21. Компактность

21. Компактность
Компактность | чрезвычайно важное техническое понятие топологии
и анализа. Начнем с определения.
Определение 21.1.
пактным,
Топологическое пространство
стве открытых подмножеств
X
=
что
S
X
X
называется
ком-
если оно обладает следующим свойством: во всяком семей-
{U },
обладающем тем свойством, что
U , существует такое конечное подсемейство {U1 ; : : : ; Un },
U1 ∪ · · · ∪ Un (кратко эту мысль выражают так: из всякого
=
открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие).
Подмножество
Y
в топологическом пространстве
X называется комX.
пактным, если оно компактно в топологии, индуцированной с
Всякое компактное подмножество
Пример 21.2.
ограниченным. В самом деле, для всякого
∈ N
⊂ Rn обязано быть
рассмотрим откры-
Un = Bn (0) ∩ M (через 0 обозначено начало коBn (0) | как обычно, открытый шар в метрическом пространстве Rn | скажем, относительно L2 -метрики). Ясно,
S
что M =
i∈Z Ui и что неограниченное множество M не может быть
тое в
M
n
M
множество
ординат в
Rn ,
а через
объединением конечного подсемейства этого семейства.
Пример 21.3.
Интервал (0; 1)
не является: имеем (0; 1) =
S
⊂R
n>2 (1
ограничен, но компактным все же
=n; 1 − 1=n), и конечного подпокрытия
из этого покрытия не выберешь.
Приведем теперь позитивный пример.
Предложение 21.4. Всякий отрезок
Доказательство.
жим
ab
Пусть [ ; ] =
S
ab
[ ; ]
U
⊂R
компактен.
| открытое покрытие. Поло-
X = { x ∈ (a; b] | Отрезок [a; x] покрыт конечным числом множеств U } :
Заметим, что
X 6= ∅: в самом деле, пусть a ∈ U0 , тогда [a; a + ") ⊂ U0
" > 0, и, скажем, отрезок [a; a + "=2] покрывается всего
для некоторого
лишь одним множеством из нашего семейства.
Далее, пусть = sup X ; покажем, что ∈ X . В самом деле, пусть
∈ U . Так как U открыто, существует такое > 0, что ( − ; ] ⊂ U ;
так как | верхняя грань множества X , существует точка
c ∈ ( − ; ] ∩ X ⊂ U ∩ X ;
1
по определению множества X имеем [a; c] ⊂ U1 ∪ · · · ∪ U для каких-то
1 ; : : : ; n ; тогда [a; ] ⊂ U1 ∪ · · · ∪ U ∪ U , так что ∈ X .
Покажем, наконец, что = b. В самом деле, пусть ∈ U ; если < b,
то имеем ( − "; + ") ⊂ U для некоторого " > 0. Тогда, добавляя, если
надо, множество U к конечному семейству множеств U , покрывающих
[a; ], получаем, что, скажем, + "=2 ∈ X , в противоречие с тем, что
= sup X .
Коль скоро = b, отрезок [a; b] покрывается конечным числом множеств U , что и требовалось доказать.
n
n
Чтобы понять интуитивный смысл компактности, с ней надо немного поработать. Для начала | несколько простых свойств.
Предложение 21.5. Пусть
странство и
Y
⊂
X
X
| компактное топологическое про-
| его замкнутое подмножество. Тогда
Y
ком-
пактно.
Доказательство.
Согласно определению индуцированной топологии,
задать открытое покрытие множества
Y
| все равно, что задать такое
U ⊂ X , что Y ⊂ U . Добавив к
этому семейству открытое множество X \ Y , получим открытое покрытие X . Ввиду компактности X некоторое конечное подсемейство этого
покрытия также покрывает X . Выбросим из этого подсемейства множество X \ Y , если оно там есть; оставшиеся множества U1 ; : : : ; U
обязаны покрывать Y , что и требовалось.
S
семейство открытых подмножеств
n
Следующее свойство компактных пространств выглядит так.
Предложение 21.6. Пусть
f: X
→
Y
топологических пространств, причем
жество
f (X ) ⊂ Y
| непрерывное отображение
X
компактно. Тогда подмно-
компактно.
f (X ) ⊂ U , где все U открыты в Y . Тогда
S −1
−
X = f (U ), где все f 1 (U ) открыты в X ввиду непрерывности f .
Так как X компактно, имеем X = f −1 (U1 ) ∪ · · · ∪ f −1 (U ) для какихто 1 ; : : : ; n . Отсюда f (X ) ⊆ U1 ∪ · · · ∪ U , что и требовалось.
Доказательство.
S
Пусть
n
n
Чуть менее тривиально доказывается следующий факт.
Предложение 21.7. Пусть
X
X
| хаусдорфово пространство и
| его компактное подмножество. Тогда
2
K
замкнуто в
X.
K
⊂
Достаточно показать, что X \ K открыто, т. е. что
z ∈= K существует такое открытое V 3 x, что V ∩ K =
∅. Однако же ввиду отделимости X для каждой точки x ∈ K найдутся
такие открытые подмножества Ux 3 x и Vx 3 z , что Ux ∩ Vx = ∅.
