Модели расчета равновесного распределения потоков Бекмана и Нестерова-де Пальма Дорн Юрий [email protected] Модели распределения потоков Принципы Вардропа: 1. Агент ведет себя оппортунистически, стараясь при выборе маршрута минимизировать собственные издержки. 2. Агенты выбирают маршруты стараясь минимизировать общие транспортные расходы в сети. Агенты считают свое влияние незначительным. Модели распределения потоков Г (V , E ) ориентированный транспортный граф V множество вершин E V V множество дуг S V множество истоков D V множество стоков W w (i, j ) : i S , j D множество пар исток сток w ij соответствующая паре (i, j ) корреспонденция w : w W матрица корреспонденций Pw множество альтернативных маршрутов для w P P w wW множество всех путей на Г Модели распределения потоков x p величина потока по пути p P X w x p 0 : p Pw , x p w множество допустимых pPw значений x p для пары w x ( x p : p P) X X w x 0 : w W , x p w множество pPw wW допустимых значений для x G p G p ( x) удельные затраты агента на проезд по маршруту p Модели распределения потоков Условие равновесия : Если x* X равновесное распределение потоков по маршрутам, то из x p * 0 , p Pw G p ( x*) min Gq ( x*) qPw G ( x) (G p ( x) : p P) Теорема 1: x* X удовлетворяет условию равновесия тогда и только тогда, когда является решением вариационного неравенства : G ( x*)( x x*) 0, x X Теорема 2 : Пусть G ( x) непрерывна по каждой компоненте. Если Х ограничено, то вариационное неравенство разрешимо. Модели распределения потоков Определение : Вектор функция G : X n называется строго монотонной на X , если для любых x, y X , x y : (G ( x) G ( y ))( x y ) 0 Теорема 3 : Если вектор функция G ( x) строго монотонна, то вариационное неравенство может иметь не более одного решения. Расширение на случай эластичного спроса : uw минимальные транспортные затраты для пары w w w (uw ) u (uw : w W ) Модели распределения потоков (u ) ( w (uw ) : w W ) pw , p P, w W G ( x ) u x z , F ( z) T u x ( u ) Утверждение : z* ( x*, u*) 0 является решением F ( z*)( z z*) 0, z Z z : z 0 если и только если x * решение G ( x*)( x x*) 0, x X x 0 : T x (u*) Вариационное неравенство для F ( z ) и z эквивалентно нелинейной задаче дополнительности F ( z*) 0, z* 0, F ( z*) z* 0 Модели распределения потоков Условие разрешимости : Пусть F ( z ) непрерывна по каждой компоненте, множество Z непусто, выпукло и замкнуто. BR z : z R , Z R Z BR Если существует R 0, такой, что Z R , и решение F ( z R* )( z z R* ), z Z R удовлетворяет zR* R, то G ( x*)( x x*), разрешимо. x X Модели распределения потоков • Модель Бэкмана ye поток по дуге e E ye ep x p pP ep : e E , p P y ye : e E y x e удельные затраты на прохождение дуги e e e ( ye ) ( y ) e ( ye ) : e E G p ep e ( ye ) eE G ( x) T ( y ) Модели распределения потоков • Модель Бэкмана G p e ye e Gq ep ep eq xq eE ye xq eE ye x p Равновесное распределение потоков определяется как решение оптимизационной задачи f ( x) min, x X , где ye f ( x) e ( z )dz, y x eE 0 Предположение относительно вида e () : e () непрерывная, монотонно возрастающая, выпуклая. Модели распределения потоков • Модель Бэкмана Некоторые возможные расширения модели : 1) e e ( y ) 2) G p ( x) неаддитивная 3) e () ограниченная Модели распределения потоков Модель Бэкмана. Критика (Нестеров-де Пальма). • Функции издержек не всегда строго монотонны по потоку. • Поток по ребру не может превышать емкость ребра в стационарном режиме. • Поток не полностью определяет сложившуюся транспортную ситуацию. • Поток по ребру не определяет полностью издержки по ребру. Модели распределения потоков Модель Нестерова-де Пальма Основные предположения : 1) Выполняется первый принцип Вардропа 2) Каждому ребру e соответствует емкость ye . Всегда выполняется ye ye . 