07-3-14 - Вестник Московского университета. Серия 3

В естник Мо сков ско г о унив ер с ит е та. Серия
14
УДК
Физика. А с трономия.
3.
2007.
№
3
536.7
РАДИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СКОРОСТЬ
ЗВУКА В ПЛОТНЫХ ГАЗАХ И ЖИДКОСТЯХ
О. П. Ншколаева
(кафедра квантовой статистики и теории поля)
E-mail: nikolaev@phys.msu.ru
В настоящей работе получено выражение для скорости звука через радиальную
функцию
распределения
риментальных
данных
и
ее
производную
могут
быть
распределения и скорость звука,
по
температуре.
незав:исимо
определены
Так
как
радиальная
из
экспе­
функция
то найденная связь позволяет проанализировать
особенности фазовой диаграммы вещества и термодинамическую согласованность
уравнений состояния.
Введение
Методы
в определении скорости звука из-за погрешностей
вычисления
пределения для
следние
годы
При
[ 1-4].
радиальной
однородной
получили
этом
фазы
функции
вещества
существенное
точность
вычисления
рас­
в
по­
развитие
позволяет
определить не только саму функцию распределения,
но
и
тате
ее
производную
стало
возможным
по
температуре.
определять
В
резуль­
характеристики
вещества исходя лишь из двухчастичной функции
распределения, не прибегая к функциям более вы­
сокого порядка. Это относится и к скорости звука.
В данном случае существует связь между важными
характеристиками однородной фазы вещества,
ко­
торые экспериментально могут быть найдены неза­
висимо.
Это позволяет проверить согласованность
в термодинамических приближениях.
При увеличении амплитуды колебаний в звуко­
вой волне возникают нелинейные эффекты
[7, 8].
Для их корректного разрешения также необходимо
знать зависимость скорости звука от свойств среды
с высокой степенью точности.
Особый
альной
интерес
функции
представляет
распределения
в окрестности критической точки
и
поведение
ради­
скорости
звука
[9].
В данной работе мы определим выражение для
скорости звука через радиальную функцию распре­
деления
и
сравним
ными
ее
производную
полученные
от температуры,
результаты
с
а
также
эксперименталь­
данными.
экспериментальных данных, а также получить более
полную
информацию о
фазовой
диаграмме
Радиальная функция распределения
веще­
ства, особенно для плотных газов и жидкостей, ста­
тистическая
термодинамика
которых
создана
лишь
в последние десятилетия.
В настоящее время скорость звука может быть
измерена
с
высокой
степенью
точности.
Поэтому
найденная связь дает возможность исследовать по­
ведение двухчастичной функции распределения, ко­
гда
ее
аналитический
расчет
предполагает
Рассмотрим систему
ными,
и
пусть
она
молекулярной
структурой)
либо
для
Наряду с этим при исследовании распростране­
ния
звуковой
волны
достаточно большой
частоты
в однородных средах возникает необходимость уче­
характеризуются
потенциалом
UN
=
L
Ф(lqi - qil),
где
i -й
qi -
радиус-вектор, определяющий положение
частицы.
Конфигурационная часть канонического распре­
деления Гиббса определяется соотношением
(2)
данных вопросов связано с целым рядом проблем
Для их решения необходимо знать с высокой
степенью
в
точности
зависимости
от
выражение
для
скорости
термодинамических
звука
разделить
дисперсионные
эффекты
и
где
()
=
kT (k -
параметров
при не очень высоких частотах, чтобы в дальнейшем
неточности
(1)
\ '( i<j '( N
та дисперсии звука и его поглощения. Рассмотрение
[5, 6].
при темпе­
Ф(r). Тогда потенциальная энергия системы опре­
ческой теории возмущений (например, для веществ
сложной
V
делится как
целый
веществ в экстремальных условиях.
