200501 Практикум Теория вероятности Математика 2011

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
СОДЕРЖАНИЕ
1. Основные определения и теоремы …………………………………………………………..2
1.1. Сведения из комбинаторики…………………………………………………………...2
1.2. События, их назначения и обозначения………………………………………………2
1.3. Отношения между событиями…………………………………………………………3
1.4. Вероятность события…………………………………………………………………...3
1.5. Аксиомы вероятности…………………………………………………………….….4
1.6. Теорема сложения вероятностей……………………………………………….….…..4
1.7. Теорема умножения вероятностей…………………………………………………….4
1.8. Формула полной вероятности. Формула Бейеса ……………………..……………..5
2. Повторение независимых испытаний……………………………………………….……….5
2.1. Формула Бернулли……………………………………………………………….…….6
2.2. Локальная теорема Муавра-Лапласа………………………………………….………6
2.3. Формула Пуассона……………………………………………………………….……..6
2.4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа……………………………………………....6
2.5. Наивероятнейшее число наступлений события………………………………………7
3. Случайная величина и ее числовые характеристики……………………………………….7
3.1. Дискретная случайная величина и ее законы распределения……………….………7
3.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины…………………….....9
3.3. Непрерывные случайные величины…………………………………………………11
3.4. Предельные теоремы теории вероятностей…………………………………………14
4. Законы распределения случайных величин…………………………………………….….16
4.1 Законы распределения дискретных случайных величин………………………........16
4.2 Законы распределения непрерывных случайных величин………………………….18
5. Примеры решения типовых задач…………………………………………………………..21
6. Типовой расчѐт №1. Типовые задачи……………………………………………………....38
7. Типовой расчѐт №2. Типовые задачи………………………………………………………40
8. Приложения………………………………………………………………………………….42
.
Список литературы………………………………………………………………………….…47
1
1. Основные определения и теоремы
1.1. Сведения из комбинаторики
Перестановками из n элементов называются всевозможные соединения
из данных n элементов, различающихся только порядком.
Pn = 1∙ 2 ∙3∙…∙n = n!.
(1)
Если среди n элементов имеются одинаковые (повторяющиеся) элементы
a, b, c, … (a повторяется α раз, b – β раз, c – γ раз), то
Pn
n!
α! β! γ! 
.
(2)
Сочетаниями из n элементов по m элементов называются соединения,
которые отличаются только составом своих элементов (независимо от
порядка размещения).
Сm
n
n!
.
m! (n m)!
(3)
Размещением (без повторений) из n различных элементов по m
элементов называются соединения, которые отличаются либо составом, либо
порядком своих элементов.
n!
.
(n m)!
Аm
n
(4)
Размещением с повторениями из n элементов по m называется набор из
m элементов, каждый из которых независимо выбран из исходных n
элементов. Если исходные n элементов рассматривать как некий алфавит, то
размещением с повторениями будет какое – то слово длины m.
Rm
n
nm.
(5)
1.2. События, их назначения и обозначения
Основными понятиями теории вероятностей являются понятие
элементарного события и понятие пространства элементарных событий.
Всевозможные результаты испытаний называются элементарными
событиями ω. Под элементарным событием понимают появление или не
появление того или иного исхода испытания.
Совокупность
всех
элементарных
событий,
множество
Ω={ω1,ω2,ω3,…,ωn}, каждому элементу которого соответствует один исход
испытания, называют пространством (множество) элементарных событий.
2
Любое подмножество множества (пространства) элементарных событий
Ω (омега) называют случайным событием или просто событием, т.е. под
событием понимается такой результат эксперимента или наблюдения,
который при реализации некоторого комплекса условий может произойти
или не произойти. События обозначаются обычно заглавными буквами
латинского алфавита A, B, C,….
Событие называют достоверным, если оно не может не произойти при
реализации некоторого комплекса условий, т. е. происходит обязательно.
Обозначается достоверное событие также как и множество элементарных
событий Ω. Само множество элементарных событий является достоверным
событием.
Событие называет невозможным (обозначается ), если при реализации
некоторого комплекса условий оно не может произойти.
1.3. Отношения между событиями
Следуемость. А В, (А→В) если из осуществления события А следует
осуществление события В, или событие А влечѐт за собой событие В.
Равенство. А = В, если одновременно выполняются следующие условия:
А В и (А→В) и В А (В→А).
Суммой А  В (А+ В) двух событий А и В называется событие, состоящее
в появлении события А или события В, или обоих этих событий вместе.
Произведением двух событий А и В называется событие А∩В (А·В),
состоящее в совместном появлении этих событий.
Для каждого события А существует противоположное событие А ,
которое происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит.
Два события А и В называют несовместными, если их произведение есть
событие невозможное.
1.4. Вероятность события
Наблюдая группу событий, мы замечаем, что некоторые из них
происходят чаще, некоторые реже. Частость появления того или иного
события оценивается числом, которое называется вероятностью.
Меру возможности наступления события называют его вероятностью.
Вероятность события А обозначается Р(А).
3
При классическом определении вероятности события А пользуются
формулой
P(A)
m
,
n
(6)
где n – число равновозможных исходов, при которых событие А может
наступить или не наступить и m – число равновозможных исходов,
благоприятствующих наступлению события А.
1.5. Аксиомы вероятности
1. Вероятность, есть число, заключенное в пределах от 0 до 1, т.е.
0 ≤ Р(А) ≤ 1.
2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е.
Р(Ω) = 1.
3. Вероятность невозможного события равна 0, т.е.
Р( ) = 0.
4. Вероятность наступления по крайне мере одного из двух несовместных
событий А и В равна сумме вероятностей каждого из них:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Тогда с аксиоматической точки зрения достоверное событие − это
событие, вероятность которого равна 1, а невозможное − это событие,
вероятность которого равна 0.
1.6. Теорема сложения вероятностей
Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий А
и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их
произведения:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В).
(7)
1.7. Теорема умножения вероятностей
Два события называются зависимыми, если вероятность каждого из них
меняется в связи с наступлением или не наступлением другого. В противном
случае события называются независимыми.
Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А
наступило, называется условной вероятностью события В и обозначается
символом Р(В/А). Если же события А и В независимые, то
Р(В) = Р(В/А) = Р(В/ А ).
4
(8)
Теорема: Вероятность того, что произойдут события А и В
совместно, равна произведению вероятности события А на условную
вероятность события В и произведению вероятности события В на
условную вероятность события А то есть:
Р(А·В) = Р(А)·Р(В/А) = Р(В)·Р(А/В).
(9)
Следствие: Если события А и В независимы, то вероятность их
совместного появления равна произведению вероятностей А и В:
Р(А·В) = Р(А)·Р(В).
(10)
1.8. Формула полной вероятности.
Формуле Бейеса
Пусть событие А может произойти только вместе с каждым из попарно
несовместных событий (гипотез) Н1, Н2, …, Нn . Известны вероятности этих
событий и события А при условии наступления каждого из них, т.е. Р(А/Hi)
(i=1,2,…,n). Тогда вероятность события А равна:
Р(А)
n
Р(Н i ) Р(А/Н i ) .
