Глава VI. Излучение света

-1-
Глава VI. Излучение света
……………………………………………………………………………………….
§3. Тепловое излучение
Тепловое излучение – свет, излучаемый нагретым телом. Примеры –
солнечный свет, свет лампы накаливания, пламени свечи, электрической дуги, инфракрасное излучение человеческого тела и т.п.
Тепловое излучение универсально, его природа не связана ни со структурой конкретного тела, ни с устройством атома, оно обусловлено фундаментальной термодинамикой света и вещества. Тепловое излучение прямо указывает на то, что атомы способны излучать и поглощать свет строго определенными дискретными порциями (квантами).
Опыт показывает, что сильно нагретые тела начинают светиться. При
увеличении температуры яркость свечения возрастает, а его цвет меняется от
темно-красного до белого.
Характерной чертой теплового излучения является широкий сплошной
спектр. При этом в видимой части спектра интенсивность излучения монотонно возрастает по мере увеличения длины волны света.
Спектры, измеренные Люммером и Прингсгеймом (1899 г.) отчетливо
демонстрируют увеличение полной мощности теплового излучения и смещение максимума спектральной плотности интенсивности в коротковолновую
область спектра при повышении температуры излучающего тела.
3.1. Излучательная и поглощательная способности вещества и их соотношение. Модель абсолютно черного тела
Поглощательная способность тела α – физическая величина, равная
отношению энергии света, поглощенного телом Wпогл, к энергии падающего
на тело света Wпад:
W
α ≡ погл .
Wпад
Для непрозрачных тел сумма энергий поглощенного и отраженного
света равна энергии падающего светового потока:
Wпад=Wпогл+Wотр.
Следовательно, 0 ≤ α ≤ 1.
"Абсолютно белое тело" – тело, полностью отражающее свет – α = 0
(мел).
"Абсолютно черное тело" – тело, полностью поглощающее свет –
α = 1 (уголь, сажа).
Опыт показывает, что поглощательная способность тела α зависит от
частоты падающего света ω и температуры T тела:
-2α = α(ω,T).
При этом для каждого тела эта функция своя.
Понятно, что мощность излучения dPизл физически бесконечно малого
элемента поверхности в малом интервале частот от ω до ω + dω пропорциональна площади dσ этого элемента и ширине интервала dω:
dPизл = εdωdσ,
где коэффициент пропорциональности ε – излучательная способность тела,
равная энергии излучения света элементом поверхности единичной площади
в единицу времени, в единичном интервале частот (спектральной плотности).
Опыт показывает, что излучательная способность тела ε зависит от
частоты излучаемого телом света ω и температуры T тела:
ε = ε(ω,T).
Равновесное тепловое излучение.
Пусть в полости, вырезанной внутри нагретого тела, находится тепловое излучение (см. рис. 6.3). В стационарных условиях, когда температура
тела T – const (тело – термостат), характеристики излучения в полости также
будут иметь постоянные и строго определенные значения, определяемые тепловым равновесием теплового излучения и стенок полости тела, поскольку
процессы излучения и поглощения излучения стенками полости взаимно
уравновешивают друг друга. Такое тепловое излучение называется равновесным.
T
T
В 1859 г. немецкий физик Густав Кирхгоф теоретически установил закон, который в последствии был подтвержден экспериментально.
Закон Кирхгофа – в состоянии теплового равновесия отношение излучательной способности к поглощательной способности тела не зависит от
природы тела и является универсальной (одинаковой для всех тел) функцией
частоты и температуры тела, называемой излучательной способностью абсолютно черного тела:
ε(ω, T)
= ρ(ω, T) − inv .
α(ω, T )
Рассмотрим физические соображения, подтверждающие закон Кирхгофа. Поместим внутрь полости, занятой равновесным тепловым излучением,
произвольное достаточно малое по сравнению с термостатом (пробное) тело,
которое практически не влияет на характеристики теплового излучения полости и находится также в тепловом равновесии с телом. В состоянии тепло-
-3вого равновесия мощность излучения, поглощаемого телом, равна мощности,
излучаемой им света:
dPпогл = dPизл.
В соответствии с определением излучательной и поглощательной способностей тела можно записать:
dPизл = ε(ω,T)dωdσ, dPпогл = α(ω,T)dPпад,
dPпад – мощность излучения, падающего на элемент поверхности тела площадью dσ и имеющего частоту в интервале частот от ω до ω + dω.
Из приведенных соотношений следует:
α(ω,T)dPпад = ε(ω,T)dωdσ.
В формуле по отношению к смене пробного тела инвариантны все величины (dPпад, dω и dσ), кроме α(ω,T) и ε(ω,T), тогда инвариантно и соотношение:
ε(ω, T)
− inv .
