1 Ансамбль ¢ статистической механике

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®â«¨ç îé¨åáï ¤à㣠®â ¤à㣠ª®­ä¨£ãà æ¨ï¬¨ ¨ ᪮à®áâﬨ, ª®â®à묨 ®­¨
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ª®­ä¨£ãà 権 ¨ ᪮à®á⥩. à¨ í⮬ ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®áâ ¢¨âì § ¤ çã ­¥ â ª,
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®¯à¥¤¥«ïî饥 ᪮à®áâì ¨§¬¥­¥­¨ï ç¨á« á¨á⥬, § ª«î祭­ëå ¢ «î¡ëå ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «ëå ¨­â¥à¢ « å ª®­ä¨£ãà 権 ¨ ᪮à®á⥩."
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1.1
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¢ â¥à¬®¤¨­ ¬¨ª¥ { ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¬ ⥫®¬, á®áâ®ï騬 ¨§ ¡®«ì讣® ç¨á« í«¥¬¥­â à­ëå á®áâ ¢«ïîé¨å N N = 6 1023 ¬®«ì 1 . ® ¢ ®â«¨ç¨¥ ®â
â¥à¬®¤¨­ ¬¨ª¨, ¢ à ¬ª å ª®â®à®© ®¡à é îâáï ª íªá¯¥à¨¬¥­â «ì­ë¬ ¤ ­­ë¬ ® ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨­ å, ¬¥â®¤ë áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨ ¯®§¢®«ïîâ:
¢ëç¨á«ïâì â¥à¬®¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥ ¯ à ¬¥âàë (ãà ¢­¥­¨ï á®áâ®ï­¨ï) ¨áå®¤ï ¨§ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨© ® ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®¬ ãáâனá⢥ á¨á⥬ë { ¨§
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¨áá«¥¤®¢ âì ᢮©á⢠­ ¬¨ªà®ã஢­¥ ¨áå®¤ï ¨§ १ã«ìâ ⮢ ¨§¬¥à¥­¨ï
¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨­.
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¨««îáâà¨àãî饬 ¨¤¥î ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮£® ᮪à 饭¨ï ®¯¨á ­¨ï ¬ ªà®á¨á⥬ë.
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3
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í¢®«î樨 á¨á⥬ë, ¨§®¡à ¦¥­­®© ­ á奬¥.
1, 2 { § ¤ ç¨ ®¡®á­®¢ ­¨ï: ª ª¨¬ ®¡à §®¬ ¯à¨à®¤ "®£àã¡«ï¥â" á¨á⥬ã (í࣮¤¨ç­®áâì, ¯¥à¥¬¥è¨¢ ­¨¥, çâ®{â® ¥é¥?); ¯¥à¥¬¥è¨¢ ­¨¥
ï¥âáï ¡®«¥¥ ¢ ¦­ë¬ ᢮©á⢮¬, ­¥¦¥«¨ ᮡá⢥­­® í࣮¤¨ç­®áâì,
­® ®­® ­¨ç¥£® ­¥ £®¢®à¨â ­¨ ® ᪮à®áâ¨, á ª®â®à®© á¨á⥬ ¯à¨¡«¨¦ ¥âáï ª à ¢­®¢¥á­®¬ã á®áâ®ï­¨î, ­¨ ® ¬ «®á⨠ä«ãªâã 権 ¢ ¡®«ìè¨å
á¨á⥬ å;
3 { § ¤ ç¨ ä¨§¨ç¥áª®© ª¨­¥â¨ª¨ ª®­ªà¥â­ëå á¨á⥬: ¯à®æ¥ááë ¢ ­¥®¤­®à®¤­ëå ¨ ­¥áâ 樮­ à­ëå ãá«®¢¨ïå, áâ 樮­ à­ë¥ ¯à®æ¥ááë ¯¥à¥­®á { ¤¨ää㧨ï, ⥯«®¯à®¢®¤­®áâì, ¢ï§ª®áâì ¨ â. ¯.;
4 { § ¤ ç¨ ¬¥å ­¨ª¨ ᯫ®è­ëå á।: â¥ç¥­¨¥ ¨¤¥ «ì­®© ¨ ¢ï§ª®© ¦¨¤ª®á⥩, âãà¡ã«¥­â­®áâì, 㤠à­ë¥ ¢®«­ë, ¯®£à ­¨ç­ë¥ ¥­¨ï, ५ï⨢¨áâáª ï £¨¤à®¤¨­ ¬¨ª , ᢥàå⥪ãç¥áâì ¨ â. ¤.;
5 { § ¤ ç¨ ¯à¨ª« ¤­®£® å à ªâ¥à ¨§ à §«¨ç­ëå ®¡« á⥩ 䨧¨ª¨ {
䨧¨ª¨ ⢥म£® ⥫ , ¬ £­¥â¨§¬ , 䨧¨ª¨ ­¨§ª¨å ⥬¯¥à âãà, 䨧¨ª¨
§¢¥§¤, í¢®«î樨 ‚ᥫ¥­­®©, 拉୮© 䨧¨ª¨ ¨ ¤à.