S
Имеем, очевидно, K =
x∈K Ux ; ввиду компактности K имеем K ⊂
Ux1 ∪ · · · ∪ Ux для некоторого конечного множества {x1 ; : : : ; xn }; тогда
открытое множество V = Vx1 ∩ · · · ∩ Vx содержит z и не пересекается
с K , что и требовалось.
Доказательство.
для всякой точки
n
n
Из доказанных предложений вытекает следующее конкретное описание компактных подмножеств в
Rn .
Следствие 21.8. Подмножество
X
⊂R
компактно тогда и только
тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
Доказательство.
«Тогда» следует из предложений 21.4 и 21.5, а «только
тогда» | из предложения 21.7 и примера 21.2.
Из доказанного можно уже вывести конкретное следствие.
Следствие 21.9. Пусть
пактном пространстве
f : X → R | непрерывная функция на комX . Тогда f достигает на X наибольшего и
наименьшего значения.
Доказательство.
Ввиду предложений 21.6 и 21.8, множество
f (X ) ⊂ R
ограничено (стало быть, у него есть точная верхняя и точная нижняя
грани) и замкнуто (стало быть, его верхняя и нижняя грани принадлежат
f (X )
и тем самым являются его наибольшим и наименьшим эле-
ментами).
Впрочем, на данный момент, когда практически единственные известные нам примеры компактных пространств | отрезки, это следствие не дает ничего нового по сравнению с теоремой 13.10. Давайте
поэтому расширим репертуар известных нам компактных пространств.
Определение 21.10.
Пусть
Топологией произведения
X
и
Y
| топологические пространства.
на их прямом произведении
X ×Y
называется
топология, определяемая следующим образом: подмножество
W
⊂ X ×Y
объявляется открытым, если существуют такие открытые подмножества
U
⊂X
и
V
⊂Y,
что
x∈U ×V
⊂ W.
Разумеется, надо проверить, что выполнены аксиомы топологического пространства; это нетрудно (и составляет предмет одной из задач
листка 15).
3
Аналогично определяется топология на прямом произведении произвольного конечного числа пространств.
Вообще,
базой открытых множеств
на пространстве
X
называет-
ся семейство его открытых подмножеств, обладающее следующим свой-
U
ством: всякое открытое множество
⊂
X
является объединением не-
которого (может быть, бесконечного) семейства множеств из базы. В
этом смысле можно сказать, что множеств вида
U
⊂
X
и
V
⊂
Y
U ×V
⊂
X ×Y,
где
| произвольные открытые подмножества, образует
X ×Y
базу открытых подмножеств в
Проверьте самостоятельно, что топологическое пространство
является произведением
Rn
n экземпляров пространства R со стандартной
топологией (это также задача из листка 15).
Y | компактные топологические
пространства. Тогда произведение X × Y также компактно.
Предложение 21.11. Пусть
Доказательство.
X
×
Y
открытыми подмножествами вида
| открытое подмножество в X , а V | открытое
Y . Далее, для всякой точки x ∈ X подмножество
{x} × Y ⊂ X × Y естественно отождествляется с Y (паре (x; y ) соответствует y ∈ Y ); легко видеть, что при этом отождествлении индуцированная с X × Y топология на {x} × Y переходит в исходную
топологию на Y . Возвращаясь к нашему покрытию X × Y множествами вида U × V , отметим, что, ввиду компактности Y и только что сделанного замечания, для всякой точки x ∈ X существуют
такие 1 ; : : : ; n , что {x} × Y ⊂ U1 × V1 ∪ · · · ∪ U × V . Обозначим через Ux пересечение множеств вида U , содержащих x; тогда
S
Ux × Y ⊂ U1 × V1 ∪ · · · ∪ U × V . Поскольку X = x∈X Ux , ввиду
компактности X существуют такие x1 ; : : : ; xm , что X = Ux1 ∪ · · · ∪ Ux .
Стало быть, X × Y = (Ux1 × Y ) ∪ · · · ∪ (Ux × Y ); тем самым X × Y являгде
U
и
Ясно, что достаточно найти конечное подпокрытие
в покрытии пространства
U × V ,
X
подмножество в
n
n
i
n
n
m
m
ется объединением конечного числа подмножеств, каждое из которых
покрыто конечным числом множеств нашего покрытия. Следовательно, само
X ×Y
также покрывается конечным числом множеств нашего
покрытия.
Доказанное предложение также имеет конкретные следствия. Сначала |
Определение 21.12. Параллелепипедом
называется множество вида
{ (x1 ; : : : ; xn ) ∈ Rn | a1 6 x1 6 b1 ; : : : ; an 6 xn 6 bn }
4
(подразумевается, что
ai < bi для всех i).
Легко видеть, что топология на параллелепипеде, индуцированная с
Rn , совпадает с произведением топологий на отрезках [a
Следствие 21.13. Всякий параллелепипед в
Rn
1 ; b1 ]; : : : [an ; bn ].
компактен.
Из этого вытекает также такой аналог предложения 21.8.
Следствие 21.14. Подмножество
X ⊂ Rn компактно тогда и только
тогда, когда оно замкнуто и ограничено.
