Математическая логика

mATEMATI^ESKAQ LOGIKA
a m mIRONOW
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sODERVANIE
1 wYSKAZYWANIQ
pONQTIE WYSKAZYWANIQ : :
sTRUKTURA WYSKAZYWANIJ
aTOMARNYE WYSKAZYWANIQ
sOSTAWNYE WYSKAZYWANIQ :
1.4.1 oTRICANIE : : : : :
1.4.2 kON_@NKCIQ : : : :
1.4.3 dIZ_@NKCIQ : : : :
1.4.4 iMPLIKACIQ : : : :
1.4.5 |KWIWALENCIQ : : :
1.5 zADA^I : : : : : : : : : : :
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2.1 sINTAKSIS FORMUL LOGIKI WYSKAZYWANIJ : : : : : : : :
2.1.1 zNAKOSO^ETANIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.1.2 pONQTIE FORMULY LOGIKI WYSKAZYWANIJ : : : : :
2.1.3 pREDSTAWLENIE FORMUL DEREWXQMI : : : : : : : : :
2.1.4 sOGLAENIQ OB \KONOMNOM ISPOLXZOWANII SKOBOK
2.1.5 gLAWNYE SWQZKI W FORMULAH : : : : : : : : : : : :
2.1.6 pODFORMULY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.1.7 oBOZNA^ENIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2 zNA^ENIQ FORMUL : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.2.1 zNA^ENIE FORMULY PRI OCENKE PEREMENNYH : : :
2.2.2 tABLICY ZNA^ENIJ DLQ FORMUL : : : : : : : : : :
2.3 pODSTANOWKI W FORMULY : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.4 tAWTOLOGII I WYPOLNIMYE FORMULY : : : : : : : : : : :
2.5 |KWIWALENTNOSTX FORMUL : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.6 zADA^I : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.6.1 sINTAKSIS FORMUL lw : : : : : : : : : : : : : : :
2.6.2 zNA^ENIQ FORMUL : : : : : : : : : : : : : : : : : :
2.6.3 tAWTOLOGII I WYPOLNIMYE FORMULY : : : : : : :
2.6.4 |KWIWALENTNOSTX FORMUL : : : : : : : : : : : : :
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2 fORMULY LOGIKI WYSKAZYWANIJ
3 aNALIZ RASSUVDENIJ
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lOGI^ESKAQ ISTINNOSTX : : : : :
lOGI^ESKOE SLEDSTWIE : : : : : :
lOGI^ESKOE RASSUVDENIE : : : :
nEPROTIWORE^IWOSTX : : : : : :
zADA^I : : : : : : : : : : : : : :
3.5.1 lOGI^ESKOE SLEDSTWIE : :
3.5.2 lOGI^ESKOE RASSUVDENIE
3.5.3 nEPROTIWORE^IWOSTX : :
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4 mETOD REZOL@CIJ DLQ lw
4.1 knf : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
4.2 mETOD REZOL@CIJ DLQ lw : : : : : : : :
4.2.1 pONQTIE REZOLXWENTY : : : : : : :
4.2.2 oPISANIE METODA REZOL@CIJ : : :
4.2.3 kORREKTNOSTX METODA REZOL@CIJ
4.2.4 pOLNOTA METODA REZOL@CIJ : : :
4.3 zADA^I : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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5.1 pONQTIE MNOVESTWA : : : : : : : : : : : : : : :
5.2 sPOSOBY ZADANIQ MNOVESTW : : : : : : : : : :
5.2.1 pERE^ISLENIE : : : : : : : : : : : : : :
5.2.2 uKAZANIE SWOJSTWA : : : : : : : : : : :
5.3 pODMNOVESTWA : : : : : : : : : : : : : : : : : :
5.3.1 pONQTIE PODMNOVESTWA : : : : : : : : :
5.3.2 pUSTOE MNOVESTWO : : : : : : : : : : : :
5.3.3 mNOVESTWO WSEH PODMNOVESTW : : : : :
5.4 oPERACII NAD MNOVESTWAMI : : : : : : : : : :
5.4.1 oPERACII NAD PAROJ MNOVESTW : : : :
5.4.2 oPERACII NAD SEMEJSTWAMI MNOVESTW
5.5 zADA^I : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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6.1 sPISKI : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.2 dEKARTOWY PROIZWEDENIQ : : : : : : : : : :
6.3 bINARNYE OTNOENIQ : : : : : : : : : : : :
6.3.1 pONQTIE BINARNOGO OTNOENIQ : :
6.3.2 oPERACII NA OTNOENIQH : : : : :
6.3.3 sPECIALXNYE BINARNYE OTNOENIQ
6.3.4 |KWIWALENTNOSTI : : : : : : : : : :
6.3.5 ~ASTI^NYE PORQDKI : : : : : : : : :
6.4 fUNKCII : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.4.1 pONQTIE FUNKCII : : : : : : : : : :
6.4.2 oBRAZY I PROOBRAZY : : : : : : : :
6.4.3 kLASSY FUNKCIJ : : : : : : : : : : :
6.4.4 mONOTONNYE FUNKCII : : : : : : : :
6.5 zADA^I : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
6.5.1 dEKARTOWY PROIZWEDENIQ : : : : : :
6.5.2 bINARNYE OTNOENIQ : : : : : : : :
6.5.3 |KWIWALENTNOSTI : : : : : : : : : :
6.5.4 ~ASTI^NYE PORQDKI : : : : : : : : :
6.5.5 fUNKCII : : : : : : : : : : : : : : :
5 wWEDENIE W TEORI@ MNOVESTW
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6 oTNOENIQ I FUNKCII
7 oSNOWNYE REZULXTATY TEORII MNOVESTW
7.1
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mO]NOSTX MNOVESTWA : : : : : : :
tEOREMA kANTORA : : : : : : : : :
tEOREMA kANTORA-bERNTEJNA : :
aKSIOMA WYBORA I LEMMA cORNA :
tEOREMA cERMELO : : : : : : : : :
tRIHOTOMIQ KARDINALXNYH ^ISEL
tRANSFINITNAQ INDUKCIQ : : : :
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8.1.1 tIPY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.1.2 pEREMENNYE, KONSTANTY, FUNKCIONALXNYE SIMWOLY, PREDIKATY
8.1.3 iNTERPRETACII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.1.4 wYRAVENIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.1.5 pODSTANOWKI : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.1.6 oZNA^IWANIQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.2 fORMULY LOGIKI PREDIKATOW : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.2.1 pONQTIE FORMULY : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.2.2 zNA^ENIQ FORMUL lp : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.2.3 pRIMERY FORMUL : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.2.4 sWOBODNYE I SWQZANNYE WHOVDENIQ PEREMENNYH W FORMULY : : :
8.3 oTNOENIQ, OPREDELQEMYE FORMULAMI : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.4 |KWIWALENTNOSTX FORMUL : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.5 zADA^I : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.5.1 fORMALIZACIQ PREDLOVENIJ ESTESTWENNOGO QZYKA : : : : : : : :
8.5.2 sWOBODNYE I SWQZANNYE WHOVDENIQ PEREMENNYH : : : : : : : : : :
8.5.3 wYPOLNIMOSTX : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.5.4 tAWTOLOGII : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.5.5 iSTINNOSTX FORMUL W INTERPRETACIQH : : : : : : : : : : : : : : :
8.5.6 sWOJSTWA, WYRAVAEMYE FORMULAMI : : : : : : : : : : : : : : : : :
8.5.7 |KWIWALENTNOSTX FORMUL : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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9.3 sEMANTI^ESKIE DEREWXQ : : : : : : : : : : : : : : :
9.3.1 lEMMA k<NIGA : : : : : : : : : : : : : : : :
9.3.2 sEMANTI^ESKIE DEREWXQ : : : : : : : : : : :
9.4 tEOREMA |RBRANA : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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10.1.3 pONQTIE REZOLXWENTY : : : : : :
10.1.4 pONQTIE SKLEJKI : : : : : : : :
10.2 kORREKTNOSTX METODA REZOL@CIJ : : :
10.3 pOLNOTA METODA REZOL@CIJ : : : : : :
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12.2.4 sTROKOWOE PREDSTAWLENIE FORMUL : : : : : : :
12.2.5 nEKOTORYE fp : : : : : : : : : : : : : : : : : :
12.2.6 sTROKOWAQ INTERPRETACIQ : : : : : : : : : : :
fORMALXNYE SISTEMY : : : : : : : : : : : : : : : : : :
12.3.1 pONQTIE FORMALXNOJ SISTEMY : : : : : : : : :
12.3.2 dOKAZATELXSTWA, SWQZANNYE S WY^ISLENIQMI :
12.3.3 dOPOLNITELXNYE AKSIOMY : : : : : : : : : : :
oPERATOR DOKAZUEMOSTI : : : : : : : : : : : : : : : : :
lEMMA O NEPODWIVNOJ TO^KE : : : : : : : : : : : : : :
tEOREMA g<DELQ : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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mODALXNYE LOGIKI : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
mODALXNYE ALGEBRY : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
mODELI kRIPKE : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
13.5.1 pONQTIE MODELI kRIPKE : : : : : : : : : : : :
13.5.2 mORFIZMY MODELEJ kRIPKE : : : : : : : : : :
hARAKTERIZACIQ OTNOENIJ PEREHODA FORMULAMI : :
13.6.1 tRANZITIWNOSTX : : : : : : : : : : : : : : : : :
13.6.2 n<TEROWOSTX : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
13.6.3 kONFL@ENTNOSTX : : : : : : : : : : : : : : : :
13.6.4 rEFLEKSIWNOSTX : : : : : : : : : : : : : : : : :
13.6.5 sIMMETRI^NOSTX : : : : : : : : : : : : : : : :
13.6.6 sERIALXNOSTX : : : : : : : : : : : : : : : : : :
13.6.7 dETERMINIROWANNOSTX : : : : : : : : : : : : :
kANONI^ESKIE MODELI : : : : : : : : : : : : : : : : : :
13.7.1 L{NEPROTIWORE^IWYE I L{POLNYE MNOVESTWA
13.7.2 pONQTIE KANONI^ESKOJ MODELI : : : : : : : : :
fILXTRACII mk : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
zADA^I : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
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14.2 nE^ETKIE LOGIKI : : : : : : : : : : : : : : : : : : :
14.2.1 {KALA OCENOK : : : : : : : : : : : : : : : :
14.2.2 nE^ETKIE MODALXNYE FORMULY : : : : : :
14.2.3 pODSTANOWKI : : : : : : : : : : : : : : : : :
14.2.4 tAWTOLOGII : : : : : : : : : : : : : : : : : :
14.2.5 nE^ETKIE LOGIKI : : : : : : : : : : : : : : :
14.3 nE^ETKIE MODELI kRIPKE : : : : : : : : : : : : : :
14.3.1 nE^<TKIE MNOVESTWA : : : : : : : : : : : :
14.3.2 oPREDELENIE NE^ETKOJ MODELI kRIPKE : :
14.3.3 oCENKA FORMUL W MODELQH : : : : : : : : :
14.3.4 iSTINNOSTX FORMUL W MODELQH : : : : : : :
14.4 L{SOWMESTIMYE MNOVESTWA : : : : : : : : : : : : :
14.4.1 nEPROTIWORE^IWYE LOGIKI : : : : : : : : :
14.4.2 oPREDELENIE L{SOWMESTIMOGO MNOVESTWA
14.4.3 sWOJSTWA L{SOWMESTIMYH MNOVESTW : : :
14.5 L{POLNYE MNOVESTWA : : : : : : : : : : : : : : : :
14.5.1 oPREDELENIE L{POLNOGO MNOVESTWA : : : :
14.5.2 pOPOLNENIE L{SOWMESTIMYH MNOVESTW : :
14.6 sWOJSTWA L{POLNYH MNOVESTW : : : : : : : : : : :
14.7 kANONI^ESKIE MODELI : : : : : : : : : : : : : : : :
14.7.1 oPREDELENIE KANONI^ESKOJ MODELI : : : :
14.7.2 oSNOWNOE SWOJSTWO KANONI^ESKIH MODELEJ
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5
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LOGIKOJ) { \TO NAUKA, KOTORAQ IZU^AET, KAKIM OBRAZOM ET WYPOLNITX DLQ REENIQ EGO ZADA^I.
w LOGI^ESKOJ PROGRAMME
OPISYWA@TSQ PONQTIQ (OB_EKTY, FUNKCII I OTNOENIQ MEVDU NIMI), SWQZANNYE S REAEMOJ ZADA^EJ,
FORMULIRUTSQ UTWERVDENIQ (FAKTY I PRAWILA),
WYRAVA@]IE SWQZI MEVDU \TIMI PONQTIQMI, I
STAWITSQ CELX, T.E. UKAZYWA@TSQ WOPROSY, SWQZANNYE S PONQTIQMI, OPISANNYMI W PROGRAMME.
rEENIE POSTAWLENNOJ ZADA^I IMEET WID LOGI^ESKOGO WYWODA IZ TOJ SOWOKUPNOSTI ZNANIJ, KOTORYMI RASPOLAGAET LOGI^ESKAQ PROGRAMMA. pOSLEDOWATELXNOSTX
DEJSTWIJ, NEOBHODIMYH DLQ REENIQ ZADA^I, POSTAWLENNOJ W LOGI^ESKOJ PROGRAMME, SINTEZIRUETSQ AWTOMATI^ESKI.
oSNOWNYMI OBLASTQMI, W KOTORYH LOGI^ESKOE PROGRAMMIROWANIE DA<T NAIBOLXIJ \FFEKT PO SRAWNENI@
S DRUGIMI METODAMI PROGRAMMIROWANIQ, QWLQ@TSQ
IZWLE^ENIE INFORMACII IZ BAZ DANNYH I ZNANIJ,
REENIE ZADA^ PLANIROWANIQ DEQTELXNOSTI,
OBRABOTKA TEKSTOW NA ESTESTWENNOM QZYKE.
MY WYRAVAEM MYSLI, DELAEM UMOZAKL@^ENIQ, I KAK WS<
\TO MOVNO PREDSTAWITX FORMALXNO.
lOGIKA QWLQETSQ OSNOWOJ WSEH OSTALXNYH NAUK.
oDNOJ IZ WAVNEJIH OBLASTEJ PRIMENENIQ METODOW
LOGIKI QWLQ@TSQ INFORMACIONNO{KOMPX@TERNYE SISTEMY, GDE LOGIKA QWLQETSQ TEORETI^ESKIM FUNDAMENTOM DLQ RAZRABOTKI
QZYKA OB]ENIQ ^ELOWEKA S KOMPX@TEROM, DA@]EGO
WOZMOVNOSTX ^ELOWEKU PREDSTAWLQTX W KOMPX@TERE ZNANIQ, OTNOSQ]IESQ K EGO OBLASTI DEQTELXNOSTI, NAIBOLEE ESTESTWENNYM I UDOBNYM SPOSOBOM,
METODOW AWTOMATI^ESKOGO POISKA OTWETOW NA WOPROSY, ISHODQ IZ IME@]IHSQ ZNANIJ,
AWTOMATI^ESKOGO POROVDENIQ NOWYH ZNANIJ.
lOGIKA SOSTOIT IZ NESKOLXKIH RAZDELOW. w NASTOQ]EM KURSE MY IZU^IM OSNOWY SLEDU@]IH IZ NIH:
1. LOGIKA WYSKAZYWANIJ
2. TEORIQ MNOVESTW
3. LOGIKA PREDIKATOW
4. TEOREMA g<DELQ
5. ALGEBRAI^ESKAQ LOGIKA
6. INTUICIONISTSKAQ LOGIKA
7. MODALXNAQ LOGIKA
8. LOGIKA NEPOLNYH ZNANIJ
9. LOGIKA OGRANI^ENNYH RESURSOW
10. DINAMI^ESKAQ LOGIKA
11. WEROQTNOSTNAQ I NE^<TKAQ LOGIKA
w DANNOM KURSE MY RASSMOTRIM TAKVE NEKOTORYE
PRILOVENIQ LOGIKI K PROGRAMMIROWANI@ - OSNOWY LO-
GI^ESKOGO PROGRAMMIROWANIQ.
lOGI^ESKOE PROGRAMMIROWANIE SWQZANO S POSTROENIEM I ISPOLXZOWANIEM QZYKOW PROGRAMMIROWANIQ
WYSOKOGO UROWNQ. pROGRAMMA NA QZYKE WYSOKOGO UROWNQ PREDSTAWLQET SOBOJ OPISANIE REAEMOJ ZADA^I, W OTLI^IE OT PROGRAMM NA QZYKAH NIZKOGO UROWNQ (KOTORYMI QWLQ@TSQ, NAPRIMER, pASKALX ILI sI), NA KOTORYH
6
lEKCIQ 1
wYSKAZYWANIQ
1.1
pONQTIE WYSKAZYWANIQ
wYSKAZYWANIQ (1.1) I (1.2) MOVNO S^ITATX \LEMENTARNYMI, ILI ATOMARNYMI, W TOM SMYSLE,
^TO ONI NE PREDSTAWIMY W WIDE KOMBINACII BOLEE
PROSTYH WYSKAZYWANIJ.
wYSKAZYWANIE (1.3) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KOMBINACII DWUH BOLEE PROSTYH WYSKAZYWANIJ:
~ISLO 5 BOLXE 1.
(1.7)
~ISLO 5 MENXE 10.
(1.8)
eSLI OBOZNA^ITX WYSKAZYWANIE (1.7) SIMWOLOM A,
A WYSKAZYWANIE (1.8) SIMWOLOM B, TO WYSKAZYWANIE (1.3) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KOMBINACII
A I B:
oDNOJ IZ PROSTEJIH FORM LOGI^ESKOGO SUVDENIQ QWLQETSQ LOGI^ESKOE WYSKAZYWANIE (NAZYWAEMOE NIVE
PROSTO WYSKAZYWANIEM).
wYSKAZYWANIE { \TO POWESTWOWATELXNOE PREDLOVENIE, O KOTOROM W KAVDOJ KONKRETNOJ SITUACII MOVNO
SKAZATX, ISTINNO ONO ILI LOVNO.
iSTINNOSTX ILI LOVNOSTX WYSKAZYWANIJ ZAWISIT OT
INTERPRETACII PONQTIJ, WHODQ]IH W DANNOE WYSKAZYWANIE:
W ODNOJ SITUACII (T.E. PRI ODNOJ INTERPRETACII
PONQTIJ, WHODQ]IH W DANNOE WYSKAZYWANIE) ONO
MOVET BYTX ISTINNYM, W TO WREMQ KAK
W DRUGOJ SITUACII (T.E. PRI DRUGOJ INTERPRETACII PONQTIJ, WHODQ]IH W DANNOE WYSKAZYWANIE)
ONO MOVET BYTX LOVNYM.
nAPRIMER, WYSKAZYWANIE
gOROD oDESSA NAHODITSQ W aMERIKE
QWLQETSQ
LOVNYM, ESLI POD oDESSOJ IMEETSQ WWIDU IZWESTNYJ GOROD NA uKRAINE, I
ISTINNYM, ESLI POD oDESSOJ IMEETSQ WWIDU GOROD
W TATE d\LAW\R (s{a).
1.2
wYSKAZYWANIE (1.4) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KOMBINACII DWUH BOLEE PROSTYH WYSKAZYWANIJ:
sEGODNQ ID<T DOVDX.
(1.9)
sEGODNQ SOLNE^NAQ POGODA.
(1.10)
eSLI OBOZNA^ITX WYSKAZYWANIE (1.9) SIMWOLOM A,
A WYSKAZYWANIE (1.10) SIMWOLOM B, TO WYSKAZYWANIE (1.4) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KOMBINACII
A ILI B:
sTRUKTURA WYSKAZYWANIJ
wYSKAZYWANIE (1.5) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KOMBINACII DWUH BOLEE PROSTYH WYSKAZYWANIJ:
wODA W KASTR@LE KIPIT.
(1.11)
tEMPERATURA WODY W KASTR@LE (1.12)
100 GRADUSOW PO cELXSI@.
eSLI OBOZNA^ITX WYSKAZYWANIE (1.11) SIMWOLOM
A, A WYSKAZYWANIE (1.12) SIMWOLOM B, TO WYSKAZYWANIE (1.5) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KOMBINACII
ESLI A TO B:
rASSMOTRIM SLEDU@]IE PRIMERY WYSKAZYWANIJ:
mOSKWA - STOLICA rOSSII.
(1.1)
pARIV NAHODITSQ W aMERIKE.
(1.2)
~ISLO 5 BOLXE 1 I MENXE 10.
(1.3)
sEGODNQ ID<T DOVDX ILI
(1.4)
SEGODNQ SOLNE^NAQ POGODA.
eSLI WODA W KASTR@LE KIPIT, TO TEMPERATURA (1.5)
WODY W KASTR@LE - 100 GRADUSOW PO cELXSI@.
pAA NAHODITSQ NA ULICE TOGDA I TOLXKO (1.6)
TOGDA, KOGDA ON NE NAHODITSQ DOMA.
pROANALIZIRUEM STRUKTURU DANNYH WYSKAZYWANIJ.
7
wYSKAZYWANIE (1.6) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KOMBINACII DWUH BOLEE PROSTYH WYSKAZYWANIJ:
pAA NAHODITSQ NA ULICE.
(1.13)
pAA NAHODITSQ DOMA.
(1.14)
eSLI OBOZNA^ITX WYSKAZYWANIE (1.13) SIMWOLOM
A, A WYSKAZYWANIE (1.14) SIMWOLOM B, TO WYSKAZYWANIE (1.6) MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KOMBINACII
A RAWNOSILXNO (NE B):
dANNYE PRIMERY NAWODQT NA MYSLX, ^TO WSE WYSKAZYWANIQ MOVNO RAZDELITX NA DWA KLASSA 1. PROSTYE (ILI ATOMARNYE) WYSKAZYWANIQ, I
2. SOSTAWNYE WYSKAZYWANIQ, KOTORYE QWLQ@TSQ KOMBINACIQMI ATOMARNYH WYSKAZYWANIJ.
1.3
aTOMARNYE WYSKAZYWANIQ
T.E.
ESLI WYSKAZYWANIE A LOVNO, TO WYSKAZYWANIE :A
ISTINNO, I
ESLI WYSKAZYWANIE A ISTINNO, TO WYSKAZYWANIE
:A LOVNO.
1.4.2
kON_@NKCIQ
eSLI A I B { WYSKAZYWANIQ, TO ZNAKOSO^ETANIE A ^ B
OBOZNA^AET WYSKAZYWANIE, KOTOROE NAZYWAETSQ KON_@NKCIEJ WYSKAZYWANIJ A I B, I ^ITAETSQ \A I B".
zNA^ENIE WYSKAZYWANIQ A ^ B OPREDELQETSQ SLEDU@]EJ TABLICEJ:
A B A^B
aTOMARNOE WYSKAZYWANIE { \TO WYSKAZYWANIE, KO- T.E.
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
(1.16)
TOROE MY RASSMATRIWAEM KAK NE PREDSTAWIMOE W WIDE
ESLI HOTQ BY ODNO IZ WYSKAZYWANIJ A I B LOVNO,
KOMBINACII BOLEE PROSTYH WYSKAZYWANIJ.
TO WYSKAZYWANIE A ^ B LOVNO, I
pRI FORMALXNOM ANALIZE WYSKAZYWANIJ KAVDOE ATOMARNOE WYSKAZYWANIE BUDET OBOZNA^ATXSQ NEKOTORYM
ESLI OBA WYSKAZYWANIQ A I B ISTINNY, TO WYSKASIMWOLOM, KOTORYJ NAZYWAETSQ BULEWOJ PEREMENNOJ.
ZYWANIE A ^ B ISTINNO.
kAK PRAWILO, \TO - STRO^NAQ BUKWA LATINSKOGO ALFAWITA (WOZMOVNO, S INDEKSOM WNIZU). bULEWY PEREMENNYE,
OBOZNA^A@]IE ATOMARNYE WYSKAZYWANIQ, DOLVNY BYTX 1.4.3 dIZ_@NKCIQ
WYBRANY TAK, ^TOBY RAZNYM ATOMARNYM WYSKAZYWANI- eSLI A I B { WYSKAZYWANIQ, TO ZNAKOSO^ETANIE A _ B
OBOZNA^AET WYSKAZYWANIE, KOTOROE NAZYWAETSQ DIZ_QM SOOTWETSTWOWALI RAZNYE BULEWY PEREMENNYE.
@NKCIEJ WYSKAZYWANIJ A I B, I ^ITAETSQ \A ILI B".
zNA^ENIE WYSKAZYWANIQ A _ B OPREDELQETSQ SLEDU1.4
@]EJ TABLICEJ:
iZ WYSKAZYWANIJ PUT<M SOEDINENIQ IH RAZLI^NYMI SPOA B A_B
SOBAMI MOVNO SOSTAWLQTX NOWYE, BOLEE SLOVNYE WYSKA0 0
0
ZYWANIQ.
(1.17)
0
1
1
iSTINNOSTX ILI LOVNOSTX NOWYH WYSKAZYWANIJ BU1
0
1
DET OPREDELQTXSQ ISTINNOSTX@ ILI LOVNOSTX@ SOSTAW1 1
1
LQ@]IH IH WYSKAZYWANIJ.
eSLI WYSKAZYWANIE A QWLQETSQ ISTINNYM, TO MY T.E.
BUDEM GOWORITX, ^TO ONO IMEET ZNA^ENIE 1, A ESLI LOVESLI OBA WYSKAZYWANIQ A I B LOVNY, TO WYSKANYM, TO BUDEM GOWORITX, ^TO ONO IMEET ZNA^ENIE 0.
ZYWANIE A _ B LOVNO, I
1.4.1 oTRICANIE
ESLI HOTQ BY ODNO IZ WYSKAZYWANIJ A I B ISTINNO, TO WYSKAZYWANIE A _ B ISTINNO.
dLQ KAVDOGO WYSKAZYWANIQ A ZNAKOSO^ETANIE :A OBOZNA^AET WYSKAZYWANIE, KOTOROE NAZYWAETSQ OTRICANI, ^TO INOGDA W RAZGOWORNYH QZYKAH SLOEM WYSKAZYWANIQ A, I ^ITAETSQ \NE A" ILI \NEWERNO, WO \oTMETIM
ILI" W WYSKAZYWANII \A ILI B" UPOTREBLQETSQ W
^TO A".
\ISKL@^A@]EM" SMYSLE, T.E. WYSKAZYWANIE \A ILI B"
zNA^ENIE WYSKAZYWANIQ :A OPREDELQETSQ SLEDU@- S^ITAETSQ ISTINNYM W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE, KOG]EJ TABLICEJ:
DA ISTINNO ODNO I TOLXKO ODNO IZ WYSKAZYWANIJ: ILI
A :A
A, ILI B.
sOSTAWNYE WYSKAZYWANIQ
0
1
1
0
(1.15)
8
eSLI INTERPRETIROWATX SWQZKU \ILI" W ISKL@^A@- sOGLASNO ZDRAWOMU SMYSLU, WYSKAZYWANIE (1.20) SLE]EM SMYSLE, TO TOGDA ZNA^ENIE WYSKAZYWANIQ A _ B DUET S^ITATX ISTINNYM NEZAWISIMO OT ZNA^ENIQ x. w
^ASTNOSTI,
BUDET OPREDELQTXSQ SLEDU@]EJ TABLICEJ:
A B A_B
ESLI x = 5, TO POSYLKA I ZAKL@^ENIE BUDUT IMETX
ZNA^ENIE 0,
0 0
0
0 1
1
ESLI x = 6, TO POSYLKA BUDET IMETX ZNA^ENIE 0, A
1 0
1
ZAKL@^ENIE { ZNA^ENIE 1,
1 1
0
A WS< WYSKAZYWANIE (1.20), SOGLASNO SKAZANNOMU WYE,
nIVE MY BUDEM RASSMATRIWATX UPOTREBLENIE SWQZKI DOLVNO
W OBEIH SITUACIQH IMETX ZNA^ENIE 1.
\ILI" TOLXKO W PERWOM (W \NEISKL@^A@]EM") SMYSLE.
1.4.4
iMPLIKACIQ
1.4.5
|KWIWALENCIQ
eSLI A I B { WYSKAZYWANIQ, TO ZNAKOSO^ETANIE A ! B
OBOZNA^AET WYSKAZYWANIE, KOTOROE NAZYWAETSQ IMPLIKACIEJ WYSKAZYWANIJ A I B, I ^ITAETSQ \IZ A SLEDUET
B", ILI \ESLI ISTINNO A, TO ISTINNO B".
wYSKAZYWANIE A NAZYWAETSQ POSYLKOJ IMLIKACII
A ! B, A WYSKAZYWANIE B NAZYWAETSQ ZAKL@^ENIEM
IMLIKACII A ! B.
zNA^ENIE WYSKAZYWANIQ A ! B OPREDELQETSQ SLEDU@]EJ TABLICEJ:
A B A!B
eSLI A I B { WYSKAZYWANIQ, TO ZNAKOSO^ETANIE A $ B
OBOZNA^AET WYSKAZYWANIE, KOTOROE NAZYWAETSQ \KWIWALENCIEJ WYSKAZYWANIJ A I B, I ^ITAETSQ \A RAWNOSILXNO B".
zNA^ENIE WYSKAZYWANIQ A $ B OPREDELQETSQ SLEDU@]EJ TABLICEJ:
A B A$B
(1.18)
T.E. WYSKAZYWANIE A $ B ISTINNO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA A I B IME@T ODNO I TO VE ZNA^ENIE.
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
(1.21)
T.E. IMPLIKACIQ LOVNA W TOM I TOLXKO W TOM SLU^AE,
KOGDA E< POSYLKA ISTINNA, A E< ZAKL@^ENIE - LOVNO. wO 1.5
WSEH OSTALXNYH SLU^AQH, T.E. KOGDA
1. zAPISATX SLEDU@]IE WYSKAZYWANIQ S ISPOLXZOWAPOSYLKA IMPLIKACII LOVNA, ILI
NIEM BULEWYH PEREMENNYH I SWQZOK:
ZAKL@^ENIE IMPLIKACII ISTINNO
(a) eSLI G-N iWANOW S^ASTLIW, TO G-VA iWANOWA
NES^ASTLIWA, I ESLI G-N iWANOW NES^ASTLIW,
IMPLIKACIQ PO OPREDELENI@ QWLQETSQ ISTINNOJ.
TO G-VA iWANOWA S^ASTLIWA.
nAPRIMER, WYSKAZYWANIE
(b) iLI pETQ POJD<T NA DISKOTEKU, I sAA NE
ESLI (2 2 = 5) TO (rIM { STOLICA bRAZILII) (1.19)
POJD<T NA NE< ILI pETQ NE POJD<T NA DISKOTEKU, I sAA OTLI^NO PROWED<T WREMQ.
SLEDUET S^ITATX ISTINNYM, T.K. POSYLKA (2 2 = 5) QWLQETSQ LOVNYM WYSKAZYWANIEM.
(c) nEOBHODIMOE I DOSTATO^NOE USLOWIE S^ASTXQ
zAMETIM, ^TO, SOGLASNO OB]EPRINQTOMU PONIMANI@
DLQ DEDUKI SOSTOIT W TOM, ^TOBY IMETX HOSMYSLA WYSKAZYWANIJ TIPA \ESLI - TO", NET NIKAKIH
ROEE WINO I SLUATX KLASSI^ESKU@ MUZYKU.
PRI^IN S^ITATX WYSKAZYWANIE (1.19) ISTINNYM, T.K.
(d) eSLI STUDENT LOVITSQ POZDNO SPATX I PX<T
ONO ABSURDNO { W N<M NET NIKAKOJ SWQZI MEVDU POSYLNA NO^X KOFE, TO UTROM ON WSTA<T W DURNOM
KOJ I ZAKL@^ENIEM.
RASPOLOVENII DUHA ILI S GOLOWNOJ BOLX@.
tEM NE MENEE, MY S^ITAEM WYSKAZYWANIE (1.19) IS(e) tANQ SMOTRIT FILXM TOLXKO W TOM SLU^AE,
TINNYM, POSKOLXKU, SOGLASNO NAEMU OPREDELENI@, ZNAKOGDA \TOT FILXM - KOMEDIQ.
^ENIE IMPLIKACII \ESLI A, TO B" OPREDELQETSQ NE NALI^IEM PRI^INNO-SLEDSTWENNOJ SWQZI MEVDU A I B, A
(f) dLQ TOGO, ^TOBY CELOE ^ISLO x BYLO NE^<TTOLXKO LIX ZNA^ENIQMI A I B.
NYM, DOSTATO^NO, ^TOBY x BYLO PROSTYM.
nEKOTORYM OBOSNOWANIEM OPREDELENIQ (1.18) MOVET
(g) \kRASNYE" WYIGRA@T PRIZ, ESLI \v<LTYE "
SLUVITX SLEDU@]IJ DOWOD. rASSMOTRIM WYSKAZYWANIE
EGO NE WYIGRA@T.
ESLI NATURALXNOE ^ISLO x DELITSQ NA 4, (1.20)
TO ^ISLO x QWLQETSQ ^<TNYM.
zADA^I
9
lEKCIQ 2
fORMULY LOGIKI WYSKAZYWANIJ
2.1
2.1.1
sINTAKSIS FORMUL LOGIKI
WYSKAZYWANIJ
zNAKOSO^ETANIQ
zNAKOSO^ETANIEM NAZYWAETSQ PROIZWOLXNAQ SIMWOLX-
NAQ STROKA, KOTORAQ MOVET BYTX PUSTOJ. pUSTAQ STROKA
OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM ".
kONKATENACIEJ ZNAKOSO^ETANIJ u I v NAZYWAETSQ
ZNAKOSO^ETANIE, OBOZNA^AEMOE SIMWOLOM u v, I POLU^AEMOE PRIPISYWANIEM v SPRAWA K u, T.E. ESLI u = a1 : : :an
I v = b1 : : :bm , TO u v = a1 : : : anb1 : : :bm . pO OPREDELENI@, " u = u " = u.
2.1.2
pONQTIE FORMULY LOGIKI WYSKAZYWANIJ
fORMULA LOGIKI WYSKAZYWANIJ (NAZYWAEMAQ NIVE
FORMULOJ lw, A W DANNOJ GLAWE { PROSTO FORMULOJ)
{ \TO ZNAKOSO^ETANIE, KOTOROE
QWLQETSQ BULEWOJ PEREMENNOJ, ILI
SOWPADAET S ODNIM IZ ZNAKOSO^ETANIJ IZ SPISKA
(:A) (A ^ B) (A _ B) (A ! B) (A $ B) (2.1)
GDE A I B { FORMULY.
sIMWOLY : ^ _ ! $ NAZYWA@TSQ SWQZKAMI.
dLQ KAVDOJ FORMULY A SOWOKUPNOSTX WSEH BULEWYH
PEREMENNYH, WHODQ]IH W A, OBOZNA^AETSQ ZNAKOSO^ETANIEM V ar(A):
2.1.3
SOWOKUPNOSTX R<BER, GDE KAVDOE REBRO PREDSTAWLQET SOBOJ STRELO^KU, SOEDINQ@]U@ NEKOTORU@
PARU WERIN.
PRI^<M ODNA IZ WERIN DEREWA QWLQETSQ WYDELENNOJ:
ONA NAZYWAETSQ KORNEM \TOGO DEREWA, I UDOWLETWORQET SLEDU@]EMU USLOWI@: DLQ KAVDOJ WERINY N DEREWA SU]ESTWUET EDINSTWENNAQ POSLEDOWATELXNOSTX R<BER,
WEDU]AQ IZ KORNQ W WERINU N.
dEREWO tree(A) OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM.
1. eSLI A QWLQETSQ BULEWOJ PEREMENNOJ, TO tree(A)
SOSTOIT IZ EDINSTWENNOJ WERINY S METKOJ A, I
NE IMEET R<BER. kORNEM DEREWA tree(A) W DANNOM
SLU^AE QWLQETSQ \TA EDINSTWENNAQ WERINA.
2. eSLI A IMEET WID :B, TO tree(A) POLU^AETSQ DOBAWLENIEM K DEREWU tree(B) NOWOJ WERINY S METKOJ :, I NOWOGO REBRA IZ \TOJ WERINY W KORENX
DEREWA tree(B). kORNEM DEREWA tree(A) QWLQETSQ
NOWAQ WERINA.
3. eSLI A SOWPADAET S ODNIM IZ WYSKAZYWANIJ WIDA
B ^ C B _ C B ! C B $ C
TO tree(A) POLU^AETSQ PUT<M DOBAWLENIQ K DEREWXQM tree(B) I tree(C) NOWOJ WERINY S METKOJ ^,
_, !, ILI $ SOOTWETSTWENNO, I PARY NOWYH R<BER IZ \TOJ WERINY W KORNI DEREWXEW tree(B)
I tree(C). kORNEM DEREWA tree(A) QWLQETSQ NOWAQ
WERINA.
nAPRIMER, tree(p ! :(q ^ r)) IMEET WID
!
pREDSTAWLENIE FORMUL DEREWXQMI
kAVDU@ FORMULU A MOVNO PREDSTAWITX W WIDE DEREWA,
OBOZNA^AEMOGO SIMWOLOM tree(A), I NAZYWAEMOGO DEREWOM SINTAKSI^ESKOGO RAZBORA FORMULY A. w DANNOM
PARAGRAFE POD DEREWOM MY PONIMAEM
SOWOKUPNOSTX WERIN, GDE KAVDAQ WERINA IZOBRAVAETSQ KRUVO^KOM, WNUTRI KOTOROGO NARISOWANA BULEWA PEREMENNAQ ILI SWQZKA, NAZYWAEMAQ
METKOJ \TOJ WERINY, I
10
;
@
;
@@R ;
?
;
@
;
@@R ;
:
p
^
q
r
2.1.4
sOGLAENIQ OB \KONOMNOM ISPOLXZOWANII SKOBOK
dLQ OBLEG^ENIQ ^TENIQ SLOVNYH FORMUL ISPOLXZU@TSQ
SLEDU@]IE SOGLAENIQ:
1. w FORMULE MOVNO OPUSTITX WNEN@@ PARU SKOBOK.
2. sWQZKI : ^ _ ! $ UPORQDO^ENY PO SILE SWQZYWANIQ W TOJ VE POSLEDOWATELXNOSTI, W KOTOROJ ONI
WYPISANY (T.E. : SWQZYWAET SILXNEE WSEGO, I DALEE
- PO UBYWANI@).
|TO OZNA^AET, ^TO MOVNO OPUSKATX W FORMULE WSE
TE PARY SKOBOK, BEZ KOTORYH WOZMOVNO WOSSTANOWLENIE \TOJ FORMULY NA OSNOWE SLEDU@]EGO PRAWILA.
pROSMATRIWA@TSQ WSE WHOVDENIQ SWQZKI : W
POSLEDOWATELXNOSTI \SLEWA NAPRAWO".
dLQ KAVDOGO WHOVDENIQ SWQZKI : OPREDELQETSQ NAIMENXEE ZNAKOSO^ETANIE SPRAWA OT
\TOGO WHOVDENIQ, KOTOROE QWLQETSQ FORMULOJ.
|TO ZNAKOSO^ETANIE ZAKL@^AETSQ W SKOBKI.
zATEM PROSMATRIWA@TSQ WSE WHOVDENIQ SWQZKI ^ W POSLEDOWATELXNOSTI \SLEWA NAPRAWO".
dLQ KAVDOGO WHOVDENIQ SWQZKI ^ OPREDELQETSQ NAIMENXAQ PARA ZNAKOSO^ETANIJ, OKRUVA@]IH DANNOE WHOVDENIE SLEWA I SPRAWA,
KOTORYE QWLQ@TSQ FORMULAMI.
dANNAQ PARA ZNAKOSO^ETANIJ ZAKL@^AETSQ W
SKOBKI.
zATEM WYPOLNQ@TSQ ANALOGI^NYE DEJSTWIQ
DLQ SWQZOK _ ! I $.
nAPRIMER, W ZNAKOSO^ETANII
A _ :B ! C ^ A
SKOBKI WOSSTANAWLIWA@TSQ SLEDU@]IMI AGAMI:
A _ (:B) ! C ^ A
A _ (:B) ! (C ^ A)
(A _ (:B)) ! (C ^ A)
((A _ (:B)) ! (C ^ A))
oTMETIM, ^TO NE WSQKAQ FORMULA MOVET BYTX ZAPISANA BEZ UPOTREBLENIQ SKOBOK. nAPRIMER, NEWOZMOVNO
OPUSTITX SKOBKI W FORMULAH
A ! (B ! C) I A ^ (B _ C)
ESLI A IMEET WID :B, TO GLAWNOJ QWLQETSQ SWQZKA
: PERED FORMULOJ B,
ESLI A SOWPADAET S ODNIM IZ ZNAKOSO^ETANIJ WIDA
B ^ C B _ C B ! C B $ C
TO GLAWNOJ QWLQETSQ SOOTWETSTWU@]AQ SWQZKA MEVDU B I C.
dRUGIMI SLOWAMI, GLAWNOJ SWQZKOJ FORMULY NAZYWAETSQ TA WHODQ]AQ W NE< SWQZKA, KOTORAQ PRI POSTROENII
\TOJ FORMULY PRIMENQETSQ POSLEDNEJ.
oTMETIM, ^TO POD GLAWNOJ SWQZKOJ W FORMULE A PONIMAETSQ NE TOLXKO SIMWOL, QWLQ@]IJSQ DANNOJ SWQZKOJ, NO I POZICIQ \TOGO SIMWOLA W FORMULE A.
2.1.6
pODFORMULY
pUSTX ZADANA PARA FORMUL A B.
B NAZYWAETSQ PODFORMULOJ FORMULY A, ESLI A
MOVNO PREDSTAWITX W WIDE KONKATENACII C B D.
nAPRIMER, ESLI A IMEET WID
:(p ^ :q) ! r
TO E< PODFORMULAMI QWLQ@TSQ SLEDU@]IE FORMULY:
p
q
r
:q
p ^ :q
:(p ^ :q)
:(p ^ :q) ! r
sOWOKUPNOSTX WSEH PODFORMUL FORMULY A OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM hAi.
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO
1. (a) ESLI A QWLQETSQ BULEWOJ PEREMENNOJ, TO hAi
SOSTOIT IZ ODNOJ FORMULY A,
(b) ESLI A IMEET WID :B, TO hAi SOSTOIT IZ FORMULY A, I WSEH PODFORMUL FORMULY B,
(c) ESLI A SOWPADAET S ODNIM IZ ZNAKOSO^ETANIJ
IZ SPISKA
B ^ C B _ C B ! C B $ C
TO SOWOKUPNOSTX hAi SOSTOIT IZ FORMULY A,
WSEH PODFORMUL B, I WSEH PODFORMUL C
2. KAVDOJ SWQZKE W FORMULE A SOOTWETSTWUET NEKOTORAQ PODFORMULA FORMULY A (W KOTOROJ DANNAQ
SWQZKA QWLQETSQ GLAWNOJ).
2.1.5 gLAWNYE SWQZKI W FORMULAH
WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEeSLI FORMULA A SODERVIT HOTQ BY ODNU SWQZKU, TO OD- 3. SU]ESTWUET
VDU
PODFORMULAMI
FORMULY A I WERINAMI DENA IZ SWQZOK, WHODQ]IH W DANNU@ FORMULU, NAZYWAETSQ
REWA
tree(A).
GLAWNOJ:
11
oBOZNA^ENIQ
pUSTX a b { PARA ^ISEL, RAWNYH 0 ILI 1. bUDEM S^ITATX
, ^TO ZNAKOSO^ETANIQ
dLQ KAVDOJ FORMULY A FORMULA :A MOVET TAKVE ZAPISYWATXSQ W WIDE A.
a a ^ b a _ b a ! b a $ b
dLQ PROIZWOLXNOGO SPISKA A1 : : : Ak FORMUL ZNAKOSO^ETANIQ
OBOZNA^A@T ^ISLA, OPREDELQEMYE W SOOTWETSTWII S TABLICAMI (1.15), (1.16), (1.17), (1.18), (1.21), T.E.
A1 ^ A2 ^ : : : ^ Ak I A1 _ A2 _ : : : _ Ak
0 = 1 1 = 0
QWLQ@TSQ SOKRA]ENNOJ ZAPISX@ FORMUL
0 ^ 0 = 0 ^ 1 = 1 ^ 0 = 0 1 ^ 1 = 1
I T.D.
A1 ^ (A2 ^ (: : : ^ Ak ) : : :) I A1 _ (A2 _ (: : : _ Ak ) : : :)
ZNA^ENIE SLOVNYH FORMUL OPREDELQETSQ SLEDUSOOTWETSTWENNO. dANNYE FORMULY TAKVE MOGUT OBOZNA- tOGDA
]IM
OBRAZOM
:
^ATXSQ SOOTWETSTWENNO ZNAKOSO^ETANIQMI
2.1.7
8
2A 3
< A1 9=
1
4
I
:
:
:5
:
:
:
: Ak Ak
2.2
2.2.1
( B )
(B ^ C)
(B _ C)
(B ! C)
(B $ C)
zNA^ENIQ FORMUL
zNA^ENIE FORMULY PRI OCENKE PEREMENNYH
pUSTX X { NEKOTORAQ SOWOKUPNOSTX BULEWYH PEREMENNYH.
oCENKA PEREMENNYH IZ X { \TO SOOTWETSTWIE ,
KOTOROE SOPOSTAWLQET KAVDOJ PEREMENNOJ p IZ X ZNA^ENIE (p), RAWNOE 0 ILI 1.
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO ESLI X SOSTOIT IZ n BULEWYH PEREMENNYH, TO TOGDA WOZMOVNY 2n OCENOK PEREMENNYH IZ X.
dLQ
KAVDOJ FORMULY A,
KAVDOJ SOWOKUPNOSTI X BULEWYH PEREMENNYH, SODERVA]EJ WSE PEREMENNYE IZ V ar(A), I
KAVDOJ OCENKI PEREMENNYH IZ X
ZNAKOSO^ETANIE (A) OBOZNA^AET ZNA^ENIE A PRI OCENKE
, RAWNOE 0 ILI 1, KOTOROE WY^ISLQETSQ TAK VE, KAK WY^ISLQ@TSQ ZNA^ENIQ SOSTAWNYH WYSKAZYWANIJ W PUNKTE
1.4, T.E. DLQ \TOGO WY^ISLQ@TSQ ZNA^ENIQ WSEH PODFORMUL IZ hAi:
ZNA^ENIQ PEREMENNYH IZ V ar(A) OPREDELQ@TSQ OCENKOJ ,
ESLI DLQ PODFORMULY IZ hAi WIDA B ^ C ZNA^ENIQ
(B) I (C) UVE WY^ISLENY, TO ZNA^ENIE (B ^ C)
WY^ISLQETSQ PO TABLICE (1.16)
I T.D.
oPREDELENIE ZNA^ENIQ SLOVNYH FORMUL MOVNO SFORMULIROWATX BOLEE KOMPAKTNO S ISPOLXZOWANIEM SLEDU@]IH OBOZNA^ENIJ.
2.2.2
=
=
=
=
=
(B)
(B) ^ (C)
(B) _ (C)
(B) ! (C)
(B) $ (C)
(2.2)
tABLICY ZNA^ENIJ DLQ FORMUL
pUSTX A { NEKOTORAQ FORMULA.
tABLICA ZNA^ENIJ DLQ A { \TO TABLICA,
1. STROKI KOTOROJ (NA^INAQ SO WTOROJ) SOOTWETSTWU@T OCENKAM PEREMENNYH IZ V ar(A), I
2. STOLBCY KOTOROJ SOOTWETSTWU@T PODFORMULAM A,
PRI^<M DLQ
KAVDOJ OCENKI PEREMENNYH IZ V ar(A), I
KAVDOJ PODFORMULY B FORMULY A
NA PERESE^ENII STROKI, SOOTWETSTWU@]EJ OCENKE , I
STOLBCA, SOOTWETSTWU@]EGO B, STOIT ZNA^ENIE (B).
tAK KAK SU]ESTWUET 2n WSEWOZMOVNYH OCENOK PEREMENNYH IZ V ar(A), GDE n { ^ISLO \TIH PEREMENNYH, TO
DANNAQ TABLICA SODERVIT 2n +1 STROK (W PERWOJ STROKE
ZAPISYWA@TSQ PODFORMULY A).
rEZULXTIRU@]IM STOLBCOM DANNOJ TABLICY NAZYWAETSQ TOT STOLBEC, KOTORYJ SOOTWETSTWUET WSEJ FORMULE A.
nAPRIMER, FORMULE (p _ q) ! r SOOTWETSTWUET SLEDU@]AQ TABLICA ZNA^ENIJ:
p q r p p _ q (p _ q) ! r
12
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
1
2.3
pODSTANOWKI W FORMULY
pODSTANOWKOJ NAZYWAETSQ ZNAKOSO^ETANIE WIDA
2.4
tAWTOLOGII I WYPOLNIMYE
FORMULY
= p1 := B1 : : : pk := Bk ]
(2.3) fORMULA A NAZYWAETSQ
GDE p1 : : : pk { SPISOK RAZLI^NYH BULEWYH PEREMENNYH,
TAWTOLOGIEJ, ESLI ONA IMEET ZNA^ENIE 1 PRI WSEH
OCENKAH PEREMENNYH IZ V ar(A),
I B1 : : : Bk { SPISOK FORMUL.
pODSTANOWKA (2.3) DEJSTWUET NA KAVDU@ FORMULU
WYPOLNIMOJ FORMULOJ, ESLI ONA IMEET ZNA^EA PUT<M ZAMENY DLQ KAVDOGO i 2 f1 : : : kg KAVDOGO
NIE 1 HOTQ BY PRI ODNOJ OCENKE PEREMENNYH IZ
WHOVDENIQ PEREMENNOJ pi W A NA FORMULU Bi . fORMULA,
V ar(A).
KOTORAQ POLU^AETSQ POSLE TAKOJ ZAMENY, OBOZNA^AETSQ
ZNAKOSO^ETANIEM (A).
pRIMERY TAWTOLOGIJ: p _ p p ^ p p $ p:
oDIN IZ WOZMOVNYH SPOSOBOW PROWERKI TOGO, QWLQuTWERVDENIE.
