1 2 3 4 5 6 7 8 БДЗ №1 МП-22a, Болтянский Олег Все задачи

БДЗ №1
1
2
3
4
5
6
7
8
МП-22a, Болтянский Олег
Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются.
Справочные материалы: http://miet.aha.ru/cm/ChislMet.pdf
1. (a) Представить слагаемые и результат в виде нормализованного числа с плавающей точкой двойной точности: (−1)s · 2e−1023 · 1.f , где 1.f записано в двоичном виде. (б) Если результат неточный (не умещается
целиком в мантиссе), то указать относительную погрешность ошибки. Исходные данные в десятичной системе счисления.
1811, 3828125 · 2−67 − 224, 11328125 · 2−15
2. Написать последовательность инструкций Matlab, формирующих указанную матрицу. Около каждой инструкции указать промежуточный результат в виде матрицы. Разрешается использовать матричные функции
(eye, repmat, flipud и др.). Использовать циклы нельзя.
Входные данные:
Нужно получить:
Массив X = [x1 , . . . , xn ], n > 10

x1
x21 /2! x31 /3! · · ·
xn1 /n!







x2
..
.
x22 /2! x32 /3! · · ·
..
..
..
.
.
.
xn2 /n!
..
.
xn x2n /2! x3n /3! · · ·
xnn /n!






3. (а) Локализовать корни уравнения (для каждого корня zi указать отрезок [ai , bi ], содержащий только один
этот корень zi ). Для каждого корня (б) построить итерационный процесс xn+1 = ϕ(xn ), сходящийся к корню
и (в) указать начальное значение x0 . Указание: локализацию проводить перебором интервалов [ai , bi ] или
средствами математического анализа.
x3 − x2 − 1 = 0
4. Известно, что интервалу [a, b] принадлежит только корень x∗ уравнения (другие корни интервалу не принадлежат). (а) Построить итерационный процесс Ньютона xn+1 = xn − f (xn )/f 0 (xn ) и (б) обосновать какую
из границ интервала [a, b] можно принять за x0 . Указание: в пункте (б) выяснить знаки производных f 0 (x) и
f 00 (x) и использовать соответствующую теорему.
sin x −
ex
= 0,
10x
x∗ ∈ [2, 5; 3]
5. (а) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции f (x) по узлам xi . (б) Оценить сверху
погрешность |Rn (x)| приближения функции многочленом.
sin(arctan x)
x0 = 0, x1 = π/2, x2 = π
6. Заданную функцию будут интерполировать на отрезке [a, b] по чебышёвским узлам с заданной точностью
|Rn (x)| < ε. Требуется (а) определить требуемое для заданной точности ε количество узлов (т.е. степень
интерполяционного многочлена плюс 1) и (б) вычислить значения всех узлов и отметить их на действительной
оси Ox (если узлов окажется много, ограничиться вычислением значений наименьших 10 узлов).
f (x) = x2 sin(3x) на отрезке [1, 5; 2] с точностью ε = 10−3
7. Данные некоторого физического эксперимента представлены в таблице. Характер зависимости y(x) заранее
точно неизвестен. Есть предположения, что зависимость может быть линейной, квадратичной или кубической. (а) Методом среднеквадратического приближения построить три типа приближения y(x) (т.е. аппроксимирующие многочлены первой, второй и третьей степеней). (б) Для каждого аппроксимирующего многоq
1 Pn
2
члена вычислить среднеквадратическое отклонение n+1
i=0 (y(xi ) − yi ) . (в) Выбрать минимальное с.к.о.
и указать соответствующий ему тип зависимости (линейная, квадратичная или кубическая), т.е. наиболее
вероятный в проведённом эксперименте.
x
4
5
6
7
8
y
7.7
5.8
6.1
6.2
4.6
8. (а) Методом неопределённых коэффициентов составить формулу для вычисления указанной производной
по значениям функции в указанных узлах. (б) Раскладывая y(xi ) в ряд Тейлора, определить порядок p
погрешности O(hp ) полученной формулы.
y 0 (x2 ) = c0 y(x0 ) + c1 y(x1 ) + c2 y(x2 ) + c3 y(x3 ) + O(hp ).
x0 —————
| {z } x1 —————
| {z } x2 —————
| {z } x3
2h
2h
h
БДЗ №1
1
2
3
4
5
6
7
8
МП-22a, Горин Никита Андреевич
Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются.
Справочные материалы: http://miet.aha.ru/cm/ChislMet.pdf
1. (a) Представить слагаемые и результат в виде нормализованного числа с плавающей точкой двойной точности: (−1)s · 2e−1023 · 1.f , где 1.f записано в двоичном виде. (б) Если результат неточный (не умещается
целиком в мантиссе), то указать относительную погрешность ошибки. Исходные данные в десятичной системе счисления.
−315, 90234375 · 2−193 − 2606, 390625 · 2−172
2. Написать последовательность инструкций Matlab, формирующих указанную матрицу. Около каждой инструкции указать промежуточный результат в виде матрицы. Разрешается использовать матричные функции
(eye, repmat, flipud и др.). Использовать циклы нельзя.
Входные данные:
Нужно получить:

