Комбинаторика.Теория вероятности

Комбинаторика.
Размещениями без повторений из 𝒏 элементов.
Обозначается: 𝐴𝑘𝑛 = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − 𝑘 + 1).
Размещения с повторениями из 𝒏 элементов. Обозначается: 𝐴𝑘𝑛 = 𝑛𝑘 .
Перестановки без повторений из 𝒏 элементов. Обозначается: 𝑃𝑛 = 𝑛!
Перестановки с повторениями из 𝒏 элементов. Обозначается: 𝑃𝑘1 ,𝑘2,…,𝑘𝑛 =
Сочетания без повторений из 𝒏 элементов. Обозначается: 𝐶𝑛𝑘 =
Сочетания с повторениями из 𝒏 элементов. 𝐶𝑛𝑘 =
(𝑘1 +𝑘+ ⋯+𝑘𝑛 )!
𝑘1 !𝑘2 !∙…∙𝑘𝑛 !
𝑛!
𝑘!(𝑛−𝑘)!
(𝑛−1+𝑘)!
(𝑛−1)!𝑘!
Решение типовых заданий.
1.
В актив группы избрано 6 человек. Из них надо выбрать старосту и его
заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Задача сводится к нахождению числа размещений (без повторений) из 6
элементов по 2, так как здесь существенно и то, кто будет выбран в руководство группой,
и то, кто как распределятся обязанности между ними. Таким образом, искомое число
равно
𝐴26 = 6 ∙ 5 = 30
2.
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
Решение: Каждое трехзначное число, составленное из указанных цифр, можно
рассматривать как размещение с повторениями, составленное из трех цифр, взятых
изданных семи. Поэтому искомое число равно
𝐴37 = 73 = 343
3.
Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3,
если каждая цифра в изображении числа встречается один раз?
Решение: Рассматриваемое четырехзначное число может быть представлено как
некоторая перестановка из цифр 0, 1, 2, 3, в которой первая цифра отлична от нуля. Так
как число перестановок из четырех цифр равно 𝑃4 = 4! и из них 3! Перестановок
начинаются с 0, то искомое количество равно
4! − 3! = 3 ∙ 3! = 18
4.
Сколько существует различных перестановок из букв слова «математика»?
Решение: Речь идет об отыскании числа перестановок с повторениями, которые можно
сделать 𝑘1 = 2 (число букв м), 𝑘 = 3 (число букв а), 𝑘3 = 2 (число букв т), 𝑘4 = 𝑘5 = 𝑘6 =
1 (число букв е, и, к).
10!
𝑃(2м,3а,2т,е,и,к) =
= 151200
2! 3! 2! 1! 1! 1!
5.
Сколько различных правильных дробей можно составить из чисел 1, 2, 3, 5, 7,
11, 13, берущихся попарно?
Решение: Различных пар из данных чисел, в которых первый элемент меньше второго,
будет столько, сколько можно составить сочетаний из семи элементов по два
7∙6
𝐶72 =
= 21
2
6.
В кондитерском магазине продаются три сорта пирожных: наполеоны,
эклеры, слоеные. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?
Решение: В задаче требуется найти число всевозможных групп по 9 элементов, которые
можно составить из данных трех элементов, причем указанные элементы в каждой группе
могут повторяться, а сами группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
Это задача на отыскание числа сочетаний с повторениями их трех элементов по девять.
Следовательно, 𝐶39 =
(3−1+9)!
9!(3−1)!
= 55
Основные понятия теории вероятности.
Теория вероятности.
Опред: Теория вероятности – это раздел математики, изучающий закономерности
массовых случайных событий.
Опред: Испытанием называется совокупность условий, при которых может произойти
данное случайное событие.
Опред: Событие - это факт, который при осуществлении определенных условий может
произойти или не произойти.
Обозначение: А, В, С.
Опред: Достоверное событие – это событие, которое в результате испытания непременно
должно произойти. Например, вынуть белый шар из корзины с белыми шарами.
Опред: Невозможное событие – это такое событие, которое заведомо не произойдет.
Например, вынуть черный шар из корзины с белыми шарами.
Опред: Случайное событие – это событие, которое при испытаниях может произойти или
не произойти.