3) Если ye ye , то te te . Если ye ye , то te te , te время прохождения ребра e в свободном состоянии Модели распределения потоков Модель Нестерова-де Пальма Примеры : 1) Г (V , E ) граф, состоящий из двух вершин (1, 2) и двух ребер и , их соединяющих. t t 2) Г (V , E ) граф, состоящий из трех вершин (1, 2, 3) и трех ребер , и , соединяющих вершины 1 и 3, 2 и 3, 1 и 2 соответственно. Пусть при этом t t t , y d (1,3) d (2,3) , y d (1,3) , y d (1,3) , y d (2,3) . 3) Г (V , E ) граф, состоящий из четырех вершин (1, 2, 3, 4) и пяти ребер (1, 2), (2, 4), (1,3), (3, 4), (3, 2). y(2,4) d(1,4) , y(1,3) d(1,4) , t(1,2) t(1,3) , t(3,4) t(2,4) , t5 min t(1,3) t(1,2) , t(2,4) t(3,4) Модели распределения потоков Модель Нестерова-де Пальма t te : e E Tw (t ) min( te ep ) pPw eE Tw (t ) вогнутая, кусочно линейная функция, определенная при всех t m Модели распределения потоков Модель Нестерова-де Пальма I w (t ) p Pw : te ep Tw (t ) eE Tw (t ) Conv( ep , p I w (t )) Пусть yw вектор потоков на ребрах, соответствующий корреспонденции w Лемма : Поток yw удовлетворяет первому предположению модели, если g Tw (t ) : yw w g Такой поток называется равновесным для корреспонденции w Модели распределения потоков Модель Нестерова-де Пальма yw вектор потоков на ребрах, соответствующий корреспонденции w y wW G (t ) yw m T (t ) wW w w Теорема : y равновесный вектор потоков по дугам, учитывающий условия на t , если и только если : y G (t ) Следствие 1: Задавая вектор t мы можем описать все равновесные векторы потоков y, которые могут реализоваться в сети : yw wTw (t ), w W , y y wW w Модели распределения потоков Модель Нестерова-де Пальма Следствие 2 : Задавая вектор потоков y, можно проверить, существует ли такой вектор t , для которого вектор y является равновесным. Лемма : y равновесный вектор потоков если и только если задача оптимизации max[G (t ) ( y, t )] t допускает неотрицательное решение t Модели распределения потоков Модель Нестерова-де Пальма Если рассматривать модель te te , 0 ye ye , e E то выполнена Теорема : Время движения по ребру t e и вектор потока по ребру y e являются равновесными решениями модели , если и только если существует решение max(G (t ) ( y, t ), t t ) t и y e y s e , где s e оптимальное решение двойственной задачи Модели распределения потоков Модель Нестерова-де Пальма Если рассматривать модель ye yˆ e , e A E 0 ye ye , te te , e E \ A то выполнена Теорема : Время движения по ребру t eq и вектор потока по ребру y eq являются равновесными решениями модели , если и только если существует неотрицательное решение max(G (t ) yˆ ete t eA eE \ A yete : te te , e E \ A) и yeeq ye seeq , где seeq оптимальное решение двойственной задачи Модели распределения потоков Модель Нестерова-де Пальма Возможные задачи : 1) Пусть K множество неэффективных дуг. Т .е. GГ (V , E ) (t ) GГ (V , E / K ) (t ) Пусть L подмножество K Верно ли , что GГ (V , E ) (t ) GГ (V , E / L ) (t ) 2) Верно ли , что если существует множество K неэффективных дуг , то также существует оптимальное управление t t t c (для игрока Центр из доклада о платных дорогах).