1.2
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‚ ª« áá¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¥ á¨á⥬ ¨§ s á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë ®¯¨áë¢ ¥âáï
ãà ¢­¥­¨ï¬¨ ƒ ¬¨«ìâ®­ q_i
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á¨á⥬ë, q ; p { ®¡®¡é¥­­ë¥ ª®®à¤¨­ âë ¨ ¨¬¯ã«ìáë. Š § «®áì ¡ë, à¥è¨¢
á¨á⥬ã 2s ãà ¢­¥­¨© (1) á ­ ç «ì­ë¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨ q0 = q (0), p0 = p (0),
¯®«ã稬 ®¯¨á ­¨¥ ᢮©á⢠¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®£® ®¡ê¥ªâ . ® íâ® ­¥ â®â ¯ãâì,
ª®â®àë© ¯à¨¢®¤¨â ª ãᯥåã. ˆ ¤¥«® ¤ ¦¥ ­¥ ¢ ⮬, çâ®¡ë ¯à¥®¤®«¥âì ¢ëç¨á«¨â¥«ì­ë¥ âà㤭®á⨠(ᮢ६¥­­ë¥ ‚Œ ¯®§¢®«ïîâ ¤¥â «ì­® ¨áá«¥¤®¢ âì ¬®«¥ªã«ïà­ãî ¤¨­ ¬¨ªã á¨á⥬ ¨§ 103 ¨ ¡®«¥¥ ç áâ¨æ). „¥«® ¢ ⮬,
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á ¬ á¬ë᫠䨧¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨­ ­ ¬¨ªà®ã஢­¥ ®â«¨ç¥­ ®â á¬ëá« ­ ¬ ªà®ã஢­¥; ¢ ç áâ­®áâ¨, ¯«®â­®áâì ¢¥é¥á⢠¥áâì äã­ªæ¨ï ª®®à¤¨­ â ¨ ¨¬¯ã«ìᮢ ç áâ¨æ, ¢á«¥¤á⢨¥ 祣® ®­ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ä«ãªâã¨àãîéãî ¢¥«¨ç¨­ã { äã­ªæ¨î á ᨭ£ã«ïà­®áâﬨ, ⮣¤ ª ª ­ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª®¬ ã஢­¥ íâ® £« ¤ª ï äã­ªæ¨ï, ª ª ¯à ¢¨«®, ­¥¯à¥à뢭 ï, ᪮à®áâì ¨§¬¥­¥­¨ï ª®â®à®© ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ­¥¡®«ì訬 ç¨á«®¬
¬ ªà®¯ à ¬¥â஢, ­® ­¨ª ª ã¦, ¢® ¢á类¬ á«ãç ¥, ­¥ ¡¥§ã¬­® ¡®«ì訬
ç¨á«®¬ ¬¨ªà®¯ à ¬¥â஢ fq0; p0 g § ¤ îé¨å ¨á室­ãî ¬¨ªà®ª®­ä¨£ãà æ¨î; â ª¨¬ ®¡à §®¬, ç⮡ë á®åà ­¨âì ¯®­ï⨥ ¯«®â­®á⨠­¥®¡å®¤¨¬® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¯à ¢¨«® ᮮ⢥âá⢨ï, ãáâ ­ ¢«¨¢ î饥 ®¤­®§­ ç­ãî á¢ï§ì ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨­ ¨ ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ä㭪権;
§ ¤ ­¨¥ ­ ç «ì­ëå ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å ãá«®¢¨© ¢®¢á¥ ­¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â ®¤­®§­ ç­® ¬¥å ­¨ç¥áª¨¥ ­ ç «ì­ë¥ ãá«®¢¨ï: á § ¤ ­­ë¬¨ ¬ ªà®ãá«®¢¨ï¬¨ ᮢ¬¥á⨬® ­¥®¡®§à¨¬® ¡®«ì讥 ç¨á«® ¬¨ªà®ª®­ä¨£ãà 権.
