ОБ АЛГЕБРАИЧНОСТИ РЕШЁТКИ ВСЕХ τ

Алгебра и логика, 45, № 5 (2006), 620—626
УДК 512.542
ОБ АЛГЕБРАИЧНОСТИ РЕШЁТКИ ВСЕХ
τ -ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ
ФОРМАЦИЙ
В. Г. САФОНОВ
В работе рассматриваются только конечные группы. Все необходимые термины содержатся в [1–4].
Использование методов и конструкций общей теории решёток при
изучении внутреннего строения формаций позволяет находить более простые схемы доказательства как уже известных фактов, так и новых результатов теории формаций [2–5]. Исследованию общих свойств решётки
тотально насыщенных формаций, а также изучению структурного строения тотально насыщенных формаций, имеющих заданные ограничения на
решётки тотально насыщенных подформаций посвящены работы [6–13].
Вместе с тем, в настоящее время решётка тотально насыщенных формаций является одной из менее изученных решёток формаций групп. Об
этом свидетельствует ряд открытых вопросов, поставленных в [2–5, 14].
B [3] было доказано, что при любом целом неотрицательном n решётка всех τ -замкнутых n-кратно насыщенных формаций, а также решётка
всех разрешимых тотально насыщенных формаций являются алгебраическими. Кроме того, там же был поставлен вопрос об алгебраичности решётτ [3, вопрос 4.4.6].
ки всех τ -замкнутых тотально насыщенных формаций l∞
В данной работе даётся положительный ответ на этот вопрос.
Напомним некоторые из используемых определений и обозначений.
Непустую систему формаций θ называют полной решёткой формаций, если пересечение любой совокупности формаций из θ снова принадлежит θ и
c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2006
Об алгебраичности решётки формаций
621
в множестве θ имеется такая формация F, что H ⊆ F для любой формации
H ∈ θ. Формации из θ называют θ-формациями.
Пусть A, B — группы, ϕ : A → B — эпиморфизм, Ω и Σ — некоторые
системы подгрупп в A и B, соответственно. Через Ωϕ обозначается множество {H ϕ | H ∈ Ω}, а через Σϕ
−1
— множество {H ϕ
−1
| H ∈ Σ} всех
полных прообразов в A всех групп из Σ.
Пусть X — произвольный непустой класс групп и всякой группе G ∈
∈ X сопоставлена некоторая система её подгрупп τ (G). Следуя [3], будем
говорить, что τ — подгрупповой X-функтор (или, иначе, τ — подгрупповой
функтор на X), если для всякого эпиморфизма ϕ : A → B, где A, B ∈ X,
выполняются включения (τ (A))ϕ ⊆ τ (B), (τ (B))ϕ
−1
⊆ τ (A), и, кроме того,
для любой группы G ∈ X имеет место G ∈ τ (G).
Класс групп F называется τ -замкнутым, если τ (G) ⊆ F для любой
группы G ∈ F. Всякую формацию конечных групп называют 0-кратно насыщенной. При n > 1 формацию F называют n-кратно насыщенной, если
она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого — это
(n − 1)-кратно насыщенные формации. Формацию, n-кратно насыщенную
для любого целого неотрицательного n, называют тотально насыщенной.
Если при этом F является τ -замкнутой, то F называют τ -замкнутой nкратно насыщенной и, соответственно, τ -замкнутой тотально насыщенной формацией.
τ form X обозначаПусть X — некоторая совокупность групп. Через l∞
ется τ -замкнутая тотально насыщенная формация, порождённая классом
групп X, т. е. пересечение всех τ -замкнутых тотально насыщенных формаτ form G назыций, содержащих X. Если при этом X = {G}, то формацию l∞
вают однопорождённой τ -замкнутой тотально насыщенной. Для любых
τ полагают M ∨τ H = lτ form (M ∪ H).
M и H из l∞
∞
∞
τ ,
Множество всех τ -замкнутых тотально насыщенных формаций l∞
частично упорядоченное по включению ⊆, образует полную решётку.
τ -формациями,
Экран, все непустые значения которого являются l∞
τ -значным. Пусть {f | i ∈ I} — некоторая система lτ называется l∞
i
∞
значных экранов. Тогда через ∨τ∞ (fi | i ∈ I) обозначается такой экран
622
В. Г. Сафонов
f , что f (p) =
τ form
l∞
S
i∈I
fi (p) , если по крайней мере одна из формаций
fi (p) отлична от ∅. В противном случае полагают f (p) = ∅.
