Ω

№5
2015
ЭЛЕКТРОННЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «APRIORI. CЕРИЯ: ЕСТЕСТВЕННЫЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ»
УДК 512.542
О Ω-НАСЛЕДСТВЕННОМ ПОДГРУППОВОМ ФУНКТОРЕ
Петрушин Павел Викторович
магистрант
Сорокина Марина Михайловна
кандидат физико-математических наук
Брянский государственный университет им. И.Г. Петровского, Брянск
[email protected]
Аннотация. В статье изучается Ω-наследственный подгрупповой
функтор
группу
, ставящий в соответствие каждой конечной группе
и все ее подгруппы, принадлежащие
, где
– некоторый не-
пустой класс простых конечных групп. Устанавливается
Ω-расслоенной формации конечных групп, а также
саму
-замкнутость
-замкнутость ее
максимального внутреннего Ω-спутника.
Ключевые слова: конечная группа; подгрупповой функтор; класс
групп; формация групп; τ-замкнутая формация; Ω-расслоенная формация.
ON Ω-INHERITED SUBGROUP FUNCTOR
Petrushin Pavel Victorovich
undergraduate
Sorokina Marina Mikhailovna
candidate of physical and mathematical sciences
Bryansk State University named by I.G. Petrovsky, Bryansk
Abstract. In this article we have studied Ω-inherited subgroup functor
which puts in conformity for every finite group
belonging to
, where
itself and all of its subgroups
is a some nonempty class of simple finite groups.
There has been established
groups and
,
-closure of an Ω-foliated formation of finite
-closure of its maximal inner Ω-satellite.
Key words: a finite group; a subgroup functor; a class of groups;
a formation of groups; a τ-closed formation; an Ω-foliated formation.
1
В современной теории групп одно из центральных мест занимает
понятие подгруппового функтора. Подгрупповой функтор есть отображение, ставящее в соответствие каждой группе некоторую непустую систему ее подгрупп. Основные положения теории подгрупповых функторов
изложены в монографии С.Ф. Каморникова и М.В. Селькина [1], в которой отражена тесная связь между подгрупповыми функторами и классами конечных групп. Исследованием подгрупповых функторов и их влияния на классы групп занимались А.Н. Скиба, А.Ф. Васильев, Л.А. Воробей, И.А. Кузменкова, Л.П. Авдашкова и многие другие (см., например,
[2–6]). В частности, в [2] представлена теория τ-замкнутых локальных
формаций конечных групп, где
– регулярный подгрупповой функтор,
называемый также подгрупповым функтором Скибы [1, с. 14].
Локальные и композиционные формации, которые строятся с помощью специальной функции – экрана (см., например, [7]), долгое время
являлись главными объектами исследования теории формаций. В 1999
году В.А. Ведерников ввел в рассмотрение Ω-расслоенные формации, которые строятся с помощью уже двух сопутствующих функций – функцииспутника (аналог экрана) и функции-направления [8]. При этом композиционные формации представили один из видов расслоенных формаций.
В статье А.Ф. Васильева [9] изучаются слабо наследственные классы конечных групп, то есть классы групп, которые с каждой своей группой содержат и все ее подгруппы простого порядка, т.е. подгруппы, являющиеся простыми абелевыми группами. В этой связи интерес для исследования представляет такой подгрупповой функтор, который каждой
группе сопоставляет некоторые ее подгруппы, являющиеся простыми
группами. Настоящая работа посвящена исследованию Ω-наследственного подгруппового функтора
конечной группе
где
саму группу
, ставящего в соответствие каждой
и все ее подгруппы, принадлежащие
,
– некоторый непустой класс простых конечных групп. В работе
установлена
-замкнутость Ω-расслоенной формации конечных групп,
2
обладающей внутренним
-замкнутым Ω-спутником, а также доказана
-замкнутость ее максимального внутреннего Ω-спутника.
В работе используются определения и обозначения, принятые в [1;
8; 10]. Приведем лишь некоторые из них.
