О сводимости вычислимых и потенциально вычислимых

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ
т. 6, № 1 (1969), 3—9
УДК 51.01.16
О СВОДИМОСТИ ВЫЧИСЛИМЫХ И ПОТЕНЦИАЛЬНО
ВЫЧИСЛИМЫХ НУМЕРАЦИЙ
В. А. Успенский
Среди нумераций классов перечислимых множеств выделя­
ются те, в которых номер несет информацию об имеющем этот но­
мер множестве,— таковы вычислимые и потенциально вычисли­
мые нумерации — и те, в которых множество несет информацию
о своем номере,— таковы накрывающие и вполне накрывающие
нумерации. Устанавливаются условия, необходимые и достаточ­
ные для того, чтобы все нумерации данного класса были накрыва­
ющими. Как следствие устанавливается существование накрыва­
ющих нумераций, не являющихся вполне накрывающими. Библ.
9 назв.
§ 1. Предварительные замечания. Как известно [3, 6,
7, 9], нумерацией множества М называется произвольное
отображение произвольного множества натуральных чи­
сел, называемого основанием нумерации [6], или номерным
множеством [7, 9] на множество М, называемое нумеруе­
мым множеством. (Иногда объем понятия «нумерация»
ограничивают дополнительным требованием, чтобы осно­
вание нумерации было разрешимым (обще-рекурсивным)
множеством [5] или даже просто натуральным рядом [8, 9].)
Если а — нумерация и а(е) = т, то говорят, что е есть
номер элемента т в нумерации а. Пусть £ и т] — произ­
вольные нумерации множеств К и L. Естественно назы­
вать £ сводящейся к г), если мы «умеем находить» элементы
из К по их номерам в £ в предположении, что мы «умеем
находить» элементы из L по их номерам в т]. Этот замысел
уточняется следующим определением (всюду ниже выра­
жение ! ф (а) означает, что функция ф определена для объек­
та а): скажем, что g сводится к т), коль скоро существует
частично-рекурсивная функция g (сводящая £ к г]), облаз
дающая следующим свойством: если ! | (е), то !r)(g(e))
и I (е) = г] (g (<?)); очевидно, что в этом случае К cz L
(в [4] сводимость определялась лишь для случая К = L).
З а м е ч а н и е . Если £ и г] — произвольные функ­
ции, то естественно говорить, что | R-сводится к т) (где
.В — некоторое множество функций), коль скоро суще­
ствует такая функция g из R {сводящая £ к т)), что для
любого е из !£(е) вытекает Ir](g(e)) и | (в) = т) (#(*))•
Тогда описанная выше сводимость нумераций есть частный
случай .В-сводимости, возникающий, когда аргументы
функций £ и г[ суть натуральные числа, a R есть класс
всех частично-рекурсивных функций.
ЛЕММА. Пусть К бесконечно и К cz L. Для каждой
нумерации £ множества К существует нумерация т] мно­
жества L, к которой £ не сводится.
Доказательство.
Пусть
К = {Л0, Аг, А21 Л 8 , ...}
и пусть для каждого i число et есть какой-либо из но­
меров множества At в нумерации £. Пусть ф — взаимно­
однозначное отображение множества
Е= {е0, ег, е2, е3,...}
на натуральный ряд, не продолжаемое до частично-рекур­
сивной функции (такое существует хотя бы из мощностных соображений). Построим нумерацию ц множества L,
полагая по определению
г] (2п) = I (ф-1 И ) ,
т] (2п+1) = е(и),
где е — произвольная нумерация множества L\K (если
L\K = </>, то г] (2и -f- 1) не определено ни при каком п).
Если бы частично-рекурсивная g сводила £ к т], то функ­
ция г/ = М^— являлась бы продолжением функции ф,
в противоречии с выбором последней. Действительно,
с одной стороны, I (et) = ц (g (et)), а с другой стороны,
| (et) = 1 (ф-1 (ф (<?*))) = т] (2ф {еь))\ поэтому (так как т)
любое свое значение, принимаемое для ч е т н о г о аргу­
мента, принимает только один раз) g (et) = 2ф (et).
§ 2, Нумерация классов перечислимых множеств.
Для различных вопросов теории вычислимых функций
особый интерес представляют те нумерации, в которых
4
нумеруемыми множествами служат какие-либо классы
перечислимых множеств или вычислимых функций. По­
скольку график всякой вычислимой функции есть пере­
числимое множество, то при отождествлении функций
с их графиками вычислимые функции оказываются част­
ным видом перечислимых множеств. Поэтому достаточно
ограничиться нумерациями классов перечислимых мно­
жеств; лишь такие нумерации будут рассматриваться
в дальнейшем.
Среди всех нумераций классов перечислимых множеств
выделяются нумерации, являющиеся в определенном
смысле «адекватными» нумеруемому классу или «инфор­
мативными». Требование «информативности» распадается
на два требования: 1) номера должны нести достаточно
полную информацию о нумеруемых объектах; 2) нуме­
руемые объекты должны нести достаточно полную инфор­
мацию о своих номерах.
