в среде Microsoft Excel (OpenOffice.org Calc) 1. Работа с базой данных Московской станции космических лучей (ИЗМИРАН, г. Троицк, http://cr0.izmiran.rssi.ru/mosc/main.htm) в режиме 20H реального времени. По заданию преподавателя укажите интервал времени наблюдения для построения графика зависимости потока частиц от времени (рис. 23). Рис. 23. Таблица выбора времени наблюдения В колонке «Resolution» выберите тип графика по интервалам накопления: минутный, часовой или суточный. Для получения графического файла нажмите кнопку “Plot”. На рис. 24 приведен график, полученный с сайта. Здесь по оси абсцисс отложено время наблюдения, по оси ординат — отклонение значений потока космических лучей (в процентах) от среднего значения потока в феврале 1987 года (минимум солнечной активности). Рис. 24. Поток космических лучей 103 Для получения цифрового текстового файла нажмите кнопку «Digit». Текстовый файл содержит информацию об абсолютных значениях потока космических лучей (см. рис. 25). Рис. 25. Фрагмент текстового файла с цифровыми данными По данным цифрового файла постройте график зависимости потока частиц от времени: 1) откройте полученный текстовый файл программой Microsoft Excel (OpenOffice.org Calc); 2) выделите курсором колонку значений потока частиц; 3) вызовите Мастера диаграмм кнопкой Мастер диаграмм ( ) из панели инструментов или командой Вставка/Диаграмма; 4) в первом диалоговом окне выберите тип диаграммы График; 5) щёлкните по кнопке Далее и используйте возможности программы для оформления графика (см. рис. 26). 2. Работа с базой данных Новосибирского многоканального наблюдательного комплекса космических cosmrays/rus/index.php). 104 лучей ( http://gs.nsc.ru 21H /russian/ Выполните задание преподавателя аналогично пункту 1 настоящего упражнения. 10400 Поток (имп/мин) 10350 10300 10250 10200 10150 0:00 1:30 3:00 4:30 6:00 7:30 9:00 10:30 12:00 13:30 15:00 16:30 18:00 19:30 21:00 22:30 Время Рис. 26. График зависимости потока от времени 3. Работа с базой данных Станции космических лучей г. Оулу, Финляндия ( http://cosmicrays.oulu.fi/). 22H Выполните задание преподавателя аналогично пункту 1 настоящего упражнения. 4. На странице http://cr0.izmiran.rssi.ru/common/All_CR_stations.htm 23H можно найти информацию о потоках космических лучей за последний месяц со всех станций, ведущих наблюдения на данный момент. 5. Для отчета представить: 1) графические файлы — данные о потоках частиц, полученные в режиме реального времени с сайтов станций космических лучей в заданном интервале времени; 2) текстовые файлы, содержащие числовые значения потоков частиц; 3) графики зависимости потоков частиц от времени, построенные самостоятельно в среде Microsoft Excel (OpenOffice.org Calc). 105 Приложения Приложение 1 Таблица 8 Таблица дефектов масс N Z А Элемент 1 0 1 2 1 3 2 1 4 3 2 4 3 2 5 4 3 2 6 5 4 3 2 6 5 4 3 7 6 5 4 0 1 1 1 2 1 3 2 1 4 2 3 1 5 2 3 2 6 3 4 2 7 3 4 5 2 8 3 4 5 6 3 9 4 5 6 3 10 4 5 6 п H H H Не Н Нe Li H Не Li Не Li Ве Не Li Ве В Не Li Ве В С Li Ве В С Li Ве В C Дефект массы, кэВ 8071,431 (39) 7289,034(23) 13 135,84(4) 14 949,94(5) 14 931,32(5) 25 920 (500) 2424,94 (4) 25 130 (300) 33 790 (800) 11 390 (50) 11 680 (50) 17 597,0 (35) 14 087,3 (8) 18 375 (6) 26111 (30) 14 908,2 (9) 15 770,1 (9) 29 940 (100) 31 609 (12) 20 946,9 (9) 4941,76(10) 22921,9 (13) 35085 (25) 24 954,8 (20) 11348,0 (4) 12416,1 (10) 28 912,1 (39) 33 830 (250) 12 607,6 (6) 12 051,7 (5) 15 702,9 (7) 106 N Z 4 8 9 4 8 5 7 6 6 7 5 8 10 4 9 5 8 6 7 7 6 8 5 9 10 5 9 6 8 7 7 8 6 9 11 5 10 6 9 7 8 8 7 9 6 10 12 5 11 6 10 7 9 8 8 9 7 10 12 6 11 7 А Элемент Дефект массы, кэВ О 32 070 (260) 13 Ве 34 900 (с) В 16 562 (4) С 3125,038(18) N 5345,6 (9) О 23 105 (10) 14 Ве 40 970 (с) В 23 657 (30) С 3019,922(24) N 9863,444(23) О 8008,3 (5) F 33 610 (с) 15 В 29 530 (с) C 9873,2 (8) N 101,514 (36) О 2855,4 (7) F 17 660 (с) 16 B 38 000 (с) C 13 693 (16) N 5681,6 (23) O —4737,02 (4) F 10 692 (14) Nе 24 110 (140) 17 В 45270 (с) С 21 