ETSQ
LI A TAWTOLOGIEJ (ILI WYPOLNIMOJ FORMULOJ),
pUSTX ZADANY
ZAKL@^AETSQ W POSTROENII E< TABLICY ZNA^ENIJ:
FORMULA A,
A { TAWTOLOGIQ, ESLI WSE ZNA^ENIQ W REZULXTIRUPODSTANOWKA WIDA (2.3),
@]EM STOLBCE RAWNY 1, I
SOWOKUPNOSTX X BULEWYH PEREMENNYH, SODERVA]AQ
A { WYPOLNIMA, ESLI SU]ESTWUET \LEMENT REZULXWSE PEREMENNYE, WHODQ]IE W A I , I
TIRU@]EGO STOLBCA, RAWNYJ 1.
OCENKA PEREMENNYH IZ X.
eSLI A { TAWTOLOGIQ, TO DLQ L@BOJ PODSTANOWKI oBOZNA^IM SIMWOLOM OCENKU PEREMENNYH IZ X, FORMULA (A) { TOVE TAWTOLOGIQ, POTOMU ^TO DLQ KAVOPREDELQEMU@ SLEDU@]IM OBRAZOM: DLQ KAVDOJ PERE- DOJ OCENKI PEREMENNYH, WHODQ]IH W A I , IMEET MESTO RAWENSTWO (2.4), I POSKOLXKU LEWAQ ^ASTX W N<M PO
MENNOJ p IZ X ()(p) def
= ((p)).
PREDPOLOVENI@ RAWNA 1, TO I PRAWAQ TOVE RAWNA 1.
tOGDA IMEET MESTO RAWENSTWO
()(A) = ((A)):
(2.4)
2.5
dOKAZATELXSTWO.
|KWIWALENTNOSTX FORMUL
dOKAVEM, ^TO DLQ KAVDOJ FORMULY A IZ hAi IMEET pUSTX A1 A2 { PARA FORMUL, I X { NEKOTORAQ SOWOMESTO RAWENSTWO
KUPNOSTX PEREMENNYH, SODERVA]AQ WSE PEREMENNYE IZ
()(A ) = ((A )):
(2.5) V ar(A1 ) I V ar(A2 ).
fORMULY A1 I A2 NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI,
oTS@DA BUDET SLEDOWATX (2.4), T.K. A WHODIT W hAi.
ESLI IH ZNA^ENIQ SOWPADA@T PRI KAVDOJ OCENKE PEREeSLI A { BULEWA PEREMENNAQ, TO (2.5) WERNO PO OPRE- MENNYH IZ X.
DELENI@ OCENKI .
zNAKOSO^ETANIE A1 A2 WYRAVAET TOT FAKT, ^TO
pREDPOLOVIM, ^TO DLQ WSEH PODFORMUL, DLINA KOTO- A1 I A2 \KWIWALENTNY.
RYH MENXE, ^EM DLINA A , \TO UTWERVDENIE QWLQETSQ
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO QWLQETSQ KONGRU\NCIWERNYM.
EJ, T.E. ESLI A1 A2, TO
eSLI A IMEET WID B ^ C, TO, POSKOLXKU DLINA B I
A1 A2
C MENXE, ^EM DLINA A , TO, PO PREDPOLOVENI@,
A1 ^ B A2 ^ B B ^ A1 B ^ A2
()(B) = ((B))
(2.6)
()(C) = ((C))
A1 _ B A2 _ B B _ A1 B _ A2
nAM NUVNO DOKAZATX SOOTNOENIE
A1 ! B A2 ! B B ! A1 B ! A2
()(B ^ C) = ((B ^ C))
A1 $ B A2 $ B B $ A1 B $ A2
KOTOROE, SOGLASNO (2.2) I RAWENSTWU
|TI SOOTNOENIQ POZWOLQ@T DOKAZATX TEOREMU OB \K(B ^ C) = (B) ^ (C)
WIWALENTNOJ ZAMENE, KOTORAQ UTWERVDAET, ^TO ESLI
\KWIWALENTNO SOOTNOENI@
FORMULA A SODERVIT NEKOTORU@ PODFORMULU B,
()(B) ^ ()(C) = ((B)) ^ ((C))
(2.7)
B \KWIWALENTNA NEKOTOROJ FORMULE C, I
iSTINNOSTX (2.7) SLEDUET IZ (2.6).
FORMULA A POLU^AETSQ IZ A ZAMENOJ B NA C
dRUGIE SLU^AI WOZMOVNOJ STRUKTURY A RAZBIRA@TSQ ANALOGI^NO.
TO A \KWIWALENTNA A .
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
13
dEJSTWITELXNO, A I A MOVNO RASSMATRIWATX KAK 2.6.2 zNA^ENIQ FORMUL
REZULXTAT NESKOLXKIH PRIPISYWANIJ SLEWA ILI SPRAWA 1. pOSTROITX TABLICY ZNA^ENIJ DLQ FORMUL
K B I C ODNIH I TEH VE ZNAKOSO^ETANIJ (KAVDOE IZ
KOTORYH QWLQETSQ LIBO ZNAKOM OTRICANIQ, LIBO FOR(a) (p ! q) _ p
MULOJ SO SWQZKOJ). sOGLASNO PRIWED<NNYM WYE SOOT(b) (p ! (q ! r)) ! ((p ! q) ! (q ! r))
NOENIQM, KAVDOE PRIPISYWANIE SOHRANQET OTNOENIE
(c) (p ! q) ^ p
\KWIWALENTNOSTI MEVDU POLU^A@]IMISQ FORMULAMI.
o^EWIDNO, ^TO WSE TAWTOLOGII \KWIWALENTNY, I, SLE(d) (p _ r) $ q
DOWATELXNO, W L@BOJ FORMULE MOVNO ZAMENQTX L@BU@
(e) (p ! q) _ (p ! (q ^ p))
PODFORMULU, QWLQ@]U@SQ TAWTOLOGIEJ, NA L@BU@ DRUGU@ TAWTOLOGI@.
(f) (p ! q ^ p) ! (p _ r)
wSE NEWYPOLNIMYE FORMULY TOVE \KWIWALENTNY, I,
(g) (p ^ (q ! p)) ! p
SLEDOWATELXNO, W L@BOJ FORMULE MOVNO ZAMENQTX L@(h) ((p ^ q) ! q) ! (p ! q)
BU@ PODFORMULU, QWLQ@]U@SQ NEWYPOLNIMOJ, NA L@BU@ DRUGU@ NEWYPOLNIMU@ FORMULU.
(i) (p ! (q ! r)) ! ((p ! q) ! (p ! r))
tAWTOLOGI@ INOGDA OBOZNA^A@T SIMWOLOM 1, A NE(j) (p ^ (q _ p)) ^ ((q ! p) _ q)
WYPOLNIMU@ FORMULU { SIMWOLOM 0.
(k) ((p ! (q ^ r)) ! (q ! p)) ! q
|KWIWALENTNYE FORMULY INOGDA NAZYWA@T RAWNYMI, T.E. ESLI A B, TO GOWORQT, ^TO A RAWNA B, I
(l) (p _ q _ r) ! ((p _ q) ^ (p _ r))
WMESTO A B INOGDA PIUT A = B.
(m) (p _ q) ^ (q _ r) ^ (r _ p) ! (p ^ q ^ r)
(n) (p _ q) ! ((p ^ q) _ (p ^ q))
2.6
0
zADA^I
2.6.1
sINTAKSIS FORMUL lw
1. wOSSTANOWITX SKOBKI W ZNAKOSO^ETANIQH
s $r $p^s^q_s !q
r !p_r^p $q
r !p !p$p_q
2. iSKL@^ITX KAK MOVNO BOLXE SKOBOK W FORMULAH
((q $ (r _ (s ^ p))) $ (q ! q))
(((p ^ q) ^ r) _ s)
3. pOSTROITX ALGORITM NAHOVDENIQ GLAWNOJ SWQZKI
W FORMULE, OSNOWANNYJ NA PONQTII SKOBO^NOGO BALANSA (SKOBO^NYM BALANSOM W ZNAKOSO^ETANII NAZYWAETSQ RAZNOSTX MEVDU KOLI^ESTWOM OTKRYWA@]IHSQ SKOBOK I KOLI^ESTWOM ZAKRYWA@]IHSQ SKOBOK W \TOM ZNAKOSO^ETANII). uKAZANIE: SNA^ALA
SLEDUET WOSSTANOWITX WSE OPU]ENNYE SKOBKI.
4. dOKAZATX UTWERVDENIE W KONCE PUNKTA 2.1.6.
5. wYPISATX WSE PODFORMULY FORMUL
(a) ((p ! q) ^ (r ! s)) ! (q _ s)
(b) (p ! q) ! ((p ! q) ! q)
6. dOKAZATX, ^TO DLQ KAVDOJ FORMULY A I KAVDOJ
PODSTANOWKI (A) TOVE QWLQETSQ FORMULOJ.
7. pUSTX 1 I 2 { PODSTANOWKI WIDA
1 = p1 := B1 : : : pk := Bk ]
2 = q1 := C1 : : : ql := Cl ]
nAJTI PODSTANOWKU , TAKU@, ^TO DLQ KAVDOJ FORMULY A IMEET MESTO RAWENSTWO (A) = 1 (2 (A)).
2.6.3
14
tAWTOLOGII I WYPOLNIMYE FORMULY
1. dOKAZATX, ^TO
(a) A { TAWTOLOGIQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
A NEWYPOLNIMA
(b) A { WYPOLNIMA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
A { NE TAWTOLOGIQ
(c) A^B TAWTOLOGIQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
A TAWTOLOGIQ I B TAWTOLOGIQ
(d) A_B WYPOLNIMA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
A WYPOLNIMA ILI B WYPOLNIMA
(e) ESLI A { TAWTOLOGIQ I A ! B { TAWTOLOGIQ,
TO B { TAWTOLOGIQ
(f) ESLI A _ B I A _ C { TAWTOLOGII, TO B _ C {
TOVE TAWTOLOGIQ
(g) ESLI A _ B, A ! C I B ! D { TAWTOLOGII,
TO C _ D { TOVE TAWTOLOGIQ
2. wERNO LI, ^TO
(a) ESLI A { WYPOLNIMA I A ! B WYPOLNIMA TO
B { TOVE WYPOLNIMA?
(b) ESLI A _ B I A _ C WYPOLNIMY, TO B _ C
WYPOLNIMA?
(c) ESLI A _ B, A ! C I B ! D WYPOLNIMY, TO
C _ D WYPOLNIMA?
3. dOKAZATX WYPOLNIMOSTX FORMUL
(a) p ! p
(b) (p ! q) ! (q ! p)
(c) (q ! (p ^ r)) ^ (p _ r) ! q
2.6.4
4. oPREDELITX BEZ POSTROENIQ TABLIC ZNA^ENIJ, QW-
LQ@TSQ LI SLEDU@]IE FORMULY TAWTOLOGIQMI
(a) (((p ! q) ! q)) ! q
(b) (p $ q) $ (p $ (q $ p))
(c) p $ (p _ p)
(d) (p ! q) ! ((q ! r) ! (r ! p))
(e) ((p ! q) ^ q) ! p
(f) p ! (p ^ q)
(g) p ^ p _ q
(h) (p ! q) $ (p _ q)
(i) (p ! q) $ p ^ q
5. dOKAZATX BEZ POSTROENIQ TABLIC ZNA^ENIJ, ^TO
SLEDU@]IE FORMULY QWLQ@TSQ TAWTOLOGIQMI:
(a) (p ! q) _ (q ! p)
(b) (p ! q) _ (p ! q)
(c) p ! (q ! (p ^ q))
(d) (p ! q) ! ((q ! r) ! (p ! r))
(e) (p ! q) ! ((r ! p) ! (r ! q))
(f) (p ! q) ! (q ! p)
(g) p ! (q ! p)
(h) p _ p
(i) p ^ p
(j) (p ! q) ! ((p ! (q ! r)) ! (p ! r))
(k) (p ^ q) ! p
(l) (p ^ q) ! q
(m) p ! (p _ q)
(n) q ! (p _ q)
(o) (p ! r) ! ((q ! r) ! ((p _ q) ! r))
(p) (p ! q) ! ((p ! q) ! p)
(q) p ! p
(r) p ! p
(s) (q ! p) ! ((q ! p) ! q)
(t) (p _ p) ! p
(u) (q ! r) ! ((p _ q) ! (p _ r))
(v) ((p ! q) ! p) ! p
(w) p ! (p ! q)
6. pUSTX FORMULA SODERVIT TOLXKO SWQZKI WIDA $.
dOKAZATX, ^TO \TA FORMULA QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ
TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA KAVDAQ PEREMENNAQ
WHODIT W NE< ^<TNOE ^ISLO RAZ.
7. pUSTX FORMULA SODERVIT TOLXKO SWQZKI WIDA $
I :. dOKAZATX, ^TO \TA FORMULA QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA KAVDAQ PEREMENNAQ I KAVDYJ ZNAK OTRICANIQ WHODIT W NE<
^<TNOE ^ISLO RAZ.
15
|KWIWALENTNOSTX FORMUL
1. dOKAZATX, ^TO ESLI A B TO DLQ L@BOJ PODSTANOWKI IMEET MESTO SOOTNOENIE (A) (B).
2. dOKAZATX \KWIWALENTNOSTI
(a) 1 ^ A A 1 _ A 1 0 ^ A 0 0 _ A A
(b) 1 ! A A 0 ! A 1
A!11 A!0A
(c) A ^ A A A _ A A
(d) A ^ B B ^ A A _ B B _ A
(e) A ^ (B ^ C) (A ^ B) ^ C
(f) A _ (B _ C) (A _ B) _ C
(g) A ^ (B _ C) (A ^ B) _ (A ^ C)
(h) A _ (B ^ C) (A _ B) ^ (A _ C)
(i) A ^ (B _ A) A A _ (B ^ A) A
(j) A $ B (A ! B) ^ (B ! A)
(k) A $ B (A ^ B) _ (A ^ B)
(l) A ! B A _ B
(m) A ^ B A _ B A _ B A ^ B A A
3. dOKAZATX \KWIWALENTNOSTI:
(a) A ! B B ! A
(b) A ! B A ^ B
(c) A ! (B ! C) (A ^ B) ! C
(d) A ! A A
(e) A _ (A ^ B) A _ B
(f) A $ (B $ C) (A $ B) $ C
(g) A $ B B $ A
(h) (A
^ (A
_ B) A
8> _A B)
9
< A __ BC >= A ^ D (i) > B _ D > B ^ C
: C _D 8A 9 <
= A^C (j) : A _ C B ^ C
8 BA __ BC 9= 2 A ^ B 3
<
(k) : B _ C 4 B ^ C 5
8< CA __ BA 9 2 CA ^^ CA 3
=
(l) : B _ C 4 B ^ C 5
C _D
B ^D
8< A _ B _ C 9= 2 A ^ B 3
6 ^ D 77
(m) : B _ C _ D 64 A
B^D 5
C _D_A
3 C
2 A^B
(n) 4 A _ B 5 A _ B
A_B
lEKCIQ 3
aNALIZ RASSUVDENIJ
lOGI^ESKAQ ISTINNOSTX
rASSUVDENIE QWLQETSQ LOGI^ESKI PRAWILXNYM,
ESLI DLQ KAVDOGO WHODQ]EGO W NEGO WYSKAZYWANIQ Ai ,
wYSKAZYWANIE NAZYWAETSQ LOGI^ESKI ISTINNYM, ES- PERED KOTORYM STOIT SLOWO \SLEDOWATELXNO", Ai QWLQETLI SOOTWETSTWU@]AQ EMU FORMULA lw QWLQETSQ TAWTO- SQ LOGI^ESKIM SLEDSTWIEM NEKOTOROJ SOWOKUPNOSTI WYLOGIEJ. nAPRIMER, WYSKAZYWANIE
SKAZYWANIJ WIDA Aj1 : : : Ajk GDE j1 : : : jk < i.
eSLI ID<T DOVDX ILI SNEG, I NE ID<T SNEG,
TO ID<T DOVDX
3.4
QWLQETSQ LOGI^ESKI ISTINNYM, T.K. SOOTWETSTWU@]AQ nABOR WYSKAZYWANIJ A1 : : : An NAZYWAETSQ NEPROTIEMU FORMULA
WORE^IWYM, ESLI SU]ESTWUET OCENKA PEREMENNYH IZ
((p _ q) ^ q) ! p
A1 : : : An, TAKAQ, ^TO
QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ.
(A1 ) = 1 : : : (An ) = 1
nIVE MY BUDEM OBOZNA^ATX FORMULY lw, SOOTWETSTWU@]IE WYSKAZYWANIQM, TEMI VE SIMWOLAMI, KOTO- T.E. ESLI FORMULA A1 ^ : : : ^ An WYPOLNIMA.
RYMI OBOZNA^ENY SAMI WYSKAZYWANIQ.
3.1
nEPROTIWORE^IWOSTX
3.2
lOGI^ESKOE SLEDSTWIE
3.5
zADA^I
3.5.1 lOGI^ESKOE SLEDSTWIE
pUSTX A1 : : : An I B { WYSKAZYWANIQ.
wYSKAZYWANIE B NAZYWAETSQ LOGI^ESKIM SLEDST- 1. dOKAZATX, ^TO ESLI
WIEM SOWOKUPNOSTI WYSKAZYWANIJ A1 : : : An, ESLI FORKAVDOE WYSKAZYWANIE IZ SOWOKUPNOSTI ; SOMULA
DERVITSQ W SOWOKUPNOSTI ; , I
(A1 ^ : : : ^ An ) ! B
;`B
QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ.
eSLI ; { NEKOTORAQ SOWOKUPNOSTX WYSKAZYWANIJ, I
TO ; ` B.
WYSKAZYWANIE B QWLQETSQ LOGI^ESKIM SLEDSTWIEM SOWOKUPNOSTI ;, TO \TOT FAKT WYRAVAETSQ ZNAKOSO^ETANIEM 2. dOKAZATX \KWIWALENTNOSTX SOOTNOENIJ:
(a) ; ` A1 : : : ; ` An
;`B
(b) ; ` A1 ^ : : : ^ An
KOTOROE NAZYWAETSQ SEKWENCIEJ.
sOWOKUPNOSTX ; MOVET BYTX PUSTOJ, W \TOM SLU^AE 3. dOKAZATX \KWIWALENTNOSTX SOOTNOENIJ:
ZAPISX ; ` B OZNA^AET, ^TO WYSKAZYWANIE B LOGI^ES(a) ; A ` B
KI ISTINNO.
(b) ; ` A ! B
4. dOKAZATX \KWIWALENTNOSTX SOOTNOENIJ:
3.3
; A ` B
lOGI^ESKIM RASSUVDENIEM (ILI PROSTO RASSUVDE; B ` A
NIEM) NAZYWAETSQ POSLEDOWATELXNOSTX A1 : : : An WYSKAZYWANIJ, PERED NEKOTORYMI IZ KOTORYH STOIT SLO- 5. dOKAZATX \KWIWALENTNOSTX SOOTNOENIJ:
WO \SLEDOWATELXNO" (KOTOROE IGNORIRUETSQ PRI POSTRO(a) ; A1 ` B : : : ; An ` B
ENII FORMUL, SOOTWETSTWU@]IH \TIM WYSKAZYWANIQM).
0
0
lOGI^ESKOE RASSUVDENIE
16
(b) ; A1 _ : : : _ An ` B
6.
7.
8.
9.
3. (a) eSLI dVONS NE WSTRE^AL NO^X@ sMITA, TO LI-
GDE DLQ KAVDOJ SOWOKUPNOSTI ; I FORMULY A ZNAKOSO^ETANIE ; A OBOZNA^AET SOWOKUPNOSTX, SODERVA]U@ WSE FORMULY IZ ; I FORMULU A.
dOKAZATX \KWIWALENTNOSTX SOOTNOENIJ:
; A ` B I ; B ` A
; ` A$B
dOKAZATX \KWIWALENTNOSTX SOOTNOENIJ
(a) ; ` (A ! ?) ! ?
(b) ; ` A.
dOKAZATX, ^TO ESLI ; ` A I ; ` A ! B,
TO ; ` B.
dOKAZATX, ^TO ESLI A1 : : : An ` B, TO DLQ KAVDOJ PODSTANOWKI IMEET MESTO SOOTNOENIE
(A1 ) : : : (An ) ` (B)
3.5.2
lOGI^ESKOE RASSUVDENIE
BO
(b)
(c)
(d)
4. (a)
(b)
(c)
sMIT BYL UBIJCEJ, LIBO
dVONS LV<T.
eSLI sMIT NE BYL UBIJCEJ, TO
dVONS NE WSTRE^AL sMITA \TOJ NO^X@, I
UBIJSTWO IMELO MESTO POSLE POLUNO^I.
eSLI UBIJSTWO BYLO POSLE POLUNO^I, TO LIBO
sMIT BYL UBIJCEJ, LIBO
dVONS LV<T.
sLEDOWATELXNO, sMIT BYL UBIJCEJ.
eSLI KAPITALOWLOVENIQ OSTANUTSQ POSTOQNNYMI, TO
WOZRASTUT PRAWITELXSTWENNYE RASHODY,
ILI
WOZNIKNET BEZRABOTICA.
eSLI PRAWITELXSTWENNYE RASHODY NE WOZRASTUT, TO NALOGI BUDUT SNIVENY.
eSLI
NALOGI BUDUT SNIVENY, I
KAPITALOWLOVENIQ OSTANUTSQ POSTOQNNYMI,
TO BEZRABOTICA NE WOZNIKNET.
sLEDOWATELXNO, PRAWITELXSTWENNYE RASHODY
WOZRASTUT.
eSLI Q POEDU AWTOBUSOM, I AWTOBUS OPOZDAET,
TO Q OPOZDA@ NA RABOTU.
eSLI Q OPOZDA@ NA RABOTU, TO Q NE POPADUSX
NA GLAZA MOEMU NA^ALXNIKU.
eSLI Q NE SDELA@ W SROK WAVNU@ RABOTU, TO Q
NA^NU OGOR^ATXSQ I POPADUSX NA GLAZA MOEMU
NA^ALXNIKU.
sLEDOWATELXNO, ESLI Q POEDU AWTOBUSOM, A AWTOBUS OPOZDAET, TO Q SDELA@ W SROK WAVNU@
RABOTU.
wYQSNITX, QWLQ@TSQ LI SLEDU@]IE RASSUVDENIQ LOGI^ESKIMI PRAWILXNYMI.
1. (a) eSLI iWAN iWANOWI^ { KOMMUNIST, TO iWAN
iWANOWI^ { ATEIST.
(d)
(b) iWAN iWANOWI^ { ATEIST.
(c) sLEDOWATELXNO, iWAN iWANOWI^ { KOMMUNIST.
5. (a)
2. (a) eSLI STROITX PROTIWOATOMNYE UBEVI]A, TO
(b)
DRUGIE GOSUDARSTWA BUDUT ^UWSTWOWATXSEBQ W OPASNOSTI, A
NA NAROD POLU^IT LOVNOE PREDSTAWLE(c)
NIE O SWOEJ BEZOPASNOSTI.
(b) eSLI DRUGIE STRANY BUDUT ^UWSTWOWATX SEBQ
W OPASNOSTI, TO ONI SMOGUT NA^ATX PREWEN(d)
TIWNU@ WOJNU.
(c) eSLI NA NAROD POLU^IT LOVNOE PREDSTAWLENIE O SWOEJ BEZOPASNOSTI, TO ON OSLABIT SWOI
USILIQ, NAPRAWLENNYE NA SOHRANENIE MIRA. 3.5.3 nEPROTIWORE^IWOSTX
(d) eSLI VE NE STROITX PROTIWOATOMNYE UBEVI1. pROWERITX NEPROTIWORE^IWOSTX NABORA WYSKAZY]A, TO MY RISKUEM IMETX KOLOSSALXNYE POWANIJ.
TERI W SLU^AE WOJNY.
(a) lIBO SWIDETELX NE BYL ZAPUGAN, LIBO, ESLI
(e) sLEDOWATELXNO, LIBO
gENRI POKON^IL VIZNX SAMOUBIJSTWOM, TO ZA{ DRUGIE STRANY MOGUT NA^ATX PREWENPISKA BYLA NAJDENA.
TIWNU@ WOJNU, I
(b) eSLI SWIDETELX BYL ZAPUGAN, TO gENRI NE PO{ NA NAROD OSLABIT SWOI USILIQ, NAKON^IL VIZNX SAMOUBIJSTWOM.
PRAWLENNYE NA SOHRANENIE MIRA,
(c) eSLI ZAPISKA BYLA NAJDENA, TO gENRI POKONLIBO
^IL VIZNX SAMOUBIJSTWOM.
MY RISKUEM IMETX KOLOSSALXNYE POTERI
W SLU^AE WOJNY.
17
2. pROWERITX NEPROTIWORE^IWOSTX NABORA WYSKAZYWANIJ.
(a) eSLI WE^ER SKU^EN, TO ILI
aLISA NA^INAET PLAKATX, ILI
aNATOLX RASSKAZYWAET SMENYE ISTORII.
(b) eSLI sILXWESTR PRIHODIT NA WE^ER, TO ILI
WE^ER SKU^EN, ILI
aLISA NA^INAET PLAKATX.
(c) eSLI aNATOLX RASSKAZYWAET SMENYE ISTORII, TO aLISA NE NA^INAET PLAKATX.
(d) sILXWESTR PRIHODIT NA WE^ER TOGDA I TOLXKO
TOGDA, KOGDA aNATOLX NE RASSKAZYWAET SMENYE ISTORII.
(e) eSLI aLISA NA^INAET PLAKATX, TO aNATOLX
RASSKAZYWAET SMENYE ISTORII.
3. pROWERITX NEPROTIWORE^IWOSTX NABORA WYSKAZYWANIJ.
(a) eSLI
KURS CENNYH BUMAG RAST<T, ILI
PROCENTNAQ STAWKA SNIVAETSQ,
TO LIBO
PADAET KURS AKCIJ, LIBO
NALOGI NE POWYA@TSQ.
(b) kURS AKCIJ PONIVAETSQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
RAST<T KURS CENNYH BUMAG, I
NALOGI RASTUT.
(c) eSLI PROCENTNAQ STAWKA SNIVAETSQ, TO LIBO
KURS AKCIJ NE PONIVAETSQ, LIBO
KURS CENNYH BUMAG NE RAST<T.
(d) lIBO POWYA@TSQ NALOGI, LIBO
KURS AKCIJ PONIVAETSQ, I
SNIVAETSQ PROCENTNAQ STAWKA.
18
lEKCIQ 4
mETOD REZOL@CIJ DLQ lw
4.1
knf
4.2
mETOD REZOL@CIJ DLQ lw
lITERALOM NAZYWAETSQ FORMULA lw WIDA p ILI p GDE mETOD REZOL@CIJ DA<T OTWET NA WOPROS, QWLQETSQ LI
ANALIZIRUEMAQ FORMULA lw TAWTOLOGIEJ.
p { BULEWA PEREMENNAQ.
dIZ_@NKTOM NAZYWAETSQ DIZ_@NKCIQ NEKOTOROGO
MNOVESTWA LITERALOW. eSLI \TO MNOVESTWO PUSTO, TO 4.2.1 pONQTIE REZOLXWENTY
SOOTWETSTWU@]IJ EMU DIZ_@NKT NAZYWAETSQ PUSTYM.
fORMULA lw NAZYWAETSQ KON_@NKTIWNOJ NORMA- pUSTX ZADANA PARA DIZ_@NKTOW WIDA
LXNOJ FORMOJ (knf), ESLI ONA IMEET WID
p _ D1 p _ D2
(4.2)
D1 ^ : : : ^ Dk
GDE D1 : : : Dk { DIZ_@NKTY.
(4.1)
GDE p { BULEWA PEREMENNAQ, I D1 D2 { NEKOTORYE DIZ_@NKTY, TAKIE, ^TO D1 _ D2 6= 1 (T.E. SOWOKUPNOSTX LITERALOW, WHODQ]IH W D1 _ D2, NE SODERVIT PARY PROTIWOPOLOVNYH LITERALOW q q). oTMETIM, ^TO KAVDYJ IZ
DIZ_@NKTOW D1 D2 MOVET BYTX PUSTYM, I ESLI DIZ_@NKT PUST, TO ON PO OPREDELENI@ RAWEN FORMULE 0.
rEZOLXWENTOJ PARY (4.2) NAZYWAETSQ DIZ_@NKT, SOSTOQ]IJ IZ WSEH LITERALOW, KOTORYE WHODQT W D1 ILI
pRI POMO]I \KWIWALENTNYH ZAMEN KAVDU@ FORMULU
lw MOVNO PREOBRAZOWATX W \KWIWALENTNU@ EJ knf.
aLGORITM PRIWEDENIQ K WIDU knf SOSTOIT IZ PERE^ISLENNYH NIVE \TAPOW. kAVDYJ \TAP SOSTOIT IZ ZAMEN
PODFORMUL NA \KWIWALENTNYE IM, KOTORYE WYPOLNQ@TSQ DO TEH POR, POKA IH BUDET WOZMOVNO WYPOLNQTX. kOGDA WYPOLNENIE DEJSTWIJ, SWQZANNYH S TEKU]IM \TAPOM, D2 .
STANOWITSQ NEWOZMOVNYM, PROISHODIT PEREHOD K SLEDUoDNA PARA DIZ_@NKTOW MOVET IMETX NESKOLXKO RAZ@]EMU \TAPU.
LI^NYH REZOLXWENT, W ZAWISIMOSTI OT WYBORA PARY p p
UDALQEMYH PROTIWOPOLOVNYH LITERALOW W DANNYH DIZ_1. uDALENIE STRELOK.
@NKTAH.
(a) kAVDAQ PODFORMULA WIDA A $ B ZAMENQETSQ
NA (A ^ B) _ (A ^ B).
4.2.2 oPISANIE METODA REZOL@CIJ
(b) kAVDAQ PODFORMULA WIDA A ! B ZAMENQETSQ
pRIMENENIE METODA REZOL@CIJ K FORMULE A ZAKL@^ANA A _ B.
ETSQ W TOM, ^TO A PRIWODITSQ K knf, I SOSTAWLQETSQ
2. pRONESENIE OTRICANIJ K PEREMENNYM.
NABOR DIZ_@NKTOW, KOTORYJ SNA^ALA IMEET WID
(a) kAVDAQ PODFORMULA WIDA A ZAMENQETSQ NA A.
D1 : : : Dk
(4.3)
(b) kAVDAQ PODFORMULA WIDA A ^ B ZAMENQETSQ
(ESLI knf DLQ A IMEET WID (4.1)), A ZATEM K NEMU DONA A _ B.
REZOLXWENTY PROIZWOLXNYH PAR DIZ_@NKTOW
(c) kAVDAQ PODFORMULA WIDA A _ B ZAMENQETSQ BAWLQ@TSQ
IZ
TEKU]EGO
NABORA.
NA A ^ B.
pRI POSTROENII REZOLXWENT MOGUT ISPOLXZOWATXSQ
KAK ISHODNYE DIZ_@NKTY, TAK I DOBAWLENNYE.
3. wYNESENIE KON_@NKCIJ NARUVU.
eSLI K TEKU]EMU NABORU W NEKOTORYJ MOMENT DOBApODFORMULY WIDA (A ^ B) _ C ILI C _ (A ^ B)
WILSQ PUSTOJ DIZ_@NKT, TO A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ.
ZAMENQ@TSQ NA (A _ C) ^ (B _ C).
eSLI VE K TEKU]EMU NABORU NEWOZMOVNO DOBAWITX
4. uDALENIE LINIH SKOBOK.
NI ODNOJ NOWOJ REZOLXWENTY, I SREDI DIZ_@NKTOW TEKUpODFORMULY WIDA (A ^ B) ^ C ILI A ^ (B ^ C) ]EGO NABORA NET PUSTOGO DIZ_@NKTA, TO A NE QWLQETSQ
PEREPISYWA@TSQ W WIDE A ^ B ^ C, A PODFORMULY TAWTOLOGIEJ.
WIDA (A _ B) _ C ILI A _ (B _ C) { W WIDE A _ B _ C.
19
kORREKTNOSTX METODA REZOL@CIJ
rASSMOTRIM knf, SOSTOQ]U@ IZ NEKOTORYH REZOLXWENT
DIZ_@NKTOW PERWOJ I WTOROJ GRUPPY, A TAKVE IZ
sWOJSTWO KORREKTNOSTI METODA REZOL@CIJ ZAKL@^A- WSEH DIZ_@NKTOW
TRETXEJ GRUPPY:
ETSQ W TOM, ^TO ESLI W NEKOTORYJ MOMENT K TEKU]EMU
9
8
NABORU DOBAWILSQ PUSTOJ DIZ_@NKT, TO ANALIZIRUEMAQ
>> (D11 _ D12) ^ : : : ^ (D11 _ Dq2) >>
FORMULA A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ.
>=
>< : : :
dLQ DOKAZATELXSTWA \TOGO SWOJSTWA PREDPOLOVIM,
>> (Ds1 _ D12) ^ : : : ^ (Ds1 _ Dq2) >> (4.5)
^TO A { NE TAWTOLOGIQ, T.E. SU]ESTWUET OZNA^IWANIE
>
>: D3
, TAKOE, ^TO (A) = 0, OTKUDA SLEDUET, ^TO (A) = 1.
^ : : : ^ Dr3
1
t.K. A \KWIWALENTNA SWOEJ knf (4.1), TO
eSLI HOTQ BY ODIN IZ DIZ_@NKTOW, WHODQ]IH W (4.5),
(D1 ^ : : : ^ Dk ) = 1
(4.4)
QWLQETSQ PUSTYM, TO TREBUEMOE UTWERVDENIE DOKAZAT.E. DLQ KAVDOGO DIZ_@NKTA Di IZ ISHODNOGO NABORA NO. eSLI WSE ONI NEPUSTY, TO DOKAVEM, ^TO (4.5) RAWNA
(4.3) IMEET MESTO SOOTNOENIE (Di ) = 1.
0. zAMETIM, ^TO, POSKOLXKU ^ISLO PEREMENNYH W (4.5)
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO ESLI PARA DIZ_@NKTOW BYLA MENXE, ^EM W (4.1), TO, PO INDUKTIWNOMU PREDPOLOVEISTINNOJ PRI OZNA^IWANII , TO IH REZOLXWENTA TOVE NI@, IZ DIZ_@NKTOW, WHODQ]IH W (4.5), MOVNO WYWESTI
QWLQETSQ ISTINNOJ PRI OZNA^IWANII . sLEDOWATELXNO, PUSTOJ DIZ_@NKT, A POSKOLXKU KAVDYJ IZ NIH LIBO WHOWSE DIZ_@NKTY, KOTORYE BYLI DOBAWLENY K PERWONA- DIT W (4.3), LIBO QWLQETSQ REZOLXWENTOJ DIZ_@NKTOW IZ
^ALXNOMU NABORU (4.3), ISTINNY PRI OZNA^IWANII . (4.3), TO IZ (4.3) TOVE MOVNO WYWESTI PUSTOJ DIZ_@NKT.
pO PREDPOLOVENI@, W NEKOTORYJ MOMENT K TEKU]EpREDPOLOVIM, ^TO (4.5) NE RAWNA 0. tOGDA SU]ESTWUMU NABORU DOBAWILSQ PUSTOJ DIZ_@NKT.
ET OZNA^IWANIE PEREMENNYH IZ SPISKA p2 : : : pn, PRI
pUSTOJ DIZ_@NKT MOVET BYTX POLU^EN TOLXKO IZ KOTOROM WSE DIZ_@NKTY, WHODQ]IE W (4.5), IME@T ZNATAKOJ PARY (4.2), W KOTOROJ DIZ_@NKTY D1 I D2 QWLQ- ^ENIE 1.
@TSQ PUSTYMI. sLEDOWATELXNO, SREDI DIZ_@NKTOW, KOwOZMOVEN ODIN IZ DWUH SLU^AEW:
TORYE BYLI DOBAWLENY K PERWONA^ALXNOMU NABORU (4.3),
(D11 ) = : : : = (Ds1 ) = 1
(4.6)
SODERVATSQ DIZ_@NKTY WIDA p I p, GDE p { BULEWA PEREMENNAQ.
(D12 ) = : : : = (Dq2 ) = 1
(4.7)
kAK OTME^ENO WYE, OBA \TIH DIZ_@NKTA (p I p)
DOLVNY BYTX ISTINNYMI PRI OZNA^IWANII . sOGLASNO T.K. ESLI NEWERNO NI (4.6), NI (4.7), TO DLQ NEKOTORYH i
NAIM OPREDELENIQM, TAKOGO NE MOVET BYTX. sLEDOWA- I j IMEET MESTO SOOTNOENIE
TELXNO, NAE PREDPOLOVENIE O TOM, ^TO A { NE TAWTO(Di1 _ Dj2 ) = 0
LOGIQ, QWLQETSQ OIBO^NYM.
KOTOROE PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@ O TOM, ^TO WSE
DIZ_@NKTY, WHODQ]IE W (4.5), QWLQ@TSQ ISTINNYMI NA
4.2.4 pOLNOTA METODA REZOL@CIJ
.
pOLNOTA METODA REZOL@CIJ ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO OZNA^IWANII
dOOPREDELIM
DO OZNA^IWANIQ PEREMENNYH IZ SPISESLI ANALIZIRUEMAQ FORMULA A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, KA p : : : p , POLAGAQ
(p1 ) def
= 0, ESLI IMEET MESTO (4.6),
1
n
TO IZ NABORA (4.3), MOVNO WYWESTI PUSTOJ DIZ_@NKT.
def
eSLI A { TAWTOLOGIQ, TO A = 0. pOSKOLXKU FORMULA I (p1 ) = 1, ESLI IMEET MESTO (4.7). nETRUDNO WIDETX,
^TO PRI TAKOM OZNA^IWANII WSE DIZ_@NKTY IZ NABORA
(4.1) \KWIWALENTNA A, TO ONA TOVE RAWNA 0.
dOKAVEM, ^TO ESLI NEKOTORAQ FORMULA WIDA (4.1) (4.3) PRINIMA@T ZNA^ENIE 1, ^TO PROTIWORE^IT PREDPORAWNA 0, TO IZ NABORA (4.3) WHODQ]IH W NE< DIZ_@NKTOW LOVENI@ O TOM, ^TO FORMULA (4.1) RAWNA 0.
MOVNO WYWESTI PUSTOJ DIZ_@NKT. |TO SWOJSTWO BUDET
DOKAZYWATXSQ INDUKCIEJ PO ^ISLU PEREMENNYH W (4.1). 4.3
pUSTX (4.1) SODERVIT TOLXKO ODNU PEREMENNU@ p. eSLI ONA RAWNA 0, TO \TO WOZMOVNO TOLXKO TOGDA, KOGDA 1. dOKAZATX, ^TO METOD REZOL@CIJ OBLADAET SWOJSTD1 = p I D2 = p. o^EWIDNO, ^TO IZ \TOJ PARY MOVNO
WOM ZAWERAEMOSTI, T.E. PRI L@BOM SPOSOBE POWYWESTI PUSTOJ DIZ_@NKT.
STROENIQ REZOLXWENT POSLE KONE^NOGO ^ISLA AGOW
pUSTX TEPERX (4.1) SODERVIT n BULEWYH PEREMENNYH
WYDA<T OTWET, QWLQETSQ LI ANALIZIRUEMAQ FORMUp1 : : : pn (GDE n > 1). wSE DIZ_@NKTY IZ SOWOKUPNOSTI
LA A TAWTOLOGIEJ, ILI NET. oCENITX ^ISLO \TIH
(4.3) MOVNO RAZDELITX NA SLEDU@]IE 3 GRUPPY:
AGOW W ZAWISIMOSTI OT ^ISLA PEREMENNYH, WHODQ]H W A.
1
1
p1 _ D1 : : : p1 _ Ds
2. rEITX METODOM REZOL@CIJ WSE ZADA^I IZ GLAWY
p1 _ D12 : : : p1 _ Dq2
2, W KOTORYH TREBUETSQ PROWERITX, QWLQETSQ LI
D13 : : : Dr3
NEKOTORAQ FORMULA lw TAWTOLOGIEJ ILI WYPOLNIMOJ FORMULOJ.
(i)
GDE WSE PODDIZ_@NKTY WIDA Dj NE SODERVAT p1 .
4.2.3
zADA^I
20
lEKCIQ 5
wWEDENIE W TEORI@ MNOVESTW
5.1
pONQTIE MNOVESTWA
eSLI MNOVESTWO M QWLQETSQ KONE^NYM, I SOSTOIT IZ
\LEMENTOW a1, a2 : : :, an , TO DANNYJ FAKT OBOZNA^AETSQ
ZNAKOSO^ETANIEM
M = fa1 a2 : : : ang:
(5.1)
pORQDOK PERE^ISLENIQ \LEMENTOW MNOVESTWA M W ZAPISI (5.1) NE IMEET NIKAKOGO ZNA^ENIQ. kROME TOGO,
NE IMEET NIKAKOGO ZNA^ENIQ NALI^IE LINIH KOPIJ W
SPISKE (5.1): DAVE ESLI NEKOTORYJ \LEMENT ai WSTRE^AETSQ W \TOM SPISKE NESKOLXKO RAZ, W MNOVESTWO M ON
WS< RAWNO WHODIT TOLXKO W ODNOM \KZEMPLQRE.
mNOVESTWO MOVET SOSTOQTX TOLXKO IZ ODNOGO \LEMENTA, T.E. IMETX WID fag, GDE a { NEKOTORYJ OB_EKT.
nE SLEDUET S^ITATX ODINAKOWYMI SAM OB_EKT a I MNOVESTWO fag. w ^ASTNOSTI, UTWERVDENIE a 2 fag QWLQETSQ
ISTINNYM, W TO WREMQ KAK UTWERVDENIE a 2 a { ABSURDNO. kROME TOGO, fag 2 ffagg NO NEWERNO, ^TO a 2 ffagg,
POSKOLXKU EDINSTWENNYM \LEMENTOM MNOVESTWA ffagg
QWLQETSQ MNOVESTWO fag.
pRIMEROM BESKONE^NOGO MNOVESTWA QWLQETSQ SOWOKUPNOSTX N WSEH NATURALXNYH ^ISEL:
N = f1 2 3 : ::g
pOD MNOVESTWOM PONIMAETSQ PROIZWOLXNAQ SOWOKUPNOSTX KAKIH-LIBO OB_EKTOW, NAPRIMER
SOWOKUPNOSTX WSEH MATEMATIKOW W rOSSII, ILI
SOWOKUPNOSTX WSEH ZW<ZD WO wSELENNOJ.
oB_EKTY, IZ KOTORYH SOSTOIT MNOVESTWO, NAZYWA@TSQ
EGO \LEMENTAMI.
tOT FAKT, ^TO OB_EKT a QWLQETSQ \LEMENTOM MNOVESTWA M, OBOZNA^AETSQ ZNAKOSO^ETANIEM a 2 M, KOTOROE
^ITAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
\a PRINADLEVIT MNOVESTWU M".
eSLI OB_EKT a NE QWLQETSQ \LEMENTOM MNOVESTWA M,
TO DANNYJ FAKT ZAPISYWAETSQ ZNAKOSO^ETANIEM a 62 M,
KOTOROE ^ITAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
\a NE PRINADLEVIT MNOVESTWU M".
|LEMENTY MNOVESTWA SAMI MOGUT QWLQTXSQ MNOVESTWAMI. nAPRIMER, PUSTX M ESTX MNOVESTWO GRUPP STUDENTOW. w DANNOM SLU^AE \LEMENTAMI M QWLQ@TSQ GRUPPY (A NE SAMI STUDENTY). |LEMENTAMI KAVDOJ GRUPPY 5.2.2 uKAZANIE SWOJSTWA
QWLQ@TSQ STUDENTY.
dRUGOJ SPOSOB OPREDELITX MNOVESTWO { UKAZATX SWOJSTWO, WYDELQ@]EE \LEMENTY OPREDELQEMOGO MNOVESTWA
SREDI \LEMENTOW NEKOTOROGO MNOVESTWA.
5.2
pUSTX IME@TSQ NEKOTOROE MNOVESTWO A, I NEKOTOROE
SWOJSTWO
P, TAKOE, ^TO DLQ KAVDOGO \LEMENTA a MNOVES5.2.1 pERE^ISLENIE
TWA
A MOVNO USTANOWITX, OBLADAET LI a SWOJSTWOM P ,
mNOVESTWO MOVNO ZADATX NAPRIMER PUT<M PERE^ISLENET.
NIQ WSEH OB_EKTOW, KOTORYE QWLQ@TSQ EGO \LEMENTAMI. ILIzNAKOSO^ETANIE
nAPRIMER, MNOVESTWO WSEH ARABSKIH CIFR MOVNO ZADATX PUT<M PERE^ISLENIQ WSEH PRINADLEVA]IH EMU \LEfx 2 A j a OBLADAET SWOJSTWOM P g
(5.2)
MENTOW:
OBOZNA^AET MNOVESTWO, \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ
1 2 3 4 5678 9 0
WSE \LEMENTY MNOVESTWA A, OBLADA@]IE SWOJSTWOM P .
dANNYJ SPOSOB ZADANIQ GODITSQ NE DLQ WSEH MNOnAPRIMER, PUSTX
VESTW. mNOVESTWA, KOTORYE MOVNO ZADATX PUT<M PEREA { MNOVESTWO WSEH CELYH ^ISEL, I
^ISLENIQ WSEH WHODQ]IH W NIH \LEMENTOW, NAZYWA@TSQ KONE^NYMI. wSE OSTALXNYE MNOVESTWA NAZYWA@TSQ
P ESTX SWOJSTWO DELIMOSTI NACELO NA 2.
BESKONE^NYMI.
tOGDA (5.2) ESTX MNOVESTWO WSEH ^<TNYH ^ISEL.
sPOSOBY ZADANIQ MNOVESTW
21
5.3
5.3.1
pODMNOVESTWA
5.4
pONQTIE PODMNOVESTWA
mNOVESTWO A NAZYWAETSQ PODMNOVESTWOM MNOVESTWA
B, ESLI KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA A QWLQETSQ \LEMENTOM MNOVESTWA B.
eSLI A QWLQETSQ PODMNOVESTWOM B, TO \TOT FAKT
ZAPISYWAETSQ ZNAKOSO^ETANIEM A B. eSLI IMEET MESTO A B, TO GOWORQT TAKVE, ^TO A SODERVITSQ (ILI
WKL@^AETSQ) W B, A B SODERVIT (ILI WKL@^AET) A.
mNOVESTWO A NAZYWAETSQ SOBSTWENNYM PODMNOVESTWOM MNOVESTWA B, ESLI A B I A =6 B.
mY BUDEM S^ITATX MNOVESTWA A I B ODINAKOWYMI
(I OBOZNA^ATX \TOT FAKT ZNAKOSO^ETANIEM A = B), ESLI
IME@T MESTO SOOTNOENIQ
AB I BA
(5.3)
T.E. ESLI A I B SOSTOQT IZ ODNIH I TEH VE \LEMENTOW.
nAPRIMER, SLEDU@]IE MNOVESTWA A I B QWLQ@TSQ
ODINAKOWYMI:
A def
= fx 2 R j sin(x) = 1g
I
B def
= fx 2 R j x = 2 + 2k k 2 Zg
GDE R { MNOVESTWO WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL, I Z {
MNOVESTWO WSEH CELYH ^ISEL.
5.3.2
pUSTOE MNOVESTWO
mY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO SU]ESTWUET EDINSTWENNOE MNOVESTWO, TAKOE, ^TO NIKAKOJ OB_EKT NE QWLQETSQ
EGO \LEMENTOM. dANNOE MNOVESTWO NAZYWAETSQ PUSTYM
MNOVESTWOM, I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM .
iZ OPREDELENIQ OTNOENIQ WKL@^ENIQ WYTEKAET, ^TO
DLQ KAVDOGO MNOVESTWA A IMEET MESTO SOOTNOENIE
A
zAMETIM, ^TO MNOVESTWO fg NE QWLQETSQ PUSTYM,
T.K. ONO SODERVIT ODIN \LEMENT. dANNYJ \LEMENT QWLQETSQ PUSTYM MNOVESTWOM.
oPERACII NAD MNOVESTWAMI
5.4.1
oPERACII NAD PAROJ MNOVESTW
5.4.2
oPERACII NAD SEMEJSTWAMI MNOVESTW
pUSTX ZADANA PARA MNOVESTW A B.
pERESE^ENIE MNOVESTW A I B { \TO MNOVESTWO,
OBOZNA^AEMOE ZNAKOSO^ETANIEM A \ B, I OPREDELQEMOE
SLEDU@]IM OBRAZOM:
A \ B def
= fx j x 2 A I x 2 B g:
oB_EDINENIE MNOVESTW A I B { \TO MNOVESTWO,
OBOZNA^AEMOE ZNAKOSO^ETANIEM A B, I OPREDELQEMOE
SLEDU@]IM OBRAZOM:
A B def
= fx j x 2 A ILI x 2 B g:
rAZNOSTX MNOVESTW A I B { \TO MNOVESTWO, OBOZNA^AEMOE ZNAKOSO^ETANIEM A n B, I OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRAZOM:
A n B def
= fx j x 2 A I x 62 B g:
pUSTX = { NEKOTOROE MNOVESTWO, \LEMENTY KOTOROGO NAZYWA@TSQ INDEKSAMI.
={INDEKSIROWANNOE SEMEJSTWO MNOVESTW { \TO
NEKOTORAQ SOWOKUPNOSTX MNOVESTW, TAKAQ, ^TO S KAVDYM INDEKSOM i 2 = SWQZANO NEKOTOROE MNOVESTWO Ai
IZ DANNOJ SOWOKUPNOSTI. dOPUSKAETSQ, ^TO DLQ RAZNYH
INDEKSOW i j 2 = MNOVESTWA Ai I Aj IZ SEMEJSTWA (5.5)
MOGUT SOWPADATX.
={INDEKSIROWANNOE SEMEJSTWO MNOVESTW OBOZNA^AETSQ ZNAKOSO^ETANIEM WIDA
(Ai j i 2 =)
(5.5)
pERESE^ENIEM SEMEJSTWA (5.5) NAZYWAETSQ MNOVESTWO, OBOZNA^AEMOE SIMWOLOM T Ai , I OPREDELQEMOE
i
SLEDU@]IM OBRAZOM:
\ def
Ai = fx j DLQ L@BOGO i 2 = x 2 Ai g:
2=
i2=
oB_EDINENIEM SEMEJSTWA (5.5) NAZYWAETSQ MNOVESTWO, OBOZNA^AEMOE SIMWOLOM S Ai , I OPREDELQEMOE
i
pUSTX ZADANO NEKOTOROE MNOVESTWO A.
