1 Задачи расчетов статической устойчивости режимов ЭЭС

1 Задачи расчетов статической устойчивости режимов ЭЭС.
Устойчивость ЭЭС рассм на основе методов общей теории устойчивости
движения, которая изучает влияние возмущающих факторов на движение любой
материальной системы. Под движением понимается изменение во времени любых
ее параметров: P U I f s δ.
Возмущающие факторы: 1) Малые возмущения
2) Большие возмущения
1) Малые возмущения. При них матмодель системы описывающие ПП в ЭС
можно упростить заменяя нелинейности линейными частями (линеаризация).
Это позволяет исп общие методы анализа устойчивости линейных систем
2) Большие возмущения. При них нельзя линеаризовывать. Поэтому проводятся
расчеты ПП для каждой конкретной аварийной ситуации т.е. исследуется
устойчивость ЭС при большом кол-ве начальных состояний-режимов и
возмущающих факторов.
К основным задачам расчетов устойчивости относятся:
1. Определение предельных режимов по апериодической статической
устойчивости - сползанию
2. Оценка колебательной статической устойчивости энергосистемы (по
самораскачиванию).
3. Выбор настроечных параметров САР (АРВ)
4. Исследование динамических свойств энергосистемы ( тех свойств, которые
появляются в эл. мех. п/п.).
5. Анализ динамической устойчивости при разл авариях и выбор
противоаварийных мероприятий
6. Настройка устройств противоаварийной автоматики
Для расчетов статической устойчивости используются не только алгебраические,
но и дифференциальные уравнения.
Задачей данного курса является рассмотрение моделей сложных энергосистем, а
затем применить соответствующий алгоритм решения задач статической
устойчивости. А также изучение методов расчета и анализ устойчивости ЭС на
основе результатов расчетов.
2 Классификация задач расчета статической устойчивости ЭЭС.
Статическая устойчивость- способность системы возвращаться в исходное состояние
при малых возмущениях.
70% нарушения устойчивости с-мы происходит как нарушение стат. уст-ти. Это
объясняется тем , что экономически целесообразные пути развития, а это введение
генерирующей мощности, рост номинального напряжения, рост протяженности
электропередачи, объединение систем на параллельную. Они ухудшают дин. Св-ва и
устойчивость.
Задачи исследования статической устойчивости делятся на две большие
группы,корве различаются целью исследования, мат. описанием и применяемыми
методами.
1. Группа: задачи исследования апериодической статической устойчивости.
При исследовании апер. стат. уст-ти предполагается, что все САР выбраны идеально
и обеспечивают отсутствие самораскачивания. При таком допущение динамические
свойства можно не учитывать.
Нарушение устойчивости может носить только апериодический характер. Можем не
учитывать динамич св-ва ЭС.
Основная причина сползания недостаточная пропускная способность сети.
Цель исследования – определение области апериод. устойчивых режимов. Мат.
описание энергосистемы определяется только стаическими характеристиками, то есть
мат. модель для расчета режимов. – алг уравнения метода баланса мощности.
Методы исследования сводятся к проверке необходимого условия устойчивости
(оценки знаков хар.уравнения)
Пути улучшения апериод. стат. уст-ти.
1. Увеличение пропускной способности сети.
Вводятся оперативные ограничения на перетоки мощности.
2 гуппа .Задачи исследования колебательной статической устойчивости.
Характер нарушения устойчивости колебание режимных параметров с возрастающей
амплитудой(самораскачивание).
Переход корней из левой полуплоскости в правую
б
Т
еt
( p1, 2 = α + jω ; ω =
2π
n
)
неуст
уст
Причина нарушения- неправильный выбор структуры или настроечных параметров
САР.
Для АРВ сильного действия выбраны следующие настройки
Kof
b
a
c
Ko'f
x
x
x
x
x
x
K^of
k 1f
xxx
k 1f
k 1f
kof и k1f (Система вышла на граница устойчивости) этот процесс можно
продвигать все дальше (см. «С» и начинается самораскачивание)
Цель исследования: Выбор структур и параметров систем автоматического
ркгулирования (АРВ…), которые обеспечивают требован. Условия сист.статической
устойчивости внутри области апериодической уст. режимов. Матем.модель
энергосистемы- линеаризованная матем.модель, которая вкл. Диф.ур. ПП (уравнения
движения ротора генератора и.т.д.) и алгебраическое уравнение, связанное с
параметрами режимов энергосети.
Методы исследования:
1) Частотные методы для определения областей колебат. Устойчивости ( метод Дразбиения, критерий Михайлова)
2) Метод модального анализа для определения динамических свойств системы по
собственным значениям и векторам матрицы состояния системы.
Пути улучшения: Выбор оптимальных структур и параметров системы
стабилизации автоматич. регулирования (САР).
3 Определение предельных режимов ЭС по условиям апериодической
статической устойчивости (критерий апериодической статической
устойчивости, понятие предельного режима).
Необходимым условием апериодической статической устойчивости являются
положительность свободного члена характеристического уравнения an > 0 при a0 >0.
Если это условия нарушается, т.е. an < 0 – это означает ,что по крайней мере один
действительный корень переходим из левой полуплоскостью в правую и становится
положительным, этом переход и приводит к нарушению устойчивости, т.е.
сползанию.
Режим, при котором an = 0 называется предельным ( пределом
апериодической устойчивости)
б
jw
бо
P
P
α
t
P=
α>0
ПРИМЕР:
UГ
З
Uсист
Xc
P
Po
a
b
P
=
P
m ax
P
=
m ax
s in δ
U гU
X c
∂P
− гран и ц а сущ ествую щ . реж и м
∂δ
(п р е д е л а п е р и о д и ч . ус т о й ч и в о с т и )
0 =
an ≅
∂P
=0
∂δ
Понятие предела существ. режима и предела апериодич.
статическ. уст-ти близки, но не идентичны и для сложных систем практика расчетов
не совпадают. В сложной энергосистемах может наблюдаться картина, когда
состоящая ЭС (при утяжелении) выходит на границу существующего режима, но при
этом м.б. далека от предела апериодической устойчивости. Это относится к случаю,
когда накладывается механическое ограничение на те или иные параметры энерго
системы: ограничение на реактивную мощность генераторов, на напряжение в узлах
нагрузки.
Критерий апериодической статической устойчивости базируется на определении
необходимых условиях устойчивости, т.е проверки статической устойчивости без
учета самораскачивания. Если ПП энергосистемы при малых возмущениях
описываются дифф.ур-ами n-ого порядка, то такая система будет иметь
характеристическое уравнение n-ого порядка.
1. D(0) = ao pn + a1 pn−1 + a2 pn−2 + ....... + an-1 p + an = 0
Другая форма записи:
2. D(0) = ao ( p − p1)( p − p2 ).......( p − pn−1)( p − pn ) = 0
n − корней ; pi − корни характеристического уравнения должны иметь
отрицательные вещ.части
Необходимо найти аналитическое выражение для свободного члена
характеристического уравнения an>0. Предполагаем что p=0 в (1) и (2), тогда
1 . D (0 ) = a
n
2 . D ( 0 ) = a o ( − p 1 ) ( − p 2 ) ( − p 3 ) . . . . . . . ( − p n −1 ) ( − p n )
Приравняв правые части получим:
n
an
= ∏ ( − pi )
a0
i =1
Докажем, что an>0 . Считаем , что a0>0.
a
= ( − 1 ) n a o p 1 p 2 p 3 .... p m p m + 1 ... p n − 1 p n
n
m − число действител
ьных корней
n - m - число компл.сопр
яж. корне
n - m четно
a
n
⇒ ( − 1) n = ( − 1) m ⇒
= ( − 1 ) m a o p 1 p 2 p 3 .... p m p m + 1 ... p n − 1 p n
Произведение двух компл-сопряж корней положительно при любых α и ω.
( α + j ω )( α − j ω ) = α
При
p i = − α i , где α
Все . корни
. лежат
i
2
+ ω
2
⇒ ( p m p m + 1 ... p n − 1 p n ) > 0
> 0 , ( корни
. в . левой
p 1 p 2 .... p m = ( − 1 ) 2 m α 1α 2 .... α
a n = ( − 1 ) 2 m a 0 α 1α 2 .... α
m
действител
. полуплоско
m
n
)
сти .
, a n при этом
( p m + 1 .....p
ьные
> 0
) > 0
Если такой один действительный корень перейдет из левой полуплоскости в правую,
то аn, cтанет > 0.
4 Коэффициент запаса устойчивости ЭЭС.
Энергосистема не может работать на предельной режиме =>система должна обладать
запасом устойчивости: Кзр=20% -норм. режим; Кзр=8% -п/авар. режим.
Для оценки запаса устойчивости необходимо знать предельные режимы. Для
определения предельного по апериодической устойчивости режима строго
математически необходимо выполнять следующие этапы расчета:
1) Определение парметров установившегося режима.
2) Вычислить свободный член характеристического уравнения an.Для этого
записывают диф. уравнения полной системы=> линеаризованные в
окрестности устан. режима=> сформировать характ. определит=> an=D(0),
p=0
an>0 ( система устойчива)
an<0 ( система неустойчива)
K3 =
Pпр − ( P + ΔPнк )
Pпр
здесь Рпр – предельный по апериод статич устойчивости переток акт мощности в
рассматриваемом сечении, Р – переток мощности в этом сечении.
Pм = 0,8 * Pпр − ΔPнк
5 Метод Ньютона и структура Якобиана.
Метод Ньютона Задача состоит в том чтобы в общем виде определить структуру
Якобиана структуру свободного члена характеристического уравнения и найти
условия при которых эти структуры будут совпадать. Если это условия выполняются,
то оценку an устойчивости проводят по знаку Якобиана, а не по знаку свободного
члена
Метод Ньютона для расчета характеристического уравнения и оценки
апериодич. Устойчивости.
W(x) =0 вид баланса мощностей
W – вектор функции небалансов.
W = (P НБ ; Q НБ )
X = ( δ , U ) в полярных
системах
координат
X = ( И ′ , И ′′ ) в прямоуголь
ных системах
координат
Относительно Xo, W(x) раскладывается в ряд Тейлора.
W (x ) = W (x o ) +
∂W
∂X
X =X
0
∂ 2W
* ΔX +
* ΔX
∂X 2
0
2
+ ... = 0
∂W
X = X 0 * Δ X = −W ( x0 ) − с и с т е м а л и н е й н ы х а л ге б р а и ч е с к и х
∂X
у р а в н е й н а К -о й и т е р а ц и и
∂W
* Δ X ( К ) = − W ( x ( К −1) )
X = X ( К −1 )
∂X
X ( К ) = x ( К −1) + Δ X ( К )
∂W
− м а т р и ц а Я к о б и (м а т р и ц а ч ас т н ы х п р о и зв о д н ы х
∂X
векторов неб аланса м ощ ности )
J = d e t(
∂W
∂W
) =
− ( Я кобиан - определитель м атрицы Я коб и )
∂X
∂X
Структура Якобиана
–для сложн. ЭС, кот. состоит из n-независим. узлов + 1 БУ, из них L узлов генераторные и k-генераторн. опорные.
1) k-узлов, (1-k)-генераторн. опорные; P,U=const, δ,Q=var
Формирование м-цы Якоби
⎛ ∂P1
⎜ ∂δ
⎜ 1
∂W ⎜ ...
=⎜
∂X ⎜ ....
⎜ ∂Pk
⎜⎜
⎝ ∂δ 1
∂P1
∂P1
...
∂δ 2
∂δ n
....
....
...
....
∂Pk
...
∂δ 2
∂Pk
∂δ n
∂P1
∂P1 ⎞
....
∂U k +1
∂U n ⎟
⎟
⎟
....
⎟
....
⎟
∂Pk
∂Pk ⎟
.....
⎟
∂U k +1
∂U n ⎟⎠
(k) x (2n-k)
j = k+1....n
i = 1........k
Ui = const
2) (L-k) узлов –генераторн. неопорные; P, Q =const; U, δ=var
i = k+1.....L
⎛ ∂Pk +1 ∂Pk +1
⎛ ∂Pk +1 ∂PН k +1 (U k +1 ) ⎞
∂Pk +1
∂Pk +1 ⎞
....
+
....
⎜
⎟
⎜
⎟
U
U
U
δ
δ
δ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
2
n
k
+
1
k
+
1
n
⎝
⎠
⎜
⎟
⎜ ∂P
⎟
∂PL
∂PL
∂PL
∂P
L
............................ L ⎟
⎜
∂δ 2
∂δ n
∂U k +1
∂U n ⎟
∂W ⎜ ∂δ 1
=⎜
⎟
∂X
⎜ ∂Qk +1 ∂Qk +1 .... ∂Qk +1 ⎛⎜ ∂Qk +1 + ∂QН k +1 (U k +1 ) ⎞⎟ .... ∂Qk +1 ⎟
⎜ ∂δ 1
∂δ 2
∂δ n ⎝ ∂U k +1
∂U k +1
∂U n ⎟
⎠
⎜
⎟
Q
Q
Q
Q
Q
∂
∂
∂
∂
∂
⎜
L
L
L
L
............................ L ⎟⎟
⎜ ∂δ
∂δ 2
∂δ n
∂U k +1
∂U n ⎠
1
⎝
2(L-k) x (2n-k)
PНБ i = PН i (U i ) + ∑ Pij − PГ i
j
-баланс мощности в узле
3) (n-L) узлов – негенераторные сетевые (+ нагрузочные); PН, QН = f(U)
i = L+1.....n
⎛ ∂PL +1
⎜
⎜ ∂δ 1
⎜
⎜ ∂Pn
∂W ⎜ ∂δ 1
=⎜
∂X ⎜ ∂QL +1
⎜ ∂δ
1
⎜
⎜ ∂Q
L
⎜⎜
⎝ ∂δ 1
2(n-L) x (2n-k)
∂PL +1
....
∂δ 2
∂PL +1
∂δ n
∂Pn
∂δ 2
∂Pn
∂δ n
∂QL +1
....
∂δ 2
∂QL +1
∂δ n
∂QL
∂δ 2
∂QL
∂δ n
∂PН L +1 (U L +1 ) ⎞
⎛ ∂P
∂PL +1
∂Pk +1 ⎞
..... ⎜ L +1 +
....
⎟
⎟
∂U k +1 ⎝ ∂U L +1
∂U L +1
∂U n ⎟
⎠
⎛ ∂Pn ∂PН n (U n ) ⎞ ⎟⎟
∂Pn
∂Pn
...
...... ⎜
+
⎟.
∂U k +1 ∂U L +1
∂U n ⎠ ⎟
⎝ ∂U n
⎟
⎛ ∂QL +1 ∂QН L +1 (U L +1 ) ⎞
∂Qk +1 ⎟
∂QL +1
+
..... ⎜
⎟ ....
∂U L +1
∂U n ⎟
∂U k +1 ⎝ ∂U L +1
⎠
⎟
⎛ ∂Qn ∂QН n (U n ) ⎞ ⎟
∂Qn
∂Qn
+
...