одинаковых частиц, нахо­
ратуре Т. Силы взаимодействия считаем централь­
ряд физических допущений в рамках термодинами­
со
N
дящихся в макроскопическом объеме
QN
=
постоянная Больцмана),
Jexp(-UN /()) dq, ... dqN.
v
(3)
В естник Мо сков ско г о унив ер сит е та. Серия
3.
Физика. А с трономия.
Согласно определению, двухчастичная функция
распределения
равна
F2(q1, q2)
=
V
2007.
№
15
3
2
+ ~ Jf (lqз -
q41) (FJ(q,, q2,
2 JDN dq3 ... dqN.
(4)
пространственно
ностью до
членов
однородных
порядка
систем
она
1/ N
Ff (q,,
qз, q4) -
- Ff(q2, qз, q4) - g 0 (1q1 - q2l)g 0 (1qз - q41)
v
Для
qз, q4) -
v
с
+2g 0 (iq3-q4l))dq3dq4+ ... }.
точ­
оказывается
радиально симметричной:
+
Здесь р =
(6)
В настоящее время хорошо известна
N /V.
(5)
лишь функция g 0 (r) для базовой системы. При вы­
числении Ff и FJ необходимо ввести аппроксима­
g(r) обычно называют радиальной функ­
цию. Мы выбираем обобщенное суперпозиционное
цией распределения. Для вычисления этой функции
приближение, т. е. выражаем функции Fs° (s ~ 2)
через функции g 0 . Для этого введем новые функции
Функцию
используют
различные
варианты
теории
возмуще­
ний. В настоящей работе использована термодина­
т2
мическая теория возмущений.
Пусть Ф 0 (r)
гда
потенциал базовой системы. То­
-
запишем
+ ЛФ(r),
Ф(r) = Фо(r)
где ЛФ(r) = Ф(r)
ную энергию
(1)
L
И=
-
Ф 0 (r). Представим потенциаль­
Фo(lqi - qil)
L
+
\'( i<j'( N
ЛФ(lqi - qil).
\'( i<j'( N
Введем функцию, аналогичную функции Майера,
f(r)
= ехр(-ЛФ(r)/В)
- 1,
и функции Ри и Гувера,
f (r) = 1 + f(r).
Согласно
может
(2)-(5), g(r)
быть
представлена
в виде
g(lq1 - q2 I)
=
П
2
V Jexp(-Uo/B)
V
fехр(-Ио/В)
V
(I+f(lqi-qil)dq3 ... dqN
\ '( i<j'( N
П
(I+f(lq~-qjl)dq; ... dq~'
\ '( i<j'( N
где
\'( i<j'( N
Осуществим разложение
g(r) в ряд теории воз­
мущений. Тогда
g(lq1 - q21)
=
f (lq1
0
- q21){ g (1q1 - q21)
+ Р Jf (lq1
- q21) (Ff (q1, q2,
+
qз) -
v
0
0
-g (iq1 - q2l)g (1q1 -
+ Р Jf (lq2 v
0
-g (iq1 - q2l)g (1q2 8
ВМ У . Фи з ик а . Ас тр о н о мин.