Первое из этих требований предполагает наличие эф­
фективной процедуры, позволяющей по каждому номеру
порождать элементы имеющего этот номер множества;
оно, это требование, уточняется с помощью понятий вы­
числимой нумерации и потенциально вычислимой нуме­
рации. Нумерация а некоторого класса перечислимых
множеств называется вычислимой [3], если, во-первых,
перечислимо ее основание и, во-вторых, перечислимо
множество всех пар <е, 7П>, где т^Еа (е) (первое условие
может не вытекать из второго для случая, когда нумеруе­
мый класс содержит пустое множество). Нумерация а
называется потенциально вычислимой [3], если она сво­
дится к некоторой вычислимой нумерации (в терминоло­
гии заметки [3] — если она вложена в некоторую зануме­
рованную систему с вычислимой нумерацией). Естествен­
ность последнего определения оправдывается следующим
утверждением (ср. определение потенциально рекурсивной
функции у А. Черча [1]: нумерация тогда и только тогда
потенциально вычислима, когда она продолжается до не­
которой вычислимой нумерации. [Продолжаемость пони­
мается в обычном для функций смысле: у есть продолже­
ние для а, коль скоро для всякого е из ! а (е) вытекает, что
\у (е) и у (е) = а (е). В одну сторону утверждение оче­
видно, поскольку всякая нумерация тривиальным обра­
зом сводится к любому своему продолжению. Если теперь
а сводится посредством вычислимой сводящей функции g
5
к вычислимой нумерации |3, то находим вычислимую ну­
мерацию у, являющуюся продолжением для а, полагая
по определению у (е) = |3 (g {е))Л. Как хорошо известно
[3], всякий класс перечислимых подмножеств какого-либо
перечислимого множества обладает потенциально вычис­
лимой нумерацией (продолжаемой, например, до вычис­
лимой нумерации в с е х
перечислимых
подмножеств
данного множества), но не всякий класс перечислимых
подмножеств обладает вычислимой нумерацией (например,
ею не обладает класс всех обще-рекурсивных функций
одного аргумента).
Второе из требований «информативности» предполагает
наличие эффективной процедуры, позволяющей получать
номер (в рассматриваемой нумерации) множества, коль
скоро мы располагаем каким-либо способом задания этого
множества, например, располагаем номером в какой-либо
вычислимой или потенциально вычислимой нумерацией.
Оно, это требование, уточняется с помощью понятий на­
крывающей нумерации и вполне накрывающей нумера­
ции [3]. Нумерация некоторого класса перечислимых
множеств
называется
накрывающей
(соответственно
вполне накрывающей), если к ней сводится любая вычис­
лимая (соответственно любая потенциально вычислимая)
нумерация любого подкласса этого класса.
Хотя для многих классов перечислимых множеств
всякая накрывающая нумерация является и вполне на­
крывающей {[3], теорема 4), вопрос о существовании на­
крывающих, но не вполне накрывающих нумераций
оставался открытым. Ниже (§ 4) показывается, что такие
нумерации существуют.
ЛЕММА. Фиксируем какое-либо перечислимое множе­
ство. Каждый бесконечный класс его перечислимых под­
множеств обладает нумерацией, не являющейся вполне
накрывающей.
Доказательство.
Пусть
М — бесконечный
класс перечислимых подмножеств. В лемме из § 1 поло­
жим К = L = М, а в качестве £ возьмем произвольную
потенциально вычислимую нумерацию класса М. Тогда
существующая по указанной лемме нумерация к\ будет
искомой.
§ 3. Классы, все нумерации] которых — накрываю­
щие. Класс перечислимых множеств, допускающий вычис­
лимую нумерацию, условимся называть перечислимым.
6
ТЕОРЕМА. Для того чтобы всякая нумерация неко­
торого класса перечислимых множеств была накрывающей,
необходимо и достаточно, чтобы этот класс не содержал
ни а) бесконечного перечислимого подкласса, ни б) такой
пары множеств В, С, что В cz С.
З а м е ч а н и е 1. Условие б) теоремы равносильно
тому, что в рассматриваемом классе множеств, трактуе­
мом как топологическое пространство [2], выполняется
первая аксиома счетности, т. е. тому, что этот класс
является ^-пространством.
З а м е ч а н и е 2. Существуют как конечные, так и
бесконечные классы перечислимых подмножеств фикси­
рованного перечислимого множества, удовлетворяющие
условиям теоремы и, следовательно, такие, все нумера­
ции которых — накрывающие. В качестве конечного клас­
са достаточно взять любой конечный класс, не содержа­
щий пары множеств, включенных одно в другое; в качестве
бесконечного класса можно взять, например, состоящий
только из одноэлементных множеств класс
{ {а0}, Ю> (М, —> К}> •••},
где {а0, ах, а2, ..., ап, ...} — иммунное [9] множество.