...... ⎜
⎟ ⎟
∂U k +1 ∂U L +1
∂
∂U n ⎠ ⎠⎟
U
n
⎝
Общая структура J в свернутом виде:
⎛ ∂W ⎞
J = det ⎜
⎟
⎝ ∂X ⎠
ГО - генераторн. опорн. узел
ГН – генераторн. неопорн. узел
Н – нагрузочн. Узел
∂PГО
∂δ
∂PГО
∂U
∂PГН
∂δ
∂PГН
∂U
∂QГН
J=
∂δ
∂QГН
∂U
∂PН
∂δ
∂PН
∂U
∂QН
∂δ
∂QН
∂U
(2n-k) x (2n-k)
6 Структура свободного члена ХУ.
Система имеет n- независим. узлов ( + ШБМ)
k- узлы генераторные ,соответствующие опорным (с АРВСД)
(n-k) – нагрузочные узлы
D ( p ) = a0 ⋅ p n + a1 ⋅ p n −1 + ... + an ⋅ p + an
p=0
an = D ( 0 )
Чтобы получить стр-ру свободного члена, необходимо в характ. определителе
D ( p) → p = 0
Структура свободного члена характеристического уравнения:
∂P1
∂P
... 1
∂δ1
∂δ n
|
∂P1
∂P
... 1
∂U K +1 ∂U n
∂Pk
∂Pk
...
∂δ1
∂δ n
|
∂Pk
∂P
... k
∂U K +1 ∂U n
−−−−−−−−− +
an = D ( 0 ) =
∂Pk +1
∂P
... k +1
∂δ1
∂δ n
|
∂Pn
∂Pn
...
∂δ1
∂δ n
|
−−−−−−−−− +
∂Qk +1
∂Qk +1
...
∂δ1
∂δ n
∂Qn
∂Qn
...
∂δ1
∂δ n
n
|
|
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
⎡ ∂P
∂PH _ k +1 (U H _ k )
∂P ⎤
... k +1 ⎥
⎢ k +1 +
∂U k +1
∂U n ⎥
⎢⎣ ∂U K +1
⎦
⎡ ∂P ∂PH _ n (U H _ n ) ⎤
∂Pn
... ⎢ n +
⎥
∂U n
∂U K +1
⎢⎣ ∂U n
⎥⎦
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
∂P Г
∂P Г
|
∂δ
∂U
−−− + −−−
∂P H
∂P H
an =
|
∂δ
∂U
−−− + −−−
∂Q H
∂δ
|
∂Q H
∂U
(n − k )
⎡ ∂Q
∂QH _ k +1 (U H _ k )
∂Qk +1 ⎤
...
⎢ k +1 +
⎥
∂U k +1
∂U n ⎥
⎢⎣ ∂U K +1
⎦
⎡ ∂Q ∂QH _ n (U H _ n ) ⎤ ( n − k )
∂Qn
... ⎢ n +
⎥
∂U K +1
∂U n
⎢⎣ ∂U n
⎥⎦
n −k
an = D ( 0 ) = ( 2n − k ) ⋅ ( 2n − k )
Или в сокращенном виде:
(k )
7 Условия совпадения Якобиана и своб. Члена характеристического уравнения.
∂PГО
∂PГО
∂P Г
∂P Г
|
∂δ
∂U
∂δ
∂U
J=
∂PГН
∂δ
∂PГН
∂U
∂QГН
∂δ
∂QГН
∂U
∂PН
∂δ
∂PН
∂U
∂QН
∂δ
∂QН
∂U
−−− + −−−
∂P H
∂P H
an =
|
∂δ
∂U
−−− + −−−
∂Q H
∂δ
|
∂Q H
∂U
(2n-k) x (2n-k)
• Для оценки аппериодич. статической устойчивости по Якобиану
(определителю матрицы Якоби) необходимо выполнение следующих условий:
1. l = k
При расчете уст. режима все генераторные узлы должны задаваться как опорные,
т.е. P, U=const
, тогда l − k = 0 и средней части Якобиана нет.
Предполагается, что во всех генераторных узлах установлены АРВ СД с
высоким значением K 0v
2. ШБМ → бал. узел.
Шины бесконечной мощности при расчете УР (уст. режима) необходимо
задавать как балансир. узлы, совмещенные с базисными.
3. PHi (U i ) ; QHi (U i )
статические характеристики нагрузки при расчете УР д.б. такие же, как и при
расчете an
! Если все 3 условия совпадают, то оценку аппер. устойчивости можно осуществить
по знаку Якобиана на стадии расчета УР.
⎛ ∂W ⎞
J = det ⎜
⎟ > 0 - система аппер. устойчива
⎝ ∂x ⎠
⎛ ∂W ⎞
J = det ⎜
⎟ < 0 - система аппер. неустойчива
⎝ ∂x ⎠
⎛ ∂W ⎞
J = det ⎜
⎟ = 0 - система находится на границе и последний расчетный режим
∂
x
⎝
⎠
будет считаться определяющим.
8 Алгоритм расчета предельного по апериодической устойчивости режима.
Для расчета пред. по апер. устойчивости режима исп. метод половинного деления
(бисекция), начиная с исходного заведомо устойчивого режима J > 0
С постоянным шагом рассчитывается УР до тех пор, пока Якобиан не станет
отрицательным и итерационный процесс не разойдется.
J k < 0 → далее происходит метод половинного разбиения, т.е. деление пополам
прибавление к предыдущему УР. Из 2-х половинок выбирается та, у которой по
концам имеется разные знаки. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока
шаг не станет равным итерационной погрешности
9 Особенности проведения расчетов предельных по апериодической
устойчивости режимов для реальных схем ЭС.
Необходимо учитывать ограничения накладываемые техническими требованиями на
режимные параметры – безопасность оборудования и условия устойчивости нагрузки
1) Ограничение на ±Qг (мин и макс)
2) U в крупных узлах нагрузки
Учет ограничений в модели может приводить к тому что в процессе утяжеления
режима может изменяться стр-ра якобиана. Например при выходе на верхн предел по
реакт мощности генераторный опорный узел станет неопорным. Здесь нужно
уравнение небаланса и доп столбец в якобиане и уже структуры не совпадают.
10 Алгоритм вычисления Якобиана.
При расчете УР на каждой итерации методом Ньютона решается система линейных
алгебраических уравнений методом Гаусса.
∂W
∂x
Х
( k −1)
Δx ( k ) = −W ( x ( k −1) )
При прямом ходе м. Гаусса матрица Якоби LH – факторизуется, т.е. матрица
разлагается в произведение 2-х треугольных матриц, которые располагаются в тех же
ячейках:
l11 l12
l
l
∂W
= LH ⇒ 21 22
l31 l32
∂x
ln1 ln1
...
...
...
...
l1n
l2 n
l3n
lnn
hii = 1; i = 1,...n
⎛ ∂W
J = det ⎜
⎝ ∂x
n
n
⎞
⎟ = det ( LH ) = det L ⋅ det H = ∏ lii ⋅ ∏ hii
⎠
i =1
i =1
1
n
П – произведение после прямого хода.
∂P Г
∂P Г
|
∂δ
∂U
−−− + −−−
∂P H
∂P H
an =
|
∂δ
∂U
−−− + −−−
∂Q H
∂δ
|
∂Q H
∂U
J = ∏ lii
i =1
11 Критерий апериодической статической устойчивости с учетом изменения
частоты системы.
В современных программах расчета статич. устойчивости с утяжелением,
расчет режима ведется без учета ШБМ, т.к. все реальные станции имеют конечную
мощность. При расчете режима это соответствует отказу от БУ.
Каждому УР будет соответствовать своя частота без БУ (баланс. узла) Оно
устанавл. при малых возмущениях в соответствии с моментно-скоростными
характеристиками турбины и частотными хар-ками нагрузки.
Надо ввести дополнительную независимую переменную – частоту ω в вектор
переменных, а также ввести уравнение БУ, т.к. генераторный узел
⎛δ ⎞
х=⎜ ⎟
⎝U ⎠
Это приведет окаймленному виду Якобиана, окаймленным 1-м столбцом и одной
строкой:
Δδ
ΔU
∂P
∂P
∂δ
∂U
∂Q
∂Q
J = ∂δ
∂U
−−−− −−−
∂PБ .У .
∂PБ .У .
∂δ
∂U
дополн.
sign ( J ) = idem
|
Δω
∂P
∂ω
∂Q
|
∂ω
+ −−−−
∂PБ .У .
|
∂ω
дополн.
|
(Знак Якобиана неизменен)
12 Расчёты статической устойчивости ЭС с учётом самораскачивания
При определение предела по апериодической уст-ти режима предполагается, что все
сист-мы АРВ оптимально настроены и обеспечивают отсутствие самораскачивания
по всей области существования режима.
В реальной энергосистеме предел колеб. уст.
может быть меньше предела по
апериодической уст-ти.
Причинами нарушения колебательной уст. явл.
неправильные настройки системы
регулирования (АРВ) и в 1-ую очередь по
каналу сист. регулир., если он существует.
Цель расчётов – определение настроек, которые
будут обеспечивать требуемое условие колебат.
уст-ти.
Эта задача решается комплексно и для её
решения используют следущие методы:
1) модальный анализ
2) частотный
3) численные методы оптимизации настроек систем регулирования (САР)
Наиболее широко применяется частотные методы (D-разбиение, проверка по
статической устойчивости по критерию Михайлова)
Частотные методы для формирования математической модели сложной ЭЭС для расчёта
статической устойчивости.
Рассмотрим сложную энергоситему из n узлов, из которых первые k являются
генераторными.
Допущения:
1) не учитыв. изм. частоты в системе ( не учитыв. частотные хар-ки нагрузки и
моментно-скоростные хар-ки турбины) PТ=const
PН(U),QН(U) – представление нагрузки статич. хар-ками.
2) Пренебрегаем демпферными контурами генератора (демпфирование
обеспечивается АРВСД)
Сеть описывается ур-ями в форме баланса мощностей
13 Формирование математической модели ЭЭС для расчета статической
устойчивости с учетом самораскачивания частотными методами (модель СМ).
Рассмотрим сложную энергосистему, состоящую из n узлов, k из которых –
генераторные.
Допущения:
1) Не учитываем изменение частоты в системе (не учитываем моментноскоростные характеристики турбины). PT = const . Pн (U ), Qн (U ) представление нагрузки статическими характеристиками.
2) Пренебрегаем демпферными контурами генератора (демпфирование
обеспечивает АРВ СД).
3) Сеть описывается узловыми уравнениями в форме баланса мощности.
Получим из нелинейной модели линейную.
Модель синхронной машины.
Описывается двумя уравнениями: уравнение движения ротора и уравнение ПП в
обмотке возбуждения.
⎫
⎪
⎬ i = 1, k
'
Td 0 i ⋅ p ⋅ ΔEqi + ΔEqi = ΔEqei ⎪⎭
Закон регулирования АРВ в общем виде: ΔEqei = ∑ Wα i ( p ) ΔПα i .
TJi
⋅ p 2 ⋅ Δδ i + ΔPi = 0
wном
Каналы регулирования АРВ: ΔU Г , Δf , I f .
Схема замещения модели СМ:
α
ВД:
В качестве независимых переменных выбираем внутренние ( EQi ,
(U i ,
νi )
δ i ) и внешние
Независимые переменные. В результате линеаризации системы уравнений получаем:
∂Pi
∂Pi
∂Pi
∂Pi
⎧
Δ
P
=
⋅
Δ
E
+
⋅
Δ
+
Δ
U
+
Δν i
δ
i
Qi
i
i
⎪
∂EQi
∂δ i
∂U i
∂ν i
⎪
⎪
∂E qi'
∂E qi'
'
⎪ ΔE =
⋅ ΔEQi +
⋅ Δδ i ........
∂δ i
⎪⎪ qi ∂EQi
⎨
∂E qi
⎪
E
Δ
=
⎪ qi ∂E ⋅ ΔEQi + .......
Qi
⎪
⎪
∂Пα i
⋅ ΔEQi + ........
⎪ ΔПα i =
∂EQi
⎪⎩
Из векторной диаграммы СМ получаем:
EQ ⋅ U
P( EQ , δ ,U ,ν ) =
sin(δ − ν )
xq
xq − xd'
xd'
E ( EQ , δ ,U ,ν ) = EQ ⋅ + U ⋅
cos(δ − ν )
xq
xq
'
q
xd' − xq
xd
Eq ( EQ , δ ,U ,ν ) = EQ ⋅ − U ⋅
cos(δ − ν ) . Подставим полученные выражения в
xq
xq
систему.
⎛ TJi 2 ∂Pi ⎞
∂Pi
∂P
∂P
p +
ΔEQi + i Δν i + i ΔU i = 0
⎜
⎟ Δδ i +
∂δ i ⎠
∂EQi
∂ν i
∂U i
⎝ wном
⎛
⎛
∂Eqi'
∂Eqi
∂Eqi'
∂Eqi
∂Пα i ⎞
∂П ⎞
+
− ∑Wα i ( p)
+
− ∑Wα i ( p) α i ⎟ ⋅ ΔEQi +
⎜⎜ Td 0i ⋅ p ⋅
⎟⎟ ⋅ Δδ i + ⎜⎜ Td 0i ⋅ p ⋅
∂δ i
∂δ i
∂δ i ⎠
∂EQi ∂EQi α
∂EQi ⎟⎠
α
⎝
⎝
⎛
⎛
∂Eqi' ∂Eqi
∂Eqi'
∂Eqi
∂Пα i ⎞
∂П ⎞
+ ⎜ Td 0i ⋅ p ⋅
+
− ∑Wα i ( p )
⋅ Δν i + ⎜ Td 0i ⋅ p ⋅
+
− ∑Wα i ( p ) α i ⎟ ⋅ ΔU i = 0
⎟
⎜
⎜
∂ν i
∂ν i
∂ν i ⎟⎠
∂U i ∂U i
∂U i ⎟⎠
α
α
⎝
⎝
i = 1, k
⎛ Δδ i ⎞
⎛ Δν i ⎞
A
(
p
)
⋅
В матричном виде: i
⎜
⎟ + Bi ( p ) ⋅ ⎜
⎟ = 0.
E
Δ
U
Δ
i ⎠
⎝
⎝ Qi ⎠
⎛ Δδ i ⎞
Размерность: A( p ) → 2k × 2 k , B ( p ) → 2k × 2 k , ⎜
⎟ → 2k × 1 ,
E
Δ
Qi
⎝
⎠
⎛ Δν i ⎞
⎜
⎟ → 2k × 1 .
U
Δ
i ⎠
⎝
14 Формирование математической модели ЭЭС для расчета статической
устойчивости с учетом самораскачивания частотными методами
(дополнительные уравнения балансной мощности в ген. узлах).
Для i-го узла:
⎧ PНi + ∑ Pij − PГi = 0
⎪
j
⎨
⎪QНi + ∑ Qij − QГi = 0
j
⎩
Pij , Qij - перетоки, кот. связаны с этим i-м узлом.