„à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, ¬¥å ­¨ç¥áª®¥ ®¯¨á ­¨¥ ¬ ªà®á¨á⥬ë, â. ¥. ®¯¨á ­¨¥ ¥¥ ᢮©á⢠­ ®á­®¢¥ ãà ¢­¥­¨© ¤¢¨¦¥­¨ï ¤«ï ç áâ¨æ, á®áâ ¢«ïîé¨å
íâã á¨á⥬ã, ï¥âáï ¨§¡ëâ®ç­® ¨­ä®à¬ ⨢­ë¬. ‚ᥠ¬¥å ­¨ç¥áª¨¥ ­ ç «ì­ë¥ ãá«®¢¨ï, ᮢ¬¥áâ¨¬ë¥ á ¤ ­­ë¬¨ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¬¨ ãá«®¢¨ï¬¨,
á«¥¤ã¥â à áᬠâਢ âì ª ª à ¢­®¯à ¢­ë¥. Ž¤¨­ ¨§ ᯮᮡ®¢ ॠ«¨§ 樨
â ª®© ¨¤¥¨ § ª«îç ¥âáï ¢ ⮬, çâ® ¢á¥¬ ¢®§¬®¦­ë¬ á®áâ®ï­¨ï¬ à áᬠâਢ ¥¬®© á¨áâ¥¬ë ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¯à¨¯¨áë¢ ¥âáï ®¯à¥¤¥«¥­­ë© ¢¥á.
 ¯à¨¬¥à, ¬®¦­® ¡ë«® ¡ë § ¤ âì ®¤¨­ ª®¢ë© ­¥­ã«¥¢®© ¢¥á ¢á¥¬ á®áâ®ï­¨ï¬, ᮢ¬¥áâ¨¬ë¬ á ¤ ­­ë¬¨ ¬ ªà®ãá«®¢¨ï¬¨, ¢á¥¬ ­¥á®¢¬¥á⨬ë¬
{ ­ã«¥¢®© (¬¨ªà®ª ­®­¨ç¥áª®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥). ‡ ⥬ ­¥®¡å®¤¨¬® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¯à ¢¨«® ᮮ⢥âáâ¢¨ï ¬¨ªà®{ ¨ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨å ¢¥«¨ç¨­:
­ ¡«î¤ ¥¬ãî ¢¥«¨ç¨­ã ¡ã¤¥¬ ®â®¦¤¥á⢫ïâì á® á।­¨¬ §­ 祭¨¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ¤¨­ ¬¨ç¥áª®© ä㭪樨. Ÿá­®, çâ® ­¥¢®§¬®¦­® âॡ®¢ âì ¢
â ª®¬ ¯®¤å®¤¥ ¤¥â «ì­®£® ¯à¥¤áª § ­¨ï १ã«ìâ ⮢ «î¡®£® íªá¯¥à¨¬¥­â ,
­® ¬®¦­® ­ ¤¥ïâìáï, çâ® ãá।­¥­­ë© १ã«ìâ â ¡®«ì讣® ç¨á« íªá¯¥à¨¬¥­â®¢, ¢ë¯®«­¥­­ëå ¯à¨ ®¤¨­ ª®¢ëå ãá«®¢¨ïå, ¡ã¤¥â ¯à¥¤áª § ­ ¢¥à­®.