(11)
i 1
Если событие А может произойти только вместе в каждом из двух
попарно несовместных событий Н1, Н2, то эта формула примет вид:
Р(А)
Р(Н 1 ) Р(А/Н 1 )
P(H 2 ) Р(А/Н 2 ) .
(12)
Условные вероятности событий (гипотез) Нi могут быть вычислены по
формуле Бейеса, которая позволяет переоценить вероятности событий
(гипотез) Н1, Н2, …,Нn после того, как становится известен результат
испытания, в результате которого появилось событие А.
P(Н i /A)
P(Н i ) P(A/ Н i )
P(A)
P(H i ) P(A/H i )
n
i 1
.
(13)
P(H i ) P(A/H i )
2. Повторение независимых испытаний
Определение. Несколько испытаний (опытов, наблюдений) относительно
события А называются независимыми, если вероятность осуществления
этого события при каждом испытании не зависит от того, осуществилось или
не осуществилось оно при любом из предыдущих испытаний.
5
2.1. Формула Бернулли
Если производится n независимых испытаний, при каждом из которых
вероятность наступления события А постоянна и равна р, то вероятность Pm,n
того, что событие А наступит ровно m раз определяется по формуле
Бернулли:
m
m
qn
Cn p
Pm, n
m
где
,
Сm
n
q = 1 – p,
n!
m! (n
m)!
.
(14)
2.2. Локальная теорема Муавра-Лапласа
Если при n независимых испытаниях событие А происходит с постоянной
вероятностью р не очень близкой к нулю и единице (0 < p < 1), то при
достаточно большом количестве испытаний n вероятность того событие А
произойдет m раз может быть приближѐнно вычислено по локальной
формуле Муавра-Лапласа:
P
P (m)
m, n
n
f(X)
1
где: f(X)
npg
2π
x2
e
2
, х
m
np
npq
.
(15)
2.3. Формула Пуассона
Если при n независимых испытаниях событие А происходит с постоянной
вероятностью р, близкой к нулю, то при достаточно большом количестве
испытаний n для вычисления вероятности наступления события А ровно m
раз можно воспользоваться формулой Пуассона, которая в этом случае даѐт
большую точность:
Pn, m
λk
m!
e
λ
,
где
λ = np.
(16)
2.4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Если при n независимых испытаниях событие А происходит с постоянной
вероятностью р, которая отличается от 0 и 1, то при достаточно большом
количестве испытаний n вероятность того, что частота m события А
находится в интервале [a, b] может быть приближѐнно вычислена по
интегральной теореме Муавра-Лапласа.
Pn (a
где Ф(t)
1
2π
t
x
е
m
b)
Ф(t 2 ) Ф(t 1 ),
2
2
dx,
t1
a
np
,
npq
t2
6
b
np
.
npq
(17)
Функция Ф(Х) является интегралом от функции f(X)
1 e
2π
x2
2
и
принимает значения в интервале [0, 1], при этом
Ф(– ) = 0;
Ф(+ ) = 1;
Ф(0) = 0,5;
Ф(–Х) = 1 − Ф(Х).
Если при n независимых испытаниях событие А происходит с постоянной
вероятностью р, то вероятность того, что относительная частота этого
события pm =
m
отличается от его вероятности по абсолютной величине не
n
больше чем на ε › 0, может быть вычислена по интегральной формуле
Муавра – Лапласа в виде:
P
m
n
p
ε
2Ф ε
n
pq
1.
(18)
2.5. Наивероятнейшее число наступлений события
Число k0 наступлений события А в n независимых испытаниях называется
наивероятнейшим, если вероятность при этом Рm,n будет наибольшая.
Наивероятнейшее число k0 наступлений события А в независимых
испытаниях определяется из двойного неравенства:
np – q
k0
np + p.
(19)
3. Случайная величина и ее числовые характеристики
3.1. Дискретная случайная величина и ее законы распределения
Случайной величиной называется величина, которая в зависимости от
исходов испытания может принять те или иные значения. Случайные
величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X,Y,Z…
Случайная величина X называется дискретной, если она может
принимать лишь изолированные возможные значения x1, x2, …, xn.
Дискретная случайная величина определена, если известны все еѐ
значения и соответствующие им вероятности.
Если х1,х2,…,хn – значения случайной величины Х, а у1, у2, …, уm –
значения случайной величины Y, то двумерная случайная величина (X, Y)
считается заданной, если указаны вероятности p ij для каждой пары (xi, yj).
7
Если pi – вероятность значения xi, а pj – вероятность значения yj, то
справедливы формулы:
p
n
i
p
i 1
и
ij
p
m
j
p .
ij
(20)
j 1
Случайные величины X и Y называются независимыми, если для любых
i и j p ij = p i ∙ p j .
Если Х – случайная величина, принимающая значения х1, х2, …, хn с
вероятностями p1, p2, …, pn, то через f(X) обозначают случайную величину,
принимающую значения f(х1), (х2), …, f(хn) причѐм если, например,
f(хk) = f(хj), то это значение берется только один раз. Вероятность значений
f(хi)= p k , где сумма берѐтся по всем k таким, что f(хk) = f(хj).
Соотношение между возможными значениями случайной величины и
соответствующими им вероятностями называют законом распределения
вероятностей случайной величины или просто законом распределения.
Для дискретной случайной величины X это соответствие может быть
задана в виде таблицы, в которой указаны все ее возможные значения
x1,x2,…,.xn и соответствующие этим значениям вероятности р1,р2,…,рn,
X
x1
x2
x3
......
xn-1
xn
pi
p1
p2
p3
......
pn-1
pn
Сумма вероятностей, с которыми случайная величина принимает все свои
возможные значения pi, равна единице:
n
i 1
pi
1.
Функция F(Х) = P(X < x) называется функцией распределения
вероятности случайной величины X.
На основе ряда распределения можно получить функцию распределения
дискретной случайной величины Х. Эта функция выражается для дискретной
случайной величины следующей формулой:
0,
если
x
x1;
p1 ,
если x 1
x
x2;
p 2 , если x 2
x
x3;
p1
F(X)
(21)
...................................
n 1
i 1
1,
pi ,
если x n -1
если
8
x
xn;
x
xn.
Функция F(Х) – неубывающая, непрерывная слева, определѐнная на всей
числовой оси функция, при этом F(– ) = 0 и F( ) = 1.
График функции распределения F(X) называется кривой распределения,
он представляет из себя ступенчатую линию (см. рис. 1).
F(X)
1
n 1
i 1
pi
p1+p2
p1
x1
x2
x3
0
xn-1
xn
X
Рис.1. График функции распределения F(X) дискретной случайной величины.
3.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины
Математическим ожиданием M(X) (средним значением) дискретной
случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных
значений на соответствующие им вероятности, то есть:
M(X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn =
n
x ipi .
(22)
i 1
Среднее значение случайной величины дает чаще всего серединное
значение совокупности значений случайной величины, а значения случайной
величины разбросаны вблизи своего среднего значения, вследствие чего оно
получило название математическое ожидание.
Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое
ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического
ожидания M(X):
D(X) = M(X – M(X))2.
(23)
Ели эту формулу преобразовать, используя свойства математического
ожидания, то получим формулу, которую обычно используют при
вычислении дисперсии:
D(X) = M(X2) – (M(X))2.
(24)
9
Для дискретной случайной величины Х дисперсию можно вычислить по
следующей формуле:
n
D(X) =
n
(x i
2
m) p i
или
i
x i2 p i
D(X) =
i 1
m2 ,
(25)
i 1
где m = M(X).
Дисперсия характеризует степень рассеивания значений случайной
величины от своего среднего значения, т.е. от еѐ математического ожидания.
Отметим некоторые свойства математического ожидания и дисперсии:
1.Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной:
М(С) = С.
2.Математическое ожидание комбинации случайных величин равно
соответствующей линейной комбинации их математических ожиданий:
M(C 1X1 C 2 X 2
... C n X )
n
C1M(X 1 ) C 2 M(X 2 ) ... C n M(X n ) ,
(26)
где C1, C 2 ,..., C n – постоянные.
3.Если случайные величины X и Y независимы, то математическое
ожидание их произведения равно произведению их математических
ожиданий:
M(X·Y) = M(X)·M(Y).
(27)
4.Математическое ожидание функции Y = f(X) от случайной величины Х
выражается формулой:
n
M(f(x))
f(x i ) p i ,
(28)
i 1
где pi–вероятность значения хi.
5.Дисперсия всегда неотрицательна:D(X)
0.
6.Если С – постоянная, то D(C) = 0.
7.Если Х – случайная величина, а С – постоянная, то
D(C·X) = C2·D(X)
и
D(С+X) = D(X).
(29)
8.Если случайные величины X и Y независимы, то
D(X+Y) = D(X) + D(Y).
10
(30)
Средним квадратическим отклонением σ(X) или просто σ(сигма)
случайной величины Х называется положительный квадратичный корень из
еѐ дисперсии, то есть
σ(X) = D(X) .
(31)
Среднее квадратическое отклонение σ означает абсолютное среднее
отклонение случайной величины от своего среднего значения
(математического ожидания).
3.3. Непрерывные случайные величины
Случайная величина называется непрерывной, если еѐ значениями могут
быть любые точки какого-то интервала на числовой оси (или всей числовой
оси).
Закон распределения непрерывной случайной величины задается с
помощью функции плотности распределения f(Х). Вероятность того, что
значение, принимаемое непрерывной случайной величиной Х, попадает в
промежуток (a, b) определяется равенством
b
P(a
X
f(X)dx .
b)
(32)
a
Геометрически правая часть этого равенства выражает площадь
заштрихованной криволинейной трапеции. (См. рис.2).
a
Если а = Х = b,
то
P(a
X
b)
f(X)dx
0.
a
Это означает, что значение функции плотности вероятности непрерывной
случайной величины f(Х) не точно совпадает с вероятностью принятия
значения непрерывной случайной величины. Например, неравенство
f(x1)>f(x2) означает, что при достаточно большом количестве испытаний
вблизи точки x1 окажется больше значений непрерывной случайной
величины Х, чем вблизи точки x2 (См. рис.2).
Функция F(Х) = P(X<x), (функция распределения вероятности
случайной величины Х), существует как для дискретных, так и для
непрерывных случайных величин. Для непрерывной случайной величины:
F(x) = f(X)dx
или
f(Х)=F′(Х).
(33)
Функция f(Х) иначе называется дифференциальной функцией
распределения, а функция F(Х) – интегральной функцией распределения
вероятности для непрерывной случайной величины.
11
График функции распределения непрерывной случайной величины
представляет из себя непрерывную кривую (график неубывающей функции)
и изображен на рис.3.
Математическое ожидание M(X) непрерывной случайной величины X с
плотностью вероятности f(Х) определяется равенством:
М(X)= x f(X)dx ,
(34)
при этом предполагается, что интеграл абсолютно сходится.
F(X)
f(X)
а
1
х1
b
х2
Х
X
Рис.2. График функции плотности
вероятности f(X) непрерывной
случайной величины Х
Рис.3. График функции
распределения F(X) непрерывной
случайной величины Х
Дисперсию D(X) для непрерывной случайной величины X вычисляют по
формуле:
D(X) =
(x
m) 2 f(X)dx
или D(X) =
2
x 2 f(X)dx – m ,
(35)
где m = M(X).
Модой M0(X) непрерывной случайной величины называют максимальную
функцию плотности вероятности в данной точке.
Медианой Mе(X) непрерывной случайной величины Х называют такое ее
значение xi, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина
Х меньше или больше xi, т.е:
Mе(Х) = xi, если Р(X хi) = Р(X хi) = 0,5.
(36)
Медиана делит область значений непрерывной случайной величины на две
равные по вероятности части.
Средним квадратическим отклонением σ(X) непрерывной случайной
величины Х, так же как и для дискретной случайной величины, называют
положительный квадратичный корень из дисперсии, то есть
σ(X) = D(X) .
(37)
12
3.4. Предельные теоремы теории вероятностей
Под законом больших чисел , в теории вероятностей понимается ряд
математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий
устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа
опытов к некоторым определѐнным постоянным.
Мы знаем, что нельзя с уверенностью предвидеть, какое из возможных
значений примет случайная величина в результате одного испытания. Казалось
бы, что сумма достаточно большого числа случайных величин есть величина в
ещѐ большей мере непредсказуемая, чем каждая из слагаемых случайных
величин. Но это не так. При некоторых сравнительно широких условиях
поведение достаточно большого числа случайных величин в совокупности
почти утрачивают случайный характер и становится закономерным.
Эти необходимые условия и указываются в теоремах, носящих общее
название закона больших чисел.
Неравенство Чебышева. Пусть имеется случайная величина Х с
математическим ожиданием М(Х) и дисперсией D(X). Вероятность того,
что отклонение случайной величины Х от еѐ математического ожидания по
абсолютной величине меньше положительного числа , ограничена сверху
величиной 1
D(X)
ε
2
, то есть:
P X
M(X)
ε
1
D(X)
ε2
.
(38)
Примечание. Неравенство Чебышева даѐт только верхнюю границу
вероятности данного отклонения. Выше этой границы вероятность не может
быть ни при каком законе распределения.
Теорема, устанавливающая связь между средним арифметическим
наблюдаемых значений случайной величины и еѐ математическим ожиданием,
называется теоремой Чебышева (закон больших чисел) и формулируется
следующим образом:
При достаточно большом числе независимых испытаний среднее
арифметическое наблюдаемых значений случайной величины сходится по
вероятности к еѐ математическому ожиданию то есть:
P
1 n
ni
xi
M(X)
ε
σ,
(39)
ε
1 σ,
(40)
1
или, переходя к противоположному событию,
P
где,
1 n
ni
xi
M(X)
1
и σ – произвольные малые положительные числа и в этом неравенстве
можно принять 0
σ
D(X)
nε
2
.
