Лекции по курсу ДиНАС

Лекция №1
Введение
Проблемы
надежности
в
техники
и
технологиях
автоматики
и
радиоэлектроники являются краеугольным камнем в разработке и создании новых
высокотехнологичных автоматизированных систем и приборов.
Существенный рост значения диагностики и надежности в настоящее время
обусловлен многими факторами:
 Повышение сложности современных систем, до десятков и сотен отдельных
элементов, при значительном отставании роста безотказности работы самих
элементов;
 Значительным сокращением непосредственного участия человека в решении
задач;
 Существенным повышением ответственности за правильное решение задач
(в авиации и на транспорте, например: задачи автоматического управления связаны
с безопасностью людей; экономические потери при нарушении технологии на ряде
технических, ядерных и других производств могут быть чрезвычайно большими);
 Значительным усложнением условий и повышением интенсивности работ,
особенно в разного рода бытовых (авиационных, космических, морских) системах;
 Повышением требований и качеству работы системы (точности обработки,
быстродействию)
Надежность – это свойство системы (объекта) сохранять во времени в
установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность
выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения,
технического обслуживания, хранения и транспортировки.
Существующие в настоящее время подходы к определению надежности
основываются на эмпирической информации. Для приборов это статистика отказов
получения в ряде испытаний на надежность. Для изделий это создание макетов и
опытных образцов. При этом потенциал статистической теории надежности
ограничен, как правило, нормами выборки. Создание макетов и опытных образцов и
1
проведение полного комплекса испытаний на надежность, в условиях динамически
развивающихся различных отраслей, развивающихся сопряженно со значительными
материальными и временными затратами, а порой и невозможностью проведения
таковых.
Теория вероятности является главным математическим аппаратом теории
надежности.
Основные понятия теории вероятности
Событие – всякий факт, который может произойти или не произойти в
результате опыта.
При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной
степенью возможности. То есть в некоторых случаях можно сказать, что одно
событие произойдет наверняка, другое – практически никогда. В отношении друг
друга события так же имеют особенности, то есть в одном случае событие А может
произойти совместно с событием В, в другом – нет.
События называются несовместными, если появление одного из них
исключает появление других.
Полной группой событий
называется
совокупность всех
возможных
результатов опыта.
Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет
в результате опыта.
Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в
результате опыта.
Например появление белого шара из коробки с синими и красными шарами.
Появление синего и красного шаров образуют полную группу событий.
Противоположными называются события, если они несовместны и образуют
полную группу.
События называются равновозможными, если нет оснований считать, что
одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью. Для опыта с
шарами появление красного и синего шара – события равновозможные, если в
коробке находится одинаковое количество этих шаров.
2
Вероятностью события А называется математическая оценка возможности
появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равно
отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опытов к общему
числу исходов:
𝑃(𝐴) =
𝑚
𝑛
Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в
результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А. Очевидно, что
вероятность достоверного события равна 1, а вероятность невозможного – 0, 0 ≤
𝑃(𝐴) ≤ 1.
Теорема сложения вероятностей
𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)
Следствие 1
Если событие А и В образуют полную группу несовместных событий, то их
сумма равна 1 (∑𝑛𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 ) = 1).
Следствие 2
Сумма вероятностей противоположных событий 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴̅) = 1.
Пример:
В лотерее 1000 билетов, из них на 1 билет падает выигрыш – 500 руб., на 10
билетов – по 100 руб., на 50 билетов – по 20 руб., на 100 билетов – по 5 руб.,
остальные билеты невыигрышные.
Найти вероятность выиграть не менее 20-ти
рублей при покупке одного билета.
Решение:
Рассмотрим событие:
А – выиграть не менее 20 руб.;
А1 – выиграть 20 руб.;
А2 – выиграть 100 руб.;
А3 – выиграть 500 руб.
Очевидно А = А1 + А2 + А3 . По теории сложения вероятностей:
3
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 ) + 𝑃(𝐴3 ) =
50
10
1
+
+
= 0,061
1000 1000 1000
4
Лекция №2
Теорема умножения вероятности
Пусть проводится опыт со случайным исходом, в результате которого могут
произойти (или не произойти) какие-то события А и В. Условной вероятностью
события В, при наличии А называется величина:
𝑃(𝐵⁄𝐴) =
𝑃(𝐴𝐵)
⁄𝑃(𝐴)
При этом 𝑃(𝐴) ≠ 0.
На практике эту формулу обычно читают в обратном порядке, поэтому ее
записывают в следующем виде:
𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵⁄𝐴)
То есть вероятность произведений двух событий равна вероятности одного из
них, умноженная на условную вероятность второго, при наличии первого.
Очевидно, что не важно, какое событие выбрать первым, а какое – вторым.
Поэтому правило умножения вероятности можно записать и в виде:
𝑃(𝐴 ∙ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐴⁄𝐵)
Пример:
Из урны, содержащей 4 белых и 3 черных, шара вынимают (одновременно или
последовательно) 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара – белые.
Решение:
Событие С является произведением двух событий А и В. 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵. Где А –
первый шар белый; В – второй шар белый. Найдем P(C) по формуле умножения
вероятности:
𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐴 ∙ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵⁄𝐴)
4
Очевидно, что 𝑃(𝐴) = . Найдем 𝑃(𝐵⁄𝐴). Для этого предположим, что событие
7
А уже произошло, то есть первый шар – белый. После этого в урне осталось 6 шаров
– из которых 3 белых.
5
3 1
=
6 2
4 1 2
𝑃(𝐶) = ∙ =
7 2 7
𝑃(𝐵⁄𝐴) =
В случае, когда события являются независимыми, то вероятность произведения
таких событий равна произведению вероятности этих событий:
𝑛
𝑛
𝑃(∏ 𝐴𝑖 ) = ∏ 𝑃(𝐴𝑖 )
𝑖=1
𝑖=1
Пример:
Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из
которых, независимо от других, может в течение времени t отказать (выйти из
строя). Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. За время t
надежность
(ВБР)
первого
узла
𝑃1 = 0,8; 𝑃2 = 0,9; 𝑃3 = 0,7.
Определить
надежность прибора в целом.
Решение:
Обозначим
А – безотказная работа прибора;
А1 – безотказная работа первого узла;
А2 – безотказная работа второго узла;
А3 – безотказная работа третьего узла.
𝐴 = 𝐴1 ∙ 𝐴2 ∙ 𝐴3
Откуда по теореме умножения для независимых событий получается
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴1 ) ∙ 𝑃(𝐴2 ) ∙ 𝑃(𝐴3 ) = 0,504.
Следствием обоих основных теорем (сложения и умножения) является формула
полной вероятности.
Формула полной вероятности
Допустим, что необходимо провести опыт об условиях которого можно сделать
n - ичключающих друг друга предположения (гипотез):
H1, H2, … , Hn
6
Каждая гипотеза осуществляется случайным образом и представляет собой
некоторое событие. Вероятности гипотез известны и равны:
P(H1), P(H2), … , P(Hn)
Рассматривается некоторое событие А, которое может появиться только вместе
с одной из гипотез. Заданы условные вероятности события А при каждой из гипотез
𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) ; 𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) ; … ; 𝑃 (𝐴⁄𝐻 )
1
2
𝑛
Требуется найти вероятность события А. Для этого представим А как сумму n
несовместных вариантов:
𝑛
𝐴 = 𝐻1 𝐴 + 𝐻2 𝐴 + ⋯ + 𝐻𝑛 𝐴 = ∑ 𝐻𝑖 𝐴
𝑖=1
По правилу сложения вероятностей
𝑛
𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐻𝑖 𝐴)
𝑖=1
По правилу умножения вероятностей
𝑃(𝐻𝑖 ∙ 𝐴) = 𝑃(𝐻𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐴⁄𝐻 )
𝑖
откуда
𝑛
𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐻𝑖 ) ∙ 𝑃(𝐴⁄𝐻 )
𝑖=1
𝑖
То есть безусловная вероятность события А в опыте с гипотетическими
условиями вычисляется как сумма произведения вероятности каждой гипотезы на
условную вероятность событий при этой гипотезе.
Пример:
Имеются 3 одинаковые урны. В первой – 2 белых и 3 черных шара; во второй –
4 белых и 1 черный; в третьей – з белых шара Найти вероятность того, что шар, в
выбранной наугат урне, окажется белым.
Решение:
Событие А заключается в появлении белого шара. Рассмотрим 3 гипотезы:
Н1 – выбрана первая урна;
7
Н2 – выбрана вторая урна;
Н3 – выбрана третья урна.
1
3
Условные вероятности при каждой из гипотез равны:
𝑃(𝐻1 ) = 𝑃(𝐻2 ) = 𝑃(𝐻3 ) =
2
4
𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) = ; 𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) = ; 𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) = 1
1
2
3
5
5
По формуле полной вероятности получаем:
11
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) + 𝑃(𝐻2 ) ∙ 𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) + 𝑃(𝐻3 ) ∙ 𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) =
1
2
3
15
Теорема гипотез (формула Бейеса)
Имеется полная группа несовместных гипотез
H1, H2, … , Hn
Вероятности этих гипотез известны и равны
P(H1), P(H2), … , P(Hn)
Произведен опыт, в результате которого наблюдается появление некоторого
события А.
Спрашивается, как следует изменить вероятность гипотез в связи с появлением
события А? По существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность
𝐻
𝑃 ( 𝑖⁄𝐴) для каждой гипотезы. Из теоремы умножения имеем:
𝐻
𝑃(𝐴𝐻𝑖 ) = 𝑃(𝐴)𝑃 ( 𝑖⁄𝐴) = 𝑃(𝐻𝑖 ) ∙ 𝑃 (𝐴⁄𝐻 )
𝑖
(𝑖 = 1,2, … , 𝑛)
Отсюда
𝐻
𝑃 ( 𝑖⁄𝐴) =
𝑃(𝐻𝑖 ) ∙ 𝑃 (𝐴⁄𝐻 )
𝑖
𝑃(𝐴)
Заменяя P(A) – формулой полной вероятности имеем:
𝑃(𝐻𝑖 ) ∙ 𝑃 (𝐴⁄𝐻 )
𝑖
𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) = 𝑛
𝐴
2
∑𝑖=1 𝑃(𝐻𝑖 ) ∙ 𝑃( ⁄𝐻 )
𝑖
Это формула Бейеса.