SLEDU@]IM OBRAZOM:
mNOVESTWO
def
fB j B Ag
(5.4)
Ai = fx j SU]ESTWUET i 2 = TAKOJ, ^TO x 2 Aig:
i
\LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ PODMNOVESTWA MNOVESTWA A, OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM 2A .
w TOM SLU^AE, KOGDA MNOVESTWO INDEKSOW = QWLQETSQ
nAPRIMER, ESLI A = f1 2 3g TO
KONE^NYM I IMEET WID f1 2 : : : ng, MNOVESTWA T Ai I
S A MOGUT OBOZNA^ATXSQ ZNAKOSO^ETANIQMI i
2A = f f1g f2g f3g f12g f13g f23g f123gg
i
i
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO ESLI MNOVESTWO A QWLQETSQ
A1 \ : : : \ An I A1 : : : An
KONE^NYM I SOSTOIT IZ n \LEMENTOW, TO MNOVESTWO 2A
TOVE QWLQETSQ KONE^NYM I SOSTOIT IZ 2n \LEMENTOW. SOOTWETSTWENNO.
5.3.3
mNOVESTWO WSEH PODMNOVESTW
2=
2=
2=
2=
22
5.5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
zADA^I
A n (A n B) = A \ B
A n B = A n (A \ B)
dOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH MNOVESTW A B C
A \ (B n C) = (A \ B) n (A \ C)
(a) A A
A \ (B n C) = (A \ B) n C
(b) ESLI A B I B C, TO A C
(A n B) n C = (A n C) n (B n C)
(c) A \ B A
A B = A (B n A)
(d) A \ B B
A \ (B n A) = (e) A A B
(A B) n C = (A n C) (B n C)
(f) B A B
A n (B n C) = (A n B) (A \ C)
(A n B) n C = A n (B C)
(g) A n B A
10. dOKAZATX, ^TO
dOKAZATX, ^TO 6= fg.
(a) A B C , A C I B C
dOKAZATX, ^TO ff1 2g f2 3gg 6= f1 2 3g.
(b) A B \ C , A B I A C
dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO MNOVESTWA A
(c) (A n B) B = A , B A
(a) ESLI A , TO A = (d) (A \ B) C = A \ (B C) , C A
(b) A \ = (e) A B ) (A C) (B C)
(c) A = A
(f) A B ) (A \ C) (B \ C)
(g)
A B ) (A n C) (B n C)
dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET LIX ODNO MNOVESTWO,
NE IME@]EE \LEMENTOW.
(h) A B ) (C n B) (C n A)
(i) A B = A \ B , A = B
sU]ESTWU@T LI MNOVESTWA A B C, TAKIE ^TO
(j) A = B , (A n B) (B n A) = A \ B 6= A \ C = (A \ B) n C = 11. dOKAZATX, ^TO MNOVESTWO IZ n \LEMENTOW IMEET 2n
PODMNOVESTW.
dOKAZATX, ^TO SLEDU@]IE SOOTNOENIQ \KWIWALENTNY:
12. nAJTI WSE PODMNOVESTWA MNOVESTW
(a) A B
fg fxg f1 2g
(b) A B = B
13. dOKAZATX, ^TO
(c) A \ B = A
(a) 2A B = 2A \ 2B
(d) A n B = (b) 2A B = fA1 B1 j A1 2 2A B1 2 2B g
dOKAZATX SLEDU@]IE TOVDESTWA:
14. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH MNOVESTW A1 : : : An
(a) A A = A \ A = A
ESLI A1 A2 : : : An A1
(b) A \ B = B \ A
TO A1 = A2 = : : : = An
(c) A B = B A
15. rEITX SISTEMU URAWNENIJ
(d) A \ (B \ C) = (A \ B) \ C
A\X = B
(e) A (B C) = (A B) C
AX = C
(f) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C)
(g) A (B \ C) = (A B) \ (A C)
GDE A B I C { ZADANNYE MNOVESTWA, I
(h) (A \ B) (C \ D) =
B A A C
(A C) \ (B C) \ (A D) \ (B D)
16. rEITX SISTEMU URAWNENIJ
(i) A (A \ B) = A
AnX =B
(j) A \ (A B) = A
X nA =C
dOKAZATX SLEDU@]IE TOVDESTWA:
GDE A B I C { ZADANNYE MNOVESTWA, I
(a) A n (B C) = (A n B) \ (A n C)
B A A \ C = (b) A n (B \ C) = (A n B) (A n C)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
\
8.
9.
23
17. rEITX SISTEMU URAWNENIJ
AnX = B
AX = C
GDE A B I C { ZADANNYE MNOVESTWA, I
B A A C
18. rEITX SISTEMY URAWNENIJ
AX = B \X
(a) A \ X = C X
AnX = X nB
(b) X n A = C n X
A\X = B nX
(c) C X = X n A
pRI KAKIH A B C \TI SISTEMY IME@T REENIE?
19. dOKAZATX, ^TO DLQ SEMEJSTWA (Ai j i 2 =) I PROIZWOLXNOGO MNOVESTWA B IMEET MESTO SOOTNOENIE
DLQ KAVDOGO i 2 = Ai B
,
i2=
Ai B
20. dOKAZATX, ^TO DLQ SEMEJSTWA (Ai j i 2 =) I PROIZWOLXNOGO MNOVESTWA B IMEET MESTO SOOTNOENIE
DLQ KAVDOGO i 2 = B Ai
, B
\
i2=
Ai
21. eSLI SEMEJSTWA (Ai j i 2 =) I (Bi j i 2 =) TAKOWY,
^TO DLQ KAVDOGO i 2 = Ai Bi , TO
\
i2=
Ai \
i2=
Bi I
i2=
Ai i2=
Bi
24
lEKCIQ 6
oTNOENIQ I FUNKCII
6.1
sPISKI
sPISKOM NAZYWAETSQ UPORQDO^ENNAQ SOWOKUPNOSTX OB_EKTOW
6.3
6.3.1
bINARNYE OTNOENIQ
pONQTIE BINARNOGO OTNOENIQ
pUSTX ZADANO NEKOTOROE MNOVESTWO A.
bINARNOE OTNOENIE NA MNOVESTWE A (NAZYWAEMOE NIVE PROSTO OTNOENIEM) { \TO PROIZWOLXNOE
PODMNOVESTWO R MNOVESTWA A2 .
oTNOENIE R A2 MOVNO IZOBRAZITX W WIDE GRAFA,
WERINAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ \LEMENTY MNOVESTWA A:
DLQ KAVDOJ PARY a b WERIN DANNYJ GRAF SODERVIT
REBRO IZ a W b TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA (a b) 2 R.
nIVE MNOVESTWO A PREDPOLAGAETSQ FIKSIROWANNYM,
I WSE RASSMATRIWAEMYE OTNOENIQ QWLQ@TSQ BINARNYMI OTNOENIQMI NA MNOVESTWE A.
dLQ PROIZWOLXNOJ PARY (a b) 2 A2 UTWERVDENIE O
TOM, ^TO DANNAQ PARA PRINADLEVIT OTNOENI@ R, ZAPISYWA@T ZNAKOSO^ETANIEM R(a b) ILI aRb.
6.2
oTNOENIE, SOSTOQ]EE IZ WSEH PAR WIDA (a a), GDE
a 2 A, OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM idA .
pUSTX ZADAN NEKOTORYJ SPISOK MNOVESTW
eSLI R { BINARNOE OTNOENIE NA A, TO DLQ KAVDOGO
a
2
A SIMWOL R(a) OBOZNA^AET MNOVESTWO, SOSTOQ]EE
(A1 : : : An)
(6.2) IZ WSEH
b 2 A, TAKIH, ^TO (a b) 2 R. eSLI IZOBRAVATX
R W WIDE GRAFA, TO MNOVESTWO R(a) SOSTOIT
dEKARTOWYM PROIZWEDENIEM \TOGO SPISKA NAZYWA- OTNOENIE
IZ KONCOW R<BER c NA^ALOM W a.
ETSQ MNOVESTWO, OBOZNA^AEMOE ZNAKOSO^ETANIEM
A1 : : : An
(6.3) 6.3.2 oPERACII NA OTNOENIQH
I SOSTOQ]EE IZ WSEH SPISKOW WIDA (a1 : : : an), GDE DLQ dLQ KAVDOJ PARY OTNOENIJ R1 R2
KAVDOGO i = 1 : : : n ai 2 Ai .
PERESE^ENIE R1 \ R2 SOSTOIT IZ WSEH PAR (a b),
nAPRIMER, ESLI n = 2 A1 = f1 2g A2 = f3 4g, TO
KOTORYE PRINADLEVAT ODNOWREMENNO R1 I R2
MNOVESTWO A1 A2 IMEET WID
OB_EDINENIE R1 R2 SOSTOIT IZ WSEH PAR (a b),
f(1 3) (2 3) (14) (2 4)g
KAVDAQ IZ KOTORYH PRINADLEVIT R1 ILI R2
eSLI WSE MNOVESTWA W SPISKE (6.2) SOWPADA@T, T.E.
PROIZWEDENIE R1 R2 SOSTOIT IZ WSEH PAR (a b),
A1 = : : : = An = A, TO MNOVESTWO (6.3) MOVNO OBOZNADLQ KAVDOJ IZ KOTORYH SU]ESTWUET \LEMENT c, TA^ATX SIMWOLOM An .
KOJ, ^TO (a c) 2 R1 I (c b) 2 R2.
eSLI HOTQ BY ODNO IZ MNOVESTW, WHODQ]IH W SPISOK
dLQ KAVDOGO OTNOENIQ R
(6.2), QWLQETSQ PUSTYM, TO DEKARTOWO PROIZWEDENIE (6.3)
PO OPREDELENI@ QWLQETSQ ODNO\LEMENTNYM MNOVESTWOM
EGO DOPOLNENIE R SOSTOIT IZ WSEH PAR IZ A2 , NE
f1g. aNALOGI^NYJ WID IMEET DEKARTOWO PROIZWEDENIE
PRINADLEVA]IH R
PUSTOGO SPISKA MNOVESTW.
OBRATNYM K R NAZYWAETSQ OTNOENIE R 1, SOoTNOENIEM NA (6.2) NAZYWAETSQ PROIZWOLXNOE PODSTOQ]EE IZ WSEH PAR (a b), TAKIH, ^TO (b a) 2 R.
MNOVESTWO R DEKARTOWA PROIZWEDENIQ (6.3).
(O1 : : : On)
(6.1)
PRI^<M NEKOTORYE IZ \TIH OB_EKTOW MOGUT SOWPADATX.
pORQDOK SLEDOWANIQ ^LENOW SPISKA WAVEN, T.E. SPISKI
(O1 : : : On) I (O1 : : : On)
S^ITA@TSQ RAWNYMI TOLXKO W TOM SLU^AE, KOGDA
DLQ KAVDOGO i = 1 : : : n Oi = Oi
sPISOK (6.1) MOVET BYTX PUSTYM, T.E. IMETX WID
()
0
0
0
dEKARTOWY PROIZWEDENIQ
;
25
6.3.3
sPECIALXNYE BINARNYE OTNOENIQ
oTNOENIE R A NAZYWAETSQ
REFLEKSIWNYM, ESLI idA R,
T.E. DLQ KAVDOGO a 2 A (a a) 2 R
IRREFLEKSIWNYM, ESLI idA \ R = ,
T.E. DLQ KAVDOGO a 2 A (a a) 62 R
SIMMETRI^NYM, ESLI R 1 = R,
T.E. ESLI (a b) 2 R, TO (b a) 2 R
ANTISIMMETRI^NYM, ESLI R \ R 1 idA,
T.E. ESLI (a b) 2 R I (b a) 2 R, TO a = b
TRANZITIWNYM, ESLI R R R,
T.E. ESLI (a b) 2 R I (b c) 2 R, TO (a c) 2 R
2
6.3.5
;
;
6.3.4
|KWIWALENTNOSTI
sOWOKUPNOSTX WSEH KLASSOW RAZBIENIQ MNOVESTWA A,
POROVDAEMOGO \KWIWALENTNOSTX@ R, OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM A=R, I NAZYWAETSQ FAKTOR-MNOVESTWOM MNOVESTWA A OTNOSITELXNO \KWIWALENTNOSTI R. dLQ KAVDOGO \LEMENTA a 2 A SIMWOL a] OBOZNA^AET TOT KLASS IZ
A=R, KOTOROMU PRINADLEVIT a. |LEMENT a NAZYWAETSQ
PREDSTAWITELEM \TOGO KLASSA.
bINARNOE OTNOENIE R A2 NAZYWAETSQ OTNOENIEM \KWIWALENTNOSTI (ILI PROSTO \KWIWALENTNOSTX@), ESLI ONO QWLQETSQ ODNOWREMENNO REFLEKSIWNYM,
SIMMETRI^NYM, I TRANZITIWNYM.
kAVDAQ \KWIWALENTNOSTX R A2 POROVDAET NEKOTOROE RAZBIENIE MNOVESTWA A, GDE POD RAZBIENIEM A
PONIMAETSQ SEMEJSTWO
S = fAi j i 2 =g
(6.4)
NEPUSTYH PODMNOVESTW MNOVESTWA A (NAZYWAEMYH KLASSAMI RAZBIENIQ), TAKOE, ^TO KAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA A PRINADLEVIT ROWNO ODNOMU IZ \TIH KLASSOW.
kAVDYJ KLASS RAZBIENIQ, KOTOROE SOOTWETSTWUET OTNOENI@ \KWIWALENTNOSTI R, IMEET WID R(a), GDE a {
PROIZWOLXNYJ \LEMENT MNOVESTWA A. dOKAVEM, ^TO SEMEJSTWO PODMNOVESTW WIDA R(a) DEJSTWITELXNO OBRAZUET RAZBIENIE.
kAVDYJ \LEMENT a 2 A PRINADLEVIT NEKOTOROMU
IZ \TIH PODMNOVESTW, A IMENNO - R(a), POTOMU ^TO
R { REFLEKSIWNO.
|LEMENT a 2 A NE MOVET PRINADLEVATX DWUM RAZLI^NYM PODMNOVESTWAM R(b) I R(c), POTOMU ^TO
ESLI a 2 R(b) I a 2 R(c), T.E. (b a) 2 R I (c a) 2 R,
TO (a b) 2 R (T.K. R { SIMMETRI^NO), I, SLEDOWATELXNO, (c b) 2 R (T.K. R { TRANZITIWNO).
pO\TOMU, ESLI d 2 R(b), T.E. (b d) 2 R, TO IZ
TRANZITIWNOSTI R SLEDUET, ^TO (c d) 2 R, T.E.
d 2 R(c). tAKIM OBRAZOM, R(b) R(c), I ANALOGI^NO DOKAZYWAETSQ, ^TO R(c) R(b). sLEDOWATELXNO,
PODMNOVESTWA R(b) I R(c) SOWPADA@T.
oBRATNO, KAVDOE RAZBIENIE S WIDA (6.4) POROVDAET \KWIWALENTNOSTX NA A, PRI KOTOROJ \LEMENTY \KWIWALENTNY, ESLI ONI PRINADLEVAT ODNOMU I TOMU VE KLASSU
RAZBIENIQ S.
nETRUDNO WIDETX, ^TO DANNYE PEREHODY (OT \KWIWALENTNOSTI K RAZBIENI@ I OT RAZBIENIQ K \KWIWALENTNOSTI) QWLQ@TSQ WZAIMNO OBRATNYMI.
~ASTI^NYE PORQDKI
bINARNOE OTNOENIE NA MNOVESTWE A NAZYWAETSQ
KWAZIPORQDKOM, ESLI ONO QWLQETSQ ODNOWREMENNO REFLEKSIWNYM, I TRANZITIWNYM
^ASTI^NYM PORQDKOM (ILI PROSTO PORQDKOM),
ESLI ONO QWLQETSQ ODNOWREMENNO REFLEKSIWNYM,
ANTISIMMETRI^NYM, I TRANZITIWNYM.
pORQDOK OBY^NO OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM . mY BUDEM PISATX a < b, ESLI a b I a =
6 b.
oTNOENIE 1 OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM . oNO TOVE QWLQETSQ PORQDKOM, I NAZYWAETSQ DWOJSTWENNYM K
PORQDKU .
pORQDOK NA MNOVESTWE A NAZYWAETSQ LINEJNYM,
ESLI DLQ L@BYH a b 2 A LIBO a b, LIBO b a.
mNOVESTWO A, NA KOTOROM ZADAN ^ASTI^NYJ PORQDOK, NAZYWAETSQ ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYM (OTNOSITELXNO DANNOGO ^ASTI^NOGO PORQDKA). eSLI DANNYJ ^ASTI^NYJ PORQDOK QWLQETSQ LINEJNYM, TO A NAZYWAETSQ
LINEJNO UPORQDO^ENNYM (OTNOSITELXNO DANNOGO LINEJNOGO PORQDKA).
pUSTX NA MNOVESTWE A ZADAN ^ASTI^NYJ PORQDOK
A2 . kAVDOE PODMNOVESTWO A A MOVET RASSMATRIWATXSQ KAK ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO, PORQDOK NA KOTOROM INDUCIROWAN PORQDKOM NA A, T.E.
DLQ KAVDOJ PARY a b \LEMENTOW PODMNOVESTWA A MY
POLAGAEM, ^TO a b, ESLI PARA (a b) PRINADLEVIT OTNOENI@ ^ASTI^NOGO PORQDKA NA A. pODMNOVESTWO
A NAZYWAETSQ CEPX@ W A, ESLI ONO QWLQETSQ LINEJNO UPORQDO^ENNYM OTNOSITELXNO \TOGO INDUCIROWANNOGO PORQDKA.
|LEMENT a ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA A
NAZYWAETSQ
MAKSIMALXNYM, ESLI DLQ KAVDOGO b 2 A IZ TOGO,
^TO a b SLEDUET, ^TO a = b
MINIMALXNYM, ESLI DLQ KAVDOGO b 2 A IZ TOGO,
^TO b a SLEDUET, ^TO b = a
NAIBOLXIM, ESLI DLQ KAVDOGO b 2 A b a
NAIMENXIM, ESLI DLQ KAVDOGO b 2 A a b.
pUSTX A { PODMNOVESTWO ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOGO
MNOVESTWA A.
nIVNEJ GRANX@ PODMNOVESTWA A NAZYWAETSQ
PROIZWOLXNYJ \LEMENT a 2 A, TAKOJ, ^TO DLQ KAVDOGO b 2 A IMEET MESTO NERAWENSTWO a b.
26
;
0
0
0
0
0
0
zNAKOSO^ETANIE a A WYRAVAET TOT FAKT, ^TO a
{ NIVNQQ GRANX A .
tO^NOJ NIVNEJ GRANX@ PODMNOVESTWA A NAZYWAETSQ \LEMENT inf(A ), OBLADA@]IJ SWOJSTWOM:
DLQ KAVDOGO b 2 A b A , b inf(A )
wERHNEJ GRANX@ PODMNOVESTWA A NAZYWAETSQ
PROIZWOLXNYJ \LEMENT a 2 A, TAKOJ, ^TO DLQ KAVDOGO b 2 A IMEET MESTO NERAWENSTWO b a.
zNAKOSO^ETANIE A a WYRAVAET TOT FAKT, ^TO a
{ WERHNQQ GRANX A .
tO^NOJ WERHNEJ GRANX@ PODMNOVESTWA A NAZYWAETSQ \LEMENT sup(A ), OBLADA@]IJ SWOJSTWOM:
DLQ KAVDOGO b 2 A A b , sup(A ) b
oTMETIM, ^TO \LEMENTY inf(A ) I sup(A ) MOGUT NE
PRINADLEVATX PODMNOVESTWU A (I MOGUT WOOB]E NE SU]ESTWOWATX).
eSLI MNOVESTWO A QWLQETSQ KONE^NYM I IMEET WID
fa1 : : : ang, TO \LEMENTY inf(A ) I sup(A ) (ESLI ONI
SU]ESTWU@T) OBOZNA^A@TSQ SOOTWETSTWENNO ZNAKOSO^ETANIQMI
a1 ^ : : : ^ an I a1 _ : : : _ an
~ASTI^NO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO A NAZYWAETSQ
WPOLNE UPORQDO^ENNYM, ESLI DLQ KAVDOGO NEPUSTOGO
PODMNOVESTWA A A SU]ESTWUET \LEMENT inf(A ), I
\TOT \LEMENT PRINADLEVIT A .
~ASTI^NO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO A NAZYWAETSQ
RE<TKOJ, ESLI DLQ L@BYH DWUH \LEMENTOW a b 2 A
SU]ESTWUET IH TO^NAQ NIVNQQ GRANX a ^ b I IH TO^NAQ
WERHNQQ GRANX a _ b. w L@BOJ RE<TKE DLQ PROIZWOLXNOJ
KONE^NOJ SOWOKUPNOSTI a1 : : : an \LEMENTOW SU]ESTWU@T E< TO^NAQ NIVNQQ GRANX I TO^NAQ WERHNQQ GRANX:
a1 ^ : : : ^ an = a1 ^ (a2 ^ (: : : ^ an ))
a1 _ : : : _ an = a1 _ (a2 _ (: : : _ an ))
pOLNOJ RE<TKOJ NAZYWAETSQ ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO A, TAKOE, ^TO DLQ KAVDOGO PODMNOVESTWA A A SU]ESTWU@T EGO TO^NAQ NIVNQQ GRANX inf(A )
I EGO TO^NAQ WERHNQQ GRANX sup(A ). w ^ASTNOSTI, SU]ESTWU@T \LEMENTY inf(A) I sup(A), KOTORYE OBOZNA^A@TSQ SIMWOLAMI 0 I 1 SOOTWETSTWENNO.
pOLNOJ ALGEBROJ gEJTINGA NAZYWAETSQ POLNAQ
RE<TKA A, W KOTOROJ DLQ KAVDOJ PARY a b 2 A OPREDELEN \LEMENT
a!b
(6.5)
OBLADA@]IJ SLEDU@]IM SWOJSTWOM: DLQ KAVDOGO c 2 A
c (a ! b) , (c ^ a) b
(6.6)
pOLNOJ BULEWOJ ALGEBROJ NAZYWAETSQ POLNAQ ALGEBRA gEJTINGA, W KOTOROJ DLQ KAVDOGO \LEMENTA a IMEET MESTO RAWENSTWO
(a ! 0) ! 0 = a
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
6.4
6.4.1
SQ PROIZWOLXNOE SOOTWETSTWIE f, KOTOROE SOPOSTAWLQET
KAVDOMU \LEMENTU a MNOVESTWA A NEKOTORYJ \LEMENT
f(a) MNOVESTWA B.
fUNKCIQ f IZ A W B OBOZNA^AETSQ ZNAKOSO^ETANIEM
f : A ! B ILI
f
0
0
0
0
0
-B
A
(6.7)
eSLI f { FUNKCIQ IZ A W B, TO DLQ KAVDOGO a 2 A
\LEMENT f(a) NAZYWAETSQ ZNA^ENIEM FUNKCII f PRI
ZNA^ENII ARGUMENTA a (ILI PROSTO ZNA^ENIEM f NA a).
eSLI \LEMENT b QWLQETSQ ZNA^ENIEM f NA a, TO \TOT
FAKT OBOZNA^AETSQ ZNAKOSO^ETANIEM
a 7! b
pUSTX ZADANY FUNKCII f I g WIDA
A
f
-B
g
B
-C
kOMPOZICIEJ f I g NAZYWAETSQ FUNKCIQ gf WIDA
0
0
pONQTIE FUNKCII
fUNKCIEJ IZ MNOVESTWA A W MNOVESTWO B NAZYWAET-
0
0
fUNKCII
A
gf
-C
KOTORAQ SOPOSTAWLQET KAVDOMU \LEMENTU a MNOVESTWA
A \LEMENT g(f(a)) MNOVESTWA C.
dLQ KAVDOGO MNOVESTWA A SIMWOL idA OBOZNA^AET
FUNKCI@ WIDA
idA
A
-A
KOTORAQ SOPOSTAWLQET KAVDOMU \LEMENTU a 2 A TOT VE
\LEMENT a, T.E.
idA (a) def
=a
mNOVESTWO WSEH FUNKCIJ IZ A W B OBOZNA^AETSQ
SIMWOLOM B A .
6.4.2
oBRAZY I PROOBRAZY
pUSTX f { FUNKCIQ WIDA (6.7).
eSLI DLQ PARY \LEMENTOW a 2 A b 2 B IMEET MESTO
SOOTNOENIE b = f(a), TO
b NAZYWAETSQ OBRAZOM \LEMENTA a OTNOSITELXNO
FUNKCII f, I
a NAZYWAETSQ PROOBRAZOM \LEMENTA b OTNOSITELXNO FUNKCII f.
dLQ KAVDOGO PODMNOVESTWA A A SIMWOL f(A )
OBOZNA^AET MNOVESTWO, NAZYWAEMOE OBRAZOM PODMNOVESTWA A OTNOSITELXNO FUNKCII f, I SOSTOQ]EE IZ
WSEH \LEMENTOW WIDA f(a), GDE a { PROIZWOLXNYJ \LEMENT MNOVESTWA A .
mNOVESTWO f(A) OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM Im(f).
dLQ KAVDOGO PODMNOVESTWA B B SIMWOL f 1 (B )
OBOZNA^AET MNOVESTWO, NAZYWAEMOE PROOBRAZOM PODMNOVESTWA B OTNOSITELXNO FUNKCII f, I SOSTOQ]EE IZ
WSEH \LEMENTOW a MNOVESTWA A, TAKIH, ^TO f(a) 2 B.
eSLI MNOVESTWO B SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA b, TO
WMESTO f 1 (fbg) PIUT PROSTO f 1 (b).
27
0
0
0
0
0
0
0
;
;
;
0
6.4.3
kLASSY FUNKCIJ
4. dOKAZATX, ^TO
(a) (A B) C = (A C) (B C)
(b) A (B C) = (A B) (A C)
(c) (A B) (C D) =
(A C) (B C) (A D) (B D)
(d) (A n B) C = (A C) n (B C)
(e) A (B n C) = (A B) n (A C)
(f) ESLI A C I B D, TO
A B = (A D) \ (C B)
fUNKCIQ f WIDA (6.7) NAZYWAETSQ
IN_EKTIWNOJ, ESLI DLQ KAVDOJ PARY a a 2 A
IMEET MESTO SOOTNOENIE
a=
6 a ) f(a) =6 f(a )
T.E. ESLI DLQ KAVDOGO b 2 B MNOVESTWO f 1 (b) ILI
PUSTO, ILI SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA
S@R_EKTIWNOJ
, ESLI DLQ KAVDOGO b 2 B MNOVESTWO f 1 (b) NEPUSTO
, ^TO ESLI MNOVESTWA A B C D UDOWLEBIEKTIWNOJ (ILI BIEKCIEJ), ESLI f QWLQETSQ 5. dOKAZATX
TWORQ@T
SOOTNOENI@
ODNOWREMENNO IN_EKTIWNOJ I S@R_EKTIWNOJ, T.E.
ESLI DLQ KAVDOGO b 2 B MNOVESTWO f 1 (b) SOSTOIT
(A B) (B A) = C D
IZ ODNOGO \LEMENTA.
TO A = B = C = D
zAMETIM, ^TO ESLI f : A ! B { BIEKCIQ, TO FUNKCIQ
f 1 : B ! A, SOPOSTAWLQ@]AQ KAVDOMU b 2 B EDINSTWENNYJ \LEMENT MNOVESTWA f 1 (b), OBLADAET SLEDU@- 6.5.2 bINARNYE OTNOENIQ
]IM SWOJSTWOM:
1. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH BINARNYH OTNOENIJ
0
0
0
;
;
;
;
;
f 1 f = idA ff
;
6.4.4
1
;
= idB
mONOTONNYE FUNKCII
pUSTX A I B { ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYE MNOVESTWA, I
f { FUNKCIQ IZ A W B. fUNKCIQ f NAZYWAETSQ MONOTONNOJ, ESLI DLQ L@BYH a b 2 A IZ a b SLEDUET
f(a) f(b) .
eSLI f : A ! B { BIEKCIQ, I f I f 1 { MONOTONNYE
FUNKCII, TO f NAZYWAETSQ IZOMORFIZMOM ^ASTI^NO
UPORQDO^ENNYH MNOVESTW A I B, A MNOVESTWA A I B
NAZYWA@TSQ IZOMORFNYMI.
;
6.5
6.5.1
zADA^I
dEKARTOWY PROIZWEDENIQ
1. pUSTX ZADANY DWA OTREZKA DEJSTWITELXNOJ PRQMOJ: a b] I c d]. nAJTI GEOMETRI^ESKU@ INTERPRETACI@ SLEDU@]IH MNOVESTW:
(a) a b] c d]
(b) a b]2
(c) a b]3
2. dOKAZATX, ^TO
(A B) \ (C D) = (A \ C) (B \ D)
3. dOKAZATX, ^TO
(A B) (C D) (A C) (B D)
pRI KAKIH USLOWIQH NA A B C D DANNOE WKL@^ENIE QWLQETSQ RAWENSTWOM?
(a)
(b)
(c)
(d)
(R 1) 1 = R
(R1 \ R2) 1 = (R1 1 ) \ (R2 1 )
(R1 R2) 1 = (R1 1 ) (R2 1 )
R 1 = (R) 1
2. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH BINARNYH OTNOENIJ
(a) R1 (R2 R3 ) = (R1 R2) R3
(b) (R1 R2) 1 = R2 1 R1 1
(c) (R1 R2) R3 = (R1 R3 ) (R2 R3)
(d) R1 (R2 R3) = (R1 R2 ) (R1 R3)
(e) (R1 \ R2) R3 (R1 R3 ) \ (R2 R3)
(f) R1 (R2 \ R3) (R1 R2 ) \ (R1 R3)
3. pOSTROITX PRIMER BINARNYH OTNOENIJ R1 R2 R3,
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
TAKIH ^TO
(R1 \ R2) R3 6= (R1 R3) \ (R2 R3)
4. dOKAZATX, ^TO ESLI R1 R2, TO
(a) R R1 R R2
(b) R1 R R2 R
(c) R1 1 R2 1
5. pUSTX SIMWOLY R1 I R2 OBOZNA^A@T BINARNYE OTNOENIQ NA MNOVESTWE N = f0 1 2 3: ::g WSEH NATURALXNYH ^ISEL, OPREDELQEMYE SLEDU@]IM OBRAZOM:
;
;
R1 def
= f(a b) j a b 2 N a < bg
def
R2 = f(a b) j a b 2 N a bg
dOKAZATX, ^TO
28
6.5.3 |KWIWALENTNOSTI
(a) R1 R1 6= R1
(b) R2 R1 = R1
1. pUSTX n { NEKOTOROE POLOVITELXNOE CELOE ^ISLO,
1
2
I R { BINARNOE OTNOENIE NA MNOVESTWE Z WSEH
(c) R2 R2 = N
CELYH ^ISEL, OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRAZOM:
6. dOKAZATX, ^TO ESLI OTNOENIQ R1 I R2 REFLEKSIWNY, TO REFLEKSIWNY OTNOENIQ
R def
= f(a b) j a ; b DELITSQ NA ng
R1 R2 R1 \ R2 R1 1 R1 R2
dOKAZATX, ^TO R { \KWIWALENTNOSTX.
;
;
7. dOKAZATX, ^TO ESLI OTNOENIQ R1 I R2 IRREFLEKSIWNY, TO IRREFLEKSIWNY OTNOENIQ
R1 R2 R1 \ R2 R1 1
;
R def
= f((a b) (c d)) j a + d = b + cg
pOKAZATX, ^TO PROIZWEDENIE R1 R2 IRREFLEKSIWNYH OTNOENIJ MOVET NE BYTX IRREFLEKSIWNYM.
8. dOKAZATX, ^TO ESLI OTNOENIQ R1 I R2 SIMMETRI^NY, TO SIMMETRI^NY OTNOENIQ
R1 R2 R1 \ R2 R1 1 R1 R1 1
;
2. pUSTX R { BINARNOE OTNOENIE NA MNOVESTWE Z2
WSEH PAR CELYH ^ISEL, OPREDELQEMOE SLEDU@]IM
OBRAZOM:
;
9. dOKAZATX, ^TO PROIZWEDENIE R1 R2 SIMMETRI^NYH OTNOENIJ R1 I R2 QWLQETSQ SIMMETRI^NYM
TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA
R1 R2 = R2 R1
10. pUSTX R1 I R2 { ANTISIMMETRI^NYE OTNOENIQ
NA MNOVESTWE A.
dOKAZATX, ^TO
(a) OTNOENIQ R1 \ R2 I R1 1 ANTISIMMETRI^NY
(b) OTNOENIE R1 R2 QWLQETSQ ANTISIMMETRI^;
NYM TOGDA I TOLXKO TOGDA KOGDA
R1 R2 1 idA
;
11. pOSTROITX BINARNOE OTNOENIE, KOTOROE
(a) REFLEKSIWNO, SIMMETRI^NO, NE TRANZITIWNO
(b) REFLEKSIWNO, ANTISIMMETRI^NO, NE TRANZI-
TIWNO
(c) REFLEKSIWNO, NE SIMMETRI^NO, TRANZITIWNO
(d) NE REFLEKSIWNO, ANTISIMMETRI^NO, TRANZITIWNO
(e) NE REFLEKSIWNO, SIMMETRI^NO, TRANZITIWNO
12. dOKAZATX, ^TO ESLI OTNOENIE R ODNOWREMENNO
SIMMETRI^NO I ANTISIMMETRI^NO, TO ONO TRANZITIWNO.
29
dOKAZATX, ^TO R { \KWIWALENTNOSTX.
3. pUSTX R { BINARNOE OTNOENIE NA MNOVESTWE Z2
WSEH PAR CELYH ^ISEL, OPREDELQEMOE SLEDU@]IM
OBRAZOM:
9
8
ad = bc b =
6 0 d =6 0 =
<
def
R = :((a b) (c d)) ILI
a = c b = 0 d = 0
dOKAZATX, ^TO R { \KWIWALENTNOSTX.
4. pUSTX A { MNOVESTWO WSEH PRQMYH NA PLOSKOSTI.
qWLQ@TSQ LI \KWIWALENTNOSTQMI SLEDU@]IE OTNOENIQ R1 I R2 NA A:
(a) (a b) 2 R1 , a I b PARALLELXNY
(b) (a b) 2 R2 , a I b PERPENDIKULQRNY
5. pUSTX R { BINARNOE OTNOENIE NA MNOVESTWE R
WSEH DEJSTWITELXNYH ^ISEL, OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRAZOM:
R def
= f(a b) j a ; b { RACIONALXNOE ^ISLOg
dOKAZATX, ^TO R { \KWIWALENTNOSTX.
6. dOKAZATX, ^TO ESLI R { \KWIWALENTNOSTX, TO R 1
{ TOVE \KWIWALENTNOSTX.
7. pUSTX R { NEKOTOROE BINARNOE OTNOENIE NA MNOVESTWE A.
dOKAZATX, ^TO R QWLQETSQ \KWIWALENTNOSTX@ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
(R R 1) idA = R
;
;
8. pUSTX R1 I R2 { \KWIWALENTNOSTI NA NEKOTOROM
MNOVESTWE A. dOKAZATX, ^TO
(a) R1 R1 = A2 , R1 = A2
(b) R1 R2 = A2 , R2 R1 = A2
9. pUSTX f : A ! B { PROIZWOLXNAQ FUNKCIQ. oPREDELIM OTNOENIE R NA MNOVESTWE A SLEDU@]IM
OBRAZOM:
R def
= f(a1 a2) j f(a1 ) = f(a2 )g
dOKAZATX, ^TO R { \KWIWALENTNOSTX.
10. pUSTX R1 I R2 { \KWIWALENTNOSTX NA NEKOTOROM
MNOVESTWE A.
dOKAZATX, ^TO
(a) R1 \ R2 TOVE QWLQETSQ \KWIWALENTNOSTX@
(b) R1 R2 QWLQETSQ \KWIWALENTNOSTX@ TOGDA I
TOLXKO TOGDA, KOGDA
R1 R2 = R1 R2
(c) R1 R2 QWLQETSQ \KWIWALENTNOSTX@ TOGDA I
TOLXKO TOGDA, KOGDA
R1 R2 = R2 R1
(d) ESLI R1 R2 = R2 R1, TO
R1 + R2 = R1 R2
GDE R1 + R2 { \TO NAIMENXAQ \KWIWALENTNOSTX, SODERVA]AQ R1 I R2.
11. pUSTX p0 p1 p2 : : : { POSLEDOWATELXNOSTX NATURALXNYH ^ISEL, OPREDELQEMAQ INDUKTIWNO SLEDU@]IM
OBRAZOM:
(a) p0 def
=1
Pn
(b) pn+1 def
= Cni pi
i=0
dOKAZATX, ^TO DLQ KAVDOGO n 1 ^ISLO pn RAWNO
^ISLU OTNOENIJ \KWIWALENTNOSTI NA MNOVESTWE
IZ n \LEMENTOW.
VESTWO SODERVIT
(a) NE BOLEE ODNOGO NAIBOLXEGO \LEMENTA I
(b) NE BOLEE ODNOGO NAIMENXEGO \LEMENTA.
6. dOKAZATX, ^TO
(a) NAIBOLXIJ \LEMENT ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA (ESLI ON SU]ESTWUET) QWLQETSQ EDINSTWENNYM MAKSIMALXNYM \LEMENTOM
\TOGO MNOVESTWA, I
(b) NAIMENXIJ \LEMENT ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA (ESLI ON SU]ESTWUET) QWLQETSQ EDINSTWENNYM MINIMALXNYM \LEMENTOM
\TOGO MNOVESTWA.
7. pOSTROITX PRIMER ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA, IME@]EGO ROWNO ODIN MINIMALXNYJ \LEMENT, NO NE IME@]EGO NAIMENXEGO \LEMENTA.
8. dOKAZATX, ^TO OTNOENIE R NA MNOVESTWE A QWLQETSQ KWAZIPORQDKOM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
R = (R R) idA
9. pUSTX R { KWAZIPORQDOK NA A.
oPREDELIM OTNOENIE Q NA A SLEDU@]IM
OBRAZOM:
Q def
= R\R 1
dOKAZATX, ^TO Q { \KWIWALENTNOSTX NA A.
oPREDELIM OTNOENIE S NA FAKTOR-MNOVESTWE
A=Q (GDE Q = R \ R 1 ) SLEDU@]IM OBRAZOM:
;
;
S def
= f(a1] a2]) j (a1 a2) 2 Rg
~ASTI^NYE PORQDKI
6.5.4
5. dOKAZATX, ^TO WSQKOE ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOE MNO-
1. dOKAZATX, ^TO ESLI R { ^ASTI^NYJ PORQDOK, TO
R 1 TOVE ^ASTI^NYJ PORQDOK.
2. dOKAZATX, ^TO ESLI R1 I R2 { ^ASTI^NYE PORQDKI NA MNOVESTWE A, TO R1 \ R2 TOVE ^ASTI^NYJ
PORQDOK NA MNOVESTWE A.
3. dOKAZATX, ^TO OTNOENIQ WKL@^ENIQ NA MNO;
VESTWE WSEH PODMNOVESTW NEKOTOROGO MNOVESTWA
QWLQETSQ ^ASTI^NYM PORQDKOM.
4. pUSTX R { BINARNOE OTNOENIE NA MNOVESTWE N =
f0 1 2 3 : ::g WSEH NATURALXNYH ^ISEL, OPREDELQEMYE SLEDU@]IM OBRAZOM:
R def
= f(a b) j a b 2 N a DELITSQ NA bg
(MY S^ITAEM, ^TO 0 DELITSQ NA 0).
dOKAZATX, ^TO R { ^ASTI^NYJ PORQDOK.
30
dOKAZATX, ^TO S { ^ASTI^NYJ PORQDOK.
10. dOKAZATX, ^TO ESLI R { ^ASTI^NYJ (LINEJNYJ,
POLNYJ) PORQDOK NA MNOVESTWE A, I B A, TO
R \ B 2 ESTX ^ASTI^NYJ (LINEJNYJ, POLNYJ) PORQDOK NA MNOVESTWE B.
11. pUSTX { ^ASTI^NYJ PORQDOK NA A. dOKAZATX,
^TO OTNOENIE
< def
= f(a1 a2) 2 A2 j a1 a2 I a1 =
6 a2 g
IRREFLEKSIWNO I TRANZITIWNO.
12. dOKAZATX, ^TO ESLI NEKOTOROE OTNOENIE < NA A
IRREFLEKSIWNO I TRANZITIWNO, TO OTNOENIE
def
= f(a1 a2) 2 A2 j a1 < a2 ILI a1 = a2 g
ESTX ^ASTI^NYJ PORQDOK NA A.
13. pOKAZATX, ^TO ESLI A I B { ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYE MNOVESTWA, I f : A ! B { MONOTONNAQ
FUNKCIQ, QWLQ@]AQSQ BIEKCIEJ, TO f 1 MOVET NE
BYTX MONOTONNOJ.
14. dOKAZATX, ^TO DLQ KAVDOGO ^ASTI^NOGO PORQDKA R
NA KONE^NOM MNOVESTWE A SU]ESTWUET LINEJNYJ
PORQDOK Q NA MNOVESTWE A, TAKOJ ^TO R Q.
;
6.5.5
fUNKCII
ESLI B1 B2 , TO f 1 (B1 ) f 1 (B2 )
f 1 (B1 B2 ) = f 1 (B1 ) f 1 (B2 )
f 1 (B1 \ B2 ) = f 1 (B1 ) \ f 1 (B2 )
f 1 (B1 n B2 ) = f 1 (B1 ) n f 1 (B2 )
8. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ FUNKCII f : A ! B I
L@BOGO PODMNOVESTWA B B
f 1 (B ) = , B \ Im(f) = (a)
(b)
(c)
(d)
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
0
;
1. eSLI FUNKCIQ gf { IN_EKTIWNAQ, TO FUNKCIQ f {
IN_EKTIWNAQ.
2. eSLI FUNKCIQ gf { S@R_EKTIWNAQ, TO FUNKCIQ g
{ S@R_EKTIWNAQ.
3. dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET BIEKTIWNAQ FUNKCIQ
(a) IZ A B W B A
(b) IZ A (B C) W (A B) C
(c) IZ (A B)C W (AC ) (B C )
(d) IZ (AB )C W A(B C )
(e) IZ AB C W (AB ) (AC ), ESLI B \ C = .
4. pUSTX ZADANA FUNKCIQ f : A ! B: oBOZNA^IM
SIMWOLOM Rf SLEDU@]EE BINARNOE OTNOENIE:
;
0
0
9. dOKAZATX, ^TO DLQ KAVDOJ FUNKCII f : A ! B I
KAVDOJ PARY PODMNOVESTW A A B Im(f),
(a) A f 1 (f(A ))
(b) f(f 1 (B )) = B
(c) f(A ) \ B = f(A \ f 1 (B ))
(d) f(A ) \ B = , A \ f 1 (B ) = (e) f(A ) B , A f 1 (B )
0
0
;
;
Rf def
= f(a f(a)) j a 2 Ag A B:
dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ f QWLQETSQ
IN_EKTIWNOJ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
Rf Rf 1 = idA
;
S@R_EKTIWNOJ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA
Rf 1 Rf = idB
;
5. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ FUNKCII f : A ! B I
L@BOJ PARY PODMNOVESTW A1 A2 A
(a) ESLI A1 A2 , TO f(A1 ) f(A2 )
(b) f(A1 A2) = f(A1 ) f(A2 )
(c) f(A1 \ A2) f(A1 ) \ f(A2 )
(d) f(A1 ) n f(A2 ) f(A1 n A2 )
(e) ESLI f { IN_EKTIWNA, TO
f(A1 \ A2 ) = f(A1 ) \ f(A2 )
f(A1 ) n f(A2 ) = f(A1 n A2)
6. pOSTROITX PRIMER FUNKCII f : A ! B I PODMNOVESTW A1 A2 A, TAKIH, ^TO
f(A1 \ A2) 6= f(A1 ) \ f(A2 )
7. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ FUNKCII f : A ! B I
L@BOJ PARY PODMNOVESTW B1 B2 B
31
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
;
0
0
0
;
;
0
0
lEKCIQ 7
oSNOWNYE REZULXTATY TEORII
MNOVESTW
7.1
mO]NOSTX MNOVESTWA
7.2
dLQ PROIZWOLXNOGO KONE^NOGO MNOVESTWA A ^ISLO jAj
EGO \LEMENTOW NAZYWAETSQ MO]NOSTX@ MNOVESTWA A.
pUSTX ZADANA PARA KONE^NYH MNOVESTW A B.
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO
1. jAj jB j TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET
IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE f : A ! B
2. jAj jB j TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET
S@R_EKTIWNOE OTOBRAVENIE f : A ! B.
oTS@DA W ^ASTNOSTI SLEDUET, ^TO jAj = jB j TOGDA I
TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE f : A ! B.
pONQTIE MO]NOSTI MOVNO OBOB]ITX NA WSE MNOVESTWA. dLQ PROIZWOLXNOGO MNOVESTWA A EGO MO]NOSTX OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM jAj.
oTNOENIE SRAWNENIQ MO]NOSTEJ OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: DLQ PROIZWOLXNOJ PARY A B MNOVESTW
1. jAj jB j TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET
IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE f : A ! B
2. jAj jB j TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET
S@R_EKTIWNOE OTOBRAVENIE f : A ! B
3. jAj = jB j TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET
BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE f : A ! B
zNAKOSO^ETANIE
jAj < jB j
(7.1)
OZNA^AET, ^TO
jAj jB j I jAj =6 jB j
mOVNO DOKAZATX, ^TO DLQ KAVDOJ PARY MNOVESTW
A B WERNO ODNO I TOLXKO ODNO IZ SOOTNOENIJ:
jAj < jB j jAj = jB j jB j < jAj:
tEOREMA kANTORA
tEOREMA kANTORA UTWERVDAET, ^TO DLQ KAVDOGO MNOVESTWA A IMEET MESTO SOOTNOENIE
jAj < j2A j
(7.2)
dOKAZATELXSTWO.
pOSKOLXKU SU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE f
WIDA
f
A
- 2A
(7.3)
KOTOROE SOPOSTAWLQET KAVDOMU a 2 A ODNO\LEMENTNOE
PODMNOVESTWO
fag 2 2A
TO, SLEDOWATELXNO, IMEET MESTO SOOTNOENIE
jAj j2A j
sLEDOWATELXNO, DLQ DOKAZATELXSTWA NERAWENSTWA (7.2)
DOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO
jAj =6 j2A j
(7.4)
pREDPOLOVIM, ^TO (11.7) NEWERNO, T.E.
jAj = j2A j
(7.5)
sOGLASNO OPREDELENI@ RAWENSTWA MO]NOSTEJ, SOOTNOENIE (7.5) \KWIWALENTNO SU]ESTWOWANI@ BIEKTIWNOGO OTOBRAVENIQ f WIDA (7.3).
dLQ KAVDOGO \LEMENTA a 2 A WERNO ODNO I TOLXKO
ODNO IZ SLEDU@]IH DWUH SOOTNOENIJ
a 2 f(a)
(7.6)
a 62 f(a)
(7.7)
oBOZNA^IM SIMWOLOM B SOWOKUPNOSTX WSEH \LEMENTOW
MNOVESTWA A, DLQ KOTORYH IMEET MESTO SOOTNOENIE
(7.7).
B QWLQETSQ PODMNOVESTWOM MNOVESTWA A, T.E.
32
B 2 2A
pOSKOLXKU OTOBRAVENIE f QWLQETSQ BIEKTIWNYM, TO ONO
W ^ASTNOSTI S@R_EKTIWNO, T.E. SU]ESTWUET \LEMENT b
MNOVESTWA A, TAKOJ, ^TO
SU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE f WIDA
0 1] f - 0 1] 0 1]
(7.11)
KOTOROE MOVNO OPREDELITX TAK:
f(b) = B
|LEMENT b I PODMNOVESTWO B A UDOWLETWORQ@T ODNOMU I TOLXKO ODNOMU IZ SLEDU@]IH SOOTNOENIJ:
b2B
(7.8)
b 62 B
(7.9)
1. eSLI WERNO (7.8), TO IZ OPREDELENIQ PODMNOVESTWA
B SLEDUET, ^TO
b 62 f(b)
T.E.
b 62 B
2. eSLI WERNO (7.9), TO IZ OPREDELENIQ PODMNOVESTWA
B SLEDUET, ^TO
b 2 f(b)
T.E.
b2B
w OBOIH SLU^AQH POLU^AEM PROTIWORE^IE.
tAKIM OBRAZOM, NAE PREDPOLOVENIE O TOM, ^TO SU]ESTWUET BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE f WIDA (7.3), QWLQETSQ OIBO^NYM.
sLEDOWATELXNO, IMEET MESTO SOOTNOENIE (11.7).
7.3
DLQ KAVDOGO a 2 0 1] f(a) def
= (a 0)
SU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE g WIDA
g0 1] 0 1]
0 1]
(7.12)
KOTOROE MOVNO OPREDELITX TAK: POSKOLXKU KAVDOE
DEJSTWITELXNOE ^ISLO a IZ OTREZKA 0 1] MOVNO
PREDSTAWITX W WIDE BESKONE^NOJ DESQTI^NOJ DROBI
a = a0 : a1 a2 a3 : : :
GDE
{ a0 = 0 ILI 1, I
{ DLQ KAVDOGO i 1
ai 2 f0 : : : 9g
TO KAVDU@ TO^KU KWADRATA 0 1] 0 1], T.E. PARU
(a b) 2 0 1] 0 1]
MOVNO PREDSTAWITX PAROJ DESQTI^NYH DROBEJ
(a0 : a1 a2 a3 : : : b0 : b1 b2 b3 : : :)
tEOREMA kANTORA-bERNTEJNA
(7.13)
oPREDELIM OTOBRAVENIE g SLEDU@]IM OBRAZOM:
DLQ KAVDOJ PARY (7.13) E< OBRAZ OTNOSITELXNO g
RAWEN DROBI
tEOREMA kANTORA{bERNTEJNA UTWERVDAET, ^TO DLQ KA0 : a0 b0 a1 b1 a2 b2 a3 b3 : : :
VDOJ PARY A B MNOVESTW, TAKOJ, ^TO
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO OTOBRAVENIE g IN_EKTIWSU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE IZ A W B I
NO.