13
Простейшим (и ранее всех установленных) законом больших чисел является
теорема Бернулли. Эта теорема устанавливает связь между частотой
наблюдаемых значений случайной величины и еѐ вероятностью и
формулируется следующим образом:
Если вероятность события от испытания к испытанию не изменяется и
равна p (q = 1 − p), то при неограниченном увеличении числа испытаний n
частота случайного события сходится по вероятности к вероятности этого
события p, то есть:
m
P
p ε
1 σ,
(41)
n
в этом неравенстве можно принять 0
pq
.
nε 2
σ
Теорема, устанавливающая свойство устойчивости частот при переменных
условиях опыта, называется теоремой Пуассона и формулируется следующим
образом:
Еесли производится n независимых опытов и вероятность появления
события А в i-том опыте равна pi, то при увеличении количества испытаний n
частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому
вероятностей pi то есть:
P
m
1 n
n
ni
pi
ε
σ,
(42)
ε
1 σ.
(43)
1
или, переходя к противоположному событию,
P
m
1 n
n
ni
pi
1
Предельные законы распределения составляют предмет исследования
другой группы теорем – центральной предельной теоремы, которую иногда
называют количественной формой закона больших чисел .
Все формулы центральной теоремы посвящены установлению условий, при
которых возникает нормальный закон распределения.
Теорема: Если Х1, Х2, … Хn – независимые случайные величины, имеющие
один и тот же закон распределения с математическим ожиданием m и
дисперсией σ2, то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы
n
Y=
Xi
i 1
неограниченно приближается к нормальному.
14
(44)
В практических задачах часто применяют центральную предельную
теорему для вычисления вероятности того, что сумма нескольких случайных
величин окажется в заданных пределах:
Если Х1, Х2, … Хn – независимые случайные величины, имеющие законы
распределения с математическими ожиданиями m1, m2, … mn и дисперсиями
n
σ 12 , σ 22 ,  , σ 2n , то вероятность того, что случайная величина Y =
i
математическими ожиданием m =
n
2
i 1
m i и дисперсией σ =
n
Xi с
1
σ 2 попадает в
i 1 i
интервал ( , ), выражается формулой:
Р(
Х
) = Ф(t2) – Ф(t1),
(45)
где Ф(Х) – нормальная функция распределения,
t1
β
m
σ
,
α
t2
m
σ
.
Частным случаем центральной предельной теоремы для дискретных
случайных величин является теорема (формула) Муавра–Лапласа, которая
рассмотрена ранее.
4. Законы распределения случайных величин
4.1 Законы распределения дискретных случайных величин
Равномерное распределение вероятностей дискретной
величины Х, принимающей n значений, задаѐтся формулой:
1
Pn(X = xi) =
n
случайной
,
(46)
где значения x1, x2, …, xn − все возможные значения дискретной случайной
величины.
Для равномерного распределения математическое ожидание
М(Х) =
1 n
ni
xi .
1
Остальные числовые характеристики вычисляются по общим формулам.
15
(47)
Биноминальное распределение. Дискретная случайная величина Х,
имеющая биноминальное распределение с параметрами n и p, х В(n, p),
получается при n повторных независимых испытаниях с постоянной
вероятностью p. Вероятность каждого значения вычисляется по формуле
Бернулли:
P
Cm pm qn - m .
m, n
(48)
n
Функция биноминального распределения:
0,
F(X)
m x
x
0;
C nm p m q n m , 0
x
1,
x
где
n;
q = 1 – p.
(49)
n;
Числовые характеристики биноминального распределения:
М(Х) = np,
σ
D(Х) = npq,
M0(Х) = k0,
npq,
(50)
где k0 – наивероятнейшая частота случайной величины.
Закон распределения Пуассона. Закон распределения дискретной
случайной величины Х, которая может принимать любые целые
неотрицательные значения (0,1,2,…,n), описываемый формулой
P(X
m)
αm
е - α с параметром =const,
m!
(51)
носит название закон распределения Пуассона.
Функция распределения Пуассона:
0,
F(X)
αm
m x m!
1,
x
, 0
0;
(52)
x n;
x
n.
Числовые характеристики распределения Пуассона:
М(Х) = ,
D(Х) = ,
16
σ
α.
(53)
Геометрический закон распределения вероятностей дискретной
случайной величины Х, значениями которой являются возможные значения
числа m проведенных испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли (причѐм
опыт прекращается после первого же испытания, в котором рассматриваемое
событие появилось), задаѐтся формулой:
Pn (X
p q m 1 ,где
m)
m = 1,2,3, 
(54)
Числовые характеристики геометрического распределения:
М(Х) =
1
p
,
D(Х) =
1
p2
1
σ
,
p
(55)
.
4.2 Законы распределения непрерывных случайных величин
Равномерное распределение. Равномерным называется распределение
таких непрерывных случайных величин, все значения которых лежат на
некотором отрезке [a, b] и имеют на этом отрезке постоянную плотность
вероятности f(X).
Функция плотности вероятностей:
0,
1
f(X)
Функция распределения:
x
b-a
0,
,
x
x
0,
x -a
F(X)
a
x-b
1,
x
, a
a;
b;
(56)
b.
a;
x
b;
x
b.
(57)
Вероятность того, что значение случайной величины попадает в интервал
(c, d) (a, b), вычисляется по формуле:
P(c
X
d)
d
c
b a
.
(58)
Числовые характеристики равномерного распределения:
M(X)
M е (X)
а
b
2
;
D(X)
a) 2
(b
12
17
;
σ
b
a
2 3
, моды не имеет. (59)
f(X)
h
F(X)
1
a
b
a
X
Рис.4.График функции f(X) плотности
вероятности равномерного
распределения
b
X
Рис.5.График функции
распределения F(X) равномерного
распределения
Показательный закон распределения. Аналогом закона Пуассона для
непрерывной случайной величины служит показательный закон с функцией
плотности вероятности и функцией распределения
0,
f(X)
x
0;
λе λx , x
0;
0,
F(X)
x
(60)
0;
1 - e λx , x
где λ = const (λ > 0).
(61)
0;
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал ( ,
вычисляется по формуле:
Р(
) = F( ) – F( ) = е-
х
– е- .
)
(62)
Числовые характеристики показательного распределения:
М(Х) =
1
λ
,
D(Х) =
1
λ
2
,
σ(X)
1
λ
.
(63)
Нормальный закон распределения. Случайная величина Х имеет
нормальное распределение с параметрами и σ, Х N( , σ), если ее функция
плотности вероятности имеет вид:
f(X)
где
1
σ 2π
e
(x μ) 2 /2σ 2
,
и σ – параметры нормального распределения, при этом σ > 0.
18
(64)
Данная функция определена на всей числовой оси, достигает максимума в
1
точке х = , равного
, имеет точки перегиба при х1 = – σ и х2 = + σ.
σ 2π
При изменении значения график функции f(X) смещается параллельным
переносом вдоль оси ОХ (Рис.6.).
