В.И.Астафьев, П.В.Ротерс Продуктивность разработки

ОБОЗРЕНИЕ
Т о м 21
ПРИКЛАДНОЙ И ПРОМЫШЛЕННОЙ
МАТЕМАТИКИ
Выпуск 1
2014
В. И. А с т а ф ь е в, П. В. Р о т е р с (Самара, СамГТУ). Продуктивность разработки месторождений углеводородов многоскважинными двоякопериодическими кластерами.
Работа посвящена исследованию продуктивности многоскважинных двоякопериодических систем вертикальных добывающих скважин (многоскважинных кластеров).
Предполагается, что все скважины (элементы кластера) расположены в однородном замкнутом резервуаре постоянной толщины и работают с заданными дебитами в псевдо
стационарном режиме. Замкнутый резервуар рассматривается как элемент бесконечного двоякопериодического массива скважин, а решение уравнений фильтрации жидкости представляется с помощью дзета и сигма-функций Вейерштрасса [1, 2]. Такой
подход позволил найти распределение давления и скоростей в различных резервуарах
и вычислить коэффициент продуктивности для различных резервуаров.
Рассмотрим двоякопериодический кластер, состоящий из n вертикальных скважин с дебитами Q1 , Q2 , . . . , Qn , расположенных в точках (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn ).
Двоякопериодичность такого кластера определяется периодами ω1 и ω2 . В работах
[1, 2] было построено решение для случая, когда в параллелограмме периодов расположена одна скважина. Решение позволило представить распределение поля скоростей и
давления на комплексной плоскости z = x + iy в следующем виде:
Q
V = νx − i ν y = −
ζ(z) + αz − βz ,
2πh
i
h zz
z2 p = pw + q Re ln σ(z) + α
− ln rw ,
−β
(1)
2
2
где ζ(z) и σ(z) — дзета и сигма-функции Вейерштрасса, q = Qμ /2πkh, α =
(βω − 2ζ(ω/2))/ω, β = π/Δ, Δ = Im(ω 1 , ω2 ), ω = mω1 + nω2 (m, n = 0, ±1, ±2, . . .).
Используя метод суперпозиции, решение для многоскважинного кластера можно представить в виде [3]:
V (x, y) = −
n
X
Qk
(ζ(z − zk ) + α(z − zk ) − β(z − z k )),
2πh
k=1
n
X
(2)
h n
( z −zk )2 o
|z −zk |2 i
qk ln R − Re ln σ(z −zk ) + α
−β
. (3)
2
2
k=1
√ p
Q
2n )2 (1−q 2n )2 | , q = eiπτ , q = e−iπ/τ , τ =
Здесь R = Δ/ 4 π 2 Imτ |(qq1 )1/6 ∞
1
1
n=1 (1−q
ω2 /ω1 .
Выражение Jk = qk /Δpk для коэффициента продуктивности k -й скважины в
кластере и общий коэффициент продуктивности J = (q1 +q2 +∙ ∙ ∙+qn )/(p1 +p2 +∙ ∙ ∙+pn )
для всего кластера задаются соотношениями:
p(t) − p(x, y) =
Jk−1 =
n
X
i=1
sik ln
R
,
Rki
J −1 =
c Редакция журнала «ОПиПМ», 2014 г.
n
X
k=1
sk Jk−1 =
X
sk α k ,
2
XV Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике
где ski = qk /qi , sk = qk /(q1 + q2 + ∙ ∙ ∙ + qn ), Δk = sk Δ, αk =
Pn
i=1
ln(R/Rik ).
(k)
2
),
Представление коэффициента продуктивности как Jk−1 = (1/2) ln(4Δk /γCA rw
(k)
где CA — форм-фактор Дитца [4] для k-й скважины в кластере, приводит к выражению:
n (k)
2 s
Y
ik
CA
γCA Rik
= sk
.
(4)
CA
4Δ
i=1
i6=k
Данное выражение позволяет находить форм-факторы для многих сложных резервуаров. В табл. 1 представлены их значения, вычисленные по формуле (4), для различных форм резервуара. Все они соответствуют значениям, которые были опубликованы в работе [4].
Таблица. Значения форм-фактора Дитца, вычисленные на основе формулы (4).
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 13-03-97008-р −поволжье −а.
Научные доклады
3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Моделирование двоякопериодических систем добывающих скважин. — Вестник СамГУ, 2010, № 4 (78), с. 5–11.
2. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Моделирование двоякопериодических систем добывающих скважин. 2. Коэффициент продуктивности. — Вестник СамГУ, 2011, № 8
(89), с. 118–127.
3. Астафьев В. И., Ротерс П. В. Моделирование и оптимизация разработки месторождений многоскважинными двоякопериодическими кластерами. — Вестник
СамГУ, 2013, № 9/2 (110), с. 170–183.
4. Dietz D. N. Determination of Average Reservoir Pressure From Build-Up Surveys.
Rejswijk: SPE, 1964, p. 955–959.