Множество групп
группой
называется классом групп, если с каждой своей
оно содержит и все группы, изоморфные .
Пусть
стых групп,
– класс всех конечных групп,
– класс всех конечных про-
– непустой подкласс класса .
Далее рассматриваются только конечные группы.
Через
( ) обозначается класс всех простых групп, изоморфных
композиционным факторам группы
для всех
Пусть
, где
;
( ) – объединение классов
– класс групп.
– отображение, которое ставит в соответствие всякой группе
некоторую непустую систему ( ) ее подгрупп. Отображение
вается подгрупповым функтором, если ( ( ))
морфизма
Пусть
*
( )
каждой группы
– группа и
(
назы-
) для любого изо-
[1, с. 13].
– подгруппа группы
( )
. Тогда
( )+ [1, с. 13].
Подгрупповой функтор
два условия: 1)
,
называется регулярным, если выполняются
( )
(
); 2)
(
( ) [1, с. 14]; наследственным, если для любой подгруппы
справедливо включение
бой подгруппы
группы
( )
для любой группы
всегда из
( ) и
следует
( )и
всегда из
( ) [1, с. 15]; радикальным, если
и любой ее нормальной подгруппы
3
группы
( ); включающим, если для лю-
( ); транзитивным, если для любой группы
( ) следует
)
( )
[1, с. 16].
( )
1. Подгрупповой функтор
и его простейшие свойства
Следуя терминологии из [9], введем определение Ω-наследственного подгруппового функтора.
Определение 1. Ω-наследственным подгрупповым функтором назовем
подгрупповой функтор, обозначаемый
в соответствие саму группу
В случае, когда
, который каждой группе
ставит
и все ее подгруппы, принадлежащие
совпадает с , будем использовать обозначение
.
.
Доказательство следующей леммы осуществляется непосредственной проверкой для
сформулированных выше определений.
Лемма 1. Подгрупповой функтор
является включающим тран-
зитивным подгрупповым функтором.
Замечание 1. Подгрупповой функтор
Действительно, пусть
,
( ), но
гда
не является регулярным.
(
и
,
). Подгрупповой функтор
ляется наследственным. В самом деле, пусть
( ), но
. Тогда
( )
( ), но
,
,
не яв,
не является радикальным. Дей-
,
. Тогда
,
( ).
Через
( ) обозначается множество всех подгрупповых функторов.
На множестве ( ) следующим образом вводится частичный порядок
( )
для любых
группы
,
( ). Следовательно,
( ). Подгрупповой функтор
ствительно, пусть
. То-
тогда и только тогда, когда для любой
справедливо включение
( )
( ) [1, с. 45].
Произведение подгрупповых функторов
и
определяется сле-
дующим образом:
(
Отметим, что
)( )
( )и
*
( )+ [1, с. 46].
( ) является полугруппой относительно операции
[1, с. 46].
Лемма 2.
:
, т.е.
– идемпотент полугруппы ( ( ) ).
4
(
Доказательство. 1) Пусть
( ) такая, что
группа
Пусть
( ). Если
. Это означает, что
.
.
( ). Тогда, учитывая, что
2) Пусть
( ).
, то
– простая группа, принадлежащая
( ). Следовательно,
Поэтому
(
)( ). Тогда существует под-
)( ). Таким образом,
( ), получаем
.
Из 1)-2) следует, что
. Тем самым установлено, что под-
является идемпотентом полугруппы ( ( ) ).
групповой функтор
Лемма доказана.
2.
-замкнутые Ω-расслоенные формации
– непустое множество групп. Тогда ( ) обозначает класс
Пусть
групп, порожденный ; в частности, ( ) – класс всех групп, изоморфных
группе .
– класс всех конечных Ω-групп, т.е. таких групп
( )
;
( );
( )
, для которых
.
— класс всех конечных абелевых групп.
Пусть
,
– классы групп. Гашюцевым произведением классов
(
называется класс групп
и
).
