6. Основы фрактальной геометрии.

6. Основы фрактальной геометрии.
6.1. Понятие о фрактальных объектах.
6.2 Фрактальная размерность.
6.2.1 Размерность подобия.
6.2.2. Размерность Хаусдорфа-Безиковича.
6.2.3. Размерность Минковского.
6.3 Примеры фрактальных объектов и их размерности.
6.3.1 Множество Кантора.
6.3.2 Кривая Коха.
6.3.3. Кривая Гильберта.
6.3.4 Ковёр и салфетка Серпинского.
6.3.5 Фракталы в трехмерном пространстве.
6.3.6 Множество Мандельброта и множество Жюлиа.
6.4. Мультифракталы
6.1. Понятие о фрактальных объектах.
«Какова протяженность побережья Британии?»
Для евклидовых объектов длина ломаной L(δ) практически не зависит от
линейки δ и имеет вполне определенный предел при ее измельчении :
L(δ ) = N ⋅ δ = L = const
δ →0
Этот предел и называется длиной данной кривой (спрямляемые кривые).
Для природной извилистой (изрезанной) линии
(например, береговой) измеренная длина
неограниченно возрастает при увеличении
масштаба:
L(δ ) ~ δ a → ∞ , a < 0.
δ →0
Измерение длины береговой линии.
Зависимость результата от линейки (эффект
Ричардсона)
Для природных объектов в
общем случае
длина зависит от
масштаба рассмотрения.
Эта зависимость носит
степенной характер (т.е.
показывает самоподобие)
Б.Мандельброт в 60-х годах ХХ-го столетия ввел понятие
фрактальной (от латинского fractus - "дробный", и frahgere "ломать") геометрии, определяя фрактал, как "структуру,
состоящую из частей, которые в каком-то смысле
подобны целому".
Подобие разномасштабных геологических объектов
6.2 Фрактальная размерность.
До сих пор мы использовали понятие "размерность" в трёх
значениях:
• Размерность Евклидова пространства (E = 1,2,3).
• Топологическая размерность объекта: dT = 0 (точка),
dT =1 (отрезок прямой), dT = 2 (плоская фигура) и т.д.
Топологическая размерность не превосходит размерность
евклидова пространства, в котором находится данное
множество dT ≤ E.
• Количество переменных, описывающих в динамическую
систему N = 1, 2, 3,...
Все эти размерности могут быть только целыми числами.
В качестве количественной меры геометрической сложности
множества (объекта) Б.Мандельброт предложил использовать
фрактальную размерность D,
показывающую, насколько плотно и равномерно элементы
данного множества заполняют евклидово пространство (D ≤ E )
Размерность подобия.
N=r
D
или
N = δ− D
N - количество уменьшенных в r раз копий, необходимое для заполнения
исходного объекта (или будем измерять объект уменьшенной линейкой δ=1/r)
Размерность подобия :
DS =
ln(N)
ln(r)
или
DS = −
ln (N)
ln(δ )
для Евклидовых объектов, выражается
целым
числом (1,2,3), что совпадает с
.
топологической размерностью dT
Фрактальная размерность не
зависит от масштаба рассмотрения
ln(N)
DS = − lim
δ →0 ln (δ )
Размерность Хаусдорфа-Безиковича
Для фрактальных множеств
L( δ) = N (δ) ⋅ δ → ∞
δ→0
Количество отрезков N = N(δ) также неограниченно возрастает, причем быстрее, чем
убывает величина δ.
Однако априори не ясно, как быстро будет происходить этот рост. Для того, чтобы
оценить скорость этого роста, вводят меру M = N ( δ) ⋅ δ D
D
и исследуют её поведение при δ → 0 в зависимости от D. Оказалось, существует
критическое значение D = DH, такое, что:

