граничные задачи для уравнения гельмгольца в квадранте

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2004
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ƒ¥«ì¬£®«ìæ ¢ ª¢ ¤à ­â¥ ¨ ¢ á®áâ ¢«¥­­®© ¨§ ¤¢ãå ª¢ ¤à ­â®¢ ¯®«ã¯«®áª®áâ¨. ‚ á«ãç ¥ ¯®«ã¯«®áª®á⨠¢¥é¥á⢥­­ë© ª®íää¨æ¨¥­â ãà ¢­¥­¨ï ¨¬¥¥â à §àë¢ ¢¤®«ì ®¡é¥© £à ­¨æë ª¢ ¤à ­â®¢. Žá­®¢­ ï æ¥«ì ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï | ¯®«ãç¨âì ­¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¬
㤮¢«¥â¢®àïîâ £à ­¨ç­ë¥ ä㭪樨 ¢ ¯¥à¥®¯à¥¤¥«¥­­ëå § ¤ ç å.
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„¨à¨å«¥ ¨ ¥©¬ ­ ¢ à áᬠâਢ ¥¬ëå ®¡« áâïå. à¨ í⮬ äã­¤ ¬¥­â «ì­ë¥ à¥è¥­¨ï ãà ¢­¥­¨ï ƒ¥«ì¬£®«ìæ , ä㭪樨 ƒà¨­ ¨ ¯®â¥­æ¨ «ë ¯à®á⮣® ¨«¨ ¤¢®©­®£® á«®¥¢ ­¥¯®á।á⢥­­®
­¥ ¨á¯®«ì§ãîâáï. ®ª § ­®, ª ª ¬®¦­® ¯à¨¬¥­¨âì ¯®«ã祭­ë¥ १ã«ìâ âë ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨
§ ¤ ç ᮯà殮­¨ï í«¥ªâ஬ £­¨â­ëå ¯®«¥© (­ ¯à¨¬¥à¥ § ¤ ç¨ ¤¨äà ªæ¨¨ í«¥ªâ஬ £­¨â­®©
¢®«­ë ­ áâ몥 ¤¢ãå ª¢ ¤à ­â®¢, § ¯®«­¥­­ëå ¤¨í«¥ªâਪ®¬ ¡¥§ ¯®â¥àì).
¥à¥®¯à¥¤¥«¥­­ë¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ ¤«ï ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, ¯®«ã¯®«®áë (¯à¨ ­ã«¥¢ëå £à ­¨ç­ëå
ãá«®¢¨ïå ­ ¯ à ««¥«ì­ëå áâ®à®­ å) ¨ ¯®«®áë, â ª¦¥ ¨å ¯à¨«®¦¥­¨ï ¢ í«¥ªâத¨­ ¬¨ª¥
à áᬠâਢ «¨áì à ­¥¥ ¢ [1]{[4]. „ ­­ ï áâ âìï ¯à®¤®«¦ ¥â ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¢ í⮬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨. „¢ã¬¥à­ë¥ § ¤ ç¨ ¤¨äà ªæ¨¨ í«¥ªâ஬ £­¨â­ëå ¢®«­ ­ ¯àאַ㣮«ì­ëå ¤¨í«¥ªâà¨ç¥áª¨å ª«¨­ìïå ¨áá«¥¤®¢ «¨áì ¢ á«ãç ¥ á। á ¯®â¥àﬨ ¢ [5]{[8] ¨ ¤à.
1. ®áâ ­®¢ª § ¤ ç. Ž¡®§­ 祭¨ï ¨ ¢á¯®¬®£ ⥫ì­ë¥ ã⢥ত¥­¨ï
ãáâì Q1 ¨ Q2 { ¯¥à¢ë© ¨ ç¥â¢¥àâë© ª¢ ¤à ­âë ¯«®áª®á⨠(x; z ) (á¬. à¨á. 1). ‚ ¯à ¢®©
¯®«ã¯«®áª®á⨠x > 0 ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ãà ¢­¥­¨¥ ƒ¥«ì¬£®«ìæ @ u + @ u + k (z)u(x; z ) = 0; x > 0;
(1)
@x @z
á ªãá®ç­®-¯®áâ®ï­­ë¬ ª®íää¨æ¨¥­â®¬ k(z ) = fz > 0 : k ; zq< 0 : k g, £¤¥ k ¨ k | ¢¥é¥á⢥­­ë¥
ç¨á« . ãáâì ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­­®á⨠k > k . Ž¡®§­ 稬 ke = k ; k .
‡ ¤ ç Š®è¨ ¤«ï ¯®«ã¯«®áª®á⨠á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬. ã¦­® ­ ©â¨ ¢ Q [ Q à¥è¥­¨¥
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
ãà ¢­¥­¨ï (1), 㤮¢«¥â¢®àïî饥 £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬
u(0 + 0; z) = u (z ); @u
@x (0 + 0; z) = u (z); ;1 < z < +1;
0
2
2
1
1
2
(2)
 ¡®â ¢ë¯®«­¥­ ¯à¨ 䨭 ­á®¢®© ¯®¤¤¥à¦ª¥ ®áᨩ᪮£® ä®­¤ äã­¤ ¬¥­â «ì­ëå ¨áá«¥¤®¢ ­¨© ¨
”®­¤ ˆŽŠ ’.
63
¨ ãá«®¢¨ï¬ ᮯà殮­¨ï ­ «¨­¨¨ à §àë¢ ª®íää¨æ¨¥­â @u
u(x; 0 + 0) = u(x; 0 ; 0); @u
@z (x; 0 + 0) = @z (x; 0 ; 0); 0 < x < +1:
(3)
¨á. 1
‘㦥­¨ï £à ­¨ç­ëå ä㭪権 uj (z ) ­ ¯®«ã®áïå z > 0 ¨ z < 0 ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì aj (z ) ¨ cj (z )
ᮮ⢥âá⢥­­®, §¤¥áì ¨ ¤ «¥¥ j = 1 ¨«¨ j = 2.
à¨ ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ § ¤ ç¨ Š®è¨ ¤«ï ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, á®áâ ¢«¥­­®© ¨§ ¤¢ãå ª¢ ¤à ­â®¢, ¯à¨¬¥¬ á«¥¤ãî騩 ¯« ­ ¤¥©á⢨©. ‚¢¥¤¥¬ ¢á¯®¬®£ ⥫ì­ë¥ ä㭪樨
@u (x; 0 ; 0); 0 < x < +1;
b (x) = u(x; 0 + 0) = u(x; 0 ; 0); b (x) = @u
(
x;
0
+
0)
=
@z
@z
¨ ¡ã¤¥¬ ¨áª âì äã­ªæ¨î u(x; z ) ª ª à¥è¥­¨¥ § ¤ ç Š®è¨ ¢ ®â¤¥«ì­ëå ª¢ ¤à ­â å Q ¨ Q .
0
1
1
ƒà ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï íâ¨å § ¤ ç § ¯¨è¥¬ ¢ ¢¨¤¥
@u (0; z) = a (z); z > 0; u(x; 0) = b (x); @u (x; 0) = b (x); x > 0
u(0; z) = a (z ); @x
@z
0
¨
1
0
1
@u (0; z) = c (z ); z < 0; u(x; 0) = b (x); @u (x; 0) = b (x); x > 0
u(0; z) = c (z ); @x
@z
2
(4)
(5)
ᮮ⢥âá⢥­­®. ®«ã稬 ãá«®¢¨ï, á¢ï§ë¢ î騥 £à ­¨ç­ë¥ ä㭪樨 ¢ § ¤ ç å Š®è¨ ¤«ï ª¢ ¤à ­â®¢ (í⨠ãá«®¢¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© á ¬®áâ®ï⥫ì­ë© ¨­â¥à¥á), § ⥬ ¨áª«î稬 ¨§ ­¨å
ä㭪樨 bj (x).