EQi ⋅U i
⎧
⋅ sin(δ i −ν i )
⎪ PГi =
X
qi
⎪
⎨
2
⎪Q = EQi ⋅ U i ⋅ cos(δ −ν ) − U i
i
i
⎪ Гi
X qi
X qi
⎩
i = 1...k
Система в малых отклонениях:
⎧ΔPНi + ∑ ΔPij − ΔPГi = 0
⎪
j
⎨
⎪ΔQНi + ∑ ΔQij − ΔQГi = 0
j
⎩
Независимые переменные: внутренние - δ i , EQi , внешние -
ν i , U i − i = 1...k
ν i , U i − i = k + 1,...n
В линеаризованном виде:
⎛ ∂Pij
∂Pнi (U i )
ΔU i + ⎜ ∑
⎜ j ∂ν i
∂U i
⎝ j ≠i
⎞
⎛ ∂Pij ⎞
⎟⎟ Δν i + ⎜ ∑
⎟ ΔU i +
⎝ j ∂U i ⎠
⎠
∂Pij
∂Pij
∂P
∂P
∂P
∂P
+∑
Δν j + ∑
ΔU j − Гi ΔEQi − Гi Δδ i − Гi ΔU i − Гi Δν i = 0
∂EQi
∂δ i
∂U i
∂ν i
j j ≠i ∂ν j
j ∂U j
⎛ ∂Qij
∂Qнi (U i )
ΔU i + ⎜ ∑
⎜
∂U i
⎝ j j≠i ∂ν i
⎞
⎛ ∂Qij ⎞
⎟⎟ Δν i + ⎜ ∑
⎟ ΔU i +
⎝ j ∂U i ⎠
⎠
∂Qij
∂Qij
∂Q
∂Q
∂Q
∂Q
+∑
Δν j + ∑
ΔU j − Гi ΔEQi − Гi Δδ i − Гi ΔU i − Гi Δν i = 0
∂EQi
∂δ i
∂U i
∂ν i
j j ≠i ∂ν j
j ∂U j
В более компактром виде:
⎛
⎞
⎜ Δν 1 ⎟
⎜ ΔU1 ⎟
⎜
⎟
⎛ Δδ i ⎞
(1) .
(2)
Сi ⎜
⎟ + di
⎟ + di ⎜ .
⎜.
⎟
⎝ ΔEQi ⎠
⎜ Δν k ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ ΔU k ⎠
⎛
⎞
⎜ Δν k +1 ⎟
⎜ ΔU k +1 ⎟
⎜.
⎟
⎜.
⎟ = 0, i = 1,..., k
.
⎜
⎟
⎜ Δν n ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ ΔU n ⎠
15 Уравнения баланса мощности для негенераторных сетевых узлов.
PНМ + ∑ Pmj = 0
QНМ + ∑ Qmj = 0
m = k + 1,..., n
⎧ ν k +1 ⎫
⎧
⎪ U ⎪
⎪
k +1 ⎪
(3) ⎪
(4) ⎪
D ⎨
⎬+ D ⎨
ν
⎪ n ⎪
⎪
⎪⎩ U n ⎪⎭
⎪⎩
m = k + 1,....., n
ν k +1 ⎫
U k +1 ⎪⎪
⎬=0
νn ⎪
U n ⎪⎭
2(n+k) – неизвестных
2(n+k) – число уравнений
Вводим
⎧
xj = ⎨
⎩
⎧
yj = ⎨
⎩
δi ⎫
⎬;
EQi ⎭
νi ⎫
⎬;
Ui ⎭
16 Развернутая блочно-матричная форма математической модели ЭЭС для
расчета статической устойчивости с учетом самораскачивания частотными
методами.
(I )
( II )
( III )
⎫
⎛ Δδ i ⎞
⎛ Δν ⎞
+ Bi ( p ) ⎜ i ⎟ = 0
Ai ( p ) ⎜
⎪
⎟
⎝ ΔU i ⎠
⎝ ΔEQi ⎠
⎪
⎪
⎛ Δν 1 ⎞
⎛ Δν k +1 ⎞
⎪
⎪
⎜ ΔU ⎟
⎜ ΔU ⎟
⎬i = 1 … k
1 ⎟
k +1 ⎟
⎜
⎜
⎛ Δδ i ⎞
(1)
⎟ + Di(2) ⎜
⎟ = 0⎪
Ci ⎜
⎟ + Di ⎜
⎪
Δ
E
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ Qi ⎠
⎪
Δ
ν
Δ
ν
k
n
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪
⎜ ΔU ⎟
⎜ ΔU ⎟
⎪⎭
k ⎠
n ⎠
⎝
⎝
⎛ Δν 1 ⎞
⎛ Δν k +1 ⎞
⎜ ΔU ⎟
⎜ ΔU ⎟
k +1 ⎟
1 ⎟
⎜
⎜
(3)
(4)
⎟ + Di ⎜
⎟=0
Di ⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ Δν k ⎟
⎜ Δν n ⎟
⎜ ΔU ⎟
⎜ ΔU ⎟
n ⎠
k ⎠
⎝
⎝
⎫
⎪
⎪⎪
⎬ i = (k + 1) … n
⎪
⎪
⎭⎪
Для сокращения записи:
⎧ Δδ i ⎫
Δxi = ⎨
⎬
⎩ΔEQi ⎭
⎧ Δν ⎫
Δyi = ⎨ i ⎬
⎩ΔU i ⎭
⎫
⎪
⎪
⎬i = 1 … k
⎪
⎪
⎭
⎧ Δν j ⎫ ⎪⎫
Δy j = ⎨
⎬ ⎬ j = (k + 1) … n
⎩ΔU j ⎭ ⎭⎪
Δx1 , Δx2 .............Δxk ; Δy1 , Δy2 .............Δyk ;
⎛
⎜
⎜
2k
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
2k
⎜
⎜
⎜
⎜
2(n − k ) ⎜
⎜
⎜
⎝
A1 ( p )
0
0
0
C1
0
0
0
0
0
B1 ( p )
0
0
Ak ( p )
0
0
0
Δyk +1 ...Δyn ;
0
0
0
0
Bk ( p )
D1(1)
D1(2)
Dk(1)
Dk(2)
0
0
Ck
Dk(3)+1
Dk(4)+1
0
Dn(3)
2k
2k
Dn(4)
2(n − k )
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟×⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝
⎠
Δx1 ⎞
⎟
⎟
Δxk ⎟
⎟
Δy1 ⎟
⎟
⎟=0
Δyk ⎟
⎟
Δyk +1 ⎟
⎟
⎟
Δyn ⎟⎠
Сворачиваем в еще более компактную запись:
A( p) = diag { Ai ( p )} ⎫
⎪
B( p) = diag { Bi ( p )} ⎬ i = 1 … k
⎪
C ( p ) = diag {Ci ( p )}⎭
⎛ D1(1) ⎞
⎜
⎟
D (1) = ⎜
⎟;
⎜ Dk(1) ⎟
⎝
⎠
D (3)
⎛ Dk(3)+1 ⎞
⎜
⎟
=⎜
⎟;
(3)
⎜ Dn ⎟
⎝
⎠
⎛ Δx1 ⎞
⎟;
Δx = ⎜⎜
⎟
⎜ Δx ⎟
⎝ k⎠
D (2)
⎛ D1(2) ⎞
⎜
⎟
=⎜
⎟;
⎜ Dk(2) ⎟
⎝
⎠
D (4)
⎛ Dk(4)
⎞
+1
⎜
⎟
=⎜
⎟;
(4)
⎜ Dn ⎟
⎝
⎠
⎛ Δy1 ⎞
⎟;
Δyг = ⎜⎜
⎟
⎜ Δy ⎟
⎝ k⎠
Компактная запись:
0 ⎞ ⎛ Δx ⎞
⎛ A( p ) B( p )
⎜ C
(1)
D
D (2) ⎟⎟ × ⎜⎜ Δyг ⎟⎟ = 0
⎜
⎜ 0
D (3) D (4) ⎟⎠ ⎜⎝ Δyc ⎟⎠
⎝
⎛ Δyk +1 ⎞
⎜
⎟;
Δyc = ⎜
⎟
⎜ Δy ⎟
⎝ n ⎠
17 Расчёт областей статической устойчивости методом D-разбиения для выбора
настроечных параметров САР
Область стат. устойчивости ЭЭС – это область, ограниченная кривой D-разбиения,
которая строится в координатах настроечных коэффициентов САР, наиболее часто
для АРВСД. Область устойчивости объединяет совокупность настроек, которая
обеспечивает статическую устойчивость ЭЭС.
под настройкой АРВСД обычно понимается пара настроечных коэфф-тов К1, К2 по
каналу сист. стабилизации, в частности, по каналу отклонения 1-й произв. частоты.
Коэфф-ты хар. ур-ния явл. непр. функцией настр. параметров генератора. Хаар. урние с коэфф-тами К1, К2 в общем виде:
D ( P ) = D0 ( P ) + K1 D1 ( P ) + K 2 D2 ( P ) = 0 → хар. ур. D ( P ) = 0
Кривая Д-разбиения называется границей области устойчивости, кот. отражает
мнимую ось в плоскости (α , jω ) на пл-ть. настроечных параметров (К1, К2)
Кривая Д-разбиения разбивает пл-ть. настроечных параметров на несколько зон, т.н.
претендентов на область уст-ти. Зоны отл. разл. кол-вом корней в правой полупл-ти.
Пусть в зоне I – m корней в правой полупл-ти. При переходе во I I зону корней
становится m+2. Когда идём по кривой от -∞ до 0, то штрихуем слева от кривой; от 0
до ∞ - справа. Штриховка всегда показывает направление левой полуплоскости.
Условие m=0 соотв. области уст-ти.
Формируем мат. модель:
⎛
⎞
⎜ A( P ) B ( P )
0 ⎟ ⎛ ΔX ⎞
⎜
⎟
D (1) D (2) ⎟ ⋅ ⎜⎜ ΔYГ ⎟⎟ = 0 → D ( P ) det{S ( P )} × 0 D ( P ) = 0 − хар. ур.
⎜ C
⎜ 0
D (3) D (4) ⎟ ⎜⎝ ΔYс ⎟⎠
⎜
⎟
S (P)
⎝
⎠
Для расчёта границ хар-кий определитель при подстановке P=jω преобр-ся для
выделения
D1(P) и D2(P), получаем D ( jω ) = D0 ( jω ) + K1D1 ( jω ) + K 2 D2 ( jω ) = 0
P=jω –подставляем конкретное значение частоты.
Di ( jω ); i = 0,1, 2 -при конкретном значение частоты – это определитель, т.е. число
(комплексное) Di ( jω ) = Rei (ω ) + j Im i (ω )
D( jω ) = [Re0 (ω ) + K1 Re1 (ω ) + K 2 Re 2 (ω )] + j[Im 0 (ω ) + K1 Im1 (ω ) + K 2 Im 2 (ω )]
K1 Re1 (ω ) + K 2 Re 2 (ω ) = − Re0 (ω ) ⎫
⎬ (∗)
K1 Im1 (ω ) + K 2 Im 2 (ω ) = − Im 0 (ω ) ⎭
Δ1
Δ2
; K1 =
Δ
Δ
− Re0 Re 2
Re − Re0
Re Re 2
Δ= 1
Δ1 =
Δ2 = 1
− Im 0 Im 2
Im1 − Im 0
Im1 Im 2
При измен. частоты -∞ до +∞ сов-ть всех точек, если мы будем строить их на
плоскости даёт кривую D-разбиения. Для реальных расчётов диап. (-∞;0)
отбрасывается. Для ЭЭС достаточно [0; 50 рад/с]
Если вместо P=jω подставить P=αзад+jω, то получим α-кривую (равного затухания или
равной степени устойчивости).
Возможны три случая решения системы (*):
1)Δ≠0 – конечное решение
2) Δ=0; Δ1≠0; Δ2≠0 – решений нет
3) Δ=Δ1=Δ2=0 - получаем ур-ние прямой (особые прямые)
K1 =
18 Модальный анализ статической устойчивости и динамических свойств ЭС.
Основные определения.
Модальный анализ динамических свойств – это анализ, который проводится по
собственным значениям и собственным векторам матрицы состояния системы.
Динамические свойства – свойства, которые проявляются в переходных
процессах. Характеризуются следующими основными параметрами:
1) ωк (рад) – частота электромеханических колебаний, К=1,2….N-1 где N –
число СМ включая ШБМ
2) αк (1/с) – коэффициент затухания ЭМК на этих частотах
они определяются парами корней Рк= αк ±jωк
3) коэффициент распределения амплитуд режимных параметров на каждой
частоте ЭМК. Они вычисляются по соответствующим собственным
векторам матрицы состояния системы
кроме этих параметров для модального анализа сложных энергосистем вводятся
дополнит показатели:
4. наблюдаемость мод ЭМК.
5. синфазность отдельных генераторных групп на каждой частоте ЭМК.
6. управляемость мод ЭМК
Дополнительные показатели также определяются на основе собственных значений
и собственных векторов матрицы сост.
В качестве численной характеристики используется показатель наблюдаемости ,
который определяем как соотношение числа переменных состояния одной
физической природы (K1), имеющей коэф-т наблюдаемости >0,1
U j ,i ≥ 0,1 к общему числу переменных (k)
η=
k1
k
Для локальной моды колебаний: η < 0,2 (много меньше 1)
Для системной моды колебаний η ≥ 0,8 (примерно ≈ 1)
Для п/системной моды η = 0,2 ÷ 0,8
7) Определение управляемости мод
Под управляемостью моды движения понимают возможность передвигать
собственное значение, которое определяет данную моду в плоскости корней для
достижения определенного уровня демпфирования
Параметры динамических свойств полностью определяют поведение системы
при малых возбуждениях. Для расчета параметров дин свойств необходимо
сформировать соответствующую математическую модель.
Формирование модели и анализ включают этапы:
1) необходимо записать исходную систему нелинейных, алгебраических и
диф уравнений, описывающих ЭМПП
2) записать эту систему в малых отклонениях
3) произвести ленеаризацию по первому приближению
4) привести линеаризованную модель к нормальной форме (ф. Каши с
нулевыми нач условиями) Определить матрицу состояния системы
5) Рассчитать собств значения (х= α ±jω) и собств вектора матрицы
состояний
6) По данным расчета проанализировать статическую устойчивость и
динамич свойства. Выработать мероприятия по их улучшению. Аминь.
19 Динамические свойства простейших ЭС (консервативная идеализация)
Uг
U=const
f=const
Р
Принимаем допущения для расчёта статической устойчивости:
1)Не учитываем активное сопротивление статических элементов;
2)Емкостные проводимости ЛЭП скомпенсированы ШР;
3)Рг = const;
4)Не учитывать демпферную обмотку генератора;
5)Модель генератора: kd = 0 (?)
