Теория вероятности

Теория вероятностей
П. 1.
П. 2.
П. 3.
П. 4.
П. 5.
П. 6.
П. 7.
П. 8.
П. 9.
П. 10.
План лекции
О теории вероятностей как науке ............................................................................................. 1
Основные определения теории вероятностей ......................................................................... 2
Частота случайного события. Определение вероятности ...................................................... 2
Применение комбинаторики к подсчету вероятностей .......................................................... 3
Алгебра событий. Правила сложения и умножения вероятностей ....................................... 4
Формула полной вероятности. Формула Байеса ..................................................................... 4
Формула Бернулли ..................................................................................................................... 5
Приближенные формулы Лапласа и Пуассона ....................................................................... 6
Случайные величины ................................................................................................................. 6
Числовые характеристики случайных величин ...................................................................... 7
П. 1. О теории вероятностей как науке
Теорию вероятности можно определить как раздел математики, в котором изучаются
закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Методы теории вероятностей широко применяются при математической обработке результатов измерений, а также во многих
задачах экономики, статистики, страхового дела, психологии.
Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Б. Паскаль, П. Ферма, Х. Гюйгенс). В
основе современной теории вероятности лежит концепция детерминированного подхода к явлениям окружающего мира. Суть данной концепции заключается в том, что при сохранении неизменными внешних условий, повторении некоторых определенных действий неизбежно можно прийти к прежнему результату. Эксперимент называется детерминированным, если его повторение не приводит к новым результатам. В противном случае, когда повторение эксперимента может приводить к другому результату, эксперимент называется случайным. Такое название связано с тем, что типичными экспериментами, в которых имеет место указанное явление (повторные действия приводят к разным результатам), являются эксперименты, заключающиеся в подбрасывании монеты или игрального кубика, раздачи колоды карт и т.д.
Задача теории вероятностей заключается в построении вероятностных моделей случайных экспериментов. Она позволяет придать строгий математический смысл таким словам,
как «случайность», «событие», «вероятность» и т.п., позволяет оценить шансы на появление
различных результатов, возможных в данном случайном эксперименте.
Необходимо знать, что вероятностная модель является идеализацией описываемого эксперимента, т.к. предназначена для воспроизведения только основных черт явления. Например,
при подбрасывании монеты мы предполагаем, что результатом эксперимента не может быть
пропажа монеты или приземление ее на ребро. Также чрезвычайно важным в теории вероятностей является предположение о принципиальной возможности многократного повторения случайного эксперимента. Если такой возможности нет, то построение вероятностной модели не
имеет смысла, т.к. конкретная информация о разных ситуациях, которые могут возникнуть в
данном случайном эксперименте, содержащаяся в вероятностной модели, раскрывается лишь
при многократном повторении этого эксперимента.
П. 2. Основные определения теории вероятностей
Опыт, эксперимент, наблюдения явления называется испытанием. Например, бросание
монеты, выстрел из ружья и т.д.
Результат (исход) испытания называется событием. Например, выпадение герба или
решки, попадание в цель или промах.
Для обозначения событий используются большие буквы латинского алфавита (А, В, С).
Два события называются совместимыми (совместными), если появление одного из них
не исключает появления другого в одном и том же испытании.
Например, однократное бросание игральной кости. Событие А – появление 3 очков, событие В – появление нечетного числа очков. События А и В совместны.
Два события называются несовместимыми (несовместными), если появление одного
из них исключает появление другого.
Например, появление при одном броске игральной кости одновременно 4 и 5 очков.
Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное А, обозначают
А.
Например, при стрельбе из ружья стрелок либо промахнется, либо попадет в цель.
События называются равновозможными (равновероятными), если нет оснований
предполагать, что в данном испытании одно из них более возможно, чем другое.
Например, при подбрасывании монеты равновероятными событиями будут выпадение
орла и выпадение решки.
События также бывают:
1. достоверными – если в данном испытании оно является единственно возможным его
исходом. Например, извлечение белого шара из урны, где все шары белые.
2. невозможными – если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Например, извлечение черного шара из урны с белыми шарами.
3. случайными – если событие объективно может наступить или не наступить в данном
испытании. Например, извлечение белого шара из урны, в которой хранятся и белые, и черные
шары.
П. 3. Частота случайного события. Оп ределение вероятности
Пусть А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Допустим, это
испытание произведено п раз в неизменных условиях и при этом событие А наступило в т случаях. Тогда отношение
п
т
называется частотой события А в данной серии испытаний.
Статистическое определение вероятности. Вероятностью случайного события А
называется число р(А), около которого колеблется частота этого события в длинных сериях испытаний.
