Министерство образования Российской Федерации

Реклама
3.53.2
Министерство образования Российской Федерации
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Сборник задач к типовому расчету для студентов факультета
информационно-математических технологий и экономического
моделирования всех форм обучения всех специальностей
Екатеринбург
2004
УДК 519.2
Составитель С.М. Бородачев
Научный редактор Г.А. Тимофеева
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Сборник задач к типовому расчету / С.М. Бородачев. Екатеринбург: ГОУ УГТУ УПИ, 2004. 10 с.
Сборник задач по основам математической статистики содержит 20 задач.
Включает исходные данные для 25 вариантов.
Предназначен
для
студентов
информационно-математических
и
экономических специальностей.
Библиогр.: 5 назв.
Подготовлено кафедрой «Анализ систем и принятие решений»
© ГОУ ВПО «Уральский государственный
технический университет – УПИ», 2004
Указания
Исходные данные к задачам смотри на стр. 7, 8. В задачах 2-10, 12-15
считать, что выборки A и B значений случайных величин ξ1 и ξ2 сделаны из
генеральной совокупности с двумерным нормальным распределением.
Задача 1
По выборке A значений случайной величины ξ1 найти несмещенные оценки
математического ожидания Мξ1 и дисперсии Dξ1; оценки стандартного
отклонения σ и медианы.
Задача 2
По выборке A найти доверительные интервалы для математического
ожидания и дисперсии при доверительной вероятности γ.
Задача 3
Считая выборку A пробной, определить минимальный объем выборки для
нахождения доверительного интервала 2Δ среднего значения случайной величины
ξ1 при доверительной вероятности γ1, где:
⎧ 0.8
V≤5
5<V≤10
γ1 = ⎨ 0.9
⎪ 0.95 10<V≤15
⎩ 0.98 15<V≤25
⎧ V+1
V≤5
Δ = ⎨ V-2
5<V≤10
⎢V/2 10<V≤15
⎩ V/4 15<V≤25
V - номер варианта.
Задача 4
По выборке A при уровне значимости α проверить гипотезу Н0: Мξ1=a при
альтернативной гипотезе Н1: Мξ1*а. Каков уровень значимости данных?
Задача 5
По выборке A при уровне значимости α проверить гипотезу Н0: Dξ1=b при
альтернативной гипотезе Н1: Dξ1≠b.
3
Задача 6
По выборкам A и B найти доверительный интервал для разности средних
Мξ2-Мξ1 при доверительной вероятности γ, считая дисперсии равными.
Задача 7
По выборкам A и B при уровне значимости α1 проверить гипотезу Н0: Мξ2Мξ1=с при альтернативной гипотезе Н1: Мξ2-Мξ1≠с, считая дисперсии равными.
Каков уровень значимости данных?
Задача 8
По выборкам A и B при уровне значимости 0.5 проверить гипотезу Н0:
Мξ1=Мξ2 при альтернативной гипотезе Н1: Мξ1≠Мξ2, считая дисперсии равными.
Каков уровень значимости данных?
Задача 9
По выборкам A и B при уровне значимости α проверить гипотезу о
равенстве дисперсий Н0: σ12 = σ22 при альтернативной гипотезе Н1: σ22 > σ12.
Каков уровень значимости данных?
Задача 10
По выборкам A и B при уровне значимости α проверить гипотезу о
равенстве дисперсий Н0: σ12 = σ22 при альтернативной гипотезе Н1: σ12 ≠ σ22.
Каков уровень значимости данных?
Задача 11
В серии из n*100 выстрелов по мишени наблюдалось m*100 попаданий.
Найти приближенный доверительный интервал для вероятности p попадания в
мишень при доверительной вероятности γ.
4
Задача 12
Пусть выборка A - наблюденные значения случайной величины ξ1, а такое
же число первых элементов выборки B - соответствующие наблюденные значения
случайной величины ξ2. Найти точечную оценку коэффициента корреляции
Пирсона ρ величин ξ1 и ξ2. Каков уровень значимости данных против гипотезы
Н0: ρ=0 (в пользу гипотезы Н1: ρ ≠ 0)?