Схема замещения:
XdΣ’
Е’
U
Xd’Σ = Xd’+XТР+ХЛЭП+ХАТ
TJ d 2 δ
= PT − P
1)
E’ = E’q, где ТJ – постоянная инерции агрегата (генератор +
2
ω 0 dt
турбина), сек
ω0 – синхронная частота, ω0 = 3.14 рад/с = 2πf , δ – абсолютный угол ротора
генератора.
E’q
δ
U
E ' qU
P = ' sin δ = P max sin δ , уравнение движения не линейное (т.к. Р = Рmax*sinδ,
X dΣ
т.е. из-за sin, по этой же причине и мощности всегда не линейны).
T J d 2δ
= PT − P max sin δ
ω 0 dt 2
2)В малых отклонениях: δ = δ0 + Δδ; Р = Р0 + ΔР
TJ d 2δ
= PT − P0 − ΔР , РТ – Р0 = 0. В установившемся режиме: РТ =Р0.
ω 0 dt 2
TJ d 2δ
+ ΔР = 0
ω 0 dt 2
3)Линеаризуем: δ – независимая переменная
∂р
1 ∂2 р
2
δ
р = р0 +
Δδ +
Δ
........ ;
2
∂δ
2! ∂t
TJ
ω0
P 2 Δδ +
d
∂Р
Δδ = 0 , где Р =
dt
∂δ
4)Характеристическое уравнение системы:
(
TJ
ω0
P2 +
∂Р
=С
∂δ
TJ
ω0
∂Р
T
∂Р
)Δδ = 0 , Δδ≠0, следовательно J P 2 +
= 0 , обозначим
∂δ
ω0
∂δ
P 2 + С = 0 , следовательно р 2 = −
Сϖ 0
, пока система устойчива С>0. ТJ>0,
ТJ
следовательно
Сϖ 0
⊃ 0 , → корни будут мнимые.
ТJ
р1,2 = ± −
Сϖ 0
Cϖ 0
=±j
= ± jϖ СИСТЕМН , ω – частота в ЭМК.
ТJ
TJ
Р1=+jω
Р
С
α
P2=-jω
δ
900
α=0
Δδ (t ) = ΣAi e Pit = A1e jϖ t + A2 e − jϖ t . Пара комплексно-сопряжённых корней
всегда даёт одно колебательное движение с частотой ω и затуханием λ (график
синусоида). ω – частота ЭМК – внутренняя характеристика системы, которая зависит
от места приложения возмущения и его вида, а определяется параметрами системы и
установившегося режима: Xd’Σ, TJ, E’q, U, δ0. Простейшая ЭЭС ведёт себя как
ω0 ⎛ E qU ⎞
'
колебательное звено второго порядка.
ω=
cos δ 0 .
⎜⎜
' ⎟
⎟
TJ ⎝ Xd Σ ⎠
20 Влияние различных факторов на частоту ЭМК
Простейшая ЭС ведет себя как колебательное звено 2го порядка. Частота –
внутренняя х-ка системы, она не зависит от внешних возмущений. Она определяется
только параметрами режима. Проанализируем влияние факторов на частоту ЭМК
Uг
U=const
f=const
ω=
ω 0 ⎛ E ' qU ⎞
⎜
⎟ cos δ 0 ( для
TJ ⎜⎝ Xd ' Σ ⎟⎠
Р
)
(консервативная идеализация)
1)Влияние длины линии на ω: ↑L→↑XЛ→↑ Xd’Σ→↓ω~ 1 / L , следовательно,
динамические св-ва системы ухудшаются, т.к. все регуляторы работают на частотах
f~1Гц
ω
L
2)Влияние тяжести режима: ↑δ0 = ↓cosδ падать может до 0.
ω
jω
cosδ=0
1 см ниже
Р
Р1
α
δ0
Р2
δ
Р2
1 – предел апериодической устойчивости. Чем ближе к пределу, тем ниже частота.
Комплексно-сопряжённая пара распадается на два действительных корня,
движущиеся в разные стороны. В реальной системе Р1 не дойдёт до точки А, т.к. она
развалится уже в точке самораскачивания (а математически дойдёт).
jω самораскачивание
1 см выше
ω
Р1
TJ
Р2
Р2
α
Р1
3)Влияние постоянной инерции TJ. см график выше. ↑TJ→↓ω~ 1 / TJ . Общая
мощность системы увеличивается. (примерно 5-15 сек)
21 Динамические свойства простейшей эс с упрощенным учетом
демпфирования.
TJ d 2δ kd dδ
+
= PТ − P где kd - демпф коэфф. Запишем в малых отклонениях
ω0 dt 2 ω0 dt
и лианеризуем
TJ d 2Δδ kd dΔδ
dP
+
+ ΔP = 0 где ΔP = Δδ тогда:
2
ω0 dt
ω0 dt
dδ
TJ 2 kd
dP
p + p + = 0 характерист. уравнение . Его корни:
ω0
ω0
dδ
Так kd = 2 ÷5 о.е- АРВ ПД либо АРВСД с
dP
2
⋅ω0 штатн. настройками
⎛
⎞
−kd
kd
p1,2 =
TJ = 5 ÷15 − возьмем 10 о.е
± ⎜
⎟⎟ − dδ
⎜
2 ⋅ Tj
2
⋅
T
T
j ⎠
J
⎝
xC = 0.5 x`d = 0.3 E = 1.05 U = 1 cosδ0 =
= 0.8 − типичные параметры
dP
⋅ω0
ω
EU
dδ
=
cos δ0 0 = 47
TJ
x`dΣ
TJ
следовательно под корнем
2
⎛ kd ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = 0.065 отриц число-корни комплесно
⋅
T
2
j
⎝
⎠
сопряженные
запишем p1,2 =α± jω тогда общее решение для
dP
2
⋅ω0 каждого параметра
⎛
⎞
−k
k
p1t
Δδ(t) = Ce
+ C2ep2t
p1,2 = d ± j ⎜ d ⎟ − dδ
1
⎜ 2⋅T ⎟
TJ
2⋅Tj
⎝ j⎠
Если корни действительные то маплитуда C α
ω
действительная и наоборот
p1,2 =α± jω ->Сi − комплесно сопряженные. обозначим: С1,2 = A± jB;
ТО ЧТО ДАЛЕЕ - НЕ ДАВАЛА
Δδ(t ) = ( A − jB ) e at e jωt + ( A + jB ) e at e − jω1t = e at ( Ae jωt − jBe jωt + Ae − jωt + jBe− jωt ) =
(
)
= e at A ( e jωt + e − jωt ) − jB ( e jωt − e − jωt ) используя формулу эйлера e jωt = cos(t ) + j sin(ωt )
получим:
e jωt + e − jωt = 2 ⋅ cos(ωt ) и e jωt − e − jωt = j 2 ⋅ sin(ωt ) тогда:... = e at ( A ⋅ 2 ⋅ cos(ωt ) + B ⋅ 2 ⋅ sin(ωt ) )
считаем, что есть такой угол φ и такая С что A ⋅ 2 = С sin ( φ ) B ⋅ 2 = С cos ( φ ) подставим
и увидим синус суммы углов
e at ( A ⋅ 2 ⋅ cos(ωt ) + B ⋅ 2 ⋅ sin(ωt ) ) = e at ( С sin ( φ ) ⋅ cos(ωt ) + С cos ( φ ) ⋅ sin(ωt ) ) = Сe at cos(ωt + φ)
⎛ A⎞
таким образом: Δδ(t ) = Сe at cos(ωt + φ) где С = 2 A2 + B 2 φ = arctg ⎜ ⎟
⎝B⎠
Δδ
Δδ
Т
Т
A0
A0
A1
A1
t
t
Первый случай при kd>0→ α<0 Второй случай kd<0→ α>0 например может такое
быть при утяжелении режима когда область устойчивости смещается и происходит
нарушение.
Рассмотрим также случай когда корни чисто действительные и положительные:
2
тогда подкоренное выражение должно быть = 0
( kd / 2 ⋅ T j ) =47 → kd = 140 –
маловероятный случай. Тогда появление чисто действительных корней
маловероятно.
Влияние: чем выше kd тем ниже частота собственных колебаний. и лучше коэф
затухания чем выше TJ тем выше частота собственных колебаний. и хуже коэф
затухания .Обычно комплесно-сопряженные корни
22 Динамические свойства автономной 2-х машинной системы
kd i = 0 , i = 1, 2
TJi d 2 δi
1)
= PТi − Pi , i = 1, 2,3
ωном dt
TJi d 2 Δδi
2)
Δδi + ΔPi =0 , i = 1, 2,3
ωном dt
3) δ1 , δ 2 − независимые переменные
Pi ( δ1 , δ 2 ) = Pi ( δ1(0) , δ2(0) ) +
∂Pi
∂P
Δδ1 + i Δδ 2 , i = 1, 2
∂δ1
∂δ2
ΔP
i
∂P
∂P
∂P
TJi 2
∂P
p Δδi + i Δδ1 + i Δδ 2 =0 , i = 1, 2 обозначим: Сi , j = i и Сi ,i = i
∂δ2
∂δ j
∂δi
ωном
∂δ1
⎡ TJ 1 2
⎢ ω p + C11 C12
ном
= ⎢
⎢
TJ 2 2
p 2 Δδ 2 + C21Δδ1 + C22 Δδ 2 =0
C
p + C22
21
⎢
ωном
⎣
TJ 1 2
p Δδ1 + C11Δδ1 + C12 Δδ 2 =0
ωном
TJ 2
ωном
⎤
⎥ Δδ
⎥ x ⎡⎢ 1 ⎤⎥
⎥ ⎣ Δδ1 ⎦
⎥
⎦
⎞
⎛ TJ 1 2
⎞⎛ T
p + C11 ⎟ ⎜ J 2 p 2 + C22 ⎟ − C12C21 = 0
Х.У
⎜
ω
ω
⎠
⎝ ном
⎠ ⎝ ном
TJ 1 ⋅ TJ 2 4 TJ 1 2
T
p +
p C22 + J 2 p 2C11 + C11C22 − C12C21 = 0
2
ωном
ωном
ωном
Покажем что C11C22 − C12C21 = 0
P1 = E12 y11 sin ( α11 ) + E1 E2 y11 sin ( δ1 − δ 2 − α12 )
P1 = E12 y11 sin ( α11 ) + E1 E2 y11 sin ( δ2 − δ1 − α12 )
С11 =
∂P1
= E1 E2 y11 cos ( δ1 − δ 2 − α12 )
∂δ1
С12 =
∂P1
= − E1 E2 y11 cos ( δ1 − δ 2 − α12 )
∂δ2
С22 =
∂P2
= E1 E2 y11 cos ( δ 2 − δ1 − α12 )
∂δ2
С21 =
∂P2
= − E1 E2 y11 cos ( δ 2 − δ1 − α12 )
∂δ1
Видно что C11C22 − C12C21 = 0 тогда ХУ
⎞
TJ 1 ⋅ TJ 2 4 ⎛ TJ 1
T
p +⎜
C22 + J 2 C11 ⎟ p 2 = 0
2
ωном
ωном
⎝ ωном
⎠
Его корни: p12 = 0
p3,4 = ±
ωном
ω
C22 + ном C11 = ± jω − одно колебательное движение
TJ 2
TJ 1
В этой системе не заданна точка отсчета, для абсолютных углов и они гуляют как
угодно, но их разница зависит от корней и четко ими определяется, а именно
Δδ12 = Δδ1 − Δδ 2 будет
колебаться
с
частотой
ω
23 Динамические с-ва модального анализа. Вывод основного уравнения
модального анализа. (дин. С-ва см выше.. Хотя нет не смотрите, билет и так говно)
Для модального анализа необходимо линеаризованную систему привести к
нормальному виду(форма Коши при нулевых начальных условиях). Это означает
решить все линеаризованные дифференциальные уравнения ПП энергетической
системы относительно первых производных по времени и исключить все
алгебраические уравнения.
Уравнения приводим к виду:
dz = R ⋅ z
;
dt
z = R⋅z ;
p⋅z = R⋅z ;
p= d
dt
(нормальная форма)
Эта система уравнений характеризует состояние системы и ее поведение при малых
возмущениях.
z = ( z1 , z2 ,... zn )T - вектор-столбец переменных состояния, R - матрица состояния
системы (n × n ) .
Запишем матричное уравнение в развернутом виде:
⎛ z1 ⎞ ⎛ R11
⎜ ⎟ ⎜
⎜z ⎟ ⎜R
p ⋅ ⎜ 2 ⎟ = ⎜ 21
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
⎝ z n ⎠ ⎝ Rn1
R12
R22
Rn 2
… R1n ⎞ ⎛ z1 ⎞
⎟ ⎜ ⎟
… R2 n ⎟ ⎜ z 2 ⎟
⎟⋅⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟
… Rnn ⎟⎠ ⎜⎝ z n ⎟⎠
Решение этой системы может быть записано для каждой j-ой переменной состояния в
виде суммы составляющих движения. Так как система линейная, то общее движение
можно рассмотреть как суперпозицию независимых движений, каждое из которых
определяется соответствующим корнем системы.
n
z j (t ) = ∑ A ji ⋅ e λi ⋅t , j=1…n; λi - корни характеристического уравнения системы
i =1
A ji - амплитуда j-ой переменной состояния, в которой можно выделить две
составляющие:
A ji = U ji ⋅ ξ i (0) ; ξ i (0) - зависит от начальных условий,
U ji - не зависит от начальных
условий и определяется только параметрами системы. Таким образом, общее
решение системы будет иметь вид:
n
z j (t ) = ∑U ji ⋅ ξ i (0) ⋅ e λi ⋅t
i =1
, j=1…n; i=1…n;
j – номер переменной состояния в векторе z, i – номер корня λi
Распишем общее движение системы в виде:
z1 (t ) = U 11 ⋅ ξ1 (0) ⋅ e λ1⋅t + U 12 ⋅ ξ 2 (0) ⋅ e λ2 ⋅t +
z2 (t ) = U 21 ⋅ ξ1 (0) ⋅ e λ1⋅t + U 22 ⋅ ξ 2 (0) ⋅ e λ2 ⋅t +
+ U 2 n ⋅ ξ n (0) ⋅ e λn ⋅t
+ U 1n ⋅ ξ n (0) ⋅ e λn ⋅t
+ U nn ⋅ ξ n (0) ⋅ e λn ⋅t
zn (t ) = U n1 ⋅ ξ1 (0) ⋅ e λ1⋅t + U n 2 ⋅ ξ 2 (0) ⋅ e λ2 ⋅t +
В матричном виде:
⎛ z1 ⎞ ⎛ U 11 ⎞
⎛ U 12 ⎞
⎛ U 1n ⎞
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ z 2 ⎟ ⎜ U 21 ⎟
⎜ U 22 ⎟
⎜U 2 n ⎟
λ n ⋅t
λ1 ⋅t
λ 2 ⋅t
=
⋅
⋅
+
ξ
(
0
)
e
⋅
ξ
(
0
)
⋅
e
+
+
⋅
ξ
(
0
)
⋅
e
…
n
1
2
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
z
U
U
U
⎝ n ⎠ ⎝ n1 ⎠
⎝ n2 ⎠
⎝ nn ⎠
U1
U2
форма _ движения ( мода _ 1 )
Un
мода _ 2
мода _ n
Каждое слагаемое, обуславливаемое корнем λi составляет моду движения. Если λi действительный корень, то форма движения системы будет апериодической
составляющей во всей системе переменных состояния. Если два корня составляют
пару комплексно-сопряженных корней, то они дают одну моду колебательного
движения. Таким образом, мода характеризуется корнем λ i и вектором U i . Вектора
U ji
Можно пронумеровать в соответствии с нумерацией корней. Вектор U i дает
распределение амплитуд переменных состояния для i- го корня.