SU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE IZ B W A
IMEET MESTO SOOTNOENIE
7.4
jAj = jB j
(7.10)
dOKAZATELXSTWO: ...
7.5
dANNU@ TEOREMU MOVNO PRIMENITX DLQ DOKAZATELXSTWA TOGO, ^TO MO]NOSTX MNOVESTWA TO^EK EDINI^NOGO 7.6
OTREZKA
0 1]
RAWNA MO]NOSTI MNOVESTWA TO^EK EDINI^NOGO KWADRATA
7.7
0 1] 0 1]
dEJSTWITELXNO,
33
aKSIOMA WYBORA I LEMMA cOR
NA
tEOREMA cERMELO
tRIHOTOMIQ KARDINALXNYH ^ISEL
tRANSFINITNAQ INDUKCIQ
lEKCIQ 8
lOGIKA PREDIKATOW
8.1
8.1.1
wYRAVENIQ
tIPY
8.1.3
iNTERPRETACII
iNTERPRETACIEJ NAZYWAETSQ SOOTWETSTWIE I, SOPO-
STAWLQ@]EE
KAVDOMU TIPU 2 Types { MNOVESTWO DI ZNA^ENIJ TIPA (SOWOKUPNOSTX WSEH ZNA^ENIJ WSEH TIPOW OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM DI I NAZYWAETSQ OBLASTX@ INTERPRETACII I)
KAVDOJ KONSTANTE c 2 Con { NEKOTOROE ZNA^ENIE
cI 2 DI TIPA (c)
KAVDOMU FUNKCIONALXNOMU SIMWOLU f TIPA (8.1)
{ NEKOTORU@ FUNKCI@ f I WIDA
f I : DI1 : : : DIn ! DI
KAVDOMU PREDIKATU R TIPA (8.2) { NEKOTORU@ FUNKCI@ RI WIDA
8.1.2 pEREMENNYE, KONSTANTY, FUNKCIONALXNYE SIMWOLY, PREDIKATY
RI : DI1 : : : DIn ! f0 1g
pREDPOLAGAETSQ, ^TO ZADANY
nIVE W \TOJ GLAWE SIMWOL I OBOZNA^AET NEKOTORU@
FIKSIROWANNU@
INTERPRETACI@.
MNOVESTWO V ar PEREMENNYH, PRI^<M KAVDOJ PEREMENNOJ x 2 V ar SOPOSTAWLEN TIP (x) 2 Types,
8.1.4 wYRAVENIQ
MNOVESTWO Con KONSTANT, I KAVDOJ KONSTANTE
wYRAVENIQ STROQTSQ IZ PEREMENNYH, KONSTANT I FUNKc 2 Con SOPOSTAWLEN TIP (c) 2 Types,
CIONALXNYH SIMWOLOW. kAVDOMU WYRAVENI@ e SOPOSTAWMNOVESTWO Fun, \LEMENTY KOTOROGO NAZYWA@TSQ LQETSQ NEKOTORYJ TIP (e). mNOVESTWO WYRAVENIJ OBOFUNKCIONALXNYMI SIMWOLAMI, PRI^<M KAV- ZNA^AETSQ SIMWOLOM Expr I OPREDELQETSQ SLEDU@]IM
OBRAZOM.
DOMU f 2 Fun SOPOSTAWLEN TIP
1. kAVDAQ PEREMENNAQ x 2 V ar QWLQETSQ WYRAVENI(f) = (1 : : : n) ! (8.1)
EM TIPA (x).
GDE 1 : : : n 2 Types.
2. kAVDAQ KONSTANTA c 2 Con QWLQETSQ WYRAVENIEM
TIPA (c).
MNOVESTWO Rel, \LEMENTY KOTOROGO NAZYWA@TSQ
PREDIKATAMI, PRI^<M KAVDOMU R 2 Rel SOPO- 3. dLQ KAVDOGO FUNKCIONALXNOGO SIMWOLA f TIPA
STAWLEN TIP
(8.1), I KAVDOGO SPISKA WYRAVENIJ e1 : : : en , TAKOGO, ^TO (e1) = 1 : : : (en) = n , ZNAKOSO^ETA(R) = (1 : : : n)
(8.2)
NIE f(e1 : : : en ) QWLQETSQ WYRAVENIEM TIPA .
wYRAVENIQ WIDA f(e1 e2) ^ASTO ZAPISYWA@T W WIGDE 1 : : : n 2 Types.
DE e fe .
mY PREDPOLAGAEM, ^TO ZADANO MNOVESTWO Types TIPOW.
s KAVDYM TIPOM 2 Types MOVET BYTX SWQZANO NEKOTOROE MNOVESTWO D ZNA^ENIJ DANNOGO TIPA, NO \TA
SWQZX NEFIKSIROWANA, T.E. W RAZNYH SITUACIQH S ODNIM
I TEM VE TIPOM MOGUT BYTX SWQZANY RAZNYE MNOVESTWA
ZNA^ENIJ.
nAPRIMER, Types MOVET SODERVATX TIP int, I
W ODNOJ SITUACII S DANNYM TIPOM SWQZYWAETSQ
MNOVESTWO WSEH CELYH ^ISEL,
A W DRUGOJ SITUACII - MNOVESTWO CELYH ^ISEL W
DIAPAZONE OT ;32767 DO +32767.
1
2
sOWOKUPNOSTX WSEH PEREMENNYH, WHODQ]IH W WYRAVENIE e, OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM V ar(e).
34
8.1.5
pODSTANOWKI
8.2
pODSTANOWKOJ NAZYWAETSQ ZNAKOKOSO^ETANIE WIDA
GDE
= x1 := e1 : : : xk := ek ]
(8.3)
x1 : : : xk { SPISOK RAZLI^NYH PEREMENNYH, I
e1 : : : ek { SPISOK WYRAVENIJ, PRI^<M DLQ KAVDOGO i = 1 : : : k (xi ) = (ei ).
pODSTANOWKA (8.3) INDUCIRUET FUNKCI@ WIDA
: Expr ! Expr
(8.4)
OBOZNA^AEMU@ TEM VE SIMWOLOM , I OPREDELQEMU@ SLEDU@]IM OBRAZOM: DLQ KAVDOGO WYRAVENIQ e 2 Expr
WYRAVENIE (e) POLU^AETSQ IZ e ZAMENOJ DLQ KAVDOGO
i 2 f1 : : : kg KAVDOGO WHOVDENIQ PEREMENNOJ xi W e NA
WYRAVENIE ei . mY BUDEM OTOVDESTWLQTX PODSTANOWKU
(8.3) S SOOTWETSTWU@]EJ EJ FUNKCIEJ (8.4).
kOMPOZICIEJ PODSTANOWOK 1 I 2 NAZYWAETSQ PODSTANOWKA 1 2 , KOTORAQ DEJSTWUET NA KAVDOE WYRAVENIE
e 2 Expr SLEDU@]IM OBRAZOM:
(1 2 )(e) def
= 1 (2 (e))
8.1.6
oZNA^IWANIQ
8.2.1
fORMULY LOGIKI PREDIKATOW
pONQTIE FORMULY
fORMULY LOGIKI PREDIKATOW (lp) (NAZYWAEMYE
NIVE PROSTO FORMULAMI) { \TO ZNAKOSO^ETANIQ, OPRE-
DELQEMYE SLEDU@]IM OBRAZOM.
1. dLQ
KAVDOGO PREDIKATA R TIPA (8.2), I
KAVDOGO SPISKA WYRAVENIJ e1 : : : en , TAKOGO, ^TO (e1 ) = 1 : : : (en) = n
ZNAKOSO^ETANIE R(e1 : : : en) QWLQETSQ FORMULOJ.
fORMULY TAKOGO WIDA NAZYWA@TSQ ATOMARNYMI.
fORMULY WIDA R(e1 e2) ^ASTO ZAPISYWA@T W WIDE
e1 Re2 .
2. eSLI A I B { FORMULY, TO ZNAKOSO^ETANIQ
A A ^ B A _ B A ! B A $ B
QWLQ@TSQ FORMULAMI.
3. eSLI A { FORMULA, I x { PEREMENNAQ, TO ZNAKOSO^ETANIQ 8x A I 9x A QWLQ@TSQ FORMULAMI.
zNAKOSO^ETANIE 8x NAZYWAETSQ KWANTOROM WSEOB]NOSTI, A 9x { KWANTOROM SU]ESTWOWANIQ.
fORMULA A, WHODQ]AQ W FORMULY 9xA I 8xA, NAZYWAETSQ OBLASTX@ DEJSTWIQ KWANTOROW, NAHODQ]IHSQ W NA^ALE DANNYH FORMUL.
sOWOKUPNOSTX WSEH PEREMENNYH, WHODQ]IH W FORMULU A, OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM V ar(A).
dLQ KAVDOJ FORMULY A FORMULA :A MOVET TAKVE
OBOZNA^ATXSQ SIMWOLOM A.
dLQ PROIZWOLXNOGO SPISKA A1 : : : Ak FORMUL ZNAKO-
pUSTX X { NEKOTOROE MNOVESTWO PEREMENNYH IZ V ar.
oZNA^IWANIEM PEREMENNYH IZ X NAZYWAETSQ FUNKCIQ : X ! DI , KOTORAQ SOPOSTAWLQET KAVDOJ PEREMENNOJ x 2 X NEKOTOROE ZNA^ENIE (x) 2 DI TIPA (x).
dLQ KAVDOGO WYRAVENIQ e, TAKOGO, ^TO V ar(e) X,
ZNA^ENIE (e) WYRAVENIQ e NA OZNA^IWANII OPREDELQETSQ REKURSIWNO SLEDU@]IM OBRAZOM:
SO^ETANIQ
ESLI e = x 2 X, TO (e) UVE OPREDELENO
A1 ^ A2 ^ : : : ^ Ak I A1 _ A2 _ : : : _ Ak
ESLI e = S 2 Con, TO (e) def
= cI
QWLQ@TSQ SOKRA]ENNOJ ZAPISX@ FORMUL
ESLI e = f(e1 : : : ek ) TO
A1 ^ (A2 ^ (: : : ^ An) : : :) I A1 _ (A2 _ (: : : _ An) : : :)
= f I ((e1 ) : : : (ek ))
(e) def
SOOTWETSTWENNO. dANNYE FORMULY TAKVE BUDUT OBOZNAwYRAVENIQ e1 I e2 NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI, ^ATXSQ ZNAKOSO^ETANIQMI
8< A 9
2A 3
ESLI DLQ KAVDOGO OZNA^IWANIQ WHODQ]IH W NIH PERE1 =
1
4
MENNYH IMEET MESTO RAWENSTWO
:
:
:
I
:
:
:5
: (e1 ) = (e2 )
zNAKOSO^ETANIE e1 = e2 WYRAVAET TOT FAKT, ^TO e1 I
e2 \KWIWALENTNY.
dLQ KAVDOGO OZNA^IWANIQ : X ! DI , KAVDOJ PEREMENNOJ x 2 X I KAVDOGO ZNA^ENIQ d 2 DI (x) ZNAKOSO^ETANIE x := d] OBOZNA^AET OZNA^IWANIE PEREMENNYH
IZ X, KOTOROE OTLI^AETSQ OT TOLXKO ZNA^ENIEM NA x:
(y) ESLI y 6= x
def
8y 2 X x := d](y) = d ESLI y = x
Ak
Ak
SOOTWETSTWENNO.
w FORMULAH lp MOVNO OPUSKATX SKOBKI, ANALOGI^NO TOMU, KAK \TO DELALOSX W FORMULAH lw. pRI WOSSTANOWLENII SKOBOK ISPOLXZU@TSQ TE VE PRAWILA, ^TO I W
PUNKTE 2.1.4, I KROME TOGO, PREDPOLAGAETSQ ^TO KWANTORY SWQZYWA@T SILXNEE OTRICANIJ, T.E. PRI WOSSTANOWLENII SKOBOK W PERWU@ O^EREDX RASSMATRIWA@TSQ WSE
WHOVDENIQ KWANTOROW, I DLQ KAVDOGO KWANTORA I]ETSQ
MINIMALXNOE ZNAKOSO^ETANIE SPRAWA OT NEGO, QWLQ@]EESQ FORMULOJ.
35
8.2.2
zNA^ENIQ FORMUL lp
! DI .
8.2.4
sWOBODNYE I SWQZANNYE WHOVDENIQ
PEREMENNYH W FORMULY
pUSTX ZADANO NEKOTOROE OZNA^IWANIE : X
dLQ KAVDOJ FORMULY A, TAKOJ, ^TO V ar(A) X, pUSTX A { NEKOTORAQ FORMULA, I x { NEKOTORAQ PEREZNA^ENIE (A) 2 f0 1g FORMULY A NA OZNA^IWANII MENNAQ, WHODQ]AQ W A.
OPREDELQETSQ REKURSIWNO SLEDU@]IM OBRAZOM.
pEREMENNAQ x MOVET WHODITX W A NESKOLXKO RAZ. nAPRIMER
, ESLI A IMEET WID
1. eSLI A = R(e1 : : : en ) { ATOMARNAQ FORMULA, TO
8y (R(x y) ! 8x Q(x))
(A) def
= RI ((e1 ) : : : (en ))
TO x IMEET TRI WHOVDENIQ W A.
= (A)
2. (A) def
kAVDOE WHOVDENIE PEREMENNOJ x W A QWLQETSQ LIBO
SWOBODNYM
, LIBO SWQZANNYM.
def
3. (A ^ B) = (A) ^ (B)
wHOVDENIE PEREMENNOJ x W A NAZYWAETSQ
4. (A _ B) def
= (A) _ (B)
SWQZANNYM, ESLI \TO WHOVDENIE SODERVITSQ W NEKOTOROJ PODFORMULE WIDA 8x B ILI 9x B, I
5. (A ! B) = 1, ESLI (A) (B)
SWOBODNYM { ESLI DANNOE WHOVDENIE NE QWLQETSQ
6. (A $ B) = 1, ESLI (A) = (B)
SWQZANNYM.
7. (8x A) = 1, ESLI DLQ L@BOGO d 2 DI (x) IMEET
nAPRIMER, RASSMOTRIM SLEDU@]IE FORMULY:
MESTO RAWENSTWO (x := d])(A) = 1
R(x y)
(8.5)
8. (9x A) = 1, ESLI SU]ESTWUET ZNA^ENIE d 2 DI (x) ,
DLQ KOTOROGO (x := d])(A) = 1
R(x y) ! 8x S(x)
(8.6)
eSLI (A) = 1, TO A NAZYWAETSQ ISTINNOJ NA OZNA8x (R(x y) ! 8x R(x))
(8.7)
^IWANII , INA^E A NAZYWAETSQ LOVNOJ NA .
eSLI DLQ KAVDOGO OZNA^IWANIQ : X ! DI IMEET 1. wHOVDENIE PEREMENNOJ x W (8.5) SWOBODNO.
MESTO RAWENSTWO (A) = 1, TO A NAZYWAETSQ ISTINNOJ
2. pERWOE WHOVDENIE PEREMENNOJ x W (8.6) SWOBODNO,
W INTERPRETACII I.
A WTOROE I TRETXE { SWQZANNYE.
fORMULA A NAZYWAETSQ
TAWTOLOGIEJ, ESLI ONA ISTINNA W L@BOJ INTER- 3. wSE WHOVDENIQ x W (8.7) QWLQ@TSQ SWQZANNYMI.
PRETACII
4. kAVDOE WHOVDENIE PEREMENNOJ y WO WSEH TR<H FORWYPOLNIMOJ, ESLI ONA ISTINNA W NEKOTOROJ INMULAH SWOBODNO.
TERPRETACII NA NEKOTOROM OZNA^IWANII.
oDNA I TA VE PEREMENNAQ MOVET IMETX KAK SWOBODNYE
, TAK I SWQZANNYE WHOVDENIQ W ODNU I TU VE FOR8.2.3 pRIMERY FORMUL
MULU, KAK \TO IMEET MESTO NAPRIMER W (8.6).
wHOVDENIE PEREMENNOJ W FORMULE A MOVET BYTX
fORMULY MOGUT WYRAVATX SUVDENIQ, NAPRIMER:
1. ASSOCIATIWNOSTX SLOVENIQ:
SWQZANNYM W A, I W TO VE WREMQ
8x 8y 8z (x + (y + z) = (x + y) + z)
SWOBODNYM W NEKOTOROJ PODFORMULE FORMULY A.
tAK, NAPRIMER, PERWOE WHOVDENIE x W FORMULU (8.6)
2. DISTRIBUTIWNOSTX UMNOVENIQ OTNOSITELXNO SLOSWOBODNO
, NO (8.6) QWLQETSQ PODFORMULOJ FORMULY (8.7),
VENIQ:
W KOTOROJ TO VE WHOVDENIE x OKAZYWAETSQ SWQZANNYM.
8x 8y 8z (x (y + z) = (x y) + (x z))
sOWOKUPNOSTX PEREMENNYH, IME@]IH HOTQ BY ODNO
SWOBODNOE
WHOVDENIE W FORMULE A, OBOZNA^AETSQ SIMWO3. REFLEKSIWNOSTX RAWENSTWA: 8x (x = x)
LOM F V (A). fORMULA A NAZYWAETSQ ZAMKNUTOJ, ESLI
FV (A) = .
4. SIMMETRI^NOSTX RAWENSTWA:
nETRUDNO WIDETX, ^TO ZNA^ENIE (A) FORMULY A NA
8x 8y ((x = y) ! (y = x))
OZNA^IWANII ZAWISIT TOLXKO OT ZNA^ENIJ NA PEREMENNYH IZ MNOVESTWA F V (A). w ^ASTNOSTI, ESLI A ZA5. TRANZITIWNOSTX RAWENSTWA:
MKNUTA, TO E< ZNA^ENIE W INTERPRETACII I QWLQETSQ ODNIM I TEM VE DLQ WSEH OZNA^IWANIJ, T.E. A PREDSTAW8x 8y 8z ((x = y) ^ (y = z) ! (x = z))
LQET SOBOJ WYSKAZYWANIE, KOTOROE QWLQETSQ ISTINNYM
w \TIH FORMULAH ISPOLXZUETSQ PREDIKAT = I FUNK- ILI LOVNYM (W INTERPRETACII I). mY BUDEM OBOZNACIONALXNYE SIMWOLY + I .
^ATX ZNA^ENIE \TOGO WYSKAZYWANIQ SIMWOLOM AI .
36
8.3
oTNOENIQ, OPREDELQEMYE
FORMULAMI
dLQ KAVDOJ INTERPRETACII I I KAVDOJ FORMULY A,
TAKOJ, ^TO MNOVESTWO FV (A) NEPUSTO I IMEET WID
FV (A) = fx1 : : : xng
FORMULA A WYRAVAET NEKOTOROE SWOJSTWO n{\LEMENTNYH
KORTEVEJ ZNA^ENIJ SOOTWETSTWU@]IH TIPOW, T.E. OPREDELQET NEKOTOROE PODMNOVESTWO
AI DI (x1 ) : : : DI (xn )
NAZYWAEMOE OTNOENIEM, KOTOROE SOSTOIT IZ WSEH SPISKOW (d1 : : : dn), TAKIH, ^TO A ISTINNA NA OZNA^IWANII
x1 := d1 : : : xn := dn]
3. fORMULA
8< :(x = c)
y=x 8
y
(
9
z
(x
=
y
z)
!
:
y=c )
9=
(8.11)
BUDET OPREDELQTX MNOVESTWO WSEH PROSTYH ^ISEL,
ESLI
PREDIKAT \=" TIPA (nat nat), I
FUNKCIONALXNYJ SIMWOL \" TIPA
(nat nat) ! nat
INTERPRETIRU@TSQ KAK RAWENSTWO I OBY^NOE UMNOVENIE ^ISEL, A KONSTANTA c INTERPRETIRUETSQ
KAK NATURALXNOE ^ISLO 1.
|KWIWALENTNOSTX FORMUL
rASSMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW OTNOENIJ, OPRE- 8.4
DELQEMYH FORMULAMI.
fORMULY A1 I A2 NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI, ESLI
W PROIZWOLXNOJ INTERPRETACII I IH ZNA^ENIQ SOWPADA1. pUSTX W FORMULAH
@T NA KAVDOM OZNA^IWANII WHODQ]IH W NIH PEREMENR(x y)
(8.8) NYH. zNAKOSO^ETANIE A1 A2 WYRAVAET TOT FAKT, ^TO
A I A2 \KWIWALENTNY.
8y R(x y)
(8.9) 1 nETRUDNO
DOKAZATX, ^TO { OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI
I
KONGRU\NCIQ
OTNOSITELXNO WSEH OPERACIJ NA
9x 8y R(x y)
(8.10)
FORMULAH, T.E. ESLI A1 A2 , TO
PREDIKAT R IMEET TIP (nat nat), GDE MNOVESTWO
I SOSTOIT IZ WSEH NATURALXNYH ^ISEL, I
A1 A2
Dnat
A1 ^ B A2 ^ B B ^ A1 B ^ A2
RI (d1 d2) = 1 , d1 d2
A1 _ B A2 _ B B _ A1 B _ A2
w DANNOM SLU^AE
A1 ! B A2 ! B B ! A1 B ! A2
(8.8) OPREDELQET OTNOENIE, KOTOROE SOSTOIT
IZ WSEH PAR (d1 d2) NATURALXNYH ^ISEL, TAA1 $ B A2 $ B B $ A1 B $ A2
KIH, ^TO d1 d2
8x A1 8x A2 9x A1 9x A2
(8.9) OPREDELQET OTNOENIE, KOTOROE SOSTOIT
IZ WSEH NATURALXNYH ^ISEL d1, OBLADA@]IH |TI SOOTNOENIQ POZWOLQ@T DOKAZATX TEOREMU OB \KSWOJSTWOM
WIWALENTNOJ ZAMENE, KOTORAQ UTWERVDAET, ^TO ESLI
DLQ KAVDOGO NATURALXNOGO d d1 d
FORMULA A SODERVIT NEKOTORU@ PODFORMULU B,
NETRUDNO WIDETX, ^TO DANNOE OTNOENIE SOB \KWIWALENTNA NEKOTOROJ FORMULE C, I
STOIT LIX IZ ^ISLA 1
FORMULA A POLU^AETSQ IZ A ZAMENOJ B NA C
(8.10) QWLQETSQ ISTINNYM WYSKAZYWANIEM, UTWERVDA@]IM SU]ESTWOWANIE NAIMENXEGO NA- TO A \KWIWALENTNA A .
TURALXNOGO ^ISLA.
dEJSTWITELXNO, A I A MOVNO RASSMATRIWATX KAK
2. pUSTX OBOZNA^AET TIP, ZNA^ENIQMI KOTOROGO QW- REZULXTAT NESKOLXKIH PRIPISYWANIJ SLEWA ILI SPRAWA
LQ@TSQ WSE L@DI, A R(x y) I S(x y) (GDE PREDI- K B I C ODNIH I TEH VE ZNAKOSO^ETANIJ (KAVDOE IZ
KATY R I S IME@T TIP ( )) INTERPRETIRU@TSQ KOTORYH QWLQETSQ LIBO ZNAKOM OTRICANIQ, LIBO FORSOOTWETSTWENNO KAK \x ESTX BRAT y" I \x ESTX RO- MULOJ SO SWQZKOJ, LIBO KWANTOROM). sOGLASNO PRIWED<NNYM WYE SOOTNOENIQM, KAVDOE PRIPISYWANIE SOHRADITELX y".
OTNOENIE \KWIWALENTNOSTI MEVDU POLU^A@]ItOGDA FORMULA 9z (R(x z) ^ S(z y)) OPREDELQET NQET
MISQ
FORMULAMI
.
OTNOENIE RODSTWA, SWQZYWA@]EE DQD@ I PLEMQNNIKA (ILI PLEMQNNICU).
0
0
0
0
0
37
8.5
zADA^I
wO WSEH ZADA^AH \TOJ GLAWY PREDPOLAGAETSQ, ^TO TIPY
WSEH WYRAVENIJ WO WSEH FORMULAH ODINAKOWY.
8.5.1
fORMALIZACIQ PREDLOVENIJ ESTESTWENNOGO QZYKA
8< P(y)
9=
(k) 8x 9y : P(x) ! Q(x) ! R(y)
Q(x) ! R(x)
8x9z 8y P(y)
P(x)
(l)
(( Q(z) ! R(z) ) ! (Q(x) $ Q(y)))
2. dOKAZATX, ^TO FORMULA A WYPOLNIMA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA WYPOLNIMA FORMULA 9xA, GDE x {
PROIZWOLXNAQ PEREMENNAQ.
pEREWESTI SLEDU@]IE PREDLOVENIQ NA QZYK FORMUL.
1. nE WSE PTICY MOGUT LETATX.
2. tY MOVEX OBMANYWATX KOE-KOGO WS< WREMQ, TY 8.5.4 tAWTOLOGII
MOVEX OBMANYWATX WSEH NEKOTOROE WREMQ, NO TY
1. qWLQ@TSQ LI SLEDU@]IE FORMULY TAWTOLOGIQMI?
NE MOVEX OBMANYWATX WSEH WS< WREMQ.
(a) 9x P(x) ! 8x P(x)
3. nI ODIN POLITIK NE ^ESTEN.
(b) 9x P(x) ! 8x P(x)
4. eSLI KTO-NIBUDX MOVET SDELATX \TO, TO I pETQ
(c) 9x 8y R(x y) ! 8y 9x R(x y)
MOVET.
(d) 8x 9y R(x y) ! 9y 8x R(x y)
5. wSQKIJ, W KOM ESTX UPORSTWO, MOVET IZU^ITX LO(e) 9x 8y R(x y) ! 9y 8x R(x y)
GIKU.
(f) 8x 8y R(x y) ! 8x R(x x)
(g) 9x R(x x) ! 9x 9y R(x y)
8.5.2 sWOBODNYE I SWQZANNYE WHOVDENIQ
(h) (8x A ! 9x B) $ (9x (A ! B))
PEREMENNYH
uKAZATX SWOBODNYE I SWQZANNYE WHOVDENIQ PEREMENNYH 2. dOKAZATX, ^TO SLEDU@]IE FORMULY QWLQ@TSQ TAWW SLEDU@]IE FORMULY
TOLOGIQMI:
1. 8z (8x R(x y) ! R(z x))
(a) 8x A $ 9x A
(b) 9x A $ 8x A
2. 8y R(z y) ! 8z R(z y)
(c) 8x (A ^ B) $ (8x A ^ 8x B)
3. (8y 9x R(x y f(x y))) _ 8x S(y g(x))
(d) 9x (A _ B) $ (9x A _ 9x B)
4. 8x (R(x y) ! 8y Q(y))
(e) (8x A _ 8x B) ! 8x (A _ B)
(f) 9x (A ^ B) ! (9x A ^ 9x B)
5. 8x R(x y) ! 8y Q(x y)
(g) 8x (A ! B) ! (8x A ! 8x B)
6. 9y Q(y y) ^ R(f(x y))
(h) 8x (A ! B) ! (9x A ! 9x B)
(i) (8x A ! 8x B) ! 9x (A ! B)
8.5.3 wYPOLNIMOSTX
(j) (9x A ! 9x B) ! 9x (A ! B)
1. wYPOLNIMY LI FORMULY
(k) (9x A ! 8x B) ! 8x (A ! B)
(a) 9x P(x)
(l) 8x (A _ B) ! (9x A _ 8x B)
(b) 8x P(x)
(m) 8x (A ^ B) ! (8x A ^ 9x B)
(c) 9x 8y (Q(x x) ^ Q(x y))
(n) 8x 8y A ! 8y 8x A
(d) 9x 9y (P(x) ^ P(y))
(o) 9x 9y A ! 9y 9x A
(e) 9x 8y (Q(x y) ! 8z R(x y z))
(p) 9x 8y A ! 8y 9x A
(f) P(x) ! 8y P (y)
(q) (8x (A $ B)) ! ((8x A) $ (8x B))
(g) 8x 9y (P(x) $ P(y))
(r) (8x (A $ B)) ! ((9x A) $ (9x B))
A
(h) 9y 8x (P(x) $ P(y))
(s)
(
9
x
(i) 9x 8y 9z (R(x) $ (S(y) _ T(z)))
B ! C ) ! (8x (A ! C) ! B)
GDE x NE WHODIT W FORMULU B
Q(x) ! Q(y) !
(j) 8x P(x) ! 8y P(y) ! 8z P(z)
(t) (8x (A ! B)) ! 9x A ^ 8x B
(u) (8x (A ! B)) ! 8x A ^ 9x B
38
3. dOKAZATX, ^TO SLEDU@]IE FORMULY NE QWLQ@TSQ
TAWTOLOGIQMI.
(a) (9x A ^ 9x B) ! 9x (A ^ B)
(b) 8x (A _ B) ! (8x A _ 8x B)
(c) (8x A ! 8x B) ! 8x (A ! B)
(d) 8y 9x R(x y) ! 9x 8y R(x y)
y) ! (R(x x) $ R(y y)))
(e) 9x 8y ( R(x
R(y x)
8<
R(x y) 9=
8
x
8
y
8
z
(
!
R(x
z))
R(y z)
(f) :
!
8x R(x x)
! 9x 8y R(x
y)
8< R(x
9=
x) (g) 8x 8y 8z : R(x z) ! R(x y) !
R(y z)
! 9y 8z R(y z)
4. dOKAZATX, ^TO A { TAWTOLOGIQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA 8xA { TAWTOLOGIQ.
5. pUSTX KAVDAQ PEREMENNAQ WYRAVENIQ e NE IMEET
SWQZANNYH WHOVDENIJ W FORMULU A. dOKAZATX, ^TO
SLEDU@]IE FORMULY QWLQ@TSQ TAWTOLOGIQMI:
(a) 8x A ! x := e]A
(b) x := e]A ! 9x A
6. pUSTX FORMULA A NE SODERVIT KWANTOROW.
dOKAZATX, ^TO A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ TOGDA I
TOLXKO TOGDA, KOGDA A IMEET WID (B), GDE B {
NEKOTORAQ TAWTOLOGIQ lw, I { NEKOTORAQ PODSTANOWKA.
8.5.5
iSTINNOSTX FORMUL W INTERPRETACIQH
2. nAPISATX FORMULU S ODNOARGUMENTNYMI PREDIKATAMI, ISTINNU@ LIX W TAKIH INTERPRETACIQH,
OBLASTX KOTORYH SODERVIT NE MENEE 5 \LEMENTOW.
3. dOKAZATX, ^TO FORMULA
R(x y) 9x 8y ( R(y x) ! (R(x x) $ R(y y)))
ISTINNA W L@BOJ INTERPRETACII, OBLASTX KOTOROJ
SOSTOIT NE BOLEE ^EM IZ TR<H \LEMENTOW
4. dOKAZATX, ^TO SLEDU@]AQ FORMULA ISTINNA WO WSQKOJ INTERPRETACII S KONE^NOJ OBLASTX@, NO LOVNA W NEKOTOROJ INTERPRETACII S BESKONE^NOJ OBLASTX@:
8< R(x x)
9=
8x 8y 8z : (R(x y) ^ R(y z)) ! R(x z) !
R(x y) _ R(y x)
! 9y 8x R(y x)
5. dOKAZATX, ^TO FORMULA
8> 8x 9y P(x y)
< 8x 8y (P(x y) ! P(y x))
>: 8x 8y 8z (P(x y) ^ P(y z)) ! P(x z)
9>
=
>
ISTINNA W NEKOTOROJ INTERPRETACII S BESKONE^NOJ OBLASTX@ I LOVNA WO WSEH INTERPRETACIQH S
KONE^NOJ OBLASTX@.
6. dOKAZATX, ^TO SLEDU@]IE FORMULY ISTINNY WO
WSQKOJ INTERPRETACII S KONE^NOJ OBLASTX@, NO NE
QWLQ@TSQ TAWTOLOGIQMI:
R(y z) ! R(x z) (a) 9x 8y 9z
! R(y x)
x)
8 R(x
9
< R(x x) =
8
x
8
y
8
z
R(x
y)
(b)
: R(x z) ! R(y z) !
1. rASSMOTRIM SLEDU@]IE FORMULY
R(f(x y) a)
R(x y) ! R(y x)
8x 8y 8z (R(x y) ! (R(y z) ! R(x z)))
! 9y 8z R(y z)
7. nAJTI INTERPRETACI@, W KOTOROJ ISTINNA FORMULA 9x 9y R(x y) I LOVNA FORMULA 8x 9y R(x y).
dLQ SLEDU@]IH INTERPRETACIJ I DLQ KAVDOJ IZ
\TIH FORMUL UKAZATX, PRI KAKIH OZNA^IWANIQH SWO- 8.5.6 sWOJSTWA, WYRAVAEMYE FORMULABODNYH PEREMENNYH \TI FORMULY ISTINNY.
MI
(a) w KA^ESTWE OBLASTI BER<TSQ MNOVESTWO WSEH
1. pUSTX I { INTERPRETACIQ, OBLASTX@ KOTOROJ QWLQNATURALXNYH ^ISEL, R(y z) f(y z) I a INTERETSQ MNOVESTWO NATURALXNYH ^ISEL, I PREDIKATY
PRETIRU@TSQ SOOTWETSTWENNO KAK
R I S INTERPRETIRU@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
y z y z 1
R(x y z) = 1 , x + y = z
S(x y z) = 1 , x y = z
(b) w KA^ESTWE OBLASTI BER<TSQ MNOVESTWO 2A ,
GDE A { NEKOTOROE MNOVESTWO, R(y z) f(y z)
(a) nAPISATX FORMULU S ODNOJ SWOBODNOJ PEREI a INTERPRETIRU@TSQ SOOTWETSTWENNO KAK
MENNOJ x, KOTORAQ BUDET ISTINNA W I TOGDA I
TOLXKO TOGDA KOGDA
y z y z 39
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
x=0
x=1
x=2
x { ^<TNO
x { NE^<TNO
x { PROSTOE ^ISLO
(b) nAPISATX FORMULU S DWUMQ SWOBODNYMI PEREMENNYMI x I y, ISTINNU@ W I TOGDA I TOLXKO
TOGDA KOGDA
i. x = y
ii. x y
iii. x < y
iv. x DELIT y
v. x I y QWLQ@TSQ PROSTYMI ^ISLAMI-BLIZ-
NECAMI
(c) nAPISATX FORMULU S TREMQ SWOBODNYMI PEREMENNYMI x y I z, ISTINNU@ W I TOGDA I
TOLXKO TOGDA KOGDA
i. z { NAIMENXEE OB]EE KRATNOE x I y
ii. z { NAIBOLXIJ OB]IJ DELITELX x I y
(d) nAPISATX FORMULY, WYRAVA@]IE W INTERPRETACII I SLEDU@]IE SWOJSTWA:
i. KOMMUTATIWNOSTX SLOVENIQ
ii. ASSOCIATIWNOSTX SLOVENIQ
iii. KOMMUTATIWNOSTX UMNOVENIQ
iv. ASSOCIATIWNOSTX UMNOVENIQ
v. DISTRIBUTIWNOSTX SLOVENIQ OTNOSITELXNO UMNOVENIQ
vi. BESKONE^NOSTX MNOVESTWA PROSTYH ^ISEL
vii. UTWERVDENIE O TOM, ^TO KAVDOE ^ISLO ESTX
SUMMA ^ETYR<H KWADRATOW
viii. UTWERVDENIE O TOM, ^TO DLQ KAVDOJ PARY OTLI^NYH OT NULQ ^ISEL SU]ESTWU@T
NAIBOLXIJ OB]IJ DELITELX I NAIMENXEE OB]EE KRATNOE
(e) nAISATX FORMULU, WYRAVA@]U@ W INTERPRETACII I
i. UTWERVDENIE O TOM, ^TO PROSTYH ^ISELBLIZNECOW - BESKONE^NO MNOGO
ii. WSQKOE ^<TNOE ^ISLO, BOLXEE 2, ESTX SUMMA DWUH PROSTYH
(f) nAPISATX FORMULU, WYRAVA@]U@ W INTERPRETACII I UTWERVDENIE O TOM, ^TO URAWNENIE 3x2 + 2x + 1 = 0 IMEET W TO^NOSTI DWA
RAZLI^NYH KORNQ.
(g) nAPISATX FORMULU, WYRAVA@]U@ W INTERPRETACII I UTWERVDENIE O TOM, ^TO SISTEMA
URAWNENIJ 3x ; y = 0
x+y = 1
NE IMEET REENIQ.
40
2. pUSTX I { INTERPRETACIQ, OBLASTX@ KOTOROJ QWLQETSQ MNOVESTWO WSEH TO^EK, PRQMYH I PLOSKOSTEJ
3-MERNOGO EWKLIDOWA PROSTRANSTWA, I PREDIKATY
tO^KA, pRQMAQ, pLOSKOSTX I lEVIT INTERPRETIRU@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
tO^KA(x) = 1 , x { TO^KA
pRQMAQ(x) = 1 , x { PRQMAQ
pLOSKOSTX(x) = 1 , x { PLOSKOSTX
lEVIT(x y) = 1 , x LEVIT NA y
nAPISATX FORMULY, WYRAVA@]IE SLEDU@]IE UTWERVDENIQ:
(a) ^EREZ KAVDYE DWE TO^KI MOVNO PROWESTI PRQMU@, I ESLI \TI TO^KI RAZLI^NY, TO TAKAQ
PRQMAQ EDINSTWENNA
(b) ^EREZ KAVDYE TRI TO^KI, NE LEVA]IE NA ODNOJ PRQMOJ, MOVNO PROWESTI EDINSTWENNU@
PLOSKOSTX
(c) AKSIOMU eWKLIDA O PARALLELXNYH PRQMYH
nAPISATX FORMULY, WYRAVA@]IE SLEDU@]IE SWOJSTWA:
(a) SWOJSTWO PARALLELXNOSTI PRQMYH
(b) SWOJSTWO PARALLELXNOSTI PLOSKOSTEJ
3. pUSTX I { NEKOTORAQ INTERPRETACIQ, W KOTOROJ INTERPRETIROWAN DWUHARGUMENTNYJ PREDIKAT R.
nAPISATX FORMULU, WYRAVA@]U@ SLEDU@]IE SWOJSTWA R:
(a) R REFLEKSIWEN
(b) R SIMMETRI^EN
(c) R TRANZITIWEN
(d) R QWLQETSQ \KWIWALENTNOSTX@
4. pUSTX I { NEKOTORAQ INTERPRETACIQ, W KOTOROJ
INTERPRETIROWANY DWUHARGUMENTNYE PREDIKATY
\" I \=".
nAPISATX S ISPOLXZOWANIEM DANNYH PREDIKATOW
FORMULY, WYRAVA@]IE AKSIOMY
(a) ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA
(b) LINEJNO UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA
5. pUSTX I { NEKOTORAQ INTERPRETACIQ S OBLASTX@,
QWLQ@]EJSQ ^ASTI^NO UPORQDO^ENNYM MNOVESTWOM, I W I INTERPRETIROWAN DWUHARGUMENTNYJ PREDIKAT R SLEDU@]IM OBRAZOM:
R(x y) = 1 , x y
nAPISATX FORMULY, WYRAVA@]IE SLEDU@]IE SWOJSTWA:
(a) x ESTX NAIMENXIJ \LEMENT
(b) x ESTX MINIMALXNYJ \LEMENT
8.5.7
|KWIWALENTNOSTX FORMUL
1. pUSTX PEREMENNAQ y NE WHODIT W FORMULU A. dOKAZATX, ^TO
(a) 8x A 8y x := y]A
(b) 9x A 9y x := y]A
(c) 8y A A
(d) 9y A A
RI (x y) = 1 , x y
PEREMENNAQ y NE WHODIT W FORMULU A. dOnAPISATX FORMULY, WYRAVA@]IE SLEDU@]IE SWOJ- 2. pUSTX
KAZATX
, ^TO W \TOM SLU^AE DLQ PROIZWOLXNOJ FORSTWA:
MULY B IME@T MESTO SOOTNOENIQ
(a) x ESTX PERESE^ENIE y I z
(a) A ^ (8y B) 8y (A ^ B)
(b) x ESTX OB_EDINENIE y I z
(b) A _ (8y B) 8y (A _ B)
(c) x = (c) A ^ (9y B) 9y (A ^ B)
(d) x = A
(d) A _ (9y B) 9y (A _ B)
(e) x ESTX DOPOLNENIE y
(e) A ! (8y B) 8y (A ! B)
7. pUSTX
(f) A ! (9y B) 9y (A ! B)
(g) (8y B) ! A 9y (B ! A)
I { INTERPRETACIQ S OBLASTX@ 2A, GDE A {
NEKOTOROE MNOVESTWO,
(h) (9y B) ! A 8y (B ! A)
W I INTERPRETIROWAN DWUHARGUMENTNYJ PRE- 3. dOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH FORMUL A B IME@T MESDIKAT R SLEDU@]IM OBRAZOM:
TO SOOTNOENIQ:
I
R (x y) = 1 , x = y
(a) 8x 8y A 8y 8x A
(b) 9x 9y A 9y 9x A
W I INTERPRETIROWANY DWUHARGUMENTNYE FUNK(c) 8x A 9x A
CIONALXNYE SIMWOLY f I g SLEDU@]IM OBRAZOM:
(d) 9x A 8x A
f I (x y) def
= x\y
(e) (8x A) ^ (8x B) 8x (A ^ B)
gI (x y) def
= xy
(f) (9x A) _ (9x B) 9x (A _ B)
nAPISATX FORMULY, WYRAVA@]IE SLEDU@]IE SWOJ(g) 9x (A ! B) (8x A) ! (9x B)
STWA:
(a) x y
(b) x { ODNO\LEMENTNOE MNOVESTWO
8. pUSTX
I { INTERPRETACIQ S OBLASTX@ N,
W I INTERPRETIROWANA KONSTANTA c : cI def
=1
W I INTERPRETIROWAN ODNOARGUMENTNYJ FUNKCIONALXNYJ SIMWOL s : sI (x) def
= x+1
W I INTERPRETIROWAN NEKOTORYJ ODNOARGUMENTNYJ PREDIKAT P
nAPISATX AKSIOMU INDUKCII DLQ P.
6. pUSTX
I { NEKOTORAQ INTERPRETACIQ S OBLASTX@ 2A
GDE A { NEKOTOROE MNOVESTWO, I
W I INTERPRETIROWAN DWUHARGUMENTNYJ PREDIKAT R SLEDU@]IM OBRAZOM:
41
lEKCIQ 9
tEOREMA |RBRANA
9.1
sKOLEMOWSKAQ NORMALXNAQ
FORMA
lITERALOM NAZYWAETSQ FORMULA lp WIDA A ILI A,
GDE A { ATOMARNAQ FORMULA.
dIZ_@NKTOM NAZYWAETSQ DIZ_@NKCIQ NEKOTOROGO
MNOVESTWA LITERALOW. eSLI \TO MNOVESTWO PUSTO, TO
SOOTWETSTWU@]IJ EMU DIZ_@NKT NAZYWAETSQ PUSTYM.
fORMULA lp NAZYWAETSQ SKOLEMOWSKOJ NORMALXNOJ FORMOJ (snf), ESLI ONA ZAMKNUTA I IMEET WID
8X (D1 ^ : : : ^ Dk )
(9.1)
GDE D1 : : : Dk { DIZ_@NKTY, I 8X QWLQETSQ SOKRA]ENIEM ZNAKOSO^ETANIQ 8x1 : : : 8xn , GDE X = fx1 : : :xng.
dLQ KAVDOJ FORMULY SU]ESTWUET snf , OBLADA@]AQ SLEDU@]IM SWOJSTWOM:
WYPOLNIMA , WYPOLNIMA
snf MOVET BYTX POSTROENA PRI POMO]I ALGORITMA, SOSTOQ]EGO IZ PERE^ISLENNYH NIVE \TAPOW. kAVDYJ \TAP ZAKL@^AETSQ W CIKLI^ESKOM WYPOLNENII SWQZANNYH S NIM DEJSTWIJ, KOTORYE WYPOLNQ@TSQ DO TEH
POR, POKA IH BUDET WOZMOVNO WYPOLNQTX. kOGDA WYPOLNENIE NI ODNOGO IZ DEJSTWIJ TEKU]EGO \TAPA NEWOZMOVNO, PROISHODIT PEREHOD K SLEDU@]EMU \TAPU.
1.
2.
3.
(c) kAVDAQ PODFORMULA WIDA A _ B ZAMENQETSQ
NA A ^ B.
(d) kAVDAQ PODFORMULA WIDA 8X B ZAMENQETSQ
NA 9XB.
(e) kAVDAQ PODFORMULA WIDA 9XB ZAMENQETSQ
NA 8X B.
4.
pEREDWIVENIE KWANTOROW NAPRAWO.
5.
uDALENIE KWANTOROW SU]ESTWOWANIQ.
eSLI MNOVESTWO FV () NEPUSTO, TO K SPEREDI PRIPISYWAETSQ ZNAKOSO^ETANIE 9x1 : : : 9xn , GDE
fx1 : : :xng = FV ().
6.
pEREIMENOWANIE SWQZANNYH PEREMENNYH.
(a) kAVDAQ PODFORMULA WIDA A $ B ZAMENQETSQ
NA (A ^ B) _ (A ^ B).
(b) kAVDAQ PODFORMULA WIDA A ! B ZAMENQETSQ
NA A _ B.
7.
pEREME]ENIE KWANTOROW NALEWO.
8.
wYNESENIE KON_@NKCIJ NARUVU.
9.
uDALENIE LINIH SKOBOK.
zAMYKANIE.
uDALENIE STRELOK.
pRONESENIE OTRICANIJ WNIZ.
(a) kAVDAQ PODFORMULA WIDA A ZAMENQETSQ NA A.
(b) kAVDAQ PODFORMULA WIDA A ^ B ZAMENQETSQ
NA A _ B.
42
(a) pODFORMULY WIDA 8x(A ^ B) ILI 9x(A _ B),
GDE x 2 F V (A) \ F V (B), ZAMENQ@TSQ SOOTWETSTWENNO NA 8xA ^ 8xB I 9xA _ 9xB
(b) pODFORMULY WIDA 8x(A B) ILI 9x(A B)
(WMESTO A B MOVET BYTX B A), GDE x 62
F V (B), I \" OBOZNA^AET \^" ILI \_", ZAMENQ@TSQ SOOTWETSTWENNO NA 8xA B I 9xA B
eSLI W FORMULU WHODIT HOTQ BY ODIN KWANTOR WIDA 9x, I ZA SAMYM LEWYM WHOVDENIEM \TOGO KWANTORA SLEDUET PODFORMULA A, TO \TO WHOVDENIE KWANTORA UDALQETSQ, I
(a) ESLI F V (A) = fxg, TO A ZAMENQETSQ NA FORMULU x := c]A, GDE c { NOWAQ KONSTANTA
(b) ESLI FV (A) = fx x1 : : : xng (n 1), TO A
ZAMENQETSQ NA FORMULU x := f(x1 : : : xn)]A,
GDE f { NOWYJ FUNKCIONALXNYJ SIMWOL
eSLI ESTX DWE PODFORMULY S ODINAKOWYMI KWANTORAMI: 8x A I 8x B, TO PODFORMULA 8x B ZAMENQETSQ NA 8y x := y]B, GDE y { NOWAQ PEREMENNAQ
wSE KWANTORY PEREME]A@TSQ W NA^ALO FORMULY.
pODFORMULY WIDA (A ^ B) _ C ILI C _ (A ^ B)
ZAMENQ@TSQ NA (A _ C) ^ (B _ C).
pODFORMULY WIDA (A ^ B) ^ C ILI A ^ (B ^ C)
PEREPISYWA@TSQ W WIDE A ^ B ^ C, A PODFORMULY
WIDA (A _ B) _ C ILI A _ (B _ C) { W WIDE A _ B _ C.
9.2
|RBRANOWSKIE INTERPRETACII
9.2.2
sWQZX PROIZWOLXNYH INTERPRETACIJ S |i
dLQ KAVDOGO OZNA^IWANIQ : X ! H(S) OBOZNA^IM
SIMWOLOM I OZNA^IWANIE
I
X - DI
9.2.1 pONQTIE \RBRANOWSKOJ INTERPRETACII
KOTOROE SOPOSTAWLQET KAVDOMU x 2 X ZNA^ENIE ((x))I .
kAVDOE OZNA^IWANIE : X ! H(S) MOVNO RASSMApUSTX ; { NEKOTOROE MNOVESTWO FORMUL.
TRAIWATX
I KAK PODSTANOWKU, KOTORAQ DEJSTWUET NA KAVmY BUDEM ISPOLXZOWATX SLEDU@]IE OBOZNA^ENIQ: DOE WYRAVENIE
PUT<M ZAMENY KAVDOJ WHODQ]EJ W NEGO
PEREMENNOJ x IZ X NA WYRAVENIE (x).
Con(;) OBOZNA^AET MNOVESTWO
dLQ KAVDOGO WYRAVENIQ e IZ Expr(S) S PEREMENNY{ W KOTOROE WHODQT WSE KONSTANTY, WHODQ]IE W MI IZ X IMEET MESTO SOOTNOENIE
FORMULY IZ ;, I, KROME TOGO,
( I )(e) = ((e))I
(9.2)
{ DLQ KAVDOGO TIPA , TAKOGO, ^TO W ; ESTX
WYRAVENIE TIPA , NO OTSUTSTWU@T KONSTAN- PRAWOJ ^ASTI KOTOROGO RASSMATRIWAETSQ KAK PODSTATY TIPA , Con(;) SODERVIT KAKU@-LIBO KON- WNOWKA
. dANNOE SOOTNOENIE DOKAZYWAETSQ INDUKCIEJ PO
STANTU TIPA STRUKTURE e.
w ISKOMOJ |i H(I) KAVDYJ PREDIKAT R 2 Rel(S)
F un(;) OBOZNA^AET MNOVESTWO WSEH FUNKCIONALXINTERPRETIRUETSQ
OTOBRAVENIM RH (I ) , KOTOROE SOPONYH SIMWOLOW, WHODQ]IH W FORMULY IZ ;
STAWLQET KAVDOMU SPISKU WYRAVENIJ (h1 : : : hn) SORel(;) OBOZNA^AET MNOVESTWO WSEH PREDIKATOW, WHO- OTWETSTWU@]IH TIPOW ZNA^ENIE
DQ]IH W FORMULY IZ ;
RI (hI1 : : : hIn)
Expr(;) OBOZNA^AET MNOVESTWO WYRAVENIJ, W KOTORYE WHODQT TOLXKO TAKIE KONSTANTY I FUNKCIOeSLI BY S BYLA LOVNA W H(I), TO, POSKOLXKU S \KNALXNYE SIMWOLY, KOTORYE PRINADLEVAT SOOTWET- WIWALENTNA FORMULE
STWENNO Con(;) I F un(;)
(8XD1 ) ^ : : : ^ (8XDk )
H(;) OBOZNA^AET MNOVESTWO WSEH WYRAVENIJ IZ
Expr(;), NE SODERVA]IH PEREMENNYH.