…᫨ ¯à¨ ¤¥â «ì­®¬ ¤¨­ ¬¨ç¥áª®¬ ®¯¨á ­¨¨ ¬ ⥬ â¨ç¥áª¨¬ ®¡ê¥ªâ®¬, ¯à¥¤áâ ¢«ïî騬 á®áâ®ï­¨¥ á¨á⥬ë, ï¥âáï â®çª ¢ ä §®¢®¬ ¯à®i
i
6
áâà ­á⢥ (¯à®áâà ­á⢥ 2s ¨§¬¥à¥­¨©, £¤¥ s { ç¨á«® á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë á¨á⥬ë), â® ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®¬ ¯®¤å®¤¥ { í⮠ᮢ®ªã¯­®áâì â®ç¥ª ¢ ä §®¢®¬
¯à®áâà ­á⢥, ¯à¨ç¥¬ ª ¦¤ ï ¨§ ­¨å å à ªâ¥à¨§ã¥âáï ®¯à¥¤¥«¥­­ë¬ ¢¥á®¬, ¢ëà ¦¥­­ë¬ ­¥ª®â®àë¬ ç¨á«®¬. ’ ªãî ᮢ®ªã¯­®áâì â®ç¥ª á ¢¥á®¬
­ §ë¢ îâ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¬ ­á ¬¡«¥¬. „à㣨¬¨ á«®¢ ¬¨, áâ â¨áâ¨ç¥áª¨©
­á ¬¡«ì { íâ® ¬­®¦¥á⢮ ª®¯¨© à áᬠâਢ ¥¬®© á¨á⥬ë, ¯à¥¤áâ ¢«ïîé¨å à §«¨ç­ë¥ ¢®§¬®¦­ë¥ ¥¥ ¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¥ á®áâ®ï­¨ï.
1.3
¥áª®«ìª® á«®¢ ®¡ í࣮¤¨ç¥áª®© £¨¯®â¥§¥ ¨ ®¡®á­®¢ ­¨¨ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨
‚®§¢à ⨬áï ª ¢®¯à®áã ®¡ ãáâ ­®¢«¥­¨¨ ᮮ⢥âáâ¢¨ï ¬¥¦¤ã ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨ b(X; t) ¨ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª¨¬¨ ­ ¡«î¤ ¥¬ë¬¨ B . ‹.
®«ìæ¬ ­ ¯à¥¤«®¦¨« á«¥¤ãî饥 ®¯à¥¤¥«¥­¨¥:
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(X { ä §®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥). ’® ¥áâì ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª ï ¢¥«¨ç¨­ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á।­¥¥ ¯® ¡¥áª®­¥ç­® ¡®«ì讬㠯஬¥¦ãâªã ¢à¥¬¥­¨ ®â ¤¨­ ¬¨ç¥áª®© ä㭪樨.
 ®á­®¢¥ í⮣® ¯à¥¤«®¦¥­¨ï ¡ë« ¤®ª § ­ í࣮¤¨ç¥áª ï ⥮६ ¨àª£®ä : 1) á।­¥¥ b ¨¬¥¥â ®¤­® ¨ â® ¦¥ §­ 祭¨¥ ¯®ç⨠¢áî¤ã ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (â. ¥. ­¥ § ¢¨á¨â ®â X ); 2) á।­¥¥ ¯® ¢à¥¬¥­¨ ®â b
à ¢­® ä §®¢®¬ã á।­¥¬ã:
Z
b = hbi b(X; t)d:
(2)
®á«¥¤­¥¥ ®§­ ç ¥â, çâ® á¨á⥬ ¯à®¢®¤¨â à ¢­®¥ ¢à¥¬ï ¢ ®¤¨­ ª®¢ëå ¯®
®¡ê¥¬ã ®¡« áâïå ä §®¢®£® ¯à®áâà ­á⢠. ’¥®à¥¬ ¨àª£®ä ¨¬¥¥â ¬¥áâ®
¤«ï ¬¥âà¨ç¥áª¨ ­¥à §«®¦¨¬ëå á¨á⥬: ä §®¢®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­¥«ì§ï à §¡¨âì ­ ¤¢¥ ¨­¢ ਠ­â­ë¥ ç á⨠⠪, çâ®¡ë ®¤­ ¨§ ­¨å ­¥ ®¡« ¤ « ­ã«¥¢®© ¬¥à®©.