⎛ U 1i ⎞
⎜
⎟
U
⎜
⎟
U i = ⎜ 2i ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝U ni ⎠
⎛ z1 ⎞ ⎛ U 11 U 12 … U 1n ⎞ ⎛ ξ1 (0) ⋅ e λ1⋅t ⎞
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
λ2 ⋅t
…
U
U
U
z
⋅
ξ
(
0
)
e
⎜
⎟
⎜ 2 ⎟ ⎜ 21
22
2n ⎟
2
=
⋅
⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟ ⎜
⎜ξ (0) ⋅ e λn ⋅t n ⎟
…
U
U
U
z
n2
nn ⎠ ⎝ n
⎝ n ⎠ ⎝ n1
⎠
n
Введем обозначение векторов U i
λi ⋅t
z
=
U
⋅
ξ
(
0
)
⋅
e
∑
i
i
=>
, полная матрица
i =1
векторов:
⎛ U 11 U 12 … U 1n ⎞
⎜
⎟
U
U
…
U
⎜
22
2n ⎟
U = ⎜ 21
⎟ = (U 1 U 2 … U n ) - называется модальной матрицей
⎜⎜
⎟⎟
⎝U n1 U n 2 … U nn ⎠
Каждый вектор-столбец U i соответствует i-му корню и в совокупности они
составляют i-ю моду движения. Подставим общее решение в левую часть уравнения
состояния
n
p ⋅ z = ∑ λi ⋅ U i ⋅ ξ i (0) ⋅ e
i =1
и
p⋅z = R⋅z
λi ⋅t
учитываем,
p ⋅ ( e λ ⋅t ) = λ ⋅ e λ ⋅t ,
что
, аналогично: R ⋅ z = R ⋅
n
∑U
i =1
i
⋅ ξ i ( 0 ) ⋅ e λi ⋅t
тогда:
n
Приравниваем правые и левые част:
∑ λ ⋅U
i
i
⋅ ξ i ( 0) ⋅ e
i =1
λi ⋅t
n
= R ⋅ ∑U i ⋅ ξ i (0) ⋅ e λi ⋅t , так как
i =1
система линейна и ее решение представляет суперпозицию составляющих движения,
то левая часть будет равна правой, если будут равны соответствующие
составляющие, относящиеся к одному корню.
⎛ U 1i ⎞
⎛ U 1i ⎞
⎟
⎟
⎜
⎜
U
U
⎟
⎟
⎜
⎜
R ⋅ ⎜ 2i ⎟ ⋅ ξ i (0) ⋅ e λi ⋅t = λi ⋅ ⎜ 2i ⎟ ⋅ ξ i (0) ⋅ e λi ⋅t
=> R ⋅U i = λi ⋅U i , i=1…n
⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜
⎝U ni ⎠
⎝U ni ⎠
Матричное уравнение не зависит от начальных условий и от времени, а определяется
только структурой матрицы состояния. Матрица R известна и задана, λi ,U i надо
определить. Из линейной алгебры известно, что число λ называется собственным
значением матрицы R, если существует не пулевой вектор U =/ 0 , удовлетворяющий
уравнению: R ⋅U = λ ⋅U , чаще записывается: A ⋅ x = λ ⋅ x .
Вектор U называется собственным вектором матрицы R, соответствующим
собственным значениям λ .
⎛ 1 0 0⎞
⎜
⎟
R ⋅ U − λ ⋅ U = 0 ⇒ ( R − λ ⋅ E ) ⋅ U = 0 , E = ⎜ 0 1 0 ⎟ - диагональная единичная матрица.
⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠
Получим однородную систему уравнений, которая по определению имеет не нулевое
решение, что может быть только в том случае, когда определитель системы равен
нулю.
det( R − λ ⋅ E ) = 0 , U =/ 0 . В развернутом виде:
⎛ (R11 − λ )
⎜
⎜ R21
det ⎜
⎜⎜
⎝ Rn 1
⎞
⎟
⎟
⎟ = 0 , λ - число.
⎟
… (Rnn − λ )⎟⎠
R12
…
(R22 − λ ) …
Rn 2
R1n
R2 n
Раскрыв определитель, и сгруппировав все слагаемые по степеням n, получим
характеристическое уравнение (приведенное):
λn + a1 ⋅ λn −1 + a 2 ⋅ λn −2 + … + a n −1 ⋅ λ + a n = 0 Таким образом, R порядка n обладает
набором из n собственных значений, которые являются корнями системы
p⋅z = R⋅z .
Для симметричных матриц собственные значения являются действительными
значениями. λi = pi = α i
Для несимметричных матриц собственные значения могут
действительными, так и комплексно-сопряженными. λi ,i +1 = α i ± j ⋅ ω i .
быть
как
Таким образом, собственные значения матрицы состояния системы являются
корнями, определяющими составляющие движения: α i - коэффициент затухания, ω i частота i-ой моды колебаний.
Каждому собственному значению λi соответствует значение U i , которое определяет
соотношение амплитуд переменных состояния, т.е. определяет форму или моду i-ого
движения. Отсюда идет название «модальные матрицы», и «модальная теория»,
изучающая динамические свойства систем на основе уравнения движения и
собственно матрицы состояния. Для нахождения собственных векторов записывается
система в виде: ( R − λi ⋅ E ) ⋅ U i = 0 . Так как λi - корень системы, то матрица
( R − λi ⋅ E ) - особенная, т.к. ее определитель равен нулю, т.е. система является
линейно зависимой (одно из уравнений этой системы является линейной
комбинацией других уравнений). Чтобы это преодолеть, один из элементов
собственного вектора задается произвольно. U ki = c , обычно c = 1 ; U ki = 1
Из системы исключается одно уравнение и решается система (n-1), из (n-1)
неизвестных элементы собственного вектора приводятся к максимальному элементу:
U ji =
*
U ji
U ki
24 Понятие моды ЭМК
⎛ U 11 ⎞
⎛ Z 1 ( t ) ⎞ ⎛ U 11 ⎞
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎜U 21 ⎟
⎜ Z 2 ( t ) ⎟ ⎜U 21 ⎟
λn t
λ1t
⎟ * ξ n ( 0) e
⎟ * ξ1 (0)e + ... + ⎜
⎜
⎟=⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎜U ⎟
⎜ Z (t ) ⎟ ⎜U ⎟
⎝ n1 ⎠
⎝ n ⎠ ⎝ n1 ⎠
Z1(t)= Z11(t)+ Z12(t)+… Z1n(t)
…
Zn(t)= Zn1(t)+ Zn2(t)+… Znn(t)
Если λk=αk , то сост движения будут апериодич. Zjk(t)=Ajkeαkt
Если λk=αk±jωk , то сост движения будут колебат. - мода Zjk(t)=Ajkeαkt*sin(ωk+φk)
м\у собой они отлич только нп амплитуду
Собственные вектора матр состояний – модальн матр.:
⎛ U 11 U 12 … U 1n ⎞
⎜
⎟
⎜U 21 U 22 … U 2 n ⎟
U =⎜
⎟ = (U 1 U 2 … U n ) любая мода хар-ся СЗ и СВ
⎜⎜
⎟⎟
U
U
…
U
n2
nn ⎠
⎝ n1
(для более точного представления рекомендую посмотреть вопр 23)
25 Основные показатели дин св-в сложных ЭС
Динамические свойства ЭЭС хар-т основ. параметры:
1. частоты Эл. Мех. Колебаний (ЧЭМК) ωi , i =1…(k-1), к – число генераторов,
включая ШБМ. Диапазон частот ЭМК: (0,5 – 15(20)) р/с, (0,2 – 2,5) Гц.
2. коэф-ты затухания на этих частотах λ i c −1 .
3. коэф-ты распредел. амплитуд. перемен. состояния на каждой частоте ЭМК
(U i ) .
[ ]
1 и 2 определяется собствен. значениями матрицы состояния λ i = α i −+ jωi
3 – собственными векторами
кроме этих параметров для модального анализа сл. эн. сист вводятся дополнит
показат:
4. наблюдаемость мод ЭМК.
5. симфазность отдельных ген-х групп на кажд ЧЭМК.
6. управляемость мод ЭМК
Дополнительные показатели также опред на основе собств знач и собств векторо
матр сост.
Определение параметров динамических свойсв Энергосистемы.
1. Формиров мат мод ЭЭС в форме коши pz = Rz (1)
Основ цель: опред матр состоян сист R это достиг – ся в результате линеаризации
исход Нелин сист дифф алгеб уровнений, описывающих поведение эн систр пи
малых возмущениях с последующим приведением ее к нормальному виду.
2. Расчёт собств значен собств векторов матрицы сост кот связ
сооотнош: RU i = λ iU i i = 1,…n. Если матр сост имеет размерность (n*n) следов
полная модальная матрица имеет размерность (n*n).
3. Выделение мод ЭМК.
Для мод анализа динамич св-в ЭС необх из всей совокупн вычислен-х значений
выделить (к -1) пару компл сопряж собств значений, соответств (к – 1) форме или
моде ЭМК
Тк мода Эл-мех колеб обусл одной парой компл-сопр корней, то собств значен
нумеруется парами в порядке возрастания частоты ω1 < ω2 ... < ω К −1
Порядок матр состоян для крупных энерго0бъед с учётом действ САР мож составл
сотни и тысячи следовательно необх проанализ примерно 1000 собсв знач и
векторов, что практич бессмысленно.
Например, для очень маленьких ЭС, содержащ 10 ген-ров (к = 10). Кажд ген.
представл мат мод 5 – го порядка
Ур движ 2, Ур обм возбужд 1, Ур прод и поперечн 2.
Кажд ген оснащ АРВ сд кот описыв Ур 10 –го порядка ( l АРВ = 10 )
l = l г + l АРВ = 5 + 10 = 15 , n = l ⋅ k = 15 ⋅ 10 = 150 , R ⎯
⎯→( 150 × 150 ) ,
λ i ,U i ⎯
⎯→ 150 U ⎯
⎯→( 150 × 150 ) следовательно всего 9 мод ЭМК (к – 1) = 10 –
1=9
ω ЭМКi
i =1…9, 9 пар λ ЭМКi = α ЭМКi −+ jωЭМКi .
к = 10
α ЭМКi
для проведения модального анализа необходимо из 150 пар выделить 18 пар собств
значений (или 9 комплексно сопряж значений)
4. Определение подматрицы собственных векторов и их нормирование
λi ⎯
⎯→U i (пара компл-сопрряж комплексных значений будет соотв 2 компUi
сопряж знач собств вектора) λ i = α i −+ jωi ⎯
⎯→
и
λ i = α i + jω i
Ui
λ i = α i − jωi
Для модальн анализа из 2 – ух выбир один собств вектор.
⎯→ x j ,
Каждая компанента собств вектора U i это U ji ⎯
x j ( t ) = ∑ U ji ⋅ ξ i ( 0 ) ⋅ e λit
Кажд собств вектор даёт распред амплитуд режимных параметров на каждой
частоте ЭМК
⎛ U 1i ⎞
⎛ x1 ⎞
⎟
⎜
⎜ ⎟
⎜U 2i ⎟
⎜ x2 ⎟
⎯→⎜
⎜ ... ⎟ ⎯
... ⎟ Для модального анализа в собствен векторе выдел компоненты
⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜ ⎟⎟
x
U
⎝ ni ⎠
⎝ n⎠
соотв
x
Ui
либо углам или скольжениям δ j : S j j = 1...k
Из полной модальной матрицы выделяем две подматрицы U δ ( k −1) и U S ( k −1)
Нормирование собственных векторов модальных матриц U δ и U S
U
i
=
U
U
i
i
i-собственное значение ( λ i )
U i -норма собственного вектора U i = max U ji
Собственные вектора переводятся из прямоуг. Системы в полярную
U ji = U ′ji + jU ′′ji
U ji = U ji e
jϕ ji
Если U n ,i - норма ⇒ U m ,i = 1 и ϕ m ,i = 0 -начало отсчёта для всех остальных
свободных Векторов
5.Установление иерархии мод.
Моды ЭМК можно разделить на 3 группы:
• Системные
• Подсистемные
• Локальные
(к-1) пара собственных значений, составляющих спектр ЭМК с разными частотами.
Эти моды по-разному проявляются в режимных параметрах ЭС. Наиболее опасным
является: низкочастотные, слабозатухающие, незатухающие ЭМК, которые
охватывают всю энергетическую систему, т.е проявл. В виде колебаний с большими
амплитудами во всех режимных параметрах . Такие колебания наз-системными.
При модальном анализе динамических св-в ЭС необходимо прежде всего установить
иерархию мод и выделить в первую очередь системные моды (ЭМК). Для этого
проводим анализ нормирования собственных векторов U δi для каждой i-ой моды
колебаний.
Иерархия мод устанавливается по 2 признакам
U
1) Моды собственных векторов ji
2) Фазы собственных векторов U ji
Для системных мод ЭМК практически все модули компонентов лежат в диапазоне:
0,1 ≤ U ji ≤ 1 - это первый признак что мода является системной
Для второго признака системной моды различают два случая:
2) ШБМ отсутствуют
1) Есть ШБМ ⇒ фазы ϕ ji компон.
собственного вектора близки к 0
m
( )
ϕ ji = 0
Изображаем компоненты с.в.
δm
δ2
δ1
δk
Все компоненты
близки др. к другу и отличаются только
по модулю. В этом случае говорят, что
все генераторы колеблются синфазно
С1
4
1
3
5
k
С2
На системной частоте система распадается
на 2 системы С1 иС2 которые колеблются в
относительно ШБМ на системной
частоте.
противофазе . Такая же ВД будет
характерна и для подсистемных мод, но у
части компонентов с.в. амплитуды будут
малы (часть генераторов в колебаниях
участвовать не будет).
Если на k − λ частоте в с.в. будет одна компонента =1, а остальные <0,1 , то это
локальная мода.
U ji = 1 U j ,i < 0,1
Она представляет собой колебание отдельной СМ относительно основной
системы, в этом случае частота колебаний наз. Собственной частотой колебаний
СМ.