Напомним [15], что элемент a решётки L называется компактным,
если при a ≤ ∨(xj | j ∈ J) выполняется a ≤ ∨(xj | j ∈ F ) для некоторого
конечного подмножества F ⊂ J. Решётка L называется алгебраической,
если каждый элемент a ∈ L является объединением компактных элементов решётки L. В дальнейшем для всякого непустого множества простых
чисел π через Nπ и Sπ будем обозначать соответственно классы всех нильпотентных и всех разрешимых π-групп.
Для доказательства основного результата понадобятся следующие
известные факты теории формаций групп.
ЛЕММА 1 [3]. Пусть A — монолитическая группа с неабелевым
монолитом, M — некоторая τ -замкнутая полуформация и A ∈ lnτ form M.
Тогда A ∈ M.
ЛЕММА 2 [2]. Пусть f — локальный экран формации F, G — конечная группа. Если найдётся простое число p, при котором G/Op (G) ∈
∈ f (p) ∩ F, то группа G принадлежит формации F.
ЛЕММА 3 [2]. Пусть f1 — локальный экран формации F, H —
непустая формация такая, что π(H) ⊆ π(F). Тогда формация FH имеет
локальный экран f такой, что для любого простого числа p справедливы
утверждения:
1) f (p) = f1 (p)H, если p ∈ π(F);
2) f (p) = ∅, если p 6∈ π(F).
ЛЕММА 4 (см. [3, лемма 4.1.2]). Пусть Fi — τ -замкнутая тоτ -значный локальтально насыщенная формация, fi — минимальный l∞
ный экран формации Fi (i ∈ I). Тогда ∨τ∞ (fi | i ∈ I) — минимальный
τ -значный локальный экран формации ∨τ (F | i ∈ I).
l∞
∞ i
ЛЕММА 5 [13]. Пусть F — непустая τ -замкнутая формация, π —
множество простых чисел такое, что π(F) ⊆ π. Тогда произведение Sπ F
является τ -замкнутой тотально насыщенной формацией.
Об алгебраичности решётки формаций
ЛЕММА 6. Пусть H =
τ form
l∞
S
623
Fi , где Fi — τ -замкнутая то-
i∈I
тально насыщенная формация (i ∈ I), A ∈ H — монолитическая группа.
S
Если Soc(A) — неабелева группа, то A ∈
Fi .
i∈I
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A — группа из условия леммы,
π
=
S
τ
Fi ⊆
= π(H). Согласно лемме 5 имеет место включение H = l∞ form
i∈I
S
S
Fi . Значит, A ∈ Sπ τ form
⊆ Sπ τ form
Fi . Поскольку Soc(A) —
i∈I
i∈I
S
S
Fi . По лемме 1 имеем A ∈
неабелева группа, то A ∈ τ form
Fi .
i∈I
i∈I
Лемма доказана.
ТЕОРЕМА. Решётка всех τ -замкнутых тотально насыщенных
τ является алгебраической.
формаций l∞
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем вначале, что для любой группы
A однопорождённая τ -замкнутая тотально насыщенная формация F =
τ form A является компактным элементом решётки lτ . Доказательство
= l∞
∞
проведём индукцией по порядку группы A.
Пусть A — контрпример минимального порядка,
!
[
τ
τ
F = l∞ form A ⊆ H = l∞ form
Fi ,
i∈I
τ -формация (i ∈ I). Покажем, что A — монолитическая групгде Fi — l∞
па. Предположим противное. Пусть N1 и N2 — различные минимальτ form (A/N ),
ные нормальные подгруппы группы A. Положим L = l∞
1
τ form (A/N ).
M = l∞
2
По индукции для групп A/N1 и A/N2 утверждение верно. Поскольку
!
[
τ
τ
L = l∞
form (A/N1 ) ⊆ H = l∞
form
Fi ,
i∈I
τ
τ
M = l∞
form (A/N2 ) ⊆ H = l∞
form
[
i∈I
Fi
!
,
то найдутся такие наборы индексов i1 , . . . , ik и j1 , . . . , jn , что
[
[
τ
L ⊆ l∞
form Fi1
. . . Fik ,
624
В. Г. Сафонов
[
[
τ
M ⊆ l∞
form Fj1
. . . F jn .
Значит,
[
[
[
[
[
τ
F = L ∨τ∞ M ⊆ l∞
form Fi1
F j1
. . . Fik
. . . F jn .
Получили противоречие. Поэтому A — монолитическая группа.
Пусть P = Soc(A).
Допустим, что P — неабелева группа. В силу
S
S
Fi и по лемме 6 спаведливо A ∈
Fi . Поэтому найдётся
A∈
τ form
l∞
i∈I
i∈I
индекс i ∈ I такой, что A ∈ Fi . Снова получили противоречие.