060 (с) N 7870 (15) О —809,9 (8) F 1951,66 (18) Ne 16 478 (26) 18 С 25 370 (с) N 13 274 (30) N Z А Элемент 3 8 7 6 5 4 8 7 6 5 7 3 11 4 5 6 7 4 12 5 6 7 N Li Ве В С N Ве В С N Дефект массы, кэВ 39 500 (с) 40 940 (120) 20 176 (6) 8667,9 (4) 10650,0 (11) 25 230 (100) 25030 (40) 13 369,5 (13) 0,0 (0,0) 17 338 (1) 107 N Z 10 9 8 7 13 12 11 10 9 8 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 А Элемент Дефект массы, кэВ О —783,03(30) F 872,5 (7) Nе 5319 (5) Nа 25 320 (с) 19 С 34 430 (с) N 15 600 (300) O 3331,4 (27) F —1487,33 (13) Nе 1750,9 (6) Na 12 930 (12) Приложение 2 Основные определения и аксиомы теории вероятностей Одним из основных понятий теории вероятностей является случайное событие или, как часто говорят, просто событие. В математической модели понятие события можно принять как первоначальное, которому не дается определения и которое характеризуется лишь своими свойствами. При каждом осуществлении комплекса условий S происходит событие А. При этом если событие неизбежно происходит, то оно называется достоверным и обозначается символом . Если событие не может произойти, то оно называется невозможным и обозначается символом . Событие А, которое может произойти, а может и не произойти, называется случайным. Событие A называется противоположным событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит А. Суммой или объединением событий А и B назовем событие C A B или С = А + B, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят или A, или B (или оба вместе). Произведением или пересечением событий А и В назовем событие С, обозначаемое A B или AВ, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят и А, и В вместе. Разностью А\B событий А и B назовем событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А и не происходит событие B. События А и B назовем несовместимыми, если AB = или A 108 B 0. Событие А влечет за собой событие B, если из наступления события А следует наступление события B, это обозначается А В . События А и В равносильны, т. е. А = В, если А В и В А. В настоящее время в теории вероятностей наиболее распространенным является подход, в котором событие определяется через неопределяемое понятие элементарного события. Примеры 1) Урна содержит N шаров, из них N1 белых, N2 черных, так что N1 + N2 = N. Элементарные случайные события: ω1 — вынимание белого шара, ω2 — вынимание черного шара, причем 2 1. Обозначим 1 , 1 , множество различных элементарных событий. Случайное со- бытие A (вынуть n1 белых и n2 черных шаров) является некоторым множеством из элементов i , i . 2) При описании взаимодействия потока заряженных частиц естественного радиоактивного фона Земли со счетчиком Гейгера – Мюллера элементарным случайным событием ω является попадание частицы в счетчик за малый интервал времени ti (а также — непопадание). Всякое случайное событие An — попадание n частиц за N интервалов времени является множеством из элементов i , i (точнее, их произведением). 1, N , 1, N — множество всех элементарных событий. В общем случае рассматривается некоторое основное множество . Его элементы ω называются элементарными событиями, а само — пространством элементарных событий. Подмножества А называются случайными событиями. Операции над событиями — это операции над подмножествами. 109 Ниже приводится таблица «правил соответствия» в терминологиях теории множеств и теории вероятностей. Таблица 9 «Правил соответствия» в терминологиях теории множеств и теории вероятностей Обозначение , A, A A B A+B A B AB A\B A AB = AB A=B Теория множеств Пространство (основное множество) Элемент пространства ω Множество A Сумма или объединение множеств A, B Пересечение множеств A и B Разность множеств A и B Пустое множество Дополнительное множество A и B не пересекаются A есть подмножество B A и B равны Теория вероятностей Пространство элементарных событий, достоверное событие Элементарное событие Событие А Сумма событий A и B Произведение событий AиB Разность событий A и B Невозможное