Так же оценивается по модулю компоненты с.в. U δi или U Si
6.Определение наблюдаемости
В качестве численной характеристики используется показатель наблюдаемости ,
который определяем как соотношение числа переменных состояния одной
физической природы (K1), имеющей коэф-т наблюдаемости >0,1
U j ,i ≥ 0,1 к общему числу переменных (k)
η=
k1
k
Для локальной моды колебаний: η < 0,2 (много меньше 1)
Для системной моды колебаний η ≥ 0,8 (примерно ≈ 1)
Для п/системной моды η = 0,2 ÷ 0,8
7.Определение управляемости мод
Под управляемостью моды движения понимают возможность передвигать
собственное значение, которое определяет данную моду в плоскости корней для
достижения определенного уровня демпфирования
λi
Осуществляется это управление путём
настройки системы АР в частности АРВ СД
СМ, если этого недостаточно, то путём
изменения законов управления (САР) или
установкой новых управл. устройств и т.д.
α
Управлять модами так же устанавливается
α i (0)
по модулям, соотв. с.в. Управлять i-ой
модой ЭМК могут те генераторы
αi
переменные состояния которых будут
соответствовать близкие к 1 модули i-го с.в.
U j ,i ≈ 1 . Таких генераторов для каждой системной и подсистемной моды м.б.
несколько, для локальной –один. Для выбора настройки АРВ СД строят области
статической устойчивости .
Для кажд генер наблюдается не более 3 мод( сист подсист и своя, в обл уст-ти)
jω
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ МОДАЛЬНОГО АНАЛИЗА:
1)Оценка устойчивости ЭС
2) Установление иерархии мод ЭМК
3)Выделение наиболее слабых сечений в ЭС с точки зрения демпфирования мод
4)Оценка качества демпфирования
5) Выявить управляемость слабозатухающих мод
26 Приведение мат. модели к нормальной форме.
Постановка задачи:
Модальный анализ устойчивости динамических свойств сложной системы
базируется на методах линейной алгебры.
Для использования этих методов необходимо мат модель ЭС привести к
нормальной форме:
dx
= Ax
dt
px = Ax
Х-вектор малых отклонений переменных состояний ЭС.
Любое диф. уравнение высокого порядка можно привести к уравнению первого
порядка.
Пример: n=3
a
d3y
d2y
dy
b
+
+ c + dy = 0
3
2
dt
dt
dt
dy2
dt
y2
y1
⎧ dy
⎪ dt = y1
⎪
⎪ dy1
= y2
⎨
⎪ dt
b
c
d
⎪ dy2
⎪ dt = − a y2 − a y1 − a y
⎩
⎛
y
⎛ ⎞ ⎜ 0
⎜ ⎟ ⎜
p ⎜ y1 ⎟ = ⎜ 0
⎜y ⎟ ⎜ b
⎝ 2 ⎠ ⎜−
⎝ a
1
0
c
−
a
⎞
0 ⎟ ⎛ y⎞
⎟ ⎜ ⎟
1 ⎟ × ⎜ y1 ⎟
d⎟ ⎜y ⎟
− ⎟ ⎝ 2⎠
a⎠
Для многомашинных ЭС сформировать матрицу состояния достаточно сложно.
Обычно при приведении получается система следующего вида:
(1) px = Ax + By
(2) 0 = Cx + Dy
Появляется дополнительные уравнения связи. (уравнение 2)
Это алгебраические уравнения (не дифференциальные).
A → ( n × n)
x → (n × 1)
B → ( n × m)
y → (m × 1)
C → ( m × n)
D → ( m × m)
A всегда имеет размерность матрицы состояния.
Систему уравнений (1),(2) необходимо привести к виду px = Rx .
Для этого необходимо из уравнения (1) исключить y . Выражаем его из уравнения
(2) и подставляем в уравнение (1).
y = − D −1Cx
px = Ax + B(− D −1C ) x
px = ⎡⎣ A + B(− D −1C ) ⎤⎦ x
R
R = A + B (− D −1C )
Алгебраическое нахождение R:
1) Обращение матрицы D методом Гаусса.
2) Dy=-Cx – решаем относительно у методом Гаусса.
3) Наиболее эффективный – объединение 4-х матриц в одну, далее прямым ходом
метода Гаусса из полученной матрицы получаем R.
⎛A B⎞
⎛ R ... ⎞
→
⎜C D⎟
⎜ ... ... ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Как это делается – хз =)
27 Приведение мат. модели простейшей нерегулируемой ЭЭС к нормальной
форме.
Исходная модель для расчета эл. эн. сист. включает в себя 2 уравнения:
-ур. движения ротора.
-ур. переходных процессов в обмотке возбуждения при отсутствии регулирования
возбуждения. ( Eqe = 0 )
⎧ TJ d 2 δ
=− P
⎪
2
⎪ ωном dt
⎨
⎪ d E `q
⎪⎩Td 0 dt + Eq = Eqe = 0
pX = AX
d δ
= S = S − S0 = S
dt
⎧ TJ
⎪ ω pS + P = 0
⎪ ном
⎨
⎪T d E `q + E = 0
q
⎪⎩ d 0 dt
P ⋅ ωном
⎧
⎪ pS = − T
J
⎪
⎪
Eq
⎨ p E `q = −
Td 0
⎪
⎪p δ = S
⎪
⎩
Все зависимые переменные должны быть выражены через переменные состояния.
∂ P
∂ P '
⎧
⎪ P = ∂δ δ + ∂E ' Eq
q
⎪
⎨
⎪ E = ∂Eq δ + ∂Eq E '
q
⎪ q ∂δ
∂Eq'
⎩
Приводим к виду:
px = Ax + By
0 = Cx + Dy
∂ P
∂ P '
⎧
⎪0 = − P + ∂δ δ + ∂E ' Eq
q
⎪
⎨
⎪0 = − E − ∂Eq δ + ∂Eq E '
q
q
⎪
∂δ
∂Eq'
⎩
⎛ S ⎞ ⎛0 0 0⎞ ⎛
⎜
p ⎜ Eq' ⎟⎟ = ⎜⎜ 0 0 0 ⎟⎟ × ⎜⎜
⎜ δ ⎟ ⎜1 0 0⎟ ⎜
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎛
⎜0
0=⎜
⎜
⎜⎜ 0
⎝
∂ P
∂Eq'
∂Eq
∂Eq'
⎛ ωном
⎜− Т
J
S ⎞ ⎜
⎜
Eq' ⎟⎟ + ⎜ 0
δ ⎟⎠ ⎜
⎜ 0
⎜
⎝
⎞
0 ⎟
⎟
1 ⎟ ⎛ P⎞
−
⎟
⎟×⎜
Т d 0 ⎟ ⎝ Eq ⎠
0 ⎟
⎟
⎠
∂ P⎞
S ⎞
∂δ ⎟ ⎛⎜
⎟ × E ' ⎟ + ⎛ −1 0 ⎞ × ⎛ P ⎞
∂Eq ⎟ ⎜⎜ q ⎟⎟ ⎜⎝ 0 −1⎟⎠ ⎜⎝ Eq ⎟⎠
δ ⎠
⎟
∂δ ⎟⎠ ⎝
Может меняться размерность уравнений связи .Если взять в качестве незав.
Переменных δ и EQ то добавляется 1 уравнение связи.
28 Приведение мат. модели системы автоматического регулирования к
нормальной форме.
Системы АРВ обычно задаются в виде структурных схем состоящих и
передаточных функций.
ΔU г
⎯⎯⎯
→
WU ( p )
→
Δfu
⎯⎯→
W f ( p)
→ ∑ → Wокр ( p ) → ΔEqe
WI f ( p )
→
I
f
⎯⎯
→
Δfu - канал по отклонению частоты, т.е. первой производной фазы вектора
напряжения на зажимах генератора.
I f - по отклонению производной тока ротора.
ΔU г
- по отклонению напряжения.
Wокр ( p ) - общий канал регулирования.
Наиболее удобно переходить к нормальной форме, представляя мат. модель САР в
виде структурных схем, состоящих из простейших звеньев передаточной функции
(усилительной звено, колебательное звено, апериодическое звено).
xвых = W ( p) ⋅ xвх
Приведение к нормальной форме передаточной функции АРВ ПД.
− K 0u
ΔEqe =
ΔU г
(1 + pTp )(1 + pTe )
ΔU г
⎯⎯⎯
→
X1 =
− K 0u
1
X1
⎯⎯
→
→ ΔEqe
(1 + pTp )
(1 + pTe )
− K 0u
ΔU г
(1 + pTp )
ΔEqe =
1
Х1
(1 + pTe )
pX 1 = −
K 0u
Х
ΔU г − 1
Tp
Tp
pΔEqe =
Х1 1
− ΔEqe
Te Te
Закон регулирования АРВ:
ΔEqe ,i = ∑Wα ,i ( p ) ⋅ ΔПα ,i
α
α - число каналов регулирования
Пα ,i - параметр режима, по которому идет регулирование.
Wα ,i ( p ) - передаточная функция регулирования
ΔEqe =
− K 0u ⋅ ΔU i + ( K 0 j + pK ij ) pΔν i
(1 + pTpi )(1 + pTei )
α =2
ΔПi = (ΔU i , Δν i )
ΔEqe = Wокр ( p ) ⋅ (WU ( p ) ⋅ ΔU + W f ( p ) ⋅ Δν )
WU ( p) = − K 0u - канал по отклонению напряжения.
W f ( p ) = K 0 j p + K ij p 2 - по отклонению частоты.
Wокр ( p ) =
1
- общий канал регулирования.
(1 + pTpi )(1 + pTei )
Tp - постоянная времени АРВ.
Te - постоянная времени системы возбуждения.
29 Приведение мат. модели простейшей регулируемой ЭЭС к нормальной
форме.
⎧ TJ
pΔS + P = 0
⎪
ω
⎪ ном
⎪
⎨Td 0 p E `q + Eq = ΔEqe
⎪
− K 0u
⎪ΔEqe =
ΔU г
⎪⎩
(1 + pTp )(1 + pTe )
pΔS = p 2 Δδ
⎧
∂ P
∂ P
δ + ' Eq'
⎪ P=
∂δ
∂Eq
⎪
⎪⎪
∂Eq
∂Eq '
=
+
E
Eq
δ
⎨ q
'
∂
∂
E
δ
q
⎪
⎪
∂U г
∂U
⎪ Uг =
δ + 'г Eq'
∂δ
∂Eq
⎪⎩
P ⋅ ωном
⎧
pS
=
−
⎪
TJ
⎪
⎪
Eqе
Eq
−
⎪ p E `q =
Td 0
Td 0
⎪
⎨
⎪ pX = − K 0u ΔU − Х 1
г
⎪ 1
Tp
Tp
⎪
⎪ pΔE = Х 1 − 1 ΔE
qe
qe
⎪
Te Te
⎩
⎧
∂ P
∂ P '
0
δ
P
Eq
=
−
+
+
⎪
'
δ
E
∂
∂
q
⎪
⎪⎪
∂Eq
∂E
δ + q' Eq'
⎨0 = − Eq −
∂δ
∂Eq
⎪
⎪
∂U г
∂U
⎪0 = − U г −
δ + 'г Eq'
∂δ
∂Eq
⎪⎩
0 ⎞
⎛ ωном
−
⎟ ⎛
⎞ ⎜ ТJ
1 ⎟
⎜
⎟ ⎜
Td 0 ⎟ ⎜ ΔS ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎜ 0
× Eq' ⎟ + ⎜
⎟
⎜
⎟
0
⎟ ⎜ X1 ⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜ 0
1 ⎟ ⎜⎝ Eqe ⎟⎠ ⎜
− ⎟
⎜ 0
Te ⎠
⎝
⎛0
⎛
⎞ ⎜
⎜
⎟ ⎜0
⎜ ΔS ⎟ ⎜
⎜
p ⎜ Eq' ⎟ = ⎜
⎜
⎟
0
⎜ X1 ⎟ ⎜
⎜⎜
⎟⎟ ⎜
E
qe
⎝
⎠ ⎜0
⎜
⎝
0
0
0
0
⎛
∂ P
⎜0
∂Eq'
⎜
⎜
∂Eq
0 = ⎜0
∂Eq'
⎜
⎜
⎜ 0 ∂U г
⎜
∂Eq'
⎝
⎞
0 0⎟ ⎛
⎞
⎜
⎟
⎛ P ⎞
⎟
⎟ ⎜ ΔS ⎟ ⎛ −1 0 0 0 ⎞ ⎜ Δδ ⎟
⎜
⎟
⎟
0 0 ⎟ × ⎜ Eq' ⎟ + ⎜ 0 0 −1 0 ⎟ × ⎜
⎜ Eq ⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
⎟⎟
⎟ ⎜ X 1 ⎟ ⎝ 0 0 0 −1⎠ ⎜⎜
Δ
U
⎜
⎟
г
⎝
⎠
0 0 ⎟ ⎜⎝ Eqe ⎟⎠
⎟
⎠
0 −
0
1
Tp
1
Te
0
0
0 −
1
Тd 0
0
0
0
0
⎞
⎟
⎟ ⎛ P ⎞
⎟
0 ⎟ ⎜ Δδ ⎟
⎜
⎟
⎟×⎜ E ⎟
q
K ⎟ ⎜
⎟
− 0u ⎟ ⎜ ΔU ⎟
г
⎝
⎠
Tp ⎟
0 ⎟⎠
0
30 Методы расчета СЗ и СВ. Степенной метод.
Методы расч делятся на 2 группы:
1) На каждой итерации вычисляется по 1 СЗ и СВ (степенной метод, метод обратной итерации).
2) На каждой итерации вычисляются все СЗ и СВ (QR,LR алгоритмы).
Степенной метод.
Достоинства: простота и наглядность, отсутствие преобразования матрицы А.
Недостатки: медленная сходимость (пропорц-но λ1/λ2), на его основе разработано много
алгоритмов.
Если собственное значение (СЗ) λ 1 , то при K → ∞ норма собственного вектора (СВ)
→ ∞ или X (K ) → ∞ . При использовании этого на ЭВМ будет переполнение матрицы. Если СЗ
λ ≺ 1 , то при K → ∞ X (K ) → 0 . В данном случае на ЭВМ будет исчезновение порядка
переполнение матрицы. Чтобы избежать этого X (K ) нормируется на каждой итерации после
X (K )
вычисления СЗ, т.е. X i (K ) = i (K ) .
Xi
В качестве нормы вектора можно использовать:
• выражение X 1 = ∑ X j - за норму взяли сумму модулей всех компонентов.
j
1
⎛
⎞2
⎜⎜ X 2 ⎟⎟ - «евклидова норма» или «длина вектора».
=
j⎟
2
⎜⎜⎝∑
⎠⎟
j
• X ∞ = X = max( X i ) - в качестве нормы вектора берется максимальный элемент
вектора – чаще всего используется эта норма.
С учетом нормирования векторов на каждой итерации схема степенного метода будет
выглядеть так:
1.
y = A ⋅ x (k −1) - CВ
(x k −1, y )
(K )
λ = k −1 k −1 - СЗ
2.
(x , x )
y
- нормирование СВ
x (K ) =
3.
y
•
4.
X
λ(K ) − λ(K −1) ≺ ε проверка СЗ
Пример: Найти СЗ матрицы А.