Доказательство
необходимости.
Предположим, что класс М содержит бесконечный пере­
числимый подкласс или такую пару множеств В и С, что
В с: С, и найдем нумерацию класса М, не являющуюся
накрывающей.
а) Пусть Мг — бесконечный перечислимый подкласс
класса М и пусть а — какая-то его вычислимая нумера­
ция. В лемме из § 1 полагаем К = Мъ L = М, £ = а;
тогда получаем у в качестве г) из этой леммы.
б ) П у с т ь 5 ^ М , C^M,BCZC. Положим М х = {В, С}.
Достаточно найти такую вычислимую нумерацию а класса
Мг и такую нумерацию у класса М, что а не сводится к у.
Пусть S — разрешимое, a R — перечислимое неразреши­
мое множество натуральных чисел, М2 — М\М±
и
8 — произвольная нумерация класса М 2 . Положим
а (х) = (В, если
xEzN\R,
\С, если xEiR,
р (х) = (В, если x(E^N\S,
\С, если xEiS,
у (2л) - р (п),
у(2п+1)^г
(п),
7
(если М 2 = </>, то у (2п -f 1) не определено ни при каком*
п). Если функция h сводит а к у, то N\R
= h'1 (2N\2S)V
где через 2А обозначено множество всех чисел вида 2а
при а€ЕА; поэтому, если бы h была вычислимой, то iV\jR
было бы перечислимым множеством в противоречии
с выбором R.
Доказательство
достаточности.
Пусть класс М не содержит указанных в теореме «запре­
щенных» подклассов вида а) и б) и пусть 7 — произволь­
ная его нумерация. Докажем, что у — накрывающая ну­
мерация. Для этого возьмем произвольную вычислимую
нумерацию а произвольного класса М1 такого, что
М1 С ЛТ, и покажем, что а сводится к у. Класс Мх пере­
числим и потому конечен; пусть
М1 = {Аг, ...,
Ak).
Поскольку никакое включение At cr Aj (i ф j) невозмож­
но, то все разности Л 7 \ Л ^ не пусты. Выберем в каждом
множестве ^4 7 -\4 г (i H= J) п о элементу а л и положим
Fj = {aix, ...,
ajk}.
Тогда одноэлементный класс {Aj} совпадает с классом
всех членов класса Мъ содержащих в качестве под­
множества данное конечное множество Fy, поэтому ([3],
п. 2) класс {Aj} является эффективно открытым в Мг
и, в силу теоремы 2 из [3], вполне перечислим отно­
сительно нумерации а; последнее, в силу вычислимости
нумерации а и, следовательно, перечислимости ее
основания, означает, что множество a - 1 (Aj) перечислимо.
Выберем теперь для каждого / число rij так, чтобы было
у (rij) =
Aj,
и зададим функцию h:
(щ, если x G a 4 ( i i ) ,
h(x) = \
\ щ, еслих EH a г(Ап).
Очевидно, что h будет вычислимой функцией, сводящей
а к у.
§ 4. Существование накрывающих нумераций, не яв­
ляющихся вполне накрывающими, ТЕОРЕМА. Сущест­
вует накрывающая нумерация, не являющаяся вполне на­
крывающей.
В
Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу замечания 2 из § 3
существует бесконечный класс перечислимых множеств,
всякая нумерация которого является накрывающей.
В силу леммы из § 2 по крайней мере одна из нумераций
этого класса не является вполне накрывающей.
Московский государственный
университет им. М. В. Ломоносова
ЦИТИРОВАННАЯ
Поступило
10.VI. 1968
ЛИТЕРАТУРА
[1] C h u r c h A., An unsolvable problem of elementary number
theory, Amer. J. Math., 58, № 2, (1936), 345—363.
[2] У с п е н с к и й В. А., О вычислимых операциях, Докл. АН
СССР, 103, № 5, (1955), 773—776.
[3] У с п е н с к и й В. А., Системы перечислимых множеств и их
нумерации, Докл. АН СССР, 105, № 6 (1955), 1155—1158.
[4] У с п е н с к и й В. А., Вычислимые операции и понятие про­
граммы, Успехи матем. наук, 11, № 4 (1956), 172—176.
[5] R o g e r s H., Godel numberings of partial recursive functions,
J, Symbolic Logic, 23, № 3 (1958), 331—341.
[6] У с п е н с к и й В . А . , Лекции о вычислимых функциях, М.,
1960.
[7] М а л ь ц е в А. И., Конструктивные алгебры, I, Успехи матем.
наук, 16, № 3 (1961), 3 - 6 0 .
[8] М а л ь ц е в А. И., К теории вычислимых семейств объектов,
Алгебра и логика (семинар), 3, № 4, (1964), 5—31.
[9] М а л ь ц е в А. И., Алгоритмы и рекурсивные функции, М.,
1965.