ПРОГРАММА Спецкурса «Стохастические модели теории запасов и страхования» Лектор профессор Е.В.Булинская

ПРОГРАММА
Спецкурса «Стохастические модели теории запасов и страхования»
Лектор профессор Е.В.Булинская
(3-5 курсы, аспиранты)
2014-2015г.г.
1. Общее описание моделей входа-выхода, возникающих в различных приложениях
теории вероятностей (теория запасов, страхование, финансы, теория массового
обслуживания, теория надежности, динамика развития популяции, медицина и др.)
2. Классификация моделей. Математические методы исследования процессов,
описывающих поведение изучаемых систем. Оптимизационные задачи.
3. История возникновения теории запасов и переход от детерминированных моделей
к стохастическим.
4. Динамическое программирование. Принцип оптимальности Беллмана. Задача
многошагового распределения ресурсов. Бесконечношаговый процесс.
Функциональное уравнение. Теорема существования и единственности решения.
5. Процессы с несколькими видами ресурсов. Теоремы о структуре решения для
многомерных задач.
6. Стохастический многошаговый процесс решения. Метод функциональных
уравнений. Приближение в пространстве поведений и монотонная сходимость.
Теоремы устойчивости.
7. Структура процессов динамического программирования. Дискретные и
непрерывные процессы (детерминированные и стохастические).
8. Уравнения первого, второго и третьего типа. Теоремы существования и
единственности. Последовательные приближения. Теорема устойчивости.
9. Уравнение оптимального управления запасами. Виды издержек, коэффициент
дисконтирования. Задержки при доставке. Конечный и бесконечный промежуток
времени. Пороговый характер оптимального поведения.
10. Системы сложной структуры. Производство, хранение, распределение. Цепи
снабжения и их оптимизация. Оптимальный выбор поставщиков.
11. Теория риска. Что такое риск. Виды риска (чистый, спекулятивный, физический,
моральный). Риск, подлежащий страхованию. Основные принципы организации
страхового дела. Методы перераспределения риска.
12. Упорядочивание рисков. Функции полезности. Частичный и полный порядок.
Основные свойства порядков. Классы функций, порождающие порядок.
13. Стохастический порядок и его свойства. Эквивалентные определения. Связь с
порядком с вероятностью 1.
14. Стоп-лосс порядок. Эквивалентные определения. Свойства инвариантности.
15. Порядок Лоренца. Его экономическая интерпретация. Операции, сохраняющие и
ослабляющие порядок. Взвешивание и смеси.
16. Порядки, связанные со смертностью. Порядок рассеивания и порядок эксцедента
богатства.
17. Чистая премия и страховая нагрузка. Тарифные принципы. Обобщенный принцип
среднего.
18. РН-преобразование. Принцип Ванга. Цена морального риска (теоретико-игровой
подход).
19. Удельный ущерб или убыточность. Основные характеристики. Порядок
доходности, порядок устойчивости дохода. Сравнение с тарифными принципами.
20. Индивидуальные и коллективные модели риска. Сравнение моделей.
21. Подсчет суммарного ущерба страховой компании. Использование производящих
функций моментов. Виды распределений (легкие, средние и тяжелые хвосты).
Формулы Панджера.
22. Модель Крамера-Лундберга. Вероятность разорения.
23. Функция Гербера-Шиу, позволяющая подсчитывать не только вероятность
разорения, но и величину, возникающего дефицита.
24. Модель Спарре-Андерсена.
25. Процессы восстановления простые и с запаздыванием. Элементарная теорема
восстановления. Распределение перескока и недоскока. Стационарные процессы
восстановления.
26. Основная (ключевая) теорема восстановления. Доказательство теоремы Блеквелла
с помощью метода каплинга.
27. Пуассоновский процесс как процесс восстановления с экспоненциальными
слагаемыми. Определение Хинчина пуассоновского процесса. Условное
распределение моментов появления событий на отрезке при условии, что число
этих событий фиксировано.
28. Пуассоновский процесс как цепь Маркова с непрерывным временем. Прямые и
обратные уравнения Колмогорова. Существование и единственность их решений.
29. Скрытые цепи Маркова и их применение. Использование методов динамического
программирования.
30. Стоимостной подход в страховании. Дивидендные стратегии. Подсчет
максимальных дисконтированных дивидендов до момента разорения.
31. Оптимальная дивидендная политика, учитывающая налоги и стоимость
транзакций.
32. Минимизация вероятности разорения с помощью перестрахования и инвестиций.
Уравнения Беллмана-Гамильтона-Якоби.
33. Модификация Диксона-Уотерса моделей функционирования страховой компании,
позволяющая избегать прекращения ее деятельности в результате разорения.
34. Многокомпонентные модели страховой деятельности, учитывающие выплату
дивидендов, перестрахование, инвестиции и займы.
35. Двумерная модель риска с независимыми требованиями, ее приближение с
помощью классической модели. Проблема устойчивости вероятности разорения к
малым возмущениям входящих процессов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Афанасьева Л.Г., Булинская Е.В. Случайные процессы в теории массового
обслуживания и управления запасами. Изд. МГУ, 1980.
2. Беллман Р. Динамическое программирование. Изд. ИЛ, Москва, 1960.
3. Булинская Е.В. Теория риска и перестрахование. Изд. Мейлер, Москва, 2009.
4. Asmussen S. Applied Probability and Queues. Springer, New York, 2003.
5. Bowers N., Gerber H., Hickman J., Jones D., Nesbitt C. Actuarial Mathematics. Society of
Actuaries, 1997. (Русский перевод: Бауерс и др. Актуарная математика, Янус-К, 2001)
6. Mikosh T. Non-life Insurance Mathematics. Springer, Berlin, 2006.
7. Schmidli H. Stochastic Control in Insurance. Springer, London, 2008.
8. Журнальные статьи.