Пример 1. Французский естествоиспытатель Бюффон (1707-1788) бросил монету 4040
раз, при этом герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной се2048
0,50693 . Также английский математик Пирсон (1857-1936)
рии испытаний равна:
4040
бросал монету 24000 раз, причем герб выпал 12012 раз. Следовательно, частота выпадения гер12012
0,5005 . Данные примеры подтверждают предба в данной серии испытаний равна:
24000
положение, что вероятность выпадения герба при одном бросании монеты равна 0,5.
Классическое определение вероятности. Вероятность события А - число р(А), характеризующее возможность появления этого события. По определению, 0 р(А) 1. Вероятность невозможного события равна 0, вероятность достоверного события – единице. Вероятность иногда выражают в процентах.
Если некоторый опыт может иметь п исходов и нет оснований считать появление какоголибо исхода более вероятным, чем другие (т.е. исходы равновероятны), полагают вероятность
одного исхода равной 1/п. Если событие А происходит в результате одного из т равновероятных исходов, то р(А)=т/п.
Пример 2. Из колоды карт наудачу выбирают одну карту. Найти вероятность того, что
это карта пиковой масти.
Считая, что в колоде 36 карт, мы имеем общее число исходов п=36. Число благоприятных исходов, т.е. число карт пиковой масти т=9. Следовательно, р(А)= т/п=9/36=0,25.
П. 4. Применение комбинаторики к подсчету вероятностей
Если из совокупности объема п производится выборка k элементов с возвращением, то
1
k
вероятность получения каждой конкретной выборки считается равной n . Если наступление
данного события состоит в появлении выборки с какими-то дополнительными условиями и коm
личество таких выборок равно т, то вероятность будет равна p( A)
.
nk
Пример 3. Игральная кость брошена 3 раза. Какова вероятность того, что при этом все
выпавшие грани различны?
 В данном случае количество возможных исходов – это количество выборок из 6 элементов 3 элементов с возвращением, т.е. 63. Количество благоприятных исходов равно количеству способов, которыми можно выбрать 3 различных грани игральной кости. При этом для нас
важен порядок следования граней. Следовательно, количество благоприятных исходов равно
А Искомая вероятность равна p( A)
3
6.
A63
.
63
Если из совокупности объема п производится выборка k элементов без возвращения, то
вероятность получения каждой конкретной выборки считается равной
1
. Если наступление
Аnk
данного события состоит в появлении выборки с какими-то дополнительными условиями и количество таких выборок равно т, то вероятность будет равна p( A)
m
.
Ank
Пример 4. Из букв слова «ротор»,составленного с помощью разрезанной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что
получится слово «тор»?
 Общее число исходов равно А5 . Слово «тор» получится в 1*2*2=4 случаях (букву т
можно выбрать 1 способом, буквы о и р – двумя, используется правило произведения). Искомая
3
вероятность равна: p( A)
4
.
A53
Пусть в урне находятся п предметов. Испытание состоит в том, что из урны извлекается
группа из т предметов (без возвращения и без учета порядка предметов внутри группы). Количество таких выборок равно
1
C nm
С nm , и мы предполагаем, что все они имеют равные вероятности
.
Пример 5. В партии из п деталей имеется m бракованных. Какова вероятность того, что
среди наудачу отобранных k деталей окажется s бракованных?
 Количество всех исходов равно
Cnk . Для подсчета числа благоприятных случаев рас-
суждаем так: из т бракованных деталей можно выбрать s деталей
Cns
способами, а из п – т не-
k s
m
бракованных деталей можно выбрать k- s небракованных деталей C n
способами. По правилу
Cns C nk ms . Искомая вероятность равна:
C ns C nk ms

C nk
произведения число благоприятных случаев равно
p( A)
П. 5. Алгебра событий. Правила сложения и умножения вероятн остей
Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы
одного из событий А или В. Аналогично определяется сумма большего числа событий. Например, появление четной грани кости есть сумма трех событий: выпадение 2, или 4, или 6.
Произведением событий А и В называется событие С=АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А, и событие В.
Аналогично произведением конечного числа событий А1, А2, …, Аk называется событие
А=А1А2…Аk, состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.
Условная вероятность - вероятность появления события В при условии, что произошло событие А, обозначается p(B/A).
Правило сложения вероятностей
Для несовместных событий:
Для произвольных событий:
p( A1 A2  An ) p( A1 ) p( A2 )  p( An ) p( A B) p( A) p( B) p( AB)
Правило умножения вероятностей
Для независимых событий
Для произвольных событий:
p( A1 A2  An ) p( A1 ) p( A2 )  p( An ) p( AB) p( A) p( B / A)
p( A1 A2  An ) p( A1 ) p( A2 / A1 ) p( A3 / A1 A2 ) p( An / A1 A2  An 1 )
Вероятность противоположного события равна p( A) 1
p( A) .