X ⊂ Rn называется ограниченным, если
все координаты его точек ограничены (иными словами, если X содерПо определению, подмножество
жится в некотором параллелепипеде).
Для метрических пространств существует еще одна характеризация
компактности. Начнем с такого определения.
{xn }n∈N | последовательность точек в тоX и a ∈ X . Точка a называется предельной
точкой последовательности {xn }, если для любой окрестности U 3 a
бесконечно много n ∈ N, для которых xn ∈ U .
Определение 21.15.
Пусть
пологическом пространстве
Легко видеть, что если пространство
X
метрическое, то это рав-
носильно тому, что существует подпоследовательность последовательности
{xn },
сходящаяся к
a: доказательство предложения 9.4 проходит
дословно, если заменить модуль разности на расстояние.
Теперь сформулируем условие, которое для метрических пространств окажется эквивалентным компактности.
Определение
пактным,
21.16.
Пространство называется
секвенциально ком-
если всякая последовательность его точек имеет предельную
точку.
Неформально говоря, в секвенциально компактном пространстве последовательность не может быть «всюду разреженной».
Основная теорема о компактных метрических пространствах гласит
следующее.
Теорема 21.17. Метрическое пространство
(
X ; ) компактно тогда
и только тогда, когда оно секвенциально компактно.
5
Доказательство.
X
Начнем с более простой части «только тогда». Пусть
a ∈ X не является предельной точ{xn }, то для всякой a ∈ X существует такое
открытое множество Ua 3 a, что xn ∈ Ua лишь для конечного числа натуральных чисел n. Ввиду компактности X имеем X = Ua1 ∪ · · · ∪ Uam
для каких-то a1 ; : : : ; am ∈ X , так что xn ∈ X лишь для конечного чикомпактно. Если ни одна точка
кой последовательности
сла натуральных чисел
n,
что нелепо. (Доказательство в эту сторону
проходит и для произвольных топологических пространств.)
Для доказательства «тогда» нам понадобится одна лемма, полезная
и сама по себе.
Лемма 21.18
(о лебеговом числе).
Для всякого открытого покры-
X существует такое число " > 0, что для всякой точки x ∈ X шар B" (x)
тия секвенциально компактного метрического пространства
содержится в одном из множеств покрытия.
Доказательство леммы.
Предположим, что искомого «лебегова числа»
не нашлось. Тогда для всякого
что
B1=n (xn )
n
∈ N
найдется такая точка
xn
∈
X,
не содержится ни в одном из множеств покрытия. Вви-
ду секвенциальной компактности из последовательности
{xn }
можно
выбрать сходящуюся подпоследовательность. Стало быть, существуют
такие последовательность точек
ym ∈ X , сходящаяся к точке y ∈ X , и
"m , сходящаяся к нулю, что
последовательность положительных чисел
для всякого
m ∈ N шар B" (ym ) не содержится ни в одном из множеств
m
покрытия. Приведем эту ситуацию к противоречию.
U , где U | какое-то из множеств, входящих в покрытие. Так как U открыто, найдется такое " > 0, что
B" (y) ⊂ U . Если теперь при всех m > N имеем (ym ; y) < "=2 и
|"m | < "=2, то из неравенства треугольника вытекает, что при m > N
имеем B" (ym ) ⊂ B" (y ). Поскольку B" (y ) содержится в U , получаем
противоречие с выбором чисел "m .
В самом деле, имеем
y
∈
m
Теперь можно завершить доказательство теоремы. Итак, пусть
{U }
| открытое покрытие секвенциально компактного метрического
пространства
X;
нам нужно выбрать из него конечное подпокрытие.
" > 0, что для всякого x ∈ X шар B" (x)
US. Стало быть, достаточно выбрать конечное
подпокрытие в покрытии x∈X B" (x) = X ; этим мы сейчас и займемся.
Выберем произвольно точку x1 ∈ X ; если B" (x1 ) = X , то требуемое
Ввиду леммы существует такое
содержится в одном из
подпокрытие (состоящее всего из одного множества) уже найдено; если
нет, то возьмем произвольную
x2 ∈ X \ B" (x1 ); если B" (x1 ) ∪ B" (x2 ) 6= X ,
6
то возьмем произвольную
x3
∈
X \ (B" (x1 ) ∪ B" (x2 )), и т. д. Если этот
процесс на каком-то шаге оборвется, мы получим искомое конечное
покрытие пространства
X
множествами вида
B" (x); в противном слу-
{xn }n∈N , обладающую тем свой(xm ; xn ) > " при m 6= n. Ясно, что ни такая последователь-
чае мы получаем последовательность
ством, что
ность, ни любая ее подпоследовательность предела иметь не может: ес-
(yn ; yn+k ) > " при k > 0 и lim yn = y, то существует такое N , что
(yn ; y) < "=2 при всех n > N . Если теперь n2 > n1 > N , то
" "
(yn1 ; yn2 ) 6 (yn1 ; y) + (yn2 ; y) < + = ";
ли
2
2
вопреки тому, что расстояния между разными членами последовательности не меньше
".
Полученное противоречие с секвенциальной компактностью завершает доказательство.
7