“á«®¢¨¬áï ¨á¯®«ì§®¢ âì á«¥¤ãî騥 ®¡®§­ 祭¨ï. à¨ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¨ ”ãàì¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ x,
z ¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ¯¥à¥¬¥­­ë¥ , ᮮ⢥âá⢥­­®; ¤«ï ®à¨£¨­ «®¢ ¨á¯®«ì§ãîâáï áâà®ç­ë¥ ¡ãª¢ë,
¤«ï ¨§®¡à ¦¥­¨© (®¡à §®¢p”ãàì¥) | ¯à®¯¨á­ë¥ (­ ¯à., ä㭪樨 f (x) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥¥ ®¡à §
”ãàì¥ F ( )). Œ­®¦¨â¥«ì 1= 2 ¯¥à¥¤ ¨­â¥£à «®¬ ”ãàì¥ ¯à¨áãâáâ¢ã¥â.
”㭪樨 aj (z ), cj (z ), bj (x) ¤®¯®«­¨¬ ­ã«¥¬ ¤® ®¤­®áâ®à®­­¨å (à ¢­ëå ­ã«î ­ ¯®«ã®á¨)
ä㭪権, ¯à¨ í⮬ uj (z ) = aj (z ) + cj (z ). ® ⥮६¥ ‚¨­¥à {í«¨ ®¡à §ë ”ãàì¥ ®¤­®áâ®à®­­¨å
ä㭪権 ïîâáï ¯à¥¤¥«ì­ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨ ä㭪権, ­ «¨â¨ç¥áª¨å ¢ ¢¥àå­¥© ¨«¨ ­¨¦­¥©
¯®«ã¯«®áª®áâ¨. â® ᢮©á⢮ ®¡à §®¢ ”ãàì¥ áãé¥á⢥­­® ¢ ¤ «ì­¥©è¥¬, ­® ¤«ï ã¯à®é¥­¨ï ä®à¬ã« ¢¬¥áâ® A+j ( ), Bj+( ), Cj;( ) ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì ᮮ⢥âá⢥­­® Aj ( ), Bj ( ), Cj ( ).
ãáâì km , m = 0; 1; 2, | ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ç¨á« . Ž¡®§­ 稬 ç¥à¥§
q
q
q
m () = < ;km : i 2 ; km2 ; ;km < < km : km2 ; 2; > km : ;i 2 ; km2
¯à¥¤¥«ì­®¥ §­ 祭¨¥ ¨§ ¢¥àå­¥©
¯®«ã¯«®áª®á⨠­ ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ ®¤­®§­ ç­®© ¢¥â¢¨ ­ «¨â¨q
2
_
ç¥áª®© ä㭪樨 m ( ) = km ; _2 , ¢ë¡à ­­®© ¢ à §à¥§ ­­®© ¯® ®â१ªã [;km ; km ] ª®¬¯«¥ªá­®©
¯«®áª®á⨠_ â ª, çâ® ­ ¢¥àå­¥¬ ¡¥à¥£ã à §à¥§ ¥¥ §­ 祭¨ï ¯®«®¦¨â¥«ì­ë (¤®áâ â®ç­® áç¨â âì,
çâ® m (0) = km ).
0
1
0
64
1
Š¢ ¤à ­âë ª®¬¯«¥ªá­ëå ¯«®áª®á⥩ ¯¥à¥¬¥­­ëå _ ¨ _ (â®çª ᢥàåã ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ¢¥é¥á⢥­­ ï ¯¥à¥¬¥­­ ï ¯à®¤®«¦¥­ ¢ ª®¬¯«¥ªá­ãî ®¡« áâì) ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì ਬ᪨¬¨ æ¨äà ¬¨
I, II, III ¨ IV. ®«ã®á¨ ¢¥é¥á⢥­­®© ¨ ¬­¨¬®© ®á¥© ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®á⨠¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì
R ; , R + , I ; , I+ .
‚ § ¤ ç¥ Š®è¨ ¤«ï ¯®«ã¯«®áª®á⨠¤®áâ â®ç­® ¯à¥¤¯®« £ âì, çâ® äã­ªæ¨ï u(x; z ) ¯à¨­ ¤«¥¦¨â L1;loc ¨ ª®à४⭮ ®¯à¥¤¥«¥­ë ¥¥ á«¥¤ë u0 (z ); u1 (z ) 2 L1;loc ­ ¯àאַ© x = 0. ® ç⮡ë
¨á¯®«ì§®¢ âì â¥å­¨ªã ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ”ãàì¥, ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¨áª®¬®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ | äã­ªæ¨ï ¬¥¤«¥­­®£® à®áâ ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, ¨, ¡®«¥¥ ⮣®, ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì u(x; z ),
u0 (z), u1 (z ) ª ª à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬¥¤«¥­­®£® à®áâ ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨. à¨ £« ¤ª¨å £à ­¨ç­ëå
äã­ªæ¨ïå ¯®áâ஥­­ë¥ ­¨¦¥ à¥è¥­¨ï ᮢ¯ ¤ãâ á ª« áá¨ç¥áª¨¬¨.
¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï, ª®â®àë¬ ¤®«¦­ë 㤮¢«¥â¢®àïâì £à ­¨ç­ë¥ ä㭪樨 ¢
¯¥à¥®¯à¥¤¥«¥­­®© § ¤ ç¥ Š®è¨ ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ƒ¥«ì¬£®«ìæ ¢ ®¤­®à®¤­®© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, ¡ë«¨
¯®«ã祭ë à ­¥¥ ¢ [1], [2]. ‚ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ¯à¨ k1 = k2 = k0 í⨠ãá«®¢¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì áä®à¬ã«¨à®¢ ­ë ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥.
¥è¥­¨¥ u(x; z ) ãà ¢­¥­¨ï (1) ¯à¨ k1 = k2 = k0 㤮¢«¥â¢®àï¥â £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬ (2) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®¡à §ë ”ãàì¥ £à ­¨ç­ëå à á¯à¥¤¥«¥­¨© 㤮¢«¥â¢®àïîâ
ãá«®¢¨ï¬
’¥®à¥¬ 1.
U ( ) ; i ( )U ( ) = 0; < ;k ; U ( ) + i ( )U ( ) = 0; > k :
(6)
(k2 ; 2 ; 2 )U (; ) = p1 [U1 ( ) ; iU0 ( )]:
2
(7)
1
0
0
0
1
0
0
0
à¨ í⮬
…᫨ ¨§ ãà ¢­¥­¨ï (7) ­ ©â¨ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ U (; ) ¨ ¯® ­¥¬ã ¢®ááâ ­®¢¨âì ®à¨£¨­ « u(x; z ),
â® ®¡à â­®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ”ãàì¥ ¤ áâ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë í«¥¬¥­â à­ëå
£ ମ­¨ª (¯«®áª¨å ¢®«­). ë«® ãáâ ­®¢«¥­®, çâ® ãá«®¢¨ï ­ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠(ãá«®¢¨ï ¨§«ã祭¨ï)
¥áâ¥á⢥­­ë¬ ®¡à §®¬ ¤®¯®«­ïîâ ãá«®¢¨ï (6).
ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ (1), (2) ï¥âáï ã室ï騬 ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâì ¨«¨ ï¥âáï ¯à¨å®¤ï騬 á ¡¥áª®­¥ç­®á⨠à¥è¥­¨¥¬, ¥á«¨ ¢ ¥£® à §«®¦¥­¨¨ ¯® ¯«®áª¨¬ ¢®«­ ¬ ­¥â
¯à¨å®¤ïé¨å á ¡¥áª®­¥ç­®á⨠¨«¨, ᮮ⢥âá⢥­­®, ­¥â ã室ïé¨å ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâì £ ମ­¨ª.
„«ï ã室ïé¨å ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâì à¥è¥­¨© ãá«®¢¨ï (6) ­ã¦­® ¤®¯®«­¨âì ãá«®¢¨¥¬
U ( ) ; i ( )U ( ) = 0; ;k < < k ;
1
0
0
0
0
¤«ï ¯à¨å®¤ïé¨å á ¡¥áª®­¥ç­®á⨠à¥è¥­¨© ¢ í⮩ ä®à¬ã«¥ á«¥¤ã¥â ¢§ïâì ¤à㣮© §­ ª.
„«ï «¥¢®© ¯®«ã¯«®áª®á⨠x < 0 «¥£ª® ¯®«ãç¨âì ­ «®£¨ç­ë© १ã«ìâ â.