Пример:
8
Имеются 3 урны. В первой – 3 белых и 1 черный шар; во второй – 2 белых и 3
черных шара; в третьей – 3 белых шара. Некто подходит наугад к одной из урны и
вынимает из нее шар, который оказался белый. Найти после опытные вероятности
того, что шар вынут из первой, второй и третьей урн.
Решение:
Гипотезы
Н1 – выбрана первая урна;
Н2 – выбрана вторая урна;
Н3 – выбрана третья урна.
Так как урна выбирается наугад, то априорные вероятности этих гипотез равны
1
3
В результате опыта произошло событие А – из какой-то урны вынут белый шар.
𝑃(𝐻1 ) = 𝑃(𝐻2 ) = 𝑃(𝐻3 ) =
Условные вероятности события А при гипотезах Н1, Н2 и Н3:
3
2
𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) = ; 𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) = ; 𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) = 1
1
2
3
4
5
По формуле Бейеса:
𝐻
𝑃 ( 1⁄𝐴) =
𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃 (𝐴⁄𝐻 )
15
1
=
𝑃(𝐻1 ) ∙ 𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) + 𝑃(𝐻2 ) ∙ 𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) + 𝑃(𝐻3 ) ∙ 𝑃 (𝐴⁄𝐻 ) 43
1
2
3
8
20
𝐻
𝐻
𝑃 ( 2⁄𝐴) =
; 𝑃 ( 3⁄𝐴) =
43
43
9
Лекция №3
Случайные величины и их законы распределения.
Ряд распределения. Многоугольник распределения.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта
может принять то или иное значение, не известное заранее. Случайные величины
бывают прерывного (дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения
прерывных величин заранее могут быть перечислены. Возможные значения
непрерывных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют
некоторый промежуток.
Пример дискретных случайных величин:
1) Число появления герба при трех бросаниях монеты. (возможны значения
0;1;2;3)
1 2
2) Частота появления герба в том же опыте. (возможные значения 0; ; ; 1)
3 3
3) Число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов.
(Возможные значения величин 0;1;2;3;4;5)
Примеры непрерывных случайных величин:
1) Абсцисса (ордината) точки попадания при выстреле.
2) Расстояние от точки попадания до центра мишени.
3) Время безотказной работы прибора (радиолампы).
Случайны величины обозначаются большими буквами, а их возможные
значения – соответствующими малыми буквами. Например, X – число попаданий
при трех выстрелах; возможные значения: X1=0,Х2=1, Х3=2, Х4=3.
Рассмотрим прерывную случайную величину Х с возможными значениями Х 1,
Х2, … , Хn. Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х
может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта
величина Х примет одно из этих значений, то есть произойдет одно из полной
группы несовместных событий.
10
𝑋 = 𝑥1
𝑋 = 𝑥2
{
…
𝑋 = 𝑥𝑛
Обозначим вероятности этих событий буквами p с соответствующими
индексами:
𝑃(𝑋 = 𝑥1 ) = 𝑝1 ; 𝑃(𝑋 = 𝑥2 ) = 𝑝2 ; … ; 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑛 ) = 𝑝𝑛
Так как несовместные события образуют полную группу, то
∑𝑛𝑖=1 𝑝𝑖 = 1,
то есть сумма вероятности всех возможных значений случайной величины
равна 1. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между
отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с
вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение,
то есть в
точности укажем какой вероятностью обладает каждое из событий. (Этим мы
установим так называемый закон распределения случайных величин.)
Законом
распределения
случайной
величины
называется
всякое
соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной
величины и соответствующей им вероятности. (Про случайную величину мы будем
говорить, что она подчинена данному закону распределения)
Простейшей формой задания закона распределения случайной величины
является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины
и соответствующие им вероятности.
Таблица 1.
Xi
X1
X2
…
Xn
Pi
P1
P2
…
Pn
Такую таблицу называют рядом распределения случайных величин.
Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид прибегают к его
графическому изображению: по оси абсцисс откладывают возможные значения
случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. (Для
наглядности полученные точки соединяют отрезками прямых.)
11
Рисунок 1 – многоугольник распределения
Такая фигура называется многоугольником распределения. Многоугольник
распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует
случайную величину; он является одной из форм закона распределения.
Пример:
производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие
А. Вероятность события А=0,3. Рассматривается случайная величина Х – число
появлений события А в данном опыте. Необходимо построить ряд и многоугольник
распределения величины Х.
Таблица 2.
Xi
0
1
Pi
0,7
0,3
12
Рисунок 2 - Функция распределения
Функция распределения является универсальной характеристикой случайной
величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и не
прерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину
с вероятностной точки зрения, то есть является одной из форм закона
распределения.
Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно
воспользоваться не вероятностью события X=x, а вероятностью события X<x, где х
– некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от
х, то есть является некоторой функцией от х. Эта функция называется функцией
распределения случайной величины X и обозначается F(x):
F(x)=P(X<x)
Функцию распределения F(x)
иногда также называют также интегральной
функцией распределения или интегральным законом распределения.
Свойства функции распределения случайной величины
1. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента,
то есть при 𝑥2 > 𝑥1 ; 𝐹(𝑥2 ) ≥ 𝐹(𝑥1 )
2. На минус бесконечности 𝐹(𝑥) = 0: 𝐹(−∞) = 0
3. На плюс бесконечности 𝐹(𝑥) = 1: 𝐹(+∞) = 1
Рисунок 3 – график функции распределения
График функции распределения в общем случае представляет собой график
неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1.
Зная ряд распределения случайной величины, можно построить функцию
распределения случайной величины.
13
Пример:
для условий предыдущего примера построить функцию распределения
случайной величины.
Построим функцию распределения X:
Рисунок 4 – функция распределения Х
1) При х ≤ 0, 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥) = 0
2) При 0 ≤ 𝑥 < 1, 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥) = 𝑃(𝑥 = 0) = 0,7
3) При 𝑥 > 1, 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥) = 𝑃(𝑥 = 0) + 𝑃(𝑥 = 1) = 1
Функция распределения любой прерывной дискретной случайной величины
всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках,
соответствующих
возможным
значениям
случайной
величины
и
равны
вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции распределения равна
1.
По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и
уменьшения интервалов между ними, число скачков становится больше, а сами
скачки – меньше:
14
Рисунок 5
Ступенчатая кривая становится более плавной:
Рисунок 6
Случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее
функция распределения к непрерывной функции. Также существуют случайные
величины, возможные значения которых непрерывно заполняют
некоторый
промежуток, но для которых функция распределения не везде является
непрерывной. И в отдельных точках терпит разрыв. Такие случайные величины
называются смешенными.
Рисунок 7
15
Лекция №4
Плотность распределения
Пусть имеется непрерывная случайная величина X с функцией распределения
F(x), которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим
вероятность попадания этой случайной величины на участках от x до X+∆X (т.е.
приращение функции распределения на этом участке):
P(x<X<X+∆X)=F(X+∆X)-F(x)
Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю
вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке и будем приближать
∆X к нулю. В пределе получим производную от функции распределения
𝐹(𝑋 + ∆𝑋) − 𝐹(𝑥)
= 𝐹 ′ (𝑥)
∆𝑋→0
∆𝑋
Введем обозначение: f(x)=F'(x)
lim
Функция f(x) – производная функции распределения характеризует как бы
плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке.
Эта функция называется плотностью вероятности или плотностью распределения
непрерывной случайной величины X. Иногда функцию f(x) называют также
«дифференциальной функцией распределения» или «дифференциальным знаком
распределения» величины X. < Графически f(x) имеет вид >
Рисунок 8 – плотность распределения случайной величины
Кривая,
изображающая
плотность
распределения
случайной
величины,
называется кривой распределения.
16
Плотность распределения, так же и функция распределения, есть одна из форм
закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не
является универсальной, она существует только для непрерывных случайных
величин.
Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения
f(x) и элементарный участок dX, примыкающей к точке X:
Рисунок 9
Вероятность попадания случайной величины X на этот элементарный участок
равна f(x)·dx. Величина f(x)·dx – называется элементом вероятности. Геометрически
это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx.
Найдем вероятность попадания величины X на отрезок от X до 𝛽 через
плотность распределения.
Рисунок 10
Очевидно она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т.е.
интегралу:
17
𝑃(𝛼 < 𝑋 < 𝛽) = 𝑑𝑥
Геометрически это означает, что вероятность попадания величины X на участок
(𝛼;𝛽) равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок.
Выразим функцию распределения через плотность распределения. По
𝑥
определению:𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥) = 𝑃(−∞ < 𝑋 < 𝑥), откуда 𝐹(𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
Геометрически F(x) есть не что иное, как площадь кривой распределения,
лежащая левее точки X.
Рисунок 11
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:
𝑓(𝑥) ≥ 0
2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен
единице:
∞
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1
−∞
Геометрически эти свойства означают, что:
1) Вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс
2) Полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна
единице.