событие Противоположное A событие A и B несовместимы A влечет событие B A и B равносильны Введем понятие вероятности случайного события и определим её свойства. Определение 1. Назовем класс М подмножеств пространства алгеброй множеств, если 1) M , M ; 2) из A M следует A M ; 3) из A1, A2 M следует A1 A2 M , A1 110 A2 M . Определение 2. Алгебру множеств M назовем -алгеброй, если из An M , n 1,2, следует An M , n 1 An M . n 1 Определение 3. Тройку , M , P , где — пространство элементарных событий; M — -алгебра подмножеств , называемых событиями; Р — числовая функция, определенная на событиях и называемая вероятностью, будем называть вероятностным пространством, если выполнены следующие аксиомы: Р(А) ≥ 0 , для всех А М (неотрицательность Р); P 1 (нормированность Р); P A B P A P B , если AB (аддитивность Р); Если An , т.е. A1 A2 , An , то lim P An 0 (непре- n 1 n рывность Р). Аксиомы 3 и 4 можно заменить одной аксиомой счетной аддитивности (или, иначе говоря, аксиомой -аддитивности). Если события An в последовательности A1, A2 , попарно несовместимы, то P An P An . n1 n1 Можно доказать, что это утверждение следует из аксиом 3, 4. Из этих аксиом вытекают следующие свойства вероятности: 1) Для любого A M , 0 P A 1; 2) Если A B, то Р(A) Р(В); 3) Р() = 0; 111 4) P A 1 P A ; 5) Для любых событий А и В P A B P A P B P AB . Определение 4. Пусть Р(В) > 0. Условной вероятностью Р(А/В) = РB(А) события А при условии, что произошло событие В, назовем отношение PB A P A / B P AB . P B Теорема умножения: Р(АВ) = Р(В)РВ(А). Понятие независимости случайных событий относится к одному из основных в теории вероятностей. Если события А и B таковы, что P(В) > 0, Р(А) > 0 и существуют Р(А/В), Р(В/А), то они статистически независимы, если Р(А/В)= Р(А), одновременно будет Р(В/А) = Р(B). Определение 5. События А и В называются статистически независимыми, если Р(АB) = Р(А)Р(B). Если указанное равенство не выполняется, то события будем называть статистически зависимыми. Если все события A1 An взаимонезависимы, то n n P Ai P Ai . i 1 i 1 Важное значение в физике имеют случайные величины и их распределения. Определение 6. Числовую функцию от элементарного события , назовем случайной величиной. Определение 7. Законом распределения случайной величины мы будем называть вероятность Р( B), рассматриваемую как функцию число112 вого множества B. Закон распределения определяется значениями x1, x2 , xk , которые принимает , и вероятностями P xi Pi этих знаk чений. При этом Pi 0, Pi 1. i 1 Закон распределения иногда называют кратко распределением. Определение 8. Зная закон распределения, можно вычислить математическое ожидание случайной величины по формуле k M xi P xi . i 1 Определение 9. Математическое ожидание M 2 называется 2-м моментом случайной величины (или ее закона распределения). Дисперсией случайной величины называется M M D . 2 Определение 10. Корень квадратный D из дисперсии называет- ся средним квадратичным отклонением (или иногда стандартным отклонением). Определения 7–9 касаются дискретной случайной величины. Проведем обобщение введенных понятий для непрерывной случайной величины. Определение 11. Случайная величина имеет непрерывное распределение вероятностей, если для любых x, x x x x P x x P x dx, x где P x — некоторая неотрицательная интегрируемая функция, нормированная P x dx 1, называемая плотностью распределения вероятностей величины . 113 Легко видеть, что если случайная величина , имеет непрерывное распределение вероятностей, то для каждого отдельного значения х Р( = x) = 0, и для каждой точки х, в которой плотность распределения Р (x) непрерывна: P dx P x dx (здесь P dx — вероятность события dx , означающего, что величина принимает значения из бесконечно малого интервала dx с центром в точке x). F x P x x P x dx называется функцией распределения случайной величины . F x имеет своей производной плотность распределения вероятности случайной величины x: P x . Определения 8, 9 обобщаются на случай непрерывной случайной величины: M xP x dx, D x M P x dx. 2 114 Библиографический список I. Космические лучи. Радиоактивность 1. Ишханов Б.