‘«¥¤á⢨¥ 1. ¥®¡å®¤¨¬ë¥ ¨ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ­ £à ­¨ç­ë¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¤«ï ã室ïé¨å ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâì à¥è¥­¨© § ¤ ç¨ Š®è¨ ¢ ¯®«ã¯«®áª®á⨠x > 0 (¨«¨ ¤«ï ¯à¨å®¤ïé¨å á
¡¥áª®­¥ç­®á⨠à¥è¥­¨© ¢ ¯®«ã¯«®áª®á⨠x < 0) ¨¬¥îâ ¢¨¤
U ( ) ; sgn( + k )i ( )U ( ) = 0; ;1 < < +1;
0
(8)
U ( ) + sgn( ; k )i ( )U ( ) = 0; ;1 < < +1:
(9)
1
0
0
¢ ¤¢ãå ¯à®â¨¢®¯®«®¦­ëå á«ãç ïå |
1
0
0
0
65
2. ‡ ¤ ç¨ Š®è¨ ¢ ª¢ ¤à ­â å. “á«®¢¨ï ­ £à ­¨ç­ë¥ ä㭪樨
 áᬮâਬ § ¤ ç㠊®è¨ ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ƒ¥«ì¬£®«ìæ ¢ ª¢ ¤à ­â¥ Q1 . ã¤¥¬ ¨áª âì ¥¥ à¥è¥­¨ï ¢ ª« áᥠà á¯à¥¤¥«¥­¨© ¬¥¤«¥­­®£® à®áâ ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨.
’¥®à¥¬ 2.  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ u(x; z ) ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ Š®è¨ (1), (4) ⮣¤ ¨ ⮫쪮
⮣¤ , ª®£¤ £à ­¨ç­ë¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬
_ 0 (;1 (_)) + B1 (_) + i1 (_)B0 (_) = 0; _ 2 I;
A1(;1 (_)) ; iA
(10)
_ 0 (1 (_)) + B1 (_) ; i1 (_)B0 (_) = 0; _ 2 II:
A1 (1 (_)) ; iA
(11)
à¨ í⮬ ®¡à § ”ãàì¥ U (; ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î
(k12 ; 2 ; 2 )U (; ) = p1 [A1 ( ) ; iA0 ( ) + B1 ( ) ; iB0 ( )]:
(12)
2
„®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì u(x; z ) | à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨. à®¤®«¦¨¬ íâ® à á¯à¥¤¥«¥­¨¥
­ã«¥¬ ­ ¢áî ¯«®áª®áâì. ¥à¥©¤¥¬ ª ®¡à § ¬ ”ãàì¥ ¯® ®¡¥¨¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬. ®«ã稬, çâ® ®¡à §
”ãàì¥ ¨áª®¬®£® à¥è¥­¨ï 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î (12). ’ ª ª ª à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ U (; ) ­ «¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¦¨¬® ¯® ª ¦¤®¬ã à£ã¬¥­âã á ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ ¢ ¢¥àå­îî ª®¬¯«¥ªá­ãî
¯®«ã¯«®áª®áâì, â. ¥. á ®á⮢ £à ­¨æ ¡¨¯®«ã¯«®áª®á⥩ ¢ ¡¨¯®«ã¯«®áª®áâì Im _ > 0, Im _ > 0, â®
ãà ¢­¥­¨¥ (12) â ª¦¥ ¬®¦­® ¯à®¤®«¦¨âì ¢ íâã ¡¨¯®«ã¯«®áª®áâì. ®í⮬㠥᫨ k12 ; _2 ; _2 = 0
¯à¨ ª ª¨å-«¨¡® _, _ ¨§ ¡¨¯®«ã¯«®áª®á⨠Im _ > 0, Im _ > 0, â® ¨ ¯à ¢ ï ç áâì ãà ¢­¥­¨ï
_ 0 (_ ) + B1 (_) ; iB
_ 0 (_)]
(13)
(k12 ; _2 ; _ 2 )U (;_ _) = p1 [A1 (_ ) ; iA
2
®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì ¯à¨ â ª¨å _ ¨ _ .
 áᬮâਬ ¢á¥ ¢®§¬®¦­ë¥ ¯ àë §­ 祭¨© _, _ . …᫨ _ 2 I, â® 1 (_) 2 IV ¨ _ = ;1 (_) 2 II.
…᫨ _ 2 II, â® _ = 1 (_) 2 I. …᫨ ¦¥ _ ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¯®«®¦¨â¥«ì­®© ¬­¨¬®© ¯®«ã®á¨, â. ¥.
_ = i, 2 (0; +1), â® 1 (_) ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨, ­® ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ª¢ ¤à ­â ¬ I
¨ II.
à¥¤¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® ¢ë¯®«­¥­ë à ¢¥­á⢠(10), (11). ’®£¤ ¨§ ãà ¢­¥­¨ï (12) ¬®¦­® ­ ©â¨ ¬¥â®¤®¬ ¢ë室 ¢ ª®¬¯«¥ªá­ãî ¯«®áª®áâì à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ U (; ), ¯à¨ç¥¬ â ª®¥, çâ®
¥¬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ u(x; z ) á ­®á¨â¥«¥¬ ¢ ¯¥à¢®¬ ª¢ ¤à ­â¥, | à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨
Š®è¨.
…᫨ ¢ (10) ®¡®§­ ç¨âì _ = ;1 (_) (¯à¨ í⮬ _ = 1 (_)), â® ¯®«ã稬
_ 0 (1 (_ )) = 0; _ 2 II:
A1 (_ ) ; i1 (_ )A0(_) + B1 (1 (_)) ; iB
(14)
…᫨ ¢ (11) ®¡®§­ ç¨âì _ = 1 (_), â®
_ 0 (;1 (_)) = 0; _ 2 I:
A1 (_) + i1 (_)A0 (_) + B1(;1 (_)) ; iB
(15)
â¨ ¤¢ à ¢¥­áâ¢ à ¢­®á¨«ì­ë à ¢¥­á⢠¬ (10), (11).
„«ï § ¤ ç¨ Š®è¨ ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ƒ¥«ì¬£®«ìæ ¢ ª¢ ¤à ­â¥ Q2 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ­ «®£¨ç­®¥
ã⢥ত¥­¨¥.
’¥®à¥¬ 3.  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ u(x; z ) ï¥âáï à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨ Š®è¨ (1), (5) ⮣¤ ¨ ⮫쪮
⮣¤ , ª®£¤ £à ­¨ç­ë¥ ä㭪樨 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬
_ 0 (2 (_)) ; B1 (_) + i2 (_)B0 (_) = 0; _ 2 I;
C1(2 (_)) ; iC
(16)
_ 0 (;2 (_)) ; B1 (_) ; i2 (_)B0 (_) = 0; _ 2 II:
C1(;2 (_)) ; iC
(17)
66
à¨ í⮬ ®¡à § ”ãàì¥ U (; ) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ãà ¢­¥­¨î
(k2 ; 2 ; 2)U (; ) = p1 [C1 ( ) ; iC0 ( ) ; B1 ( ) + iB0 ( )]:
2
„®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®¢®¤¨âáï â®ç­® â ª ¦¥, ª ª ¢ á«ãç ¥ ¯¥à¢®£® ª¢ ¤à ­â . Žâ«¨ç¨¥ ¢
⮬, çâ® à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ U (; ) ­ «¨â¨ç¥áª¨ ¯à®¤®«¦¨¬® ¯® à£ã¬¥­âã á ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ ¢
¢¥àå­îî ª®¬¯«¥ªá­ãî ¯®«ã¯«®áª®áâì, ¯® | ¢ ­¨¦­îî ª®¬¯«¥ªá­ãî ¯®«ã¯«®áª®áâì.  ¢¥­á⢠¬ (16), (17) à ¢­®á¨«ì­ë ¤¢ ¤à㣨å à ¢¥­á⢠:
_ 0 (;2 (_)) = 0; _ 2 IV;
C1 (_) + i2 (_ )C0(_) ; B1 (;2 (_)) + iB
_ 0 (2 (_)) = 0; _ 2 III:
C1(_) ; i2(_)C0 (_ ) ; B1 (2 (_ )) + iB
‘«¥¤á⢨¥ 2. ‚ à¥è¥­¨¨ § ¤ ç¨ Š®è¨ ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ƒ¥«ì¬£®«ìæ ¢ ª¢ ¤à ­â¥ Q1 ®âáãâáâ¢ãîâ ¯à¨å®¤ï騥 á ¡¥áª®­¥ç­®á⨠£ ମ­¨ª¨ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ A1(;1 ()) ; iA0(;1 ()) + B1 ( ) + i1 ( )B0 () = 0; 2 (;k1 ; 0):
(18)
‘奬 ¤®ª § ⥫ìá⢠.  áᬮâਬ ãà ¢­¥­¨¥ (13).  §«®¦¨¬ ¥£® à¥è¥­¨¥ ­ ¯à®áâë¥
¤à®¡¨ ¢¨¤ 1
1
_ 1 (_) ; _ 1 (_)
¨ ¯¥à¥©¤¥¬ ¢ ¯®«ã祭­®¬ à ¢¥­á⢥ ­ ®á⮢ £à ­¨æ ¡¨¯®«ã¯«®áª®á⥩. ‚믮«­¨¬ ®¡à â­®¥
¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ”ãàì¥ ¯® ¤¢ã¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï U (; ). ‚뤥«¨¢ ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨
à¥è¥­¨ï u(x; z ) § ¤ ç¨ Š®è¨ ¨­â¥£à «ë, ᮤ¥à¦ 騥 § âãå î騥 ¨ à á¯à®áâà ­ïî騥 £ ମ­¨ª¨, ¯à¨¤¥¬ ª ãá«®¢¨î (18).
