Декомпозиция по Слуцкому и Хиксу: пример задачи. Задача (В.М

Декомпозиция по Слуцкому и Хиксу: пример задачи. Задача (В.М.): Есть некий потребитель А с доходом в 100 денежных единиц. Весь доход расходуется на 2 блага. Цена первого блага равна 2 денежным единицам; второго – 2,5. Предпочтения потребителя задаются функцией . Допустим, цена первого блага увеличивается до 10 денежных единиц. Рассчитать эффекты дохода и замещения по Слуцкому и Хиксу. Решение (В.М., Ю.А.) I. Расчет эффектов дохода и замещения по Слуцкому. 1) Сначала найдем изначальный выбор потребителя, он же E1 на графике ниже. Воспользуемся стандартными функциями спроса для ф.п. вида Кобба‐Дугласа <я советую пояснять происхождение любых формул, имеющих ключевое значение для решения ‐ Ю.А.>: 2) Затем найдем выбор потребителя в конечных условиях, он же E2 на графике ниже <Ради краткости, здесь опущены По аналогичным формулам получаем вычисления. Однако, считать что‐то в уме на контрольной не рекомендуется – риск ошибки возрастает, а на последующие заверения что «здесь просто глупая ошибка, я ведь знал, как считать правильно» экзаменатор ответит «возможно, но я не телепат» ‐ Ю.А. > 3) Рассчет эффектов дохода и замещения. Сначала рассчитаем эффект замещения. Для этого необходимо рассчитать компенсированный по Слуцкому доход (назовем его ), при котором первоначальный набор будет доступен при новых ценах (бюджетная линия для новых цен и дохода IS на графике ниже изображена красным). <вообще говоря, по вертикальной оси на этих графиках нужно было отложить x2, а по горизонтальной – x1. Это недочет, но недочет мелкий – Ю.А.> Далее рассчитаем, каким был бы выбор потребителя при таком уровне дохода. По формулам, указанным выше получаем . <Любые отличия этого выбора от исходного продиктованы исключительно эффектом замещения (т.е., влиянием изменения относительных цен). Дело в том, что эффект реального дохода (в нашем случае, снижение покупательной способности денежного дохода I) был (в определении Слуцкого) нейтрализован повышением денежного дохода до уровня IS – Ю.А.> У нас есть все для расчета эффектов! При расчете эффекта замещения вычитаем из «промежуточного» выбора изначальный, при расчете эффекта дохода – из конечного вычитаем «промежуточный». ЭЗ: ЭД: II. Расчет эффектов дохода и замещения по Хиксу Изначальный и конечный выбор мы рассчитывали в предыдущих пунктах, можно воспользоваться старыми результатами. Изначальный набор ‐ , конечный ‐ . Набор нужен для расчета эффектов. 1) В интерпретации Хикса, реальный доход отождествляется с уровнем полезности. Поэтому, сначала рассчитаем, какому уровню реального дохода (полезности) соответствует изначальный набор: 2) Аналогично рассчитываем эффекты дохода и замещения. Сначала рассчитываем эффект замещения. Для этого нам необходимо рассчитать компенсированный по Хиксу доход (обозначим его ), при котором оптимальный выбор потребителя при новых ценах соответствует изначальному уровню полезности (в нашем случае равному 500). Бюджетная линия для новых цен и дохода IH на графике ниже изображена красным. Comment [В1]: Настоятельно рекомендую выучить графики декомпозиций. Отлично помогают вспомнить, что и из чего вычитать. Величину IH можно найти следующим образом. Из графика видно, что полезность от набора E3, то есть U(E3) должна равняться U2 = 500. В свою очередь, координаты точки Е3 есть ни что иное, как значения функций спроса на x и y при новых ценах и доходе IH: x(p,IH), y(p,IH). Подставив их в функцию полезности, мы получим: U(x(p,IH), y(p,IH))) = 500 Î ⎛ α
IH ⎞ ⎛ β
IH ⎞
⋅
⋅
⎜
⎟⋅⎜
⎟ = 500
⎝ α + β p1 ⎠ ⎝ α + β p2 ⎠
⇒
H
H
1 I 1 I
⋅
⋅ ⋅
2 10 2 2,5
(I )
= 500 ⇔
H
100
2
= 500 ⇒ I H = 50000 = 100 5
Далее, как и в расчетах по Слуцкому, вычисляем промежуточный выбор (он же ) 1 100 5
⋅
= 5 5 ≈ 11, 2
2 10
1 100 5
x2 = ⋅
= 20 5 ≈ 44,7
2 2,5
x1 =
На победном финише рассчитываем эффекты дохода и замещения. ЭЗ: Δx1 = 11, 2 − 25
Δx2 = 44, 7 − 20
<быстрая проверка на соответствие математики и экономической теории: в нашем случае первое благо относительно подорожало, значит, под действием ЭЗ потребитель должен был захотеть потреблять меньше первого, и больше второго. Знаки Δx1 и Δx2 выше соответствуют этой логике – значит, каких‐то уж совсем глупых ошибок в нашем решении нет ‐ Ю.А.> ЭД: Δx1 = 5 − 11, 2
Δx2 = 20 − 44,7
<обратите внимание: потребление обоих благ снижается при снижении реального дохода. Значит, мы имеем дело с нормальными благами ‐ Ю.А.> Comment [В2]: Как говорилось выше, функции спроса выучить, причем срочно. Можно, конечно, выводить их методом Лагранжа и подставлять, но лишнего получаса на контрольной, как правило, не бывает.