0, при D > D H
 M D δ→
→0


const , при D = D H
 M D δ→
→0


∞, при D < D H
 M D δ→
→0

размерность
Хаусдорфа-Безиковича:
ln(N)
DH = − lim
δ → 0 ln ( δ)
Фракталом называется множество,
у которого размерность Хаусдорфа-Безиковича DH
больше топологической размерности dT.
Размерность Минковского.
ln(S / δ 2 )
DM = − lim
δ →0
ln(δ )
или
ln S (δ )
+2
DM = − lim
δ →0 ln(δ )
Фрактальную размерность иногда называют дробной размерностью. Однако
дробность D не является необходимым условием фрактальности. Существуют
фрактальные объекты, размерность D которых выражается целым числом.
Ключевым в определении фрактала является условие Мандельброта D > dT.
Определения размерности подобия DS , размерности Минковского
DM и размерности Хаусдорфа-Безиковича DH весьма близки по
смыслу. Часто размерность подобия используют для
приблизительного определения размерности Хаусдорфа-Безиковича.
Можно показать, что для регулярных, фракталов эти меры
совпадают. Поэтому говорят просто о фрактальной размерности D
Поскольку фрактальная размерность в большинстве случаев
принимает нецелые (дробные) значения, то иногда её называют
дробной размерностью. Однако дробность D не является
необходимым условием фрактальности. Существуют фрактальные
объекты, размерность D которых выражается целым числом.
Ключевым в определении фрактала является выполнение
условия Мандельброта D > dT
6.3 Примеры фрактальных объектов и их
размерности.
Множество Кантора.
Построение "канторовой пыли".
Топологически «канторова пыль» – совокупность точек (dT=0)
ln(N) ln(2)
D=
=
≈ 0.63092
ln(r) ln(3)
Кривая Коха.
Построение кривой Коха.
(dT=1)
Снежинка Коха
ln(N) ln(4)
D=
=
≈ 1.26185....
ln(r) ln(3)
Кривая Коха не имеет "характерных" размеров –
присутствуют все размеры - от 1 до 1/N.
Кривая Гильберта.
Самоподобная кривая (dT=1) Гильберта проходит сколь угодно близко от любой
точки квадрата и, следовательно, заполняет двумерное пространство
Построение кривой Гильберта.
D=2
Ковёр и салфетка Серпинского
Построение ковра Серпинского.
D=
ln(N) ln (8)
=
≈ 1.8928
ln (r) ln (3)
Топологически ковер Серпинского
- это линия (dT=1)
Салфетка Серпинского
D ≈ 1.58496…
Салфетка Серпинского являются
двумерной "канторовой пылью" –
т.е. топологически это множество точек
(dT=0).
Фракталы в трехмерном пространстве.
Трехмерный аналог
салфетки Серпинского
Топологически – канторова пыль (dT=0)
D=
ln(N) ln(4)
=
=2
ln(r) ln(2)
Губка Менгера
топологически - собой поверхность (dT=2)
ln (N) ln (20)
D=
=
≈ 2.7268...
ln (r)
ln (3)
Фрактал Тёркотта.
D =2.585...
Множество Мандельброта и множество Жюлиа.
Дискретная динамическая система zn+1
= zn2 + b
Множество Мандельброта:
z0 = 0, параметр b - варьируется
Демонстрация множества Мандельброта
Множество Мандельброта и множество Жюлиа.
Дискретная динамическая система zn+1
= zn2 + b
Множество Жюлиа:
b - фиксировано, z0 - варьируется
Множества Жюлиа, полученные при разных значениях параметра b.
Дополнительная литература к главе 6
•
•
•
•
Вишик М.И. Фрактальная размерность множеств. // Соросовский образовательный
журнал. 1998, №1, с.122-127.
Жиков В.В. Фракталы. // Соросовский образовательный журнал. 1996, №12. с.109-117.
Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фрактали, подобие, промежуточная асимптотика. //
Успехи физических наук, 1985, т.146, с.493-506.
Золотухин И.В. Фракталы в физике твёрдого тела // Соросовский образовательный
журнал. 1998, №7, с.108-113.