’®ç­® â ª ¦¥ ¬®¦­® ¯®«ãç¨âì
‘«¥¤á⢨¥ 3. ‚ à¥è¥­¨¨ § ¤ ç¨ Š®è¨ ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ƒ¥«ì¬£®«ìæ ¢ ª¢ ¤à ­â¥ Q2 ®âáãâáâ¢ãîâ ¯à¨å®¤ï騥 á ¡¥áª®­¥ç­®á⨠£ ମ­¨ª¨ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ A1 (2 ( )) ; iA0(2 ( )) ; B1 () + i2 ( )B0 () = 0; 2 (;k2 ; 0):
(19)
 ¢¥­á⢠(10), (11) ¨ ¤à㣨¥ ¯®¤®¡­ë¥ ¨¬ à ¢¥­á⢠¬®¦­® à á¯à®áâà ­¨âì ­ £à ­¨æë
ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ª¢ ¤à ­â®¢. ’®£¤ ãá«®¢¨ï ­ £à ­¨ç­ë¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¬®£ãâ ¡ëâì § ¯¨á ­ë
¢ ¢¨¤¥ à ¢¥­á⢠­ ¯®«ã®áïå R; , R+ , I;, I+ . Žâ¬¥â¨¬, çâ® à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ Š®è¨ ¢ ª¢ ¤à ­â¥ Q1 ,
­ ¯à¨¬¥à, áãé¥áâ¢ã¥â, ¥á«¨ ¯à®¤®«¦¥­­ë¥ ­ ¯®«ã®á¨ à ¢¥­á⢠(10), (11) ¢ë¯®«­ïîâáï å®âï
¡ë ­ ᪮«ì 㣮¤­® ¬ «ëå ãç áâª å £à ­¨æ ª¢ ¤à ­â®¢ II ¨ I. ® ãá«®¢¨ï ¨§«ã祭¨ï (18), (19),
¥á«¨ ­ã¦­® ¯®«ãç¨âì ã室ï騥 ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâì à¥è¥­¨ï § ¤ ç Š®è¨, ¤®«¦­ë ¢ë¯®«­ïâìáï
­ ¢á¥å ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨­â¥à¢ « å.
3. ‡ ¤ ç Š®è¨ ¤«ï ¯®«ã¯«®áª®áâ¨.
ˆáª«î祭¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫ì­ëå à á¯à¥¤¥«¥­¨©
Œ®¦­® 㪠§ âì ¤¢ ®á­®¢­ëå ¯à¨¥¬ , á ¯®¬®éìî ª®â®àëå ¨§ ãá«®¢¨© ­ £à ­¨ç­ë¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨áª«îç îâáï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï bj (x).
‚ëà §¨¬ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï Bj ( ) ­ ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ ç¥à¥§ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï Aj (_ ). ãáâì ¢ à ¢¥­á⢠å (10), (11) ¨ (16), (17) ¯¥à¥¬¥­­ ï _ ! , £¤¥ 2 (;1; 0) ¨«¨ 2 (0; +1).
ˆ§ (10), (11) á«¥¤ã¥â
A (; ()) ; iA (; ( )) + B () + i ( )B () = 0; 2 (0; +1);
A ( ()) ; iA ( ()) + B ( ) ; i ( )B () = 0; 2 (;1; 0):
1
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
67
(20)
(21)
‚ (21) ¯à¨ 2 (;1; ;k1 ) § ¬¥­¨¬ ­ ; . ’ ª ª ª ¯à¨ í⮬ 1 (; ) = ;1 ( ), â®
A (; ()) + iA (; ()) + B (;) + i ( )B (; ) = 0; 2 (k ; +1):
1
1
0
1
1
1
0
1
Ž¡ê¥¤¨­¨¬ íâ® à ¢¥­á⢮ á ãá«®¢¨¥¬ ¨§«ã祭¨ï (18), ¢ ª®â®à®¬ § ¬¥­¨¬ ­ ; . ’®£¤ A (; ()) + iA (; ()) + B (;) + i ()B (; ) = 0; 2 (0; +1):
1
1
0
1
1
1
0
(22)
‘ª« ¤ë¢ ï ¨ ¢ëç¨â ï (20) ¨ (22), ¯®«ã稬
2A1 (;1 ( )) + B1C ( ) + i1 ( )B0C ( ) = 0; 2 (0; +1);
; 2iA0 (;1 ()) + iB1S () + i1 ()iB0S () = 0; 2 (0; +1);
(23)
(24)
§¤¥áì Bjc ( ), Bjs ( ) | cos- ¨ sin-®¡à §ë ”ãàì¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨© bj (x).
’¥®à¥¬ 4. ‡ ¤ ç „¨à¨å«¥ ¨ § ¤ ç ¥©¬ ­ ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ƒ¥«ì¬£®«ìæ ¢ ª¢ ¤à ­â¥
¨¬¥îâ ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥, ã室ï饥 ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâì ¨«¨ ¯à¨å®¤ï饥 á ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨.
„®ª § ⥫ìá⢮.  áᬮâਬ § ¤ ç㠄¨à¨å«¥ ¢ ª« áᥠã室ïé¨å ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâì à¥è¥­¨©. ãáâì ­ £à ­¨æ¥ ª¢ ¤à ­â Q1 § ¤ ­ë £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï
u(0; z ) = a (z ); z > 0; u(x; 0) = b (x); x > 0:
0
0
ã¤¥¬ ¨áª âì à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ „¨à¨å«¥ ¢ ä®à¬¥ à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ Š®è¨. ˆ§ (24) sin-®¡à § ”ãàì¥
à á¯à¥¤¥«¥­¨ï b1 (x) ®¤­®§­ ç­® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ç¥à¥§ ®¡à §ë ”ãàì¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨© b0 (x) ¨ a0 (z ).
 á¯à¥¤¥«¥­¨¥ a1 (z ) â ª¦¥ ¬®¦­® ¢ëà §¨âì ç¥à¥§ b0 (x) ¨ a0 (z ). „¥©á⢨⥫쭮, «¥£ª® ¯®«ãç¨âì à ¢¥­á⢮
;2iB (; ( )) + iAS ( ) + i ( )iAS ( ) = 0; 2 (0; +1)
0
1
1
1
0
(¤®áâ â®ç­® ¯®¬¥­ïâì ¢ (24) ®¡®§­ 祭¨ï ®á¥© ª®®à¤¨­ â ¨ £à ­¨ç­ëå à á¯à¥¤¥«¥­¨© ­ à §­ëå
áâ®à®­ å ª¢ ¤à ­â ). ’®£¤ ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥ § ¤ ç¨ ¬®¦­® ­ ©â¨ ¯® ¥£® ®¡à §ã ”ãàì¥
(12).