П. 6. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Пусть событие А может наступить только с одним из п, попарно несовместных событий
Н1, Н2,…, Нп, которые по отношению к А называются гипотезами. Тогда вероятность события
А можно вычислить по формуле полной вероятности:
n
p( A)
p( H i ) p( A / H i ).
i 1
Если стало известно, что событие А произошло, то вероятность р(Нi) (i=1, 2, …, п) можно
переоценить, т.е. найти условные вероятности р(Нi\A). Эта задача решается с помощью формулы Байеса:
p( H i ) p( A / H i )
p( H i / A)
,
p( A)
где р(А) вычисляется по формуле полной вероятности.
Пример 6. В первой урне 2 белых и 6 черных шаров, во второй – 4 белых и 2 черных. Из
первой урны наудачу переложили 2 шара во вторую, после чего из второй урны наудачу достали один шар.
а) Какова вероятность того, что этот шар белый?
б) Шар, взятый из второй урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из первой
урны во вторую были переложены 2 белых шара?
 а) Введем обозначения: А – шар, извлеченный из второй урны, белый; гипотезы Н1 –
из первой урны во вторую переложены 2 белых шара, Н2 – переложены 2 разноцветных шара,
Н3 – переложены 2 черных шара. Тогда
p( A) p(H1 ) p( A / H1 ) p(H 2 ) p( A / H 2 ) p(H 3 ) p( A / H 3 )
Вероятности гипотез и условные вероятности вычисляем по классической схеме расчета
вероятностей:
C 21 C 61 12
C 62 15
1
, p( H 2 )
,
p
(
H
)
3
28
28
C82
C82 28
6 3
5
4 1
p( A / H 1 )
, p( A / H 2 )
, p( A / H 3 )
8 4
8
8 2
Полученные результаты подставим в формулу для р(А):
1 3 12 5 15 1 9
p(A)
.
28 4 28 8 28 2 16
б) Вероятность р(Н1\А) находим по формуле Байеса:
p( H 1 ) p( A / H 1 ) 1
.
p( H1 / A)
p( A)
21
p( H 1 )
C 22
C82
П. 7. Формула Бернулли
Рассматривается последовательность п независимых опытов 1 , 2 , , n , в каждом из
которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью р=р(А). Условно это событие рассматривается как успех, а его ненаступление – как неудача. Вероятность неудачи равна
q=1-p.
Пусть для заданного целого числа k (0 k n) Рп (k) обозначает вероятность того, что в п
опытах успех наступит ровно k раз. Имеет место формула Бернулли:
Pn (k ) Cnk p k q n k (1)
Пример 7. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка
равна 0,8 и не зависит от номера выстрела. Требуется найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.
 В этом примере п=5, р=0,8 и k=2. По формуле Бернулли имеем:
P5 (2) C52 0,8 2 0,2 3 0,0512 
То число k0, которому при заданном п соответствует максимальная вероятность Рп(k0),
называется наиболее вероятным числом успехов.
Для нахождения наиболее вероятного числа успехов k0 по заданным п и р можно воспользоваться правилом: если число пр+р не цело, то k0 равно целой части этого числа; если же
это число целое, то k0 имеет два значения k’0=np-q и k”0=np+q.
Пример 8. Найдите наиболее вероятное число попаданий в мишень при 5 выстрелах и
соответствующую этому числу вероятность, используя условие предыдущего примера.
 Т.к. пр+р=5*0,8+0,8=4,8 не целое, то k0=4; вероятность Р5 (4) С54 0,8 4 0,2 0,4096 .
Пример 9. Найдите наиболее вероятное число выпадений герба при 25 бросаниях монеты.
 Число пр+р=25*0,5+0,5=13 – целое, поэтому k 0 12 и k 0 13. 
Пусть Рп(k1 k k2) – вероятность того, что в п опытах схемы Бернулли успех наступит от
k1 до k2 раз (0 k1 k2 п). Тогда имеет место формула
k2
Pn (k1
k
k2 )
k2
Pn (k )
k k1
C nk p k q n k . (2)
k k1
Вероятность Рп(1 k n) того, что в п опытах успех наступит хотя бы один раз, равна:
Pn (1 k n) 1 q n . (3)
Пример 10. Монета брошена 10 раз. Найдите вероятность того, что герб выпадет: а) от 4
до 6 раз; б) хотя бы один раз.
 а) По формуле мы имеем: п=10, k1=4, k2=6, p=q=0,5. Подставив в формулу (2), получим:
P10 (4 k 6) P10 (4) P10 (5) P10 (6) C104 0,54 0,56 C105 0,55 0,55 C106 0,56 0,54 =
210
252
210 21
1024 1024 1024 32
б) По формуле (3) P10 (1 k
1
2
10) 1
10
1023
.