При изменении значения σ изменяется вид графика: при увеличении
значения σ в m раз максимальное значение функции уменьшается в m раз и
график вытягивается в обе стороны вдоль оси ОХ, при уменьшении значения
σ происходят обратные изменения. (Рис.7.).
f(X)
1
2
X
3
Рис.6. Смещение графика f(X) при изменении значения параметра
f(X)
1
σ
2
σ
1
σ
2
0
X
Рис.7. Изменение графика f(X) при изменении параметра σ.
Функция распределения
следующей формулой:
Ф(Х)
нормального
распределения
задаѐтся
x
Ф(Х) =
1
σ 2π
e
(t μ) 2 / 2σ
dt .
(65)
Числовые характеристики нормального распределения:
М(Х) = M0(Х) = Mе(Х) = ,
19
D(Х) = σ 2 , σ =
D(X) .
(66)
Особое значение среди нормальных распределений имеет нормированное
нормальное распределение с параметрами 0 и 1: X N(0;1), для которого
1
f(X)
2π
2
e
t2
x
x2
и
1
Ф(Х) =
2π
e
2
dt .
(67)
Для этих функций составлены таблицы значений (см. прил. 1 и 2).
От произвольного нормального распределения можно перейти к
нормированному нормальному распределению, воспользовавшись заменой
переменных:
z=
μ
x
σ
.
(68)
Случайные величины с нормальным распределением используют при
решении задач двух типов:
– найти вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в
интервал ( , ). Эта вероятность вычисляется по формуле:
где Ф(Х) – функция
распределения,
Р(
Х
) = Ф(t2) – Ф(t1),
распределения
нормированного
t1
β
μ
σ
,
t2
α
μ
σ
(69)
нормального
;
(70)
– найти вероятность отклонения непрерывной случайной величины с
нормальным распределением Х N( , σ) от еѐ математического ожидания
по абсолютной величине не более чем на
( 0). Эта вероятность
определяется по формуле:
Р(|Х – |
) = 2Ф(t) – 1,
где
t
ε
σ
.
(71)
Эти формулы можно получить из формул Муавра – Лапласа, заменив
npq на σ. При достаточно большом n
параметры М(Х) = np на , D(X)
такой переход от биноминального к нормальному основан на законе больших
чисел.
Если = σ , то Р = 0,68268;
если = 2σ , то Р = 0,95450;
если = 3σ , то Р = 0,99730 ≈ 1.
Таким образом, непрерывная случайная величина с нормальным
распределением Х N( , σ) практически не принимает значений, которые
отличались бы от среднего значения (от математического ожидания ) по
абсолютной величине больше чем на 3σ. Это утверждение называется правилом
трѐх сигм .
20
5. Примеры решение типовых задач
Задача 5.1.
В уровне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4
шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:
а) 2 белых шара;
б) меньше чем 2 белых шара;
в) хотя бы один белый шар.
Решение.
5 чѐрных,
6 белых.
достали
4 шара
Испытанием А будет случайное извлечение четырех шаров из
урны. Элементарными событиями являются всевозможные
сочетания по 4 шара из 11 шаров. Их число равно
8 9 10 11
1 2 3 4
4
C11
n
330.
а) A1 – среди вынутых шаров 2 белых.
Значит среди вынутых шаров 2 белых и 2 черных. Используя правило
умножения, получаем:
m
C 62 С 52
5 6 4 5
1 2 1 2
150 ,
P(A 1 )
150
5
330
11
.
б) А2 – среди вынутых шаров меньше, чем 2 белых.
Это событие состоит из двух несовместимых событий:
В1 – среди вынутых шаров только 1 белый и 3 черных шара;
В2 – среди вынутых шаров нет ни одного белого, т.е. все 4 шара черные.
А2 = В1 + В2.
Так как события В1 и В2 несовместны, то можно использовать формулу
вероятности суммы несовместных событий.
Имеем:
Р(А2) = Р(В1 + В2) = Р(В1) + Р(В2),
C 16 С 35
m1
Р(В1)=
60
330
,
6
P(В2)=
4 5
1 2
5
330
,
60 ,
m
2
Р(А2)=
C 54
5,
60
5
65
13
330
330
330
66
в) A3 – среди вынутых шаров хотя бы один белый.
Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров:
В1 – 1 белый и 3 черных шара;
В2 – 2 белых и 2 черных шара;
В3 – 3 белых и 1 черный шар;
В4 – 4 белых 0 черных шаров.
21
.
Здесь событие А3 определяется словами "хотя бы один" и прямое решение
по формуле A3 = В1 + В2 + В3 + В4 приводит обычно к сложным вычислениям.
Проще найти вероятность противоположного события А 3, затем по формуле
Р(А3) + Р( А 3) = 1 и вычислить вероятность события А3.
А 3 − среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае:
m
C 54
5,
P( A )
3
5
1
330
66
,
Р(А3)=1–Р( А 3)=1–
1
65
66
66
.
Ответ. а) Р(А1)=5 11;
б) Р(А2)=13 66;
в) Р(А3)=65 66.
Задача 5.2.
Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение
времени Т безотказно соответственно с вероятностями p1= 0,851, p2=0,751 и p3 =
0,701. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:
а) только один элемент;
б) хотя бы один элемент.
Решение.
Испытание, т.е. работу за время Т, нужно рассмотреть на двух уровнях: на
уровне устройства и на уровне элементов. Элементарные события определять
не надо, так как их вероятности заданы.
а) A1 – за время Т выходит из строя только один элемент:
В1 – первый элемент выходит из строя;
В2 – второй элемент выходит из строя;
В3 – третий элемент выходит из строя;
B – первый элемент не выходит из строя;
1
B – второй элемент не выходит из строя;
2
B – третий элемент не выходит из строя.
3
Значит A 1
(B1 B 2 B 3 )
( B1 B 2 B 3 )
( B1 B 2 B 3 ) .
Учитывая независимость элементов устройств, несовместность событий
Bi и Bi и формулы суммы и произведения несовместных событий, получаем
следующую формулу для вычисления искомой вероятности:
Р(А1)=Р(В1) Р( B 2 ) Р( B 3 )+Р( B 1 ) Р(В2) Р( B 3 )+Р( B 1 ) Р( B 2 ) Р(В3).
22
По условию: p1= Р( B 1 ) = 0,851, p2 = Р( B 2 ) = 0,751, p3 = Р( B 3 ) = 0,701, а по
формуле Р(Bi) + Р( B i) = 1 получаем:
Р(В1) = 1 – Р( B 1 ) = 0.149,
Р(В2) = 1 – Р( B 2 ) = 0.249,
Р(В3) = 1–Р( B 3 ) = 0,299.
Таким образом,
Р(А1) = 0,149 0,751 0,701 + 0,851 0,249 0,701 + 0,851 0,751 0,299 = 0,418.
б) А2 – за время Т выходит из строя хотя бы один элемент. Событие
определяется словами "хотя бы один", значит, для вычислений используем
противоположное событие:
A 2 – за время Т все элементы работают безотказно.