‚ á«ãç ¥ § ¤ ç¨ ¥©¬ ­ ­ã¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì à ¢¥­á⢮ (23) ¨ ­ «®£¨ç­®¥ ¥¬ã.
’ ª¨¥ ¦¥ à áá㦤¥­¨ï ¯à®¢¥¤¥¬ ¤«ï à ¢¥­á⢠(16), (17). à¨ _ ! ¯®«ã稬
C ( ()) ; iC ( ()) ; B ( ) + i ( )B ( ) = 0; 2 (0; +1);
C (; ()) ; iC (; ()) ; B ( ) ; i ( )B ( ) = 0; 2 (;1; 0):
1
1
2
0
2
0
2
1
2
0
2
1
2
0
(25)
(26)
‚ (26) ¯à¨ 2 (;1; ;k2 ), â ª¦¥ ¢ ãá«®¢¨¨ ¨§«ã祭¨ï (19) § ¬¥­¨¬ ­ ; . ’®£¤ C ( ()) + iC ( ()) ; B (; ) + i ()B (; ) = 0; 2 (0; +1):
1
2
0
2
1
2
0
(27)
‘ª« ¤ë¢ ï ¨ ¢ëç¨â ï (25) ¨ (27), ¯®«ã稬
2C1 (2 ( )) ; B1C ( ) + i2 ( )B0C ( ) = 0; 2 (0; +1);
; 2iC0 (2 ()) ; iB1S () + i2 ()iB0S () = 0; 2 (0; +1):
68
(28)
(29)
ˆ§ á¨á⥬ «¨­¥©­ëå ãà ¢­¥­¨© (23), (28) ¨ (24), (29) á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨ 2 (0; +1)
B C () = 2i A (; (()))++C(() ()) ;
B C () = ;2 ( )A (; (()))+;(())C ( ()) ;
B S ( ) = ;2i A (; (()))++C(() ()) ;
B S () = 2 ()A (; (()))+;(())C ( ( )) :
1
1
0
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
2
0
2
2
(30)
2
1
1
1
2
1
1
0
2
2
’®£¤ ¯® £à ­¨ç­ë¬ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï¬ aj (z ), cj (z ) ®¤­®§­ ç­® ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢á¯®¬®£ ⥫ì­ë¥
à á¯à¥¤¥«¥­¨ï bj (x).
 ª®­¥æ, ¯ãáâì ¢ ä®à¬ã« å (14), (15) _ ! , 2 (;1; 0) ¨«¨ 2 (0; +1). ’®£¤ A ( ) ; i ( )A ( ) + B ( ( )) ; iB ( ( )) = 0; 2 (;1; 0);
A ( ) + i ( )A ( ) + B (; ( )) ; iB (; ( )) = 0; 2 (0; +1)
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
¨«¨
A ( ) + sgn i ( )A ( ) + +B (; sgn ( )) ; iB (; sgn ( )) = 0; 2 (;1; +1): (31)
1
1
0
1
1
0
1
‚ á«ãç ¥ ª¢ ¤à ­â Q2 ­¥âà㤭® ¯®«ãç¨âì ­ «®£¨ç­ë¥ à ¢¥­á⢠C ( ) ; i ( )C ( ) ; B ( ( )) + iB ( ( )) = 0; 2 (;1; 0);
C ( ) + i ( )C ( ) ; B (; ( )) + iB (; ( )) = 0; 2 (0; +1);
1
2
1
2
0
0
1
1
2
0
2
0
2
2
¨«¨
C ( ) + sgn i ( )C ( ) ; B (; sgn ( )) + iB (; sgn ( )) = 0; 2 (;1; +1): (32)
1
2
0
1
2
0
2
’¥®à¥¬ 5. ‡ ¤ ç Š®è¨ ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ƒ¥«ì¬£®«ìæ (1) ¢ ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, á®áâ ¢«¥­­®© ¨§
¤¢ãå ª¢ ¤à ­â®¢, ¨¬¥¥â ¥¤¨­á⢥­­®¥ à¥è¥­¨¥ ¢ ª« áᥠã室ïé¨å ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâì à¥è¥­¨©
⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®¡à §ë ”ãàì¥ £à ­¨ç­ëå ä㭪権 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬ (31),
(32) ¨ (30).
Œ®¦­® á ¯®¬®éìî à ¢¥­á⢠(30) ¯®«­®áâìî ¨áª«îç¨âì à á¯à¥¤¥«¥­¨ï Bj ( ) ¨§ ãá«®¢¨© (31)
¨ (32), ­® â ª®© ¯ãâì ¯à¨¢®¤¨â ª á«®¦­ë¬ ¢ëà ¦¥­¨ï¬.  ¢¥­á⢠(30) 㤮¡­® ¨á¯®«ì§®¢ âì
⮫쪮 ¯à¨ ®¡®á­®¢ ­¨¨ à §à¥è¨¬®á⨠£à ­¨ç­ëå § ¤ ç ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ƒ¥«ì¬£®«ìæ ¢ ª¢ ¤à ­â å.
’¥®à¥¬ 6. ‡ ¤ ç „¨à¨å«¥ ¨ § ¤ ç ¥©¬ ­ ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ƒ¥«ì¬£®«ìæ (1) ¢ ¯®«ã¯«®áª®áâ¨, á®áâ ¢«¥­­®© ¨§ ¤¢ãå ª¢ ¤à ­â®¢, ¨¬¥îâ ¥¤¨­á⢥­­ë¥ à¥è¥­¨ï ¢ ª« áᥠã室ïé¨å ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâì à¥è¥­¨©.
„¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ § ¤ ­ë, ­ ¯à¨¬¥à, £à ­¨ç­ë¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï a0 (z ), c0 (z ), â® ¨§ ¢â®à®©
¯ àë à ¢¥­á⢠(30) ®¤­®§­ ç­® ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¢á¯®¬®£ ⥫ì­ë¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï bj (x). ’®£¤ ¨§
ãá«®¢¨© (31), (32) ¬®¦­® ­ ©â¨ ä㭪樨 a1 (z ), c1 (z ). 69
4. ˆáª«î祭¨¥ ¢á¯®¬®£ ⥫ì­ëå ä㭪権. ‚â®à®© ᯮᮡ
‚ à ¢¥­á⢠å (10), (11) ¨ (16), (17) ¯¥à¥©¤¥¬ ­ ¯®«®¦¨â¥«ì­ãî ¬­¨¬ãî ¯®«ã®áì I+ . …᫨
_ ! i 2 I+ , â® ¯à¨ 2 (0; +1)
A1 (;1()) + A0 (;1 ()) + B1 (i) + i1 ()B0 (i) = 0;
(33)
A1(1 ()) + A0 (1 ()) + B1 (i) ; i1 ()B0 (i) = 0;
(34)
;
C1 (2 ()) + C0 (2 ()) ; B1 (i) + i2 ()B0 (i) = 0;
(35)
C1(;2 ()) + C0 (;2 ()) ; B1 (i) ; i2 ()B0 (i) = 0;
(36)
q
£¤¥ j () = kj2 + 2 , j = 1; 2 (§­ 祭¨ï ä㭪権 j () ¢¥é¥á⢥­­ë¥, ¯à¨ç¥¬ j () > kj ).