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7
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ˆâ ª, ¢¬¥áâ® ®¤­®© á¨áâ¥¬ë ¢¢®¤ïâ ¢ à áᬮâ७¨¥ ¡¥áª®­¥ç­®¥ ª®«¨ç¥á⢮ ⮦¤¥á⢥­­ëå ª®¯¨© í⮩ á¨á⥬ë, à á¯à¥¤¥«¥­­ëå ­¥¯à¥à뢭®
(ª« áá¨ç¥áª ï ¬¥å ­¨ª ) ¨«¨ ¤¨áªà¥â­® (ª¢ ­â®¢ ï ¬¥å ­¨ª ) ¢ ä §®¢®¬
¯à®áâà ­á⢥. Œ­®¦¥á⢮ â ª¨å á¨á⥬ ¨ ¥áâì ­á ¬¡«ì. «®â­®áâì à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨§®¡à ¦ îé¨å â®ç¥ª %(X ) ¨­â¥à¯à¥â¨àã¥âáï ª ª ¯«®â­®áâì ¢¥à®ïâ­®á⨠­ 宦¤¥­¨ï ­ 襩 á¨áâ¥¬ë ¢ ¤ ­­®© â®çª¥ ä §®¢®£® ¯à®áâà ­á⢠(â. ¥. ¢ ¤ ­­®¬ ¬¨ªà®á®áâ®ï­¨¨), ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª ï ¢¥«¨ç¨­ B
®¯à¥¤¥«ï¥âáï ª ª ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¦¨¤ ­¨¥ (á।­¥¥ §­ 祭¨¥) á«ãç ©­®©
¯¥à¥¬¥­­®© b. ‚¢¥¤¥­¨¥ ­á ¬¡«ï ®§­ ç ¥â, çâ® ç¨áâëå á®áâ®ï­¨© ­¥¤®áâ â®ç­® ¤«ï ®¯¨á ­¨ï ॠ«ì­ëå á¨á⥬ { ­¥®¡å®¤¨¬ë á¬¥è ­­ë¥ á®áâ®ï­¨ï.
‘ãé¥áâ¢ãîâ á®®¡à ¦¥­¨ï, § áâ ¢«ïî騥 áç¨â âì, çâ® í࣮¤¨ç­®áâ¨
­¥¤®áâ â®ç­® ¤«ï ®¡®á­®¢ ­¨ï áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨. „®ª § ­ ⥮६ (‘¨­ ©, 1970) ®¡ í࣮¤¨ç­®á⨠á¨á⥬ á N > 2, ª®£¤ ­¨ ® ª ª¨å
áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å ᢮©áâ¢ å £®¢®à¨âì ­¥ ¯à¨å®¤¨âáï, ¯®áª®«ìªã ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å á¨á⥬ å N 1. ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ¢ «¥¢®© ç á⨠(2) ­¥â § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢à¥¬¥­¨, ¯®í⮬ã í࣮¤¨ç¥áª ï ⥮६ áâ ­®¢¨âáï ¡¥á¯®«¥§­®©
¯à¨ ®¯¨á ­¨¨ ­¥à ¢­®¢¥á­ëå á¨á⥬.
‘â â¨áâ¨ç¥áª¨ à ¢­®¢¥á­®¥ ¨ ¤¨­ ¬¨ç¥áª®¥ ®¯¨á ­¨ï ïîâáï ªà ©­¨¬¨ á«ãç ﬨ, ¬¥¦¤ã ª®â®à묨 ­ 室¨âáï ¢á¥ ¬­®£®®¡à §¨¥ ­¥à ¢­®¢¥á­ëå ¯à®æ¥áᮢ, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å à §«¨ç­®© á⥯¥­¨ ­¥®¯à¥¤¥«¥­­®á⨠¬¨ªà®áª®¯¨ç¥áª®£® ®¯¨á ­¨ï. Š«î祢®© ¢®¯à®á { ­ ª ª®© áâ ¤¨¨ í¢®«î樨