Пример:
Функция
распределения
непрерывной
случайной
величины
X
задана
выражением
18
0,
F(x) = {ax ,
1,
2
при 𝑥 ≤ 0
при 0 < 𝑥 ≤ 1
при 𝑥 > 1
Найти:
а) Коэффициент a
б) Плотность распределения f(x)
в) Вероятность попадания величины X на участок от 0,25 до 0,5
Решение:
а) Так как функция распределения величины X непрерывна, то при 𝑥 = 1
𝑎𝑥 2 = 1 откуда 𝑎 = 1
б) Плотность распределения величины X выражается формулой
0,
F(x) = {2x,
1,
в)
Вероятность
попадания
при 𝑥 ≤ 0
при 0 < 𝑥 ≤ 1
при 𝑥 > 1
𝑃(0.25 < 𝑥 < 0.5) = 𝐹(0.5) − 𝐹(0.25) = 0.52 −
0.252 = 0.18 ≠ 5
Пример:
Случайная величина X подчинена закону распределения с плотностью 𝑓(𝑥) =
𝜋
𝜋
2
2
𝑎 cos 𝑥 при − ≤ 𝑥 ≤
𝑓(𝑥) = 0 при 𝑥 < −
𝜋
𝜋
и𝑥 >
2
2
Найти:
а) Коэффициент а
б) Построить график плотности распределения
в) Найти функцию распределения F(x) и построить ее график
г) Определить вероятность попадания на участок от 0 до
𝜋
4
Решение:
а) Для определения коэффициента а воспользуемся свойством плотности
распределения
∞
∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
2
𝜋
−
2
= ∫ 𝑎 cos 𝑑𝑥 = 2𝑎 = 1 откуда 𝑎 =
1
2
19
б) График плотности распределения:
Рисунок 12
в)
По
формуле
𝑥
𝐹(𝑥) = ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
получаем
выражение
функции
распределения
0,
𝐹(𝑥) =
1
(sin 𝑥 + 1),
2
{
𝜋
2
𝜋
𝜋
при − ≤ 𝑥 ≤
2
2
𝜋
при 𝑥 >
2
при 𝑥 < −
1,
Рисунок 13
г) Вероятность попадания величины X на заданный отрезок
20
𝜋
1
𝜋
1
√2
𝑃 (0 < 𝑥 < ) = (sin + 1) − (sin 0 + 1) =
4
2
4
2
4
Числовые характеристики случайных величин
< На прошлых занятиях мы познакомились с характеристиками присущими
дискретным и непрерывным случайным величинам.
Для дискретных случайных величин это были: функция распределения, род
распределения.
Для непрерывных случайных величин: функция распределения и плотность
распределения. >
Среди числовых характеристик случайных величин необходимо прежде всего
отметить те, которые характеризуют положение случайной величины на числовой
оси, т.е. указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого
группируются все возможные значения случайной величины.
Одной из таких характеристик положения является математическое ожидание
случайной величины, которое иногда называют просто средним значением
случайной величины.
Математическое ожидание обозначается буквой M[X] или mx и определяется
как
𝑛
𝑀[𝑋] = ∑ 𝑋𝑖 𝑃𝑖
𝑖=1
Математическим ожиданием случайной величины называется сумма
произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих
значений.
Приведенная формула для математического ожидания соответствует случаю
дискретной случайной величины. Для непрерывной величины X математическое
ожидание выражается не суммой, а интегралом:
∞
𝑀[𝑋] = ∫−∞ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥,
где f(x) – плотность распределения.
21
Кроме
математического
ожидания
на
практике
применяют
т
такие
характеристики положения как мода и медиана.
Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.
Рисунок 14
Рисунок 15
В случае непрерывной случайной величины модой является то значение, в
котором плотность вероятности максимальна.
Если
многоугольник
распределения
имеет
более
одного
максимума
распределение называется полимодельным.
Рисунок 16
22
Рисунок 17
Иногда встречаются распределения, обладающие посередине не максимумом, а
минимумом.
Такие системы называют антимодельными.
Рисунок 18
Рисунок 19
Часто применяется еще одна характеристика положения – медиана случайной
величины.
Этой характеристикой обычно пользуются для поправочных случайных
величин.
23
Рисунок 20 – медиана случайной величины
Медианой случайной величины X называется такое ее значение, для которого
𝑃(𝑥 < 𝑀𝑒) = 𝑃(𝑥 > 𝑀𝑒)
Геометрическая медиана – это абсцисса точки, в которой площадь,
ограниченная кривой распределения, делится пополам.
24
Лекция №8
Показатели надеж
ности технических элементов и систем
Показатель надежности – это количественная характеристика одного или
нескольких свойств, составляющих надежность объекта.
Различают следующие показатели надежности:
 Единичный показатель надежности
 Комплексный показатель надежности
 Расчетный показатель надежности
 Экспериментальный показатель надежности – это показатель надежности,
точная или интервальная оценка которого определяется по данным эксплуотации
 Эксплуатационный показатель надежности
 Экстраполированный показатель надежности
В зависимости от оцениваемых свойств, характеризующих надежность,
показатели надежности подразделяют на:
 Показатели безотказности
 Показатели долговечности
 Показатели ремонтопригодности
 Показатели сохраняемости
 … показатели надежности
Показатели безотказности
Для необслуживаемых, невосстанавливаемых и не ремонтируемых объектов в
качестве показателей безотказности используют:
 Вероятность безотказности работы
 Интенсивность отказов
 Среднюю наработку до отказа
 Гамма-процентную наработку до отказа
25
Для обслуживаемых, восстанавливаемых и ремонтируемых объектовв качестве
показателей безотказности используют:
 Среднюю наработку на отказ
 Параметр потока отказов
 Усредненный параметр потока отказов
Вероятность безотказной работы – это вероятность того, что в пределах
заданной наработки отказ объекта не возникнет.
Обозначим через t время или суммарную наработку объекта. Возникновение
первого отказа – случайное событие, а наработка τ от начального момента до
возникновения этого события – случайная величина. Вероятность безотказности
работы P(t) объекта в интервале наработки от 0 до t включительно определяется как:
𝑃(𝑡) = 𝑃{𝜏 > 𝑡}
Вероятность безотказности работы связана с функцией распределения F(t) и
плотностью f(t) распределения наработки до отказа.
𝑑𝐹(𝑡)
𝑑𝑃(𝑡)
=−
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Иногда, наряду с понятием «вероятности безотказной работы» используют
𝐹(𝑡) = 1 − 𝑃(𝑡);
𝑓(𝑡) =
понятие «вероятности отказа», Q(t).
Q(t) – вероятность того, что объект откажет хотя бы один таз в течение
заданной наработки, будучи работоспособным в начальный момент времени.
𝑄(𝑡) = 1 − 𝑃(𝑡)
<Используя приведенные выше зависимости, получаем>:
𝑡
𝑄(𝑡) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
0
𝑡
𝑃(𝑡) = 1 − 𝑄(𝑡) = 1 − ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
0
Плотность распределения f(t) наработки до отказа называют частотой отказов.
<Типичная зависимость частоты f отказов от наработки t изображена на рисунке1>
26
Рисунок 21
<Из рисунка 1 видно, что все время работы изделия можно разделить на три
участка, соответствующие трем независимым группам отказов.>
Временной промежуток от 0 до t1 называется участком приработки. <На этом
участке происходят отказы в основном из-за дефектов производства.> На участке от
t1 до t2 выход из строя изделия в основном обусловлен внезапным отказом.
Временной промежуток от t2 до t3 характеризуется возрастанием частоты отказов изза деградационных процессов.
Деградационный
отказ
–
это
отказ,
обусловленный
естественными
процессами старения, изнашивания, коррозией и усталостью, при соблюдении всех
установленных правил и (или) норм проектирования, изготовления и эксплуотации.
Точечные статистические оценки для вероятности безотказной работы Pстат(t),
вероятности отказов Qстат(t) и частоты отказов fстат(t) определяются как:
𝑛(𝑡)
𝑁
𝑛(𝑡)
𝑄стат (𝑡) =
𝑁
𝑛(∆𝑡)
𝑓стат (𝑡) =
𝑁 ∙ ∆𝑡
𝑃стат (t) = 1 −
Где:
N – число объектов, работоспособных в начальный момент времени;
Δt – промежуток времени (наработки);
27
n(Δt) – число объектов, отказавших в интервале времени (наработки) от 𝑡 −
∆𝑡
2
∆𝑡
до 𝑡 + ;
2
n(t) – число объектов, отказавших на отрезке от 0 до t.
Интенсивность
отказов
λ(t)
–
это
условная
плотность
вероятности
возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого
момента времени отказ не возник.
𝜆(𝑡) =
𝑓(𝑡)
𝑓(𝑡)
𝑑𝑃(𝑡)
=
=−
1 − 𝑄(𝑡) 𝑃(𝑡)
𝑃(𝑡) ∙ 𝑑𝑡
Преобразуем это выражение для того, чтобы выразить P(t) через λ(t)
𝜆(𝑡) ∙ 𝑑𝑡 = −
𝑑𝑃(𝑡)
𝑃(𝑡)
Интегрируя обе части выражения от 0 до t получаем
𝑡
∫ 𝜆(𝑡) ∙ 𝑑𝑡 = −𝑒𝑛 𝑃(𝑡)
0
Откуда
𝑡
𝑃(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 [− ∫ 𝜆(𝑡) ∙ 𝑑𝑡] + 𝐶
0
Используя начальные условия t=0 и P(0)=1 найдем C=0. <зависимость
вероятности безотказной работы через λ(t) будет иметь вид>
𝑡
𝑃(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 [− ∫ 𝜆(𝑡)𝑑𝑡]
0
Статистическая оценка для интенсивности отказов имеет вид:
𝜆стат (𝑡) =
𝑛(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑛(𝑡)
[𝑁 − 𝑛(𝑡)] ∙ ∆𝑡
28
Рисунок 22- Типичная зависимость интенсивности отказов от времени.