No 3
+ т8(q2, qз) + т8(q,, qз) +
+а (т8(q1, q2)т8(q1, qз) + т8(q1, q2)т8(q2, qз) +
+ т8(q1, qз)т8(q2, qз)) + f3т8(q1, q2)т8(q2, qз)т8(q1, qз),
=
т2(q,, q2, qз, q4)
1 + т8(q,, q2)
=
1+т8(q,, q2)+т8(q,, qз)+т8(q,, q4)+
+ т8(q2, qз) + т8(q2, q4) + т8(q3, q4) +
+ а(т8(q1, q2)т8(q1, qз) + т8(q1, q2)т8(q1, q4) +
+ т8(q,, q2)т8(q2, q4) + т8(q,, q2)т8(q3, q4) +
+ т8(q1, qз)т8(q1, q4) + т8(q1, qз)т8(q2, q4) +
+ т8(q,, qз)т8(q3, q4) + т8(q,, q4)т8(q2, qз) +
+ т8(q1, q4)т8(q2, q4) + т8(q1, q4)т8(q3, q4) +
+ т8(q2, qз)т8(q2, q4) + т8(q2, qз)т8(q3, q4) +
+ т8(q2, q4)т8(q3, q4)) +
+ f3 (т8(q,, q2)т8(q,, qз)т8(q,, q4) +
+ т8(q1, q2)т8(q1, qз)т8(q2, q4) +
+ т8(q,, q2)т8(q,, qз)т8(q3, q4) +
+ т8(q1, q2)т8(q1, q4)т8(q2, q4) +
+ т8(q1, q2)т8(q1, q4)т8(q3, q4) +
+ т8(q,, q2)т8(q2, qз)т8(q2, q4) +
+ т8(q1, q2)т8(q2, qз)т8(q3, q4) +
+ т8(q,, q2)тg(q2, q4)тg(q3, q4)) + ... +
+ 11т8(q1, q2)тg(q1, qз)тg(q,, q4)т8(q2, qз) х
qзl))dqз +
qзl) (Ff (q,, q2, qз) -
0
exp(Иs/B)g2.
Тогда предлагаемая аппроксимация примет вид
тg(q,, q2, qз)
в виде
=
qзl))dqз +
х т8(q2, q4)т8(q3, q4).
Здесь
а,
(3 , . .. , /1 -
величины.
Они
не
зависящие
выбираются
таким
от
(7)
координат
образом,
что­
бы обеспечить термодинамическую согласованность
получаемых уравнений состояния, а также учесть
всю имеющуюся информацию об асимптотических
свойствах этих уравнений. Данная аппроксимация
Вестник Московского университета. Серия
16
аналогична «мостовой функции» для решения урав­
получаем
нения Перкуса-Йевика и гиперцепного приближе­
янном объеме
ния
выражение
3.
Физика. Астрономия.
для
теплоемкости
2007.
при
№
3
посто­
[4, 10-11].
Таким образом, соотношение
ность в приближении
дает возмож­
(6)
(14)
вычислить двухчастичную
(7)
функцию распределения в виде разложения в ряд
теории возмущений.
В качестве базовой выбираем систему с потенци­
Наконец, используя выражение для давления в виде
00
алом взаимодействия типа Вика-Чандлера-Андер­
сона, но в качестве точки разбиения
2
р=()р- ;р JФ'(r)g(r)r 3 dr,
r 0 берем не
значение, при котором потенциал достигает миниму­
о
ма, а то значение, при котором твердая фаза, при­
мыкающая к фазовой диаграмме жидкости, имеет
имеем
минимум свободной энергии. Как показывают рас­
четы,
это
существенно
ускоряет
сходимость
00
др) =kp( дТ
v
рядов
теории возмущений.
2
1ГР
З
JФ'(r)дg(r)r 3 dr.
(16)
дТ
о
Скорость звука
Соотношения
Скорость звука в однородной фазе определяется
соотношением
(15)
[ 12]
делить
мости
но
(11).
от
позволяют полностью опре­
(12)-(16)
выражение
для
скорости
термодинамических
в
зависи­
параметров
звука
соглас­
С другой стороны, скорость звука позволяет
судить о поведении радиальной функции распреде­
(8)
ления системы.
На рис.
где Рт
-
массовая плотность. В формуле
изводную при постоянной энтропии
S
(8)
про­
можно све­
сти к производной при постоянной температуре
Т
С=
Здесь
Ср
и
Cv -
давлении
и
объеме
ry
=
Cpf Cv
дрт
Cv
теплоемкости
(9)
при
соответственно.
можно представить как
'У= 1 +
постоянном
500
Соотношение
[ 14]
т
(др)
-
дV
мс
600
400
т ( др)2
дТ
Cvk
300
.
(10)
Рис.
/.