á¨áâ¥¬ë ¢®§­¨ª îâ áâ â¨áâ¨ç¥áª¨¥ ᢮©á⢠¨ ¬ ªà®áª®¯¨ç¥áª ï ­¥®¡à ⨬®áâì? à¨ ¡á®«îâ­® â®ç­®¬ § ¤ ­¨¨ ­ ç «ì­ëå ãá«®¢¨© X0 ¯à¨ t0
®¤­®§­ ç­® ¯à¥¤áª §ë¢ ¥âáï á®áâ®ï­¨¥ X (t). à¨ § ¤ ­¨¨ ¦¥ ­ ç «ì­ëå
ãá«®¢¨© á ­¥®¯à¥¤¥«¥­­®áâìî X0 ¢®§¬®¦­ë ¤¢¥ á¨âã 樨: 1) à á宦¤¥­¨¥
âà ¥ªâ®à¨© X á â¥ç¥­¨¥¬ ¢à¥¬¥­¨ ®áâ ¥âáï ¬ «ë¬; 2) à á宦¤¥­¨¥ âà ¥ªâ®à¨© á® ¢à¥¬¥­¥¬ áâ ­®¢¨âáï ᪮«ì 㣮¤­® ¡®«ì訬. ‚ ¯®á«¥¤­¥¬ á«ãç ¥ £®¢®àïâ ® ­¥ãá⮩稢®á⨠¬¥å ­¨ç¥áª®£® ¤¢¨¦¥­¨ï ¨ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ­¨¨
¢ á¨á⥬¥. à¨ íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®© à á室¨¬®á⨠âà ¥ªâ®à¨© ¨¬¥¥â ¬¥áâ®
8
áâ®å á⨧ æ¨ï, çâ® ®§­ ç ¥â ­¥¯à¥¤áª §ã¥¬®áâì ¯®¢¥¤¥­¨ï á¨á⥬ë á â®çª¨
§à¥­¨ï ¤¨­ ¬¨ç¥áª®© ⥮ਨ. ’®£¤ ¢®§¬®¦­® ⮫쪮 ®¯¨á ­¨¥ ⮫쪮 ­ ¨¡®«¥¥ ¢¥à®ïâ­®£® ¯®¢¥¤¥­¨ï á¨áâ¥¬ë ¨«¨ { ¥¥ á।­¨å å à ªâ¥à¨á⨪.
‚¯¥à¢ë¥ ­ à®«ì ­¥ãá⮩稢®á⨠¤¢¨¦¥­¨ï ¨ ᢮©á⢠¯¥à¥¬¥è¨¢ ­¨ï
¢ ¢®§­¨ª­®¢¥­¨¨ ­¥®¡à ⨬®á⨠㪠§ « . ‘. Šàë«®¢ (1950). Š ç¥á⢥­­®
¯¥à¥¬¥è¨¢ ­¨¥ ®§­ ç ¥â ᨫ쭮¥ ¨áª ¦¥­¨¥ ä®à¬ë ­ ç «ì­®£® í«¥¬¥­â ¢ ä §®¢®¬ ¯à®áâà ­á⢥, ª®£¤ â®çª¨, ª®â®àë¥ ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â ¡ë«¨
à ᯮ«®¦¥­ë ¡«¨§ª® ®¤­ ª ¤à㣮©, á â¥ç¥­¨¥¬ ¢à¥¬¥­¨ ¤ «¥ª® à á室ïâáï
(ç é¥ { íªá¯®­¥­æ¨ «ì­®).
€­ «¨§ Šàë«®¢ ¯®ª § «, çâ® ¢ ®á­®¢¥ ¯à¨à®¤ë áâ â¨áâ¨ç¥áª¨å § ª®­®¬¥à­®á⥩ «¥¦¨â ­¥ í࣮¤¨ç­®áâì á ¬ ¯® ᥡ¥, ᢮©á⢮ ¯¥à¥¬¥è¨¢ ­¨ï ¨ á¢ï§ ­­ ï á ­¨¬ ­¥ãá⮩稢®áâì ¤¨­ ¬¨ª¨. ® ¢ ãà ¢­¥­¨ïå
¤¨­ ¬¨ª¨ ­¥ ᮤ¥à¦¨âáï ¬¥å ­¨§¬ ®£àã¡«¥­¨ï, ¤ ¦¥ ¥á«¨ íâ ¤¨­ ¬¨ª ª¢ ­â®¢ ï. à®æ¥¤ãà ®£àã¡«¥­¨ï ¤® á¨å ¯®à ï¥âáï ¤®¯®«­¨â¥«ì­ë¬ ª
¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¬ ãà ¢­¥­¨ï¬ ¯à¨¥¬®¬, ª®â®àë© ¯à¨¢­®á¨âáï ¢ ®¯¨á ­¨¥ ¯à®æ¥áᮢ ¨áá«¥¤®¢ ⥫¥¬, ­¥ ¯à¨à®¤®©. Š ª ¨¬¥­­® ¯à¨à®¤ "®£àã¡«ï¥â"
á¨á⥬ã, ¬ë ­¥ §­ ¥¬.