Для участка II, на котором изделие работает наиболее долго, зависимость
вероятности безотказной работы от времени имеет вид:
𝑃(𝑡) = exp(−𝜆 ∙ 𝑡)
- экспоненциальный закон вероятности безотказной работы
Средняя наработка до отказа (T1) – это математическое ожидание наработки
объекта до первого отказа. Она определяется по формуле:
∞
∞
∞
𝑇1 = ∫ 𝑡 ∙ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ [1 − 𝑄(𝑡)]𝑑𝑡 = ∫ 𝑃(𝑡)
0
0
0
Для второго участка работы (рисунок 2), когда интенсивность отказов λ не
зависит от времени t, средняя наработка отказа равна:
𝑇1 =
1
𝜆
Среднее время безотказной работы в интервале от 0 до t, при
экспоненциальном законе вероятности безотказной работы:
𝑡
𝑇ср = ∫ 𝑃(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑇1 [1 − 𝑃(𝑡)]
𝑃(𝑡) =
𝑡
−
𝑇
𝑒 1
0
Дисперсия времени безотказной работы:
∞
𝐷𝑇1 = ∫ (𝑡 − 𝑇1 )2 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
0
Среднее квадратичное отклонение:
𝛿𝑇1 = √𝐷𝑇1
29
Статистическую оценку средней наработки до отказа Tстат вычисляют по
формуле:
𝑇стат
∑𝑁
𝑖=1 𝑡𝑖
=
𝑁
Гед:
N – число отказов, произошедших за наработку t
ti – наработка отказа i-го элемента.
Гамма – процентная наработка до отказа – это наработка tɣ, в течение которой
отказ не возникает с вероятностью ɣ, выраженной в прорцентах
ɣ
𝐹(𝑡ɣ ) = 𝑄(𝑡ɣ ) = 1 − 𝑃(𝑡ɣ ) = 1 −
100
где: F(𝑡ɣ ) = 𝑄(𝑡ɣ ) - функция распределения наработки до отказа
P(𝑡ɣ ) – вероятность безотказной работ.
30
Лекция №9
Показатели безотказности для восстанавливаемых и ремонтируемых
объектов.
Средняя наработка на отказ (наработка на отказ) T определяется как
отношение суммарной наработки восстанавливаемого объекта математическому
ожиданию числа отказов в течение этой наработки.
𝑇=
𝑡
𝑀{𝑟(𝑡)}
где :
t – суммарная наработка;
r(t) – число отказов, поступившее в течение этой наработки;
M{𝑟(𝑡)} – математическое ожидание этого числа.
В общем случае средняя наработка на отказ является функцией t. Для
стационарных потоков отказов средняя наработка на отказ от t не зависит.
Статистическая оценка средней наработки на отказ T вычисляется по
формуле:
𝑇стат
∑𝑁
𝑡
𝑖=1 𝑡𝑖
=
=
𝑟(𝑡)
𝑁
где: N – число отказов, практически произошедших за суммарную наработку t;
ti – наработка отказа i-го элемента.
Показатель
средняя
наработка
на
отказ
введен
применительно
к
восстанавливаемым объектам, при эксплуатации которых допускаются многократно
повторяющиеся отказы, не приводящие к серьезным последствиям и не требующие
значительных затрат на восстановление работоспособного состояния. Эксплуатация
таких объектов может быть описана следующим образом: в начальный момент
времени объект начинает работать и продолжает работать до первого отказа; после
отказа происходит восстановление работоспособности и объект вновь вводится в
эксплуатацию, работает до отказа и т.д. На оси времени моменты отказов образуют
поток отказов, а моменты восстановлений – поток восстановлений.
31
Параметр потока отказов 𝝎 – это отношение математического ожидания
числа отказов восстанавливаемого объекта за достаточно малую его наработку к
значению этой наработки.
𝑀[𝑟(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑟(𝑡)]
𝜔(𝑡) = lim {
}
∆𝑡→0
∆𝑡
Где: ∆𝑡 − малый отрезок наработки;
r(t) – число отказов, поступивших от начального момента времени до
достижения наработки t
Осредненный параметр потока отказов (𝝎оср (𝒕)) – это отношение
математического ожидания числа отказов восстанавливаемого объекта за конечную
наработку к значению этой наработки.
𝑀[𝑟(𝑡 = ∆𝑡) − 𝑟(𝑡)]
𝜔оср (𝑡) = {
};
(𝑡2 − 𝑡1 )
𝑡1 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡2
Если параметр потока отказов стационарный, то параметры 𝜔(𝑡) и 𝜔оср (𝑡) не
зависят от времени.
Статистическую оценку для параметра потока отказов 𝝎оср (𝒕) определяют
по формуле:
𝜔стат (𝑡) =
𝑟(𝑡2 ) − 𝑟(𝑡1 )
𝑡2 − 𝑡1
Для стационарных потоков можно применять формулу:
𝜔стат (𝑡) =
1
𝑇стат
I Показатели долговечности
К показателям долговечности относятся:
 Средний ресурс
 Средний срок службы
 Гамма – процентный ресурс
 Гамма – процентный срок службы
Средний ресурс – это математическое ожидание ресурса, tрес.
32
Средний срок службы – это математическое ожидание срока службы, tсл.
Гамма-процентный ресурс – это суммарная наработка в течение которой
объект не достигнет предельного состояния с вероятностью ɣ, выраженной в
процентах.
Гамма-процентный срок службы – это календарная продолжительность
эксплуатации, в течение которой объект не достигнет предельного состояния с
вероятностью ɣ, выраженной в процентах.
Показатели долговечности, отсчитываемой от ввода объекта в эксплуатацию до
окончательного снятия с эксплуатации называются гамма – процентный полный
ресурс и средний полный ресурс.
Показатели сохраняемости
К показателям сохраняемости относятся:
 Средний
срок
сохраняемости
–
математическое
ожидание
срока
сохраняемости;
 Гамма – процентный срок сохраняемости – это срок сохраняемости,
достигаемый объектом с заданной вероятностью гамма.
II Показатели ремонтопригодности
К показателям ремонтопригодности относятся:
 Вероятность восстановления;
 Среднее время восстановления;
 Гамма – процентное время восстановления;
 Интенсивность восстановления;
 Средняя трудоемкость восстановления.
Интенсивность восстановления 𝛍(𝐭) – это условна плотность вероятности
восстановления
работоспособного
состояния
объекта,
определенная
для
рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента
восстановление не было завершено.
Вероятность восстановления Pв(t) – это вероятность того, что время
восстановления работоспособного состояния объекта не превысит заданное время.
33
Вероятность восстановления определяется следующей формулой:
𝑡
𝑃𝐵 (𝑡) = 1 − ∫ 𝜇(𝑡)𝑑𝑡
0
I Среднее время восстановления Tв – это математическое ожидание времени
восстановления
работоспособного
состояния
объекта
после
отказа.
<Для
экспоненциального закона среднее время восстановления определяется как:>
∞
𝑇𝐵 = ∫ 𝑡𝐵 ∙ 𝑓(𝑡𝐵 )𝑑𝑡𝐵 =
0
1
𝜇
Гамма – процентное время восстановления – это время, в течение которого
восстановление работоспособности объекта будет осуществлено с вероятностью ɣ,
выраженной в процентах.
Средняя трудоемкость восстановления – это математическое ожидание
трудоемкости восстановления объекта после отказа.
Комплексные показатели надежности
К комплексным показателям надежности относятся коэффициенты:
 Готовности;
 Оперативной готовности;
 Технического использования;
 Сохранения эффективности.
Все
комплексные
показатели
надежности
описывают
надежность
восстанавливаемых объектов.
Коэффициент готовности (КГ) – это вероятность того, что объект окажется в
работоспособном состоянии в произвольный момент времени, кроме планируемых
периодов
в
течение
которых
применение
по
назначению
объекта
не
предусматривается. Различают: стационарный, не стационарный и средний
коэффициент готовности.
34
Рисунок 23
S0 – система используется по назначению;
S1 – система не может использоваться по назначению.
Кг =
𝑇
;
𝑇 + 𝑇𝐵
КП =
𝑇𝐵
𝑇 + 𝑇𝐵
Коэффициент оперативной готовности, Ког(t) – это вероятность того, что
объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени t,
кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по
назначению не предусматриваются, начиная с этого момента, будет работать
безотказно в течение заданного интервала времени. <При экспонециальном законе
вероятности безотказной работы.>
Ког (𝑡) = Кг exp(−𝜆 ∙ 𝑡)
35
Лекция 10
Нестационарный
функцией готовности
коэффициент
– это
готовности,
kг(t),
называемый
также
вероятность того, что объект окажется
в
работоспособном состоянии. В заданный момент времени, отсчитываемый от начала
работы (или от другого строго определенного момента времени)
𝑘г (𝑡) =
𝜇
𝜆
+
𝑒𝑥𝑝[−(𝜆 + 𝜇) ∙ 𝑡] = 𝐾г + 𝐾п 𝑒𝑥𝑝[−(𝜆 + 𝜇) ∙ 𝑡]
𝜆+𝜇 𝜆+𝜇
При 𝑡 → ∞ 𝑘г (𝑡) = 𝐾г
< Средний коэффициент готовности – это усредненное по времени значение
нестационарного коэффициента готовности >
Восстановительные работы могут состоять из работ по техническому
обслуживанию работоспособного, хотя и неисправного изделия, и ремонта
отказавшего изделия.
Пребывание изделия в этих состояниях учитывается и оценивается с помощью
коэффициента технического использования, Кти. Коэффициент технического
использования характеризует долю продолжительности нахождения объекта в
работоспособном состоянии относительно общей продолжительности эксплуатации.
При 𝑡 → ∞ т.е. выхода случайного процесса на стационар имеем:
𝐾ти =
𝑇
[𝑇 + 𝑇𝑏 + 𝑇т𝑜 ∙ (
𝑇
)]
𝜏т𝑜
𝜏т𝑜 – время между предыдущими и последующими ТО;
𝑇т𝑜 – это средняя продолжительность ТО;
36
Рисунок 24 - Рисунок – изменение состояний восстанавливаемого изделия с ТО.