ˆáª«î稬 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï Bj (i) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ­ ©¤¥¬ ¢ëà ¦¥­¨ï Bj (i) ¨§ (34), (36)
¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¨å ¢ (33) ¨ (35). ®«ã稬 ¯ àã à ¢¥­áâ¢
2 () A ( ()) + A ( ()) +
A1(;1 ()) + A0(;1 ()) + 1 (()) ;
0
1
+ 2 () 1 1
1
(37)
+ (2)1+() () C1 (;2 ()) + C0 (;2 ()) = 0; 2 (0; +1);
1
2
; 2 () C (; ()) + C (; ()) +
C1(2 ()) + C0 (2 ()) ; 1 (()) +
0
2
2 () 1 2
1
+ (2)2+() () A1 (1 ()) + A0 (1 ()) = 0; 2 (0; +1):
(38)
1
2
‚ à ¢¥­á⢠å (11) ¨ (17) ¯¥à¥©¤¥¬ ­ R; . …᫨ _ ! 2 (;1; 0), â®
A1(1 ()) ; iA0 (1()) + B1 ( ) ; i1 ()B0 ( ) = 0; 2 (;1; 0);
C1(;2()) ; iC0 (;2()) ; B1 ( ) ; i2 ()B0 ( ) = 0; 2 (;1; 0):
Žâáî¤ ­ ©¤¥¬ Bj ( ) ¨ ¯®¤áâ ¢¨¬ ¨å ¢ ãá«®¢¨ï ¨§«ã祭¨ï (18) ¨ (19). ®«ã稬
2() A ( ( )) ; iA ( ()) +
A1 (;1 ()) ; iA0 (;1()) + 1 (()) ;
0
1
+ 2 ( ) 1 1
1
1 ( )
+ (2)+
C
2 (;k1 ; 0) (39)
1 (;2 ( )) ; iC0 (;2 ( )) = 0;
( )
1
2
(§¤¥áì §­ 祭¨ï 1 ( ) ¨ 2 ( ) ¢¥é¥á⢥­­ë¥),
2 () C (; ( )) ; iC (; ()) +
C1 (2 ( )) ; iC0(2 ()) ; 1 (()) ;
0
2
+ 2 ( ) 1 2
1
2 ( )
+ (2)+
A
2 (;k2 ; 0) (40)
1 (1 ( )) ; iA0 (1 ( )) = 0;
( )
1
2
(§¤¥áì §­ 祭¨ï 2 ( ) ¢¥é¥á⢥­­ë¥, 1 ( ) ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ¯à¨ 2 (;k1 ; 0) ¨ ¬­¨¬ë¥ ¯à¨ 2
(;k2 ; ;k1 )).
’¥®à¥¬ 7.  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ u(x; z ) ï¥âáï ã室ï騬 ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâì à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨
Š®è¨ (1){(3) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥£® á«¥¤ë ­ ¯àאַ© x = 0 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬
(37){(40).
‹¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¯à¨ k1 = k2 = k0 ãá«®¢¨ï (37){(40) ᮢ¯ ¤ îâ á ãá«®¢¨¥¬ (8). Ž¡ê¥¤¨­¨¬ à ¢¥­á⢠(37) ¨ (39), (38) ¨ (40) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. “¬­®¦¨¬ ®¡¥ ç á⨠(37) ­ 1 ()+2 ()
¨, ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ë
Aj ( ) = 21 Acj ( ) + 2i Asj ( ); Aj (; ) = 12 Acj ( ) ; 2i Asj ( );
70
¯¥à¥¯¨è¥¬ ¥£® ¢ ¢¨¤¥
i
h
() Ac ( ()) + Ac ( ()) ; i () As ( ()) + As ( ()) +
h
i
+ 2 () C (; ()) + C (; ()) = 0; 2 (0; +1):
1
1
1
0
1
2
1
1
1
0
1
1
2
0
2
p
‚¢¥¤¥¬ ­®¢ãî ¯¥à¥¬¥­­ãî = 1 (), ¯à¨ í⮬ = i1 ( ) ¨ 2 () = !21 ( ) = k22 ; k12 + 2 . ’®£¤ Ac ( ) + i ( )Ac ( ) ; i ! ( ) As ( ) + i ( )As ( ) +
1
1
21
1
1
0
0
+ 2 C1 (;!21 ( )) + i1 ( )C0 (;!21 ( )) = 0 (41)
¯à¨ 2 (k1 ; +1p). ˆ§ (38) á ¯®¬®éìî § ¬¥­ë ¯¥à¥¬¥­­®© = 2 (), ¯à¨ í⮬ = i2 ( ) ¨
1 () = !12 ( ) = k12 ; k22 + 2, ¯®«ã稬
C s ( ) + i ( )C s( ) ; i ! ( ) C c ( ) + i ( )C c( ) ;
; 2i ! ( ) A (! ( )) + i ( )A (! ( )) = 0 (42)
1
2
0
2
1
12
0
1
12
12
2
0
12
¯à¨ 2 (k2 ; +1).
‚믮«­¨¬ ­ «®£¨ç­ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¤«ï à ¢¥­á⢠(39) ¨ (40). ˆá¯®«ì§ã¥¬ á«¥¤ãî騥
§ ¬¥­ë
¯¥à¥¬¥­­ëå: ¢ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ = 1 ( ), ¯à¨ í⮬ = ;1 ( ) ¨ 2 (p
) = !21 ( ) =
p
k22 ; k12 + 2 , ¢® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ = 2(), ¯à¨ í⮬ = ;2 ( ) ¨ 1( ) = !12( ) = k12 ; k22 + 2.
’®£¤ ¯®«ã稬 â®ç­® â ª¨¥ ¦¥ à ¢¥­á⢠, ª ª (41) ¨ (42), ­® ¯à¨ 2 (0; k1 ) ¨ ¯à¨ 2 (0; k2 )
ᮮ⢥âá⢥­­®. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¡ íâ¨ à ¢¥­á⢠¢ë¯®«­ïîâáï ­ ¢á¥© ¯®«ã®á¨ (0; +1).
à¥®¡à §ã¥¬ ®¡à §ë ”ãàì¥ ¢® ¢â®àëå áâப å à ¢¥­á⢠(41), (42)
Cj (;! ( )) = 12 Cjc(! ( )) ; 2i Cjs(! ( )); 2 (0; +1);
21
¨
21
21
e +1)
Aj (! ( )) = 12 Acj (! ( )) + 2i Asj (! ( )); 2 (k;
12
12
12
(¢ í⮬ á«ãç ¥ !12 ( ) | ¢¥é¥á⢥­­®¥ ç¨á«®). ® ¥á«¨ 2 (0; ke), â® §­ 祭¨¥ !12( ) ¬­¨¬®¥ ¨
Z +1
!12( )Acj ( )
1 Z +1 Asj ( ) d:
Aj (!12( )) = ; i
d
=
2 ; !122 ( )
0 2 ; !122 ( )
0
Žáâ ¢¨¬ ¢ ª ç¥á⢥ ¨áª®¬ëå cos- ¨ sin-®¡à §ë ”ãàì¥ Ac1 ( ), Ac0 ( ), C1s ( ) ¨ C0s ( ), ¢á¥ ®áâ «ì­ë¥
¢ëà §¨¬ ç¥à¥§ ­¨å á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«
Z +1
Z +1
Acj ( )
Cjs ( )
c ( ) = ; 2
Asj ( ) = ; 2
d;
C
(43)
j
2 ; 2
2 ; 2 d:
0
0
’®£¤ ¯®«ã稬
‘«¥¤á⢨¥ 4.  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ u(x; z ) ï¥âáï ã室ï騬 ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâì à¥è¥­¨¥¬ § ¤ ç¨
Š®è¨ (1){(3) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¥£® á«¥¤ë ­ £à ­¨æ¥ ®¡« á⨠㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬
Ac ( ) + i ( )Ac ( ) ; i C s(! ( )) + i ( )C s (! ( )) +
1
1
0
1
71
21
1
0
21
Z +1
Z +1
c
c
!
C1s( ) + i1( )C0s ( ) d = 0;
2
2
21 ( ) A1 ( ) + i1 ( )A0 ( )
+ i
d
;
2 ; 2
0
2 ; 2 + k12 ; k22
0
C1s ( ) + i2 ( )C0s( ) ; i ! ( ) 1 ; (ek;k2) ( ) Ac1 (!12 ( )) + i2 ( )Ac0 (!12 ( )) +
12
1 C1s ( ) + i2 ( )C0s ( )
2 Z 1 Ac ( ) + i ( )Ac ( ) d = 0
+ i ! ( ) 2
d
;
;
; ;k +k
e k ); 0; 2
e k )g.