TO DLQ NEKOTOROGO i 2 f1 : : : kg FORMULA 8XDi BYLA
LOVNA W H(I), T.E. DLQ NEKOTOROGO OZNA^IWANIQ :
|RBRANOWSKOJ INTERPRETACIEJ (|i) DLQ ; NA- BY
X
!
H(S) BYLO BY WERNO RAWENSTWO (Di ) = 0, T.E. DLQ
ZYWAETSQ INTERPRETACIQ S OBLASTX@ H(;), W KOTOROJ KAVDOGO
LITERALA L, WHODQ]EGO W Di , BYLO BY WERNO
RAWENSTWO
(L) = 0.
KAVDAQ KONSTANTA c 2 Con(;) INTERPRETIRUETSQ
rASSMOTRIM
SLU^AJ, KOGDA LITERAL L POLOVITELXRAWNYM EJ WYRAVENIEM IZ H(;), I
NYJ, T.E. IMEET WID R(e1 : : : en). sOGLASNO OPREDELENIKAVDYJ FUNKCIONALXNYJ SIMWOL f 2 Fun(;) IN- QM I SOOTNOENI@ (9.2), IMEET MESTO CEPO^KA RAWENSTW
TERPRETIRUETSQ FUNKCIEJ, SOPOSTAWLQ@]EJ KAV0 = (L) = (R(e1 : : :en )) =
DOMU SPISKU WYRAVENIJ (h1 : : : hn) SOOTWETSTWU@]IH TIPOW WYRAVENIE f(h1 : : : hn).
= RH (I ) ((e1 ) : : : (en)) =
= RI (((e1 ))I : : : ((en))I ) =
nIVE W \TOJ GLAWE PREDPOLAGAETSQ, ^TO SPISOK ; SO= RI ( I (e1 ) : : : I (en )) =
STOIT IZ ODNOJ snf S WIDA (9.1)
= I (R(e1 : : : en )) = I (L)
pUSTX I { NEKOTORAQ INTERPRETACIQ, W KOTOROJ ISTINNA
snf S WIDA (9.1). pOSTROIM |i H(I) DLQ S, W KOTOROJ
S TAKVE BUDET ISTINNA.
dLQ KAVDOGO WYRAVENIQ h 2 H(S) MOVNO WY^ISLITX EGO ZNA^ENIE W INTERPRETACII I, KOTOROE MY BUDEM OBOZNA^ATX SIMWOLOM hI :
ESLI h = c 2 Con(S), TO hI QWLQETSQ INTERPRETACIEJ cI KONSTANTY c W I
ESLI h = f(h1 : : : hn), TO hI def
= f I (hI1 : : : hIn)
aNALOGI^NYM OBRAZOM DOKAZYWAETSQ RAWENSTWO
I (L) = 0
DLQ OTRICATELXNYH (T.E. SODERVA]IH OTRICANIE) LITERALOW IZ Di .
tAKIM OBRAZOM, IMEET MESTO SOOTNOENIE
I (Di ) = 0
KOTOROE PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@ O TOM, ^TO S ISTINNA W I.
43
9.3
9.3.1
sEMANTI^ESKIE DEREWXQ
lEMMA k<NIGA
nAPOMNIM, ^TO DEREWOM NAZYWAETSQ GRAF T
W KOTOROM WYDELENA WERINA Root(T), NAZYWAEMAQ KORNEM, I
DLQ KAVDOJ WERINY n KOTOROGO SU]ESTWUET EDINSTWENNYJ PUTX IZ Root(T) W n (KOTORYJ QWLQETSQ
PUSTYM, ESLI n = Root(T )).
dLQ KAVDOJ WERINY n 2 T E< GLUBINOJ NAZYWAETSQ KOLI^ESTWO R<BER NA PUTI IZ Root(T) W n.
wERINA n 2 T NAZYWAETSQ TERMINALXNOJ, ESLI
NE SU]ESTWUET R<BER, WYHODQ]IH IZ n.
pUTX W DEREWE T NAZYWAETSQ MAKSIMALXNYM, ESLI ON WYHODIT IZ Root(T), I LIBO BESKONE^EN, LIBO ZAKAN^IWAETSQ W NEKOTOROJ TERMINALXNOJ WERINE.
dLQ KAVDOJ WERINY n 2 T SIMWOL T (n) OBOZNA^AET PODDEREWO DEREWA T, WERINAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ
KONCY PUTEJ, NA^INA@]IHSQ W n.
pRI RASSUVDENIQH O DEREWXQH WAVNU@ ROLX IGRAET
LEMMA k<NIGA, KOTORAQ UTWERVDAET, ^TO ESLI
DEREWO T BESKONE^NO, I
IZ KAVDOJ WERINY n 2 T WYHODIT KONE^NOE ^ISLO R<BER
TO W T SU]ESTWUET BESKONE^NYJ PUTX.
dEJSTWITELXNO, OBOZNA^IM SIMWOLAMI n11 : : : n1k KONCY R<BER S NA^ALOM W Root(T). eSLI BY WSE DEREWXQ
T (n11) : : : T(n1k ) BYLI KONE^NYMI, TO T (n) TOVE BYLO
BY KONE^NYM, PO\TOMU DLQ NEKOTOROGO i 2 f1 : : : kg DEREWO T(n1i ) BESKONE^NO. dEREWO T(n1i ) TOVE UDOWLETWORQET USLOWIQM LEMMY k<NIGA, I, SLEDOWATELXNO, SREDI
KONCOW R<BER, WYHODQ]IH IZ EGO KORNQ n1i , SU]ESTWUET
TAKAQ WERINA n2j , ^TO DEREWO T (n2j ) BESKONE^NO. dEREWO T(n2j ) TOVE UDOWLETWORQET USLOWIQM LEMMY k<NIGA,
I T.D. pRODOLVAQ \TOT PROCESS NEOGRANI^ENNO, MY POSTROIM ISKOMYJ PUTX
Root(T ) ! n1i ! n2j ! : : :
9.3.2
sEMANTI^ESKIE DEREWXQ
t
; @
tAKIM OBRAZOM, T IMEET WID
oBOZNA^IM SIMWOLOM A(S) SPISOK fA0 A1 A2 : : :g WSEH
POLOVITELXNYH LITERALOW, W KOTORYE WHODQT TOLXKO
PREDIKATY IZ Rel(S) I WYRAVENIQ IZ H(S).
sEMANTI^ESKIM DEREWOM DLQ S NAZYWAETSQ DEREWO T, W KOTOROM DLQ KAVDOGO i 0
ESLI A(S) SODERVIT LITERAL S NOMEROM i, TO IZ
KAVDOJ WERINY DEREWA T GLUBINY i WYHODQT DWA
REBRA, ODNO IZ KOTORYH POME^ENO LITERALOM Ai , A
DRUGOE { LITERALOM Ai
ESLI A(S) NE SODERVIT LITERAL S NOMEROM i, TO W
DEREWE T NET WERIN GLUBINY > i.
t
t
A
;
@
;
@R
A ; @ A
A ; @ A
;
@
;
@
;
R
@
;
@R :::
:::
:::
1
A0
1
0
1
1
dLQ KAVDOGO MAKSIMALXNOGO PUTI W T, I KAVDOGO
LITERALA Ai IZ A(S), LIBO Ai LIBO Ai QWLQETSQ METKOJ
NEKOTOROGO REBRA NA PUTI . w PERWOM SLU^AE MY BUDEM
PISATX Ai 2 , A WO WTOROM { Ai 2 .
pO KAVDOJ |i I DLQ S MOVNO POSTROITX MAKSIMALXNYJ PUTX (I) W T , TAKOJ, ^TO
DLQ KAVDOGO Ai 2 A(S) AIi = 1 , Ai 2 (I) (9.3)
sOGLASNO OPREDELENI@ ZNA^ENIQ FORMULY W INTERPRETACII, SOOTNOENIE S I = 0 \KWIWALENTNO USLOWI@
9
SU]ESTWU@T OZNA^IWANIE : X ! H(S) =
I DIZ_@NKT Di IZ S, TAKIE, ^TO
(9.4)
DLQ KAVDOGO LITERALA L IZ Di (L) = 0 sOGLASNO WYBORU PUTI (I), SOOTNOENIE (L) = 0
\KWIWALENTNO SOOTNOENI@ (L) 2 (I), W KOTOROM
RASSMATRIWAETSQ KAK PODSTANOWKA, I
ESLI LITERAL L { OTRICATELXNYJ, TO (L) { POLOVITELXNYJ LITERAL, POLU^AEMYJ IZ (L) UDALENIEM OTRICANIQ.
dEJSTWITELXNO, PUSTX, NAPRIMER, L { POLOVITELXNYJ
LITERAL WIDA R(e1 : : : en). sOOTNOENIE (L) = 0 OZNA^AET, ^TO
RI ((e1 ) : : : (en)) = 0
T.E. W |i I LITERAL R((e1 ) : : : (en )) IMEET ZNA^ENIE
0, PO\TOMU LITERAL
(L) = R((e1 ) : : : (en))
IMEET W I ZNA^ENIE 1, I SLEDOWATELXNO, PO OPREDELENI@
PUTI (I), (L) 2 (I).
aNALOGI^NO RASSMATRIWAETSQ SLU^AJ, KOGDA L { OTRICATELXNYJ LITERAL.
oBOZNA^IM SIMWOLOM n(I) WERINU NA PUTI (I),
TAKU@, ^TO WSE LITERALY WIDA (L), GDE L 2 Di , SODERVATSQ NA U^ASTKE PUTI (I) OT KORNQ DO n(I).
s ISPOLXZOWANIEM WWED<NNYH PONQTIJ, USLOWIE (9.4)
MOVNO PEREFORMULIROWATX TAK:
9
SU]ESTWU@T PODSTANOWKA : X ! H(S) >
=
I DIZ_@NKT Di IZ S, TAKIE, ^TO
(9.5)
DLQ KAVDOGO LITERALA L IZ Di
>
(L) PRINADLEVIT PUTI IZ KORNQ W n(I)
44
9.4
tEOREMA |RBRANA
dLQ OBRATNOGO DOKAZATELXSTWA (^TO IZ USLOWIQ W FORMULIROWKE TEOREMY SLEDUET NEWYPOLNIMOSTX S) PREDPOLOVIM, ^TO S WYPOLNIMA. tOGDA ONA ISTINNA W NEKOTOROJ |i I. sLEDOWATELXNO, DLQ KAVDOGO i = 1 : : : p
FORMULA 8XDji ISTINNA W I, PO\TOMU FORMULA i (Dji )
TOVE ISTINNA W I.
tAKIM OBRAZOM, (9.6) ISTINNA W I. nO, POSKOLXKU
(9.6) IMEET WID (F ), GDE F { NEWYPOLNIMAQ FORMULA
lw, TO ONA NE MOVET BYTX ISTINNOJ NI W KAKOJ INTERPRETACII.
tEOREMA |RBRANA UTWERVDAET, ^TO NEWYPOLNIMOSTX
snf S WIDA (9.1) \KWIWALENTNA SLEDU@]EMU USLOWI@:
SU]ESTWU@T PODSTANOWKI 1 : : : p : X ! H(S), I SOOTWETSTWU@]IE IM DIZ_@NKTY Dj1 : : : Djp IZ S, TAKIE,
^TO FORMULA
1 (Dj1 ) ^ : : : ^ p (Djp )
(9.6)
IMEET WID (F), GDE
sLEDSTWIE.
F { NEKOTORAQ NEWYPOLNIMAQ FORMULA lw, I
fORMULA A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ TOGDA I TOLXKO
{ PODSTANOWKA LITERALOW IZ A(S) WMESTO BULE- TOGDA, KOGDA snf S DLQ A UDOWLETWORQET USLOWI@, IZWYH PEREMENNYH, WHODQ]IH W F.
LOVENNOMU W FORMULIROWKE TEOREMY |RBRANA.
dLQ DOKAZATELXSTWA TOGO, ^TO IZ NEWYPOLNIMOSTI
S SLEDUET DANNOE USLOWIE, UDALIM IZ SEMANTI^ESKOGO 9.5
DEREWA T DLQ S WSE WERINY (I WHODQ]IE W NIH R<BRA),
W KOTORYE WED<T NEPUSTOJ PUTX IZ KAKOJ-LIBO WERINY 1. dOKAZATX, ^TO ISHODNAQ FORMULA WYPOLNIMA TOGWIDA n(I), GDE I { PROIZWOLXNAQ |i DLQ S. nETRUDNO
DA I TOLXKO TOGDA, KOGDA POSTROENNAQ PO NEJ snf
WIDETX, ^TO POLU^IWIJSQ GRAF T BUDET DEREWOM.
WYPOLNIMA.
dEREWO T BUDET KONE^NYM, POTOMU ^TO W PROTIWNOM
SLU^AE PO LEMME k<NIGA W T SU]ESTWUET BESKONE^NYJ 2. pRIWESTI K snf
PUTX , KOTORYJ BUDET PUT<M I W ISHODNOM DEREWE T.
(a) (9x 8y R(x y)) ^ (9x 8y S(x y))
dLQ NEKOTOROJ |i I IMEET MESTO RAWENSTWO = (I),
(b) (9x 8y R(x y)) _ (9x 8y S(x y))
I, SLEDOWATELXNO, NA PUTI RASPOLOVENA WERINA n(I).
pO POSTROENI@ DEREWA T , WSE WERINY NA PUTI , RAS(c) (9x 8y R(x y)) ! (9x 8y S(x y))
POLOVENNYE NIVE n(I), DOLVNY OTSUTSTWOWATX W DEREWE
(d) (9x 8y R(x y)) ! (8x 9y R(x y))
T , ^TO PROTIWORE^IT BESKONE^NOSTI PUTI .
(e) 8x 9y (R(x) ! Q(y z)) !
pUSTX (n1 : : : np ) { SPISOK TERMINALXNYH WERIN
! 9x 8z (Q(x z) ^ R(y))
DEREWA T . pO POSTROENI@, WSE ONI IMEET WID n(Ii ) DLQ
NEKOTORYH |i I1 : : : Ip .
(f) 8x R(x) ! 8y (8z Q(x z) ! 8u R(u))
tAK KAK S NEWYPOLNIMA, TO DLQ KAVDOGO i = 1 : : : p
IMEET MESTO SOOTNOENIE S Ii = 0, KOTOROE, SOGLASNO
(9.5), \KWIWALENTNO USLOWI@
9
SU]ESTWU@T PODSTANOWKA i : X ! H(S) >
=
I DIZ_@NKT Dji IZ S, TAKIE, ^TO
(9.7)
DLQ KAVDOGO LITERALA L IZ Dji
>
i (L) PRINADLEVIT PUTI IZ KORNQ W n(Ii ) iSKOMAQ FORMULA (9.6) STROITSQ IZ \TIH DIZ_@NKTOW I OZNA^IWANIJ. dOKAVEM, ^TO ONA NEWYPOLNIMA.
eSLI BY ONA BYLA WYPOLNIMA, TO ONA BYLA BY ISTINNA W NEKOTOROJ |i I. pUTX (I) W DEREWE T PROHODIT
^EREZ NEKOTORU@ WERINU ni IZ SPISKA (n1 : : : np), I,
SLEDOWATELXNO, EGO U^ASTOK OT KORNQ DO ni SODERVIT WSE
LITERALY WIDA i (L), GDE L 2 Dji .
pO OPREDELENI@ PUTI (I), KAVDYJ LITERAL, PRINADLEVA]IJ (I), QWLQETSQ ISTINNYM W I, I, SLEDOWATELXNO, WSE LITERALY WIDA i (L), GDE L 2 Dji , LOVNY W
I. pO\TOMU FORMULA i (Dji ) LOVNA W I, I, SLEDOWATELXNO, WSQ FORMULA (9.6) LOVNA W I.
fORMULA F, UPOMQNUTAQ W FORMULIROWKE TEOREMY,
POLU^AETSQ IZ (9.6) ZAMENOJ KAVDOGO WHODQ]EGO W NE<
LITERALA WIDA Ai IZ A(S) NA SOOTWETSTWU@]U@ EMU
BULEWU PEREMENNU@ pi .
zADA^I
0
0
0
0
0
0
45
lEKCIQ 10
mETOD REZOL@CIJ DLQ lp
10.1
oPISANIE METODA REZOL@CIJ 10.1.2 sISTEMY FORMALXNYH RAWENSTW
kAK I W SLU^AE lw, METOD REZOL@CIJ DLQ lp PREDNAZNA^EN DLQ POISKA OTWETA NA WOPROS, QWLQETSQ LI ANALIZIRUEMAQ FORMULA lp TAWTOLOGIEJ.
pRIMENENIE METODA REZOL@CIJ K FORMULE A ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO A PRIWODITSQ K snf S, I SOSTAWLQETSQ NABOR DIZ_@NKTOW, KOTORYJ SNA^ALA SOSTOIT IZ WSEH
DIZ_@NKTOW, WHODQ]IH W S, A ZATEM K NEMU DOBAWLQ@TSQ
REZOLXWENTY PROIZWOLXNYH PAR DIZ_@NKTOW, I
SKLEJKI PROIZWOLXNYH DIZ_@NKTOW
IZ TEKU]EGO NABORA.
eSLI K TEKU]EMU NABORU W NEKOTORYJ MOMENT DOBAWILSQ PUSTOJ DIZ_@NKT, TO A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ.
dLQ OPREDELENIQ PONQTIQ REZOLXWENTY I SKLEJKI
DIZ_@NKTOW MY WWED<M PONQTIE UNIFIKATORA.
10.1.1
pONQTIE UNIFIKATORA
pUSTX ZADANO NEKOTOROE MNOVESTWO L LITERALOW.
dLQ KAVDOJ PODSTANOWKI SIMWOL (L) OBOZNA^AET
MNOVESTWO LITERALOW WIDA (L), GDE L 2 L.
mNOVESTWO L NAZYWAETSQ UNIFICIRUEMYM, ESLI
SU]ESTWUET PODSTANOWKA (NAZYWAEMAQ UNIFIKATOROM MNOVESTWA L), TAKAQ, ^TO MNOVESTWO (L) SOSTOIT
IZ ODNOGO LITERALA.
o^EWIDNO, ^TO L UNIFICIRUEMO TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA WYPOLNENY SLEDU@]IE USLOWIQ:
LIBO WSE LITERALY W L POLOVITELXNY, LIBO WSE
ONI OTRICATELXNY
PREDIKATY WO WSEH LITERALAH IZ L SOWPADA@T
PUSTX MNOVESTWO SPISKOW WYRAVENIJ W LITERALAH
IZ L IMEET WID
(e11 : : : e1n) : : : (ek1 : : : ekn )
TOGDA SU]ESTWUET PODSTANOWKA , TAKAQ, ^TO
8 (e1) = : : : = (ek )
< 1
1
:
:
:
(10.1)
: (e1n) = : : : = (ekn)
rASSMOTRIM SISTEMU FORMALXNYH RAWENSTW WIDA
8< u = v
1
1
:
:
:
: um = vm
(10.2)
GDE u1 v1 : : : um vm { WYRAVENIQ.
pODSTANOWKA NAZYWAETSQ REENIEM SISTEMY (10.2),
ESLI DLQ KAVDOGO i = 1 : : : m (ui ) = (vi ).
o^EWIDNO, ^TO PODSTANOWKA UDOWLETWORQET USLOWI@ (10.1) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONA QWLQETSQ REENIEM SISTEMY
, SOSTOQ]EJ IZ FORMALXNYH RAWENSTW
WIDA e1i = eji , GDE i = 1 : : : n I j = 2 : : : k. tAKIM OBRAZOM, ZADA^A NAHOVDENIQ UNIFIKATORA SWODITSQ K ZADA^E
NAHOVDENIQ REENIQ SISTEMY FORMALXNYH RAWENSTW.
zAMETIM, ^TO ESLI QWLQETSQ REENIEM SISTEMY
(10.2), TO DLQ KAVDOJ PODSTANOWKI PODSTANOWKA TOVE QWLQETSQ REENIEM SISTEMY (10.2).
NAZYWAETSQ NAIBOLEE OB]IM REENIEM (nor)
SISTEMY (10.2), ESLI KAVDOE REENIE DANNOJ SISTEMY
IMEET WID , GDE { PROIZWOLXNAQ PODSTANOWKA.
mY BUDEM GOWORITX, ^TO SISTEMA (10.2) NAHODITSQ
W NORMALXNOJ FORME (nf), ESLI SPISOK u1 : : : um
PREDSTAWLQET SOBOJ SPISOK x1 : : : xm RAZLI^NYH PEREMENNYH, KAVDAQ IZ KOTORYH NE WHODIT NI W ODNO IZ
WYRAVENIJ v1 : : : vm . nETRUDNO DOKAZATX, ^TO W \TOM
SLU^AE PODSTANOWKA def
= x1 := v1 : : : xm := vm ] QWLQETSQ REENIEM SISTEMY (10.2).
dOKAVEM, ^TO DANNAQ PODSTANOWKA QWLQETSQ nor SISTEMY (10.2). pUSTX { REENIE SISTEMY (10.2), T.E. DLQ
KAVDOGO i = 1 : : : m (xi ) = (vi ).
dLQ KAVDOJ PEREMENNOJ xi , WHODQ]EJ W SPISOK
(x1 : : : xm) IMEET MESTO RAWENSTWO (xi ) = vi , PO\TOMU ( )(xi ) = (xi ).
dLQ KAVDOJ PEREMENNOJ x, NE WHODQ]EJ W SPISOK
(x1 : : : xm) IMEET MESTO RAWENSTWO (x) = x, PO\TOMU DLQ KAVDOJ TAKOJ PEREMENNOJ IMEET MESTO
RAWENSTWO ( )(x) = (x).
sLEDOWATELXNO, RAWENSTWO ( )(x) = (x) IMEET MESTO
DLQ L@BOJ PEREMENNOJ x, T.E. PODSTANOWKI I SOWPADA@T.
tAKIM OBRAZOM, QWLQETSQ nor SISTEMY (10.2).
46
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
dOKAVEM, ^TO DANNYJ ALGORITM WSEGDA ZAWERAET
sISTEMY FORMALXNYH RAWENSTW NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI, ESLI MNOVESTWA IH REENIJ SOWPADA@T. SWO@ RABOTU. pREDPOLOVIM, ^TO ON DOPUSKAET BESKO-
nAHOVDENIE REENIQ SISTEMY (10.2) PROIZWODITSQ
PUT<M E< PREOBRAZOWANIQ W \KWIWALENTNU@ EJ SISTEMU
W nf. aLGORITM PREOBRAZOWANIQ IMEET ITERATIWNYJ
WID, GDE KAVDYJ AG ITERACII ZAKL@^AETSQ W PRIMENENII K TEKU]EJ SISTEME PROIZWOLXNOGO PRAWILA IZ IZLAGAEMOGO NIVE SPISKA, DO TEH POR, POKA WOZMOVNO PRIMENITX KAKOE-LIBO IZ \TIH PRAWIL.
1. eSLI SISTEMA SODERVIT RAWENSTWO WIDA u = u, TO
ONO UDALQETSQ.
2. eSLI SISTEMA SODERVIT RAWENSTWO WIDA
NE^NOE WY^ISLENIE, I POSLEDOWATELXNOSTX SISTEM, POLU^A@]IHSQ NA KAVDOM AGE \TOGO WY^ISLENIQ, IMEET
WID (Si j i 0). dLQ KAVDOGO i 0 PRI PEREHODE OT Si
K Si+1 MOGUT PRIMENQTXSQ TOLXKO PRAWILA WIDA 1, 2, 3.
kOLI^ESTWO PRIMENENIJ PRAWILA 3 W \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI NE MOVET BYTX BESKONE^NYM. dEJSTWITELXNO, KAVDOE PRIMENENIE PRAWILA 3 UWELI^IWAET KOLI^ESTWO RAWENSTW WIDA x = v (ILI v = x), GDE x { PEREMENNAQ, IME@]AQ TOLXKO ODNO WHOVDENIE W TEKU]U@
SISTEMU. rAWENSTWA TAKOGO WIDA NE MOGUT UDALITXSQ POSLEDU@]IMI PRIMENENIQMI PRAWIL WIDA 1 I 2, HOTQ MOGUT IZMENQTXSQ POSLEDU@]IMI PRIMENENIQMI PRAWIf(u1 : : : um ) = f(v1 : : : vm )
LA 3. kOLI^ESTWO RAWENSTW TAKOGO WIDA NE MOVET BYTX
BOLXE, ^EM KOLI^ESTWO RAZLI^NYH PEREMENNYH W ISTO ONO ZAMENQETSQ NA SOWOKUPNOSTX RAWENSTW
HODNOJ SISTEME.
u1 = v1 : : : um = vm
tAKIM OBRAZOM, NA^INAQ S NEKOTOROGO MOMENTA, PEREHODY OT Si K Si+1 PROISHODQT TOLXKO PO PRAWILAM 1 I
3. eSLI SISTEMA SODERVIT RAWENSTWO WIDA x = v (ILI 2, KOTORYE UMENXA@T KOLI^ESTWO SIMWOLOW W SISTEME,
v = x), GDE x { PEREMENNAQ, NE WHODQ]AQ W v, NO I PO\TOMU TOVE NE MOGUT PRIMENQTXSQ BESKONE^NO.
WHODQ]AQ W KAKOE-LIBO DRUGOE RAWENSTWO, TO WO
WSEH DRUGIH RAWENSTWAH x ZAMENQETSQ NA v.
uNIFIKATOR DLQ MNOVESTWA LITERALOW L NAZYWAETSQ
NAIBOLEE OB]IM (I OBOZNA^AETSQ ABBREWIATUROJ
4. eSLI SISTEMA SODERVIT RAWENSTWO WIDA x = v (ILI
nou
), ESLI QWLQETSQ nor SISTEMY FORMALXNYH RAv = x), GDE x { PEREMENNAQ, WHODQ]AQ W v, I x =
6 v,
WENSTW
, SOOTWETSTWU@]EJ USLOWI@ (10.1).
TO ALGORITM ZAKAN^IWAETSQ NEUDA^EJ.
5. eSLI SISTEMA SODERVIT RAWENSTWO u = v, GDE LI- 10.1.3 pONQTIE REZOLXWENTY
BO u I v { RAZLI^NYE KONSTANTY, LIBO ODNO IZ
\TIH WYRAVENIJ IMEET WID f(u1 : : : um ) A DRUGOE pUSTX D1 D2 { PARA DIZ_@NKTOW, TAKAQ, ^TO
- LIBO KONSTANTA, LIBO IMEET WID g(v1 : : : vk ), GDE
FV (D1 ) \ FV (D2 ) = , I
f 6= g, TO ALGORITM ZAKAN^IWAETSQ NEUDA^EJ.
D1 SODERVIT LITERAL L1 , D2 { LITERAL L2, PRIo^EWIDNO, ^TO DEJSTWIQ 1,2,3 PREOBRAZU@T SISTEMU
^<M PARA fL1 L2 g UNIFICIRUEMA, I { E< nou.
W \KWIWALENTNU@ EJ SISTEMU.
zAMETIM, ^TO
rEZOLXWENTOJ D1 I D2 NAZYWAETSQ DIZ_@NKT, SOSTOESLI DANNYJ ALGORITM ZAKON^IT SWO@ RABOTU USPE- Q]IJ IZ LITERALOW WIDA (L), GDE L { LITERAL IZ D1 ,
NO, TO POSLE ZAMENY W POLU^IWEJSQ SISTEME OTLI^NYJ OT L1 , ILI LITERAL IZ D2 , OTLI^NYJ OT L2 .
KAVDOGO FORMALXNOGO RAWENSTWA WIDA v = x (GDE
w TOM SLU^AE, KOGDA D1 I D2 SODERVAT OB]IE PEx { PEREMENNAQ) NA x = v, DANNAQ SISTEMA BUDET REMENNYE, PONQTIE REZOLXWENTY DLQ NIH OPREDELQETNAHODITXSQ W nf, I, SLEDOWATELXNO, IMEET nor, SQ PO^TI TAK VE, NO S TEM OTLI^IEM, ^TO WMESTO D2
KOTOROE QWLQETSQ TAKVE I nor ISHODNOJ SISTEMY RASSMATRIWAETSQ DIZ_@NKT, POLU^AEMYJ IZ D2 ZAMENOJ
WHODQ]EJ W NEGO PEREMENNOJ, WHODQ]EJ TAKVE
ESLI ALGORITM ZAKAN^IWAETSQ NEUDA^EJ, TO ISHOD- KAVDOJ
I
W
D
,
NA
NOWU@ PEREMENNU@, NE WHODQ]U@ W D1 I D2
1
NAQ SISTEMA NE IMEET REENIJ, POTOMU ^TO W \TOM (PRI \TOM KAVDOE
WHOVDENIE ODNOJ I TOJ VE PEREMENSLU^AE ONA \KWIWALENTNA SISTEME, KOTORAQ
NOJ ZAMENQETSQ NA ODNU I TU VE NOWU@ PEREMENNU@).
{ LIBO SODERVIT RAWENSTWO x = v (ILI v = x),
oDNA PARA DIZ_@NKTOW MOVET IMETX NESKOLXKO REGDE x { PEREMENNAQ, WHODQ]AQ W v, x =
6 v, I ZOLXWENT, W ZAWISIMOSTI OT WYBORA PARY L1 L2 UDALQQSNO, ^TO NIKAKAQ PODSTANOWKA NE MOVET EMYH LITERALOW.
DELATX ISTINNYM RAWENSTWO (x) = (v), TAK
KAK KOLI^ESTWO SIMWOLOW W LEWOJ ^ASTI \TOGO RAWENSTWA WSEGDA BUDET MENXE, ^EM KOLI- 10.1.4 pONQTIE SKLEJKI
pUSTX D { DIZ_@NKT, SODERVA]IJ UNIFICIRUEMOE POD^ESTWO SIMWOLOW W EGO PRAWOJ ^ASTI
LITERALOW fL1 : : : Lk g, I { nou \TOGO
{ LIBO SODERVIT RAWENSTWO u = v, GDE PERWYE MNOVESTWO
PODMNOVESTWA
.
SIMWOLY W u I v RAZLI^NY I NE QWLQ@TSQ PEsKLEJKOJ
DIZ_@NKTA D NAZYWAETSQ DIZ_@NKT, SOREMENNYMI, PO\TOMU DLQ L@BOJ PODSTANOWKI
STOQ]IJ
IZ
LITERALOW
WIDA (L), GDE L 2 D.
WYRAVENIQ (u) I (v) BUDUT RAZLI^NY.
47
10.2
kORREKTNOSTX METODA REZOL@CIJ
sWOJSTWO KORREKTNOSTI METODA REZOL@CIJ ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO ESLI W NEKOTORYJ MOMENT K TEKU]EMU
NABORU DOBAWILSQ PUSTOJ DIZ_@NKT, TO ANALIZIRUEMAQ
FORMULA A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ.
dLQ DOKAZATELXSTWA \TOGO SWOJSTWA PREDPOLOVIM,
^TO A { NE TAWTOLOGIQ, T.E. A WYPOLNIMA. sLEDOWATELXNO, snf S ISTINNA W NEKOTOROJ INTERPRETACII I, T.E.
KAVDYJ DIZ_@NKT IZ S QWLQETSQ ISTINNYM W I.
eSLI DIZ_@NKT D QWLQETSQ ISTINNYM W I, TO DLQ
KAVDOJ PODSTANOWKI DIZ_@NKT (D) TOVE QWLQETSQ
ISTINNYM W I, POTOMU ^TO DLQ KAVDOGO OZNA^IWANIQ
: Y ! DI (GDE Y { MNOVESTWO PEREMENNYH, SODERVA]EE WSE PEREMENNYE IZ D I ) IMEET MESTO RAWENSTWO
((D)) = ()(D) = 1, GDE OZNA^IWANIE : Y ! DI SOPOSTAWLQET KAVDOJ PEREMENNOJ y 2 Y ZNA^ENIE ((y)).
oTMETIM TAKVE, ^TO OPERACI@ ZAMENY PEREMENNYH,
ISPOLXZUEMU@ PRI POSTROENII REZOLXWENTY (KOGDA D1
I D2 SODERVAT OB]IE PEREMENNYE) MOVNO RASSMATRIWATX KAK PRIMENENIE NEKOTOROJ PODSTANOWKI K D2 .
tAKIM OBRAZOM, REZOLXWENTY I SKLEJKI DIZ_@NKTOW,
KOTORYE ISTINNY W I, TOVE QWLQ@TSQ ISTINNYMI W I.
sLEDOWATELXNO, WSE DIZ_@NKTY, KOTORYE BYLI DOBAWLENY K ISHODNOMU NABORU, QWLQ@TSQ ISTINNYMI W I.
pO PREDPOLOVENI@, W NEKOTORYJ MOMENT K TEKU]EMU NABORU DOBAWILSQ PUSTOJ DIZ_@NKT. pUSTOJ DIZ_@NKT MOVET BYTX POLU^EN TOLXKO KAK REZOLXWENTA PARY LITERALOW WIDA L1 L2, GDE MNOVESTWO fL1 L2g UNIFICIRUEMO. oBOZNA^IM EGO nou SIMWOLOM .
eSLI LITERALY L1 I L2 ISTINNY W I, TO (L1 ) I
(L2 ) TOVE ISTINNY W I. nO DANNYE LITERALY QWLQ@TSQ
PROTIWOPOLOVNYMI, I, SLEDOWATELXNO, NE MOGUT BYTX
ODNOWREMENNO ISTINNYMI W I.
sLEDOWATELXNO, NAE PREDPOLOVENIE O TOM, ^TO A {
NE TAWTOLOGIQ, QWLQETSQ OIBO^NYM.
10.3
pOLNOTA METODA REZOL@CIJ
dOKAVEM, ^TO METOD REZOL@CIJ OBLADAET SWOJSTWOM POLNOTY, KOTORAQ ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO ESLI ANALIZIRUEMAQ FORMULA A QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, TO IZ NABORA
DIZ_@NKTOW D1 : : : Dk , WHODQ]IH W snf S DLQ A, METODOM REZOL@CIJ MOVNO WYWESTI PUSTOJ DIZ_@NKT.
sOGLASNO SLEDSTWI@ IZ TEOREMY |RBRANA, SU]ESTWU@T PODSTANOWKI 1 : : : p : X ! H(S), I SOOTWETSTWU@]IE IM DIZ_@NKTY Dj1 : : : Djp IZ S, TAKIE, ^TO
FORMULA 1(Dj1 ) ^ : : : ^ p (Djp ) IMEET WID (F), GDE F
{ NEWYPOLNIMAQ FORMULA lw, I { PODSTANOWKA, ZAMENQ@]AQ KAVDU@ BULEWU PEREMENNU@ pi W F NA SOOTWETSTWU@]IJ EJ LITERAL Ai 2 A(S).
eSLI (F) IMEET WID KON_@NKCII DIZ_@NKTOW, TO,
ZNA^IT, FORMULA F IMEET WID knf, I POSKOLXKU ONA NEWYPOLNIMA, TO, PO TEOREME O POLNOTE METODA REZOL@CIJ
DLQ lw, IZ DIZ_@NKTOW, WHODQ]IH W F, MOVNO WYWESTI
PUSTOJ DIZ_@NKT, T.E. SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTX
DIZ_@NKTOW, KAVDYJ IZ KOTORYH
LIBO QWLQETSQ DIZ_@NKTOM, WHODQ]IM W F,
LIBO QWLQETSQ REZOLXWENTOJ DWUH DIZ_@NKTOW, RASPOLOVENNYH LEWEE W \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI
I POSLEDNIJ DIZ_@NKT W NEJ QWLQETSQ PUSTYM. nETRUDNO WIDETX, ^TO, ZAMENIW W \TOJ POSLEDOWATELXNOSTI KAVDU@ BULEWU PEREMENNU@ pi NA SOOTWETSTWU@]U@ EJ ATOMARNU@ FORMULU Ai 2 A(S), MY POLU^IM WYWOD PUSTOGO DIZ_@NKTA IZ NABORA 1 (Dj1 ) : : : p(Djp ).
|TOT WYWOD MOVNO \PODNQTX" DO WYWODA PUSTOGO
DIZ_@NKTA IZ NABORA DIZ_@NKTOW, WHODQ]IH W S. |TO
WOZMOVNO BLAGODARQ LEMME O POD_<ME, KOTORAQ UTWERVDAET, ^TO ESLI DIZ_@NKTY D1 D2 NE SODERVAT OB]IH PEREMENNYH, I PODSTANOWKI 1 I 2 TAKOWY, ^TO
IZ 1 (D1 ) I 2 (D2 ) MOVNO POLU^ITX REZOLXWENTU D TO
IZ DIZ_@NKTOW D1 I D2 MOVNO POLU^ITX PRI POMO]I
POSTROENIQ REZOLXWENT I SKLEEK TAKOJ DIZ_@NKT D, ^TO
(D) = D DLQ NEKOTOROJ PODSTANOWKI .
dEJSTWITELXNO, PRI POSTROENII REZOLXWENTY D WYBIRA@TSQ LITERALY L1 W 1 (D1 ) I L2 W 2 (D2 ), TAKIE,
^TO MNOVESTWO fL1 L2 g UNIFICIRUEMO. oBOZNA^IM EGO
nou SIMWOLOM . oBOZNA^IM SIMWOLAMI L1 I L2 MNOVESTWA LITERALOW IZ D1 I D2 SOOTWETSTWENNO, SOSTOQ]IE IZ TAKIH LITERALOW L, ^TO 1 (L) = L1 I 2 (L) = L2 .
oBOZNA^IM nou MNOVESTW L1 I L2 SIMWOLAMI 1 I 2 .
pO SWOJSTWU nou, SU]ESTWU@T PODSTANOWKI 1 I 2 ,
TAKIE, ^TO 1 1 = 1 I 2 2 = 2 .
pOSKOLXKU D1 I D2 NE IME@T OB]IH PEREMENNYH, TO
1 (D1 ) I 2 (D2 ) TOVE NE IME@T OB]IH PEREMENNYH. pO\TOMU PODSTANOWKI 1 I 2 MOVNO RASSMATRIWATX
KAK SOSTAWNYE ^ASTI ODNOJ PODSTANOWKI . pOSKOLXKU
UNIFICIRUET PARU LITERALOW f1(L1 ) 2 (L2)g, TO SU]ESTWUET PODSTANOWKA , TAKAQ, ^TO = ', GDE ' {
nou PARY LITERALOW f1 (L1) 2 (L2)g.
iSKOMYJ DIZ_@NKT D QWLQETSQ REZOLXWENTOJ DIZ_@NKTOW 1 (D1 ) I 2 (D2 ) I SOSTOIT IZ WSEH LITERALOW
WIDA (' i )(L), GDE L { PROIZWOLXNYJ LITERAL IZ Di ,
NE WHODQ]IJ W Li (i = 1 2). nETRUDNO WIDETX, ^TO ON
UDOWLETWORQET USLOWI@ (D) = D .
nIVE DANNYE RASSUVDENIQ ILL@STRIRU@TSQ DIAGRAMMOJ, W KOTOROJ DIZ_@NKTY IZOBRAVA@TSQ W WIDE
MNOVESTW WHODQ]IH W NIH LITERALOW. sIMWOL 2 W
DIZ_@NKTAH OBOZNA^AET NE WKL@^AEMU@ W NIH PARU PROTIWOPOLOVNYH LITERALOW. sIMWOL Li (i = 1 2) OBOZNA^AET MNOVESTWO LITERALOW IZ Di , NE WHODQ]IH W Li.
0
0
0
0
0
00
00
0
0
00
0
00
0
0
0
00
0
00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10.4
zADA^I
rEITX METODOM REZOL@CIJ WSE ZADA^I IZ GLAWY 8, W
KOTORYH TREBUETSQ PROWERITX, QWLQETSQ LI NEKOTORAQ
FORMULA lp TAWTOLOGIEJ ILI WYPOLNIMOJ FORMULOJ.
48
? ?s ?s ? SS SSS Sw SSw / / ?
?sS ?s
?
SS SS Sw SSw ?/ / D1
L1
0
L1
L2
1
L2
0
2
0
0
1 (L1)
0
D2
2 (L2 )
0
0
'
1
00
1
1 (D1 )
1 (L1)
L1
D
2
'
2
00
2
2 (D2 )
L2
2 (L2 )
0
0
0
2
0
0
D
0
49
lEKCIQ 11
sEMANTI^ESKIJ WYWOD
11.1
11.1.1
sEMANTI^ESKIJ WYWOD W lw
sEMANTI^ESKIE TABLICY
wSE FORMULY W \TOM PUNKTE QWLQ@TSQ FORMULAMI lw.
sEMANTI^ESKOJ TABLICEJ (st) NAZYWAETSQ PARA
(; j ), GDE ; I { NEKOTORYE MNOVESTWA FORMUL.
st (; j ) PROTIWORE^IWA, ESLI ; \ =
6 .
st (; j ) WYPOLNIMA, ESLI DLQ NEKOTOROJ OCENKI
PEREMENNYH IZ ; I 8A 2 ; (A) = 1 8B 2 (B) = 0 (11.1)
pRAWILA WYWODA st POZWOLQ@T POLU^ATX IZ ODNIH st DRUGIE st, I IME@T SLEDU@]IJ WID:
(A ^ B ; j )
(; j A ^ B )
(A B ; j )
(; j A ) (; j B )
(; j A _ B )
(A _ B ; j )
(; j A B )
(A ; j ) (B ; j )
(A ! B ; j )
(; j A ! B )
(A ; j B )
(; j A ) (B ; j )
(A ; j )
(; j A )
(; j A )
(A ; j )
GDE A B { FORMULY, ; { MNOVESTWA FORMUL, I DLQ
KAVDOGO MNOVESTWA FORMUL M I KAVDOJ FORMULY ZNAKOSO^ETANIE M OBOZNA^AET MNOVESTWO fg M. w
KAVDOM PRAWILE NAD ^ERTOJ IZOBRAVENA ISHODNAQ st, A
POD NEJ - ODNA ILI DWE st, KOTORYE WYWODQTSQ IZ ISHODNOJ. kAVDOE PRAWILO WYWODA ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO W
ISHODNOJ st WYDELQETSQ NEATOMARNAQ FORMULA, KOTORAQ ZAMENQETSQ NA ODNU ILI DWE PODFORMULY \TOJ FORMULY. pRO WYDELENNU@ FORMULU MY BUDEM GOWORITX,
^TO ONA RASKRYWAETSQ W \TOM PRAWILE WYWODA.
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO KAVDOE IZ PRAWIL WYWODA
OBLADAET SLEDU@]IM SWOJSTWOM:
ISHODNAQ st , HOTQ BY ODNA IZ WYWEDENNYH
WYPOLNIMA
IZ NE< st WYPOLNIMA
(11.2)
oTMETIM, ^TO ESLI st PROTIWORE^IWA, TO ONA NE
MOVET BYTX WYPOLNIMOJ.
11.1.2
dEREWO SEMANTI^ESKOGO WYWODA
pUSTX { NEKOTORAQ FORMULA.
dEREWO SEMANTI^ESKOGO WYWODA (dsw) DLQ {
\TO DEREWO D, WERINAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ st, I
1. KORNEWAQ WERINA IMEET WID ( j ),
2. KAVDAQ TERMINALXNAQ WERINA PROTIWORE^IWA, I
3. S KAVDOJ NETERMINALXNOJ WERINOJ N SWQZANO
NEKOTOROE PRAWILO WYWODA, ISHODNOJ st KOTOROGO
QWLQETSQ N, I KONCAMI R<BER, WYHODQ]IH IZ WERINY N, QWLQ@TSQ TE st, KOTORYE WYWODQTSQ IZ
N NA OSNOWANII \TOGO PRAWILA WYWODA.
dLQ KAVDOJ FORMULY WERNA \KWIWALENCIQ
SU]ESTWUET dsw DLQ , TAWTOLOGIQ (11.3)
iMPLIKACIQ \)" WERNA POTOMU, ^TO ESLI SU]ESTWUET
dsw DLQ , NO { NE TAWTOLOGIQ, TO st ( j ) WYPOLNIMA, A SLEDOWATELXNO, WYPOLNIMOJ BUDET NEKOTORAQ TERMINALXNAQ WERINA dsw, ^TO NEWOZMOVNO.
iMPLIKACIQ \(" WERNA POTOMU, ^TO dsw DLQ TAWTOLOGII MOVNO POSTROITX, NA^INAQ S DEREWA IZ ODNOJ
WERINY ( j ), PUT<M ITERATIWNOGO WYPOLNENIQ SLEDU@]EJ OPERACII: ESLI W DEREWE, POSTROENNOM K TEKU]EMU MOMENTU, ESTX NEPROTIWORE^IWAQ TERMINALXNAQ
WERINA N S NEATOMARNOJ FORMULOJ A, TO SU]ESTWUET
PRAWILO WYWODA, ISHODNOJ st KOTOROGO QWLQETSQ N, A
RASKRYWAEMOJ FORMULOJ - A, I MY RISUEM IZ N ODNO
ILI DWA REBRA, KONCAMI KOTORYH QWLQ@TSQ st, WYWODIMYE IZ N PRI POMO]I \TOGO PRAWILA WYWODA.
dANNYJ PROCESS NE MOVET PRODOLVATXSQ BESKONE^NO
(T.K. st W KONCE KAVDOGO IZ RISUEMYH R<BER SODERVIT
MENXE SWQZOK, ^EM st W EGO NA^ALE), PO\TOMU POSLE NEKOTOROGO KOLI^ESTWA AGOW BUDET POSTROENO DEREWO D,
KAVDAQ TERMINALXNAQ WERINA KOTOROGO LIBO PROTIWORE^IWA, LIBO SOSTOIT TOLXKO IZ ATOMARNYH FORMUL.
eSLI BY W D BYLA HOTX ODNA NEPROTIWORE^IWAQ TERMINALXNAQ WERINA N, TO, POSKOLXKU N SOSTOIT TOLXKO
IZ ATOMARNYH FORMUL, MOVNO OPREDELITX OCENKU TAK,
^TOBY BYLO WERNO (11.1). tAKIM OBRAZOM, N WYPOLNIMA, PO\TOMU WSE st NA PUTI IZ KORNQ W N WYPOLNIMY. w
^ASTNOSTI, ( j ) WYPOLNIMA, ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@ O TOM, ^TO { TAWTOLOGIQ.
50
11.2
dOKAVEM, ^TO D NE MOVET BYTX BESKONE^NYM. pREDsEMANTI^ESKIJ WYWOD W lp POLOVIM
, ^TO D BESKONE^NO. tOGDA, PO LEMME k<NIGA,
wSE FORMULY W \TOM PUNKTE, QWLQ@TSQ ZAMKNUTYMI FORMULAMI lp.
st W lp TOVE IMEET WID (; j ), GDE ; I { MNOVESTWA FORMUL, I TOVE NAZYWAETSQ PROTIWORE^IWOJ,
ESLI ; \ = .
st (; j ) NAZYWAETSQ WYPOLNIMOJ, ESLI SU]ESTWUET INTERPRETACIQ I, TAKAQ, ^TO
8A 2 ; AI = 1 8B 2 B I = 0
(11.4)
sPISOK PRAWIL WYWODA st W lp SOSTOIT IZ WSEH PRAWIL IZ PUNKTA (11.1), A TAKVE SLEDU@]IH PRAWIL:
(9x A ; j )
(; j 8x A )
(x := c]A ; j )
(; j x := c]A )
GDE c { KONSTANTA, NE WHODQ]AQ W A ; I , A TAKVE
(8x A ; j )
(11.5)
(x := h1 ]A : : : x := hn]A 8x A ; j )
(; j 9x A )
(11.6)
(; j x := h1]A : : : x := hn ]A 9x A )
GDE h1 : : : hn WYRAVENIQ TIPA (x) BEZ PEREMENNYH.
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO KAVDOE IZ PRAWIL WYWODA
DLQ st W lp OBLADAET SWOJSTWOM (11.2).
|KWIWALENCIQ (14.8) TOVE IMEET MESTO, I IMPLIKACIQ \)" W NEJ OBOSNOWYWAETSQ, TAK VE, KAK W lw.
dOKAVEM IMPLIKACI@ \(" W (14.8). pUSTX { TAWTOLOGIQ. pOSTROIM dsw D DLQ .
pOSTROENIE D OSU]ESTWLQETSQ TAK VE, KAK W SLU^AE
lw, NO MY BUDEM RUKOWODSTWOWATXSQ PRI \TOM SLEDU@]IMI DOPOLNITELXNYMI PRINCIPAMI:
DLQ KAVDOJ WERINY N W TOM DEREWE, KOTOROE POSTROENO K TEKU]EMU MOMENTU, KAVDAQ NEATOMARNAQ FORMULA A IZ N DOLVNA RASKRYWATXSQ W N
ILI NIVE (T.E. ^EREZ NEKOTOROE KOLI^ESTWO AGOW
POSTROENIQ DOLVEN WOZNIKNUTX PUTX IZ N W st,
RASKRYWAEMOJ FORMULOJ W KOTOROJ BUDET A, PRI^<M W TOJ VE ^ASTI (LEWOJ ILI PRAWOJ) W KOTOROJ
A BYLA W N)
ESLI RASKRYWAEMAQ FORMULA W WERINE N NA^INAETSQ S KWANTORA, I PRIMENQETSQ PRAWILO (11.5)
ILI (11.6), TO W KA^ESTWE WYRAVENIJ h1 : : : hn BERUTSQ WSE WYRAVENIQ IZ H(N), DLINA KOTORYH NE
BOLXE, ^EM RASSTOQNIE OT N DO KORNQ.
pUSTX POLU^IWEESQ DEREWO D NE QWLQETSQ dsw DLQ .
eSLI D { KONE^NOE, TO TOGDA W N<M SU]ESTWUET NEPROTIWORE^IWAQ TERMINALXNAQ WERINA N. w \TOM SLU^AE WSE FORMULY W N, ATOMARNY, PO\TOMU st N WYPOLNIMA W NEKOTOROJ |i. sOGLASNO (11.2), WSE st NA PUTI
IZ KORNQ W N WYPOLNIMY. w ^ASTNOSTI, KORNEWAQ st
( j ) WYPOLNIMA, ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@
O TOM, ^TO { TAWTOLOGIQ.