τ form (A/Φ(A)) =
Значит, P — абелева p-группа. Поскольку l∞
τ form A, используя индукцию, получаем P 6⊆ Φ(A). Поэтому P =
= l∞
= Fp (A) = Op (A) и A = [P ]B для некоторой максимальной подгруппы B
τ -значные локальные экраны
группы A. Пусть fi , f , h — минимальные l∞
формаций Fi , F и H, соответственно. По лемме 4 имеем h = ∨τ∞ (fi | i ∈ I).
Поскольку P = Fp (A) и A ∈ H, справедливо
B ≃ A/Fp (A) ∈ h(p) = ∨τ∞ (fi (p) | i ∈ I).
Учитывая |B| < |A| и используя индукцию, найдём такой набор индексов
J = {j1 , . . . , jt }, что
B ≃ A/Fp (A) ∈ ∨τ∞ (fj (p) | j ∈ J).
τ -значный локальный
По лемме 4, l = ∨τ∞ (fj | j ∈ J) — минимальный l∞
экран формации L = ∨τ∞ (Fj | j ∈ J). Значит,
A/Op (A) ≃ B ∈ l(p) = ∨τ∞ (fj (p) | j ∈ J).
Согласно лемме 2 группа Aпринадлежит
формации L. Следовательно,
S
τ form A ⊆ L = lτ form
Fj . Полученное противоречие показыF = l∞
∞
j∈J
τ .
вает, что предположение неверно и F — компактный элемент решётки l∞
τ -формация является объединением своих
Поскольку, очевидно, любая l∞
τ -подформаций в решётке lτ , то lτ является алгебраоднопорождённых l∞
∞
∞
ической. Теорема доказана.
Напомним, что подгрупповой X-функтор τ называется тривиальным, если τ (G) = {G} для любой группы G ∈ X.
Об алгебраичности решётки формаций
625
Применяя теорему к случаю, когда τ — тривиальный подгрупповой
функтор, получаем
СЛЕДСТВИЕ. Решётка всех тотально насыщенных формаций
является алгебраической.
ЛИТЕРАТУРА
1. Л. А. Шеметков, Формации конечных групп, М., Наука, 1978.
2. Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба, Формации алгебраических систем, М., Наука, 1989.
3. А. Н. Скиба, Алгебра формаций, Минск, Беларуская навука, 1997.
4. K. Doerk, T. Hawkes, Finite soluble groups, Berlin–New York, Walter de
Gruyter, 1992.
5. Wenbin Guo, The theory of classes of groups, Beijing a. o., Science Press–Kluwer
Academic, 2000.
6. С. Ф. Каморников, О некоторых свойствах тотально локальных формаций,
Матем. заметки, 60, № 1 (1996), 24—29.
7. Н. Н. Воробьёв, Об одном вопросе теории локальных классов конечных
групп, Вопросы алгебры, Гомель, Изд-во Гом. ун-та, 14 (1999), 132—140.
8. Wenbin Guo, K. P. Shum, On totally local formations of groups, Commun.
Algebra, 30, No. 5 (2002), 2117—2131.
9. В. Г. Сафонов, Об одном вопросе теории тотально локальных формаций конечных групп, Алгебра и логика, 42, № 6 (2003), 727—736.
10. В. Г. Сафонов, О свойствах решётки τ -замкнутых тотально насыщенных
формаций, препринт № 3, Гом. гос. ун-т им. Ф. Скорины, 2004.
11. В. Г. Сафонов, О тотально насыщенных формациях конечной длины, Изв.
Гом. гос. ун-та им. Ф. Скорины, 2004, № 6, 150—155.
12. В. Г. Сафонов, О двух задачах теории тотально насыщенных формаций,
Докл. НАН Беларуси, 49, № 5 (2005), 16—20.
13. В. Г. Сафонов, Характеризация разрешимых однопорождённых тотально
насыщенных формаций конечных групп, Сиб. матем. ж., в печати.
626
В. Г. Сафонов
14. Нерешённые вопросы теории групп. Коуровская тетрадь, 16-е изд., Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН, 2006, http://www.math.nsc.ru/∼alglog.
15. Г. Биркгоф, Теория решёток, М., Наука, 1984.
Поступило 15 ноября 2005 г.
Окончательный вариант 8 августа 2006 г.
Адрес автора:
САФОНОВ Василий Григорьевич, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины,
ул. Советская, д. 106, кв. 146, г. Гомель, 246028, БЕЛОРУССИЯ. Тел.: (375
232) 57-82-58, (375 232) 57-01-47. e-mail: [email protected]