(8), (9)
и
(10)
400
500
600
700
р , атм
Зависимость скорости звука в аргоне от
давления
т
Тогда из
[ 15]
и теоретических данных (сплошная линия).
v,
т.
приведена зависимость скорости звука
шее совпадение экспериментальных (квадраты)
[ 12, 1З]
Ср (др)
1
в аргоне от давления. Непосредственно видно хоро­
имеем
(11)
С=
Для определения связи скорости звука и двухча­
стичной функции распределения учтем, что
() (~;)т
00
=
1 +4пр
J(g(r)-1)r 2 dr.
(12)
о
Кроме того, из выражения для внутренней энергии
100
00
И= ~N() + 2пN р
JФ(r)g(r)r 2 dr
о
(13)
Рис.
2.
100
100
100
р, МПа
Зависимость скорости звука
давления
в
азоте от
Вестник Московского университета. Серия
3.
Физика. Астрономия.
Для двухатомных молекул в общем случае необ­
ходимо
использовать сферически
потенциал
20° С,
[ 16].
несимметричный
Но для молекулярного азота при
как пока зывают расчеты, можно использовать
сферически
симметричный
потенциал,
а
асиммет­
рию молекул учесть в виде наличия дополнительной
кинетической энергии вращательного движения. Ре­
зультаты расчетов для азота приведены на рис.
2.
И здесь имеет место хорошее согласие с экс пери­
ментом
[ 17]
вплоть до высоких давлений.
Заключение
Предложенный
в
работе
эффективный
способ
расчета радиальной функции распределения позво­
лил
получить
скорости
достаточно
звука
в
точное
зависимости
от
выражение
для
термодинамиче­
ских параметров. При этом хорошее согласие наблю­
дается для всей области однородной фазы, включая
жидкость
при
давлениях.
низких
Данный
температурах
подход
легко
и
при
высоких
обобщается
на
системы, состоящие из частиц разных сортов, а так­
же на системы,
взаимодействие между частицами
которых описывается
нецентральным
потенциалом.
Литература
11 Phys . Rev. Е. 2001. 63. Р. 031203.
J. Chem. Phys. 2001. 114. Р. 1089.
1. Еи В.С. , Rah К.
2. Еи В.С.
9
11
ВМУ. Фи з ик а. Астрономин.
No 3
2007.
№
17
3
3 . Николаев П.Н. 11 Вестн. Мо ск . ун -т а . Физ. Астрон.
2005. No 4. С. 22 (Moscow University Phys. Bull. 2005.
N 4. Р. 27).
4. Das S.P. 11 Rev. Mod. Phys. 2004. 76, N 3. Р. 785.
5. Жданов В.М., Ролдугин В.И. 11 УФН. 1998. 168,
No 4. с. 407.
6. Мартынов ГА. 11 Теор . и матем . физика. 2006. 146,
No 3 . с. 340.
7. Руденко О.В. 11 УФН. 2006. 176, No 1. С. 77.
8. Зарембо Л.К., Кра сильников В.А. Введение в нели­
нейную акустику. М., 1966.
9. Анисимов М.А. Критические явления в жидкостях
и жидких кристаллах. М., 1987.
1О. Dиh der-Ming, Henderson D. 11 J. Chem. Phys. 1986.
84, N 4. Р. 6742.
11. Zerah G., Han sen J.-P. 11 J. Chem. Phys. 1986. 84,
N 4. Р. 2336.
12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Ги дродинамика . М.,
1986.
13 . Скучик Е. Основы акустики. Т. 1, 2. М., 1976.
14. Базаров И.П. Термодинамика . М., 1983.
15. Таблицы физических величин . М., 1976. С. 76.
16. Базаров И.П. , Никола ев П.Н. 11 Журн . физ. химии.
2001. 75, No 4. с. 598 .
17. Физические величины. М., 1991. С. 135 .
П оступ и ла в редакцию
29.05.06