Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì óòâåðæäåíèå òåîðåìû. Òåîðåìà äîêàçàíà. Çàìåòèì, åñëè ðåáðà A

Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Çàìåòèì, åñëè ðåáðà A1 A2 , A1 A3 , A1 A4 ÿâëÿþòñÿ äëèííûìè, ò.å. äëèíà
íèõ áîëüøå ïîëîâèíû äèàìåòðà, òî ñïðàâåäëèâû îöåíêè:
êàæäîãî èç
∂ n (Q−f ) ∂ei ∂ek ∂en−i−k ≤ CM4 d4−n , 1 ≤ n ≤ 3, 0 ≤ i, k ≤ n (i + k ≤ n).
12
13
14
ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1. Zenisek A., Hoderova-Zlamalova J. Semiregular Hermite tetrahedral nite elements
// Appl. of Math. 2001. Vol. 46.,  4. P. 295315.
2. Êóïðèÿíîâà Þ. Â. Îá îäíîé òåîðåìå èç òåîðèè ñïëàéíîâ // ÆÂÌ è ÌÔ. 2008.
Ò. 48,  2. C. 206211.
3.Áàéäàêîâà Í. Â. Î íåêîòîðûõ èíòåðïîëÿöèîííûõ ìíîãî÷ëåíàõ òðåòüåé ñòåïåíè
íà òðåõìåðíîì ñèìïëåêñå // Òðóäû Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè. Åêàòåðèíáóðã : ÓðÎ ÐÀÍ. 2008. Ò. 14,  3. Ñ. 4357.
4.
Ìåëåøêèíà À. Â.
Îá àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûìè èíòåðïîëÿöèîííîãî ìíî-
ãî÷ëåíà Ýðìèòà íà òðåóãîëüíèêå // ÆÂÌ è ÌÔ. 2010. Ò. 50,  2. Ñ. 211220.
ÓÄÊ 519.713.2, 512.534
Â. À. Ìîë÷àíîâ
ÊÎÍÊÐÅÒÍÀß ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÇÀÖÈß
ÓÍÈÂÅÐÑÀËÜÍÛÕ ÏËÀÍÀÐÍÛÕ ÀÂÒÎÌÀÒÎÂ
 ñòàòüå èçó÷àþòñÿ óíèâåðñàëüíûå ïëàíàðíûå àâòîìàòû, ïîäàâòîìàòû êîòîðûõ îõâàòûâàþò ãîìîìîðôíûå îáðàçû âñåõ ïëàíàðíûõ àâòîìàòîâ.
Ïîä ïëîñêîñòüþ [1] áóäåì ïîíèìàòü ñèñòåìó âèäà Π = (X, L), ãäå X íåïóñòîå ìíîæåñòâî òî÷åê è L ñåìåéñòâî åãî ïîäìíîæåñòâ, èìåíóåìûõ
ïðÿìûìè, óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì àêñèîìàì: (A1 ) ÷åðåç ëþáûå
äâå òî÷êè ïðîõîäèò îäíà è òîëüêî îäíà ïðÿìàÿ; (A2 ) êàæäàÿ ïðÿìàÿ ñîäåðæèò ïî êðàéíåé ìåðå òðè òî÷êè; (A3 ) â ìíîæåñòâå X åñòü òðè òî÷êè,
íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé.  ÷àñòíîñòè, ïëîñêîñòü Π ÿâëÿåòñÿ ïðîåêòèâíîé, åñëè ëþáûå äâå åå ïðÿìûå èìåþò îáùóþ òî÷êó, è àôôèííîé,
åñëè äëÿ ëþáîé ïðÿìîé l ∈ L è ëþáîé òî÷êè x ∈ X \ l ñóùåñòâóåò òàêàÿ
åäèíñòâåííàÿ ïðÿìàÿ l′ , ÷òî x ∈ l′ è l ∩ l′ = ∅.