Формацией называется класс групп
, замкнутый относительно го-
моморфных образов и конечных подпрямых произведений. Классом
Фиттинга называется класс групп
, замкнутый относительно нормаль-
ных подгрупп и конечных произведений нормальных -подгрупп.
Пусть
– класс Фиттинга.
-радикалом группы
ведение всех нормальных подгрупп группы
значается
( )
Функция
функция
называется произ-
, принадлежащих
. Используются следующие обозначения:
, и обо-
( )
,
.
*
+
{формации групп} называется ΩF-функцией;
{формации групп} называется F-функцией; функция
5
{непустые формации Фиттинга} называется FR-функцией. Функции
и
,
принимают одинаковые значения на изоморфных группах из об-
ласти определения [8, с. 126].
(
Формация
)
( )
(
(
)и
( ) для
( )
( )) называется Ω-расслоенной формацией с Ω-спутником
всех
и направлением
(
; формация
)
(
( ) для
( )
( )) называется расслоенной формацией со спутником
всех
направлением
[8, с. 127].
Ω-расслоенной формации называется b-направ-
Направление
лением, если
и
( )
равлением, если
; r-нап-
( ) для любой абелевой группы
( )
направлением, если
( ) для любой группы
является
;
-направлением для любого
*
+
[8, с. 128].
обозначается направление Ω-композиционной формации,
Через
т.е.
( )
для любого
, где
– класс всех конечных групп, у
которых каждый главный А-фактор централен [8, с. 128].
Ω-спутник
если ( )
Пусть
Ω-расслоенной формации
*
для всех
называется внутренним,
+.
– подгрупповой функтор. Класс групп
τ-замкнутым, если ( )
для любой группы
Ω-расслоенной формации
называется
[2, с. 23]. Ω-спутник
называется τ-замкнутым, если все его зна-
чения являются τ-замкнутыми формациями.
Лемма 3. Пусть
, где
ственный класс групп,
класс групп
–
Так как
-замкнутый класс групп,
также является
Доказательство. Пусть
– непустой нормально наслед-
-замкнутым.
( ),
и
, то существует
рим факторгруппу
. Тогда
такая, что
. Поскольку
па, то возможны два случая: либо
и
и
, либо
6
. Покажем, что
.
. Рассмот– простая груп.
1) Пусть
. Тогда
Учитывая, что
Так как
и
(
, и значит,
–
).
-замкнутый класс групп, получаем
.
– непустой нормально наследственный класс групп, то
поэтому
.
2) Пусть
. Тогда
тывая, что
ем
,и
и
. Так как
— нормальная подгруппа группы
. Учи-
— нормально наследственный класс групп, получа, то
, и значит,
Таким образом, класс групп
.
является
-замкнутым. Лемма
доказана.
Лемма 4. Пусть
направлением
,
формации . Тогда
,
,
– Ω-расслоенная формация с br-
–
-замкнутый внутренний Ω-спутник
является
-замкнутой формацией.
Доказательство. Пусть
( ), то
Так как
, то
(
)
Пусть
и
, причем
–
– простая группа из
.
. Поскольку
.
– минимальный Ω-спутник формации . Так как
), и поэтому (
зом,
. Покажем, что
для некоторого простого числа . По следствию 3 [10]
(
, то по теореме 5 [8]
(
( ),
и
)
)
(
(
. Ввиду теоремы 5 [8]
(
. Следовательно,
. Это означает, что
)
)
). Таким обра-
. Тем самым установлено, что
-замкнутая формация. Лемма доказана.
Теорема 1. Пусть
направлением
,
,
,
– Ω-расслоенная формация с br-
–
-замкнутый внутренний Ω-спутник
формации
. Тогда максимальный внутренний Ω-спутник формации
является
-замкнутым.
Доказательство. По следствию 5.8 [11] формация
ственным максимальным внутренним Ω-спутником
и ( )
( ) для всех
-замкнутой, то (
)–
обладает един-
таким, что (
. Так как по лемме 4 формация
-замкнутая формация. Так как
7
)
является
– нормально
наследственная формация и ( ) –
3 ( ) является
зом,
–
-замкнутая формация, то по лемме
-замкнутой формацией для любого
-замкнутый Ω-спутник формации . Теорема доказана.
