Глава 0. Основы теории множеств и отображений.

Глава 0. Основы теории множеств и отображений.
§1. Множества. Логические символы. Операции над множествами.
Два способа задания множеств:
1) перечисление, 2) указание характеристического свойства.
Опр.0.1.1. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех
же элементов. Равенство множеств обозначается как А = В . Множество А
называется подмножеством множества В (или: А содержится в В, или В
содержит А), если все элементы множества А являются элементами множества В.
Обозначение подмножества: А  В.
Логические символы:  – для всех
 – существует
 – следует
 – тогда и только тогда
Предложение 0.1.1 Множества А и В равны тогда и только тогда, когда А
содержится в В и В содержится в А.
(А = В)  ((А  В) и (В  А))
Определение 0.1.2. Пусть даны множества А и В.
Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов,
принадлежащих или множеству А, или множеству В.
А  В = {c: cA или cB}
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов,
принадлежащих и множеству А, и множеству В.
А  В = {c: cA и cB}
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов,
принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В.
А\ В = {c: cA и cB}
Симметрическая разность множеств А и В – множество (А\ В)  (В\А).
Обозначение симметрической разности: А  В.
Формулы двойственности (в скобках слева – любое число множеств!):
1) А \ (B  C  D) = (A \ B)  (A \ C)  (A \ D)
2) А \ (B  C  D) = (A \ B)  (A \ C)  (A \ D)
Леонард Эйлер (1707–1783), Джон Венн (1834–1923), А. де Морган(1806–1871)
§2. Отображения множеств. Свойства отображений.
Опр.0.2.1. Пусть даны множества X и Y. Декартовым произведением множеств X и Y
называется множество, состоящее из упорядоченных пар, в которых первый элемент
принадлежит множеству X, а второй – множеству Y. Обозначение: X  Y.
X  Y = {(x,y) : xX, yY}.
Опр.0.2.2. Пусть задано подмножество F в декартовом произведении X  Y. Тогда говорят,
что множество F задает соответствие между множествами X и Y.
Опр.0.2.3. Пусть даны множества X и Y и соответствие между ними, заданное множеством
F. Говорят, что множество F задает отображение из множества X во множество Y, если
для каждого элемента x множества X найдется, причем только один, элемент y множества
Y , такой, что (x,y)  F, то есть  x  X  ! y  Y : (x,y)  F.
( ! – «существует единственный»)
В случае, когда F задает отображение, в каждой паре (x,y)  F элемент y называется
образом элемента x . При этом пишут y = F(x) . Множество X называется областью
определения отображения F , множество Y – областью значений отображения F.
Записывается это так: F: X  Y , y = F(x).
Замечание. Мы будем задавать отображение правилом y = f(x). Писать будем так:
f : X  Y , y = f(x).
Опр.0.2.4. Пусть задано отображение f : X  Y , y = f(x). Пусть А  X . Образом
множества А при отображении f называется множество элементов из Y, которые
являются образами элементов множества А. Обозначение: f(А).
f(А) = {y Y :  x  А, y = f(x)}.
Пусть В  Y. Прообразом множества В при отображении f называется множество
элементов из X , образы которых принадлежат множеству В. Обозначение: f –1 (В).
f –1 (В) = {x  X : y = f(x)  В }
Множеством значений отображения f: X  Y , y = f(x), называется образ всей области
определения при отображении f, то есть f(X).
Опр.0.2.5. Пусть задано отображение f : X  Y , y = f(x). Это отображение называется
инъекцией, если образы разных элементов при отображении f различны, то есть  x1  x2
f(x1)  f(x2).
Отображение f называется сюръекцией, если каждый элемент области значений является
образом некоторого элемента из области определения, то есть
 y  Y  x  X : y = f(x).
Отображение, которое является инъекцией и сюръекцией, называется биекцией, или
взаимно - однозначным отображением.
Предложение 0.2.1. Отображение f : X  Y , y = f(x) является биекцией тогда и только
тогда, когда  y  Y  ! x  X : y = f(x).
Опр.0.2.6. Пусть отображение f : X  Y , y = f(x) является биекцией. Тогда отображение
g : Y  X , x = g(y) = f –1{y}, называется обратным к отображению f.
Обозначается: y = f –1(x).
Опр.0.2.7. Пусть f : X  Y, g : Y  Z. Отображение h: X  Z , z = h(x) = g(f(x)) называется
композицией отображений f и g . Обозначение композиции: h = g ◦ f . При этом f
называется внутренней функцией, g – внешней. Другое название композиции: сложная
функция.
§3. Числовые множества. Мощность множеств.
Джузеппе Пеано (1858 – 1932), Георг Кантор (1845 – 1918)
Аксиомы Пеано для множества N:
Р1.  элемент n0 N
Р2.  отображение S: N  N\{n0} (S(n) – следующий за n)
Р3.  m, k N , S(m) = S(k)  m = k.
Р4. Если М  N, n0  М, m  М  S(m)  М, то М = N (аксиома индукции).