Виды случайных событий:
Опред: Равновозможные события – имеют одинаковый шанс появиться.
Опред: Несовместные события – если в результате данного испытания появление одного
из них исключает появление другого
Опред: Совместные события – если в результате данного испытания появление одного из
них не исключает появление другого.
Опред: Противоположные события – это такие события, когда не появление одного из них
влечет появление другого.
Опред: Событие А называется благоприятствующим событию В, если появление события
А влечет за собой появление события В.
Опред: События образуют полную группу событий, если в результате испытания
обязательно произойдет хотя бы одно из них и любые два из них несовместны.
Операции над событиями:
1.
Опред: Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении
хотя бы одного из них в результате испытания. Обозначается: А+В и означает, что
наступило событие А, или В, или А и В вместе.
2.
Опред: Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в
совместном наступлении всех этих событий в результате испытания.
Обозначается: 𝐴 ∙ 𝐵
Опред: Вероятность события А – это отношение числа М благоприятствующих исходов к
общему числу N равновозможных исходов, образующих полную группу.
𝑀
𝑃(𝐴) =
𝑁
Вероятность достоверного события равна 1, невозможного – 0, случайного 0 < 𝑃(𝐴) < 1.
Теорема сложения вероятностей.
Вероятность появления одного из несовместных событий равна сумме их вероятностей:
𝑃(𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ + 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴𝑛 ).
Вероятность суммы двух совместных событий
𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵).
Сумма вероятностей противоположных событий
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴̅) = 1.
Опред: Условной вероятностью события А по отношению к событию В называется
вероятность события А при условии, что событие В произошло. Обозначение: 𝑃(𝐴/𝐵).
Теорема умножения вероятностей: Вероятность совместного наступления конечного
числа событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности
всех остальных, причем условная вероятность каждого последующего события
вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили, т.е.
𝑃(𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , … , 𝐴𝑛 ) =
= 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 /𝐴1 )𝑃(𝐴3 /𝐴1 𝐴2 ) … 𝑃(𝐴𝑛 /𝐴1 𝐴2 𝐴3 … 𝐴𝑛−1 ).
Опред: Два события называются независимыми, если появление одного из них не
изменяет вероятности появления другого, т.е.
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴/𝐵) или 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐵/𝐴)
Опред: События называются независимыми в совокупности, если наряду с их по парной
независимостью независимы любое из них и произведение любого числа из остальных.
Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых к
совокупности, равна произведению вероятностей этих событий, т.е.
𝑃(𝐴1 𝐴2 𝐴3 … 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 )𝑃(𝐴3 ) … 𝑃(𝐴𝑛 )
Формула полной вероятности.
Если известно, что событие А может произойти вместе с одним из событий
𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 , … , 𝐻𝑛 (гипотез), образующими полную группу попарно несовместных событий,
то событие А можно представить как объединение событий:
𝐴𝐻1 , 𝐴𝐻2 , 𝐴𝐻3 , … , 𝐴𝐻𝑛 , т.е.
А = 𝐴𝐻1 + 𝐴𝐻2 + 𝐴𝐻3 + ⋯ +𝐴𝐻𝑛
Вероятность события А можно определить по формуле:
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃(𝐴/𝐻1 ) + 𝑃(𝐻2 ) ∙ 𝑃(𝐴/𝐻2 ) + ⋯ +
+𝑃(𝐻𝑛 ) ∙ 𝑃(𝐴/𝐻𝑛 )
Формула Байеса.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных
событий 𝐻1 , 𝐻2 , 𝐻3 , … , 𝐻𝑛 , образующих полную группу. По той же причине, что и выше,
будем называть их гипотезами. Вероятность появления события А определяется по
формуле полной вероятности. Допустим, что произведено испытание, в результате
которого появилось событие А. Определим вероятность гипотез в связи с тем, что событие
А появилось, т.е. 𝑃(𝐻1 /𝐴), 𝑃(𝐻2 /𝐴), … , 𝑃(𝐻𝑛 /𝐴).