𝑇то =
1
;
𝜇то
𝜏то =
1
𝜈то
Оптимальный период времени между предыдущими и последующими ТО, в
котором минимизируется величина коэффициента простоя определяется как:
𝜏то опт = (2𝑇то ∙ 𝑇)
1⁄
2
В современных устройствах или изделиях отказ элемента не всегда ведет к
отказу изделия, и с этой точки зрения является дефектом. В процессе эксплуатации
возникает
необходимость
выявления
дефектов
и
предотвращения
отказов.
Эффективность этого процесса можно характеризовать вероятностью отсутствия
дефектов в произвольный момент времени при нахождении изделия в рабочем
состоянии ? (то есть) коэффициентом отсутствия дефектов:
𝐾од = lim 𝑃𝐾 (𝑡)
𝑡→0
где PK - суммарная вероятность пребывания изделия в подмножестве K
состояний, включающем в себя все ситуации, когда в рабочем режиме отсутствуют
дефекты.
Коэффициент сохранения эффективности – это отношение значения
показателя эффективности использования объекта по назначению за определенную
продолжительность эксплуатации к номинальному значению этого показателя,
вычисленному при условии, что отказы объекта в течение того же периода не
возникают.
37
<Коэффициент сохранения эффективности характеризует степень влияния
отказов объекта на эффективность его применения по назначению.>
Для каждого конкретного типа объектов содержание понятия эффективности
задаются техническим заданием и вводятся в нормативно-техническую и (или)
конструкторскую (проектную) документацию.
Распределение Пуассона для участков приработки и градационных
отказов
Распределение
Пуассона,
которым
описывают
поведение
дискретных
случайных величин, применимо для оценки надежности ремонтируемых изделий с
простейшим потоком отказов, называемым стационарным пуассоновым потоком.
Простейшие потоки – это потоки, обладающие свойствами ординарности,
стационарности и отсутствия последствия. Ординарность потока означает, что
вероятность появления двух и более событий в один и тот же момент времени равна
нулю.
Стационарность потока означает, что вероятность попадания любых событий
в промежуток времени t времени Δt не зависит от t, а зависит только от длины
участка Δt. Отсутствие последствия заключается в том, что для двух отрезков
времени Δt1 и Δt2 число событий, попадающих в один из них, не зависит от числа
событий попадающих в другой.
<Говорят, что> случайная величина t распределена по закону Пуассона, если
вероятность того, что она примет определенное значение K на отрезке [0 … 𝑡]
выражается формулой:
𝐾
)exp(−𝑎)
𝐾!
а – параметр закона Пуассона (математическое ожидание случайной величины
𝑃𝐾 (𝐾, 𝑡) = (𝑎
t)
Дисперсия случайной величины t, распределенной по закону Пуассона равна ее
математическому ожиданию.
𝐷𝑡 = 𝑎
38
Рисунок 25 - Вид закона распределения Пуассона
Рисунок 26
Интервалы времени между отказами в пуассоновском потоке отказов
взаимосвязаны и распределены по экспоненциальному закону. Среднее число
отказов в интервале [0 … 𝑡] для пуассоновского потока
𝑎 = 𝜆𝑡
Параметр потока отказов
𝜔(𝑡) = 𝜆
То
есть
совпадает
с
интенсивностью
отказов
экспоненциального
распределения.
Если время безотказной работы изделия подчиняется экспоненциальному
закону, тио поток отказов восстанавливаемого изделия является пуассоновским и
вероятность появления коэффициента отказов на отрезке [0 … 𝑡] определяется
формулой Пуассона:
39
𝑄(𝐾, 𝑡) = [(𝜆 ∙ 𝑡)
𝐾
] ∙ exp(−𝜆𝑡)
𝐾!
40
Лекция №11
Нормальное распределение безотказной работы при постепенных отказов
Распределение времени безотказной работы до появления постепенного
(градационного) отказа (<участок №3>) в большинстве критических ситуаций, когда
все отказы однородны по качеству и имеют малый разброс по времени, близко к
нормальному, то есть хорошо описывается законом Гаусса. При отрицательных
значениях величины наработки до отказа, плотность распределения наработки до
отказа f(t) равна нулю.
В этом случае
количественные показатели надежности имеет смысл
рассматривать только при усеченном гауссовском распределении,
Рисунок 27
когда плотность распределения наработки до отказа равна:
(𝑡 − 𝑇0 )2
𝑓(𝑡) = 𝐶 ∙ 𝑒𝑥𝑝 [−
]
2𝛿 2
Где 𝞭2 и T0 – дисперсия и среднее значение случайной величины t;
С – постоянная усеченного нормального распределения.
√2
С = 𝜋⁄
𝑇
𝛿 {1 + Ф [ 0 ]}
(𝛿√2)
Ф[
𝑇0
(𝛿 √2)
] = Ф(𝑡)
-
табулированные
значения
интеграла
вероятности
(нормативной функции Лапласа). Функция 𝜑(𝑡) = −𝜑(𝑡) – нечетная.
Вероятность безотказной работы системы определяется:
41
(𝑡 − 𝑇0 )
1−𝜑[
]
⁄
𝛿√2
𝑃(𝑡) =
𝑇
1 + 𝜑 [ 0⁄
]
𝛿√2
Зная плотность распределения наработки до отказа и вероятность безотказной
работы можем определить интенсивность отказа:
−(𝑡 − 𝑇0 )2
2
]
𝑓(𝑡) √𝜋 𝑒𝑥𝑝 [ 2𝛿 2
𝜆(𝑡) =
=
∙
𝜑[(𝑡 − 𝑇0 )]
𝑃(𝑡)
𝛿
1−
𝛿√2
Средняя наработка до отказа определяется как:
𝑇0
𝑇1 стат ус = 𝑇0 + 𝛿𝑓1 ( )
𝛿
Пример:
известно, что рассматриваемое изделие имеет нормальное распределение
наработки до отказа с параметрами T0=520 ч 𝛿=150 ч. Требуется определить
вероятность безотказно работы и интенсивность отказов при наработке t=400 ч.
(𝑡 − 𝑇0 )
(400 − 520)
] 1−𝜑[
] 1 + 0,21
⁄
⁄
𝛿√2
150√2
=
=
≈ 0,8
𝑇0
1
+
0,49
520
1+𝜑[ ⁄
1+𝜑[
]
]
⁄
𝛿√2
150√2
1−𝜑[
𝑃(𝑡) =
Значения функции Лапласа находим из таблицы:
𝜑(0,56) = −0,21;
𝜑(2,45) = 0,49
−(400 − 520)2
√2
(𝜋
)𝑒𝑥𝑝 [
]
2 ∙ 1502
⁄150
𝜆(𝑡) =
= 4,9 ∙ 10−3 ч−1
𝜑[(400 − 520)]
1−
150√2
Распределение времени безотказной работы по закону Релея
Распределение времени безотказной работы по закону Релея достаточно полно
описывает поведения ряда изделий с явно выраженным эффектом старения и
износа.
42
Рисунок 28
Зависимость вероятности безотказной работы:
−𝑡 2
𝑃(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 [ 2 ]
2𝐶
𝑡2
−𝑡 2
𝑓(𝑡) = ( 2) 𝑒𝑥𝑝 [ 2] - частота отказов.
𝐶
2𝐶
𝜆(𝑡) =
𝑡2
𝐶2
- интенсивность рассказов.
С – параметр распределения.
Распределение времени безотказной работы по закону Вейбулла.
Распределение Вейбулла достаточно хорошо описывает распределение отказов
в объектах, содержащих большое количество однотипных неремонтируемых
элементов.
Рисунок 29
𝑓(𝑡) = 𝜆0 𝑏𝑡 𝑏−1 𝑒𝑥𝑝[−𝜆0 ∙ 𝑡 𝑏 ]
𝑃(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝[−𝜆0 𝑡 𝑏 ],
𝑡 ≥ 0; 𝜆0 > 0; 𝑏 > 0
𝜆(𝑡) = 𝜆0 ∙ 𝑏 ∙ 𝑡 𝑏−1
43
Часто поведение автоматизированных систем на первом участке эксплуатации
хорошо описывается законом распределения Вейбулла с b<1, на втором участке
экспоненциальным распределением, а на третьем нормальным распределением,
распределением Релея или распределением Вейбула b>1.
Надежность технических систем
Виды резервирования
Рисунок 30
Общее резервирование – это резервирование, при котором резервируется
объект в целом, а раздельное резервирование – это резервирование, при котором
резервируются отдельные элементы объекта или их группы.
Существует
также
смешанное
резервирование,
которое
представляет
сочетание различных видов резервирования в одном и том же объекте.
Резервирования различают по кратности резервирования – то есть по
отношению числа резервных элементов к числу резервируемых ими элементов,
выраженное несокращенной дробью. Бывает резервирование с целой кратностью и
дробной кратностью и дублирование.
Дублирование – это резервирование с кратностью резервирования один к
одному.
44
Постоянное резервирование – это резервирование, при котором используется
нагруженный резерв и при отказе любого элемента в резервированной группе
выполнение объектом требуемых функций обеспечивается оставшимися элементами
без переключений.
Нагруженный резерв – это резерв, который содержит один или насколько
резервных элементов, находящихся в режиме основного элемента.
Резервирование замещением – это резервирование, при котором функции
основного элемента передаются резервному только после отказа основного
элемента. В этом случае используются ненагруженный резерв – то есть резерв,
который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в
незагруженном режиме до начала выполнения ими функций основного элемента.
45
Лекция №12
Существует также облегченный резерв – то есть резерв, который содержит
один или несколько резервных элементов, находящиеся в менее нагруженном
режиме, чем основной элемент
.