1














Целое n > 20
1
n
1
n−1
·
1
3
1
2
0















1
3. (а) Локализовать корни уравнения (для каждого корня zi указать отрезок [ai , bi ], содержащий только один
этот корень zi ). Для каждого корня (б) построить итерационный процесс xn+1 = ϕ(xn ), сходящийся к корню
и (в) указать начальное значение x0 . Указание: локализацию проводить перебором интервалов [ai , bi ] или
средствами математического анализа.
x5 − 4x3 − x2 − 1 = 0
4. Известно, что интервалу [a, b] принадлежит только корень x∗ уравнения (другие корни интервалу не принадлежат). (а) Построить итерационный процесс Ньютона xn+1 = xn − f (xn )/f 0 (xn ) и (б) обосновать какую
из границ интервала [a, b] можно принять за x0 . Указание: в пункте (б) выяснить знаки производных f 0 (x) и
f 00 (x) и использовать соответствующую теорему.
4x − ex − 1/2 = 0,
x∗ ∈ [0, 5; 1]
5. (а) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции f (x) по узлам xi . (б) Оценить сверху
погрешность |Rn (x)| приближения функции многочленом.
(th x)3
x0 = 0, x1 = 0, 2, x2 = 0, 4
6. Заданную функцию будут интерполировать на отрезке [a, b] по чебышёвским узлам с заданной точностью
|Rn (x)| < ε. Требуется (а) определить требуемое для заданной точности ε количество узлов (т.е. степень
интерполяционного многочлена плюс 1) и (б) вычислить значения всех узлов и отметить их на действительной
оси Ox (если узлов окажется много, ограничиться вычислением значений наименьших 10 узлов).
f (x) = ch(−x) cos x на отрезке [π, 2π] с точностью ε = 10−3
7. Данные некоторого физического эксперимента представлены в таблице. Характер зависимости y(x) заранее
точно неизвестен. Есть предположения, что зависимость может быть линейной, квадратичной или кубической. (а) Методом среднеквадратического приближения построить три типа приближения y(x) (т.е. аппроксимирующие многочлены первой, второй и третьей степеней). (б) Для каждого аппроксимирующего многоq
1 Pn
2
члена вычислить среднеквадратическое отклонение n+1
i=0 (y(xi ) − yi ) . (в) Выбрать минимальное с.к.о.
и указать соответствующий ему тип зависимости (линейная, квадратичная или кубическая), т.е. наиболее
вероятный в проведённом эксперименте.
x
5
6
7
8
9
y
−9.4
−11.7
−12.8
−15.9
−16.7
8. (а) Методом неопределённых коэффициентов составить формулу для вычисления указанной производной
по значениям функции в указанных узлах. (б) Раскладывая y(xi ) в ряд Тейлора, определить порядок p
погрешности O(hp ) полученной формулы.
y 0 (x0 ) = c0 y(x0 ) + c1 y(x1 ) + c2 y(x2 ) + c3 y(x3 ) + O(hp ).
x0 —————
| {z } x1 —————
| {z } x2 —————
| {z } x3
h
h
h
БДЗ №1
1
2
3
4
5
6
7
8
МП-22a, Морозов Александр Александрович
Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются.
Справочные материалы: http://miet.aha.ru/cm/ChislMet.pdf
1. (a) Представить слагаемые и результат в виде нормализованного числа с плавающей точкой двойной точности: (−1)s · 2e−1023 · 1.f , где 1.f записано в двоичном виде. (б) Если результат неточный (не умещается
целиком в мантиссе), то указать относительную погрешность ошибки. Исходные данные в десятичной системе счисления.
183, 22265625 · 2−32 − 908, 73046875 · 2−19
2. Написать последовательность инструкций Matlab, формирующих указанную матрицу. Около каждой инструкции указать промежуточный результат в виде матрицы. Разрешается использовать матричные функции
(eye, repmat, flipud и др.). Использовать циклы нельзя.
Входные данные:
Массив X = [x1 , . . . , xn ], n > 20 и целое p > 10