1.4
Žá­®¢­®© ¯®áâã« â áâ â¨áâ¨ç¥áª®© 䨧¨ª¨
ˆâ ª, ­ ¬ ªà®ã஢­¥ ¨¬¥¥¬ ä㭪樨 ª®®à¤¨­ â ~r ¢ 䨧¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¨ ¢à¥¬¥­¨ t B (~r; t) (¯®«ï), ­ ¬¨ªà®ã஢­¥ { ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨¥
¢¥«¨ç¨­ë b(X; ~r; t), £¤¥ X = (q1; : : : ; q ; p1 ; : : : ; p ). ¥®¡å®¤¨¬® ®¯à¥¤¥«¨âì
®â®¡à ¦¥­¨¥ ä §®¢®£® ¯à®áâà ­á⢠­ 䨧¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ b(X; ~r; t) !
B (~
r ; t), â. ¥. ¯®áâநâì ä㭪樮­ «, áâ ¢ï騩 ª ¦¤®© ä㭪樨 b(X; ~
r ; t)
¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­ëå ~r; t ¢ ᮮ⢥âá⢨¥ ­¥ª®â®à®¥ ç¨á«® B : B (~r; t) hbi.
®âॡ㥬 «¨­¥©­®á⨠hb1 + b2i = hb1i + hb2i ¨ ­¥¨§¬¥­­®á⨠¯®áâ®ï­­ëå
h1i = 1. ‚¢¥¤¥¬ äã­ªæ¨î %(X ), ¤«ï ª®â®à®© ¯®âॡ㥬:
N
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N
= 1:
’®£¤ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ¬®¦­® § ¯¨á âì:
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B (~
r ; t) hb(X; ~
r ; t)i = b(X; ~
r ; t)%(X )dX:
9
(3)
”ã­ªæ¨î %(X ) ¬®¦­® ¨­â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ª ª ¯«®â­®áâì ¢¥à®ïâ­®á⨠­ 宦¤¥­¨ï á¨áâ¥¬ë ¢ á®áâ®ï­¨¨, ª®â®à®¥ ¨§®¡à ¦ ¥âáï â®çª®© X ä §®¢®£®
¯à®áâà ­á⢠.
‚ëà ¦¥­¨¥ (3) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¤à㣮¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨, ®¡ëç­® ¨á¯®«ì§ã¥¬®¬ ¢ áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¥, ¢ ª®â®à®¬ @[email protected] = 0, % = %(X; t) :
Z
B (~
r ; t) hb(X; ~
r )i = b(X; ~
r )%(X; t)dX:
(4)
®á«¥¤­¥¥ ­ §ë¢ î⠯।áâ ¢«¥­¨¥¬ ‹¨ã¢¨««ï (¢ ®â«¨ç¨¥ ®â ¯¥à¢®£® { £ ¬¨«ìâ®­®¢ ). ‚ ª¢ ­â®¢®© ¬¥å ­¨ª¥ í⮬ã ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯¥à¥å®¤ ®â ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï ƒ¥©§¥­¡¥à£ ª ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨î ˜à¥¤¨­£¥à . ‚ëà ¦¥­¨¥ (4) {
íâ® § ¯¨áì ®á­®¢­®£® ¯®áâã« â áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ¬¥å ­¨ª¨ ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¨
‹¨ã¢¨««ï: á®áâ®ï­¨¥ á¨áâ¥¬ë ¢ ¤ ­­ë© ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨ ¯®«­®áâìî ®¯à¥¤¥«ï¥âáï § ¤ ­¨¥¬ %(X; t) , ­ ¡«î¤ ¥¬ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë ¥áâì ä §®¢ë¥ á।­¨¥
®â ¤¨­ ¬¨ç¥áª¨å ä㭪権 b.
