Аннотация Ключевые слова: слабо выпуклое множество, сумма

Аннотация
Ключевые слова: слабо выпуклое множество, сумма Минковского,
модуль невыпуклости, селектор многозначного отображения
Классический математический анализ изучает, главным образом,
гладкие и однозначные функции, что совершенно недостаточно в задачах
аппроксимации, оптимизации и дифференциальных игр, где естественным
образом возникают негладкие и многозначные объекты, требующие развития
нового математического аппарата. Роль такого математического аппарата во
многих задачах играет выпуклый и многозначный анализ. Классический
выпуклый анализ в свою очередь недостаточен для детального описания
выпуклой структуры объектов, возникающих в современных задачах техники
и экономики. Более эффективными для таких задач являются методы сильно
и
слабо
выпуклого
анализа
–
нового
интенсивно
развивающегося
направления современной математики.
Цель работы - Исследование свойств слабо выпуклых и негладких
множеств
Применяются современные методы выпуклого и многозначного анализа,
в том числе, методы сильно и слабо выпуклого анализа, разрабатываемые
авторским коллективом.
При
исследовании
дифференциальных
свойств
многозначных
отображений вместо классических методов гладкого дифференциального
исчисления используется техника касательных конусов.
Исследованы свойства операций сложения и вычитания множеств по
Минковскому в топологическом векторном пространстве. В частности,
получены условия, при которых геометрическая сумма или разность
множеств будет открытым или замкнутым множеством.
Получены свойства отношения «выпукло сильнее», связанные с
операциями пересечения и объединения, а также сложения и вычитания по
Минковскому над множествами.
1
Выведены необходимые и достаточные условия на выпуклые множества
X,
Y, обеспечивающие равенство
X+Y÷Y=X. Кроме того, получены
достаточные условия, при которых операция сложения множеств по
Минковскому сохраняет отношение «выпукло сильнее» для множеств.
Приведены примеры, показывающие существенность условий этой теоремы.
Разработано исчисление констант сильной и слабой выпуклости для
множеств. Доказано, что если в гильбертовом пространстве множество X
замкнуто и слабо выпукло по Виалю с константой R, а множество Y сильно
выпукло с константой r (0<r<R) , то множество
X+Y замкнуто и слабо
выпукло по Виалю с константой R-r.
Доказано, что для «не очень невыпуклых» областей мера невыпуклости
простой многоугольной области на плоскости не уменьшается при операции
суммы Минковского, гарантируя таким образом отсутствие «дыр» в сумме
Минковского, и в этом случае сумма произвольного количества простых
многоугольников является простым многоугольником.
Получены новые положительные решения задачи расщепления для
селекций
в
равномерно
выпуклых
банаховых
пространствах
для
множественнозначных отображений с невыпуклыми значениями.
Введено понятие модуля невыпуклости множества. Показано, что
модуль невыпуклости является аналогом средней кривизны (для, вообще
говоря, негладких множеств), что делает его актуальным в приложениях.
Показано, что в банаховых пространствах с модулем выпуклости
второго порядка, слабо выпуклые множества с модулем невыпуклости
второго порядка являются проксимально гладкими (в смысле Ф. Кларка).
Результаты НИР внедряются в образовательный процесс в рамках НОЦ
«Фундаментальная
проводятся
в
и
тесном
прикладная
математика»
взаимодействии
с
МФТИ.
учебным
Исследования
процессом
при
непосредственном участии в качестве основных исполнителей студентов и
аспирантов МФТИ. Внедряются новые учебные программы и курсы,
разработанные в ходе выполнения проекта.
2