p
P
k=1
Нужно получить:
p
p
P
P
xk1
xk2
·
·
·
k!
k!
k=1
k=1
xkn
k!
>
3. (а) Локализовать корни уравнения (для каждого корня zi указать отрезок [ai , bi ], содержащий только один
этот корень zi ). Для каждого корня (б) построить итерационный процесс xn+1 = ϕ(xn ), сходящийся к корню
и (в) указать начальное значение x0 . Указание: локализацию проводить перебором интервалов [ai , bi ] или
средствами математического анализа.
5x5 − 15x3 − x2 + 3x − 1 = 0
4. Известно, что интервалу [a, b] принадлежит только корень x∗ уравнения (другие корни интервалу не принадлежат). (а) Построить итерационный процесс Ньютона xn+1 = xn − f (xn )/f 0 (xn ) и (б) обосновать какую
из границ интервала [a, b] можно принять за x0 . Указание: в пункте (б) выяснить знаки производных f 0 (x) и
f 00 (x) и использовать соответствующую теорему.
sh x − x − 0, 1 = 0,
x∗ ∈ [0, 7; 0, 9]
5. (а) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции f (x) по узлам xi . (б) Оценить сверху
погрешность |Rn (x)| приближения функции многочленом.
1
1 + x2
x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1
6. Заданную функцию будут интерполировать на отрезке [a, b] по чебышёвским узлам с заданной точностью
|Rn (x)| < ε. Требуется (а) определить требуемое для заданной точности ε количество узлов (т.е. степень
интерполяционного многочлена плюс 1) и (б) вычислить значения всех узлов и отметить их на действительной
оси Ox (если узлов окажется много, ограничиться вычислением значений наименьших 10 узлов).
sin x
f (x) = √
x
на отрезке [π, 2π] с точностью ε = 10−2
7. Данные некоторого физического эксперимента представлены в таблице. Характер зависимости y(x) заранее
точно неизвестен. Есть предположения, что зависимость может быть линейной, квадратичной или кубической. (а) Методом среднеквадратического приближения построить три типа приближения y(x) (т.е. аппроксимирующие многочлены первой, второй и третьей степеней). (б) Для каждого аппроксимирующего многоq
1 Pn
2
члена вычислить среднеквадратическое отклонение n+1
i=0 (y(xi ) − yi ) . (в) Выбрать минимальное с.к.о.
и указать соответствующий ему тип зависимости (линейная, квадратичная или кубическая), т.е. наиболее
вероятный в проведённом эксперименте.
x
−3
−2
−1
0
1
y
−11.5
−6.8
−2.3
−0.9
−0.9
8. (а) Методом неопределённых коэффициентов составить формулу для вычисления указанной производной
по значениям функции в указанных узлах. (б) Раскладывая y(xi ) в ряд Тейлора, определить порядок p
погрешности O(hp ) полученной формулы.
y 000 (x3 ) = c0 y(x0 ) + c1 y(x1 ) + c2 y(x2 ) + c3 y(x3 ) + O(hp ).
x0 —————
| {z } x1 —————
| {z } x2 —————
| {z } x3
h
h
h
БДЗ №1
1
2
3
4
5
6
7
8
МП-22a, Попов Алексей
Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются.
Справочные материалы: http://miet.aha.ru/cm/ChislMet.pdf
1. (a) Представить слагаемые и результат в виде нормализованного числа с плавающей точкой двойной точности: (−1)s · 2e−1023 · 1.f , где 1.f записано в двоичном виде. (б) Если результат неточный (не умещается
целиком в мантиссе), то указать относительную погрешность ошибки. Исходные данные в десятичной системе счисления.
−3535, 625 · 2−156 + 655, 0546875 · 2123
2. Написать последовательность инструкций Matlab, формирующих указанную матрицу. Около каждой инструкции указать промежуточный результат в виде матрицы. Разрешается использовать матричные функции
(eye, repmat, flipud и др.). Использовать циклы нельзя.
Входные данные:
Нужно получить:

1
2
3

 2
3
4


4
5
 3

.
.
..
 .
..
 .
.

 n−1
n
n−1

n
n−1 n−2
Целое n > 20
···
···
···
···
···
n


n−1 


n−2 

.. 
. 

2 

1
3. (а) Локализовать корни уравнения (для каждого корня zi указать отрезок [ai , bi ], содержащий только один
этот корень zi ). Для каждого корня (б) построить итерационный процесс xn+1 = ϕ(xn ), сходящийся к корню
и (в) указать начальное значение x0 . Указание: локализацию проводить перебором интервалов [ai , bi ] или
средствами математического анализа.
x3 − x2 − 3x − 1 = 0
4. Известно, что интервалу [a, b] принадлежит только корень x∗ уравнения (другие корни интервалу не принадлежат). (а) Построить итерационный процесс Ньютона xn+1 = xn − f (xn )/f 0 (xn ) и (б) обосновать какую
из границ интервала [a, b] можно принять за x0 . Указание: в пункте (б) выяснить знаки производных f 0 (x) и
f 00 (x) и использовать соответствующую теорему.
sin x
= 0,
x
x∗ ∈ [3, 4]
5. (а) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции f (x) по узлам xi . (б) Оценить сверху
погрешность |Rn (x)| приближения функции многочленом.
x2 ln x
x0 = 5, x1 = 8, x2 = 10
6. Заданную функцию будут интерполировать на отрезке [a, b] по чебышёвским узлам с заданной точностью
|Rn (x)| < ε. Требуется (а) определить требуемое для заданной точности ε количество узлов (т.е. степень
интерполяционного многочлена плюс 1) и (б) вычислить значения всех узлов и отметить их на действительной
оси Ox (если узлов окажется много, ограничиться вычислением значений наименьших 10 узлов).
f (x) = cos(2x) −
√
5π
−3
x на отрезке [ 3π
4 , 4 ] с точностью ε = 10
7. Данные некоторого физического эксперимента представлены в таблице. Характер зависимости y(x) заранее
точно неизвестен. Есть предположения, что зависимость может быть линейной, квадратичной или кубической. (а) Методом среднеквадратического приближения построить три типа приближения y(x) (т.е. аппроксимирующие многочлены первой, второй и третьей степеней). (б) Для каждого аппроксимирующего многоq
1 Pn
2
члена вычислить среднеквадратическое отклонение n+1
i=0 (y(xi ) − yi ) . (в) Выбрать минимальное с.к.о.
и указать соответствующий ему тип зависимости (линейная, квадратичная или кубическая), т.е. наиболее
вероятный в проведённом эксперименте.
x
−3
−2
−1
0
1
y
−18.1
−9.9
−5.2
0.3
1.3
8. (а) Методом неопределённых коэффициентов составить формулу для вычисления указанной производной
по значениям функции в указанных узлах. (б) Раскладывая y(xi ) в ряд Тейлора, определить порядок p
погрешности O(hp ) полученной формулы.
y 00 (x0 ) = c0 y(x0 ) + c1 y(x1 ) + c2 y(x2 ) + c3 y(x3 ) + O(hp ).
x0 —————
| {z } x1 —————
| {z } x2 —————
| {z } x3
h
h
h
БДЗ №1
1
2
3
4
5
6
7
8
МП-22a, Ялгашев Ислом Рустам угли
Все задачи необходимо снабдить достаточно подробными решениями. Ответы без решения не принимаются.
Справочные материалы: http://miet.aha.ru/cm/ChislMet.pdf
1. (a) Представить слагаемые и результат в виде нормализованного числа с плавающей точкой двойной точности: (−1)s · 2e−1023 · 1.f , где 1.f записано в двоичном виде. (б) Если результат неточный (не умещается
целиком в мантиссе), то указать относительную погрешность ошибки. Исходные данные в десятичной системе счисления.
−683, 6640625 · 2120 + 1177, 0703125 · 2173
2. Написать последовательность инструкций Matlab, формирующих указанную матрицу. Около каждой инструкции указать промежуточный результат в виде матрицы. Разрешается использовать матричные функции
(eye, repmat, flipud и др.). Использовать циклы нельзя.
Входные данные:
Нужно получить:

Массив X = [x1 , . . . , xn ], n > 20
2x1
x1 + x2
x1 + x3
···

 x +x
2x2
x2 + x3 · · ·
1
 2

 x3 + x1 x3 + x2
2x3
···


.
.
.
..
..
..
..

.

xn + x1 xn + x2 xn + x3 · · ·
x1 + xn


x2 + xn 


x3 + xn 


..

.

2xn
3. (а) Локализовать корни уравнения (для каждого корня zi указать отрезок [ai , bi ], содержащий только один
этот корень zi ). Для каждого корня (б) построить итерационный процесс xn+1 = ϕ(xn ), сходящийся к корню
и (в) указать начальное значение x0 . Указание: локализацию проводить перебором интервалов [ai , bi ] или
средствами математического анализа.
4x3 − 6x + 1 = 0
4. Известно, что интервалу [a, b] принадлежит только корень x∗ уравнения (другие корни интервалу не принадлежат). (а) Построить итерационный процесс Ньютона xn+1 = xn − f (xn )/f 0 (xn ) и (б) обосновать какую
из границ интервала [a, b] можно принять за x0 . Указание: в пункте (б) выяснить знаки производных f 0 (x) и
f 00 (x) и использовать соответствующую теорему.
sin x
= 0,
x2
x∗ ∈ [2, 5; 3, 5]
5. (а) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции f (x) по узлам xi . (б) Оценить сверху
погрешность |Rn (x)| приближения функции многочленом.
1
e x /x2
x0 = 2, x1 = 3, x2 = 4
6. Заданную функцию будут интерполировать на отрезке [a, b] по чебышёвским узлам с заданной точностью
|Rn (x)| < ε. Требуется (а) определить требуемое для заданной точности ε количество узлов (т.е. степень
интерполяционного многочлена плюс 1) и (б) вычислить значения всех узлов и отметить их на действительной
оси Ox (если узлов окажется много, ограничиться вычислением значений наименьших 10 узлов).
sin x
f (x) =
на отрезке [π, 2π] с точностью ε = 10−2
x
7. Данные некоторого физического эксперимента представлены в таблице. Характер зависимости y(x) заранее
точно неизвестен. Есть предположения, что зависимость может быть линейной, квадратичной или кубической. (а) Методом среднеквадратического приближения построить три типа приближения y(x) (т.е. аппроксимирующие многочлены первой, второй и третьей степеней). (б) Для каждого аппроксимирующего многоq
1 Pn
2
члена вычислить среднеквадратическое отклонение n+1
i=0 (y(xi ) − yi ) . (в) Выбрать минимальное с.к.о.
и указать соответствующий ему тип зависимости (линейная, квадратичная или кубическая), т.е. наиболее
вероятный в проведённом эксперименте.
x
5
6
7
8
9
y
127
217.7
344.6
514
730.9
8. (а) Методом неопределённых коэффициентов составить формулу для вычисления указанной производной
по значениям функции в указанных узлах. (б) Раскладывая y(xi ) в ряд Тейлора, определить порядок p
погрешности O(hp ) полученной формулы.
y 000 (x1 ) = c0 y(x0 ) + c1 y(x1 ) + c2 y(x2 ) + c3 y(x3 ) + O(hp ).
x0 —————
| {z } x1 —————
| {z } x2 —————
| {z } x3
h
h
h