1.5
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„«ï á¨á⥬, ¯®¤ç¨­ïîé¨åáï £ ¬¨«ìâ®­®¢®© ¤¨­ ¬¨ª¥, ¨¬¥¥â ¬¥áâ®
⥮६ ‹¨ã¢¨««ï ® á®åà ­¥­¨¨ ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ . ãáâì ¢ ¬®¬¥­â ¢à¥¬¥­¨
t = 0 ä §®¢ë¥ â®çª¨ á ª®®à¤¨­ â ¬¨ fq 0 ; p0 g (i = 1; s, £¤¥ s - ç¨á«® á⥯¥­¥© ᢮¡®¤ë) ­¥¯à¥à뢭® § ¯®«­ïîâ ®¡« áâì ä §®¢®£® ¯à®áâà ­á⢠, ®£à ­¨ç¥­­ãî £¨¯¥à¯®¢¥àå­®áâìî 0. Ž¡ê¥¬ í⮩ ®¡« á⨠¤ ¥âáï 2s-¬¥à­ë¬
¨­â¥£à «®¬
Z
Z
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Z
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‚ ᨫã ãà ¢­¥­¨© ƒ ¬¨«ìâ®­ q , p ïîâáï äã­ªæ¨ï¬¨ t ¨ ­ ç «ì­ëå
¤ ­­ëå q0, p0 , ¯®â®¬ã
Z
X = Ddx01 dx02 ;
t
i
k
t
i
k
t
s
t
10
£¤¥ D = @ (x1; :::; x2 )[email protected] (x01; :::; x02 ) { 类¡¨ ­ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï X ! X0.
Ž¡®§­ 稬 í«¥¬¥­â D ç¥à¥§ a = @x [email protected] ¨ «£¥¡à ¨ç¥áª®¥ ¤®¯®«­¥­¨¥ í«¥¬¥­â a ç¥à¥§ A = @[email protected] : „®ª ¦¥¬, çâ® D = 1, ¢ëç¨á«¨¢
t
t
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t
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ik
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®áª®«ìªã x_ = x_
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@aik dt
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dt
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@xt @x0
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k
ik
i;k
@ x_ ti
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i
`
=
X
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k
â. ¥.
X @ x_ ti
`
k
@ x_ ti
Aik 0 :
@x
@ x_ ti
@xt`
a`k ;
@ x_ ti
X
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i;`
P
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Aik a`k
i;k;`
(Œë ¢®á¯®«ì§®¢ «¨áì à §«®¦¥­¨¥¬
‘㬬¨àãï ¯® `, ¯®«ã稬:
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X @ q_
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t
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@pti
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â® ¨§ (5) ¯®«ã稬 D = const. ‚®á¯®«ì§®¢ ¢è¨áì ­ ç «ì­ë¬¨ ¤ ­­ë¬¨
D j =0 = 1, ­ ©¤¥¬ D = 1, á«¥¤®¢ ⥫쭮,
t
Xt
= X0:
(6)
’¥®à¥¬ ‹¨ã¢¨««ï (6) ® á®åà ­¥­¨¨ ä §®¢®£® ®¡ê¥¬ ª« áá¨ç¥áª®© £ ¬¨«ìâ®­®¢®© á¨á⥬ë á¯à ¢¥¤«¨¢ ¤«ï ¯à®¬¥¦ã⪠¢à¥¬¥­¨, ¢ â¥ç¥­¨¥ ª®â®à®£® íâã á¨á⥬㠬®¦­® áç¨â âì ª®­á¥à¢ ⨢­®© (ª¢ §¨§ ¬ª­ã⮩). ¢¥­á⢮
(6) íª¢¨¢ «¥­â­® ã⢥ত¥­¨î ® á®åà ­¥­¨¨ ¯«®â­®áâ¨ ä §®¢ëå â®ç¥ª, â.
¥. ­¥¨§¬¥­­®á⨠áâ â¨áâ¨ç¥áª®© ä㭪樨 à á¯à¥¤¥«¥­¨ï % ­ ä §®¢ëå âà ¥ªâ®à¨ïå, 㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ãà ¢­¥­¨ï¬ ƒ ¬¨«ìâ®­ : d%=dt = 0: „«ï %
¬®¦­® § ¯¨á âì ãà ¢­¥­¨¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¢ 2s-¬¥à­®¬ ¯à®áâà ­á⢥
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“à ¢­¥­¨¥ (7) ®¯¨áë¢ ¥â í¢®«îæ¨î áâ â¨áâ¨ç¥áª®£® ­á ¬¡«ï ª« áá¨ç¥áª®© á¨á⥬ë. (‚뢮¤ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï, ­®áï饣® ¨¬ï ‹¨ã¢¨««ï, ¢ ¤¥©á⢨⥫쭮á⨠¯à¨­ ¤«¥¦¨â ƒ¨¡¡áã.)
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12
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