Если множество N удовлетворяет Р1 – Р4, то это множество натуральных чисел .
Обозначения:
 = {1, 2, 3, …} – множество натуральных чисел (1 n0),
 = {0,1,–1, 2, –2, 3, –3,…} – множество целых чисел,
 = { m – несократимая дробь, где m , n  } – множество рациональных чисел,
n
 = { a = <sgn(a) a0, a1 a2 a3…>,
где sgn(a){+, –}, a0{0,1,2,3,…}, a1, a2 , a3, ... {0,1,2,…,9}, без 9 в периоде} –
множество вещественных чисел.
Опр. 0.3.1. Пусть дано непустое множество А. Это множество называется конечным, если
существует натуральное число n и взаимо-однозначное соответствие (т.е. биекция) f такая,
что f: A {1, 2, 3,…, n}. Если же для каждого натурального n биекции f: A {1, 2, 3,…, n}
не существует, то множество А называется бесконечным.
Опр. 0.3.2. Пусть даны множества А и В. Говорят, что эти множества имеют одинаковую
мощность, или А и В равномощны, если существует взаимо-однозначное соответствие
f : A  В. Обозначение: сard A = card B или |A| = |B|.
Опр. 0.3.3. Пусть А – бесконечное множество. Если множество А равномощно множеству
, то множество А называется счётным. Если же сard A  card , то множество А
называется несчётным.
Пример 0.3.1. Множество чётных натуральных чисел, множество целых чисел – счётные.
Теорема 0.3.1. Множество рациональных чисел является счётным.
Теорема 0.3.2. Множество вещественных чисел является несчётным.
Опр. 0.3.4. Пусть А – бесконечное множество. Если множество А равномощно множеству
, то говорят, что множество А имеет мощность континуума, пишут: сard A = c.
Замечание. Таким образом, есть по крайней мере две различные мощности бесконечных
множеств: счётная и континуальная.
Опр. 0.3.5. Пусть даны множества А и В. Если существует инъекция f : A  В, то говорят,
что мощность множества А не больше мощности множества В. Если при этом
множества А и В не равномощны, то говорят: мощность множества А меньше мощности
множества В. Обозначение: сard A < card B.
Вопрос. Мы выяснили, что сard  < card . Существует ли множество А такое, что
сard  < сard A < card  ?
Гипотеза континуума: «Множества А со свойством сard  < сard A < card  не существует»
– не может быть доказана или опровергнута. Её можно принять как аксиому, а можно
принять как аксиому противоположное утверждение.
(1936г., Курт Гедель, 1963 г., Пол Коэн)
ГЛАВА 1. Вещественные числа
§1. Сравнение вещественных чисел. Роль рациональных чисел в 
Смысл десятичной записи числа а = <sgn(a) a0 , a1 a2 a3 a4…> – в последовательном
измерении отрезка длины а: если а = <+8, 5 a2 a3 a4…>, то
|
0
|
1
|||||||||||
0
1
|
|
|
|
|
|
|
|
8 а9
a0 = 8
|||||||||||
8 а 9
a1 = 5
Опр.1.1.1. Два вещественных числа
а = <sgn(a) a0 , a1 a2 a3 a4…> и b = <sgn(b) b0 , b1 b2 b3 b4…> совпадают (равны),
если sgn(a) = sgn(b), a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3 и так далее.
Только число 0 = <+0,0000…>  <–0,0000…> не имеет знака. Число а ≠ 0
называется положительным, если sgn(a) = +, и отрицательным, если sgn(a) = –.
Опр.1.1.2. Пусть даны два различных вещественных числа а и b.
Определим неравенство а < b.
1случай. а – отрицательное, b – неотрицательное. Тогда а < b.
2 случай. а, b – неотрицательные. Если существует n{0} такое, что
a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, …, an –1 = bn –1, an < bn, то а < b.
3 случай. а, b – отрицательные. Если существует n{0} такое, что
a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, …, an –1 = bn –1, an > bn, то а < b.
Предложение 1.1.1.(Свойства сравнения вещественных чисел)
I.1. Для любых двух вещественных чисел а и b верно одно и только одно из трех
утверждений: а < b, b < a либо а = b (сравнимость).
I.2. Для любых трех вещественных чисел а, b и с верно:
если а < b и b < с, то а < с (транзитивность).
Предложение 1.1.2. (Принцип Архимеда для множества вещественных чисел)
Для любого вещественного а найдется натуральный номер N такой, что а < N.
Лемма 1.1.1. (О приближении вещественных чисел рациональными)
Пусть а, ,  > 0. Тогда найдутся рациональные r, s такие, что
r  a  s и s – r < .
Лемма1.1.2.(Плотность множества  в )
Для любых а, b   таких, что a < b, найдется r  такое, что а < r < b.
Лемма 1.1.3.(Достаточное условие равенства вещественных чисел)
Пусть вещественные числа а и b таковы, что для каждого рационального  > 0
найдутся рациональные r, s такие, что r  a  s, r  b  s и s – r < .