Ïî îïðåäåëåíèþ ïëàíàðíûå àâòîìàòû ÿâëÿþòñÿ ñòðóêòóðèçîâàííûìè àâòîìàòàìè [2] A
= (Q, A, B, δ, λ) ñ ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé Q è ìíîæåñòâîì âûõîäíûõ ñèãíàëîâ B, íàäåëåííûìè ñòðóêòóðàìè ïëîñêîñòåé ΠQ = (Q, LQ ) è ΠB =
68
= (B, LB ), ìíîæåñòâîì âõîäíûõ ñèãíàëîâ A, ôóíêöèåé ïåðåõîäîâ
δ : A × Q → Q è âûõîäíîé ôóíêöèåé λ : A × Q → B, äëÿ
êîòîðûõ ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì a ∈ A ïðåîáðàçîâàíèå
δa (q) = δ(a, q) (q ∈ Q) ÿâëÿåòñÿ ýíäîìîðôèçìîì ïëîñêîñòè ΠQ è
îòîáðàæåíèå λa (q) = λ(a, q) (q ∈ Q) ãîìîìîðôèçìîì ΠQ â ΠB . Äëÿ
àâòîìàòà A áåç ðàâíîäåéñòâóþùèõ âõîäíûõ ñèãíàëîâ êàæäûé âõîäíîé
ñèãíàë a ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ïàðîé îòîáðàæåíèé (δa , λa ).
Äëÿ ëþáûõ ïëîñêîñòåé ΠQ è ΠB àâòîìàò A = (ΠQ , A, ΠB , δ, λ) ñ
ìíîæåñòâîì âõîäíûõ ñèãíàëîâ A, ñîñòîÿùèì èç âñåõ ïàð a = (ϕ, ψ)
ýíäîìîðôèçìîâ ϕ ïëîñêîñòè ΠQ è ãîìîìîðôèçìîâ ψ ïëîñêîñòè ΠQ â
ïëîñêîñòü ΠB , ôóíêöèåé ïåðåõîäîâ δ(q, a) = ϕ(q) è âûõîäíîé ôóíêöèåé
λ(q, a) = ψ(q) (çäåñü q ∈ Q) ÿâëÿåòñÿ ïëàíàðíûì àâòîìàòîì. Òàêèå àâòîìàòû íàçûâàþòñÿ óíèâåðñàëüíûìè ïëàíàðíûìè àâòîìàòàìè, òàê êàê
èõ ïîäàâòîìàòû îõâàòûâàþò ãîìîìîðôíûå îáðàçû âñåõ ïëàíàðíûõ àâòîìàòîâ. Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ðàáîòû [3] ïîêàçûâàåò, ÷òî óíèâåðñàëüíûå
ïëàíàðíûå àâòîìàòû ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ (ñ òî÷íîñòüþ äî èçîìîðôèçìà) ñâîèìè ïîëóãðóïïàìè âõîäíûõ ñèãíàëîâ.
Äëÿ óíèâåðñàëüíûõ ïëàíàðíûõ àâòîìàòîâ èññëåäîâàíà ïðîáëåìà êîíêðåòíîé õàðàêòåðèçàöèè, êîòîðàÿ ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ àâòîìàò A = (Q, A, B, δ, λ) ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì ïëàíàðíûì àâòîìàòîì, ò.å. íà ìíîæåñòâå ñîñòîÿíèé Q ìîæíî òàê
îïðåäåëèòü ñòðóêòóðó ïëîñêîñòè ΠQ = (Q, LQ ) è íà ìíîæåñòâå âûõîäíûõ ñèãíàëîâ B ñòðóêòóðó ïëîñêîñòè ΠB = (B, LB ), ÷òî ìíîæåñòâî
âõîäíûõ ñèãíàëîâ A ñîâïàäåò ñ ìíîæåñòâîì EndΠQ × Hom(ΠQ , ΠB ).
Òàêàÿ çàäà÷à èìååò ïðÿìîå îòíîøåíèå ê èçâåñòíîé ïðîáëåìå Ñ. Óëàìà
[4] îá îïðåäåëåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðóêòóðû ïî äàííîìó ìíîæåñòâó
ýíäîìîðôèçìîâ, êîòîðàÿ íå ðåøåíà äî ñèõ ïîð íè äëÿ ãðàôîâ, íè äëÿ
ãèïåðãðàôîâ îáùåãî âèäà.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî àâòîìàòà A = (Q, A, B, δ, λ) îïðåäåëèì êàíîíè÷åñêèå òåðíàðíûå îòíîøåíèÿ RQ ⊂ Q3 è RB ⊂ B 3 ïî ôîðìóëàì:
RQ = {(q1 , q2 , q3 ) ∈ Q3 : (∀(x1 , x2 , x3 ) ∈ Q3 \ ∆)(∃a ∈ A)δa (xi ) = qi },
RB = {(b1 , b2 , b3 ) ∈ B 3 : (∀(x1 , x2 , x3 ) ∈ Q3 \ ∆)(∃a ∈ A)λa (xi ) = bi },
ãäå ∆ = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ Q3 : xi = xj äëÿ íåêîòîðûõ 1 ≤ i 6= j ≤ 3}.