Рисунок 31 - Расход ресурса работающих и резервных элементов при резервировании
замещением. А) нагруженный резерв; Б) облегченный резерв; В) ненагруженный резерв
Где:
t0 – момент отказа основного элемента
tвкл – момент включения резервного комплекта
При нагруженном резерве в момент отказа основного элемента уже включен
резервный элемент, но вероятность того, что в этот момент резервный элемент
исправен, может сильно отличаться от единицы. При облегченном резерве после
отказа основного элемента время выхода резервного элемента на рабочий режим
мало, но вероятность того, что в момент отказа основного элемента резервный
46
элемент исправен, не сильно отличается от единицы. При нагруженном резерве
после отказа основного элемента время выхода резервного элемента на рабочий
режим больше, чем при облегченном резерве. Однако, вероятность того, что в
момент отказа основного элемента резервный элемент исправен, отличается от
единицы меньше, чем при облегченном резерве, так как при «хранении»
интенсивность отказов изделий на порядок меньше, чем при их работе.
Разновидностью
резервирования
замещением
является
скользящее
резервировании. При скользящем резервировании группа основных элементов
резервируется одним или несколькими резервными элементами, каждый из которых
может заменить любой из отказавших элементов данной группы.
Различают резервирование с восстановлением и резервирование без
восстановления. В первом случае восстановление отказавших основных и (или)
резервных элементов технически возможно без нарушения работоспособности
объекта в целом и предусмотрено эксплуатационной документацией.
Во втором случае восстановление этих технических элементов невозможно без
нарушения работоспособности объекта в целом и (или) не предусмотрено
эксплуатационной документацией.
Для систем с резервированием имеет место понятие вероятности успешного
перехода на резерв, под которым понимают вероятность того, что переход на
резерв произойдет без отказа объекта, то есть произойдет за время не
превышающего допустимого значения перерыва в функционировании и (или) без
снижения качества функционирования.
Методы расчета надежности резервных систем
Расчет общего резервирования с постоянно включенным резервом и с
целой кратностью m при отсутствии последствия
47
А)
Б)
Рисунок 32 - Схема расчета общего постоянного резервирования с целой кратностью m при
отсутствии последствия при заданных вероятностях безотказной работы основного (P0) и
резервного (PN) элементов
А) при заданных вероятностях работы основного и резервного элементов.
Б) при заданных ВБР i-ых элементов 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁.
<Система с общим резервированием будет нормально функционировать при
сохранении работоспособности хотя бы одной из цепей.>
На основании теоремы умножения вероятностей, вероятность отказа такой
системы:
𝑚
𝑄𝑐 = ∏ 𝑄𝐽
𝐽=0
𝑄𝐽 – вероятность отказа J-ой цепи, состоящей из m элементов.
m – количество резервных цепей.
Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием
рассчитываются по формуле:
𝑚
𝑚
𝑃𝑐 = 1 − 𝑄𝑐 = 1 − ∏ 𝑄𝐽 = 1 − ∏(1 − 𝑃𝐽 )
𝐽=0
𝐽=0
Пример:
𝑃𝐽 – ВБР J-ой цепи. Значение вероятности безотказной работы 𝑃𝐽 одного
элемента и вероятности безотказной работы системы 𝑃с для элементов с различной
надежностью представлены в таблице 1.
Таблица 3
𝑃𝐽
0,5
0,7
0,9
m=1
0,75
0,91
0,99
Pс при
m=2
0, 875
0,973
0,999
m=3
0,9375
0,9919
0,9999
48
0,95
0,99
0,9975
0,9999
0,9999
0,99999
0,99999
0,999999
При экспоненциальном законе надежности:
𝑚
𝑃𝑐 = 1 − ∏[1 − exp(−𝜆𝐽 ∙ 𝑡)]
𝐽=0
При
равно
надёжных
цепях
и
(𝜆𝐽 = 𝜆0 )
экспоненциальном
законе
распределения ВБР системы с общим резервированием рассчитываются так:
𝑃со = 1 − [1 − exp(−𝜆0 ∙ 𝑡)]𝑚+1
Средняя
наработка
до
отказа
системы
с
общим
резервированием
рассчитывается:
∞
𝑇1со = ∫ 𝑃𝑐 (𝑡)𝑑𝑡
0
После преобразования получаем:
𝑚
𝑇1со
1
= 𝑇0 ∑
= 𝐴𝑇0 ;
𝐽+1
𝑚
𝐴=∑
𝐽=0
𝐽=0
1
𝐽+1
Значения А для разных m:
Таблица 4
M
А
1
1,5
2
1,83
3
2,08
4
2,28
5
2,45
49
Лекция №13
Дисперсия средней наработки до отказа системы определяется соотношением:
𝑚
2
𝑇1𝑐𝑜
1
𝐷(𝑇1со ) =
∙∑
𝐴
(𝐽 + 1)2
𝐽=0
Безотказная работа J-ой цепи будет происходить при безотказной работе
каждого
из
N
последовательно
соединенных
элементов
цепи.
При
экспоненциальном законе надежности имеем:
𝑁
𝑃𝐽 = exp(∑ 𝜆𝐽𝑖 ∙ 𝑡)
𝑖=1
𝜆𝐽𝑖 – интенсивность отказов i-ых элементов J-ых цепей.
Подставляя это выражение находим вероятность безотказности работы системы
с общим резервированием:
𝑚
𝑚
𝑁
𝑃𝑐𝑜 = 1 − 𝑄𝑐 = 1 − ∏(1 − 𝑃𝐽 ) = 1 − ∏ [1 − exp(∑ 𝜆𝐽𝑖 ∙ 𝑡)]
𝐽=0
𝐽=0
𝑖=1
При равно надёжных цепях вероятность безотказности работы системы с
общим резервированием рассчитывается как:
𝑁
𝑃𝑐𝑜 = 1 − (1 − ∏ 𝑃𝐽𝑖 )𝑚+1
𝑖=1
Расчет раздельного резервирования с постоянно включенным резервом и с
целой кратностью при отсутствии последствия
50
Рисунок 33 - Вероятность безотказной работы i-го звена равна: Схема расчета раздельного
постоянного резервирования с целой кратностью при отсутствии последействия при заданных
вероятностях безотказной работы i-ых элементов надежности основной (P0i) и резервной (PJ)
цепей
𝑚𝑖
𝑚𝑖
𝑃𝑖 = 1 − 𝑄𝑖 = 1 − ∏ 𝑄𝐽𝑖 = 1 − ∏(1 − 𝑃𝐽𝑖 )
𝐽=0
𝐽=0
Где:
mi – количество резервных элементов i-го звена.
Безотказная работа системы
будет иметь место при безотказной работе
каждого из N последовательно соединенных звеньев. С учетом этого, вероятность
безотказной работы системы с раздельным постоянным резервированием равна:
𝑁
𝑁
𝑚𝑖
𝑃ср = ∏ 𝑃𝑖 = ∏ [1 − ∏(1 − 𝑃𝐽𝑖 )]
𝑖=1
𝑖=1
𝐽=0
Для раздельного резервирования и экспоненциального закона надежности при
mi=m и равно надежных элементах:
𝑃ср = (1 − [1 − exp(𝜆 ∙ 𝑡)]𝑚+1 )𝑁
Средняя
наработка
до
отказа
системы
с
раздельным
постоянным
резервированием равна:
𝑚
𝑇1ср
(𝑁 − 1)!
1
=
∑
𝜆(𝑚 + 1)
𝑉𝐽 (𝑉𝐽 + 1) … (𝑉𝐽 + 𝑁 − 1)
𝐽=0
Где 𝑉𝐽 =
𝐽+1
𝑚+1
Пример:
Определить ВБР и среднюю наработку до отказа системы с раздельным
постоянным резервированием, учитывая, что λ=3·10 -3 ч-1, а количество резервных
элементов и звеньев равно соответственно m=3 и N=4. Известно также, что ВБР
каждого из элементов, начиная с основного, возрастает на 0.1, начиная с 0.2.
Pср=0,47
T1ср=3,4·102 ч.
Расчет общего резервирования с дробной кратностью и с постоянно
включенным резервом при отсутствии последствия.
51
Вероятность безотказной работы системы общего резервирования с дробной
кратностью m и равно надежных элементов с постоянно включенным резервом при
отсутствии последействия равно:
𝑙−ℎ
𝑖
𝐽
𝑃ср (𝑡) = ∑ 𝐶𝑙𝑖 ∙ 𝑃𝑙−𝑖 (𝑡) ∙ ∑(−1)𝐽 ∙ 𝐶𝑖 ∙ 𝑃 𝐽 (𝑡)
𝑖=0
𝐽=0
Где 𝑃(𝑡) - это ВБР основного или резервного элемента;
l - общее число основных и равных элементов надежности
h - число элементов надежности, необходимых для нормальной работы
резервной системы
Кратность резервирования определяется как
1−ℎ
ℎ
Средняя наработка до отказа такой системы общего резервирования с дробной
𝑚=
кратностью
𝑙−ℎ
𝑇1ср
1
1
= ∑
𝜆
ℎ+𝑖
𝑖=0
52
Лекция № 14
Надежность технических систем
Методы и средства повышения надежности
Методы и средства повышения надежности носят комплексный характер и
зависят от стадии жизненного цикла изделия.
На первой стадии жизненного цикла, надежность увеличивают за счет
использования
высоконадежных
элементов
и
узлов,
за
счет
схемных
конструктивных методов:
 Повышение надежности за счет использования высоконадежных элементов и
узлов достигается:
 При замене электромеханических элементов и узлов и элементов с
механическим управлением на электронные элементы и узлы;
 Использование интегральных схем позволяет получить интенсивность
отказов изделий на 2-3 порядка меньше, чем в аналогичных изделиях дискретных
элементах; выигрыш надежности при этом тем больше, чем больше элементов в
одной интегральной схеме;
 Использование высокостабильных электронных элементов и узлов, у
которых велика наработка до появления износовых отказов;
 Повышение надежности за счет схемных методов:
 Упрощение схемы <чем ниже,, тем лучше>;
 Замена аналоговой обработки цифровой;
 Создание схем с ограниченными последствиями отказов;
 Создание схем, работоспособных при использовании элементов с широкими
допусками и в широком интервале дестабилизирующих факторов;
 Отработкой схем методами граничных, матричных и статистических
испытаний;
53
 Использованием в схемах многофункциональных ИС, позволяющих при
минимальном их наборе проектировать аппаратуру, выполняющую максимальное
количество функций;
 Резервированием.
