1 Топология - Dobrochan.ru

1
Топология
Итак, топология занимается понятием непрерывности и близости. Для начала рассмотрим некоторой пример из жизни: интервалы во множестве действительных чисел. Они обладают тем свойством, что каждая точка интервала окружена другими точками интервала. Такое отношение «соседства»
не нарушается, если мы объединим любое семейство интервалов. Если мы
пересечем два интервала, то оно не нарушится, если, конечно, мы не получим пустое множество, но неинтересный случай. Если мы возьмем пересечение бесконечного семейства интервалов, то мы можем не получить такое
множество, что каждая точка имеет «соседей». Например, gересекая семейство интервалов вида (−a; a), где a > 0, мы обнаружим, что в пересечении
останется одинокая точка 0 без соседей. Докажем это: представим, что там
есть ещё какая-то точка b > 0, тогда эта точка принадлежит всем интервалам семейства, что неверно, ибо она не принадлежит интервалу (−b/2; b/2).
Свойства, которые мы наблюдали, находят своё отражение в понятии
открытого множества и топологии. Итак, пусть нам дано какое-то непустое
множество X, и τ ⊂ 2X — семейство его подмножеств.
Определение 1 Пара (X, τ ) называется топологическим пространством,
а τ — топологией, и её элементы называются открытыми множествами,
если выполнены следующие условия:
1. X и ∅ — открытые множества;
2. Объединение любого подсемейства τ — открытое множества (т.е.
принадлежит τ );
3. Пересечение двух множеств их τ — множество из τ .
Важно понять, что открытое множество и множество из τ — полные синонимы. В книгах используются оба языка. Кстати, вместо τ можно ставить
любую букву. Теперь, может быть, два неинтересных примера топологических пространств. Пусть X — непустое множество, мы можем объявить
все его подмножества открытыми (τ = 2X ). Тривиально проверяется, что
определение топологии корректно. Такая топология называется дискретной. Оно не представляет интереса, но оно может сделать любое множество
топологическим пространством. Еще одна топология из такого разряда: антидискретная топология — это когда мы объявляем только само множество
X и ∅ открытыми.
Теперь опрделим структуру, которая является одной из важнейших в
аналитических и геометрических областях математики. Она выражает понятие расстояния. Что такое расстояние? Прежде всего, когда мы измеряем
расстояние между объектами мы сопоставляет двум точкам, которые мы
принимаем за объекты, некоторую положительную величину. Мы также
считаем, что расстояние объекта до самого себя равно нулю и что совершенно неважно в каком порядке производить замер от первой к второй или
1
наоборот. Ещё одно свойство мы получим, если вспомним геометрическую
аналогию: расстояния между двумя точками не меньше, чем если бы мы
производили измерения опосредованно, сложив расстояния до третьей точки.
Пожалуй, теперь можно сформулировать формальное опрделение.
Определение 2 Пусть X — некоторое непустое множество, а d — функция пар точек X (множество пар точек называется декартовым квадратом X × X), принимающая значения из множества неотрицательных
действительных чисел (обозначается R+ ), тогда пара (X, d) называется
метрическим пространством, а функция d — метрикой, если выполнены
следующие три условия:
1. d(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y;
2. d(x, y) = d(y, x) для любой пары (x, y) ∈ X × X;
3. d(x, z) + d(z, y) ≥ d(x, y) для любых трех точек из X.
Обнаруживается, что R являлось метрическим пространством. Метрика,
называемая стандартной, определялась формулой d(x, y) = |x − y|.
Определение 3 Открытым шаром в метрическом пространстве (X, d)
с радиусом ε > 0 и центром в точке a ∈ X называется множество Oε (a) =
{x ∈ X : d(x, a) < ε}.
Вполне понятное определение: шар — множество точек, удаленных от данной не более чем на данное расстояние. Если убрать поверхность шара,
сферу, то останется, так называемый открытый шар.
Определение 4 (стандартная топология на R) Множество A ⊂ R открыто (и принадлежит в топологии), если c каждой точкой оно содержит некоторый открытый шар.
Перефразируем: для кадой точки x ∈ A существует такое ε > 0, что Oε (x) ⊂
A. Для R последнее условие значит, что чей все числа модуль разности с a
не больше ε, лежат в A.
Также трехмерное пространство обладает расстоянием. Для того, чтобы
полностью описать это нам понадобятся нормы и аффинные пространства,
а мы устали, поэтому обопремся на школьные знания: будем считать, что
пространство — это R3 = R × R × R, т.е. множество троек действительных чисел или координатное трехмерное пространство. Расстояние между
точками Xp= (x1 , x2 , x3 ) и Y = (y1 , y2 , y3 ) будет отпределяться формулой
d(X, Y ) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2 . Вводится метрика и метрическая топология также для произвольного n-мерного координатного пространства.
Теперь посмотрим на еще одно важное понятие топологии — базу. Мы
можем разложить наши открытые множества на систему маленьких.
2
Определение 5 Базой называется семейство открытых множеств, что
каждое открытое множество представимо в виде объединения подсемейства базы.
Заметим важный теоретико-множественный аспект: объединение пустого
семейства равно пустому множеству, а пустое семейство — подсемейство
любого семейства. Мы говорим «объединение подсемейства», кстати, чтобы
подчеркнуть, что оно может быть (множество индексов семейства) бесконечным.
Докажем следующее: пересечение двух элементов базы представимо в
виде объединения подсемейства базы. Действитеьно, база состоит из открытых множеств, а пересечение двух элементов базы — открытое множество,
которое в свою очередь представимо в виде объединения подсемейства базы.
Это утверждение равносильно опрделению при учете, что базу составляют
открытые множества.
Все шары образуют базу стандартной топологии. Действительно, пусть
A ⊂ Rn — открытое множество, тогда, объеняя шары (а они существуют),
лежащие в A, с центром в каждой точке, мы получим само A. Можно брать
какие-то специальные шары, например, с радиусом меньшим 1/123456 —
они тоже базу образуют.
Проверим, что база стандартной топологии на R может быть задана интервалами (p, q), где p, q ∈ Q. Для этого покажем, что любой шар может
быть представлен в виде объединения интервалов с рациональными концами. Если наш шар — интервал с рациональными концами, то тривиально.
Пусть наш шар будет интервалом с иррациональными
концами (x, y). ОбъS
единение семейства интервалов A = {(p, q) ⊂ R : Q 3 p > x, а Q 3 q < y}
есть наш шар. Допустим противное, тогда (все интервалы внутри шара)
существует элемент a ∈ (x, y), что a 6∈ A, не принадлежащий каждому интервалу. Если оно иррационально, тогда мы получаем противоречие: между двумя иррациональными числами всегда можно вставить рациональное.
Если оно рационально, тогда оно содержится в нашем семействе.
3