) называется Ω-канонической, или, коротко,
(
Формация
ΩK-формацией, если ( )
( )
ется
для любой группы
( )
(
( ));
всех
( )
. Таким обра-
(
)и
( ) для всех
( )
(
аналогично,
, и обознача-
)
( )
( )
для
(
( )) – каноническая формация, или, корот-
ко, K-формация [8].
– Ω-каноническая формация,
Лемма 5. Пусть
внутренний Ω-спутник формации . Тогда
Доказательство. Пусть
( ), то
Так как
. Тогда
Пусть
-замкнутый
-замкнутая формация.
( ),
и
, причем
. Покажем, что
– простая группа из
( )
. По лемме 7 [10]
.
. Пусть
для любого
.
– минимальный Ω-спутник Ω-канонической формации . Так
( )и
как
–
–
( ), и поэтому
Следовательно,
Таким образом,
( )
, то по теореме 5 [8]
–
, и значит, ( )
. Это означает, что
.
.
-замкнутая формация. Лемма доказана.
Следствие 1. Пусть
– каноническая формация,
внутренний спутник формации . Тогда
–
-замкнутый
-замкнутая формация.
– Ω-каноническая формация,
Теорема 2. Пусть
–
–
-замкнутый
внутренний Ω-спутник формации
. Тогда максимальный внутренний
Ω-спутник формации
-замкнутым.
является
Доказательство. По теореме 2 [10] формация
ственным максимальным внутренним Ω-спутником
и ( )
( ) для всех
-замкнутой, то (
)–
обладает един-
таким, что (
. Так как по лемме 5 формация
-замкнутая формация. Так как
наследственная формация и ( ) –
)
является
– нормально
-замкнутая формация, то по лемме
8
3 ( ) является
зом,
–
-замкнутой формацией для любого
. Таким обра-
-замкнутый Ω-спутник формации . Теорема доказана.
Следствие 2. Пусть
– каноническая формация,
внутренний спутник формации
спутник формации
является
–
-замкнутый
. Тогда максимальный внутренний
-замкнутым.
Список использованных источников
1. Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы
конечных групп. Минск: Беларуская навука, 2003. 254 с.
2. Скиба А.Н. Алгебра формаций. Минск: Беларуская навука, 1997. 240 с.
3. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф. Решеточные подгрупповые функторы. Препринт / Гомельский госуниверситет. Гомель, 1999. № 81. 21 с.
4. Воробей Л.А., Каморников С.Ф. О дополняемых элементах решетки
подгрупповых функторов гомоморфа // Вопросы алгебры. 1998.
Вып. 12. С. 74-77.
5. Каморников С.Ф., Кузменкова И.А. Регулярные фильтрующие функторы и формации // Вопросы алгебры. 2000. Вып. 3(16). С. 116-118.
6. Каморников С.Ф., Авдашкова Л.П. Радикальные дистрибутивные
функторы // Мат. заметки. 2000. Т. 68. № 1. С. 91-97.
7. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978. 272 с.
8. Ведерников В.А., Сорокина М.М. Ω-расслоенные формации и классы
Фиттинга конечных групп // Дискретная математика. 2001. Т. 13.
Вып. 3. С. 125-144.
9. Васильев А.Ф. О перечислении локальных формаций с условием
Кегеля // Вопросы алгебры. 1992. Вып. 7. С. 86-93.
10. Vedernikov V.A. Maximal satellites of Ω-foliated formations and Fitting
classes // Proc. Steklov Inst. Math. 2001. № 2. P. 217-233.
11. Ведерников В.А., Демина Е.Н. Ω-расслоенные формации мультиоператорных Т-групп // Сиб. матем. ж. 2010. Т. 51. № 5. С. 990-1009.
9