α(ω, T)
Демонстрация – "цветок" – темный рисунок на поверхности фарфоровой тарелки.
Сразу после вытаскивания тарелки с рисунком из печи – ярко светится
рисунок на фоне фарфора. По мере остывания рисунок становится все темнее
на фоне фарфора. Другими словами опыт показывает, что поверхность с
большей поглощающей способностью (рисунок) обладает и большей излучательной способностью.
Непосредственно в нагретой печи рисунок на фоне фарфоровой тарелки не виден, как практически не видна и сама тарелка на фоне разогретых
стенок печи. Равновесное тепловое излучение не несет никакого изображения, оно однородно. Это означает, что излучательная способность различных
тел одинаково пропорциональна их поглощательной способности.
3.2. Формула Рэлея-Джинса
Спектральная плотность равновесного излучения (спектральная
плотность излучения абсолютно черного тела) u(ω,T) – объемная плотность
энергии равновесного излучения, приходящегося на единицу длины частотного интервала (спектральная плотность объемной плотности энергии излучения):
1 dW
u (ω, T) =
.
V dω
Для нахождения спектральной плотности равновесного излучения воспользуемся известным в термодинамике законом – законом о равнораспределении энергии по степеням свободы. Этот закон гласит – в состоянии теплового равновесия на каждую степень свободы системы в среднем прихо-
-4дится одинаковая энергия, равная
kT
. Здесь T – абсолютная температура
2
системы, k – постоянная Больцмана.
Подсчитаем число степеней свободы электромагнитного поля, находящегося в замкнутой полости. Представим равновесное тепловое излучение в
полости в виде совокупности стоячих волн. Для этого рассмотрим световое
поле внутри простейшего оптического резонатора – пары параллельных зеркал (см. рис. 6.4).
0
Lz
Z
Запишем волновое уравнение:
2
∂ 2E
2 ∂ E
=
.
c
∂t 2
∂z 2
Считая зеркала идеальными проводниками, можно записать граничные условия для напряженности электрического поля:
E(t,0) = E(t,Lz) = 0.
Ищем решение волнового уравнения в виде E( t , z) = A(z)e iωt :
ω2
A(z) = 0 ,
c2
ω
A(z) = A 0 cos(k z z + ϕ 0 ) , k z = .
c
Воспользуемся граничными условиями:
π
E( t ,0) = A 0 cos(ϕ 0 )e iωt = 0 , ϕ 0 = ,
2
iωt
E( t , L z ) = A 0 cos(k z L z + ϕ 0 )e = A 0 sin (k z L z )e iωt = 0 ,
π
k zLz = mzπ , k z = mz
,
Lz
где mz = 1, 2, 3, ... – целое число.
В результате находим:
π
E( t , z) = A 0 cos(k z z + ϕ 0 )e iωt = A 0 sin (k z z )e iωt , k z = m z
.
Lz
Таким образом, световое поле в резонаторе имеет структуру в виде
дискретного набора стоячих волн. Каждая стоячая волна со своим пространственным распределением интенсивности называется осциллятором поля.
− ω 2 A ( z ) l i ωt = c 2 A ' ' ( z ) l i ωt , A ' ' ( z ) +
-5Поскольку осцилляторы независимы друг от друга, полное их число имеет
смысл числа степеней свободы поля.
В случае трех пространственных координат волновое уравнение будет:
∂ 2E
= c 2 ΔE ,
2
∂t
2
2
2
∂
∂
∂
где Δ = 2 + 2 + 2 – оператор Лапласа.
∂x
∂y
∂z
Ищем решение волнового уравнения в виде:
E( t , x , y, z) = A 0 sin (k x x ) sin (k y y )sin (k z z )e iωt ,
Подставив это выражение в волновое уравнение, получим дисперсионное
уравнение – зависимость модуля волнового вектора от частоты световой
волны:
ω2
2
2
2
2
kx + ky + kz = k = 2 .
c
По аналогии с одномерным случаем граничные условия приводят к соотношениям:
k x Lx = mx π , k yL y = m yπ , k zLz = mzπ .
где mx, my и mz = 1, 2, 3, ... – целые числа.
Итак, в трехмерном случае каждый осциллятор поля характеризуется
тройкой натуральных чисел mx, my и mz. Величины rkx, ky и kz можно трактовать как декартовы координаты волнового вектора k световой волны. В пространстве волновых чисел каждому осциллятору поля будет соответствовать
точка с координатами kx, ky и kz. При этом каждому осциллятору в этом проπ3
.