 Повышение надежности за счет конструктивных методов достигается:
 Созданием благоприятного режима работы элементов работы;
 Правильным подбором параметров и допусков элементов;
 Мерами по обеспечению ремонтопригодности и контролепригодности;
 Унификацией и стандартизацией элементов схемы и конструкций;
 Учетом возможности потребителя и требований эргономики.
На второй стадии, изготовления РОЭ, надежность увеличивают за счет:
 Совершенствования технологии производства;
 Автоматизации производства;
 Входного контроля элементов схемы и конструкций;
 Тренировки элементов и систем;
 Использования прогрессивных методов достижения точности выходных
параметров, например, метода полной взаимозаменяемости;
 Проведения выходного контроля и приемеосдаточных испытаний.
На третьей стадии, хранения и транспортирования надежности поддерживают
за счет:
 Правильно выбранных режимов хранения и транспортирования;
 ТО и контроля во время хранения и после транспортирования.
На четвертой стадии эксплуатации изделий надежность поддерживают и
увеличивают за счет:
 Соблюдения режимов эксплуатации при функциональном использовании;
 Правильно
выбранной
стратегии
ТО,
обеспечивающей
минимальное
значение коэффициента простоя;
 Модернизации при эксплуатации;
 Использования технической диагностики и управления состоянием изделия;
54
 Использования автоматической надстройки и регулирования выходных
параметров;
 Повышения квалификации работников, эксплуатирующих изделие;
 Сбора и обобщения опыта эксплуатации;
 Грамотной
комплектацией
изделия
запасным
имуществом
и
принадлежностями.
Роль процессов ТО и Р в повышении надежности при эксплуатации … перехода
изделия из одного состояния в другое.
Рисунок 33
Действующие на систему деградационные процессы переводят изделие в
состояние,
в
котором
оно
испытывает
потребность
а
проведении
ТО,
восстанавливающих исправное состояние. Для правильного выбора управляющих
воздействий при ТО необходима техническая диагностика, позволяющая с
требуемой точностью определить состояние объекта. Степень воздействия должна
быть пропорциональна степени износа (старения). Ремонт проводят чаще всего при
внезапных отказах. Управляющие воздействия при ремонте позволяют перевести
изделие из … состояния в исправное.
Существует две основные стратегии ТО: по наработке (стратегия ТОН) и по
состоянию (стратегия ТОС). Представим структурные схемы алгоритмов процессов
ТО по этим стратегиям.
55
А) По наработке
Б) По состоянию
Рисунок 34
По стратегии ТОН изделие с заданной периодичностью ТО выводится из
функционального использования и демонтируется. Затем следует операции
контроля и диагностирования, позволяющие определить техническое состояние
изделия, после чего производят различные управляющие воздействия (замены,
регулировки, восстановления). А вслед за ними следуют операции контроля и
диагностирования технического состояния с целью проверки пригодности изделия к
функциональному использованию. После этого следует монтаж и функциональное
использование изделий.
Перечень и периодичность операций при стратегии ТОС определяется
фактическим состоянием изделия в момент начала ТО. Контроль может быть
непрерывным и не периодичным. Если в результате контроля оказывается, что
состояние
изделия
S(t)
лучше,
чем
неработоспособное
состояние
или
предшествующее ему предельное (предотказовое) состояние S0, то ведется
функциональное использование (S(t)>S0). Если состояние S(t) равно предельному
(предотказовому) состоянию S0 (S(t)>S0), то проводится регулировка, меняющая
состояние так, что выполнится условие S(t)>S0, после этого осуществляется
функциональное
использование.
Если
произошел
деградационный
или
эксплуатационный отказ и в результате контроля оказывается, что S(t)<S0, то
56
последовательно
производят:
демонтаж,
диагностирование,
восстановление,
контроль технического состояния, монтаж и функциональное использование
57
Лекция №15
Количественно стратегии ТОН и ТОС можно сравнить путем вынесения и
сравнения значений коэффициента технического использования - Кти.
При стратегии ТОН, с периодичностью ТО Тто=Т, длительности восстановления
τто , наработка на отказ Т0 в случае возникновения отказа производится за время τB.
𝑇0 [1 − exp(−
𝐾ти1 =
(𝑇0 + 𝜏𝐵 ) ∙ [1 − exp (−
𝑇
)]
𝑇0
𝑇
𝑇
+ 𝜏то exp(− )
)]
𝑇0
𝑇0
При стратегии ТОС с контролем параметров, с периодичностью Тто
производится контроль работоспособности в течение времени τ𝐾 < τто . При
обнаружении отказа изделие восстанавливают. Для стратегии ТОС коэффициент
технического использования определяется как:
𝑇0 [1 − exp(−
𝐾ти2 =
𝜏𝐵 ∙ [1 − exp (−
𝑇то
)]
𝑇0
𝑇то
+ 𝑇то + 𝜏к
𝑇0 )]
Сравнение двух формул для коэффициентов технического использования при
различных стратегиях показывают, что при условииτ𝐾 < τто и Тто=Т0, Кти2> Кти1.
Таким образом стратегия ТОС имеет лучшее значение комплексного показателя
надежности в сравнении с ТОН и поэтому является более предпочтительной для
повышения надежности.
Имеются и другие преимущества стратегии ТОС:
 объем
работ
обратно
пропорционален
степени
уменьшения
записи
работоспособного состояния;
 уменьшается уровень конкомитантных отказов – отказов вносимых при
выполнении работ по ТО(регулировка, демонтаж, монтаж);
 экономится комплект ЗИП за счет уменьшения числа необоснованных замен.
Классификация методов и видов контроля
Виды контроля целесообразно классифицировать по: цели проведения (1),
глубине и полноте реализуемых проверок; по степени автоматизации контрольных
58
операций; по времени реализации контрольных операций; последовательности
реализации контрольных операций; по типу конструктивной реализации средств
контроля; по расположению средств контроля относительно объектов проверки; по
иерархии управления; по типу реализуемого решающего правила; по отношению к
режимам работы системы.
1) Контроль работоспособности. Диагностический контроль.
2) Полный, неполный(частичный), сквозной, местный(локальный).
3) Неавтоматизированный(ручной),полуавтоматизированный,
автоматизированный.
4) Периодический, непрерывный
5) Последовательный, параллельный, последовательно-параллельный.
6) Внутренний, внешний.
7) Непосредственный, дистанционный.
8) Централизованный, нецентрализованный.
9) Детерминированный, вероятностный.
10)
Контроль в рабочем режиме(статистический), профилактический
контроль(диагностический).
1.
В зависимости от того, какая конечная цель проведения контроля, он
может быть классифицирован как контроль работоспособности и как
диагностический контроль.
59
При контроле работоспособности цель проверок сводится к своевременному
выявлению фактов отсутствия или наличия неисправности в проверяемой системе и
искажений в виде сбоев в выходной информации.
При диагностическом контроле проверку проводят с целью установления места
и причины неисправности или характера отказа. Эти виды контроля основаны на
различных методах проверки, которые по-разному технически реализуются и
используются в различных условиях.
В общем случае контроль работоспособности является составной частью
диагностического контроля. Принципиально почти всегда можно осуществить
диагностический контроль, не имея информации о том, работоспособна система или
нет. Однако, для реализации диагностического контроля требуется больше времени,
поэтому, как правило, в начале выполняют контроль работоспособности как более
простой и требующей меньше затрат времени. Затем, если это необходимо, проводят
диагностическую проверку.
60
Лекция №16
2.
По
полноте реализуемых
проверок контроль работоспособности
классифицируется как полный, если достаточной для практики точностью можно
считать, что вероятность обнаружения факта появления неисправности или сбоя
равна единице, и как неполный (частичный), если указанная вероятность меньше 1.
Аналогично, под полным диагностическим контролем будем понимать такой
контроль, при котором вероятность установления места и причины (сбоя) равна 1, а
под частичным – контроль, при котором данная вероятность оказывается меньше 1.
По глубине реализуемых проверок контроль системы может быть не только
контролем работоспособности и диагностическим, но и комбинированным. В
последнем случае для одной части системы он позволяет дать только двоичную
систему состояния (работоспособности или неработоспособности), а для другой
решает задачу диагностики с определенной глубиной (до подсистем, блоков,
каналов, узлов, модулей и т.д.). Если проверке подвергаются все этапы хранения,
передачи и переработки информации в системе, контроль называют сквозным. При
сквозном контроле нет разрыва в цепи проверке циркулирующей информации, по
тому устойчивый и не устойчивый отказ может быть обнаружен на любом этапе
работы системы.
При местном (локальном) контроле проверяются только отдельные устройства
системы или отдельные этапы ее работы.
3.
ПО степени автоматизации контрольных операций контроль может
быть:
 Не автоматизированным (ручным), если подключение измерительных
приборов (специальных контрольных устройств) или переключение аппаратуры в
контрольный режим оператор производит в ручную, и сравнивание измеряемых
параметров с номинальными значениями, принятие решения о работоспособности
аппаратуры
и
техническая
диагностика
также
осуществляется
человеком-
оператором;
61
 Полуавтоматизированный, если некоторая часть операции по подключению и
переключению измерительных устройств или перевод аппаратуры в контрольные
режимы реализуется автоматически, а сравнение измерительных параметров с
номинальными значениями, принятие решения работоспособности аппаратуры и
диагностика неисправностей (отказов) и сбоев осуществляется оператором;
 Автоматизированным, если вся последовательность контрольных операций,
включая выработку сигнала о работоспособности аппаратуры и указания места
(причины) неисправности или сбоя, осуществляется без вмешательства человека,
т.е. автоматически.