С., Капитонов И.М., Юдин Н.П. Частицы и атомные ядра. М.: УРСС, 2007. 584 с. 2. Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. М.: Наука, 1980. 728 с. 3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 5. Атомная и ядерная физика. М.: Физматлит, 2006. 784 с. 4. Мухин К.М. Экспериментальная ядерная физика. Т. 2. М.: Наука, 1974. 386 с. 5. Ракобольская И.В. Ядерная физика. М.: Наука, 1981, 411 с. 6. Мурзин В.С. Введение в физику космических лучей. М.: Изд-во МГУ, 1988. 320 с. 7. Аминева Т.П., Сарычева Л.И. Фундаментальные взаимодействия и космические лучи. М.: УРСС, 1999. 168 с. 8. Добротин, Н.А. Космические лучи. М.: Наука, 1954, 125 с. II. Теория вероятностей 9. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: УРСС, 2007. 408 с. 10. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.: УРСС, 2004. 272 с. 11. Розанов Ю.А. Лекции по теории вероятностей. М.: Наука, 2008. 136 с. 12. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Высшая школа, 2006. 576 с. 115 III. Дополнительная литература 13. Фрауэнфельдер Г., Хенли Э. Субатомная физика M.: Мир, 1980. 736 с. 14. Особенности взаимодействий адронов космических лучей сверхвысоких энергий/ Ракобольская И.В. и др. М: УРСС, 2000. 256 с. 15. Ишханов Б.С. Субатомная физика. Вопросы. Задачи. Факты. М.: Изд-во МГУ, 1994. 224 с. 16. Тверской Б.А. Основы теоретической космофизики. М: УРСС, 2004. 376 с. 17. Сапожников Ю.А., Алиев Р.А., Калмыков С.Н. Радиоактивность окружающей среды. Теория и практика. М.: УРСС, 2006. 286 с. 18. Росси Б. Космические лучи. М.: Мир, 1956. 236 с. 19. Гинзбург В.Л. Происхождение космических лучей. М.: Наука, 1968. 384 с. 20. Дорман Л.И. Экспериментальные и теоретические основы астрофизики космических лучей. М.: Наука, 1975. 360 с. 21. Физика космических лучей/ под ред. Д. Вильсона. М.: Мир,1954. 438 с. 22. Хаякава С. Физика космических лучей. Ч. 1 и 2. М.: Мир, 1973. 1052 c. 23. Мурзин, В.С., Сарычева Л.И. Множественные процессы при высоких энергиях. М.: Наука, 1974. 368 с. 24. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 1. М: Мир, 1984. 500 с. 25. Аллер Л. Астрофизика. Т. 2. М.: ИЛ, 1957. 456 с. 26. Каплан С.А., Пикельнер С.Б. Физика межзвездной среды. М.: Наука., 1979. 592 с. 27. Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами. М.: ИЛ, 1961. 374 с. 28. Гринберг М. Межзвездная пыль. М.: Мир, 1970. 200 с. 116 29. Стрёмгрен Б. Физическое состояние межзвездного водорода: астрофизический сборник. М.: ИЛ, 1949. 102 с. 30. Вопросы космогонии: сборник. Т.VI. М.: Изд-во АН СССР, 1958. 253 с. Статьи А. Я. Киппера и В. М. Тийта, В. В. Соболева, Г. А. Гурзадяна, Т. А. Агекяна, С. А. Каплана. 31. Гинзбург В.Л., Сыроватский С.И. Происхождение физических лучей. М.: Наука, 1963. 384 с. 32. Курс астрофизики и звездной астрономии. Т. II / под ред. А. А. Михайлова. М.: Физматгиз, 1962. 312 с. 33. Dorman L. I. Cosmic Rays in the Earth’s Atmosphere and Underground, Kluwer Acad. Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2004. 800 p. 34. Basdevant J., Rich J., Spiro M.. Fundamentals in nuclear physics. From Nuclear Structure to Cosmology. Springer, 2004. 515 p. 35. URL: http://cr0.izmiran.rssi.ru/mosc/main.htm 24HU 36. URL: http://gs.nsc.ru/russian/cosmrays/rus/index.php 25H 37. URL: http://cosmicrays.oulu.fi/ 25H26H 38. 27H URL: http://cr0.izmiran.rssi.ru/common/All_CR_stations.htm 117 Учебное электронное издание Бирюков Александр Александрович, Крутов Александр Федорович, Пузырный Анатолий Григорьевич и др. КОСМИЧЕСКИЕ ЛУЧИ И ЕСТЕСТВЕННЫЙ РАДИАЦИОННЫЙ ФОН У ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ Электронное учебное пособие Редактор Т. А. Мурзинова Компьютерная верстка, макет И. С. Цировой Издательство «Самарский университет», 443011, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1 Тел. 8 (846) 554-54-23 E-mail: [email protected] 118