W D SU]ESTWUET BESKONE^NYJ PUTX N0 ! N1 ! : : : IZ
KORNQ. oBOZNA^IM DLQ KAVDOGO i 0 Ni = (;i j i).
nETRUDNO ZAMETITX, ^TO IME@T MESTO WKL@^ENIQ
At(;0 ) At(;1 ) At(;2 ) : : :
(11.7)
At(0) At(1) At(2) : : :
GDE At(;i ) I At(i) { MNOVESTWA WSEH ATOMARNYH FORMUL IZ ;i I i . S
S
oBOZNA^IM ; def
= At(;i ) I def
= At(i ). iMEi 0
i 0
ET MESTO RAWENSTWO ; \ = , TAK KAK INA^E SU]ESTWUET
FORMULA A, TAKAQ, ^TO A 2 At(;k ) I A 2 At(k ) DLQ
NEKOTOROGO k 0, ^TO NEWOZMOVNO PO PRI^INE NEPROTIWORE^IWOSTI KAVDOJ st Ni .
iZ ; \ = SLEDUET, ^TO st (; j ) WYPOLNIMA W
NEKOTOROJ |i I DLQ ; .
dOKAVEM, ^TO DLQ KAVDOGO i 0 WERNY SOOTNOENIQ
8A 2 ;i AI = 1 8B 2 i B I = 0 (11.8)
zAMETIM, ^TO, POLAGAQ W (11.8) i = 0 I B = , MY
POLU^AEM SOOTNOENIE I = 0, KOTOROE PROTIWORE^IT
PREDPOLOVENI@ O TOM, ^TO { TAWTOLOGIQ.
sOOTNOENIQ (11.8) MY BUDEM DOKAZYWATX INDUKCIEJ PO KOLI^ESTWU SWQZOK I KWANTOROW W A I B.
1. eSLI A I B ATOMARNY, TO ONI PRINADLEVAT SOOTWETSTWENNO ; I , I SOOTNOENIQ (11.8) WERNY PO
OPREDELENI@ INTERPRETACII I.
2. A I B QWLQ@TSQ BULEWYMI KOMBINACIQMI. rASSMOTRIM, NAPRIMER, SLU^AJ, KOGDA A = A1 ^ A2.
sU]ESTWUET NOMER j i, TAKOJ, ^TO RASKRYWAEMOJ FORMULOJ W (;j j j ) QWLQETSQ A, I, SLEDOWATELXNO, A1 2 ;j +1 I A2 2 ;j +1.
pO INDUKTIWNOMU PREDPOLOVENI@, AI1 = AI2 = 1.
sLEDOWATELXNO, AI = (A1 ^ A2 )I = 1.
dRUGIE WOZMOVNYE WIDY FORMUL A I B DLQ DANNOGO SLU^AQ RASSMATRIWA@TSQ ANALOGI^NO.
3. A I B NA^INA@TSQ S KWANTORA.
rASSMOTRIM, NAPRIMER, SLU^AJ A = 8x A1 .
nAM NEOBHODIMO DOKAZATX, ^TO (8x A1 )I = 1, T.E.
DLQ KAVDOGO WYRAVENIQ h 2 H(; ) IMEET MESTO
RAWENSTWO (x := h]A1)I = 1.
iZ (11.7) I IZ OPREDELENIJ ; I SLEDUET, ^TO
SU]ESTWUET INDEKS i0 , TAKOJ, ^TO DLQ KAVDOGO j 51
i0
h 2 H(;j j )
wYBRAW j max(i0 jhj) (GDE jhj DLINA h) TAKIM,
^TO RASKRYWAEMOJ FORMULOJ W st (;j j j ) QWLQETSQ 8xA1 , POLU^AEM, ^TO x := h]A1 2 ;j +1 , I,
SLEDOWATELXNO, PO PREDPOLOVENI@ INDUKCII, IMEET MESTO VELAEMOE RAWENSTWO (x := h]A1)I = 1.
lEKCIQ 12
tEOREMA g<DELQ
12.1
aKSIOMATI^ESKIJ METOD
sOGLASNO OB]EPRINQTOMU MNENI@, NAIBOLEE PRAWILXNYJ SPOSOB ORGANIZACII NAU^NYH ZNANIJ ZAKL@^AETSQ
W PREDSTAWLENII IH W WIDE LOGI^ESKIH SLEDSTWIJ, WYWEDENNYH NA OSNOWE FORMALXNYH PRAWIL WYWODA IZ NEKOTORYH ISHODNYH UTWERVDENIJ, ISTINNOSTX KOTORYH NE
PODWERGAETSQ SOMNENI@.
dANNYJ SPOSOB ORGANIZACII ZNANIJ NAIBOLEE PREDPO^TITELEN PO SLEDU@]IM PRI^INAM.
1. nALI^IE U NEKOTOROJ SOWOKUPNOSTI ZNANIJ HOROEJ LOGI^ESKOJ STRUKTURY SU]ESTWENNO UPRO]AET OWLADENIE \TIMI ZNANIQMI.
2. fORMALIZACIQ ZNANIJ OBLEG^AET IH OBRABOTKU I
SU]ESTWENNO POWYAET E< OB_EKTIWNOSTX I NAD<VNOSTX, POSKOLXKU TAKAQ OBRABOTKA MOVET BYTX
PROWEDENA TOLXKO POSREDSTWOM FORMALXNYH OPERACIJ NAD SIMWOLXNYMI STROKAMI, BEZ PRIWLE^ENIQ RASPLYW^ATO{NEFORMALXNOJ I SUB_EKTIWNOJ
INTERPRETACII PONQTIJ, WYRAVAEMYH \TIMI SIMWOLXNYMI STROKAMI. kROME TOGO, SWEDENIE ZADA^I OBRABOTKI ZNANIJ K ZADA^E WYPOLNENIQ OPERACIJ NAD SIMWOLXNYMI STROKAMI OBESPE^IWAET
WOZMOVNOSTX AWTOMATIZACII OBRABOTKI ZNANIJ.
3. pOSKOLXKU KRITERIEM ISTINNOSTI FORMALIZOWANNYH ZNANIJ QWLQETSQ IH SOOTWETSTWIE NEKOTORYM
SINTAKSI^ESKIM PRAWILAM, TO FORMALXNOE PREDSTAWLENIE ZNANIJ OBLEG^AET PROWERKU OIBO^NOSTI W RASSUVDENIQH, W KOTORYH ISPOLXZU@TSQ \TI
ZNANIQ, POSKOLXKU ONO POZWOLQET SWESTI ZADA^U
NAHOVDENIQ OIBOK W RASSUVDENIQH K ZADA^E PROWERKI PRAWILXNOSTI ISPOLXZOWANIQ SINTAKSI^ESKIH PRAWIL PRI FORMALXNYH OPERACIQH NAD SIMWOLXNYMI STROKAMI.
4. pREDSTAWLENIE SOWOKUPNOSTI ZNANIJ W WIDE LOGI^ESKIH SLEDSTWIJ IZ NEKOTORYH ISHODNYH PRINCIPOW QWLQETSQ INSTRUMENTOM SINTEZA NOWYH ZNANIJ, POSKOLXKU PROCESS POLU^ENIQ NOWYH ZNANIJ
MOVET IMETX WID FORMALXNOJ KOMBINACII UVE USTANOWLENNYH UTWERVDENIJ S ISPOLXZOWANIEM PODHODQ]IH PRAWIL LOGI^ESKOGO WYWODA.
nAIBOLEE PLODOTWORNYE REZULXTATY REALIZACIQ DANNOJ
TO^KI ZRENIQ PRINESLA W MATEMATIKE, W KOTOROJ UDALOSX PREDSTAWITX WSE USTANOWLENNYE MATEMATI^ESKIE
UTWERVDENIQ W WIDE LOGI^ESKIH SLEDSTWIJ NEKOTOROGO
NEBOLXOGO ^ISLA ISHODNYH PROSTYH UTWERVDENIJ, NAZYWAEMYH AKSIOMAMI. mETOD ORGANIZACII MATEMATI^ESKIH ZNANIJ W WIDE LOGI^ESKIH SLEDSTWIJ IZ AKSIOM
POLU^IL NAZWANIE AKSIOMATI^ESKOGO METODA.
aKSIOMATI^ESKIJ METOD STAL ISTO^NIKOM BURNOGO
RAZWITIQ WSEH OBLASTEJ MATEMATIKI, I OBOGATIL IH GLUBOKIMI I PLODOTWORNYMI REZULXTATAMI. nAIBOLEE QRKO
\TO PROQWILOSX W ABSTRAKTNOJ ALGEBRE, KOTORAQ, BLAGODARQ ISPOLXZOWANI@ W NEJ AKSIOMATI^ESKOGO METODA,
ZANQLA CENTRALXNOE POLOVENIE W MATEMATIKE.
nEKOTOROE WREMQ SU]ESTWOWALO UBEVDENIE, ^TO NA
BAZE AKSIOMATI^ESKOGO METODA MOVNO POSTROITX WS@
MATEMATIKU, TO ESTX WS@ SOWOKUPNOSTX ISTINNYH MATEMATI^ESKIH UTWERVDENIJ MOVNO PREDSTAWITX W WIDE
LOGI^ESKIH SLEDSTWIJ NEKOTORYH AKSIOM, ^TO POZWOLIT
SWESTI ZADA^U POLU^ENIQ NOWYH MATEMATI^ESKIH ZNANIJ K WYPOLNENI@ FORMALXNYH OPERACIJ NAD SIMWOLXNYMI STROKAMI PO ZARANEE ZADANNYM PRAWILAM.
oDNAKO, KAK BYLO USTANOWLENO W 1932 GODU g<DELEM, NIKAKAQ FORMALXNAQ SISTEMA (T.E. SOWOKUPNOSTX
AKSIOM I PRAWIL WYWODA) NE MOVET POZWOLITX POLU^ITX TAKIM MEHANI^ESKIM SPOSOBOM WS@ SOWOKUPNOSTX
ISTINNYH MATEMATI^ESKIH UTWERVDENIJ. w ^ASTNOSTI,
UTWERVDENIE O TOM, ^TO DANNAQ FORMALXNAQ SISTEMA
NEPROTIWORE^IWA (T.E. W NEJ NEWOZMOVNO WYWESTI DWUH
WZAIMOISKL@^A@]IH PREDLOVENIJ) NEWOZMOVNO OBOSNOWATX METODAMI DANNOJ FORMALXNOJ SISTEMY.
tEOREMA g<DELQ QWLQETSQ UBEDITELXNYM PODTWERVDENIEM TEZISA O TOM, ^TO GLAWNYJ ISTO^NIK RAZWITIQ
MATEMATIKI LEVIT ZA E< PREDELAMI. iSTINNYJ PROGRESS
W MATEMATIKE, SWQZANNYJ S POQWLENIEM NOWYH KONCEPCIJ I FORMALXNYH SISTEM, NEWOZMOVEN W RAMKAH FIKSIROWANNOJ FORMALXNOJ SISTEMY, ON MOVET PROIZOJTI
TOLXKO W REZULXTATE WZAIMOPRONIKNOWENIQ I WZAIMOWLIQNIQ SAMYH RAZNYH OBLASTEJ NAU^NOJ, KULXTURNOJ I
PRAKTI^ESKOJ DEQTELXNOSTI. wSQKAQ PRINCIPIALXNO NOWAQ I BOLEE SILXNAQ FORMALXNAQ SISTEMA MOVET BYTX
TOLXKO IZOBRETENIEM: SOGLASNO TEOREME g<DELQ, NIKAKIM DRUGIM OBRAZOM E< POLU^ITX NEWOZMOVNO.
52
12.2
sTROKI I FUNKCII NA NIH
12.2.1
sIMWOLXNYE STROKI
12.2.2
bAZOWYE FUNKCII
4. conc : S2 ! S
|TA FUNKCIQ IMEET 2 ARGUMENTA, I SOPOSTAWLQET
KAVDOJ PARE (u v) 2 S2 KONKATENACI@ STROK u I
v, T.E.
STROKU "a1 : : :an b1 : : :bm ", ESLI
u = "a1 : : : an" I v = "b1 : : :bm ",
STROKU v, ESLI u = ",
STROKU u, ESLI v = ".
zNAKOSO^ETANIE conc(u v) BUDET SOKRA]<NNO ZAPISYWATXSQ W WIDE u v.
5. equal : S2 ! S
|TA FUNKCIQ IMEET 2 ARGUMENTA, I SOPOSTAWLQET
KAVDOJ PARE (u v) 2 S2
STROKU "1", ESLI u = v,
STROKU "0", ESLI u =
6 v.
zNAKOSO^ETANIE equal(u v) BUDET SOKRA]<NNO ZAPISYWATXSQ W WIDE u = v.
6. not : S ! S
|TA FUNKCIQ SOPOSTAWLQET KAVDOJ STROKE u
STROKU "1", ESLI u = "0",
STROKU "0", ESLI u =
6 "0".
zNAKOSO^ETANIE not(u) BUDET SOKRA]<NNO ZAPISYWATXSQ W WIDE :u ILI u.
7. conj disj impl equiv : S2 ! S
kAVDAQ IZ \TIH FUNKCIJ IMEET 2 ARGUMENTA, I
SOPOSTAWLQET KAVDOJ PARE (u v) 2 S2 STROKU "1"
ILI "0", KOTORAQ RAWNA REZULXTATU SOOTWETSTWU@]EJ BULEWSKOJ OPERACII (^ _ ! $), ESLI OBA
ARGUMENTA IME@T WID "1" ILI "0".
zNAKOSO^ETANIQ conj(u v), I T.D. BUDUT SOKRA]<NNO ZAPISYWATXSQ W WIDE u ^ v, I T.D.
wSE OB_EKTY, RASSMATRIWAEMYE W MATEMATIKE, MOVNO
IZOBRAZITX SIMWOLXNYMI STROKAMI (KOTORYE MY NIVE
BUDEM NAZYWATX PROSTO STROKAMI), I OPERACII NA OB_EKTAH MOVNO PREDSTAWITX W WIDE FUNKCIJ NA STROKAH,
IZOBRAVA@]IH \TI OB_EKTY.
sOWOKUPNOSTX WSEH STROK OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM S.
kAVDAQ STROKA PREDSTAWLQET SOBOJ POSLEDOWATELXNOSTX
SIMWOLOW NEKOTOROGO KONE^NOGO ALFAWITA, SODERVA]EGO
BUKWY, CIFRY, SKOBKI, I T.D. sU]ESTWUET PUSTAQ STROKA, ONA NE SODERVIT NI ODNOGO SIMWOLA, I OBOZNA^AETSQ
SIMWOLOM ".
eSLI STROKA u PREDSTAWLQET SOBOJ POSLEDOWATELXNOSTX SIMWOLOW a1 : : :an , TO MY BUDEM ZAPISYWATX \TOT
FAKT ZNAKOSO^ETANIEM u = "a1 : : :an".
fUNKCII NA STROKAH MY BUDEM IZOBRAVATX W WIDE FUNKCIONALXNYH PROGRAMM. fUNKCIONALXNYE PROGRAMMY POZWOLQ@T OPREDELQTX NOWYE FUNKCII NA STROKAH PRI POMO]I BAZOWYH FUNKCIJ I FUNKCIJ, UVE OPREDEL<NNYH W WIDE FUNKCIONALXNYH PROGRAMM.
pRI POSTROENII FUNKCIONALXNYH PROGRAMM MY BUDEM
ISPOLXZOWATX SLEDU@]IE FUNKCII NA STROKAH (NAZYWAEMYE BAZOWYMI FUNKCIQMI).
1. if then else : S3 ! S
|TA FUNKCIQ IMEET 3 ARGUMENTA, I SOPOSTAWLQET
KAVDOJ TROJKE (u v w) 2 S3
STROKU v, ESLI u = "1"
STROKU w, W PROTIWNOM SLU^AE.
dLQ KAVDOJ TROJKI (u v w) 2 S3 ZNAKOSO^ETANIE if then else(u v w) BUDET SOKRA]<NNO ZAPISYWATXSQ W WIDE u ? v : w.
2. head : S ! S
|TA FUNKCIQ SOPOSTAWLQET STROKE u
STROKU, SOSTOQ]U@ IZ PERWOGO SIMWOLA STROKI u, ESLI u =
6 ",
STROKU ", ESLI u = ".
dLQ KAVDOJ STROKI u ZNAKOSO^ETANIE head(u) BUDET SOKRA]<NNO ZAPISYWATXSQ W WIDE u^.
3. tail : S ! S
|TA FUNKCIQ SOPOSTAWLQET STROKE u
STROKU, POLU^AEMU@ IZ u UDALENIEM PERWOGO
SIMWOLA, ESLI u =
6 ",
STROKU ", ESLI u = ".
dLQ KAVDOJ STROKI u ZNAKOSO^ETANIE tail(u) BUDET SOKRA]<NNO ZAPISYWATXSQ W WIDE u .
12.2.3
fUNKCIONALXNYE PROGRAMMY
fUNKCIONALXNAQ PROGRAMMA (fp) PREDSTAWLQET SOBOJ OPREDELENIE NEKOTOROGO MNOVESTWA f1 : : : fn NOWYH
FUNKCIJ NA STROKAH, I IMEET WID SISTEMY URAWNENIJ
8 f (x : : : x ) = F
< 1 11
1k
1
:
:
:
: fn(xn1 : : : xnkn ) = Fn
1
GDE
0
53
(12.1)
f1 : : : fn { FUNKCIONALXNYE SIMWOLY, QWLQ@]IESQ IMENAMI OPREDELQEMYH FUNKCIJ,
xij { PEREMENNYE, QWLQ@]IESQ FORMALXNYMI PARAMETRAMI OPREDELQEMYH FUNKCIJ, I
F1 : : : Fn { WYRAVENIQ, OBLADA@]IE SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI: DLQ KAVDOGO i = 1 : : : n WYRAVENIE Fi SODERVIT
{ PEREMENNYE xi1 : : : xiki ,
{ KONSTANTY (IMI MOGUT BYTX L@BYE STROKI)
{ FUNKCIONALXNYE SIMWOLY, QWLQ@]IESQ IME-
NAMI BAZOWYH ILI UVE POSTROENNYH FUNKCIJ
{ FUNKCIONALXNYE SIMWOLY, QWLQ@]IESQ IMENAMI OPREDELQEMYH FUNKCIJ (f1 : : : fn)
mY PREDPOLAGAEM, ^TO WSE WYRAVENIQ W FUNKCIONALXNYH PROGRAMMAH IME@T ODIN I TOT VE TIP, ZNA^ENIQMI KOTOROGO QWLQ@TSQ STROKI. kAVDOMU FUNKCIONALXNOMU SIMWOLU f SOPOSTAWLENO ^ISLO ar(f), RAWNOE
KOLI^ESTWU ARGUMENTOW U f.
fUNKCII, OPREDELQEMYE FUNKCIONALXNYMI PROGRAMMAMI, WY^ISLQ@TSQ STANDARTNOJ REKURSIEJ: ESLI TREBUETSQ WY^ISLITX ZNA^ENIE FUNKCII fi , KOTORAQ OPREDELQETSQ SISTEMOJ URAWNENIJ (12.1), NA SPISKE ARGUMENTOW (u1 : : : uki ), TO DLQ \TOGO WY^ISLQETSQ ZNA^ENIE
WYRAVENIQ
12.2.4
sTROKOWOE PREDSTAWLENIE FORMUL
dLQ KAVDOJ FORMULY E< PREDSTAWLENIE W WIDE SIMWOLXNOJ STROKI STROITSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. sNA^ALA W
FORMULE WOSSTANAWLIWA@TSQ WSE OPU]ENNYE SKOBKI, I
FORMULA PEREPISYWAETSQ W STANDARTNOM WIDE, T.E.
WSE SIMWOLY BINARNYH OPERACIJ PIUTSQ PERED
SWOIMI ARGUMENTAMI,
WSE SIMWOLY OTRICANIQ, NAPISANNYE W WIDE ^ERTY NAD PODFORMULAMI, ZAMENQ@TSQ NA SIMWOLY
OTRICANIQ WIDA \:" PERED \TIMI PODFORMULAMI,
I T.D.
zATEM WSE WHODQ]IE W FORMULU PEREMENNYE, KONSTANTY,
I T.D., ZAMENQ@TSQ NA STROKI WIDA
( ) con(IMQ) fun(IMQ) rel(IMQ)
GDE IMQ { L@BAQ POSLEDOWATELXNOSTX SIMWOLOW, NE SODERVA]AQ KRUGLYH SKOBOK, PRI^<M ODINAKOWYE SIMWOLY ZAMENQ@TSQ NA ODINAKOWYE STROKI, A RAZNYE - NA
RAZNYE, I, KROME TOGO, STANDARTNYE SIMWOLY (KONSTANTA ", FUNKCIONALXNYE SIMWOLY DLQ BAZOWYH FUNKCIJ,
xi1 := u1 : : : xiki := uki ]Fi
(12.2) PREDIKAT \=") ZAMENQ@TSQ NA STANDARTNYE STROKI :
con(empty) fun(^) rel(=) I T.D.
wY^ISLENIE ZNA^ENIQ WYRAVENIQ (12.2) PROISHODIT PO
bULEWY SWQZKI ZAMENQ@TSQ NA STROKI WIDA bool(IMQ),
SLEDU@]EJ SHEME:
KWANTORY - NA quant(A) I quant(E).
ESLI DANNOE WYRAVENIE IMEET WID
var IMQ
nIVE MY BUDEM OTOVDESTWLQTX KAVDU@ FORMULU S
E< STROKOWYM PREDSTAWLENIEM.
f(e1 : : : en)
GDE f { FUNKCIONALXNYJ SIMWOL, QWLQ@]IJSQ IMENEM NEKOTOROJ BAZOWOJ ILI UVE POSTROENNOJ FUNK- 12.2.5 nEKOTORYE fp
CII, ISPOLXZUEMOJ W SISTEME (12.1), TO WY^ISLQ- ~ITATEL@ PREDLAGAETSQ SAMOSTOQTELXNO NAPISATX fp
@TSQ ZNA^ENIQ WYRAVENIJ e1 : : : en, POSLE ^EGO
WY^ISLQETSQ ZNA^ENIE FUNKCII f NA SPISKE ZNA- Check var Check con Check fun Check rel
Check expr Check fm
^ENIJ e1 : : : en
OPREDELQ@]IE FUNKCII S ODNIM ARGUMENTOM, KOTORYE
ESLI DANNOE WYRAVENIE IMEET WID
WYDA@T W KA^ESTWE ZNA^ENIQ
fj (e1 : : : en )
"1", ESLI IH ARGUMENT QWLQETSQ SOOTWETSTWENNO
GDE fj { FUNKCIONALXNYJ SIMWOL, QWLQ@]IJSQ IMEPEREMENNOJ, KONSTANTOJ, FUNKCIONALXNYM SIMWONEM ODNOJ IZ OPREDELQEMYH FUNKCIJ W SISTEME
LOM, PREDIKATOM, WYRAVENIEM, FORMULOJ
(12.1), TO EGO ZNA^ENIE RAWNO ZNA^ENI@ WYRAVE"0", W PROTIWNOM SLU^AE.
NIQ
xj 1 := e1 : : : xjkj := ekj ]Fj
(12.3)
KOTOROE WY^ISLQETSQ PO TOJ VE SHEME, PO KOTOROJ
WY^ISLQETSQ ZNA^ENIE WYRAVENIQ (12.2).
pRIWED<M DWA PRIMERA fp.
1. zAPISX STROKI W OBRATNOM PORQDKE
(STROKA "a1 : : :an" PREOBRAZUETSQ W STROKU
"an : : :a1 "):
(x) = (x = ") ? " : reverse(x ) x^
2. sORTIROWKA WSTAWKOJ:
8 sort(x) = (x = ") ? " : insert(^x sort(x ))
<
?":
;(a <(ay^)y)? =a (yy :=y^") insert
: insert
(a y )
0
reverse
0
0
12.2.6
sTROKOWAQ INTERPRETACIQ
nIVE WSE RASSMATRIWAEMYE FORMULY BUDUT INTERPRETIROWATXSQ TOLXKO W ODNOJ INTERPRETACII (NAZYWAEMOJ
STROKOWOJ INTERPRETACIEJ), OBLASTX@ KOTOROJ QWLQETSQ MNOVESTWO S WSEH STROK, I
KAVDAQ KONSTANTA (KOTOROJ MOVET BYTX L@BAQ STROKA) INTERPRETIRUETSQ RAWNOJ EJ STROKOJ
KAVDYJ FUNKCIONALXNYJ SIMWOL, SOOTWETSTWU@]IJ NEKOTOROJ BAZOWOJ FUNKCII, ILI FUNKCII,
OPREDELQEMOJ PRI POMO]I fp, INTERPRETIRUETSQ TOJ FUNKCIEJ, KOTOROJ ON SOOTWETSTWUET,
PREDIKAT \=" INTERPRETIRUETSQ OTNOENIEM idS
54
12.3
fORMALXNYE SISTEMY
nIVE POD FORMULAMI PONIMA@TSQ FORMULY lp, W KOTORYH WSE PEREMENNYE I KONSTANTY IME@T ODIN I TOT
VE TIP, I ZNA^ENIQMI \TOGO TIPA QWLQ@TSQ STROKI.
pRI ZAPISI FORMUL MY BUDEM ISPOLXZOWATX SLEDU@]EE SOGLAENIE. eSLI NEKOTORAQ FORMULA A IMEET
TOLXKO ODNU SWOBODNU@ PEREMENNU@ x, TO \TOT FAKT MOVET WYRAVATXSQ DOBAWLENIEM SPRAWA K A ZNAKOSO^ETANIQ (x), I, KROME TOGO, W \TOM SLU^AE DLQ KAVDOGO WYRAVENIQ e, W KOTOROE NE WHODQT PEREMENNYE, OTLI^NYE OT
x, ZNAKOSO^ETANIE A(e) OBOZNA^AET FORMULU x := e]A.
12.3.1
pONQTIE FORMALXNOJ SISTEMY
fORMALXNAQ SISTEMA SOSTOIT IZ AKSIOM I PRAWIL WYWODA.
aKSIOMY
aKSIOMY - \TO FORMULY SLEDU@]IH WIDOW:
1. LOGI^ESKIE AKSIOMY:
A ! (B ! A)
(A ! B) ! ((A ! (B ! C)) ! (A ! C))
(A ^ B) ! A
(A ^ B) ! B
(A ! B) ! ((A ! C) ! (A ! (B ^ C)))
A ! (A _ B)
B ! (A _ B)
(A ! C) ! ((B ! C) ! ((A _ B) ! C))
(A ! B) ! ((A ! B) ! A)
A!A
8xA(x) ! A(e)
A(e) ! 9xA(x)
8x(B ! A) ! (B ! 8xA)
8x(A ! B) ! (9xA ! B)
GDE A B C { PROIZWOLXNYE FORMULY, PRI^<M W
DWUH POSLEDNIH AKSIOMAH PREDPOLAGAETSQ, ^TO x
NE IMEET SWOBODNYH WHOVDENIJ W B
2. AKSIOMY RAWENSTWA
x=x
(x = y) ! (y = x)
(x = y) ! ((y = z) ! (x = z))
3. AKSIOMY INDUKCII:
A(0)
8x (A(x ) ! A(x)) ! 8xA(x)
GDE A { PROIZWOLXNAQ FORMULA S ODNOJ SWOBODNOJ
PEREMENNOJ x
0
4. AKSIOMY DLQ BAZOWYH FUNKCIJ NA STROKAH
("1" ? x : y) = x
("0" ? x : y) = y
(x = y) $ (x z = y z)
(x = y) $ (z x = z y)
(x y = ") ! (x = ") ^ (y = ")
(^x = ") ! (x = ")
x = x^ x
(^x) = "
(x y) z = x (y z)
" x = x x " = x
5. WSE URAWNENIQ, WHODQ]IE WO WSE fp
6. DRUGIE AKSIOMY, ZADAWAEMYE KAK MNOVESTWO ZNA^ENIJ NEKOTOROJ FUNKCII f, OPREDELQEMOJ PRI POMO]I fp: DLQ KAVDOGO ZNA^ENIQ ARGUMENTA u STROKA f(u) QWLQETSQ AKSIOMOJ, PRI^<M PREDPOLAGAETSQ, ^TO DLQ KAVDOJ STROKI u DLINA f(u) NE MENXE
DLINY u.
o^EWIDNO, ^TO WSE AKSIOMY IZ GRUPP 1-5 ISTINNY W
STROKOWOJ INTERPRETACII. mY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO
0
0
AKSIOMY IZ ESTOJ GRUPPY TOVE ISTINNY W STROKOWOJ
INTERPRETACII.
pRAWILA WYWODA
pRAWILA WYWODA POZWOLQ@T POLU^ATX IZ ODNIH FORMUL DRUGIE FORMULY, I IME@T SLEDU@]IJ WID:
(W DANNYH PRAWILAH SIMWOLY A B OBOZNA^A@T FORMULY, A SIMWOLY e e1 e2 { WYRAVENIQ)
1. modus ponens
2. generalization
3.
4.
A A ! B
B
A
8xA
e1 = e2
x := e1 ]e = x := e2 ]e
e1 = e2
x := e1 ]A $ x := e2 ]A
(12.4)
GDE e1 I e2 NE SODERVAT PEREMENNYH, IME@]IH
SWQZANNYE WHOVDENIQ W A
w KAVDOM PRAWILE WYWODA NAD ^ERTOJ IZOBRAVENY
ODNA ILI DWE FORMULY (NAZYWAEMYE POSYLKAMI), IZ
KOTORYH WYWODITSQ FORMULA, RASPOLOVENNAQ POD ^ERTOJ (NAZYWAEMAQ ZAKL@^ENIEM).
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO KAVDOE IZ PRAWIL WYWODA
OBLADAET SLEDU@]IM SWOJSTWOM: ESLI POSYLKI \TOGO
PRAWILA WYWODA ISTINNY W STROKOWOJ INTERPRETACII,
TO ZAKL@^ENIE \TOGO PRAWILA TOVE ISTINNO W STROKOWOJ
INTERPRETACII
55
pONQTIE DOKAZATELXSTWA
pUSTX A { NEKOTORAQ FORMULA.
dOKAZATELXSTWOM FORMULY A NAZYWAETSQ POSLEDOWATELXNOSTX FORMUL
A1 : : : An
OBLADA@]AQ SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:
eSLI WYEUPOMQNUTAQ POSLEDOWATELXNOSTX e1 : : : KONE^NA I IMEET WID e1 : : : ek , GDE ek { WYRAVENIE, NE SODERVA]EE FUNKCIONALXNYH SIMWOLOW (T.E. KONSTANTA),
TO, SOGLASNO OPREDELENI@ ZNA^ENIQ FUNKCII, WY^ISLQEMOJ FUNKCIONALXNOJ PROGRAMMOJ, DANNAQ KONSTANTA QWLQETSQ ZNA^ENIEM WYRAVENIQ (12.5). pOSKOLXKU
DLQ KAVDOGO URAWNENIQ t = s W KAVDOJ fp FORMULA
t = s QWLQETSQ AKSIOMOJ, TO, SLEDOWATELXNO, DLQ KAVDOJ
PODSTANOWKI FORMULA (s) = (s) QWLQETSQ DOKAZUEMOJ, PO\TOMU DOKAZUEMYMI QWLQ@TSQ RAWENSTWA e1 = e2 ,
e2 = e3 : : : ek 1 = ek , OTKUDA, WWIDU NALI^IQ AKSIOMY TRANZITIWNOSTI RAWENSTWA, POLU^AEM, ^TO RAWENSTWO e1 = ek QWLQETSQ DOKAZUEMYM.
tAKIM OBRAZOM, ESLI DLQ STROK u1 : : : un v IMEET
MESTO RAWENSTWO
1. An = A
2. DLQ KAVDOGO i = 1 : : : n FORMULA Ai { LIBO AKSIOMA, LIBO QWLQETSQ ZAKL@^ENIEM NEKOTOROGO PRAWILA WYWODA, POSYLKI KOTOROGO SODERVATSQ W MNOVESTWE fA1 : : : Ai 1g.
fORMULA NAZYWAETSQ DOKAZUEMOJ, ESLI SU]ESTWUET DOKAZATELXSTWO \TOJ FORMULY. iZ WYESKAZANNOGO SLEDUf(u1 : : : un) = v
(12.6)
ET, ^TO WSE DOKAZUEMYE FORMULY ISTINNY W STROKOWOJ TO FORMULA (12.6) QWLQETSQ DOKAZUEMOJ.
INTERPRETACII.
o^EWIDNO, ^TO PROCEDURA POSTROENIQ DOKAZATELXSTkAVDOE DOKAZATELXSTWO MOVNO IZOBRAZITX W WIDE WA FORMULY
(12.6) MOVET PROIZWODITXSQ PO ODNOJ I TOJ
STROKI, ISPOLXZUQ SPECIALXNYJ SIMWOL (NAPRIMER, \") VE SHEME, NEZAWISIMO
OT WIDA fp, OPREDELQ@]EJ FUNKDLQ RAZDELENIQ WHODQ]IH W NEGO FORMUL.
CI@
f
I
ZNA^ENIJ
u
: : : un v.
1
~ITATEL@ PREDLAGAETSQ SAMOSTOQTELXNO NAPISATX
;
;
~ITATEL@ PREDLAGAETSQ SAMOSTOQTELXNO NAPISATX
fp, KOTORAQ OPREDELQET FUNKCI@ Proof S TREMQ ARCheck_axiom, OPREDELQ@]U@ FUNKCI@ S ODNIM AR- GUMENTAMI:
GUMENTOM u, KOTORAQ WYDA<T W KA^ESTWE ZNA^ENIQ
f (u1 : : : un) v
"1", ESLI u QWLQETSQ AKSIOMOJ, I "0", W PROTIWNOM GDE f { IMQ NEKOTOROJ FUNKCII, OPREDELQEMOJ PRI POSLU^AE,
MO]I fp, (u1 : : : un) { SPISOK ZNA^ENIJ ARGUMENTOW
Prf, OPREDELQ@]U@ FUNKCI@ S DWUMQ ARGUMENTA- FUNKCII f, I v { NEKOTORAQ STROKA. zNA^ENIEM FUNKMI u v, KOTORAQ WYDA<T W KA^ESTWE ZNA^ENIQ "1", CII Proof NA \TOJ TROJKE QWLQETSQ STROKA, PREDSTAWESLI u QWLQETSQ DOKAZATELXSTWOM v, I "0", W PRO- LQ@]AQ SOBOJ DOKAZATELXSTWO FORMULY (12.6), ESLI \TO
RAWENSTWO QWLQETSQ WERNYM.
TIWNOM SLU^AE.
pRI NAPISANII DANNYH fp MOVNO PREDPOLAGATX, ^TO
SOWOKUPNOSTX WSEH IME@]IHSQ fp IZOBRAVAETSQ ODNOJ 12.3.3 dOPOLNITELXNYE AKSIOMY
STROKOJ, W KOTOROJ URAWNENIQ OTDELQ@TSQ DRUG OT DRU- mY BUDEM ISPOLXZOWATX SLEDU@]EE OBOZNA^ENIE: DLQ
GA RAZDELITELEM \".
L@BYH WYRAVENIJ p I A ZNAKOSO^ETANIE 2p A QWLQETSQ
SOKRA]<NNOJ ZAPISX@ FORMULY Prf(p A) = 1.
mY BUDEM PREDPOLAGATX, ^TO W ^ISLO AKSIOM IZ GRUP12.3.2 dOKAZATELXSTWA, SWQZANNYE S WYPY
6 WHODQT SLEDU@]IE GRUPPY FORMUL:
^ISLENIQMI
2x A ! (2y (A ! B) ! 2x y B B)
(12.7)
kAVDOE WYRAVENIE WIDA
GDE x y { PEREMENNYE I A B { FORMULY, A TAKVE
f(u1 : : : un)
(12.5)
(f(x1 : : : xn) = y) !
(12.8)
W KOTOROM f { IMQ NEKOTOROJ FUNKCII, OPREDELQEMOJ ! 2Proof(f(x :::x )y)
f(x1 : : : xn) = y
1
n
PRI POMO]I fp, I (u1 : : : un) { SPISOK ZNA^ENIJ E<
ARGUMENTOW, POROVDAET NEKOTORU@ POSLEDOWATELXNOSTX GDE f { IMQ PROIZWOLXNOJ FUNKCII, OPREDELQEMOJ PRI
e1 e2 : : : WYRAVENIJ, NAZYWAEMU@ WY^ISLENIEM ZNA- POMO]I fp. iZ OPREDELENIQ FUNKCIJ Prf I Proof SLE^ENIQ WYRAVENIQ (12.5), W KOTOROJ
DUET, ^TO \TI FORMULY ISTINNY W STROKOWOJ INTERPRETACII. aKSIOMY WIDA (12.7) WYRAVA@T TOT FAKT,
e1 SOWPADAET S (12.5), I
^TO ESLI POSLEDOWATELXNOSTX FORMUL x QWLQETSQ DOKADLQ KAVDOGO i 1 WYRAVENIE ei+1 POLU^AETSQ IZ ZATELXSTWOM FORMULY A, I POSLEDOWATELXNOSTX FORMUL
ei PUT<M PRIMENENIQ KAKOGO-LIBO URAWNENIQ W NE- y QWLQETSQ DOKAZATELXSTWOM FORMULY A ! B, TO, SOKOTOROJ fp, T.E. SU]ESTWUET URAWNENIE t = s W EDINQQ \TI POSLEDOWATELXNOSTI, I DOBAWLQQ K POLU^IWNEKOTOROJ fp, TAKOE, ^TO DLQ NEKOTOROJ PODSTA- EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI SPRAWA FORMULU B (A TAKVE
NOWKI I NEKOTOROGO WYRAVENIQ e IME@T MESTO DOBAWIW RAZDELITELI \" MEVDU x, y I B), MY POLU^IM
RAWENSTWA ei = x := (t)]e ei+1 = x := (s)]e. DOKAZATELXSTWO FORMULY B.
fp
56
12.4
oPERATOR DOKAZUEMOSTI
dLQ L@BOGO WYRAVENIQ A ZNAKOSO^ETANIE 2A QWLQETSQ
SOKRA]<NNOJ ZAPISX@ FORMULY 9x 2x A. sIMWOL \2"
W DANNOM KONTEKSTE NAZYWAETSQ OPERATOROM DOKAZUEMOSTI. nIVE MY PRIWODIM TRI SWOJSTWA OPERATORA
DOKAZUEMOSTI.
lEMMA 1. eSLI DOKAZUEMA FORMULA A, TO DOKAZUEMA
dOKAZATELXSTWO.
FORMULA 2A.
eSLI FORMULA A DOKAZUEMA, TO SU]ESTWUET STROKA u,
TAKAQ, ^TO FORMULA 2uA QWLQETSQ ISTINNOJ. pOSKOLXKU
KAVDAQ ISTINNAQ FORMULA WIDA (12.6) QWLQETSQ DOKAZUEMOJ, TO FORMULA 2u A DOKAZUEMA. iZ DANNOJ FORMULY
I AKSIOMY 2u A ! 9x2x A PO PRAWILU modus ponens POLU^AEM FORMULU 9x2xA, KOTORAQ RAWNA 2A.
lEMMA 2. dLQ L@BYH FORMUL A I B DOKAZUEMA FOR-
MULA
2A ! (2(A ! B) ! 2B)
(12.9)
dOKAZATELXSTWO.
iSPOLXZUQ AKSIOMY (12.7) I 2x y B B ! 9z 2z B, A
TAKVE NEKOTORYE TAWTOLOGII I PRAWILO modus ponens,
NETRUDNO WYWESTI FORMULU
2x A ! (2y (A ! B) ! 2B)
IZ KOTOROJ, S ISPOLXZOWANIEM PRAWIL generalization I
modus ponens, A TAKVE AKSIOM
8z(C ! D) ! (C ! 8zD)
8z(D ! C) ! (9zD ! C)
(GDE z NE WHODIT SWOBODNO W C), I NEKOTORYH TAWTOLOGIJ, NETRUDNO WYWESTI ISKOMU@ FORMULU.
~ASTNYM SLU^AEM AKSIOM WIDA A(e) ! 9zA(z) QWLQETSQ FORMULA
2Proof(2x A) 2x A ! 22x A
(12.12)
iZ DOKAZUEMOSTI FORMUL (12.11) I (12.12) SLEDUET DOKAZUEMOSTX FORMULY
2x A ! 22x A
(12.13)
~ASTNYM SLU^AEM AKSIOM WIDA A(e) ! 9zA(z) QWLQETSQ
FORMULA
2x A ! 2A
(12.14)
pO LEMME 3, IZ DOKAZUEMOSTI (12.14) SLEDUET DOKAZUEMOSTX FORMULY
22x A ! 22A
(12.15)
iZ DOKAZUEMOSTI FORMUL (12.13) I (12.15) SLEDUET DOKAZUEMOSTX FORMULY
2x A ! 22A
(12.16)
pRIMENQQ K (12.16) PRAWILO generalization, I, ZATEM,
PRIMENQQ K POLU^IWEJSQ FORMULE I AKSIOME WIDA
8x(C ! D) ! (9xC ! D) (GDE x 62 D)
PRAWILO modus ponens, POLU^AEM FORMULU 2A ! 22A.
12.5
lEMMA O NEPODWIVNOJ TO^KE
lEMMA O NEPODWIVNOJ TO^KE UTWERVDAET, ^TO DLQ
KAVDOJ FORMULY A S ODNOJ SWOBODNOJ PEREMENNOJ x SU]ESTWUET ZAMKNUTAQ FORMULA ', TAKAQ, ^TO DOKAZUEMA
FORMULA
(12.17)
' $ x := ']A
.
lEMMA 3. eSLI DOKAZUEMA FORMULA A ! B, TO DO- dOKAZATELXSTWO
mY
MOVEM
PREDPOLAGATX
, ^TO WSE WHOVDENIQ x W A
KAZUEMA FORMULA 2A ! 2B.
QWLQ@TSQ
SWOBODNYMI
.
dOKAZATELXSTWO.
pUSTX Subst { FUNKCIONALXNYJ SIMWOL, KOTOROMU
pO LEMME 1, IZ DOKAZUEMOSTI A ! B SLEDUET DOKAZUEMOSTX 2(A ! B), OTKUDA NA OSNOWANII DOKAZUEMOSTI
FORMULY (12.9), KOTORAQ \KWIWALENTNA FORMULE
2(A ! B) ! (2A ! 2B)
(12.10)
PO PRAWILU modus ponens POLU^AEM ISKOMU@ FORMULU
2A ! 2B.
SOOTWETSTWUET FUNKCIQ
(u v) = x := v]u
oBOZNA^IM SIMWOLOM B FORMULU x := Subst(x x)]A.
iSKOMAQ FORMULA ' IMEET WID x := B]B. pOSKOLXKU EDINSTWENNOJ SWOBODNOJ PEREMENNOJ W B BYLA x, WSE
WHOVDENIQ KOTOROJ ZAMENILISX NA STROKU, RAWNU@ FORB, TO ' NE SODERVIT SWOBODNYH PEREMENNYH.
lEMMA 4. dLQ L@BOJ FORMULY A DOKAZUEMA FORMU- MULEsOGLASNO
OPREDELENI@ FUNKCII Subst, DOKAZUEMA
LA
FORMULA Subst(B B) = x := B]B, T.E. DOKAZUEMA FOR2A ! 22A
MULA Subst(B B) = '. pO PRAWILU WYWODA (12.4), POLU^AEM DOKAZUEMOSTX FORMULY
dOKAZATELXSTWO.
k AKSIOMAM WIDA (12.8) OTNOSITSQ FORMULA
x := Subst(B B)]A $ x := ']A
2x A ! 2Proof(2xA) 2xA
(12.11) lEWAQ ^ASTX W POSLEDNEJ FORMULE SOWPADAET S '. tAKIM
OBRAZOM, IMEET MESTO VELAEMOE SOOTNOENIE (12.17).
57
Subst
12.6
tEOREMA g<DELQ
zAME^ANIE.
pUSTX FORMULA A(x) IMEET WID 2x0.
pUSTX FORMULA A IMEET WID 2x. pO LEMME O NEPODWIViMEEM: DLQ KAVDOJ STROKI u FORMULA A(u) DOKAZUNOJ TO^KE, SU]ESTWUET ZAMKNUTAQ FORMULA ', TAKAQ, EMA, NO FORMULA 8xA(x) NEDOKAZUEMA, TAK KAK ONA SOW^TO DOKAZUEMA FORMULA
PADAET S Consis.
' $ x := ']2x
T.E. DOKAZUEMA FORMULA
(12.18)
' $ 2'
oBOZNA^IM ZNAKOSO^ETANIEM Consis FORMULU 20, GDE
0 { WSEGDA LOVNAQ FORMULA (OTRICANIE TAWTOLOGII).
dOKAVEM, ^TO ESLI NAA FORMALXNAQ SISTEMA NEPROTIWORE^IWA, TO OBE FORMULY ' I ' NEDOKAZUEMY.
1. eSLI DOKAZUEMA ', TO PO LEMME 1 DOKAZUEMA 2',
^TO, W SO^ETANII S (12.18), PRIWODIT K DOKAZUEMOSTI ', ^TO NEWOZMOVNO, ESLI NAA FORMALXNAQ
SISTEMA NEPROTIWORE^IWA.
2. eSLI DOKAZUEMA ', TO IZ (12.18) SLEDUET, ^TO DOKAZUEMA 2', T.E. DOKAZUEMA FORMULA 9x 2x '. pOSKOLXKU KAVDAQ DOKAZUEMAQ FORMULA QWLQETSQ ISTINNOJ W STROKOWOJ INTERPRETACII, TO, SLEDOWATELXNO, SU]ESTWUET STROKA u, UDOWLETWORQ@]AQ
SOOTNOENI@ 2u ', T.E. SU]ESTWUET STROKA u, QWLQ@]AQSQ DOKAZATELXSTWOM ', T.E. DOKAZUEMA FORMULA ', ^TO NEWOZMOVNO, ESLI NAA FORMALXNAQ
SISTEMA NEPROTIWORE^IWA.
dOKAVEM, ^TO DOKAZUEMA \KWIWALENCIQ ' $ Consis
(IZ ^EGO SLEDUET, ^TO FORMULA Consis NEDOKAZUEMA).
1. fORMULA 0 ! ' QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, T.E. ONA DOKAZUEMA, PO\TOMU, PO LEMME 3, DOKAZUEMA FORMULA 20 ! 2'. sLEDOWATELXNO, DOKAZUEMA FORMULA
2' ! 20. iSPOLXZUQ (12.18), POLU^AEM DOKAZUEMOSTX ' ! 20.
2. dOKAVEM DOKAZUEMOSTX OBRATNOJ IMPLIKACII, T.E.
FORMULY 20 ! '. dLQ \TOGO DOSTATO^NO DOKAZATX DOKAZUEMOSTX FORMULY ' ! 20, ^TO, WWIDU (12.18), \KWIWALENTNO DOKAZUEMOSTI FORMULY
2' ! 20.
fORMULA ' ! (' ! 0) QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, T.E.
ONA DOKAZUEMA, PO\TOMU, PRIMENQQ DWA RAZA LEMMU 3 I PRAWILO modus ponens, POLU^AEM DOKAZUEMOSTX FORMULY
2' ! (2' ! 20)
(12.19)
iZ (12.18) SLEDUET DOKAZUEMOSTX FORMULY 2' !
', OTKUDA, PO LEMME 3, SLEDUET DOKAZUEMOSTX FORMULY 22' ! 2'. pO LEMME 4 POLU^AEM DOKAZUEMOSTX FORMULY
(12.20)
2' ! 2'
iZ (12.19) I (12.20), ISPOLXZUQ SAMU@ PERWU@ AKSIOMU I PRAWILO modus ponens, NETRUDNO WYWESTI
DOKAZUEMOSTX FORMULY 2' ! 20.
58
lEKCIQ 13
mODALXNAQ LOGIKA
13.1
pONQTIE O MODALXNOJ LOGIKE
13.2
mODALXNAQ LOGIKA QWLQETSQ OSNOWOJ DLQ POSTROENIQ
LOGI^ESKIH SISTEM, PREDNAZNA^ENNYH DLQ FORMALIZACII cUVDENIJ, W KOTORYH PRISUTSTWU@T KOLI^ESTWENNYE ILI KA^ESTWENNYE PARAMETRY, WYRAVA@]IE NEKOTORU@ OCENKU SUVDENIJ. w KA^ESTWE TAKIH OCENOK MOGUT WYSTUPATX, NAPRIMER,
MERA PRAWDOPODOBIQ SUVDENIQ
WEROQTNOSTX TOGO, ^TO SUVDENIE ISTINNO
STOIMOSTX OBOSNOWANIQ DANNOGO SUVDENIQ
OTNOENIE GOWORQ]EGO K SUVDENI@ (NAPRIMER MERA EGO UWERENNOSTI W ISTINNOSTI SUVDENIQ)
MERA POLEZNOSTI FAKTA, WYRAVAEMOGO SUVDENIEM,
DLQ DOSTIVENIQ ZADANNOJ CELI
MERA U]ERBA, MOGU]EGO WOZNIKNUTX IZ-ZA TOGO, ^TO
DANNOE SUVDENIE NE BUDET WSEGDA ISTINNYM
MERA DOWERIQ K FAKTU, WYRAVAEMOMU SUVDENIEM,
ILI K LICU, WYSKAZAWEMU SUVDENIE
KONTEKST (ILI SITUACIQ), W KOTOROM WYSKAZANO SUVDENIE
mY RASSMOTRIM PROSTEJIJ WID SUVDENIJ TAKOGO
WIDA, W KOTORYH MOGUT BYTX ISPOLXZOWANY ODNOARGUMENTNYE OPERATORY 2 I 3, NAZYWAEMYE MODALXNYMI OPERATORAMI. |TI OPERATORY MOGUT BYTX INTERPRETIROWANY KAK SAMYE RAZNOOBRAZNYE HARAKTERISTIKI UTWERVDENIJ, PERED KOTORYMI ONI STOQT, NAPRIMER:
DOKAZUEMO, NEOBHODIMO, WOZMOVNO, OB]EPRINQTO, VELATELXNO, SKOREE WSEGO, TREBUETSQ, DOLVNO BYTX, MALOWEROQTNO, PRAWDOPODOBNO, SOMNITELXNO, PREDPOLOVITELXNO, INTERESNO, AKTUALXNO, IZWESTNO, CELESOOBRAZNO, I T.D.
mODALXNYE OPERATORY MOGUT BYTX SNABVENY INDEKSAMI (T.E. IMETX WID 2a I 3a , GDE a { NEKOTORYJ KOLI^ESTWENNYJ ILI KA^ESTWENNYJ PARAMETR, WYRAVA@]IJ, NAPRIMER, SILU MODALXNOGO OPERATORA), NO W DANNOJ GLAWE MY RASSMATRIWAEM TOLXKO MODALXNYE OPERATORY BEZ INDEKSOW.
mODALXNYE FORMULY
w MODALXNOJ LOGIKE SUVDENIQ FORMALIZU@TSQ W WIDE
MODALXNYH FORMUL, KOTORYE MY BUDEM NAZYWATX W
DANNOJ GLAWE PROSTO FORMULAMI.
oSNOWNYMI STRUKTURNYMI \LEMENTAMI W FORMULAH
QWLQ@TSQ UTWERVDENIQ, KOTORYE IME@T TOT VE SMYSL,
^TO I BULEWY PEREMENNYE W LOGIKE WYSKAZYWANIJ. mNOVESTWO WSEH UTWERVDENIJ OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM P .
sOWOKUPNOSTX WSEH FORMUL OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM
I OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM.