Так как события B1 , B 2 , B 3 – независимы то,
A 2 B1 B 2 B 3 ,
Р( A 2 ) Р( B1 ) Р( B 2 ) Р( B 3 ) .
Таким образом,
Р( A 2 ) = 0,851 0,751 0,701 = 0,448,
Р(А2) = 1 – Р( A 2 ) = 1 – 0,448 = 0,552.
Ответ. а) Р(А1) = 0,418;
б) Р(А2) = 0,552.
Задача 5.3.
В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7
черных шаров. Из первой урны взяли случайным образом 3 шара, а из второй–2
шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:
а) все шары одного цвета;
б) только три белых шара;
в) хотя бы один белый шар.
Шары доставали из обеих урн независимо.
Решение.
1-я урна.
4 чѐрных,
6 белых.
достали
3 шара
2-я урна.
7 чѐрных,
5 белых.
достали
2 шара
Испытаниями являются извлечение трех шаров
из первой урны и двух шаров из второй урны.
Элементарными событиями будут сочетаниями
по 3 из 10 для первой и по 2 из 12 для второй
урны соответственно.
а) А1 – все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые или все
черные. Определим для каждой урны все возможные события:
В1 – из первой урны вынуты 3 белых шара и 0 черных;
В2 – из первой урны вынуты 2 белых и 1 черный шар;
В3 – из первой урны вынуты 1 белый и 2 черных шара;
В4 – из первой урны вынуты 0 белых и 3 черных шара.
С1 – из второй урны вынуты 2 белых шара и 0 черных;
23
С2 – из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;
С3 – из второй урны вынуты 0 белых и 2 черных шара.
Значит: А1 = (В1 + С1) (В4 + С3), откуда, учитывая
несовместность событий, получаем:
независимость
и
Р(А1) = Р(В1) Р(С1) + Р(В4) Р(С3).
Найдем количество элементарных событий n1 и n2 для первой и второй урн
соответственно.
8 9 10
3
n1= С10
1 2 3
11 12
2
n2= С12
120,
66.
1 2
Найдем количество каждого из элементарных событий Вi и Сi и
соответствующие им вероятности
4 5 6
1 2 3
В1: m 11
С 36
B2: m 12
С 62 C 14
B3: m 13
С 16 C 24
B4: m 14
C 34
m 11
n1
m
Р(В2) = 12
n1
m
Р(В3) = 13
n1
m
Р(В4) = 14
n1
Р(В1) =
Р(Вi)=
и
Р(Сi)=
n1
С1:
m
60 ,
C2:
m
36 ,
C3:
m
20 ,
5 6
4
1 2
6 3 4
1 2
m 1i
4 5
m 2i
.
n2
21
C 52
22
C15 C17 5 7 35 ,
23
C 72
10 ,
1 2
6 7
21 ,
1 2
4.
20
m 21
n2
m
Р(С2) = 22
n2
m
Р(С3) = 23
n2
Р(С1) =
,
120
60
,
120
36
,
120
4
10
,
66
35
,
66
21
,
66
.
120
Используя полученные значения можно вычислить
Р(А1)=
20
10
4
120 66
21
120 66
50
21
71
1980
1980
1980
.
б) А2 – среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае
А2 = (В1 С3) + (В2 С2) + (В3 С1),
Р(А2) = Р(В1) Р(С3) + Р(В2) Р(С2) + Р(В3) Р(С1),
Р(А2) =
20
21
120 66
60
35
120 66
36
10
120 66
7
35
6
48
4
132
132
132
132
11
.
в) А3 – среди извлеченных шаров имеется, по крайней мере, один белый.
Тогда противоположным событием будет событие A 3 .
24
A 3 – среди извлеченных шаров нет ни одного белого. A 3 = В4 С3.
Р( A 3 ) = Р(В4) Р(С3) =
4
21
120 66
7
660
,
Р(А3) = 1 – Р( A 3 ) = 1–
7
653
660
660
.
Ответ. а) Р(А1) = 71 1980;
б) Р(А2) = 4 11;
в) Р(А3) = 653 660.
Задача 5.4.
В урне черные и белые шары, всего 4 шара. К ним прибавляют 2 белых шара.
После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность
того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все предположения о
первоначальном содержании урны равновозможные.
Решение.
черные+белые
= 4 шара.
Добавили
2 белых.
достали
3 шара
Здесь имеет место два вида испытаний: сначала задается
первоначальное содержимое урны, а затем случайным
образом вынимается 3 шара. Результат второго испытания
зависит от результата первого, поэтому используем формулу
полной вероятности P(A)
n
i 1
P(A/B i ) P(B i ) .
Событие А – случайным образом достать 3 белых шара.
Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав
шаров в урне.
Рассмотрим следующие события:
В1 – в урне было 4 белых шара;
В2 – в урне было 3 белых и 1 черный шар;
В3 – в урне было 2 белых и 2 черных шара;
В4 – в урне было 1 белый и 3 черных шара;
В5 – в урне было 4 черных шара.
Для данной задачи формула полной вероятности используется в следующем
виде:
Р(А)=Р(А/В1) Р(В1)+Р(А/В2) Р(В2)+Р(А/В3) Р(В3)+Р(А/В4) Р(В4)+Р(А/В5) Р(В5).
События В1, В2, В3, В4, В5 образуют полную группу событий, значит их
сумма равна достоверному событию.
В1 +В2 + В3 + В4 + В5 = .
Используя формулу вероятности достоверного события получаем:
Р(В1) + Р(В2) + Р(В3) + Р(В4) + Р(В5) = 1.
25
Т. к. по условию задачи события В1, В2, В3, В4, В5 являются
равновозможными (равновероятностными), то их вероятности равны.
Следовательно,
Р(В1) = Р(В2) = Р(В3) = Р(В4) = Р(В5) = 1 5.
Найдем общее число элементарных исходов n. Их число равно
4 5 6
1 2 3
n C 36
20 .
При В1:
0 чѐрных,
4+2 белых.
достали 3 шара
m1= C 36
4 5 6
1 2 3
Р(А/В1)=
m1
,
n
m2= C 35
4 5
1 2
Р(А/В2)=
m2
,
n
20 ,
Р(А/В1)=20 20=1;
при В2:
1 чѐрный,
3+2 белых.
достали 3 шара
10 ,
Р(А/В2)=10 20=1/2;
при В3:
m3= C 34
4,
m
Р(А/В3)= 3 ,
n
2 чѐрных,
2 + 2 белых.
достали 3 шара
Р(А/В3)=4 20=1/5;
при В4:
m4= C33 1 ,
3 чѐрных,
1 + 2 белых.
Р(А/В4)=
достали 3 шара
m4
,
n
Р(А/В4)=1 20;
при В5:
m5= C 32
0,
m
Р(А/В4)= 4 ,
n
4 чѐрных,
0+2 белых.
достали 3 шара
P(A)
1
1
5
1 20
5
1 1
2 5
10
20
1 1
1
5 5
4
1
1
0
20 5
1
Р(А/В4)=0 20=0.
1
5
5
1 35
7
5 20
20
1
1
1
1
2
5
20
.