Òåðíàðíîå îòíîøåíèå R ⊂ X 3 íàçûâàåòñÿ 3-ýêâèâàëåíòíîñòüþ
ìíîæåñòâå X , åñëè îíî óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
(i) R 6= X 3 ,
69
íà
(ii) (x, x, x) ∈ R äëÿ ëþáîãî x ∈ X;
(iii) (x1 , x2 , x3 ) ∈ R =⇒ (xi1 , xi2 , xi3 ) ∈ R äëÿ ëþáûõ 1 ≤ i1 , i2 , i3 ≤ 3;
(iv) (x, y, z), (z, y, v) ∈ R =⇒ (x, y, v) ∈ R äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ
x, y, z, v ∈ X, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ y 6= z.
Ïðè ýòîì 3-ýêâèâàëåíòíîñòü R íàçûâàåòñÿ êâàçèóíèâåðñàëüíîé, åñëè
äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x, y ∈ X íàéäåòñÿ òàêîé îòëè÷íûé îò íèõ ýëåìåíò
z ∈ X , ÷òî (x, y, z) ∈ R.
Ïóñòü A = (Q, A, B, δ, λ) ïðîèçâîëüíûé àâòîìàò áåç ðàâíîäåéñòâóþùèõ âõîäíûõ ñèãíàëîâ. Òîãäà A â òîì è
òîëüêî òîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì ïëàíàðíûì àâòîìàòîì
Atm(ΠQ , ΠB ) äëÿ íåêîòîðûõ ïëîñêîñòåé ΠQ = (Q, LQ ), ΠB = (B, LB ),
åñëè êàíîíè÷åñêèå îòíîøåíèÿ RQ , RB ýòîãî àâòîìàòà ÿâëÿþòñÿ êâàçèóíèâåðñàëüíûìè 3-ýêâèâàëåíòíîñòÿìè íà ìíîæåñòâàõ Q è B ñîîòâåòñòâåííî, à òàêæå âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
1) åñëè (q1 , q2 , q3 ) ∈ Q3 \ RQ , òî äëÿ ëþáûõ x1 , x2 , x3 ∈ Q, y1 , y2 , y3 ∈
∈ B íàéäåòñÿ òàêîé ýëåìåíò a ∈ A, ÷òî δa (qi ) = xi è λa (qi ) = yi äëÿ
âñåõ 1 ≤ i ≤ 3;
2) åñëè äëÿ îòîáðàæåíèé ϕ : Q → Q, ψ : Q → B ïðè ëþáûõ
çíà÷åíèÿõ q1 , q2 , q3 ∈ Q ñóùåñòâóåò x ∈ A, äëÿ êîòîðîãî δx (qi ) = ϕ(qi )
è λx (qi ) = ψ(qi ) äëÿ âñåõ 1 ≤ i ≤ 3, òî íàéäåòñÿ òàêîé ýëåìåíò a ∈ A,
÷òî δa (q) = ϕ(q) è λa (q) = ψ(q) äëÿ âñåõ q ∈ Q.
Îñíîâíàÿ òåîðåìà.
ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1. Êàðòåñè Ô. Ââåäåíèå â êîíå÷íûå ãåîìåòðèè. Ì. : Íàóêà, 1980.
2. Ïëîòêèí Á. È., Ãðèíãëàç Ë. ß., Ãâàðàìèÿ À. À. Ýëåìåíòû àëãåáðàè÷åñêîé òåîðèè àâòîìàòîâ. Ì. : Âûñøàÿ øêîëà, 1994.
3. Molchanov V. A. On denability of universal planar automaton by its semigroup
of input symbols // Semigroup Forum. 2011. Vol. 82. P. 19.
4. Óëàì Ñ. Íåðåøåííûå ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è. Ì. : Íàóêà, 1964.
ÓÄÊ 513.6
Ñ. È. Íåáàëóåâ
ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÀß ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÜ ÊÀÐÒÀÍÀ
ËÅÐÅ ÄËß ÒÎËÅÐÀÍÒÍÛÕ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂ
Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ñòàòüè ÿâëÿåòñÿ òåîðåìà î ñïåêòðàëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Êàðòàíà Ëåðå äëÿ òîëåðàíòíûõ ïðîñòðàíñòâ.
Ïóñòü π ïðîèçâîëüíàÿ ãðóïïà. Ðàññìîòðèì [1, 2] òîëåðàíòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ò ïðîñòðàíñòâî) (K, ξ), ãäå K = π × N,
(g1 , a1 )ξ(g2 , a2 ) ⇐⇒
70
g1 = g2 , a1 = a2 ;
a1 6= a2 .