странстве соответствует кубик объемом
Lx LyLz
Теперь посчитаем полное число степеней свободы поля. Рассмотрим
поле в диапазоне частот от 0 до ω. Этому диапазону соответствует волновое
ω
число k из диапазона от 0 до . Поскольку изменение знака волновых чисел
c
kx, ky и kz приводит к изменению знака (фазы) поля, но не меняет его пространственной структуры, то физически различимым конфигурациям отвечают лишь волновые числа kx, ky и kz одного знака, например, kx, ky, kz > 0.
Кроме того, волна, распространяющаяся в одном направлении, может иметь
два независимых состояния поляризации, следовательно, искомое число осцилляторов поля равно:
4 3
πk
ω3
1
k3
3
= 2 LxLyLz = 2 3 V.
ZV = 2 3 ⋅
π3
2
3π
3π c
LxLyLz
-6Число осцилляторов в единице объема резонатора, приходящихся на
спектральный интервал от ω до ω+dω, равно:
⎛ Z V ⎞ ω2
dZ = d⎜
⎟ = 2 3 dω .
⎝ V ⎠ π c
Используя полученный результат, можно записать и спектральную
плотность объемной плотности энергии равновесного теплового излучения:
dZ
ω2
u (ω, T) =
< w >= 2 3 < w > ,
dω
π c
где <w> – средняя энергия осциллятора поля. Согласно закону равнораспределения энергии по степеням свободы, в состоянии теплового равновесия
средняя энергия осциллятора равна <w> = kT. Так, для механического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной энергии
и равна kT/2. Для осциллятора поля средняя энергия электрического поля
равна средней энергии магнитного поля и равна также kT/2. Среднее значение полной энергии осциллятора поля будет равно сумме этих энергий – kT.
В результате получим формулу Рэлея (1900 г.)-Джинса (1905 г.):
ω2
u (ω, T) = 2 3 kT .
π c
Формула
Рэлея-Джинса
хорошо описывает экспериментально наблюдаемую зависимость лишь в длинноволновой
области спектра (рис. 6.5).
u(ω,Τ)
Рэлей-Джинс
Планк
0
ω
Найдем взаимосвязь излучательной способности черного тела
( α(ω, T) = 1 ) и спектральной плотности объемной плотности равновесного излучения. Рассмотрим процесс равновесного излучения и поглощения
элементом поверхности площадью dσ черного тела при температуре T равновесного излучения в диапазоне частот от ω до ω + dω за малое время dt. Тогда:
dWизл = dPизлdt = ρ(ω, T)dσdtdω = dWпогл = u (ω, T)dσcdtdω ,
ρ(ω, T) = u (ω, T)c .
3.3. Ограниченность классической теории излучения
Главный недостаток формулы Рэлея-Джинса состоит в предсказываемом ею неограниченном росте спектральной плотности излучения в области
высоких частот. Кроме того, из этой формулы следует, что полная энергия
теплового излучения равна бесконечности:
-7∞
∫ u (ω, T)dω = ∞ .
0
Поскольку эти обстоятельства связаны с коротковолновой частью
спектра, то за ними закрепилось название ультрафиолетовой катастрофы
или парадокса Рэлея-Джинса. К концу 1900 г.:
1) были проведены точные экспериментальные измерения спектральной плотности излучения (Люммер и Пригнсгейм, Рубенс и Курлбаум и др.);
2) была известна формула Рэлея-Джинса, правильно описывающая
низкочастотную часть зависимости u(ω,T);
3) была известна формула Вина –
3
−γ
ω
T,γ
u (ω, T ) ~ ω e
= const ,
хорошо согласующаяся с экспериментом в области средних и высоких частот.
Таким образом, были известны асимптотики реального распределения
u(ω,T)
⎧ω2 T,
ω → 0,
⎪
u (ω, T) ~ ⎨
ω
−γ
3
⎪⎩ω e T , ω → ∞.
Макс Планк придумал несколько соотношений, в том числе и ту, которая называется интерполяционной формулой Планка и в современных
обозначениях имеет вид:
hω3
1
.
u (ω, T) = 2 3 ⋅ hω
π c
e kT − 1
В этой формуле фигурирует постоянная величина h = 1.05 ⋅ 10 −34 Дж⋅с –
постоянная Планка. При обосновании этой формулы Планк выдвинул гипотезу о том, что атомы могут излучать (и поглощать) свет «квантами» с энергией w 0 = hω . Эта гипотеза разрешает парадокс Рэлея-Джинса: при малых
частотах дискретность излучения не играет существенной роли, при больших
частотах в условиях, когда hω >> kT , в излучающей полости не найдется атомов, способных излучать высокочастотные кванты. Гипотеза Планка – одно
из наиболее существенных открытий в истории физики.
Рассмотрим основные аргументы, приводящие к гипотезе Планка.