Ответ. Р(А) = 7 20.
Задача 5.5.
В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой - 4 белых и 8 черных
шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во
26
вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.
Решение.
1- урна.
В этой задаче испытания также
происходят в два этапа: вначале
случайным образом вынимают шары из
первой урны и опускают во вторую, а
затем случайно вынимают шары из
второй урны.
2-я урна.
8 чѐрных,
4 белых,
+3шара.
достали
4 шара
6 чѐрных,
5 белых.
достали
3 шара
Рассмотрим события Вi – шары, взятые из первой урны, и событие А –
шары, взятые из второй урны, зависимое событие от событий Вi.
В1 – из первой урны взяли 3 белых шара;
В2 – из первой урны взяли 2 белых и 1 черный шар;
В3 – из первой урны взяли 1 белый и 2 черных шара;
В4 – из первой урны взяли 3 черных шара.
Количество элементарных событий на первом и втором этапе равно n1 и n2
соответственно.
n1
C3
11
9 10 11
165 ,
C4
n2
1 2 3
12 13 14 15
15
13 7 5 .
1 2 3 4
Количество благоприятных исходов на первом и втором этапе m1i–для
события Вi, m2i– для события А, при условии наступления события Вi.
При В1:
8+0 чѐрных,
4+3 белых.
достали
4 шара
m11= C 53
m21= C 74
4 5
1 2
Р(В1)=
10 ,
5 6 7
1 2 3
m 11
10
2
n
165
33
Р(А/В1)=
35 ,
,
1
m 21
n
2
35
;
13 7 15
при В2:
8+1 чѐрных,
4+2 белых.
достали
4 шара
m12= C 52 С16
m22= C 64
4 5 6
1 2 1
5 6
1 2
15 ,
60 ,
Р(В2)=
m 12
60
12
n
165
33
Р(А/В2)=
1
m 22
n
2
27
,
15
13 7 15
;
при В3:
8+2 чѐрных,
4+1 белых.
достали
4 шара
5 4 5
1 1 2
m13= C15 С 62
m23= C 54
5
1
m14= С 36
4 5 6
1 2 3
m24= C 44
1,
Р(В3)=
75 ,
m 13
75
15
,
n1
165 33
m
5
Р(А/В3)= 23
;
n
13
7
15
2
5,
при В4:
8+3 чѐрных,
4+0 белых.
достали
4 шара
Р(В4)=
20 ,
m 14
20
4
,
n1
165 33
m
1
Р(А/В4)= 24
.
n
13 7 15
2
Используя формулу полной вероятности для зависимых событий
n
P(A)
i 1
P(A/B i ) P(B i )
находим:
Р(А) = Р(А/В1) Р(В1) + Р(А/В2) Р(В2) + Р(А/В3) Р(В3) + Р(А/В4) Р(В4).
2
P(A)
35
12
33 13 7 15
=
47
6435
15
33 13 7 15
70 180 75 4
33 13 7 15
Ответ. Р(А) =
15
5
33 13 7 15
329
33 13 7 15
4
1
33 13 7 15
=
47
.
6435
.
Задача 5.6.
В пирамиде стоят 19 винтовок. Из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок,
стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с
вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела,– с
вероятностью 0,46. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень,
стреляя из случайно взятой винтовки.
Решение.
В этой задаче первым испытанием является случайный выбор винтовки,
вторым – стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события:
А – стрелок поразит мишень;
В1 – стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом;
В2 – стрелок возьмет винтовку без оптического прицела.
Используем формулу полной вероятности.
Р(А) = Р(А/В1) Р(В1) + Р(А/В2) Р(В2).
28
Условные вероятности рассчитывать не надо. Они заданы в условии задачи:
Р(А/В1) = 0,81
и
Р(А/В2) = 0,46.
Учитывая, что винтовки выбираются по одной, получаем количество
элементарных событий n, благоприятных исходов m1 (для В1) и m2 (для В2)
равны соответственно:
C 119
n
Таким образом:
Следовательно,
m1
19 ,
Р(В1) =
3
19
Р(В2) =
,
Р(А) = 0,81
C13
3
19
+ 0,46
3,
16
19
16
19
m2
C116
16 .
936
1179
.
=
243
1900
1900
0,515.
Ответ. Р(А) = 0,515.
Задача 5.7.
В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель.
Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе
имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19,
6 и 11 шт., которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока
соответственно с вероятностями 0.85, 0.76, и 0.71. Рабочий берет случайно один
двигатель и монтирует его на устройство. Найти вероятность того, что
смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока
электродвигатель поставлен соответственно первым, вторым или третьим
заводом-изготовителем.
Решение.
Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым – работа
электродвигателя во время гарантийного срока. Рассмотрим следующие
события:
А – электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока;
В1 – монтер возьмет двигатель из продукции 1-го завода;
В2 – монтер возьмет двигатель из продукции 2-го завода;
В3 – монтер возьмет двигатель из продукции 3-го завода.
Вероятность событий А вычисляем по формуле полной вероятности:
Р(А) = Р(А/В1) Р(В1) + Р(А/В2) Р(В2) + Р(А/В3) Р(В3).
Условные вероятности заданы в условиях задачи:
Р(А/В1) = 0,85,
Р(А/В2) = 0,76,
Р(А/В3) = 0,71.
Аналогично предыдущей задаче найдем вероятности:
29
Р(В1) = 19 36 = 0,528,
Р(В2) = 6 36 = 0,167,
Р(В3) = 11 36 = 0,306,
Р(А) = 0,85 0,528 + 0,76 0,167 + 0,71 0,306 = 0,792.
P(B i ) P(A/B i )
P(A)
По формуле Бейеса P(B i /A)
вычисляем условные вероятности
событий (гипотез) Вi:
Р(В1/А) =
Р(В3/А) =
0 .528 0 .85
0 .792
0 .306 0 .71
0 .792
Р(В2/А) =
0,566 ,
0 .167 0 .76
0,160 ,
0 .792
0, 274 .
Ответ. Р(В1/А) = 0,566;
Р(В2/А) = 0,160;
Р(В3/А) = 0,274.
Задача 5.8
В каждой из 11 независимых испытаний событие А происходит с
постоянной вероятностью р = 0,3. Вычислить все вероятности рk, k=0,1,2,...,11,
где k – частота событий А. Построить график вероятностей рk. Вычислить
наивероятнейшую частоту k0.
Задано: n = 11, p = 0,3, q = 1 – p = 0,7.
Найти: р0, p1, p2, ..., p11, и k0.
Решение.
Для вычисления значения p0 используем формулу Бернулли
p = C kn p k q n
k
,
а для вычисления остальных вероятностей рk–следствием из этой формулы:
n
pk
k
1 p
k
q
pk 1 .
Для второй формулы предварительно вычисляем постоянный множитель
p
0 ,3
q
0,7
0,4285714,
p0
0
С11
0,30 0,711
0,711
0,0197732 .