¯à¨ 2 (0; +1). ‡¤¥áì k;k2 ( ) = f1; 2 (k;
= (k;
Z
+
2
0
12
(~
+
2
2
0
2
)
2
1
2
0
2
1
2
2
(44)
(45)
2
Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¨á室­ë¥ à ¢¥­á⢠(37){(40) ¬®£«¨ ¡ëâì ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­® ¯à¥®¡à §®¢ ­ë ª
¤à㣮¬ã ¢¨¤ã.  ¯à¨¬¥à, ¢¬¥áâ® (37), (38) ¬®¦­® ¡ë«® ¡ë ­ ¯¨á âì
A1 (;1()) + A0 (;1()) + A1 (1 ()) + A0 (1 ())+
+ C1 (2 ()) + C0 (2 ()) + C1 (;2 ()) + C0 (;2 ()) = 0;
(46)
2 () A1(;1 ()) + A0 (;1 ()) ; A1 (1 ()) ; A0 (1 ()) ;
; 1()C1(2 ()) + C0 (2 ()) ; C1(;2 ()) ; C0(;2 ()) = 0:
(47)
¥à¢®¥ à ¢¥­á⢮, ­ ¯à¨¬¥à, «¥£ª® ¯®«ãç¨âì ª ª á㬬ã à ¢¥­á⢠(33), (34). ‹¨­¥©­ë¥ ª®¬¡¨­ 樨 ãá«®¢¨© (39) ¨ (40) à áᬠâਢ âì á«®¦­¥¥, ¯®áª®«ìªã ®­¨ § ¤ ­ë ­ à §­ëå ¨­â¥à¢ « å.
…᫨ ¢ (46), (47) ¯¥à¥©â¨ ª cos- ¨ sin-®¡à § ¬ ”ãàì¥, â® ¯®«ã稬 (¯®á«¥ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å
§ ¬¥­ ¯¥à¥¬¥­­ëå)
Ac ( ) + i ( )Ac ( ) + C c(! ( )) + i ( )C c(! ( )) = 0; 2 (k ; +1);
! ( ) C s( ) + i ( )C s ( ) + As (! ( )) + i ( )As (! ( )) = 0; 2 (k ; +1);
12
1
1
2
1
0
1
0
21
1
12
1
¨«¨
2
0
0
12
1
21
2
2 Z +1 C1s ( ) + i1 ( )C0s ( ) d; 2 (k ; +1);
1
1
1
0
0 2 ; 2 ; k12 + k22 Z +1
h
i
Ac1 ( ) + i2 ( )Ac0 ( ) d; 2 (k ; +1):
!12( ) C1s( ) + i2( )C0s ( ) ; 2
2
2 ; 2 + k12 ; k22
0
 ¢¥­á⢠¬¨ (48), (49) ¬®¦­® § ¬¥­¨âì ç áâì à ¢¥­á⢠(44), (45).
Ac ( ) + i
( )Ac ( ) ;
(48)
(49)
5. ‡ ¤ ç ¤¨äà ªæ¨¨ í«¥ªâ஬ £­¨â­®© ¢®«­ë ­ áâ몥 ¤¢ãå ª¢ ¤à ­â®¢
ãáâì ¯«®áª®áâì xz à §¤¥«¥­ ­ âਠç áâ¨: «¥¢ãî ¯®«ã¯«®áª®áâì H (x < 0), ¯¥à¢ë© ª¢ ¤à ­â Q1 ¨ ç¥â¢¥àâë© ª¢ ¤à ­â Q2 (á¬. à¨á. 1). ãáâì ª ¦¤ ï ®¡« áâì § ¯®«­¥­ ¤¨í«¥ªâਪ®¬,
᢮©á⢠á। å à ªâ¥à¨§ãîâ ¢¥é¥á⢥­­ë¥ ¢®«­®¢ë¥ ç¨á« k0 ; k1 ¨ k2 . ãáâì ­ £à ­¨æã à §¤¥« á। x = 0 ¨§ ¯®«ã¯«®áª®á⨠H ­ ¡¥£ ¥â TE-¯®«ïਧ®¢ ­­ ï í«¥ªâ஬ £­¨â­ ï ¢®«­ .
ã¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì à áá¥ï­­®¥ ¯®«¥ ¢ ª ¦¤®© ¨§ ®¡« á⥩ H , Q1 ¨ Q2 . ®â¥­æ¨ «ì­ë¥ ä㭪樨
¯ ¤ î饣® ¨ ¨áª®¬®£® ¯®«ï ¤®«¦­ë ¡ëâì à¥è¥­¨ï¬¨ ãà ¢­¥­¨ï ƒ¥«ì¬£®«ìæ @ u + @ u + k (x; z)u(x; z) = 0
@x @z
2
2
2
2
2
(á ¯®áâ®ï­­ë¬ ¢ ª ¦¤®© ¨§ à áᬠâਢ ¥¬ëå ®¡« á⥩ ª®íää¨æ¨¥­â®¬), 㤮¢«¥â¢®àïî騬¨
ãá«®¢¨ï¬ ¨§«ã祭¨ï.  £à ­¨æ¥ à §¤¥« á। ¤®«¦­ë ¢ë¯®«­ïâìáï ãá«®¢¨ï ᮯà殮­¨ï ¯®«¥©.
‚롥६ ¢ ª ç¥á⢥ ¨áª®¬ëå ä㭪権 ¯à¥¤¥«ì­ë¥ §­ 祭¨ï ­ ®á¨ z á¯à ¢ (¨§ ®¡« á⥩
Q1 ¨ Q2) ¯®â¥­æ¨ «ì­®© ä㭪樨 ¨áª®¬®£® ¯®«ï
u (z ) = u(0 + 0; z ); u (z) = @u
@x (0 + 0; z); ;1 < z < +1:
0
1
72
ãáâì u0 (x; z ) | ¯®â¥­æ¨ «ì­ ï äã­ªæ¨ï ­ ¡¥£ î饩 ¢®«­ë. ‚롥६ § ¢¨á¨¬®áâì ª®¬¯®­¥­â
¯®«ï ®â ¢à¥¬¥­¨ ¢ ¢¨¤¥ exp(i!t). ‚ ᨫã à ¢¥­á⢠(8), (9) ®¡à §ë ”ãàì¥ ¯à¥¤¥«ì­ëå §­ 祭¨©
¯®â¥­æ¨ «ì­ëå ä㭪権 ­ ®á¨ z á«¥¢ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬
@u (0 ; 0; ) ; sgn( + k )i ( )u(0 ; 0; ) = 0; 2 (;1; +1)
@x
0
¨
0
@u (0 ; 0; ) + sgn( ; k )i ( )u (0 ; 0; ) = 0; 2 (;1; +1)
@x
ᮮ⢥âá⢥­­®. ’®£¤ ¨§ ãá«®¢¨© ᮯà殮­¨ï ¯®«¥© ­ ¯àאַ© x = 0
@u (0 ; 0; ) = @u (0 + 0; )
(0
;
0
;
)
+
u (0 ; 0; ) + u(0 ; 0; ) = u(0 + 0; ); @u
@x
@x
@x
0
0
0
0
0
0
á«¥¤ã¥â
U ( ) ; sgn( + k )i ( )U ( ) = ;2i ;k0 ;k0 ( )U ( ); 2 (;1; +1):
(50)
‡¤¥áì ;k0 ;k0 ( ) = f1; 2 (;k ; k ); 0; 2= (;k ; k )g | å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï ¬­®¦¥á⢠(;k ; k ). ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ä㭪樨 uj (z ) ¤®«¦­ë ¡ëâì â ª¨¬¨, çâ®¡ë ¡ë« ª®à४⭮
1
(
0
)
0
0
0
0
(
0
0
)
0
0
0
0
¯®áâ ¢«¥­ § ¤ ç Š®è¨ ¤«ï ¯à ¢®© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨¬¥¥â ¬¥áâ®
’¥®à¥¬ 8. ‡ ¤ ç ¤¨äà ªæ¨¨ TE-¢®«­ë ­ áâ몥 ª¢ ¤à ­â®¢ íª¢¨¢ «¥­â­ á¨á⥬¥ ãà ¢­¥­¨© (50), (37){(40).
 ¯®¬­¨¬, çâ® Aj ( ), Cj ( ) | ®¡à §ë ”ãàì¥ ®¤­®áâ®à®­­¨å ä㭪権, áã¬¬ë ª®â®àëå à ¢­ë
uj (z). ‘¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨© (50), (37){(40) ¬®¦­® ¯à¥®¡à §®¢ âì â ª, ç⮡ë 㬥­ì訫®áì ç¨á«®
ãà ¢­¥­¨© ¨ ç¨á«® ¨áª®¬ëå ä㭪権.