⎛
⎞
⎛ ⎞
⎜⎜ 11 −6 2 ⎟⎟
⎜⎜1⎟⎟
⎟
⎜
⎜ ⎟
A = ⎜⎜−6 10 −4⎟⎟⎟ матрица симметрична, т.е. СЗ – действительны. x 1(0) = ⎜⎜0⎟⎟⎟
⎜⎜
⎜⎜ ⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜0⎟⎟
⎜⎝⎜ 2 −4 6 ⎠⎟⎟
⎝ ⎠
⎛ 11 −6 2 ⎞⎟ ⎛1⎞⎟ ⎛ 11 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
⎜
⎜
1
0
(1)
x = ⎜−6 10 −4⎟⎟⎟ ⋅ ⎜⎜0⎟⎟⎟ = ⎜⎜−6⎟⎟⎟
K=1: x = A ⋅ x
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ 2 −4 6 ⎟⎟ ⎜⎜0⎟⎟ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
λ(1) =
(x 1(0), x 1(1) ) 11 + 0 + 0
=
= 11
(x 1(0), x 1(0) )
1+0+0
K=2: x 2 = A ⋅ x 1
x (2)
⎛ 161 ⎟⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
= ⎜−134⎟⎟⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎜ 58 ⎟⎟⎟
⎝
⎠
161 – норма вектора (берется по модулю)
λ(1) =
(x 1(1), x 1(2) )
= 16.714
(x 1(1), x 1(1) )
31 Методы расчета собств. Значений и собств. Векторов действительной
матрицы состояния ээс. Степенной метод со сдвигом.
Степенной метода со сдвигом
Степенной метод вычисляет максимум по модулю СЗ, задавая различные СВ все
равно вычисляем первое СЗ. Чтобы вычислить остальные n-1 значения матрицы,
необходимо отстроиться от уже вычисленных СЗ. Процесс отстройки называется
исчерпыванием. Самый распространенный способ исчерпывания – метод сдвигов. В
качестве сдвигов используется СЗ уже ранее вычисленное.
Алгоритм
1) Допустим λ1 уже вычислили. Для вычисления λ2 формируется матрица со сдвигом
на λ1.
⎛a11 − λ1
a12
⎜⎜
a22 − λ1
⎜⎜⎜ a21
⎜⎜
.
B = A − λ1 ⋅ E = ⎜⎜ .
⎜⎜ .
.
⎜⎜
⎜⎜
.
⎜⎝ an 1
. .
. .
. .
. .
. .
⎞⎟
⎟⎟
a2n ⎟⎟
⎟⎟
. ⎟⎟
⎟⎟
. ⎟⎟⎟
⎟
a22 − λn ⎠⎟⎟⎟
a1n
2) Применяется обычный степенной метод к матрице В и вычисляется C3 матрицы В
1) y
= B ⋅ x 2(k −1)
2) λB
(K )
x
3) 2
(K )
(x k −1, y )
= k −1 k −1
(x , x )
y
=
y
(K )
(K −1)
λ
−
λ
≺ε
B
4) B
5) λ2A = λB + λ1
Покажем, что СЗ матрицы А связано с СЗ матрицы В именно этим выражением.
B = A − λ* ⋅ E
Bx = λB ⋅ X
(A − λ * ⋅ E )x = λB ⋅ X
Ax − λ * ⋅ x = λB ⋅ X
Ax = (λ * + λB ) ⋅ X т.к. A ⋅ x = λA ⋅ x ,
λA* = (λ * + λB ) ⋅ X
⇒
то
λA = λB + λ *
Аналогично для СЗ λ3. Формируется матрицаC = B − λ2 ⋅ E (в матрице В уже учтен
сдвиг на λ2). По схеме степенного метода вычисляется СЗ для матрицы С λС:
λ3A = λC + λ2 + λ1 и т.д.
Пример:
λ1=18, λ2-?
⎛(11 − 18)
2 ⎞⎟⎟ ⎛⎜−7 −6
−6
2 ⎞⎟⎟
⎜⎜⎜
⎜
⎟
⎟⎟ ⎜
B = −λ1 ⋅ E + A = ⎜⎜⎜ −6
(10 − 18)
−4 ⎟⎟ = ⎜⎜−6 −8 −4 ⎟⎟⎟ ,
⎜⎜
⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜
⎟⎟⎟
⎟
−
−
2
4
12
⎜⎝
−4
2
(6 − 18)⎠⎟ ⎜⎝
⎠⎟
K=1:
λB
(1)
x 2(1)
K=2
y = Bx 2(0)
λ2(0)
⎛ 0 ⎞⎟
⎜⎜ ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
= ⎜ 1 ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜−1⎟⎟
⎝ ⎠
⎛
2 ⎞⎟⎟ ⎛⎜ 0 ⎞⎟⎟ ⎛⎜−8⎞⎟⎟
⎜⎜−7 −6
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
= ⎜−6 −8 −4 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜⎜−4⎟⎟
⎜⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜⎜ 2 −4 −12⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜−1⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ 8 ⎟⎟⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(x 2(0), y )
0−4−8
= (0) (0) =
−6
(x 2 , x 2 ) 0 + 1 + 1
⎛ 1 ⎞⎟
⎜⎜ ⎟
⎜ ⎟
y
=
= ⎜⎜0.5⎟⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟ ,
y
⎜⎜−1⎟⎟
⎝ ⎠
y = Bx 2(1)
(3)
K=3 λB = −12
⎛−7 −6
2 ⎞⎟⎟ ⎛⎜ 1 ⎞⎟⎟ ⎛⎜−12⎞⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜
⎟
⎜⎜
= ⎜−6 −8 −4 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜0.5⎟⎟ = ⎜⎜ −6 ⎟⎟⎟
⎜⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎟,
⎜⎜ 2 −4 −12⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜−1⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ 12 ⎟⎟⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠
⇒
x 2(2)
⎛ 1 ⎞⎟
⎜⎜ ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
= ⎜0.5⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜−1⎟⎟
⎝ ⎠
λB (2) = −12
λ2(A) = λB + λ1 = −12 + 18 = 6
32 Методы определения оптимальных настроек АРВ СД в системе.
Область статической устойчивости построенная в координатах настроечных пар-ров
АРВ СД имеет разные зоны затухания ЭМК
Под настройкой АРВ СД подразумевается пара настроечных коэффициентов
основного канала стабилизации Д/АРВ с.д. это первые производные по отклонению
частоты вектора U на шинах генератора (K0f ; K1f)
Основная задача – выбрать такую настройку АРВ с.д., которая будет обеспечивать
максимум демпфир. колеб. для основных режимов работы. Такая настройка АРВ наз.
оптимальной. Для её выбора строят серию кривых Д-разбиения при различных
значениях α , начиная с α=0
Кривая α = 0 даёт границу обл. устойчивости
α – кривые в плоскости K0f ; K1f являются отражениями α прямых, проведённых
параллельно мнимой оси в плоскости корней.
Мнимая ось при α = 0, слева устойчивая область, справа – неустойчивая.
Каждая α кривая (α ≠ 0 ) выдел. в область устойчивости, совокупность настроек АРВ
которых обеспечивают затухание ЭМК не ниже заданного α , например:
рассматривая зону ограниченной кривой α = - 0,5, Все настройки в этой зоне
обеспечив. затухание ЭМК не ниже α = 0,5 (внутри области выше 0,5) – зона А
Зона В: α = -1 настройка в зоне В обеспечена колебания по модулю не ниже 1.
В простейшей эн. системе α – кривые при возрастании α по модулю обычно
стягиваются в точку, кот. называется мах. степенью устойчивости.
Степень устойчивости значение α = расстоянию от мнимой оси до ближайшего корня
или пары корней.
Настройка АРВ выбран. по α мах. называется – оптимальной. Она будет обеспечивать
мах. возможное для данной системы (режима) затухания мех. ЭМК.
Какое демпфирование можно считать хорошим?
Известно, что большинство систем. аварий происходит из-за неправильных действий
диспетчера. При возникновении больших слабозатухающих колебаний, диспетчера
пытаются изменить настроечный коэфф. АРВ, но делают это вслепую, пытаются
вывести настройки на 0, выходя на границу устойчивости – самораск.
Проведя статистические исследования установили, что время принятия решения, т.е.
время в течении которого диспетчер оценивает ситуацию составляет 5 сек. Так же
экспериментальным путём установили, что чтобы диспетчер ничего не
предпринимал, необходимо, чтобы по истечении этого времени амплитуда колебаний
уменьшилась в 2 раза.
Минимально допустимые затухания.
α мин =
1
Т пр.реж.
ln
A1
1
= ln 2 = 0,14e −1
A2
5
αмин = -0,14е-1 – удовлетворительное затухание, но стараются демпфирование
осуществляется с запасом. IαI ≥ 0,5e-1
Выбор настроек АРВ с.д. по максимальной степени устойчивости возможен только
для простейшей системы. Для сложной системы это не приемлемо.
33 Выбор настроек АРВ СД в многомашинной ЭС.
АРВ каждого генератора может демпфировать не более 3-х мод ЭМК (сист, подсист,
и локальной) Демпфирование системных мод ЭМК в многомашинной системе в
одиночном АРВ – очень слабое и поэтому необходимо настраивать на
демпфирование системы АРВ нескольких генераторов, в основном мощных станций.
Рассмотрим ЭЭС с n-генераторами, оснащёнными АРВ с.д.
Возможны следующие способы выбора
настроек АРВ:
1) Последовательная координация. На всех
генераторах устанавливаются АРВ с.д. с
нулев. или штатными настройками Строятся
области Д-разбиения для АРВ ген. №1 и
выбирается настройка, соответствующая
αмах . Далее строится область разбиения для
Г2 при выбранной настройки генератора 1 и
т.д. последовательно обходятся генераторы.
Оказалось, что рост мах. степени
устойчивости прекращается на 2-ом
генераторе (3-ем) и далее практически не
изменяется. Причём значение αмах сильно
зависит от обхода генератора.
Например:
IαмахI = 0,3 – с Г1
IαмахI = 0,05 – с Г5
Последовательная координация не даёт оптимальных настроек АРВ и может не
обеспечивать необходимый уровень демпфирования мод ЭМК.
Используется для ЭЭС с малым количеством генераторов (3-4), а также при выборе
настроек выводимых в эксплуатацию генератора.
2) Автономная(независимая) настройка. Базируется на основе Д-разбиения и
модального анализа. Предварительно проводится модальный анализ динамических
свойств нерегулируемой системы ( без учёта динамических свойств АРВ, но с учётом
статических характеристик АРВ) K0U → ∞ . Выявляются все f эмк (сист,п/сист)
низкочастотные, слабозатухающие по собственным векторам определяется
наблюдаемость и управляемость системных мод ЭМК. Строят области Д-разбиения
для каждого генератора, при отключении АРВ на остальных генераторах. Называется
автономной областью Д-разбиения. Для многомашинной эн. системы α кривые могут
иметь несколько петель, как в области устойчивости, так и вне её. Петли внутри
области устойч
ивости могут стягиваться к разным значениям αмах.
↑ α => αмах1 = -0,6
αмах2 = -2
λ1 ± jω1 = −0,6 ± j4,0 : λ 2 = −0,5 ± j8,0
K0f , K1f :
λ1 = −0,1 ± j4,0
K0f_2 , K1f_2 : λ 2 ± jω2 = −2 ± j8,0 :
После выбора автономных настроек для (n-1) генератора, для последнего ген-ра
строится кривая Д-разбиения при установленных настройках на предыдущих
генераторах.
3) Одновременная координация настроек АРВ с.д.
- возможна только при численном поиске настроек.
В качестве критерия оптимальности используются функционалы (ЦФ) следующего
типа:
F =
n −1
∑
i =1
a
αi
b i n – число генераторов в ЭС. (n-1) – число мод ЭМК.
α1
F = a b1 + a α 2 b 2 + ... + a αn −i b n −i
λ i = α i ± jωi
Q – основная функция α частот.
bi – рейтинг i-ой моды колебаний.
Можно дать разный рейтинг модам ЭМК с разными ω
b1 = 1 (для системной моды)
bn-1 = 0 v 0,1 (для локальной моды)
Чем ↓ αi, тем ↓ функциональные качества → минимизация Ц.Ф.
αi зависит от настроечных параметров АРВ. αi = αi (k1 k2… km)
m – число одновременно оптимизируемых коэффициентов АРВ с.д.
В качестве метода оптимизации используется градиентный метод
Выделяется градиент функционала качества grad F(k) =
∂F
∂F
∂F ∂F
)
=(
;...
;
∂K 1 ∂K 2 ∂K m
∂K
Компоненты – частные производные функции по настроечным параметрам
∂F n −1 αi ∂α i
= ∑ a bi
∂K j i =1
∂K j
M i, j =
∂α i
∂K j
- определяет чувствительность коэффициента затухания i-ой моды
колебания к изменению j-ого настроечного параметра АРВ и называется
коэффициентами чувствительности.
1) на основе алгоритма Д-разбиения
ΔK j → Δα i → H i , j =
Δα i
ΔK j
2) использование модальной матрицы СВ.
Упрощённая схема градиентного метода: на каждой итерации вышел к (в-р
настроечных параметров)
( k +1)
(k)
(k)
K
=k
+ h ( −grad F( K
K ( k +1) = k ( k ) + h
))
∂ (k)
k
∂K
n −1
∂F
(k )
αi k
=
a
⋅
b
⋅
μ
, j = 1...m
∑
i
ij
(k)
∂K j
i =1
k
k −1
α − αi
μ ij = i k
k −1
kj − kj
мин F – обеспечивает оптимальные настройки АРВ с.д. генераторов по условиям
демпфирования ЭМК.
Окончание итерационного процесса м.б. по одному из 2-х условий.
- при достижении αi < αзад
итер
≥ Кмахитер
- при достижении заданного числа максимальных итераций, т.е, К
34 Задача расчета динамической устойчивости и длительных пп в ЭС.
Исследование проводится для решения следующих задач.
1) Обеспечение надежности работы энергосистемы
2) Для анализа аварий, возникающих в ЭС и выработки мероприятий по их
предотвращению
3) Выбор П/Аварийной автоматики
4) Составление инструкций для оперативного персонала
5) Для подготовки к системным испытаниям и оценки их результатов.
В наст. время осн. часть исслед-й проводится в связи с выбором типов и режимов
п/ав. авт-ки.
Расчеты проводятся для длительной оценки динамической устойчивости:
1) Длительность до 10с (1-2 качания)
2) Длительные ПП с учетом действия п/ав автоматики
Формирование мат. Модели ЭС для расчета переходного процесса.
В общем случае поведение эл. Динамической системы описывается системой
уравнений, которая приводится к форме Коши:
y'1 = f1 (t1, y1, y2 ,..., yn )
y'2 = f 2 (t1, y1, y2 ,..., yn )
.............................
y'n = f n (t1, y1, y2 ,..., yn )
Запишем систему n-го порядка в след. Форме, введя обозначения:
⎛ y1 (t ) ⎞
⎜
⎟
y
(
t
)
2
⎟
y (t ) = ⎜
⎜ ..... ⎟
⎜
⎟
y
(
t
)
⎝ n ⎠
Вектор правых частей:
⎛ f1 ( y1 , y2 ,..., yn ) ⎞
⎜
⎟
(
,
,...,
)
f
y
y
y
2
1
2
n
⎟
f(t,y) = ⎜
⎜ .....