По теореме произведения для зависимых событий, вероятность одновременного
появления событий А и 𝐻1 равна
𝑃(𝐻1 𝐴) = 𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃(𝐴/𝐻1 ) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐻1 /𝐴),
Следовательно, искомая вероятность:
𝑷(𝑯𝟏 𝑨) =
𝑷(𝑯𝟏 )𝑷(𝑨/𝑯𝟏 )
𝑷(𝑨)
формула полной вероятности.
Аналогично получим:
𝑃(𝐻2 )𝑃(𝐴/𝐻2 )
𝑃(𝐻𝑛 )𝑃(𝐴/𝐻𝑛 )
, … , 𝑃(𝐻𝑛 𝐴) =
𝑃(𝐴)
𝑃(𝐴)
Здесь 𝑃(𝐴) определяется по формуле полной вероятности. Эти формулы называются
формулами Байеса. Они позволяют оценить вероятности гипотез после того, как
появилось событие А.
𝑃(𝐻2 𝐴) =
Решение типовых заданий.
1.
Из слова «поликлиника» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность,
что это гласная? Что это буква К? Что это гласная или буква К?
Решение. Всего букв N=11. Событие А – в результате эксперимента появилась гласная
буква. Событие В – появилась буква К. Событию А благоприятствуют пять событий (5
гласных), событию В – два.
𝑃(𝐴) =
𝑀
𝑁
5
= 11, 𝑃(В) =
𝑀
𝑁
2
= 11.
А и В – несовместные.
5
2
7
𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) = 11 + 11 = 11.
2.
В команде из 12 спортсменов 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды
выбирают 3 спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные спортсмены
окажутся мастерами спорта?
Решение. Укажем два способа решения
1)
Представим себе урну, в которой находятся 5 черных и 7 белых шаров. Черные
шары соответствуют мастерам спорта, а белые – остальным спортсменам. Из этой урны
наудачу извлекаются 3 шара, и пусть событие А состоит в появлении 3 черных шаров.
Тогда искомая вероятность равна:
𝐶53
1
𝑃(𝐴) = 3 =
𝐶12 22
2) Из урны последовательно без возвращения извлекаются 3 шара. Пусть событие 𝐴1 –
вынули первый черный шар, 𝐴2 – черный шар вынули во второй раз, 𝐴3 – третий раз и А все три шара черные. Тогда 𝐴 = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 . Вероятность того, что подряд извлекут все
черные шары, равна
5
4
3
1
𝑃(𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 ) = 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 /𝐴1 )𝑃(𝐴3 /𝐴1 𝐴2 ) = 12 ∙ 11 ∙ 10 = 22.
5
4
𝐴3
𝑃(𝐴1 ) = 12, 𝑃(𝐴2 /𝐴1 ) = 11, 𝑃 (𝐴
1 𝐴2
3
) = 10
3.
В поликлинике на основании многолетних наблюдений определены
эмпирические вероятности встречаемости некоторых заболеваний различной
этиологии, возникающих независимо друг от друга и способных протекать у больного
одновременно (одно не исключает появление другого). В частности заболевание А
встречается с вероятностью 80%, а заболевание В – 60%. Какова вероятность того,
что у больного возникнет хотя бы одно из заболеваний.
Решение. Введем обозначения: событие А – у обследуемого больного имеет место быть
заболевание А. Событие В – у обследуемого больного имеет место быть заболевание В.
Событие С – у больного возникнет хотя бы одно из заболеваний.
Тогда, очевидно С=А + В, причем события А и В совместны.
Значит, 𝑃(С) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵).
Так как события А и В независимы, то 𝑃(С) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵).
Подставляя данные, находим 𝑃(С) = 0,8 + 0,6 − 0,8 ∙ 0,6 = 0,92
4.
В корзине находятся 2 белых и 3 черных шара. Из нее извлекаются шары и
возвращаются обратно. Найти вероятность того, что три раза подряд извлекут
черный шар.
Решение. Пусть событие 𝐴1 – вынули черный шар, 𝐴2 – черный шар вынули во второй раз,
𝐴3 – третий раз. 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 – независимые. Вероятность то, что три раза подряд извлекут
черный шар равна
333
27
=
5 5 5 125
5.