Задача 13
В условиях задачи 12 найти оценку линейной функции регрессии ξ2 на ξ1.
Построить ее график с 95% доверительными интервалами для предсказаний.
Найти точечное и интервальное предсказание величины ξ2 при значении ξ1
равном max{A}+3.
Задача 14
По выборке A, пользуясь оптимальным критерием Неймана - Пирсона
уровня α, проверить гипотезу Н0: Мξ1=а при альтернативной гипотезе Н1: Мξ1>а.
Какова мощность критерия при альтернативе Н1: Мξ1=а+Δ, где Δ - см. условие
задачи № 3? Считать стандартное отклонение равным √ s2 , где s2 - несмещенная
оценка дисперсии по выборке А.
Задача 15
В условиях задачи 14 найти размер выборки, при котором критерий уровня
α проверки гипотезы Н0 против альтернативы Н1 будет иметь мощность γ.
Задача 16
Для контроля было взято 200 узлов, собранных на ученическом конвейере.
При этом они распределились по числу пропущенных при сборке операций
следующим образом:
Число операций
Число узлов
0
22
1
71
2
45
3
32
5
4
16
5
8
6
4
7
2
Согласуется ли это по критерию χ2 при уровне значимости α с
распределением Пуассона с параметром d для случайного числа пропущенных
операций? Каков SL? Указание: последние 2 интервала следует объединить.
Задача 17
Используя предельное распределение Колмогорова, найти приближенно
уровень значимости выборки A против гипотезы Н0. Варианты 1-8, 14, 15, 17, 18,
20 : Н0 - равномерное распределение генеральной совокупности на отрезке от
минимального значения выборки до максимального. Варианты 9-13,16,19,21-25:
Н0 - экспоненциальное распределение с параметром, совпадающим с оценкой по
выборке.
Задача 18
Пользуясь критерием серий проверить гипотезу случайности кортежа: A +
(упорядоченная в порядке возрастания выборка B) (т.е. оценить уровень
значимости). Каков уровень значимости, рассчитанный по статистике для
большой выборки?
Задача 19
По ранговому критерию Уилкоксона, Манна и Уитни проверить на уровне
значимости 1-γ гипотезу однородности выборок A и B при двусторонней
альтернативе. Каков уровень значимости, рассчитанный по нормальной
аппроксимации статистики критерия?
Задача 20
В условиях задачи 12 найти оценку коэффициента ранговой корреляции
Спирмена. Аппроксимируя точное распределение распределением Стьюдента,
проверить на уровне значимости 1-γ гипотезу Н0: ρs(ξ1,ξ2)=0 против
односторонней альтернативы, на которую указывают данные. Каков достигаемый
уровень значимости?
6
Исходные данные
Для каждого варианта указаны выборки A и B, а также столбец значений: γ,
α, a, *, b, α1, c, n, m, d.
