ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД НЕЙМАНА ξ x P

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД НЕЙМАНА
Пусть имеется СВ ξ, определенная на интервале (a, b) с плотностью распределения Pξ (x)
вида: Pξ (x) = Pξ0 (x)f (x), где Pξ0 плотность вспомогательной СВ ξ 0 , которую мы можем смоделировать, а f (x) конечна: f (x) ≤ c. Конечность интервала (a, b) не предполагается. Получить
значения СВ ξ можно следующим образом:
1. Выбираем значение ξ 0 и случайное число γ, независимое от ξ 0 ; вычисляем η 00 = cγ;
2. если η 00 < f (ξ 0 ), то полагаем ξ = ξ 0 ; иначе ξ 0 и γ отбрасываем и выбираем новую пару
значений ξ 0 и γ.
Докажем, что данный алгоритм имеет место. Вероятность того, что точка (ξ 0 , η 00 ) попадает
в интервал (x, x + ∆x) равна Pξ0 (x)∆x. Так как η 00 равномерно распределена в интервале
f (x)
0 < y < c, то условная вероятность того, что эта точка не будет отброшена равна
c
и следовательно пропорциональна f (x). Значит вероятность того, что отброшенное значение
ξ = ξ 0 окажется в интервале x, x + ∆x), пропорциональна произведению Pξ0 (x)∆xf (x) = Pξ ∆x.
Общая характеристика методов отбора
Методы Неймана относятся к так называемым методам отбора, основной особенностью которых является то, что кроме моделирующей формулы задается и условие отбора, например:
ξ = g(γ1 , . . . , γn ), если H(γ1 , . . . , γn ) > 0.
Чтобы таким методом получить СВ ξ, выбирают БСВ γ1 , . . . , γn ; если условие отбора выполнено, то по ним вычисляют ξ, в противном случае эти БСВ отбрасывают и выбирают
новые.
Определение 1 Вероятность того, что группа чисел γ1 , . . . , γn не будет отброшена
ε = P {H(γ1 , . . . , γn ) > 0} называется эффективностью метода отбора.
1
Например, если выбрать N групп γ1 , . . . , γn , то в среднем получим всего ε · N значений ξ.
Следовательно, на получение ε · N значений СВ ξ затрачивается N · n случайных чисел, а на
одно значение ξ затрачивается в среднем n/ε случайных чисел.
Очевидно, что если ε → 0, то метод становится неэффективным.
Вероятность отбора для обобщенного метода можно вычислить путем суммирования условf (x)
ных вероятностей отбора
:
c
Z
Z b
1 b
1
f (x)
ε=
Pξ0 dx =
Pξ dx = .
c
c a
c
a
Метод Неймана есть частный случай обобщенного метода, в случае
Pξ0 (x) =
1
,
b−a
f (x) = (b − a)Pξ (x).
Так как Pξ (x) ≤ c, то f (x) ≤ (b − a)c. Следовательно эффективность метода Неймана
1
.
c(b − a)
ε=
Эффективность метода Неймана можно расчитать и другим способом (рассматривается
рисунок из соответствующего параграфа). Так как точка M равномерно распределена в прямоугольнике a < x < b, 0 < y < c, то эффективность отбора равна отношению площади,
заключенной под кривой y = Pξ (x) к площади всего прямоугольника:
1
ε=
c(b − a)
Z
b
Pξ (x)dx =
a
1
.
c(b − a)
v(x)
Пример: СВ ξ определена на 0 < x < 1 с плотность Pξ (x) = √ , где 0 < v(x) < c.
x
Представим Pξ (x) в виде Pξ0 (x)f (x), а именно:
1
Pξ0 (x) = √ ,
2 x
f (x) = 2v(x).
ξ 0 находим методом обратных функций, из которого вытекает, что
p
ξ 0 = γ1 =⇒ ξ 0 = (γ1 )2 ,
η 00 = cγ2
и ξ = ξ 0 при η 00 < v(ξ 0 ).
Эффективность в этом случае составляет ε = (2c)−1 , и для повышения эффективности ε,
следует выбирать наименьшее возможное значение c = sup v(x).
a<x<b
2