⎟
⎜
⎟
⎝ f n ( y1 , y2 ,..., yn ) ⎠
Вектор начальных условий для расчета заданного ПП:
⎛ y10 ⎞
⎜
⎟
y20 ⎟
⎜
y0 =y0 (t) =
⎜ ..... ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ yn 0 ⎠
В общем случае на функции Y и их производные накладываются ограничения
различного типа.
Математическая модель в векторной форме:
y'=f(t,y)
y(t 0 ) = y0
Все методы мы рассматриваем на примере 1 уравнения.
Мат. модель ЭС для расчета динамической устойчивости.
Приведение к форме Коши:
1) считаем, что генераторы оснащены АРВ пропорционального действия
(неявнополюсные)
2) Мощности турбины остаются постоянными
3) Не учитывается п/п в демпферных контурах
4) Модель системы остается неизменной, так как предназначена для расчета ???
Уравнение движения:
TJ d 2 Θ
= ( PT − P ) ; (1) Θ − абс.угол
ωном dt 2
dE 'q
+ Eq = Eqe ; (2)
dt
k0U
(U − U Г )(3) − для АРВ ПД
Eqe =
(1 + pTp )(1 + pTe ) Г 0
Td 0
Данный закон регулирования дает 2 диф. уравнения:
dU АРВ
+ U АРВ = K 0U (U Г 0 − U Г ) − для регулятора
dt
dE
Te qe + Eqe = U АРВ − для возбудителя
dt
Процесс приведения к форме Коши аналогичен процессу приведения уравнения к
нормальной форме.
Отличие: модель при расчете дин. уст-сти дополнительно не линеаризуется, как при
расчете стат. уст-сти.
Модель явл. однолинейной, и на нее могут накладываться ограничения по Eqe и
Uарв.
Модель рассматриваемой ЭС, записываемой в форме Коши, представляется моделью
5-го порядка.
dθ
dS ωном
= S;
=
( PT − P )
dt
dt
TJ
dE 'q
dEqe 1
1
=
= (U АРВ − Eqe )
Eqe − Eq ) ;
(
dt
Td 0
dt
Te
dU АРВ 1
= ⎡⎣ K 0U (U Г 0 − U Г ) − U АРВ ⎤⎦
dt
Tp
В этой системе неопределенны несколько параметров правой части. Необходимо
определить правую часть для начала первого шага расчета ПП.
В данном случае не определены P, Eq, Uг.
Система дополняется алгебраическим уравнением связи. Они находятся из ВД СМ и
уравнений уст. Режима в эл. сети.
Tp
35 Задачи расчёта динамической устойчивости и длительных переходных
процессов в ЭЭС.
1) Обеспечение надёжности работы ЭЭС;
2) Для анализа аварий, возникающих в ЭЭС и выработки противоаварийных
мероприятий;
3) Для выбора и настройки противоаварийной автоматики;
4) Для составления инструкций для оперативного персонала;
5) Для подготовки к системным испытаниям и оценки их результатов.
В настоящее время основная часть исследования выбирается в связи с устройствами
противоаварийной автоматики.
36 Математическая модель для расчёта динамической устойчивости и
длительных п/п в ЭЭС.
В общем случае описывается системой дифференциальных уравнений, которые приводятся к
Форме Коши:
y'1 = f1 (t1, y1, y2 ,..., yn )
y'2 = f 2 (t1, y1, y2 ,..., yn )
.............................
y'n = f n (t1, y1, y2 ,..., yn )
⎛ y1 (t ) ⎞
⎜
⎟
y2 (t ) ⎟
⎜
y(t) =
⎜ ..... ⎟
⎜
⎟
⎝ yn (t ) ⎠
⎛ f1 ( y1 , y2 ,..., yn ) ⎞
⎜
⎟
f 2 ( y1 , y2 ,..., yn ) ⎟
⎜
f(t,y) =
⎜ .....
⎟
⎜
⎟
⎝ f n ( y1 , y2 ,..., yn ) ⎠
⎛ y10 ⎞
⎜ ⎟
y
y0 =y0 (t) = ⎜ 20 ⎟
⎜ ..... ⎟
⎜ ⎟
⎝ yn 0 ⎠
y'=f(t,y)
y(t 0 ) = y0
Математическая модель ЭЭС для расчёта динамической устойчивости.
TJ d 2θ
= PT − P ( 1 )
ωном dt 2
dE 'q
+ Eq = Eqe ( 2 )
Td 0
dt
K 0U
Eqe =
(U − U ) ( 3 )
(1 + pTp ) (1 + pTe ) Г 0 Г
dEqe
+ Eqe = U АРВ ( 4 )
dt
dU АРВ
+ U АРВ = K 0U (U Г 0 − U Г )
Tp
dt
Te
Процесс приведения к форме Коши аналогичен приведению к нормальной форме.
Отличие заключается в том, что модель не линеаризуется.
Модель остаётся нелинейной, кроме того на неё накладываются ограничения различного рода.
Модель рассматриваемой энергосистемы в форме Коши представляет модель 5-го порядка.
dθ
= S;
dt
dE 'q
1
=
( E − Eq );
dt
Td 0 qe
dU АРВ 1
= ⎡⎣ K 0U (U Г 0 − U Г ) − U АРВ ⎤⎦
dt
Tp
dS ωном
=
( PT − P )
dt
TJ
dEqe 1
= (U АРВ − Eqe )
dt
Te
Необходимо, чтобы правые части дифференциальных уравнений были определены.
P, Eq ,U Г
Математическая модель ЭЭС для расчёта длительных п/п должна учитывать
изменение частоты в системе.
d ρT
1
= ( a1μ − ρT )
dt TП
dμ 1
= (a S − μ )
dt TS 2
PT = PT 0 (1 − γ ) + γ Pном ρT
Здесь: μ − коэффициент, характеризующий степень открытия регулирующего аппарата,
S − скольжение,
TП − постоянная времени парового объёма,
TS − постоянная времени регулятора скорости.
37 Методы расчета ЭМПП.
Правильность расчетов п/п зависит не только от используемых моделей, но и от
эффективности метода, которым осуществляется интегрирование диф. уравнений.
Задача расчета ЭМК с матем. точки зрения сводится к решению задачи Коши.
В задачи Коши требуется предсказать поведение дин. сист. для t > t0, при
условии, что начальное состояние сист. в момент t0 известно.
Для сис-мы, поведение кот-й описывается сист-й диф.ур.
y ' = f (t , y , y ,..., y ) i = 1,2,...n
i
i
1
2
n
необходимо на конечном отрезке времени [t0, T] найти решение. yi (t ) которое будет
удовлетворять следующим нач. условиям yi (t0 ) = yi 0 , i = 1,2,...n. Решение yi (t )
называется интегральными кривыми. Процесс нахождения решения сист. диф. ур-й
называетсяся интегрированием этой системы.
В настоящее время используются разл-е методы числ. интегрирования диф.ур-й
п/п.
Общепринятый подход заключается в переходе к дискретной задаче Коши. Это
значит, что решение y (t ) вычисляется не на всем непрерывном отрезке [t0, T], а в
некоторых конечных дискретных точках, которые наз-ся узлами сетки.
Величина между соседними узлами наз-ся шагом сетки hk = tk − tk −1 . Шаг сетки м.б.
как переменным, так и постоянным. Если шаг постоянный, то
T − t0
; t =t + k ⋅h
hk = h =
N k 0
Решая дискретную задачу Коши, определяются y1 , y2 ,... yn , которые являются
приближенными к точному значению y (t ) в соотв. узлах сетки. Для вычисления
приближ. значения yk надо знать приблеженно yk −1, yk −2 ,... y0 .
Если формула, по которой выч-ся yk зависит от явно от yk −1 , то метод
численного интегрирования называется одношаговым yk ← yk −1 . Если yk вычисляется
по двум или более ранее найденным знач-ям, то такой метод называется
многошаговым yk ← yk , yk −1
Простейшим аналогом диф. ур-я является разностная аппроксимация в левой
части:
y −y
d y Δy
, или на каждом шаге k +1 k = f (tk , yk )
y ' = f (t , y ). y ' =
≈
d t Δt
hk
yk +1 = yЭйлера
(tk , yk )рассматривать
– явный методкак
Эйлера.
k + h ⋅ fможно
Метод
метод Рунге-Кутта 1-го порядка
точности.
Решения методами Рунге-Кутта согласуется с реш-ями y (t ) , которые получаются из
раз-ложения м-дом Тейлора (оставляются только члены с шагом h p , где p – порядок
метода.
Все методы Р-К 1- 4 порядка являются одношаговыми, это позволяет начать поиск
решения, используя начальные приближения – самостарт. методы. Эта особенность
метода допускает изменение шага расчета, что дает возможность строить алгоритм с
автоматическим выбором шага.
Все методы Р-К являются явными, т.к. функция в правой части диф.ур-я на
каждом шаге не зависит от вычисл. yn+1 , а определяется по ранее найденным
значениям.
Методы, в которых ф-я в правой части зависит от выч-я yn+1 наз-ся неявными:
yk +1 = yk + h ⋅ f (tk +1, yk +1) – неявный метод Эйлера
h
yk +1 = yk + ⋅ (( f (tk , yk ) + f (tk +1, yk +1)) – метод трапеции.
2 метод можно решить только итерац. формулой. На каждом шаге
Любой неявн.
необходимо решать систему относит. yk +1
.
Наиболее распростр. явл-ся сочетание явн. и неявн. м-дов: пример - многошаг. м-д
Прогноз-Коррекция.
В любом м-де численного интегр. диф. ур-й точность реш-я зависит от шага
интегрир-я.
Преимущества одношаговых методов:
1) Самостартующий. Длина шага интегр-я м.б. изменена в любой момент в процессе
вычисления.
2) В связи с перем. шагом облегчается учет разрывности (КЗ).(т.е. можно точно
просчитать момент до и после КЗ, а с постоянным шагом хрен знает, попадешь ты
точно в точку КЗ или нет)
Недостатки многошаговых методов:
1)Необх. многократн. вычисления ф-ций правых частей диф.ур-й. на каждом шаге
интегрирования.
2)Отсутствие простых средств оценки погрешности (накопление ошибки) и контроля
шага.
3)Необх. малого шага интегр. для достижения треб. точности. Не подходят для
решения жестких задач.
Преимущества многошаговых методов:
1) Относит небольшой объем вычислений произв.
2) возможность контроля шага
3)Возможность оценки погрешности не только на каждом шаге, но и накопленной
Недостатки многошаговых методов:
1) Сложность учета разрывности в процессе решения.
2) Несамостартующие. Для начала выч-ния необх. опред-ть к.-либо одношаг. м-дом
некоторое число нач. точек. Причем число т. зависит от порядка м-да и д.б.
вычисл. с точн-ю большей точности всего м-да.
Сравнения явных и неявных методов.
1) Неявные методы наиб. предпочтительны для решения жестких задач (неявный
метод Эйлера) (большая устойчивость метода) (неустойчивость числ. методов
обычно вызвана с нарастающим ожиданием колебаний в на отрезке времени когда
быстрые процессы уже, затухают а основной процесс будет медленно меняющимся)
2) Недостаток неявн. м-дов по сравн. с явн. – необходимость реш-я нелин. ур-й на
каждом шаге интегр.
Жесткие задачи – задачи моделир-я п/пр, компоненты которого имеют
несоизмер. времена затухания.
Оценка жесткости системы по действит. знач-ям матрицы состояния α i = Re(λi )
Длит. основного решения определяется коэф. затухания сист. моды | α i |< 0,5 с-1
Для явных методов шаг нобходимо выбирать из условия:
h≤
1
≈ min(T ), T − всейсистемы
max(α )
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Задача расчета устойчивости режимов ЭЭС.
Классификация задач расчета статической устойчивости ЭЭС.
Определение предельных режимов ЭС по условиям апериодической
статической устойчивости (критерий апериодической статической
устойчивости, понятие предельного режима).
Коэффициент запаса устойчивости ЭЭС.
Метод Ньютона и структура Якобиана.
Структура свободного члена ХУ.
Условия совпадения Якобиана и свободного члена ХУ.
Алгоритм расчета предельного по апериодической устойчивости режима.
Особенности проведения расчетов предельных по апериодической
устойчивости режимов для реальных схем ЭС.
Алгоритм вычисления Якобиана. Структура Якобиана с учетом изменения
частоты системы.
Критерий апериодической статической устойчивости с учетом изменения
частоты системы.
Расчеты статической устойчивости ЭС с учетом самораскачивания.
Формирование математической модели ЭЭС для расчета статической
устойчивости с учетом самораскачивания частотными методами (модель СМ).
Формирование математической модели ЭЭС для расчета статической
устойчивости с учетом самораскачивания частотными методами
(дополнительные уравнения балансной мощности ген. узлов).
Формирование математической модели ЭЭС для расчета статической
устойчивости с учетом самораскачивания частотными методами (уравнение
баланса мощностей для негенераторных сетевых узлов).
Развернутая блочно-матричная форма математической модели ЭЭС для
расчета статической устойчивости с учетом самораскачивания частотными
методами .
Расчеты областей статической устойчивости методом D разбиения для выбора
настроечных параметров САР.
Модальный анализ статической устойчивости и динамических свойств ЭС.
Основные определения.
Динамические свойства простейшей ЭЭС (консервативная идеализация).
Влияние различных факторов на частоту эл.мех. колебаний.
Динамические свойства простейшей ЭЭС с упрощенным учетом
демпфирования.
Динамические свойства двухмашинной ЭЭС. (хз будет или нет.. что-то она
вроде говорила)
Динамические свойства сложной ЭЭС. Вывод основного уравнения
модального анализа.
Понятие моды эл.мех. колебаний.
Основные показатели дин. свойств сложных ээс.
Приведение мат. Модели к нормальной форме.
Приведение мат. Модели простейшей нерегулируемой ээс к нормальной
форме.
Приведение мат. Модели системы автоматического регулирования к
нормальной форме.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
Приведение мат. Модели простейшей регулируемой ээс к нормальной
форме.
Методы расчета собств. Значений и собств. Векторов матрицы состояния ээс.
Степенной метод.
Методы расчета собств. Значений и собств. Векторов действительной матрицы
состояния ээс. Степенной метод со сдвигом.
Методы определения оптимальных настроек АРВ СД в системе.
Выбор настроек АРВ СД в многомашинной ЭС.
Расчеты дин. устойчивости и длительных пп ЭЭС.
Задача расчеты дин. устойчивости и длительных пп ЭЭС.
Мат модель для расчеты дин. устойчивости и длительных пп ЭЭС.
Методы расчета ЭМПП.