Имеются три одинаковых ящика. В первом ящике 8 белых, 4 черных шаров, во
втором – 7 белых и 5 черных, в третьем – 6 белых и 6 черных. Какова вероятность
того, что, выбрав наудачу один из ящиков, случайно извлечем из него белый шар?
Решение. Пусть событие А - взятый шар белый. Здесь возможны гипотезы:
𝐻1 – шар (любой) будут выбирать из первого ящика,
𝐻2 – шар (любой) будут выбирать из второго ящика,
𝐻3 – шар (любой) будут выбирать из третьего ящика.
Очевидно,
что
при
равновозможности
выбора
любого
ящика
𝑃(𝐴1 𝐴2 𝐴3 ) = 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 )𝑃(𝐴3 ) =
1
𝑃(𝐻1 ) = 𝑃(𝐻2 ) = 𝑃(𝐻3 ) = 3.
Вероятность того, что взятый шар белый, при условии, что он был извлечен из первого
ящика
8
8
7
7
6
6
𝑃(𝐴/𝐻1 ) = 8+4 = 12.
Аналогично:
𝑃(𝐴/𝐻2 ) = 7+5 = 12;
𝑃(𝐴/𝐻3 ) = 6+6 = 12.
Подставляя полученные числа в формулу
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃(𝐴/𝐻1 ) + 𝑃(𝐻2 ) ∙ 𝑃(𝐴/𝐻2 ) + ⋯ +.
+𝑃(𝐻𝑛 ) ∙ 𝑃(𝐴/𝐻𝑛 ), получим
1 8
1 7
1 6
1 21
7
𝑃(𝐴) = 3 12 + 3 12 + 3 12 = 3 12 = 12.
6.
Рассмотрим предыдущий пример. Допустим, что событие А наступило, т.е.
вынутый шар оказался белым. Тогда вероятность того, что этот шар был вынут из первого
ящика будет равна
𝑃(𝐻1 )𝑃(𝐴/𝐻1 ) 1 8 7
8
𝑃(𝐻1 𝐴) =
= ∙
⋮
=
𝑃(𝐴)
3 12 12 21
7.
На некоторой фабрике машина А производит 40% всей продукции, а машина В –
60%. В среднем 9 единиц из 1000 единиц продукции, произведенных машиной А,
оказывается браком, а у машины В – брак 2 единицы из 500. Некоторая единица
продукции, выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась браком.
Какова вероятность того, что она произведена на машине В.
Решение.
Пусть событие С состоит в том, что взята бракованная деталь из дневной продукции.
Рассмотрим гипотезы:
𝐻1 – гипотеза, что деталь изготовлена на машине А;
𝐻2 – гипотеза, что деталь изготовлена на машине В.
Вероятности этих гипотез соответственно равны:
𝑃(𝐻1 ) = 0,4
𝑃(𝐻2 ) = 0,6
Из условия задачи следует, что вероятность обнаружения брака продукции,
произведенной машиной А, равна 𝑃𝐻1 (𝐶) = 0,009.
Вероятность обнаружения брака продукции, произведенной машиной В, равна
𝑃𝐻2 (𝐶) = 0,004.
Найдем 𝑃𝐶 (𝐻2 ) вероятность того, что единица продукции, выбранная случайным образом
и оказавшаяся браком, произведена на машине В.
Воспользуемся формулой Байеса. Получим
𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃𝐻1 (𝐶)
0,4 ∙ 0,009
𝑃𝐶 (𝐻2 ) =
=
= 0,6
𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃𝐻1 (𝐶) + 𝑃(𝐻2 ) ∙ 𝑃𝐻2 (𝐶) 0,4 ∙ 0,009 + 0,6 ∙ 0,004
Ответ: 0,6
Контрольные вопросы:
1)
Что изучает теория вероятности?
2)
Дайте определение следующим понятиям: «испытание», «событие», «случайное
событие», «достоверное событие», «невозможное событие».
3)
Назовите виды случайных событий, дайте им определения.
4)
Что называется суммой нескольких событий?
5)
Что называется произведением нескольких событий?
6)
Что называется вероятностью события А?
7)
Сформулируйте теорему о сложении вероятностей.
8)
Что называется условной вероятностью?
9)
Назовите формулу полной вероятности.
10)
Назовите формулу Байеса.