1024
П. 8. Приближенные формулы Лапласа и Пуассо на
1
( x) , где
npq
При больших п имеет место приближенное равенство Pn (k )
x
k
np
,
npq
( x)
1
e
2
x2
2
(таблицу значений см. в приложении 1).
При больших п имеет место приближенное равенство Pn (k1
x1
k1
np
npq
, x2
k2
np
npq
,
( x)
1
2
k
k2 )
( x2 )
( x1 ) , где
2
x
e
t
2
dt (таблицу значений см. в приложении 2).
0
Для нахождения значений функции (х) и (х) для отрицательных значений аргументов
следует иметь в виду что (х) четная функция, а (х) – нечетная.
Данными формулами на практике пользуются в случае, если npq 10, то эти формулы
приводят к довольно большим погрешностям.
k
При больших п и малых р справедлива формула Пуассона: Pn (k )
k!
e , где =пр (таб-
лицу значений функции Пуассона см. в приложении 3).
Пример 11. Вероятность наступления события А в каждом из 300 независимых испытаний равна р=0,8. Найдите вероятность того, что событие А произойдет: а) 750 раз; б) от 710 до
740 раз.
 Т.к. прq=900*0,8*0,2=14,4 10, то в пункте а) воспользуемся первой формулой Лапласа, в в пункте б) второй формулой Лапласа.
750 900 * 0,8
2,5;
(2,5) 0,0175
а) x
900 * 0,8 * 0,2
1
1
P900 (750)
(2,5)
* 0,0175 0,00146
12
12
710 720
740 720
0,83; x2
1,67
б) x1
12
12
(-0,83)=- (0,83) -0,2967; (1,67) 0,4527
Р900(710 k 740) 0,4525+0,2967=0,7492 
Пример 12. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0,01. Найдите вероятности
следующих событий: а) в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию; б) в течение часа не
более 4 абонентов позвонят на станцию; в) в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на
станцию.
 Т.к. р=0,01 мало и п=400 велико, то будем пользоваться приближенной формулой Пуассона при =400*0,01=4.
42 4
а) P400(5)
e
0,156293 ;
5!
б) Р400(0 k 4) 0,018316+0,073263+0,146525+0,195367+0,195367=0,628838;
в) Р400(3 k 400)=1- Р400(0 k 2)=1-0,018316-0,073263-0,146525=0,761896. 
П. 9. Случайные величины
Случайной величиной, связанной с данным опытом, называется величина, которая при
каждом осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее
неизвестно, какое именно.
Говорят, что задана дискретная случайная величина х, если указано конечное множество чисел х1, х2,…, хп, и каждому из этих чисел поставлено в соответствие некоторое положительное число pi, причем p1+р2+…+рп=1.
Числа х1, х2,…, хп называются возможными значениями случайной величины х, а числа
p1, р2, …, рп – вероятностями этих значений ( pi P(x xi ) ).
хi х1 х2 … хп
pi р1 p2 … рп
Данная таблица называется законом распределения случайной величины х.
Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины изображают
графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (хi,pi ) и соединяют последовательно отрезками прямых. Получающаяся при этом ломая линия называется многоугольником распределения случайной величины х.
Если возможными значениями дискретной случайной величины х являются 0, 1, 2, …, п,
а соответствующие им вероятности вычисляются по формуле Бернулли:
Pn (k ) Cnk p k q n k , k=0,1, …, п; q=1-р,
то говорят, что случайная величина х имеет биноминальный закон распределения.
Пусть заданы натуральные числа m, n, s, причем т s n. Если возможными значениями
дискретной случайной величины х являются 0, 1, 2, …, т, а соответствующие им вероятности
вычисляются по формуле
C mk C ns mk
p k p(x k )
, k = 0, 1, …, т,
C ns
то говорят, что случайная величина х имеет гипергеометрический закон распределения.
П. 10. Числовые характеристики случайных величин
Математическим ожиданием дискретной случайной величины х с законом распределения:
хi х1 х2 … хп
pi р1 p2 … рп
называется число М[x]=x1p1+ x2p2+…+ xnpn.
Свойства математического ожидания:
1. М[c]=c, если с постоянная.
2. М[cх]=cМ[x], если с постоянная.
3. M [x1 x 2 ... x n ] M [x1 ] M [x 2 ]  M [x n ] .
Дисперсией случайной величины х называется число D[x] M [(x M [x])2 ] . Также
справедлива формула D[x] M [x 2 ] M [x]2 .
Свойства дисперсии:
1. D[c]=0, если с постоянная.
2. D[cx]=c2D[x], если с постоянная.
[x]
D[x]
Число
называется
средним
квадратичным
отклонением.