à¥¦¤¥ ¢á¥£®, ¬®¦­® ¢ëà §¨âì U1 ( ) ç¥à¥§ U0 ( ) ­ ®á­®¢ ­¨¨ à ¢¥­á⢠(50) ¨ ãç¥áâì, çâ®
Z +1
Uj ( ) d; C ( ) = 1 U ( ) ; 1 Z +1 Uj ( ) d:
Aj ( ) = 21 Uj ( ) + 21i
(51)
j
2 j
2i ;1 ; ;1 ; ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ä®à¬ã« å ‘®å®æª®£® (51) §­ ª¨ ­¥ â ª¨¥, ª ª ¢ ([9], x 2) (íâ® á¢ï§ ­® á ⥬, çâ®
¢ ­ 襬 á«ãç ¥ ¢ë¡à ­ ¤à㣮© §­ ª ã ®¤­®áâ®à®­­¨å ä㭪権 cj (z )).
Žâ¬¥â¨¬ â ª¦¥, çâ® Aj ( ), Cj ( ) | ¯à¥¤¥«ì­ë¥ §­ 祭¨ï ­ ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ ä㭪権, ­ «¨â¨ç¥áª¨å ᮮ⢥âá⢥­­® ¢ ¢¥àå­¥© ¨ ­¨¦­¥© ¯®«ã¯«®áª®áâïå. ®í⮬ã ãá«®¢¨ï ­ ¨áª®¬ë¥
ä㭪樨 «¥£ª® ¨­â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ª ª ãá«®¢¨ï § ¤ ç¨ «¨­¥©­®£® ᮯà殮­¨ï ­ ¢¥é¥á⢥­­®©
®á¨ (ªà ¥¢®© § ¤ ç¨ ¨¬ ­ ) ¤«ï ¯ àë ­ «¨â¨ç¥áª¨å ä㭪権. ‘¯¥æ¨ä¨ª í⮩ § ¤ ç¨ ¢ á«¥¤ãî饬: ¢®-¯¥à¢ëå, ¢ ªà ¥¢®¬ ãá«®¢¨¨ ãç áâ¢ãîâ ¤¢ ᤢ¨£ !12 ( ) ¨ !21 ( ); ¢®-¢â®àëå, ¢ ®¡é¥¬
á«ãç ¥ Aj ( ), Cj ( ) | ¯à¥¤¥«ì­ë¥ §­ 祭¨ï ­ ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨ ­ «¨â¨ç¥áª¨å ä㭪権 Aj (_),
Cj (_) ᮮ⢥âá⢥­­® ¢ á¬ëá«¥ á室¨¬®á⨠¢ ¯à®áâà ­á⢥ à á¯à¥¤¥«¥­¨© ¬¥¤«¥­­®£® à®áâ ­ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨.
à¨ ª®­áâàã¨à®¢ ­¨¨ «£®à¨â¬®¢ ç¨á«¥­­®£® à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ¤¨äà ªæ¨¨ 楫¥á®®¡à §­®, ­ ­ è ¢§£«ï¤, ¯¥à¥©â¨ ª cos- ¨ sin-®¡à § ¬ ”ãàì¥ ¨áª®¬ëå ä㭪権. à¨ í⮬ ¬®¦­® ¢ ª ç¥á⢥
­®¢ëå ¨áª®¬ëå ä㭪権 ¢ë¡à âì Ac1 ( ), Ac0 ( ), C1s ( ), C0s ( ).
Ž¡®§­ 稬 ¯à ¢ãî ç áâì (50) ç¥à¥§ v( ).  ¢¥­á⢮ (50) ¯à¥®¡à §ã¥¬ ¢ ¤¢ à ¢¥­á⢠A ( ) + C ( ) ; i ( )[A ( ) + C ( )] = v( ); 2 (0; +1);
A (; ) + C (; ) ; i ( )[A (; ) + C (; )] = v(; ); 2 (0; +1):
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
‘ª« ¤ë¢ ï ¨ ¢ëç¨â ï, ¯®«ã稬
Ac ( ) + C c( ) ; i ( )[Ac ( ) + C c( )] = v( ) + v(; );
2 (0; +1);
s
s
s
s
A ( ) + C ( ) ; i ( )[A ( ) + C ( )] = ;i[v( ) ; v(; )]; 2 (0; +1):
1
1
0
0
0
1
1
0
0
0
73
 ª®­¥æ, á ¯®¬®éìî ä®à¬ã« (43) ¯à¨¤¥¬ ª ãà ¢­¥­¨ï¬
Z +1 s
s C
2
1 ( ) ; i0 ( )C0 ( )
c
c
A1 ( ) ; i0 ( )A0 ( ) ; d = v( ) + v(; );
2 ; 2
C s( ) ; i ( )C s ( ) ; 2
1
0
0
0
Z
1
+
0
2 (0; +1); (52)
Ac ( ) ; i ( )Ac ( )
d = ;i[v( ) ; v(; )]; 2 (0; +1): (53)
;
0
1
2
0
2
‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ¯®«­ ï á¨á⥬ ¨­â¥£à «ì­ëå ãà ¢­¥­¨© § ¤ ç¨ ¤¨äà ªæ¨¨ í«¥ªâ஬ £­¨â­®©
¢®«­ë ­ áâ몥 ª¢ ¤à ­â®¢ á®á⮨⠨§ ãà ¢­¥­¨© (52), (53), (44), (45). à¨ ç¨á«¥­­ëå à áç¥â å
㤮¡­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ¬¥â®¤ ƒ «¥àª¨­ , à §« £ ï ¨áª®¬ë¥ ä㭪樨 (à á¯à¥¤¥«¥­¨ï) ¯® äã­ªæ¨ï¬ à¬¨â , ç¥â­ë¬ ¤«ï Aj ( ) ¨ ­¥ç¥â­ë¬ ¤«ï Cj ( ). ®ª ­¥ ¢ëïá­¥­®, 楫¥á®®¡à §­® «¨ ¯à¨
í⮬ ¨á¯®«ì§®¢ âì à ¢¥­á⢠(48), (49).
‚ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ ¯à¨ k2 = k0 ¨¬¥¥¬ ᪠«ïà­ãî § ¤ çã ¤¨äà ªæ¨¨ í«¥ªâ஬ £­¨â­®© ¢®«­ë
­ ª¢ ¤à ­â¥. ‡ ¤ ç ᮯà殮­¨ï à¥è¥­¨© ãà ¢­¥­¨ï ƒ¥«ì¬£®«ìæ ¢ ç¥âëà¥å ª¢ ¤à ­â å â ª¦¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨áá«¥¤®¢ ­ á ¯®¬®éìî ¯®«ã祭­ëå ãá«®¢¨© à §à¥è¨¬®á⨠§ ¤ ç¨ Š®è¨ ¤«ï
¯®«ã¯«®áª®áâ¨, á®áâ®ï饩 ¨§ ¤¢ãå ª¢ ¤à ­â®¢.
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3. «¥é¨­áª¨© .., ’㬠ª®¢ „.. Œ¥â®¤ ç áâ¨ç­ëå ®¡« á⥩ ¤«ï ᪠«ïà­ëå ª®®à¤¨­ â­ëå § ¤ ç ¤¨äà ªæ¨¨ í«¥ªâ஬ £­¨â­ëå ¢®«­ ¢ ª« áá å ®¡®¡é¥­­ëå ä㭪権 // à¥¯à¨­â
2000-1. Š § ­áª. ¬ ⥬. ®-¢®. { 2000. { 50 á.
4. Œ å¥à €., «¥é¨­áª¨© .. ‡ ¤ ç ® ᪠窥 ¤«ï ãà ¢­¥­¨ï ƒ¥«ì¬£®«ìæ ¢ ¯«®áª®á«®¨á⮩
á।¥ ¨ ¥¥ ¯à¨«®¦¥­¨ï // ˆ§¢. ¢ã§®¢. Œ ⥬ ⨪ . { 2002. { ò 1. { ‘. 45{56.
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Š § ­áª¨© £®á㤠àá⢥­­ë©
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®áâ㯨« 05.04.2002
74
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