Вариант 1
A
B
40
51 0.95
38
44
0.1
37
47
35
52
24
≠
42
43
20
34 0.05
60
13
7
5
2
Вариант 2
A
B
41
34
0.9
47
38 0.025
46
41
49
41
41
<
47
50
100
49
59 0.002
45
12
23
8
6
1.82
Вариант 3
A
B
88
70
0.5
100
92 0.05
94
110
90
99
113
>
110
8
0.2
19
5
4
1.87
Вариант 4
A
B
-26
-30
-22
-20
-28
-21
-23
-18
-16
-12
-13
-18
-18
-19
-18
-10
Вариант 5
A
B
45
57 0.95
46
49 0.001
45
46
47
44
47
<
43
43
30
46
43 0.002
45
-9
35
8
7
1.74
Вариант 6
A
B
-14
-30
0.9
-17
-31
0.1
-23
-28
-27
-22
-17
>
-24
-22
150
-30
-19 0.05
-31
-34
5
-40
9
-9
5
1.91
Вариант 7
A
B
-16
-27
-17
-24
-14
-18
-8
-15
-20
-5
-7
-30
Вариант 8
A
B
58
47 0.95
57
49 0.001
60
59
63
58
57
<
65
200
41
0.1
2
6
4
1.77
Вариант 9
A
B
113
97
0.8
120
104
0.1
113
105
109
109
103
>
111
122
14
102
128 0.05
116
113
9
10
7
1.97
A
Вариант 10
B
49
57
0.8
51
58
0.1
46
50
54
49
51
≠
56
46
70
39 0.05
67
-6
7
5
1.92
0.5
0.1
-10
≠
9
0.2
4
7
4
1.99
Вариант 11
A
B
104
87
0.9
93
91 0.001
98
90
105
96
95
<
100
94
4
100
122
0.2
96
158
-4
130
8
7
1.8
7
A
0.8
0.1
-17
≠
90
0.1
-3
9
6
1.98
Вариант 12
B
35
38 0.95
65
33
0.1
50
37
37
46
65
>
78
61
66
0.1
31
20
7
4
2.1
Вариант 13
A
B
127
175
0.5
127
157 0.025
132
103
115
143
139
≠
121
122
19
97
0.2
18
6
5
1.82
Вариант 17
B
69
100 0.95
97
142 0.05
92
102
100
91
54
<
91
89
60
105
101
0.5
-4
11
6
1.86
A
Вариант 21
A
B
93
93 0.9
92
94 0.1
103
93
91
95
92
>
90
10
65 0.02
87
5
8
3
1.9
A
A
Вариант 14
B
48
31 0.95
61
38 0.01
60
44
63
61
52
<
63
66
10
65
65
0.2
53
76
7
81
8
4
1.83
A
Вариант 18
B
58
50
0.5
56
54 0.005
53
51
50
53
56
>
56
53
115
52
70 0.01
52
68
-8
10
7
1.73
Вариант 22
A
B
35
65 0.8
34
45 0.1
47
34
35
46
53
≠
68
19
70 0.01
70
-9
15
7
1.94
Вариант 15
B
61
66
0.8
65
49 0.01
66
79
60
71
71
>
64
73
120
64
83
0.1
-6
10
6
1.84
Вариант 19
A
B
203
200
0.5
214
233
0.1
190
169
180
195
194
≠
170 1000
0.2
9
11
4
1.88
Вариант 23
A
B
93
99 0.5
96
97 0.1
94
95
96
95
94
<
90
15
91 0.1
89
3
10
6
1.96
8
A
Вариант 16
B
70
83
0.9
79
77
0.1
77
76
82
71
66
≠
60
6
90 0.05
13
6
4
1.85
Вариант 20
A
B
141
155
128
138
134
149
140
130
126
120
139
137
Вариант 24
A
B
84
83 0.9
83
83 0.25
83
83 82.5
83
82
>
83
82
2
81
81 0.04
85
2
84
6
86
2
1.95
0.8
0.1
138
<
20
0.1
-5
5
6
1.89
Вариант 25
A
B
47
55 0.8
59
55 0.25
61
61
53
60
62
≠
67
20
75 0.2
64
0
9
7
2.2
Библиография
1. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы
эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. – 1022 с.
2. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Статистический анализ данных на компьютере.
М.: Инфра – М, 1998. – 528 с.
3. Справочник по прикладной статистике/ Ред. Э. Ллойд, У. Ледерман. М.:
Финансы и статистика, 1990. Т.1,2.
4. Сборник задач по математике для втузов.Специальные курсы/ Ред. А. В.
Ефимов. М.: Наука, 1984.
5. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М.:
Наука, 1983.
9
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ
Составитель Бородачёв Сергей Михайлович
Редактор издательства И.В. Меркурьева
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Подписано в печать
Формат 60*84 1/16
Бумага типографская
Плоская печать
Усл.печ.л.
Уч.-изд.л.
Тираж
Заказ
Цена "С"
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
Скачать