4.
По времени реализации контрольных операций различают периодический
контроль реализуемый через определенные интервалы времени, а оперативный
(непрерывный), осуществляемый непрерывно в процессе выполнения системой
стоящей перед нею задачи.
5.
По последовательной реализации контрольных операций контроль может
быть классифицированным как параллельный, когда отдельные устройства системы
контролируются одновременно, и последовательный, когда устройства проверяются
одно за другим. В системе может быть реализован также последовательнопараллельный
контроль,
при
которым
часть
устройств
проверяется
последовательно, а часть параллельно.
6.
По типу конструктивной реализации контроль может быть внутренним и
внешним.
Внутренний
контроль
осуществляется
средствами,
которые
являются
составной частью объекта проверки. При внешнем контроле оценка состояния
объекта проверки производится с использованием устройств, которые не входят в
его структуру, т.е. являются внешними по отношению к нему. Как правило, внешние
средства проверки конструктивно реализуются в виде автономной системы
контроля, которая может быть использована для проверки различных объектов.
Если система проверки предназначена для проверки объектов одного класса, то она
называется специализированной, а если для объектов нескольких классов –
универсальной. <Примером первых являются специализированные автоматы
62
контроля, а вторых – системы контроля, построенные на базе управляющих
машин.> внешний контроль, как правило, является периодическим.
7. Система контроля может быть подвижной и стационарной. <В первом
она транспортируется от одного объекта к другому, во втором установлена
стационарно.>
При
этом
возможно
расположение
системы
контроля
как
непосредственно у объекта контроля, так и на значительном удалении от него с
использованием специальной линии связи. В соответствии с этим контроль может
быть непосредственным или дистанционным.
63
Лекция №17
8. Управление контролем системы и его управление может осуществляться из
единого центра. В этом случае контроль является централизованным. При
децентрализованным
контроле
отделые
устройства
системы
проверяются
независимо одно от другого.
9. По типу реализуемого решающего правила контроль может быть
детерминированным
(нерандомизированным)
или
вероятностным
(рандомизированным).
При детерменированном контроле каждой допустимой реакции ставится в
соответствие вполне определенное допустимое состояние проверяемого объекта.
Принимаемых решений может быть столько, сколько имеется выходных реакций.
Между множеством реакций и множеством допустимых состояний существует
взаимооднозначное соответствие.
Вероятностный контроль предполагает, что с каждой реакцией связана
вероятностная матрица, в соответствии с условными вероятностями которой
принимается определенное окончательное решение о состоянии объекта контроля.
Эти условия вероятности реализуются специальным устройством.
При таком контроле число допустимых состояний превышает число различных
выходных реакций.
10.
В зависимости от режимов работы проверяемой системы, при которых
реализуются контрольно-проверочные операции, различают контроль в рабочем
режиме и профилактический контроль.
Контроль в рабочем режиме осуществляется в процессе выполнения системой
возложенных на нее функций.
Профилактический контроль предназначен для установления состояния
системы в целом и отдельных ее устройств в период профилактических работ. Этот
вид контроля может быть проведен при нормальном и «утяжеленном» режиме
работы проверяемой системы. Оценка состояния может проводиться как на момент
контроля, так и с прогнозированием. «Утяжеленный» режим работы системы дает
64
возможность выявить элементы, которые находятся на грани отказа, и своевременно
их заменить. При этом неустойчивые отказы могут стать устойчивыми, что
облегчает их выявление и локализацию. Контроль может быть как динамический,
так и статистический. В первом случае оценка состояния системы производится на
основании анализа характера переходных процессов, а во втором -
после
завершения этих процессов.
<В качестве примера статического режима контроля могут быть названы
проверки непрерывной системы управления посредством частичного метода, и
динамического режима – проверки ее посредством временного метода (по характеру
изменения переходной характеристики при заданном входном воздействии).>
В зависимости от принципов формирования и получения признаков, по
совокупности которых оценивается состояние системы, все упомянутые виды
контроля могут быть реализованы прямыми и косвенными методами.
Рисунок 35 - Классификационная схема методов контроля АС
Прямые методы базируются на формировании признаков по значениям
основных параметров, характеризующих качество функционирования проверяемой
системы.
<К косвенным можно отнести методы, базирующиеся на реализованном
человеком-оператором эвристических решающих правил по совокупности его
визуальных, акустических и тактильных вероятностей.>
65
Программный контроль основан на реализации специальных программ и
логических методов, контролирующих работу системы в целом или отдельных ее
устройств и элементов.
Программно-логический контроль организуется на основе использовании
избыточной и сходной и промежуточной информации. Наиболее просто реализовать
программно-логический
контроль
посредством
неоднократной
переработки
информации с последующим сравнением получаемых результатов.
Для обнаружения искажения информации достаточно обеспечить двукратную
ее переработку. Исправление информации возможно только в том случае, если
число циклов ее переработки не меньше трех (мажоритарный принцып).
Обычно при реализации этого метода система контроля автоматически
обеспечивает третий цикл (и больше) переработки информации, если результаты
первых двух не совпали.
Преимуществом программно-логического контроля является то, что он:
 Не требует специальной аппаратуры и поэтому может быть применен в
любой системе с программным управлением;
 Позволяет надежно обнаруживать сбои.
К недостаткам этого вида контроля можно отнести:
 Снижение производительности системы;
 Невозможность обнаружение неисправности;
 Выявление сбоев не в момент их возникновения, а в конце этапов решения
задачи;
 Невозможность локализации места выявленной ошибки;
 Затраты емкости памяти для хранения программ;
 Возможность применения лишь при неискаженных исходных данных,
хранимых в устройстве памяти.
Алгоритмический
контроль
является
разновидностью
программно-
логического контроля. При алгоритмическом контроле на основе анализа
алгоритмов задач, реализуемых данной системой, строится так называемый
66
«усеченный» алгоритм, который используется для целей контроля. Усеченный
алгоритм должен бать по своей длине и времени выполнения примерно на порядок
меньше основного алгоритма. В этом случае производительность системы
понижается примерно на 10% при незначительном (около 1%) увеличения емкости
памяти программ.
Алгоритмический контроль наиболее целесообразно применять в управляющих
элементах системы, решающих определенный класс задач, связанных с управлением
реальными объектами.
К недостаткам алгоритмического контроля помимо тех, которые характерны
для программно-логического контроля, следует отнести ограниченность его
применения, так как не для каждого полного алгоритма можно построить усеченный
алгоритм.
Тестовый контроль – это проверка систем с помощью испытательных
программ. При выполнении теста вычислительная машина, используемая в системе
осуществляет определенную последовательность действий под исходными числами,
сравнивает полученные результаты и в случае их несовпадения фиксирует ошибку.
Испытательные программы, применяемые при тестовом контроле, по характеру
работы делятся на контролирующие тесты и диагностические тесты.
<Контролирующие тесты используют для определения факта наличия
неисправности (принцип расширяющихся областей). Диагностические тесты для
определения элемента или группы элементов, в которых имеется неисправность (на
основе сужающихся областей).>
Преимущества тестового контроля:
 Позволяет автоматизировать процесс обнаружения и поиска неисправности;
 Не требует диагностической аппаратуры.
К недостаткам тестового контроля можно отнести следующее:
 Невозможность обнаружения сбоев, так как в момент проверки работы
системы тестами сбой может не появиться;
67
 Обнаружения отказов (неисправностей) происходит не в момент их
возникновения, а с запозданием, равном в среднем половине периода, с которым с
которым пропускаются контролирующие тесты.
Аппаратный
контроль – это такой контроль, который функционирует
непрерывно а процессе всего времени работы системы параллельно с решением
основной задачи и реализуется посредством введенного ее структуру контрольного
оборудования.
К достоинствам аппаратного контроля можно отнести:
 Его непрерывность, способность обнаружить как неисправности ( отказы),
так и сбои в момент их возникновения;
 Способность
автоматически
локализировать
место
неисправности
с
точностью дол функционального узла;
 Способность устранять последействия сбоев непосредственно в процессе
вычисления автоматическим переводом в режим повторения определенного участка
программы;
 Возможность самоуправления.
Контроль по модулю является наиболее распространенным из всех методов
аппаратного контроля. Он основан на использовании контрольных символов,
являющихся остатками от деления данных чисел на некоторый модуль.
при контроле функционирования больших систем этот метод контроля обычно
используют
на
этапах
хранения,
пересылки
и
переработки
информации,
представленной в дискретном виде. На любом из этапов контроль по модулю
позволяет обнаружить одиночную ошибку с вероятностью, равной единице.
Контроль с использованием корректирующих кодов применяется в том
случае, когда требуется осуществить не только обнаружение, но и исправление
ошибки,
которая
может
появиться
при
передаче
двоичной
информации.
Корректирующие коды образуются путем добавления дополнительных контрольных
разрядов ак информационным разрядам кода цикла или команды.
68
<Сущность метода состоит в установлении между информационными и
контрольными результатами определенных зависимостей, по конкретному значению
которых и восстанавливается значение информационных разрядов.>
Аппаратно-микропрограммной контроль используется как правило для
оперативной проверки правильности реализации сложных программ обработки
информации, когда вся программа может быть разбита на ряд независимых по
контролю микропрограмм.
Мажоритарный контроль основан на принципах голосования «два из трух»,
«три из пяти» и т.д. и сводится к сравнению информации, получаемой на выходе
идентичных устройств, включаемых параллельно и реализующих одну и ту же
функцию. К недостаткам этого метода следует отнести применение большого
количества дополнительного оборудования.
Комбинированный контроль в различных сочетаниях может включать в себя
как прямые, так и косвенные методы. Он наиболее характерен для больших систем,
где главенствующая роль при реализации процедуры принятия решения отводится
человеку.
69