1. kAVDOE UTWERVDENIE p 2 P QWLQETSQ FORMULOJ.
2. sIMWOLY 1 I 0 QWLQ@TSQ FORMULAMI.
3. eSLI A I B { FORMULY, TO ZNAKOSO^ETANIQ
:A A ^ B A _ B A ! B A $ B (13.1)
TOVE QWLQ@TSQ FORMULAMI.
4. dLQ KAVDOJ FORMULY A ZNAKOSO^ETANIQ 2A I 3A
QWLQ@TSQ FORMULAMI.
fORMULY (13.1) NAZYWA@TSQ BULEWYMI KOMBINACIQMI FORMUL A I B.
sWQZKI 2 I 3 NAZYWA@TSQ MODALXNYMI OPERATORAMI. oPERATOR 2 ^ITAETSQ KAK NEOBHODIMO, A OPERATOR 3 - KAK WOZMOVNO. eSLI FORMULA NE SODERVIT
MODALXNYH OPERATOROW, TO ONA PREDSTAWLQET SOBOJ FORMULU lw ILI IMEET WID 1 ILI 0. fORMULA BEZ MODALXNYH OPERATOROW NAZYWAETSQ TAWTOLOGIEJ, ESLI ONA QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ KAK FORMULA lw ILI IMEET WID 1.
pODSTANOWKOJ NAZYWAETSQ ZNAKOSO^ETANIE WIDA
GDE
= p1 := A1 : : : pk := Ak ]
(13.2)
p1 : : : pk { SPISOK RAZLI^NYH UTWERVDENIJ IZ P ,
I
A1 : : : Ak { SPISOK MODALXNYH FORMUL.
kAK I W lw, PODSTANOWKA (13.2) DEJSTWUET NA KAVDU@
FORMULU A PUT<M ZAMENY DLQ KAVDOGO i 2 f1 : : : kg
KAVDOGO WHOVDENIQ UTWERVDENIQ pi W A NA FORMULU Ai .
fORMULA, KOTORAQ POLU^AETSQ POSLE TAKOJ ZAMENY, OBOZNA^AETSQ ZNAKOSO^ETANIEM (A).
59
13.3
mODALXNYE LOGIKI
13.4
pRI PROWEDENII RASSUVDENIJ O MODALXNYH FORMULAH
INOGDA RASSMATRIWA@TSQ NE WSEWOZMOVNYE FORMULY, A
TOLXKO FORMULY IZ NEKOTOROGO OGRANI^ENNOGO KLASSA.
kLASSY MODALXNYH FORMUL PRINQTO NAZYWATX MODALXNYMI LOGIKAMI, ILI PROSTO LOGIKAMI, T.E. SLOWOSO^ETANIE \MODALXNAQ LOGIKA" IMEET DWA ZNA^ENIQ: W
PERWOM ZNA^ENII { \TO ODNA IZ OBLASTEJ MATEMATI^ESKOJ LOGIKI, A WO WTOROM { NEKOTORYJ KLASS MODALXNYH
FORMUL.
kAVDAQ MODALXNAQ LOGIKA L DOLVNA UDOWLETWORQTX
SLEDU@]IM USLOWIQM.
1. L SODERVIT WSE TAWTOLOGII.
2. L SODERVIT FORMULU 2(p ^ q) $ (2p ^ 2q), GDE
p q 2 P .
3. L SODERVIT FORMULU 21.
4. eSLI A 2 L I A ! B 2 L, TO B 2 L.
5. eSLI A 2 L, I - PODSTANOWKA, TO (A) 2 L.
6. eSLI L SODERVIT FORMULU A $ B, TO L TAKVE
SODERVIT FORMULU 2A $ 2B.
iZ DANNOGO OPREDELENIQ SLEDUET, ^TO KAVDAQ MODALXNAQ LOGIKA L OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:
1. L SODERVIT FORMULU A1 ^ : : : ^ An TOGDA I TOLXKO
TOGDA, KOGDA L SODERVIT WSE FORMULY A1 , : : :, An,
2. ESLI L SODERVIT FORMULU A, TO DLQ L@BOJ FORMULY B L SODERVIT A _ B I B ! A
fORMULA A NAZYWAETSQ ^ASTNYM SLU^AEM TAWTOLOGII, ESLI ONA IMEET WID (B), GDE B { TAWTOLOGIQ, I
{ NEKOTORAQ PODSTANOWKA. nETRUDNO DOKAZATX, ^TO ESLI A $ B { ^ASTNYJ SLU^AJ TAWTOLOGII, TO DLQ L@BOJ
LOGIKI L A 2 L , B 2 L.
kAVDAQ MODALXNAQ LOGIKA L POROVDAET OTNOENIE
\KWIWALENTNOSTI L NA , KOTOROE SOSTOIT IZ WSEH PAR
(A B), OBLADA@]IH SWOJSTWOM A $ B 2 L. oBOZNA^IM
SIMWOLOM =L SOWOKUPNOSTX KLASSOW RAZBIENIQ MNOVESTWA , KOTOROE SOOTWETSTWUET OTNOENI@ \KWIWALENTNOSTI L .
nA MNOVESTWE =L MOVNO OPREDELITX OTNOENIE ^ASTI^NOGO PORQDKA: A] B], ESLI A ! B 2 L. nETRUDNO
DOKAZATX, ^TO =L QWLQETSQ BULEWOJ ALGEBROJ OTNOSITELXNO \TOGO ^ASTI^NOGO PORQDKA, I DLQ L@BYH FORMUL
A B WERNY RAWENSTWA 1 = 1] 0 = 0] A] B] = A B],
GDE { L@BOJ IZ SIMWOLOW: ^ _ ! $.
kROME TOGO, IMEET MESTO IMPLIKACIQ
A L B ) 2A L 2B
(13.3)
PO\TOMU NA =L MOVNO OPREDELITX ODNOARGUMENTNU@
OPERACI@ 2, SOPOSTAWLQ@]U@ KLASSU A] KLASS 2A]. iZ
(13.3) SLEDUET, ^TO \TA OPERACIQ OPREDELENA KORREKTNO,
T.E. ESLI A] = B], TO 2A] = 2B].
mODALXNYE ALGEBRY
mODALXNOJ ALGEBROJ NAZYWAETSQ BULEWA ALGEBRA A,
NA KOTOROJ ZADANA ODNOARGUMENTNAQ OPERACIQ 2, UDOWLETWORQ@]AQ USLOWIQM:
DLQ WSEH a b 2 A 2(a ^ b) = 2(a) ^ 2(b), I
2(1) = 1.
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO DLQ KAVDOJ LOGIKI L MNOVESTWO =L QWLQETSQ MODALXNOJ ALGEBROJ.
oCENKOJ W MODALXNOJ ALGEBRE A NAZYWAETSQ PROIZWOLXNAQ FUNKCIQ IZ P W A. dLQ KAVDOJ OCENKI W A
I KAVDOJ FORMULY A 2 ZNA^ENIE (A) FORMULY A
NA OCENKE OPREDELQETSQ REKURSIWNO:
ESLI A = p 2 P , TO (A) UVE ZADANO
(1) = 1 (0) = 0
(A) = (A)
(A B) = (A) (B), GDE { L@BOJ IZ SIMWOLOW
^ _ ! $
(2A) = 2((A))
lOGIKOJ MODALXNOJ ALGEBRY A NAZYWAETSQ MNOVESTWO
L(A) WSEH FORMUL A 2 , TAKIH, ^TO DLQ KAVDOJ OCENKI
: P ! A IMEET MESTO RAWENSTWO (A) = 1.
dOKAVEM, ^TO DLQ KAVDOJ LOGIKI L WERNO RAWENSTWO
L = L(=L )
T.E. DLQ KAVDOJ FORMULY A 2 L USLOWIE A 2 L \KWIWALENTNO TOMU, ^TO DLQ KAVDOJ OCENKI : P ! =L
IMEET MESTO RAWENSTWO (A) = 1.
dLQ \TOGO SNA^ALA DOKAVEM, ^TO DLQ KAVDOJ FORMULY A IMEET MESTO \KWIWALENCIQ A 2 L , A] = 1.
eSLI A 2 L, TO 1 ! A 2 L (POTOMU ^TO FORMULA
A ! (1 ! A) { ^ASTNYJ SLU^AJ TAWTOLOGII).
kROME TOGO, FORMULA A ! 1 - ^ASTNYJ SLU^AJ
TAWTOLOGII, I, SLEDOWATELXNO, PRINADLEVIT L.
tAKIM OBRAZOM, L SODERVIT 1 ! A I A ! 1, T.E. L
SODERVIT FORMULU 1 $ A, PO\TOMU A] = 1] = 1.
eSLI A] = 1 = 1], TO 1 $ A 2 L, PO\TOMU, W
^ASTNOSTI, 1 ! A 2 L, I, SLEDOWATELXNO, A 2 L.
pUSTX A 2 L, I { OCENKA WIDA P ! =L. dLQ KAVDOGO
p 2 P OBOZNA^IM SIMWOLOM Ap KAKU@-LIBO FORMULU IZ
KLASSA (p). nETRUDNO DOKAZATX, ^TO DLQ L@BOJ FORMULY B 2 IMEET MESTO RAWENSTWO (B) = (B)], GDE
PODSTANOWKA ZAMENQET KAVDOE UTWERVDENIE p W B NA
FORMULU Ap (\TO DOKAZYWAETSQ INDUKCIEJ PO STRUKTURE FORMULY B). tAK KAK A 2 L, TO (A) 2 L, OTKUDA, PO DOKAZANNOMU WYE, SLEDUET, ^TO (A)] = 1, T.E.
(A) = 1.
eSLI A 62 L, TO A $ 1 62 L, PO\TOMU A] 6= 1] = 1.
w \TOM SLU^AE DLQ OCENKI , SOPOSTAWLQ@]EJ KAVDOMU
UTWERVDENI@ p 2 P KLASS p], IMEET MESTO SOOTNOENIE
(A) = (A)] = A] 6= 1.
60
13.5
mODELI kRIPKE
dLQ KAVDOJ FORMULY A 2 SIMWOL QA OBOZNA^AET
MNOVESTWO fq 2 Q j q(A) = 1g.
13.5.1 pONQTIE MODELI kRIPKE
pUSTX L { NEKOTORAQ MODALXNAQ LOGIKA. nETRUDNO
DOKAZATX
, ^TO SLEDU@]IE SOOTNOENIQ \KWIWALENTNY:
mODELX kRIPKE (mk) { \TO PARA S = (Q ), GDE
1. DLQ KAVDOJ FORMULY A 2 L QA = 1
Q { MNOVESTWO, \LEMENTY KOTOROGO NAZYWA@TSQ
SOSTOQNIQMI, I
2. DLQ L@BYH FORMUL A B 2 IZ A L B SLEDUET,
^TO QA = QB
Q2 - BINARNOE OTNOENIE, NAZYWAEMOE OTNOENIEM PEREHODA
3. SU]ESTWUET FUNKCIQ POPOLNQ@]AQ DIAGRAMMU
] - =L
PRI^<M KAVDOJ PARE (q p) 2 Q P SOPOSTAWLEN \LEMENT
q(p) 2 f0 1g, NAZYWAEMYJ OCENKOJ UTWERVDENIQ p W
@ev@ SOSTOQNII q.
@R S?+
dLQ KAVDOGO q 2 Q ZNAKOSO^ETANIE (q) OBOZNA^AET
MNOVESTWO fq 2 Q j (q q ) 2 g.
dLQ KAVDOJ PARY (q q ) 2 Q2 WYRAVENIE (q q )
GDE ] I ev { FUNKCII, SOPOSTAWLQ@]IE KAVDOJ FORMULE
IMEET ZNA^ENIE
A 2 KLASS \KWIWALENTNOSTI A] 2 =L I MNOVESTWO
1, ESLI (q q ) 2 , I
QA 2 S + SOOTWETSTWENNO.
0 { W PROTIWNOM SLU^AE.
13.5.2 mORFIZMY MODELEJ kRIPKE
dLQ KAVDOJ FORMULY A I KAVDOGO SOSTOQNIQ q 2 Q
ZADANY DWE mk: Si = (Qi i ) (i = 1 2).
ZNA^ENIE A W SOSTOQNII q OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM q(A) pUSTX
mORFIZMOM
f IZ S1 W S2 NAZYWAETSQ FUNKCIQ
I OPREDELQETSQ REKURSIWNO SLEDU@]IM OBRAZOM:
f : Q1 ! Q2
ESLI A = p 2 P , TO q(A) SOWPADAET S OCENKOJ p W q
TAKAQ, ^TO DLQ KAVDOGO q 2 Q1
q(1) = 1 q(0) = 0
0
0
0
0
0
f(1 (q)) = 2 (f(q))
(13.4)
q(A) = q(A)
q(A B) = q(A) q(B), GDE { L@BOJ IZ SIMWOLOW I DLQ KAVDOGO p 2 P I KAVDOGO q 2 Q1
^ _ ! $
q(p) = f(q)(p)
V q(2A) = q Q (q q ) ! q (A) , T.E.
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO ESLI f - MORFIZM IZ S W S ,
q(2A) = 1, ESLI DLQ KAVDOGO q 2 (q) q (A) = 1 TO DLQ KAVDOJ FORMULY A I KAVDOGO q 2 Q1 1 2
W q(3A) = q Q (q q ) ^ q (A) , T.E.
q(A) = f(q)(A)
q(3A) = 1, ESLI SU]ESTWUET q 2 (q) : q (A) = 1
mORFIZMU f IZ S1 W S2 SOOTWETSTWUET FUNKCIQ
kAVDOJ mk S SOOTWETSTWUET MODALXNAQ ALGEBpA S +
f 1 : 2Q2 ! 2Q1
S MNOVESTWOM \LEMENTOW 2Q , NA KOTOROJ
BULEWSKIE OPERACII SOWPADA@T S SOOTWETSTWU@- KOTORAQ SOHRANQET WSE BULEWY OPERACII.
DLQ KAVDOGO q 2 Q1 \K]IMI TEORETIKO-MNOVESTWENNYMI OPERACIQMI, T.E. iSTINNOSTX USLOWIQ (13.4)
WIWALENTNA TOMU, ^TO f 1 SOHRANQET TAKVE I OPERACI@
^ = \ _ = 1 = Q 0 = , I
2, POTOMU ^TO DLQ KAVDOGO PODMNOVESTWA V Q2 SOMODALXNAQ OPERACIQ 2 : 2Q ! 2Q SOPOSTAWLQET OTNOENIE
KAVDOMU MNOVESTWU V Q MNOVESTWO
f 1 (2V ) = 2f 1 (V )
\KWIWALENTNO USLOWI@: DLQ KAVDOGO q 2 Q1
2(V ) = fq 2 Q j (q) V g
f(q) 2 2V , 1 (q) f 1 (V )
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO OPEpACIQ 2 NA MODALXNOJ ALGEBRE S + SILXNO DISTpIBUTIWNA OTNOSITELXNO OPEpA- KOTOROE MOVNO PEREPISATX W WIDE
CII ^, T.E. DLQ PpOIZWOLXNOJ SOWOKUPNOSTI fVi j i 2 =g
2 (f(q)) V , f(1 (q)) V
(13.5)
\LEMENTOW ALGEBpY S + IMEET MESTO SOOTNOENIE
^
^
iSTINNOSTX SOOTNOENIQ (13.5) DLQ KAVDOGO V Q2
2( Vi ) = 2(Vi )
\KWIWALENTNA USLOWI@ (13.4).
i
i
0
02
0
0
0
0
0
0
2
0
0
;
;
;
;
;
2=
2=
61
13.6
13.6.1
KAK ESLI (13.8) NEWERNO, TO q(32p) = 1 I q(23p) =
hARAKTERIZACIQ OTNOENIJ TAK
0,
T
.
E. DLQ NEKOTOROGO q 2 (q)
PEREHODA FORMULAMI
q (2p) = 1
(13.9)
1
tRANZITIWNOSTX
eSLI W mk (Q ) OTNOENIE TRANZITIWNO, TO DLQ L@BOGO q 2 Q IMEET MESTO RAWENSTWO
q(2p ! 22p) = 1
(13.6)
TAK KAK ESLI (13.6) NEWERNO, TO q(2p) = 1 I q(22p) = 0,
T.E. DLQ NEKOTOROGO q 2 (q) IMEET MESTO RAWENSTWO
q (2p) = 0, IZ KOTOROGO SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET SOSTOQNIE q 2 (q ), TAKOE, ^TO q (p) = 0. pOSKOLXKU TRANZITIWNO, TO q 2 (q), PO\TOMU IZ q(2p) = 1 SLEDUET
q (p) = 1, ^TO PROTIWORE^IT SOOTNOENI@ q (p) = 0.
eSLI NETRANZITIWNO, T.E. SU]ESTWU@T SOSTOQNIQ
q 2 (q) I q 2 (q ), TAKIE, ^TO q 62 (q), TO (13.6)
BUDET NEWERNO PRI TAKOJ OCENKE, PRI KOTOROJ p ISTINNO
TOLXKO W SOSTOQNIQH IZ (q).
0
0
00
0
00
00
00
0
13.6.2
00
00
0
00
n<TEROWOSTX
eSLI W mk (Q ) OTNOENIE TRANZITIWNO I N<TEROWO, T.E. NE SU]ESTWUET POSLEDOWATELXNOSTI (qn j n 0)
SOSTOQNIJ, TAKOJ, ^TO DLQ KAVDOGO n 0 qn+1 2 (qn),
TO DLQ KAVDOGO q 2 Q
q(2(2p ! p) ! 2p) = 1
(13.7)
TAK KAK ESLI (13.7) NEWERNO, T.E. q(2(2p ! p)) = 1 I
q(2p) = 0, TO DLQ NEKOTOROGO q1 2 (q)
q1(2p ! p) = 1 q1(p) = 0
OTKUDA SLEDUET, ^TO q1(2p) = 0, T.E. DLQ NEKOTOROGO q2 2
(q1) q2(p) = 0. tAK KAK TRANZITIWNO, TO q2 2 (q), I
IZ q(2(2p ! p)) = 1 SLEDUET, ^TO q2(2p ! p) = 1, ^TO
W SO^ETANII S q2 (p) = 0 DA<T SOOTNOENIE q2(2p) = 0,
IZ KOTOROGO SLEDUET, ^TO SU]ESTWUET q3 2 (q2), TAKOJ,
^TO q3(p) = 0. pRODOLVAQ W TOM VE DUHE, MY POSTROIM
POSLEDOWATELXNOSTX (qn j n 0), W KOTOROJ q0 = q I
DLQ KAVDOGO n 0 qn+1 2 (qn), ^TO PROTIWORE^IT
N<TEROWOSTI OTNOENIQ .
eSLI TRANZITIWNO I NE N<TEROWO, T.E. SU]ESTWUET
POSLEDOWATELXNOSTX (qn j n 0), W KOTOROJ DLQ KAVDOGO n 0 qn+1 2 (qn), TO (13.7) BUDET NEWERNO PRI
q = q0 I TAKOJ OCENKE, PRI KOTOROJ p ISTINNO TOLXKO W
SOSTOQNIQH IZ Q n fqn j n 0g.
13.6.3
kONFL@ENTNOSTX
eSLI W mk (Q ) OTNOENIE KONFL@ENTNO, T.E. DLQ
KAVDOGO q 2 Q I KAVDOJ PARY q1 q2 2 (q) IMEET MESTO
SOOTNOENIE (q1) \ (q2) =
6 , TO DLQ KAVDOGO q 2 Q
IMEET MESTO RAWENSTWO
q(32p ! 23p) = 1
(13.8)
I NEKOTOROGO q2 2 (q)
1
q2(3p) = 0
(13.10)
wYBEREM PROIZWOLXNOE SOSTOQNIE q3 2 (q1) \ (q2). iZ
(13.9) SLEDUET, ^TO q3(p) = 1, A IZ (13.10) { q3(p) = 0,
^TO NEWOZMOVNO.
eSLI NEKONFL@ENTNO, T.E. SU]ESTWU@T SOSTOQNIQ
q1 q2 2 (q), TAKIE, ^TO (q1 ) \ (q2) = , TO (13.8) BUDET NEWERNO PRI TAKOJ OCENKE, PRI KOTOROJ p ISTINNO
TOLXKO W SOSTOQNIQH IZ (q1).
13.6.4
rEFLEKSIWNOSTX
13.6.5
sIMMETRI^NOSTX
eSLI W mk (Q ) OTNOENIE REFLEKSIWNO, TO DLQ L@BOGO q 2 Q IMEET MESTO RAWENSTWO q(2p ! p) = 1, A ESLI
NEREFLEKSIWNO, T.E. SU]ESTWUET SOSTOQNIE q 62 (q), TO
q(2p ! p) = 1 BUDET NEWERNO PRI TAKOJ OCENKE, PRI KOTOROJ p ISTINNO TOLXKO W SOSTOQNIQH IZ (q).
eSLI W mk (Q ) OTNOENIE SIMMETRI^NO, TO DLQ
L@BOGO q 2 Q IMEET MESTO RAWENSTWO
q(32p ! p) = 1
(13.11)
eSLI NESIMMETRI^NO, T.E. SU]ESTWU@T SOSTOQNIQ
q q , TAKIE, ^TO q 2 (q), NO q 62 (q ), TO (13.11) BUDET NEWERNO PRI TAKOJ OCENKE, PRI KOTOROJ p ISTINNO
TOLXKO W SOSTOQNIQH IZ (q ).
0
0
0
0
13.6.6
sERIALXNOSTX
13.6.7
dETERMINIROWANNOSTX
eSLI W mk (Q ) OTNOENIE SERIALXNO, T.E. DLQ L@BOGO q 2 Q (q) 6= , TO DLQ L@BOGO q 2 Q IMEET MESTO
RAWENSTWO q(31) = 1, A ESLI NESERIALXNO, T.E. SU]ESTWUET SOSTOQNIE q, TAKOE, ^TO (q) = TO q(31) = 1 BUDET
NEWERNO PRI L@BOJ OCENKE.
eSLI W mk (Q ) OTNOENIE DETERMINIROWANO, T.E.
DLQ L@BOGO q 2 Q I L@BYH q1 q2 2 (q)
LIBO q1 = q2, LIBO q2 2 (q1), LIBO q1 2 (q2)
TO DLQ L@BOGO q 2 Q IMEET MESTO RAWENSTWO
q 2(2p ^ p ! q) _ 2(2q ^ q ! p) = 1
(13.12)
eSLI NEDETERMINIROWANO, T.E. SU]ESTWU@T SOSTOQNIQ q q1 2 (q) I q2 2 (q), TAKIE, ^TO
q1 =
6 q2, q2 62 (q1 ) I q1 62 (q2 )
TO (13.12) BUDET NEWERNO PRI TAKOJ OCENKE, PRI KOTOROJ p ISTINNO TOLXKO W SOSTOQNIQH IZ (q1) fq1g, I q
ISTINNO TOLXKO W SOSTOQNIQH IZ (q2) fq2g.
62
13.7
kANONI^ESKIE MODELI
13.7.2
pONQTIE KANONI^ESKOJ MODELI
KAVDOGO L-POLNOGO MNOVESTWA U I KAVDOJ FOR13.7.1 L{NEPROTIWORE^IWYE I L{POLNYE dLQ
MULY A ZNAKOSO^ETANIE U(A) OBOZNA^AET \LEMENT MNO-
MNOVESTWA
pUSTX L { NEPROTIWORE^IWAQ LOGIKA (T.E. L 6= ).
mNOVESTWO FORMUL U NAZYWAETSQ
L{NEPROTIWORE^IWYM, ESLI DLQ KAVDOGO EGO KONE^NOGO PODMNOVESTWA fA1 : : : Ang IMEET MESTO
SOOTNOENIE A1 ^ : : : ^ An 62 L
L{POLNYM, ESLI ONO L{NEPROTIWORE^IWO, I DLQ
KAVDOJ FORMULY A LIBO A 2 U, LIBO A 2 U.
oTMETIM, ^TO LOGIKA L QWLQETSQ L{NEPROTIWORE^IWYM MNOVESTWOM, POTOMU ^TO ESLI A1 : : : An 2 L, TO
A1 ^ : : : ^ An 2 L PO\TOMU A1 ^ : : : ^ An 62 L.
eSLI MNOVESTWO U L{POLNOE, TO L U, POTOMU,
^TO ESLI NEKOTORAQ FORMULA A IZ L NE SODERVITSQ W
U, TO A 2 U, OTKUDA, WWIDU L{NEPROTIWORE^IWOSTI U,
POLU^AEM: A 62 L, I, SLEDOWATELXNO, A 62 L, ^TO PROTIWORE^IT WYBORU A KAK FORMULY IZ L.
eSLI MNOVESTWO U L{NEPROTIWORE^IWO, TO DLQ L@BOJ FORMULY A LIBO U fAg, LIBO U fAg L{NEPROTIWORE^IWO, POTOMU ^TO ESLI OBA \TIH MNOVESTWA L{PROTIWORE^IWY, TO SU]ESTWU@T MNOVESTWA
fB1 : : : Bng U fAg fC1 : : : Cm g U fAg
TAKIE, ^TO B1 ^ : : : ^ Bn 2 L C1 ^ : : : ^ Cm 2 L. pERWOE IZ \TIH MNOVESTW SODERVIT A, A WTOROE - A, TAK KAK
INA^E U BUDET L{PROTIWORE^IWO. oBOZNA^IM SIMWOLOM
B KON_@NKCI@ MNOVESTWA TEH FORMUL IZ SOWOKUPNOSTI
fB1 : : : Bn g, KOTORYE NE SOWPADA@T S A, I SIMWOLOM
C { KON_@NKCI@ MNOVESTWA TEH FORMUL IZ SOWOKUPNOSTI fC1 : : : Cm g, KOTORYE NE SOWPADA@T S A (ESLI
KAKOE-LIBO IZ \TIH MNOVESTW PUSTO, TO EGO KON_@NKCIQ PO OPREDELENI@ RAWNA FORMULE 1). iZ SOOTNOENIJ
A ^ B 2 L, A ^ C 2 L, A ^ B ! (A ^ C ! B ^ C) 2 L
(POSLEDNQQ FORMULA PRINADLEVIT L POTOMU, ^TO ONA
QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ) SLEDUET, ^TO B ^ C 2 L, ^TO
PROTIWORE^IT L-NEPROTIWORE^IWOSTI MNOVESTWA U.
dLQ KAVDOGO L{NEPROTIWORE^IWOGO MNOVESTWA U SU]ESTWUET L{POLNOE MNOVESTWO U , TAKOE, ^TO U U .
mNOVESTWO U MOVNO POSTROITX, NAPRIMER, SLEDU@]IM
OBRAZOM. pUSTX (A1 A2 : : :) { SPISOK WSEH FORMUL. oPREDELIM POSLEDOWATELXNOSTX U1 U2 : : : PODMNOVESTW MNOVESTWA SLEDU@]IM OBRAZOM: U1 def
= U, I DLQ KAVDOGO
n 1 Un+1 POLAGAEM RAWNYM MNOVESTWU
Un fAng, ESLI ONO L-NEPROTIWORE^IWO, I
Un fAn g { W PROTIWNOM SLU^AE (SOGLASNO DOKAZANNOMU WYE, W \TOM SLU^AE MNOVESTWO Un fAng
BUDET L-NEPROTIWORE^IWO).
iSKOMOE MNOVESTWO U IMEET WID S Un . eSLI BY ONO
n 1
BYLO L-PROTIWORE^IWO, TO DLQ NEKOTOROGO n 1 MNOVESTWO Un BYLO BY L-PROTIWORE^IWO, ^TO PROTIWORE^IT OPREDELENI@ POSLEDOWATELXNOSTI (Un j n 1).
0
0
0
0
VESTWA f0 1g, KOTORYJ RAWEN 1, ESLI A 2 U, I 0 - W
PROTIWNOM SLU^AE. nETRUDNO DOKAZATX, ^TO
U(1) = 1 U(0) = 0
U(A) ^ U(A ! B) U(B)
U(A) = U(A)
U(A B) = U(A) U(B), GDE { L@BOJ IZ SIMWOLOW
^ _ ! $
kANONI^ESKOJ MODELX@ NEPROTIWORE^IWOJ LOGIKI L
QWLQETSQ mk SL = (QL L ), GDE
QL SOSTOIT IZ WSEH L-POLNYH MNOVESTW,
V L (U U ) def
= A U(2A) ! U (A) .
DLQ L@BYH U 2 QL I p 2 P OCENKA p W U SOWPADAET
S U(p).
dOKAVEM, ^TO DLQ L@BOGO U 2 QL I L@BOJ FORMULY
A ZNA^ENIE A W U SOWPADAET S U(A). s U^<TOM WYESKAZANNOGO, DLQ \TOGO DOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO DLQ
KAVDOJ FORMULY A IMEET MESTO
RAWENSTWO U(2A) =
V
2U(A), T.E. U(2A) = U QL L (U U ) ! U (A) .
0
0
2
0
02
0
iSTINNOSTX NERAWENSTWA
U(2A) L (U U ) ! U (A)
DLQ KAVDOGO U 2 QL SLEDUET IZ OPREDELENIQ L .
oBRATNOE NERAWENSTWO
V
U QL L (U U ) ! U (A) U(2A)
SLEDUET IZ TOGO, ^TO ESLI U(2A) = 0, TO SU]ESTWUET
MNOVESTWO U 2 QL , TAKOE, ^TO L (U U ) ! U (A) = 0,
T.E. L (U U ) = 1 I U (A) = 0. w KA^ESTWE U MOVNO
WZQTX L{POLNOE MNOVESTWO, SODERVA]EE MNOVESTWO
(13.13)
fB 2 j U(2B) = 1g fAg
dOKAVEM, ^TO MNOVESTWO (13.13) L{NEPROTIWORE^IWO.
eSLI ONO L{PROTIWORE^IWO, TO DLQ NEKOTOROGO PODMNOVESTWA fB1 : : : Bng MNOVESTWA (13.13), IMEET MESTO SOOTNOENIE B1 ^ : : : ^ Bn 2 L, IZ KOTOROGO SLEDUET SOOTNOENIE A ^ B1 ^ : : : ^ Bn 2 L. pUSTX WSE FORMULY
B1 : : : Bn OTLI^NY OT A. oBOZNA^IM SIMWOLOM B KON_@NKCI@ B1 ^ : : : ^ Bn . iZ SOOTNOENIQ A ^ B 2 L SLEDUET, ^TO B ! A 2 L, OTKUDA SLEDUET 2B ! 2A 2 L.
tAK KAK L SODERVIT FORMULU 2B $ (2B1 ^ : : : ^ 2Bn ),
I U(2B1 ) = : : : = U(2Bn ) = 1, TO U(2B) = 1, OTKUDA SLEDUET, ^TO U(2A) = 1, ^TO PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@ O TOM, ^TO U(2A) = 0. (ESLI MNOVESTWO
fB1 : : : Bn g PUSTO, TO B = 1, I MY ISPOLXZUEM FAKT
21 2 L).
eSLI A 2 L, TO DLQ L@BOGO U 2 QL U(A) = 1 (T.K.
L U), A ESLI A 62 L, TO MNOVESTWO fAg L-NEPROTIWORE^IWO, I PO\TOMU DLQ NEKOTOROGO U 2 QL U(A) = 0.
63
0
0
0
0
02
0
0
0
0
0
0
0
fILXTRACII mk
13.8
pOSKOLXKU A 2 hAi, TO IZ WYEDOKAZANNOGO SLEDUET,
^TO DLQ KAVDOGO q 2 Q IMEET MESTO RAWENSTWO q](A) =
dLQ KAVDOJ FORMULY A ZNAKOSO^ETANIE hAi OBOZNA^AET q(A). pO\TOMU ESLI REAETSQ ZADA^A PROWERKI ISTINSOWOKUPNOSTX WSEH PODFORMUL FORMULY A.
NOSTI ZADANNOJ FORMULY A WO WSEH SOSTOQNIQH ZADANpUSTX (Q ) { NEKOTORAQ mk. oPREDELIM OTNOENIE NOJ mk (Q ) (IZWESTNAQ KAK ZADA^A Model Checking),
\KWIWALENTNOSTI NA Q SLEDU@]IM OBRAZOM:
TO DANNAQ ZADA^A MOVET BYTX SWEDENA K ANALOGI^NOJ ZADA^E MENXEJ SLOVNOSTI, W KOTOROJ WMESTO mk (Q )
q q , 8B 2 hAi q(B) = q (B)
RASSMATRIWAETSQ E< FILXTRACIQ PO MNOVESTWU hAi.
oTOBRAVENIE
13.9
q 7! (q(A1 ) : : : q(An )) (GDE fA1 : : : Ang = hAi)
, ^TO USLOWIQ, KOTORYM DOLVNA UDOWLESOPOSTAWLQET WSEM \LEMENTAM KAVDOGO KLASSA RAZBIE- 1. dOKAZATX
TWORQTX
MODALXNAQ
LOGIKA, MOVNO \KWIWALENTNYM
NIQ PO OTNOENI@ ODIN I TOT VE WEKTOR IZ f0 1gn,
OBRAZOM
SFORMULIROWATX
TAK:
PO\TOMU KLASSOW RAZBIENIQ PO OTNOENI@ NE MOVET
BYTX BOLXE, ^EM WEKTOROW IZ f0 1gn, KOLI^ESTWO KO(a) L SODERVIT WSE TAWTOLOGII.
TORYH RAWNO 2n .
(b) L SODERVIT FORMULU 2(p ! q) ! (2p ! 2q),
fILXTpACIEJ mk (Q ) PO MNOVESTWU hAi NAZYGDE p q 2 P .
WAETSQ mk (Q= ),
(c) eSLI A 2 L I A ! B 2 L, TO B 2 L.
OTNOENIE PEREHODA W KOTOROJ SOSTOIT IZ WSEH
(d) eSLI A 2 L, I - PODSTANOWKA, TO (A) 2 L.
PAR (q] q ]) 2 (Q= )2 , TAKIH, ^TO (q q ) = 1, I
(e) eSLI A 2 L, TO 2A 2 L.
DLQ WSEH q 2 Q I p 2 hAi \ P q](p) = q(p).
2. dOKAZATX, ^TO S + QWLQETSQ MODALXNOJ ALGEBROJ.
dOKAVEM, ^TO DLQ WSEH q 2 Q I B 2 hAi \ P IMEET
MESTO RAWENSTWO q](B) = q(B). dANNOE RAWENSTWO DOKA- 3. dOKAZATX, ^TO W KAVDOJ MODELI kRIPKE (Q ) DLQ
KAVDOJ FORMULY A IMEET MESTO RAWENSTWO
ZYWAETSQ INDUKCIEJ PO STRUKTURE B. eSLI B 2 P , TO
ONO WERNO PO OPREDELENI@. CLU^AJ, KOGDA B QWLQETSQ
Q3A = Q2 A
BULEWOJ KOMBINACIEJ, RAZBIRAETSQ BEZ OSOBOGO TRUDA.
eSLI B = 2C, TO
0
0
zADA^I
0
0
0
0
V (q] q ]) ! q ](C) =
q ] Q=
V (q] q ]) ! q (C)
=
q Q
q](B) =
0 2
0
0
0
0
0
0
02
(13.14)
nAM NADO DOKAZATX, ^TO (13.14) SOWPADAET S q(2C), T.E.
S
^
(q q ) ! q (C)
(13.15)
0
0
q Q
02
1. DLQ KAVDOGO q 2 Q IZ NERAWENSTWA
0
(q q ) (q] q ])
0
0
0
SLEDUET NERAWENSTWO
(q] q ]) ! q (C) (q q ) ! q (C)
PO\TOMU (13:14) (13:15).
2. q(2C) (13:14), TAK KAK DLQ KAVDOGO q 2 Q IMEET MESTO NERAWENSTWO q(2C) (q] q ]) !
q (C), POTOMU, ^TO ESLI (q] q ]) = 1, TO DLQ
NEKOTORYH q1 q I q1 q (q1 q1) = 1, I ESLI, KROME TOGO, q(2C) = q1(2C) = 1, TO q (C) =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q1 (C) = 1.
0
64
lEKCIQ 14
nE^ETKIE LOGIKI
14.1
wWEDENIE
mATEMATI^ESKIE METODY ANALIZA SISTEM ZAKL@^A@TSQ W POSTROENII MATEMATI^ESKIH MODELEJ ISSLEDUEMYH
SISTEM I FORMALXNOM ANALIZE \TIH MODELEJ.
pOSKOLXKU MODELI SISTEM NE TOVDESTWENNY SAMIM
SISTEMAM, I QWLQ@TSQ LIX IH APPROKSIMACIQMI, TO,
SLEDOWATELXNO, SWOJSTWA ISSLEDUEMYH SISTEM I SWOJSTWA IH MODELEJ MOGUT RAZLI^ATXSQ. dANNAQ SITUACIQ
PRIWODIT K SU]ESTWENNYM TRUDNOSTQM PRI PREDSKAZANII SWOJSTW REALXNYH SISTEM NA OSNOWE INFORMACII O
SWOJSTWAH IH MODELEJ.
oDIN SPOSOB NAHOVDENIQ TO^NYH SWOJSTW ANALIZIRUEMYH SISTEM ZAKL@^AETSQ W POSTROENII KAK MOVNO
BOLEE TO^NYH I DETALXNYH IH MATEMATI^ESKIH MODELEJ.
wO MNOGIH SITUACIQH DANNYJ PUTX PRIWODIT K BOLXIM TRUDNOSTQM, PO PRI^INE TOGO, ^TO BOLXAQ SLOVNOSTX DETALXNYH MODELEJ MOVET WYZYWATX SU]ESTWENNYE WY^ISLITELXNYE PROBLEMY PRI IH FORMALXNOM ANALIZE.
dRUGOJ PUTX ISSLEDOWANIQ SWOJSTW REALXNYH SISTEM
ZAKL@^AETSQ W POSTROENII TAKIH IH PRIBLIVENNYH MATEMATI^ESKIH MODELEJ, KOTORYE, HOTQ I QWLQ@TSQ GRUBYMI PODOBIQMI ISSLEDUEMYH SISTEM, NO IME@T PRIEMLEMU@ WY^ISLITELXNU@ SLOVNOSTX. oSNOWNAQ WOZNIKA@]AQ ZDESX PROBLEMA ZAKL@^AETSQ W OCENKE MERY RASHOVDENIQ MEVDU SWOJSTWAMI REALXNOJ SISTEMY I SWOJSTWAMI EE PRIBLIVENNOJ MODELI.
dLQ TO^NOGO OCENIWANIQ DANNOGO RASHOVDENIQ NEOBHODIM TO^NYJ U^ET W MATEMATI^ESKOJ MODELI ANALIZIRUEMOJ SISTEMY WSEH PREDPOLOVENIJ O NE^ETKOSTI,
NEDOSTOWERNOSTI I NEOPREDELENNOSTI PRI POSTROENII
DANNOJ MODELI, MERY TO^NOSTI IZMERENIQ PARAMETROW
ANALIZIRUEMOJ SISTEMY, I T.P.
wSE NE^ETKIE KOMPONENTY MATEMATI^ESKOJ MODELI
ANALIZIRUEMOJ SISTEMY MOVNO USLOWNO SGRUPPIROWATX
W SLEDU@]IE DWE KATEGORII.
1. nE^ETKIE KOMPONENTY, WOZNIKA@]IE PO PRI^INE
\FFEKTA SLU^AJNOSTI. dANNYJ \FFEKT IMEET MESTO NAPRIMER TOGDA, KOGDA NE^ETKOSTX W PROCESSE
IZMERENIQ ZNA^ENIQ NEKOTOROGO PARAMETRA ANALIZIRUEMOJ SISTEMY NOSIT WEROQTNOSTNYJ HARAKTER, I IZMERQEMYE ZNA^ENIQ DANNOGO PARAMETRA
POD^INQ@TSQ NEKOTORYM STATISTI^ESKIM ZAKONOMERNOSTQM.
dANNYJ WID NE^ETKOSTI ISSLEDUETSQ METODAMI TEORII WEROQTNOSTEJ, MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI I
TEORII SLU^AJNYH PROCESSOW.
2. nE^ETKIE KOMPONENTY, WOZNIKA@]IE PO PRI^INE
KONCEPTUALXNOJ NE^ETKOSTI. dANNYE KOMPONENTY MOGUT BYTX SWQZANY S NEPOLNYM I NEDOSTOWERNYM ZNANIEM OB IZU^AEMOJ SISTEME.
w NASTOQ]EJ GLAWE IZLAGAETSQ APPARAT DLQ ISSLEDOWANIQ NE^ETKIH KOMPONENTOW, OTNOSQ]IHSQ KO WTOROJ
KATEGORII.
14.2
14.2.1
nE^ETKIE LOGIKI
{KALA OCENOK
nAPOMNIM, ^TO POLNOJ RE<TKOJ NAZYWAETSQ ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOE MNOVESTWO (B ), TAKOE, ^TO DLQ KAVDOGO PODMNOVESTWA Q B SU]ESTWU@T EGO TO^NAQ NIVNQQ GRANX I TO^NAQ WERHNQQ GRANX, T.E. TAKIE \LEMENTY
inf(Q) I sup(Q) MNOVESTWA B, ^TO DLQ KAVDOGO b 2 B
IME@T MESTO SOOTNOENIQ
(8q 2 Q b q) , b inf(Q)
(8q 2 Q q b) , sup(Q) b:
nIVE \LEMENTY inf(B) I sup(B) OBOZNA^A@TSQ SIMWOLAMI 0 I 1 SOOTWETSTWENNO.
dLQ PROIZWOLXNOGO KONE^NOGO PODMNOVESTWA
Q = fa1 : : : ang B
\LEMENTY inf(Q) I sup(Q) BUDUT OBOZNA^ATXSQ ZNAKOSO^ETANIQMI
a1 ^ : : : ^ an I a1 _ : : : _ an
SOOTWETSTWENNO. dLQ DANNYH \LEMENTOW TAKVE BUDUT
ISPOLXZOWATXSQ OBOZNA^ENIQ
65
8a 9
2a 3
< 1 =
1
4
:
:
:
I
:
:
:5
: an an
SOOTWETSTWENNO.
14.2.3
pODSTANOWKI
{KALOJ OCENOK NAZYWAETSQ POLNAQ RE<TKA B, W
KOTOROJ DLQ KAVDOJ PARY a b 2 B OPREDELEN \LEMENT pODSTANOWKOJ NAZYWAETSQ ZNAKOSO^ETANIE WIDA
= p1 := A1 : : : pk := Ak ]
(14.3)
(14.1)
OBLADA@]IJ SLEDU@]IM SWOJSTWOM: DLQ KAVDOGO c 2 B GDE
c (a ! b) , (c ^ a) b
(14.2)
p1 : : : pk { SPISOK RAZLI^NYH UTWERVDENIJ IZ P ,
I
|LEMENT (14.1) MOVNO INTERPRETIROWATX KAK MERU
ISTINNOSTI WYSKAZYWANIQ
A1 : : : Ak { SPISOK FORMUL.
\a b"
pODSTANOWKA (14.3) DEJSTWUET NA KAVDU@ FORMULU A
w NIVESLEDU@]EM TEKSTE SIMWOL B OBOZNA^AET NE- PUT<M ZAMENY DLQ KAVDOGO i 2 f1 : : : kg KAVDOGO WHOVKOTORU@ FIKSIROWANNU@ KALU OCENOK.
DENIQ UTWERVDENIQ pi W A NA FORMULU Ai . fORMULA,
dLQ KAVDOJ PARY a b 2 B SIMWOLOM a $ b BUDET KOTORAQ POLU^AETSQ POSLE
TAKOJ ZAMENY, OBOZNA^AETSQ
NIVE OBOZNA^ATXSQ \LEMENT (a ! b) ^ (b ! a).
ZNAKOSO^ETANIEM (A).
a!b
14.2.2
nE^ETKIE MODALXNYE FORMULY
mY PREDPOLAGAEM, ^TO ZADANO NEKOTOROE MNOVESTWO P ,
\LEMENTY KOTOpOGO NAZYWA@TSQ UTWERVDENIQMI.
mNOVESTWO Fm NE^
ETKIH MODALXNYH FOpMUL
(NAZYWAEMYH NIVE PROSTO FORMULAMI) OPpEDELQETSQ
INDUKTIWNO SLEDU@]IM OBpAZOM:
kAVDYJ \LEMENT MNOVESTWA P QWLQETSQ FORMULOJ.
kAVDYJ \LEMENT KALY B QWLQETSQ FORMULOJ.
eSLI A I B { FORMULY, TO ZNAKOSO^ETANIQ A ^ B,
A _ B, I A ! B QWLQ@TSQ FORMULAMI.
eSLI A { FORMULA, I a 2 B, TO ZNAKOSO^ETANIE
2a A QWLQETSQ FORMULOJ.
mODALXNYE SWQZKI WIDA 2a NAZYWA@TSQ NE^
ETKI-
14.2.4
tAWTOLOGII
pUSTX A I B { NEKOTORYE FORMULY IZ Fm. mY BUDEM GOWORITX, ^TO B POLU^ENA IZ A \KWIWALENTNYM
PREOBRAZOWANIEM, ESLI
A SODERVIT PODFORMULU WIDA
a ^ b a _ b ILI a ! b
GDE a b 2 B, I
B POLU^AETSQ IZ A PUTEM ZAMENY DANNOJ PODFORMULY NA \LEMENT KALY B, QWLQ@]IJSQ REZULXTATOM PRIMENENIQ SOOTWETSTWU@]EJ OPERACII K
PARE a b.
dWE FORMULY IZ F m NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI
,
ESLI ODNU IZ NIH MOVNO POLU^ITX IZ DRUGOJ PUTEM
MI MODALXNYMI OPERATORAMI.
NESKOLXKIH
\KWIWALENTNYH PREOBRAZOWANIJ.
pRI NEKOTORYH INTERPRETACIQH FORMUL I OCENOK
pUSTX
A
{ FORMULA, NE SODERVA]AQ MODALXNYH OPEFORMULU WIDA 2a A MOVNO INTERPRETIROWATX KAK WY- RATOROW, I SPISOK
WSEH UTWERVDENIJ, WHODQ]IH W A,
SKAZYWANIE
IMEET WID
MERA UBEDITELXNOSTI FAKTA,
WYRAVAEMOGO FORMULOJ A, RAWNA
a.
(p1 : : : pn):
dLQ PROIZWOLXNOGO SPISKA A1 : : : An FORMUL IZ F m
ZNAKOSO^ETANIQ
A1 ^ A2 ^ : : : ^ An I A1 _ A2 _ : : : _ An
QWLQ@TSQ SOKRA]ENNOJ ZAPISX@ FORMUL
A1 ^ (A2 ^ (: : : ^ An ) : : :) I A1 _ (A2 _ (: : : _ An ) : : :)
SOOTWETSTWENNO. dANNYE FORMULY TAKVE BUDUT OBOZNA^ATXSQ ZNAKOSO^ETANIQMI
8 9
2 3
fORMULA A NAZYWAETSQ TAWTOLOGIEJ, ESLI DLQ KAVDOJ
PODSTANOWKI WIDA (14.3), TAKOJ, ^TO
8i 2 f1 : : : ng Ai = ai 2 B
FORMULA (A) \KWIWALENTNA \LEMENTU 1 2 B.
14.2.5
nE^ETKIE LOGIKI
nE^
ETKOJ LOGIKOJ NAZYWAETSQ PROIZWOLXNOE PODMNO-
VESTWO L MNOVESTWA Fm, OBLADA@]EE SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:
KAVDAQ TAWTOLOGIQ PRINADLEVIT L
SOOTWETSTWENNO.