Пусть атом может менять свою энергию скачками, то есть его энергия может
быть равна wn = nw0. Отметим, что это предположение не означает отказа от
классических представлений при предельном переходе w 0 → 0 . В состоянии
теплового равновесия с окружающей средой, находящейся при температуре
T, вероятность того, что атом имеет энергию wn = nw0, определяется распределением Больцмана:
-8P(n ) = Ce
−n
w0
kT
Используя условие нормировки –
= Ce − nx .
∞
∑ P(n ) = 1 и хорошо известную фор-
n =0
мулу для суммы геометрической прогрессии с знаменателем e − x , получим:
∞
1
−1
, C = 1 − e −x .
С = ∑ e − nx =
−x
1− l
n =0
Средняя энергия атома находится из соотношения:
∞
∞
n =0
n =0
< w >= ∑ w n P(n ) = Сw 0 ∑ nl −nx .
Сумму ряда найдем, используя дифференцирование по параметру x:
∞
∂ ∞ − nx
∂ ⎛ 1 ⎞
e −x
− nx
.
∑ ne = − ∂x ∑ e = − ∂x ⎜⎝ 1 − e − x ⎟⎠ =
−x 2
n =0
n =0
1− e
(
)
Учитывая выражение для константы C, для средней энергии атома получаем:
w
w
< w >= x 0 = w 0 .
0
e −1
kT
e −1
Отметим, что это соотношение не находится в соответствии с теоремой о
равнораспределении энергии по степеням свободы (кроме случая w 0 → 0 ).
Атом среды Планк моделировал гармоническим осциллятором. В силу
равнораспределения энергии по степеням свободы в состоянии теплового
равновесия необходимо положить
<w>осц. вещества = <w>осц. поля
Подставляя полученное выражение для <w> в формулу для спектральной
плотности равновесного теплового излучения, получаем:
w
ω2
u (ω, T ) = 2 3 ⋅ w 0 .
0
π c
e kT − 1
3.4. Закон Стефана-Больцмана и закон смещения Вина
Заметим, что, воспользовавшись формулой Планка, легко получить
закон Стефана (1879 г.)-Больцмана (1884 г.) для интегральной плотности
излучения, а также закон смещения Вина.
Закон Стефана-Больцмана. Объемная плотность мощности теплового
излучения во всем диапазоне частот возрастает пропорционально четвертой
степени абсолютной температуры тела:
4
∞
∞
hω 3
h ⎛ kT ⎞ ∞ 3 1
1
u (T) = ∫ u (ω, T )dω = ∫ 2 3 hω
dω = 2 3 ⋅ ⎜ ⎟ ∫ x x
dx = σT 4 ,
π c ⎝ h ⎠ 0
e −1
0
0 π c
e kT − 1
где
-9π2k 4
k4 ∞ 3 1
.
=
dx
x
2 3 3 ∫
x
3 3
h
15
c
h
π c
e −1
0
Закон смещения Вина (1893 г.). Длина волны λmax, на которую приходится максимум спектральной плотности теплового излучения, уменьшается
обратно пропорционально абсолютной температуре тела:
const
λ max =
.
T
Действительно:
σ=
'
⎛
⎞
∂u (ω, T )
h ⎜ ω3 ⎟
h
= 2 3 ⎜ hω
⎟ = 2 3
∂ω
π c ⎜ kT
π c
⎟
⎝ e − 1 ⎠ ωm
hω
⎞
⎛ hω
3 h
kT
⎟
3ω e − 1 − ω
e kT
⎟
⎜
kT
⎠
⎝
2⎜
⎛ hω
⎜ e kT
⎜
⎝
⎞
− 1⎟
⎟
⎠
= 0,
2
ωm
hω
− m ⎞ ω
ωm 3k ⎛⎜
1 − l kT ⎟ , m = const , λ m T = const .
=
⎟ T
T
h ⎜⎝
⎠
Приведем другой вариант вывода закона смещения Вина.
Рассмотрим объемную плотность спектральной плотности энергии, как
функцию длины волны:
u( ω, T ) dω = u (λ, T ) dλ .
Отсюда получаем:
dω(λ )
u(λ, T ) = u (ω(λ ), T ) ⋅
,
dλ
8πch
1
u (λ, T ) = 5
,
hc
λ
e λkT − 1
где h = 2πh . Длину волны λmax определим из условия:
∂u (λ, T )
= 0.
∂λ
Этому условию соответствует уравнение:
xe x
= 5,
x
e −1
hc
.
где x =
kTλ max
Полученное уравнение является трансцендентным. Его решением
является x = 4.965. Этому значению соответствует длина волны:
0.29
λ max = hc =
см .
4,965kT T(K )