Тогда a = b.
§2. Точные грани числовых множеств.
В этом параграфе A  , A  .
Опр.1.2.1. Множество A называется ограниченным сверху, если существует число m  
такое, что для всех a  A выполнено: a  m. Число m называется верхней гранью
множества A.
Множество A называется ограниченным снизу, если существует число l   такое, что
для всех a  A выполнено: a  l. Число l называется нижней гранью множества A.
Множество A называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу.
Опр. 1.2.2. Пусть множество A ограничено сверху. Наименьшая из верхних граней
множества A называется точной верхней гранью A, или супремум A. Обозначается: sup A.
Пусть множество A ограничено снизу. Наибольшая из нижних граней множества A
называется точной нижней гранью A, или инфимум A. Обозначается: inf A.
Если множество A не ограничено сверху, то пишут: sup A = + , если A не ограничено
снизу, то пишут: inf A = – .
Лемма 1.2.1. (Критерий точных граней)
I. Пусть A ограничено сверху. Число М есть точная верхняя грань множества A тогда и
только тогда, когда выполнены два условия:
(1)  a  A: a  М, (2)  m < М  a  A: a > m.
II. Пусть A ограничено cнизу. Число L есть точная нижняя грань множества A тогда и
только тогда, когда выполнены два условия:
(1)  a  A: a  L, (2)  l > L  a  A: a < l.
Теорема 1.2.1. (О существовании точных граней)
Пусть A  , A  , A ограничено сверху [снизу]. Тогда обязательно существует точная
верхняя [нижняя] грань множества A.
§3. Сумма и произведение вещественных чисел.
Опр. 1.3.1. Пусть a, b  . Суммой чисел a и b называется такое число с  , что для
любых рациональных чисел r1, r2, s1, s2 из условия r1  a  s1, r2  b  s2 следует:
r1 + r2  с  s1+ s2. Обозначение: с = a + b.
Опр. 1.3.2. Пусть a, b  , a, b  0. Произведением чисел a и b называется такое число
с, что для любых рациональных чисел r1, r2, s1, s2 из условия 0  r1  a  s1, 0  r2  b  s2
следует: r1r2  с  s1s2. Обозначение: с = ab.
В случае, когда sgn(a) = – или sgn(b) = –, для определения произведения чисел a и
b пользуемся правилом знаков:
| a || b |,еслиsgn(a)  sgn(b),
с  ab 
 | a || b |,еслиsgn(a)  sgn(b).

Теорема 1.3.1. (Существование и единственность суммы вещественных чисел)
Для любых a, b   существует, причем единственное, с  , такое, что с = a + b.
Теорема 1.3.2. (Существование и единственность произведения вещественных чисел)
Для любых a, b   существует, причем единственное, с  , такое, что с = ab.
Теорема 1.3.3. (Основные свойства сложения в )
II.1.  a, b   : a + b = b + a
(коммутативность сложения)
II.2.  a   : a + 0 = a
(0 – нейтральный элемент по сложению)
II.3.  a, b, c   : (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения)
II.4.  a   ! b   : a + b = 0
(b – обратный к а элемент по сложению)
Теорема 1.4.4. (Основные свойства умножения в )
III.1.  a, b   : ab = ba
(коммутативность умножения)
III.2.  a   : a1 = a
(1 – нейтральный элемент по умножению)
III.3.  a, b, c   : (ab)c = a(b c)
(ассоциативность умножения)
III.4.  a  \{0} ! b   : ab = 1
(b – обратный к а элемент по умножению)
Теорема 1.3.5. (Связь сложения и умножения в )
IV.  a, b, c   : (a + b)  c = ac +b c
(дистрибутивность)
Теорема 1.3.6. (Связь сложения и сравнения в )
V.  a, b, c   : a < b  a + c < b + c
Теорема 1.3.7. (Связь умножения и сравнения в )
VI.  a, b, c   : a < b, c > 0  a  c < b  c
§ 4. Рациональные и вещественные степени вещественных чисел
Теорема 1.4.1. (Существование корня из вещественного числа)
Пусть a  , а > 0, n  . Тогда существует единственное число b   такое, что
b > 0 и bn = a (то есть b  n a ).
Опр. 1.4.1. Пусть a  , а > 0, r  m  . Число n a m , где корень n понимается в
n
смысле теоремы 1.4.1., обозначается через ar.
Пусть a  , а > 1, x  . Вещественное число sup{ ar ; r  x, r} обозначается ax.
Пусть a  , а (0; 1), x  . Вещественное число
 a 1
x
обозначается ax.
Замечание. Теперь необходимо доказать, что при данных определениях выполнены
все основные свойства операции возведения в степень: (a, x, y , a > 0)
axay = ax+y, (ax)y = axy,
ax < ay , если a >1 и x < y.
В дальнейшем мы будем считать эти свойства известными и пользоваться ими при
изучении степенных и показательных функций.