DLQ WSEH A B 2 F m I KAVDOGO a 2 B
dLQ KAVDOJ PARY A B 2 F m ZNAKOSO^ETANIE A $ B
A 2A
QWLQETSQ SOKRA]ENNYM OBOZNA^ENIEM FORMULY
2a B $ 2aa B
2 L
(14.4)
(A ! B) ^ (B ! A):
A1
< A1 =
4
:
:
:
::: 5
I
: An An
66
a ! 2a 1 2 L
nE^ETKIE MODELI kRIPKE
14.3
DLQ KAVDOGO a 2 B
nE^<TKIE MNOVESTWA
(14.5) 14.3.1
DLQ KAVDOJ FORMULY A 2 Fm I KAVDOGO a 2 B nE^<TKIM MNOVESTWOM NAZYWAETSQ PARA
W = (X )
(14.13)
2a A ! a 2 L
(14.6)
GDE
DLQ WSEH A B 2 Fm
X { MNOVESTWO (NAZYWAEMOE NOSITELEM W), I
ESLI A 2 L I A ! B 2 L (14.7)
{ OTOBRAVENIE WIDA
TO B 2 L
:X X !B
DLQ KAVDOJ FORMULY A 2 Fm I KAVDOJ PODSTAOBLADA@]EE SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:
NOWKI 8x y 2 X (x y) = (y x)
(14.14)
ESLI A 2 L
(x y) (14.8)
TO (A) 2 L
8x y z 2 X
(y z) (x z) (14.15)
DLQ WSEH A B 2 Fm I WSEH a b 2 B
dLQ KAVDOJ PARY x y 2 X \LEMENT (x y) NAZYWAETSQ
ESLI a ! (A ! B) 2 L
BLIZOSTI x I y. dLQ KAVDOGO x 2 X \LEMENT
(14.9) MEROJ
(x
x)
NAZYWAETSQ
MEROJ PRINADLEVNOSTI \LEMENTA
TO a ! (2bA ! 2bB) 2 L
x NE^ETKOMU MNOVESTWU (14.13).
bINARNYM OTNOENIEM NA (14.13) NAZYWAETSQ PRODLQ KAVDOJ FORMULY A 2 F m I KAVDOGO PODMNOIZWOLXNOE OTOBRAVENIE R WIDA
VESTWA fai j i 2 =g B
R:XX !B
ESLI 8i 2 = ai ! A 2 L
(14.10) UDOWLETWORQ@]EE SLEDU@]IM USLOWIQM:
TO (sup ai) ! A 2 L:
8
9
i2=
iZ DANNOGO OPREDELENIQ WYTEKAET, ^TO SU]ESTWUET
MINIMALXNAQ (OTNOSITELXNO WKL@^ENIQ) NE^ETKAQ LOGIKA, KOTORU@ MY BUDEM OBOZNA^ATX ZNAKOSO^ETANIEM
FK (KOTOROE QWLQETSQ ABBREWIATUROJ SLOWOSO^ETANIQ
Fuzzy Kripke).
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO DLQ KAVDOJ NE^ETKOJ LOGIKI L IMEET MESTO SLEDU@]EE PRAWILO WYWODA:
ESLI a1 ! A1 2 L : : : an ! An 2 L
GDE a : : : a 2 B I 1
n
A1 : : : An 2 Fm
(14.11)
TO
8< a 9
8< A 9=
1 =
1
:
:
:
!
:
:
: an : An: 2 L:
0
0
< R(x y) =
x ) R(x y ) (14.16)
: (x
(y y ) (x x) 0
8x y 2 X R(x y) (y y) :
(14.17)
dLQ KAVDOJ PARY (x y) 2 X X \LEMENT R(x y) MOVNO
INTERPRETIROWATX KAK MERU PRINADLEVNOSTI DANNOJ PARY BINARNOMU OTNOENI@ R.
pODMNOVESTWOM NE^ETKOGO MNOVESTWA (14.13) NAZYWAETSQ PROIZWOLXNOE OTOBRAVENIE s WIDA
s:X !B
UDOWLETWORQ@]EE SLEDU@]IM USLOWIQM:
s(x) 8x x 2 X
(14.18)
(x x ) s(x )
8x 2 X s(x) (x x):
(14.19)
dLQ KAVDOGO x 2 X \LEMENT s(x) MOVNO INTERPRETIROWATX KAK MERU PRINADLEVNOSTI \LEMENTA x PODMNOVESTWU s.
sOWOKUPNOSTX WSEH PODMNOVESTW NE^ETKOGO MNOVESTWA (14.13) OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM Sub(W).
nIVE DLQ KAVDOGO NE^ETKOGO MNOVESTWA W EGO NOSITELX BUDET OBOZNA^ATXSQ TEM VE SAMYM SIMWOLOM W,
I DLQ KAVDOJ PARY x y \LEMENTOW NOSITELQ MERA BLIZOSTI x I y BUDET OBOZNA^ATXSQ SIMWOLOM W(x y). kROME TOGO, DLQ KAVDOGO x 2 W SIMWOL W(x) PO OPREDELENI@ OBOZNA^AET MERU PRINADLEVNOSTI \LEMENTA x
NE^ETKOMU MNOVESTWU W.
0
0
OBOZNA^AET TO^NU@ WERHN@@ GRANX MNOVESTWA
fa 2 B j a ! A 2 Lg:
(14.12)
iZ DANNOGO OPREDELENIQ I IZ SWOJSTWA (14.10) SLEDUET
SOOTNOENIE
8a 2 B a ! A 2 L , a A]]L:
0
0
0
0
nIVE WMESTO TERMINA "NE^ETKAQ LOGIKA" BUDET ISPOLXZOWATXSQ \KWIWALENTNYJ EMU W DANNOJ GLAWE TERMIN "LOGIKA".
dLQ KAVDOJ FORMULY A I KAVDOJ LOGIKI L SIMWOL
A]]L
8x y x y 2 X
67
14.3.2
oPREDELENIE NE^ETKOJ MODELI kRIP14.3.4
iSTINNOSTX FORMUL W MODELQH
KE
fORMULA A 2 Fm NAZYWAETSQ ISTINNOJ W TO^KE x
nE^
ETKOJ MODELX@ kRIPKE NAZYWAETSQ PROIZWOLX- MODELI (14.20), ESLI IMEET MESTO SOOTNOENIE
NAQ TROJKA M WIDA
A]]x = W(x):
(14.28)
(14.20)
fORMULA A 2 Fm NAZYWAETSQ ISTINNOJ W MODELI
KOMPONENTY KOTOROJ OPREDELQ@TSQ SLEDU@]IM OBRA- (14.20), ESLI ONA ISTINNA W KAVDOJ TO^KE \TOJ MODELI.
ZOM:
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO KAVDAQ FORMULA LOGIKI FK
ISTINNA
W KAVDOJ MODELI. |TO SLEDUET IZ TOGO, ^TO
1. W { \TO NEKOTOROE NE^ETKOE MNOVESTWO, \LEMENTY
KOTOROGO NAZYWA@TSQ SOSTOQNIQMI,
KAVDAQ TAWTOLOGIQ ISTINNA W L@BOJ MODELI,
2. fRa j a 2 Bg { \TO B{INDEKSIROWANNAQ SOWOKUPFORMULY IZ SOOTNOENIJ (14.4), (14.5) I (14.6) ISNOSTX BINARNYH OTNOENIJ NA W, NAZYWAEMYH
TINNY
W PROIZWOLXNOJ MODELI, I
OTNOENIQMI PEREHODA,
PRAWILA WYWODA (14.7), (14.8), (14.9) I (14.10) SO3. { \TO OTOBRAVENIE WIDA
HRANQ@T SWOJSTWO ISTINNOSTI W PROIZWOLXNOJ MO : P ! Sub(W)
(14.21)
DELI.
NAZYWAEMOE OCENKOJ UTWERVDENIJ.
oSTAWAQ ^ASTX GLAWY POSWQ]ENA DOKAZATELXSTWU
OBRATNOGO
: ESLI FORMULA ISTINNA W KAVnIVE WMESTO TERMINA "NE^ETKAQ MODELX kRIPKE" DOJ MODELIUTWERVDENIQ
,
TO
ONA
PRINADLEVIT
LOGIKE FK.
BUDET ISPOLXZOWATXSQ \KWIWALENTNYJ EMU W DANNOJ GLAWE TERMIN "MODELX".
M = (W fRa j a 2 Bg )
14.3.3
14.4
oCENKA FORMUL W MODELQH
L{SOWMESTIMYE MNOVESTWA
dLQ KAVDOJ FORMULY A 2 F m I KAVDOJ MODELI (14.20) 14.4.1 nEPROTIWORE^IWYE LOGIKI
OCENKOJ A W M NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE
lOGIKA L F m NAZYWAETSQ NEPROTIWORE^IWOJ, ESLI
A]]M : W ! B
8a 2 B a 2 L ) a = 1:
(14.29)
KOTOROE SOPOSTAWLQET KAVDOMU x 2 W OCENKU A]]x 2 B,
dOKAVEM, ^TO LOGIKA F K NEPROTIWORE^IWA.
OPREDELQEMU@ SLEDU@]IM OBRAZOM:
kAK BYLO OTME^ENO W PARAGRAFE 14.3.4, DLQ KAVDOGO
DLQ WSEH p 2 P
a 2 B, IZ SOOTNOENIQ a 2 F K SLEDUET, ^TO FORMULA a
ISTINNA W KAVDOJ MODELI, W ^ASTNOSTI, W MODELI WIDA
p]]x def
= (p)(x)
(14.22) (14.20), GDE W SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA x, I
DLQ WSEH a 2 B
W(x) = 1:
(14.30)
a]]x def
=
a
W(x) (14.23)
A ^ B]]x def
= A]]x ^ B]]x
(14.24)
A _ B]]x def
= A]]x _ B]]x
(14.25)
A ! B]]x = A]]x ! B]]x def
W (x)
(14.26)
8> a
9
>=
<
def
inf
(R
(x
y)
!
A]
]
)
y
2a A]]x = > y W a
> : (14.27)
: W (x)
sOOTNOENIE (14.29) SLEDUET IZ (14.23), (14.28) I
(14.30).
nIVE POD LOGIKOJ PONIMAETSQ NEPROTIWORE^IWAQ LOGIKA.
14.4.2
pUSTX
2
L { NEKOTORAQ NEPROTIWORE^IWAQ LOGIKA, I
u { NEKOTOROE PODMNOVESTWO Fm.
mNOVESTWO u NAZYWAETSQ L{SOWMESTIMYM, ESLI
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO OTOBRAVENIE A]]M QWLQET- DLQ
SQ PODMNOVESTWOM NE^ETKOGO MNOVESTWA W .
68
oPREDELENIE L{SOWMESTIMOGO MNOVESTWA
KAVDOGO KONE^NOGO PODMNOVESTWA MNOVESTWA u, IME@]EGO WID
nIVE SIMWOL L OBOZNA^AET PROIZWOLXNU@ NEPROTIfa1 ! A1 : : : an ! An g
WORE^IWU@ LOGIKU.
(GDE a1 : : : an 2 B A1 : : : An 2 Fm)
tEOREMA 3.
(14.31)
pUSTX
I
u { NEKOTOROE L{SOWMESTIMOE MNOVESTWO,
KAVDOGO b 2 B
A { NEKOTORAQ FORMULA, I
IZ SOOTNOENIQ
8A 9
Q { MNOVESTWO WSEH \LEMENTOW a 2 B, TAKIH, ^TO
< 1=
(14.32)
u fa ! Ag L{SOWMESTIMO.
(14.36)
: :A: : ! b 2 L
SLEDUET SOOTNOENIE
n
8a 9
< 1 =
: :a:n: b:
(14.33)
tOGDA DLQ KAVDOGO a 2 B IMEET MESTO SOOTNOENIE
a sup(Q) , a 2 Q:
dOKAZATELXSTWO.
zAMETIM, ^TO Q 6= , T.K. 0 2 Q.
14.4.3 sWOJSTWA L{SOWMESTIMYH MNOVESTW iMPLIKACIQ
a 2 Q ) a sup(Q)
dLQ KAVDOJ PARY u1 u2 PODMNOVESTW Fm NERAWENSTWO
O^EWIDNA.
u1 u2
iMPLIKACIQ
OZNA^AET, ^TO
a sup(Q) ) a 2 Q
DLQ KAVDOJ FORMULY WIDA a ! A 2 u1
\KWIWALENTNA SLEDU@]EJ PARE UTWERVDENIJ:
a = 0 ILI 9 b a : b ! A 2 u2:
1. MNOVESTWO
u fsup(Q) ! Ag
(14.37)
tEOREMA 1.
dLQ KAVDOJ PARY u1 u2 PODMNOVESTW Fm IZ NERAQWLQETSQ L{SOWMESTIMYM
WENSTWA
2. ESLI MNOVESTWO
u1 u2
SLEDUET, ^TO ESLI u2 { L{SOWMESTIMO, TO u1 TOVE L{SOu fa ! Ag
WMESTIMO.
L{SOWMESTIMO, TO DLQ KAVDOGO a a MNOVESTWO
u fa ! Ag
tEOREMA 2.
kAVDAQ NEPROTIWORE^IWAQ LOGIKA L QWLQETSQ L{SOTOVE L{SOWMESTIMO.
WMESTIMYM MNOVESTWOM.
dOKAZATELXSTWO.
uTWERVDENIE 2 SLEDUET IZ TEOREMY 1.
pRIMENQQ PRAWILO WYWODA (14.11) K PODMNOVESTWU
dOKAVEM UTWERVDENIE 1: DLQ
(14.31) MNOVESTWA L, POLU^AEM SOOTNOENIE
KAVDOGO PODMNOVESTWA (14.31) MNOVESTWA (14.37),
8a 9 8A 9
I
< 1 = < 1=
:
:
:
!
:
:
:
2
L:
(14.34)
: an : An KAVDOGO b 2 B
IZ (14.32) SLEDUET (14.33).
iZ (14.32), (14.34) I (14.7) SLEDUET SOOTNOENIE
tAK KAK u PO PREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TO DLQ
8a 9
DOKAZATELXSTWA
IMPLIKACII
< 1 =
(14.35)
(14:32) ) (14:33)
: :a:n: ! b 2 L
DOSTATO^NO RASSMOTRETX LIX SLU^AJ, KOGDA MNOVESTiZ (14.35) I (14.29) SLEDUET (14.33).
WO (14.31) IMEET SLEDU@]IJ WID:
0
0
69
tOGDA IMEET MESTO NERAWENSTWO
(a1 ! A1 ) = (sup(Q) ! A)
A]]u B]]u
(14.45)
8 i = 2 : : : n (ai ! Ai ) 2 u.
w \TOM SLU^AE (14.33) IMEET SLEDU@]IJ WID:
dOKAZATELXSTWO.
(14.45) \KWIWALENTNO L{SOWMESTIMOSTI MNOVESTWA
sup(Q)
(14.38)
u f A]]u ! B g
(14.46)
a2 ^ : : : ^ an b
T.E. UTWERVDENI@ O TOM, ^TO DLQ
(14.38) \KWIWALENTNO SOOTNOENI@
a
KAVDOGO PODMNOVESTWA (14.31) MNOVESTWA (14.46),
8a2Q
b
(14.39)
I
a2 ^ : : : ^ an
KAVDOGO b 2 B
(14.39) SLEDUET IZ (14.36).
IZ (14.32) SLEDUET (14.33).
tAK KAK u PO PREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TO DLQ
|LEMENT sup(Q), KOTORYJ ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ DOKAZATELXSTWA IMPLIKACII
PO A I u, OBOZNA^AETSQ NIVE SIMWOLOM
(14:32) ) (14:33)
A]]u
(14.40) DOSTATO^NO RASSMOTRETX LIX TOT SLU^AJ, KOGDA (14.31)
iZ OPREDELENIQ \LEMENTA A]]u WYTEKAET, ^TO DLQ IMEET SLEDU@]IJ WID:
KAVDOGO u Fm IMEET MESTO IMPLIKACIQ
(a1 ! A1) = (A]]u ! B)
u L{SOWMESTIMO ) 8 A 2 Fm
DLQ KAVDOGO i = 2 : : : n
(14.41)
u f A]]u ! Ag L{SOWMESTIMO
(14.47)
ai ! Ai 2 u
tEOREMA 4.
w \TOM SLU^AE (14.32) \KWIWALENTNO SOOTNOENI@
pUSTX u1 I u2 { L{SOWMESTIMYE MNOVESTWA, TAKIE,
8A 9
^TO
< 2=
u1 u2:
B ! (: : : : ! b) 2 L
(14.48)
tOGDA DLQ KAVDOJ FORMULY A
An
iZ (14.44) I (14.48) SLEDUET SOOTNOENIE
A]]u2 A]]u1 :
(14.42)
8A 9
< 2=
dOKAZATELXSTWO.
A
!
(
(14.49)
tAK KAK
: :A:n: ! b) 2 L
MNOVESTWO
KOTOROE \KWIWALENTNO SOOTNOENI@
u2 f A]]u2 ! Ag
8A 9
>< >=
L{SOWMESTIMO, I
A2
(14.50)
u1 f A]]u2 ! Ag u2 f A]]u2 ! Ag
>: : : : > ! b 2 L
An
TO IZ TEOREMY 1 SLEDUET, ^TO MNOVESTWO
tAK KAK MNOVESTWO
u1 f A]]u2 ! Ag
(14.43)
u f A]]u ! Ag
L{SOWMESTIMO.
iZ L{SOWMESTIMOSTI (14.43) I IZ OPREDELENIQ \LE- QWLQETSQ L{SOWMESTIMYM, TO IZ (14.47) I (14.50) SLEDUET NERAWENSTWO
MENTA A]]u1 SLEDUET NERAWENSTWO (14.42).
8 A]] 9
>< u >=
a2
b
(14.51)
::: >
>
tEOREMA 5.
:
an
pUSTX
u Fm { NEKOTOROE L{SOWMESTIMOE MNOVESTWO, I KOTOROE \KWIWALENTNO (14.33) DLQ DANNOGO SLU^AQ.
A B { PARA FORMUL, TAKIH, ^TO
tEOREMA 6.
A!B 2L
(14.44)
dLQ
70
POLNYE MNOVESTWA
KAVDOGO L{SOWMESTIMOGO MNOVESTWA u, I
14.5 L{
KAVDOJ FORMULY A 2 Fm
14.5.1 oPREDELENIE L{POLNOGO MNOVESIMEET MESTO NERAWENSTWO:
TWA
A]]L A]]u
(14.52) pUSTX x { NEKOTOROE PODMNOVESTWO MNOVESTWA F m.
mNOVESTWO x NAZYWAETSQ L{POLNYM, ESLI
dOKAZATELXSTWO.
x QWLQETSQ L{SOWMESTIMYM,
(14.52) \KWIWALENTNO L{SOWMESTIMOSTI MNOVESTWA
DLQ KAVDOJ FORMULY A 2 Fm
u f A]]L ! Ag
(14.53)
A]]x ! A 2 x:
(14.59)
T.E. UTWERVDENI@ O TOM, ^TO DLQ
KAVDOGO PODMNOVESTWA (14.31) MNOVESTWA (14.53), 14.5.2 pOPOLNENIE L{SOWMESTIMYH MNOI
VESTW
KAVDOGO b 2 B
pUSTX
IZ (14.32) SLEDUET (14.33).
u { NEKOTOROE L{SOWMESTIMOE MNOVESTWO, I
tAK KAK u PO PREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TO DLQ
DOKAZATELXSTWA IMPLIKACII
x { NEKOTOROE L{POLNOE MNOVESTWO.
(14:32) ) (14:33)
x NAZYWAETSQ POPOLNENIEM u, ESLI
DOSTATO^NO RASSMOTRETX LIX TOT SLU^AJ, KOGDA (14.31)
ux
(14.60)
IMEET SLEDU@]IJ WID:
(a1 ! A1 ) = (A]]L ! A)
DLQ KAVDOGO i = 2 : : : n
ai ! Ai 2 u
tEOREMA 7.
dLQ KAVDOGO L{SOWMESTIMOGO MNOVESTWA u SU]ESTWUET POPOLNENIE x.
w \TOM SLU^AE (14.32) \KWIWALENTNO SOOTNOENI@
8A
< 2
A ! (: : : :
An
9
=
! b) 2 L
pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX
B1 B2 : : :
(14.55)
iZ SOOTNOENIJ
A]]L ! A 2 L
I (14.55) SLEDUET SOOTNOENIE
8A 9
< 2=
A]]L ! (: : : : ! b) 2 L
An
dOKAZATELXSTWO.
(14.54)
(14.56)
(14.61)
ESTX NEKOTOROE PERE^ISLENIE WSEH FORMUL IZ Fm.
oPREDELIM POSLEDOWATELXNOSTX
u1 u2 : : :
PODMNOVESTW MNOVESTWA Fm SLEDU@]IM OBRAZOM:
u1 def
= u,
DLQ KAVDOGO k 1
uk+1 def
= uk f Bk ] uk ! Bk g
iZ DANNOGO OPREDELENIQ I IZ UTWERVDENIQ (14.41) SLEDUET, ^TO DLQ KAVDOGO k 1 WERNO UTWERVDENIE:
ESLI uk L{SOWMESTIMO,
(14.57)
(14.62)
TO uk+1 TOVE L{SOWMESTIMO.
tAK KAK u1 PO PREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TO IZ
tAK KAK u PO PREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TO IZ
(14.62) SLEDUET, ^TO
(14.54) I (14.57) SLEDUET NERAWENSTWO
8a 9
< 2 =
8k 1 uk L{SOWMESTIMO
:
:
:
A]
]
!
b
(14.58)
L
: an oPREDELIM ISKOMOE MNOVESTWO x SLEDU@]IM OBRAZOM:
iZ (14.58) SLEDUET (14.33).
x def
=
uk
iZ (14.56) SLEDUET SOOTNOENIE
8< A 9
2 =
:
:
: An: ! (A]]L ! b) 2 L
k1
71
mNOVESTWO x QWLQETSQ L{SOWMESTIMYM, POSKOLXKU
DLQ KAVDOGO EGO KONE^NOGO PODMNOVESTWA WIDA (14.31)
SU]ESTWUET NOMER k 1, TAKOJ, ^TO DANNOE PODMNOVESTWO SODERVITSQ W MNOVESTWE uk (KOTOROE, KAK BYLO
OTME^ENO WYE, QWLQETSQ L{SOWMESTIMYM).
dOKAVEM, ^TO DLQ KAVDOJ FORMULY A 2 Fm WERNO
SWOJSTWO (14.59).
pO OPREDELENI@ POSLEDOWATELXNOSTI (14.61), SU]ESTWUET NOMER k, TAKOJ, ^TO A = Bk .
pOSKOLXKU
Bk ] uk ! Bk 2 x
TO
Bk ] uk Bk ] x:
(14.63)
pOSKOLXKU uk x, TO IZ TEOREMY 4 SLEDUET, ^TO
(14.64)
Bk ] x Bk ] uk :
oB_EDINQQ (14.63) I (14.64), POLU^AEM RAWENSTWO
SLEDUET NERAWENSTWO
a]]x b
(14.70)
pOSKOLXKU (14.69) WERNO DLQ b = a, TO (14.70) TOVE
DOLVNO BYTX WERNO DLQ b = a, T.E.
a]]x a:
(14.71)
dLQ DOKAZATELXSTWA OBRATNOGO NERAWENSTWA DOKAVEM
L{SOWMESTIMOSTX MNOVESTWA
x fa ! ag:
(14.72)
dLQ \TOGO NEOBHODIMO DOKAZATX, ^TO DLQ
KAVDOGO PODMNOVESTWA (14.31) MNOVESTWA (14.72),
I
KAVDOGO b 2 B
IZ (14.32) SLEDUET (14.33).
tAK KAK x PO PREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TO DLQ
Bk ] x = Bk ] uk :
(14.65) DOKAZATELXSTWA
IMPLIKACII
sLEDOWATELXNO,
(14:32) ) (14:33)
Bk ] x ! Bk = Bk ] uk ! Bk 2 uk+1 x: (14.66) DOSTATO^NO RASSMOTRETX LIX TOT SLU^AJ, KOGDA (14.31)
UDOWLETWORQET SLEDU@]IM USLOWIQM:
iZ (14.66) WYTEKAET (14.59) (PRI A = Bk ).
tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO x QWLQETSQ L{POLNYM.
(a1 ! A1 ) = (a ! a)
dOKAVEM, ^TO x QWLQETSQ POPOLNENIEM MNOVESTWA u,
T.E.
8i = 2 : : : n ai ! Ai 2 x
(14.73)
8 (a ! A) 2 u a A]]x:
w \TOM SLU^AE (14.32) \KWIWALENTNO SOOTNOENI@
pO OPREDELENI@ x,
8> a 9>
< A2 =
9k 1 : A = Bk :
(14.74)
>: : : : > ! b 2 L
tAK KAK
An
(a ! Bk ) 2 u uk
TO
A (14.33) \KWIWALENTNO NERAWENSTWU
uk fa ! Bk g L{SOWMESTIMO.
(14.67)
8a 9
>< >=
iZ (14.67) I (14.65) POLU^AEM:
a2 b
(14.75)
:
:
:
>
>
a Bk ] uk = Bk ] x = Ax :
:a n
(14.74) \KWIWALENTNO SOOTNOENI@
8A 9
< 2=
14.6
L{
: : : ! (a ! b) 2 L
(14.76)
:
A
n
tEOREMA 8.
pUSTX x { L{POLNOE MNOVESTWO, I a 2 B. tOGDA
iZ (14.76) I IZ L{SOWMESTIMOSTI x SLEDUET NERAWENSTWO
8< a 9=
a]]x = a
(14.68)
2
:
:
(14.77)
dOKAZATELXSTWO.
: an: a ! b
pOSKOLXKU x QWLQETSQ L{SOWMESTIMYM, TO EGO ODNO\LEMENTNOE PODMNOVESTWO f a]]x ! ag OBLADAET SLEDU@]IM SWOJSTWOM: DLQ KAVDOGO b 2 B IZ SOOTNOENIQ (14.75) SLEDUET IZ (14.77)
sWOJSTWA POLNYH MNOVESTW
a!b 2L
(14.69)
72
wO WSEH NIVESLEDU@]IH RASSUVDENIQH MY BUDEM
PREDPOLAGATX, ^TO KALA B OBLADAET SLEDU@]IM SWOJSTWOM:
8a 2 B (a ! 0) ! 0 = a:
(14.78)
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO DANNOE SWOJSTWO \KWIWALENTNO TOMU, ^TO B QWLQETSQ BULEWOJ ALGEBROJ, OPERACII
W KOTOROJ OPREDELQ@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: DLQ WSEH
a b 2 B
a ^ b def
= inf fa bg a _ b def
= supfa bg :a def
= a ! 0:
(14.84)
w \TOM SLU^AE (14.32) \KWIWALENTNO SOOTNOENI@
8A
< 2
B ! (: : : :
An
9
=
! b) 2 L
A (14.33) \KWIWALENTNO NERAWENSTWU
8> A ! B]] 9>
x
>
>
tEOREMA 9.
dLQ
KAVDOGO L{POLNOGO MNOVESTWA x, I
KAVDOJ PARY FORMUL A B
IMEET MESTO RAWENSTWO
A ! B]]x = A]]x ! B]]x
DLQ KAVDOGO i = 2 : : : n
ai ! Ai 2 x
>< A]]x
>> a: :2:
:
>=
>> b
an
pOSKOLXKU FORMULA
A
(14.79)
(14.85)
(14.86)
A!B !B
dOKAZATELXSTWO.
dLQ DOKAZATELXSTWA RAWENSTWA (14.79) DOSTATO^NO QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, TO
A
DOKAZATX NERAWENSTWA
(14.87)
A!B !B 2L
A ! B]]x A]]x ! B]]x
(14.80)
iZ (14.85) I (14.87) SLEDUET, ^TO
I
A]]x ! B]]x A ! B]]x
(14.81)
A
8< A2 9=
dOKAVEM NERAWENSTWO (14.80). dANNOE NERAWENSTWO
(14.88)
A ! B ! (: :A: : ! b) 2 L
\KWIWALENTNO NERAWENSTWU
n
A ! B]] x B]]
(14.82) sOOTNOENIE (14.88) \KWIWALENTNO SOOTNOENI@
x
A]]x
8A
9
>
>
>< A ! B >=
nERAWENSTWO (14.82) \KWIWALENTNO L{SOWMESTIMOSTI
MNOVESTWA
A
!b 2L
(14.89)
>>: : :2: >>
A ! B]] x ! Bg
An
x f A]]
(14.83)
x
pOSKOLXKU MNOVESTWO x PO PREDPOLOVENI@ QWLQETSQ
T.E. UTWERVDENI@ O TOM, ^TO DLQ
L{POLNYM, TO
KAVDOGO PODMNOVESTWA (14.31) MNOVESTWA (14.83),
A]]x ! A 2 x
(14.90)
I
KAVDOGO b 2 B
IZ (14.32) SLEDUET (14.33).
tAK KAK x PO PREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TO DLQ
DOKAZATELXSTWA IMPLIKACII
(14:32) ) (14:33)
DOSTATO^NO RASSMOTRETX LIX TOT SLU^AJ, KOGDA (14.31)
IMEET SLEDU@]IJ WID:
A ! B]] x !B
a 1 ! A1 =
A]]x
I
A ! B]]x ! (A ! B) 2 x
(14.91)
iZ (14.89), (14.90), (14.91), (14.84) I SWOJSTWA L{SOWMESTIMOSTI MNOVESTWA x WYTEKAET TREBUEMOE NERAWENSTWO
(14.86).
tEPERX DOKAVEM NERAWENSTWO (14.81). dANNOE NERAWENSTWO \KWIWALENTNO L{SOWMESTIMOSTI MNOVESTWA
x f(A]]x ! B]]x) ! (A ! B)g
(14.92)
T.E. UTWERVDENI@ O TOM, ^TO DLQ
KAVDOGO PODMNOVESTWA (14.31) MNOVESTWA (14.92),
I
73
KAVDOGO b 2 B
IZ (14.32) SLEDUET (14.33).
tAK KAK x PO PREDPOLOVENI@ L{SOWMESTIMO, TO DLQ
DOKAZATELXSTWA IMPLIKACII
(14:32) ) (14:33)
DOSTATO^NO RASSMOTRETX LIX TOT SLU^AJ, KOGDA (14.31)
IMEET SLEDU@]IJ WID:
a1 ! A1 = (A]]x ! B]]x) ! (A ! B)
DLQ KAVDOGO i = 2 : : : n
ai ! Ai 2 x
(14.93)
w \TOM SLU^AE (14.32) \KWIWALENTNO SOOTNOENI@
8A
< 2
(A ! B) ! (: : : :
An
9
=
! b) 2 L
A (14.33) \KWIWALENTNO NERAWENSTWU
8> A]] ! B]] 9>
x =
< x
a2
>: : : :
an
> b
KAVDOGO KONE^NOGO PODMNOVESTWA MNOVESTWA (14.99)
WIDA
fc1 ! C1 : : : cm ! Cm g
TAKOGO, ^TO
8 b!0 9
><
>=
a
2
c1 ! C 1 = > : : : > ! A
>: a
n
8i = 2 : : : m
I
KAVDOGO d 2 B
IZ SOOTNOENIQ
8A
><
C2
>: : : :
Cm
(14.94)
>
ci ! Ci 2 x
9
>=
> ! d 2 L
(14.100)
(14.101)
SLEDUET NERAWENSTWO
8> 8> b ! 0 9> 9>
>> < a2 = >>
>< > : : : > >=
:
d
>> c2 an
>>
>>: : : :
>>
cm
(14.95)
(14.102)
dLQ DOKAZATELXSTWA NERAWENSTWA (14.95) DOSTATO^NO
DOKAZATX \KWIWALENTNOE EMU NERAWENSTWO
dLQ DOKAZATELXSTWA NERAWENSTWA (14.102) DOSTATO^8 b!0 9
><
>= NO
DOKAZATX
\KWIWALENTNOE EMU NERAWENSTWO
a2
A]
]
x
B]]x ! 0
(14.96)
a2 ^ : : : ^ an (b ! 0) ! d
:
:
:
>
>
(14.103)
: an c2 ^ : : : ^ cm
iZ SOOTNOENIQ (14.101) WYTEKAET SOOTNOENIE
dLQ TOGO, ^TOBY DOKAZATX NERAWENSTWO (14.96), DO8C 9
STATO^NO DOKAZATX PARU NERAWENSTW:
< 2 =
8> b ! 0 9>
A ! (: : : : ! d) 2 L
< a2 =
Cm
A]]x
(14.97)
:
:
:
IZ KOTOROGO SLEDUET SOOTNOENI@
>:
>
I
an
8> b ! 0 9
< a2 >=
>: : : : > B]]x ! 0
an
(14.98)
8C
< 2
((: : : :
Cm
9
=
! d) ! B) ! (A ! B) 2 L (14.104)
iZ (14.104) I (14.94) SLEDUET SOOTNOENIE
8< A 9=
8< C 9=
2
dOKAVEM NERAWENSTWO (14.97). dANNOE NERAWENSTWO (( : : : ! d) ! B) ! ( : :2: ! b) 2 L (14.105)
\KWIWALENTNO L{SOWMESTIMOSTI MNOVESTWA
: An : Cm 8> b ! 0 9>
pOSKOLXKU FORMULA
<
=
88C 99 8 9
x f> a: :2: > ! Ag
(14.99)
>< < 2 = >= < C2 =
: an : :C:m: > ! ((: : : : ! d) ! B)
>
T.E. UTWERVDENI@ O TOM, ^TO DLQ
Cm
: d!B 74
QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, TO ONA PRINADLEVIT L. oTS@DA 1. IZ (14.94) I IZ SOOTNOENIQ
I IZ (14.105) SLEDUET SOOTNOENIE
8< d ! B
9=
B ! (A ! B) 2 L
(14.106)
SLEDUET SOOTNOENIE
: CA22 ^^ :: :: :: ^^ CAmn ! b 2 L
8A 9
< 2=
iZ (14.106), (14.93), (14.100) I IZ L{SOWMESTIMOSTI
B
!
(
: :A:n: ! b) 2 L
MNOVESTWA x WYTEKAET NERAWENSTWO
8 d ! B]] 9
<
=
x
KOTOROE \KWIWALENTNO SOOTNOENI@
a
2 ^ : : : ^ an
: c2 ^ : : : ^ cm b
8B 9
>< >=
KOTOROE \KWIWALENTNO NERAWENSTWU
A2 ! b 2 L
a ^:::^a >
2
n d ! B]] ! b
: :A:n: >
(14.107)
x
c2 ^ : : : ^ cm
dOKAVEM, ^TO IMEET MESTO NERAWENSTWO
2. f(B]]x ! B) (a2 ! A2 ) : : : (an ! An )g x, I
d ! B]]x ! b (b ! 0) ! d
(14.108)
3. x QWLQETSQ L{SOWMESTIMYM.
(14.108) \KWIWALENTNO NERAWENSTWU
d ! B]] ! b x
d
(14.109)
b!0
tEOREMA 10.
pUSTX
tAK KAK IMEET MESTO NERAWENSTWO
d ! B]] ! b x { NEKOTOROE L{POLNOE MNOVESTWO, I
x
d
!
B]
]
!
0
x
b!0
A B { PARA FORMUL.
TO DLQ DOKAZATELXSTWA (14.109) DOSTATO^NO DOKAZATX NEtOGDA IMEET MESTO RAWENSTWO
RAWENSTWO
d ! B]]x ! 0 d
(14.110)
A ^ B]]x = A]]x ^ B]]x
(14.115)
(14.110) \KWIWALENTNO NERAWENSTWU
dOKAZATELXSTWO.
d ! 0 d ! B]]x
(14.111)
dLQ DOKAZATELXSTWA RAWENSTWA (14.115) DOSTATO^NO
dOKAVEM NERAWENSTWO (14.111). pOSKOLXKU FORMULA DOKAZATX NERAWENSTWA
(d ! 0) ! (d ! B)
A ^ B]]x A]]x A ^ B]]x B]]x (14.116)
QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, TO, SLEDOWATELXNO,
I
(d ! 0) ! (d ! B) 2 L
(14.112)
A]]x ^ B]]x A ^ B]]x
(14.117)
iZ (14.112) I IZ TEOREMY 5 SLEDUET NERAWENSTWO
nERAWENSTWA (14.116) SLEDU@T IZ SOOTNOENIJ
d ! 0]]x d ! B]]x
(14.113)
(A ^ B) ! A 2 L
(A ^ B) ! B 2 L
iZ (14.113) I IZ TEOREMY 8 SLEDUET NERAWENSTWO (14.111).
iZ ISTINNOSTI NERAWENSTWA (14.111) SLEDUET ISTINNOSTX NERAWENSTWA (14.108), A IZ ISTINNOSTI NERAWENSTW I IZ TEOREMY 5.
(14.107) I (14.108) SLEDUET ISTINNOSTX NERAWENSTWA (14.103). nERAWENSTWO (14.117) SLEDUET IZ L{SOWMESTIMOSTI
tAKIM OBRAZOM, L{SOWMESTIMOSTX MNOVESTWA (14.99) MNOVESTWA
USTANOWLENA, I, SLEDOWATELXNO, NERAWENSTWO (14.97) DOx f(A]]x ^ B]]x) ! (A ^ B)g
KAZANO.
tEPERX DOKAVEM NERAWENSTWO (14.98). dANNOE NERAWENSTWO \KWIWALENTNO NERAWENSTWU
8 B]] 9>
>< x =
a2
>: : : : > b
an
(14.114)
(14.114) IMEET MESTO POTOMU, ^TO
75
tEOREMA 11.
pUSTX
x { NEKOTOROE L{POLNOE MNOVESTWO, I
A B { PARA FORMUL.
tOGDA IMEET MESTO RAWENSTWO
A _ B]]x = A]]x _ B]]x
dOKAZATELXSTWO.
(14.118)
rAWENSTWO (14.118) \KWIWALENTNO RAWENSTWU
WL SOSTOIT IZ WSEH L{POLNYH MNOVESTW.
dLQ KAVDOJ PARY x y 2 WL
= AinfFm(A]]x $ A]]y )
WL (x y) def
2
(A]]x _ B]]x) ! 0 = A _ B]]x ! 0
(14.119)
(14.119) WYTEKAET IZ SLEDU@]IH SOOTNOENIJ:
A]] ! 0 x
=
(A]]x _ B]]x) ! 0 =
B]]x ! 0
A]] ! 0]] A ! 0]] x
x
x
=
=
=
B]]x ! 0]]x
B ! 0]]x
A!0 = B ! 0 ]x
= (A _ B) ! 0]]x =
= A _ B]]x ! 0]]x = A _ B]]x ! 0
tEOREMA 12.
(14.125)
zAMETIM, ^TO IZ DANNOGO OPREDELENIQ WYTEKAET
SOOTNOENIE
8x 2 WL WL (x) = 1:
(14.126)
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO OPREDELENIE WL UDOWLETWORQET USLOWIQM (14.14) I (14.15).
dLQ KAVDOGO a 2 B SIMWOL (RL)a OBOZNA^AET NE^ETKOE BINARNOE OTNOENIE NA WL
(RL)a : WL WL ! B
OPREDELQEMOE SLEDU@]IM OBRAZOM:
8x y 2 WL
def
(RL)a (x y) = AinfFm(2aA]]x ! A]]y) (14.127)
2
pUSTX x { NEKOTOROE L{POLNOE MNOVESTWO.
dLQ KAVDOJ FORMULY A 2 Fm I KAVDOGO \LEMENTA
a 2 B IMEET MESTO NERAWENSTWO
2aA]]x a:
(14.120)
dOKAZATELXSTWO.
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO OPREDELENIE (RL )a UDOWLETWORQET USLOWIQM (14.16) I (14.17).
L { \TO OTOBRAVENIE WIDA
L : P ! Sub(WL )
GDE DLQ KAVDOGO p 2 P NE^ETKOE PODMNOVESTWO
L (p) : WL ! B
OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
iZ (14.6) SLEDUET SOOTNOENIE
(a ! 0) ! (2a A ! 0) 2 L
(14.121)
IZ KOTOROGO, SOGLASNO TEOREMAM 5 I 8, SLEDUET NERAWENSTWO
(14.122)
a ! 0 2a A ! 0]]x
8x 2 WL L (p)(x) def
= p]]x:
(14.128)
pOSKOLXKU, SOGLASNO TEOREMAM 9 I 8,
nETRUDNO DOKAZATX, ^TO DLQ KAVDOGO p 2 P OTOBRAVENIE L (p) UDOWLETWORQET USLOWIQM (14.18) I
2aA ! 0]]x = 2aA]]x ! 0]]x = 2a A]]x ! 0 (14.123)
(14.19).
TO IZ (14.122) I (14.123) SLEDUET NERAWENSTWO
a ! 0 2aA]]x ! 0
(14.124) 14.7.2 oSNOWNOE SWOJSTWO KANONI^ESKIH
MODELEJ
KOTOROE \KWIWALENTNO (14.120).
tEOREMA 13.
dLQ KAVDOJ FORMULY A 2 Fm I KAVDOGO x 2 WL
14.7
14.7.1
kANONI^ESKIE MODELI
oPREDELENIE KANONI^ESKOJ MODELI
A]](x) = A]]x
dOKAZATELXSTWO.
(14.129)
dOKAVEM DANNU@ TEOREMU INDUKCIEJ PO STRUKTURE
FORMULY A.
kANONI^ESKOJ MODELX@ LOGIKI L NAZYWAETSQ MODELX
A=p2P
ML def
= (WL f(RL)a j a 2 Bg L )
w \TOM SLU^AE RAWENSTWO (14.129) SLEDUET IZ (14.128).
KOMPONENTY KOTOROJ OPREDELQ@TSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
76
A=a2B
iZ (14.23), (14.126) I (14.68) SLEDU@T SOOTNOE-
NIQ
dLQ DOKAZATELXSTWA NERAWENSTWA (14.134) DOSTATO^NO DOKAZATX, ^TO DLQ KAVDOGO y 2 WL
(R ) (x y) La
B]]y
a
a
a]](x) = W (x) = 1 = a = a]]x
L
2a B]]x
nERAWENSTWO (14.135) SLEDUET IZ SOOTNOENIQ (14.127).
tEPERX DOKAVEM NERAWENSTWO (14:132) (14:133).
dLQ DOKAZATELXSTWA DANNOGO NERAWENSTWA BUDET DOSTATO^NO POSTROITX \LEMENT y 2 WL , TAKOJ, ^TO
A = B ^ C A = B _ C A = B ! C
pO INDUKTIWNOMU PREDPOLOVENI@,
8x 2 WL B]](x) = B]]x C]](x) = C]]x:
sOGLASNO TEOREME 10, IZ L{POLNOTY MNOVESTWA x
SLEDUET SOOTNOENIE
B]]x ^ C]]x = B ^ C]]x
sLEDOWATELXNO,
a
(RL)a (x y) ! B]]y
= B]](x) ^ C]](x) = B]]x ^ C]]x =
= B ^ C]]x = A]]x:
def
sLU^AI A = B _ C I A = B ! C RAZBIRA@TSQ
ANALOGI^NO.
A = 2a B
pO INDUKTIWNOMU PREDPOLOVENI@,
8y 2 WL B]](y) = B]]y :
(14.130)
dOKAVEM, ^TO \LEMENT
2aB]](x)
(14.131)
SOWPADAET S \LEMENTOM
2aB]]x :
(14.132)
iZ (14.130), (14.126), I (14.27) SLEDUET, ^TO \LEMENT (14.131) SOWPADAET S \LEMENTOM
inf ((RL )a (x y) ! B]]y )
y2WL
)
:
2a B]]x
(14.136)
oBOZNA^IM SIMWOLOM u MNOVESTWO, SOSTOQ]EE IZ
WSEH FORMUL WIDA
2 A]]
a x
(14.137)
2aB]]x ! 0 ! A
A TAKVE IZ FORMULY
(14.138)
(2aB]]x ! 0) ! (B ! 0)
A]](x) = B ^ C]](x) def
=
(a
(14.135)
(14.133)
dLQ DOKAZATELXSTWA RAWENSTWA (14:132) = (14:133)
MY DOKAVEM, ^TO
(14:132) (14:133), I
(14:132) (14:133).
nERAWENSTWO (14:132) (14:133) SLEDUET IZ (14.120)
I IZ NERAWENSTWA
2aB]]x y infW ((RL )a (x y) ! B]]y ) (14.134)
L
2
77
lEMMA.
mNOVESTWO u QWLQETSQ L{SOWMESTIMYM.
dOKAZATELXSTWO.
dOKAVEM, ^TO DLQ
KAVDOGO KONE^NOGO PODMNOVESTWA (14.31)
MNOVESTWA u, I
KAVDOGO b 2 B
IZ (14.32) SLEDUET (14.33).
sNA^ALA RASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA
(14:138) 2 (14:31):
pUSTX (14.31) IMEET SLEDU@]IJ WID:
a1 ! A1 = (14:138)
DLQ KAVDOGO i = 2 : : : n
2 A ]
a
i
x
ai = 2 B]] ! 0
(14.139)
a x
w \TOM SLU^AE (14.32) IMEET WID
8> B ! 0 9>
< A2 =
(14.140)
> ::: > ! b 2 L
>: A
n
>
iZ (14.140) WYTEKA@T SOOTNOENIQ
8> B ! 0 9>
< 2 =
(b ! 0) ! (> A
: : : > ! 0) 2 L
>: A >
n
8A 9
< 2=
(b ! 0) ! (: : : : ! B) 2 L
An
82A 9
< a 2=
(b ! 0) ! (: : : : ! 2a B) 2 L
2a An
8 2 A ] 9
< a 2x =
! 2aB]]x
b ! 0 : :::
2aAn ] x nERAWENSTWO (14.144) \KWIWALENTNO ISKOMOMU
NERAWENSTWU (14.33) DLQ DANNOGO SLU^AQ.
)
)
)
pOSLEDNEE NERAWENSTWO \KWIWALENTNO NERAWENSTWU
8 b!0 9
>
< 2aA2] x >=
2aB]]x :
(14.141)
>
: ::2: aAn] x >
iZ (14.141) SLEDUET NERAWENSTWO
8 2 B]] ! 0 9
>< a x >=
2aA2 ] x
(14.142)
>: : : :
> b:
2aAn ] x
nERAWENSTWO (14.142) \KWIWALENTNO ISKOMOMU
NERAWENSTWU (14.33) DLQ DANNOGO SLU^AQ.
tEPERX RASSMOTRIM SLU^AJ, KOGDA (14:138) 62
(14:31).
tAK KAK FORMULA
8 B!0 9
><
>=
A1
QWLQETSQ TAWTOLOGIEJ, TO IZ (14.32) SLEDUET
SOOTNOENIE
8 B!0 9
><
>=
A1
(14.143)
> ::: > ! b 2 L
>: A
n
iZ (14.145) SLEDUET NERAWENSTWO
B]]y 2a B]]x:
(14.147)
iZ (14.146) SLEDUET, ^TO 8A 2 Fm
2aB]]x ! 0 2aA]]x ! A]]y
(14.148)
iZ (14.148) I (14.127) SLEDUET NERAWENSTWO
a
2aB]]x ! 0
(RL )a (x y):
(14.149)
iSKOMOE NERAWENSTWO (14.136) SLEDUET IZ (14.147),
(14.149), I IZ NERAWENSTWA
8a
9
<
=c
a
(14.150)
: c!0 !c GDE c def
= 2aB]]x .
dOKAVEM NERAWENSTWO (14.150). dANNOE NERAWENSTWO \KWIWALENTNO NERAWENSTWU
8a
9
<
=
c!0 : a
! 0 (14.151)
c!0 !c 8A 9
< 1=
!
> : :A:n: >: : : :
An
pUSTX SIMWOL y OBOZNA^AET L{POPOLNENIE MNOVESTWA u.
iZ OPREDELENIQ MNOVESTW u I y SLEDUET, ^TO
2aB]]x ! 0 B ! 0]]y = B]]y ! 0 (14.145)
I DLQ KAVDOJ FORMULY A 2 Fm
2 A]]
a x
(14.146)
2aB]]x ! 0 A]]y :
>
T.E.
8 c!0
9
><
>=
a
>: a ! c > 0
c!0
(14.152)
KOTOROE, O^EWIDNO, ISTINNO.
kAK UVE BYLO POKAZANO WYE W DANNOM DOKAZATELXSTWE, IZ POSLEDNEGO SOOTNOENIQ WY14.8
FK
TEKAET NERAWENSTWO
8 2 B]] ! 0 9
tEOREMA 14.
>< a x >=
dLQ KAVDOJ FORMULY A 2 Fm SLEDU@]IE USLOWIQ
2aA1 ] x
(14.144) \KWIWALENTNY
:
>: : : :
> b:
A 2 FK
(14.153)
2aAn ] x
pOLNOTA LOGIKI
78
A ISTINNA W KAVDOJ MODELI.
dOKAZATELXSTWO.
(14.154)
iMPLIKACIQ
(14:153) ) (14:154)
BYLA OBOSNOWANA W PARAGRAFE 14.3.4.
dOKAVEM, ^TO ESLI A 62 F K, TO A NE QWLQETSQ IS-
TINNOJ W NEKOTOROJ TO^KE KANONI^ESKOJ MODELI LOGIKI
FK.
lEMMA.
mNOVESTWO
f(A]]FK ! 0) ! (A ! 0)g
QWLQETSQ FK{SOWMESTIMYM.
(14.155)
dOKAZATELXSTWO.
dOKAVEM, ^TO DLQ KAVDOGO b 2 B IZ SOOTNOENIQ
(A ! 0) ! b 2 FK
(14.156)
SLEDUET NERAWENSTWO
A]]FK ! 0 b
(14.157)
iZ (14.156) SLEDU@T SOOTNOENIQ
(b ! 0) ! A 2 FK )
b ! 0 A]]FK
)
A]]FK ! 0 b
tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO (14.155) FK{SOWMESTIMO.
sOGLASNO TEOREME 7, IZ FK{SOWMESTIMOSTI MNOVESTWA (14.155) SLEDUET, ^TO
9x 2 WFK : A]]FK ! 0 A ! 0]]x (14.158)
tAK KAK MNOVESTWO x QWLQETSQ F K{POLNYM, TO SOGLASNO TEOREME 9 IZ (14.158) SLEDUET, ^TO
A ! 0]]x = A]]x ! 0]]x = A]]x ! 0
(14.159)
iZ (14.129), (14.158) I (14.159) WYTEKAET SOOTNOENIE
A]]FK ! 0 A]](x) ! 0
(14.160)
KOTOROE \KWIWALENTNO SOOTNOENI@
A]](x) A]]FK
(14.161)
dOKAVEM, ^TO FORMULA A NE QWLQETSQ ISTINNOJ W
TO^KE x.
eSLI A ISTINNA W x, TO IZ (14.28) I (14.126) SLEDUET
^TO
A]](x) = 1
(14.162)
iZ (14.161) I (14.162) SLEDUET RAWENSTWO A]]FK = 1,
IZ KOTOROGO WYTEKAET SOOTNOENIE A 2 FK, KOTOROE
PROTIWORE^IT PREDPOLOVENI@ O TOM, ^TO A 62 FK.
79