Методические материалы для промежуточной аттестации Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математический анализ» 1. Понятие функции. Способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные и монотонные функции. Примеры. 2. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая) и их графики. 3. Предел последовательности Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции). 4. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах (одну из них доказать). 5. Бесконечно малые величины (определение). Свойства бесконечно малых величин (одно из них доказать). Бесконечно большие величины, их связь с бесконечно малыми. 6. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах. 7. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры. 8. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке. 9. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции . 10. Основные правила дифференцирования функций одной переменной (одно из правил доказать). 11. Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функции. 12. Теоремы Ролля и Лагранжа (без доказательства). Геометрическая интерпретация этих теорем. 13. Достаточные признаки монотонности функции (один из них доказать). 1 14. Определение экстремума функции одной переменной. Необходимый признак экстремума (доказать). 15. Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем). 16. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты. Примеры. 17. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример. 18. Функции нескольких переменных. Примеры. Частные производные (определение). Экстремум функции нескольких переменных и его необходимые условия. 19. Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов. Подбор параметров линейной функции (вывод системы нормальных уравнений). 20. Дифференциал функции и его геометрический Инвариантность формы дифференциала первого порядка. смысл. 21. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства (одно из свойств доказать). 22. Метод замены переменной в неопределенном интеграле особенности его применения при вычислении определенного интеграла. и 23. Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры. 24. Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Свойства определенного интеграла. 25. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница. 26. Несобственные интегралы с бесконечными интегрирования. Интеграл Пуассона (без доказательства). пределами 27. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Примеры. 2 28. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения. Задача Коши. Задача о построении математической модели демографического процесса. 29. Простейшие дифференциальные уравнения (разрешенные относительно производной, с переменными) и их решение. Примеры. первого порядка разделяющимися 30. Однородные и линейные дифференциальные уравнения первого порядка и их решения. Примеры. 31. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда. Свойства сходящихся рядов. Примеры. 32. Необходимый признак сходимости рядов (доказать). Гармонический ряд и его расходимость. 33. Признаки сравнения для знакоположительных рядов. Примеры. 34. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов. Пример. 35. Знакочередующиеся ряды. знакочередующихся рядов. Пример. Признак Лейбница сходимости 36. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость рядов. Пример. 37. Степенной ряд и область его сходимости. 38. Ряд Маклорена и ряд Тейлора. Разложения в ряд Маклорена 𝑥 (1 функций 𝑒 , + 𝑥)𝑚 , ln(1 ± 𝑥). 3 Система оценивания Уровень требований и критерии оценок Текущий контроль усвоения знаний по дисциплине «Математический анализ» осуществляется в течение семестра в ходе учебного процесса и консультирования студентов, по результатам выполнения аудиторных самостоятельных и домашней контрольной работы. Основными формами текущего контроля знаний являются: • решение задач, тестов и их обсуждение с точки зрения умения формулировать выводы, вносить рекомендации и принимать адекватные управленческие решения; • выполнение аудиторных самостоятельных работ, домашней контрольной работы, обсуждение и анализ их результатов. Промежуточная аттестация проводится в форме экзамена. Оценка знаний студентов осуществляется в баллах с учетом: • оценки за работу в семестре (оценки аудиторных самостоятельных работ, домашней контрольной работы, решения задач, активности работы студентов на занятиях и др.); • оценки итоговых знаний 4 в ходе экзамена. Требования к результатам освоения дисциплины Требования к результатам освоения дисциплины Отлично Баллы (рейтинговая оценка) 86-100 хорошо 70-85 Оценка Полностью освоен теоретический и практический материал дисциплины, практические задания выполняются без ошибок, теоретические задания выполняются с необходимыми обоснованиями (в объеме, предусмотренном программой дисциплины). Студент знает основы теории множеств и функций, теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов, необходимые для решения организационноуправленческих задач; умеет безошибочно применять математические методы для решения экономических задач; полностью владеет навыками применения современного математического инструментария для решения задач организационноуправленческого профиля. Полностью освоен теоретический и практический материал дисциплины, при этом допускаются ошибки в применении алгоритмов решения задач, часть теоретических заданий выполняется без достаточных обоснований. 5 Студент хорошо знаком с основными понятиями теории множеств и функций, теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов; умеет (возможно, с незначительными ошибками) применять математические методы для решения экономических задач; овладел навыками применения современного математического инструментария для решения задач организационноуправленческого профиля. Теоретический и практический материал дисциплины освоен частично, но в объеме, позволяющем решать основные типовые задачи дисциплины; Студент знаком с основными понятиями теории множеств и функций, теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов; умеет, но с ошибками, применять математические методы для решения экономических задач; частично овладел навыками применения современного математического инструментария для решения задач организационноуправленческого профиля. удовлетворительно Неудовлетворительно Теоретический и практический материал дисциплины не освоен. 6 51- 69 Менее 51 Пример билета ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» Смоленский филиал 2013-14 уч. год Кафедра Математики и информатики Экзаменационный билет № … по дисциплине «Математический анализ» для студентов 1 курса бакалавр «Менеджмент» 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц. 2. Задача на тему: «Предел и непрерывность». 3. Задача на тему: «Неопределенный интеграл». Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры 3 сентября 2013 г. Заведующая кафедрой «Математика и информатика» О.М.Гусарова 7