Результаты вычислений запишем в таблицу. Если вычисления верны, то
должно выполняться равенство:
n
pk
1.
k 0
30
Таблица 1.
n = 11
n
k
k
1
k
pk
k
n
k
1
pk
k
0
–
0,0197732
6
66
0,0566056
1
11 1
0,0932168
7
57
0,0173282
2
10 2
0,1997503
8
48
0,0037131
3
93
0,2568218
9
39
0,0005304
4
84
0,2201330
10
2 10
0,0000454
5
75
0,1320798
11
1 11
0,0000017
–
0,9999994
Используя найденные значения вероятностей p i стоим график (Рис.1). Из
графика видно, что максимальное значение рk = 0,256 для k = 3.
Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:
np – q
k0 < np + p,
11 0,3 – 0,7 k0 < 0,3 11 + 0,3,
3,3 – 0,7 k0 < 3,3 + 0,3,
2,6 k0 < 3,6.
Значит, наивероятнейшая частота k0=3
максимальным, как и было получено ранее.
и
значение
p3
Pk
0.26
0.24
0.22
0.20
0.18
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Рис.1. График вероятностей Рk.
31
10
11
Х
является
Задача 5.9.
В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с
постоянной вероятностью р=0,4. Найти вероятность того, что событие А
происходит:
а) точно 220 раз;
б) точно 190 раз;
в) меньше чем 240 и больше чем 180 раз;
г) меньше чем 235 раз.
Решение. Учитывая, что количество испытаний n=500 довольно велико, при
решении этой задачи можно использовать теорему Муавра − Лапласа:
локальную в случаях а) и б) и интегральную для случаев в) и г).
а) Задано:
n = 500, p = 0,4,
Найти: Р500(220).
npq
500 0, 4 0,6
Имеем:
x
220
500 0,4
k = 220.
120
Р500(220) =
Получаем:
npq
p = 0,4,
11,
f(1,82) = 0,07614,
1,82 ,
11
б) Задано:
n = 500,
Найти: Р500(190).
11,
x
0,07614
11
= 0,00692.
k = 190.
190
500 0,4
11
= − 0,91,
т.к. функция f(Х) четная, то
f(−0,91) = f(0,91) = 0,26369, Р500(190) =
в) Задано:
n = 500,
p = 0,4,
а = 180,
0,2639
11
= 0,02399.
b = 240.
Найти: Р500(180 k 240).
Находим: npq 11 ,
x1
180
500 0,4
11
1,82 ,
x2
240
500 0.4
11
3,64,
Р500(180 k 240) = Ф(3,64) – Ф(–1,82) = Ф(3,64) – (1– Ф(1,82)) =
= Ф(3,64) –1 + Ф(1,82) = 0,99986 –1 + 0,96562 = 0,96548.
г) Задано:
n = 500,
Найти: Р500( k
Имеем:
Р500(k
x1
p = 0,4,
a = 0,
b = 235.
235).
0 500 0,4
235) = Р500(0
11
k
18 ,
x2
235
500 0,4
11
3,18 ,
235) = Ф(3,18) – Ф(–18) = Ф(3,18) – (1 – Ф(18)) =
= 0,99926 – 1 + 1 = 0,99926.
32
Ответ. а) Р500(220) = 0,00692;
б) Р500(190) = 0,02399;
в) Р500(180 k 240) = 0,96548;
г) Р500(k 235) = 0,99926.
Задача 5.10.
На телефонной станции неправильное соединение происходит с
вероятностью 1 200. Найти вероятность того, что среди 200 соединений
произойдет:
а) точно 1 неправильное соединение;
б) меньше чем 3 неправильных соединения;
в) больше чем 2 неправильных соединения.
Решение. Здесь вероятность событий мала, поэтому используем формулу
Пуассона P n (k)
λk
k!
λ
e
и таблицу из Приложения 1.
а) Задано:
n = 200,
Найти: Р200(1).
Получаем =200
1
200
p = 1 200,
k = 1.
=1.
Из таблицы определяем: Р200(1) = 0,3679.
б) Задано:
n = 200,
p = 1 200,
k 3.
Найти: Р200(k 3).
Имеем =1.
Р200(k 3) = Р200(0) + Р200(1) + Р200(2) = 0,3679 + 0,3679 + 0,1839 = 0,9197.
в) Задано:
n = 200;
p = 1 200;
k
2.
Найти: Р200(k 2).
Имеем =1.
Эту задание можно вычислить проще, если вначале найти вероятность
противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше
слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем:
Р200(k 2) = 1– Р200(k ≤ 2) = 1 – Р200(k 3) = 1 – 0,9197 = 0,0803.
Ответ. а) Р200(1) = 0,3679;
б) Р200( k 3) = 0,9197;
в) Р200( k 2) = 0,0803.
Задача 5.11.
33
Случайная величина Х задана рядом распределения:
Х
Р
3
0,14
5
0,20
7
0,49
11
0,17
Найти функцию распределения F(Х) случайной величины Х и построить ее
график. Вычислить для Х ее математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X)
и моду Мo(X).
p i для
Решение. Функцию распределения находим по формуле F(Х)=
xi x
дискретных случайных величин:
если
0,
F(X)
x
3;
0,14, если
3
x
0,34, если
5
x
7;
0,83, если
7
x
11;
если
1,
5;
x
11.
Стоим график функции F(X) (рис. 2).
F(X)
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Х
Рис. 2. График функции распределения.
n
Математическое ожидание М(Х) вычисляем по формуле: М(Х) =
i 1
хi рi .
М(Х ) = 3∙0,14 + 5∙0,2 + 7∙0,49 + 11∙0,17 =∙0,42 + 1 + 3,43 + 11∙1,87 = 6,72.
Для нахождения дисперсии воспользуемся формулами:
D(X) = М(Х
M(X) ) 2
и
D(X) = М(Х 2 ) – (M( Х )) 2 ,
М(Х 2 ) = 32∙0,14 + 52∙0,2 + 72∙0,49 + 112∙0,17 = 1,26 +5 + 24,1 + 20,57= 50,84,
D(X) = 50,84–6,722 = 50,84 – 45,1584 = 5,6816.
Моду М o (Х ) найдем по максимальной вероятности: М О (Х ) = 7.
М o (Х ) = 7.
Ответ. М(Х) = 6,72;
D(X) = 5,6816;
Задача 5.12.
34
Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности:
если
0,
x
x/2 , если 0
f(X)
если
0,
0;
x
2;
x
2.
Найти функцию распределения F(Х) случайной величины Х. Построить
графики функций f(Х) и F(Х). Вычислить для Х ее математическое ожидание
М(Х), дисперсию D(X), моду М0(Х)и медиану Ме(Х).
Решение.
Функцию распределения F(Х) непрерывной случайной величины найдем по
формуле:
x
f(t) dt ,
F(X)
где f(t)–функция плотности вероятности c параметром t:
x
t
F(X)
0
2
dt
t2
4
x
0
x2
4
, 0
x
2,
поэтому для данной задачи получаем функцию распределения:
0,
F (X)
x2
4
1;
если
x
, если 0
если
x
x
0;
2;
2.
Построим графики функции f(X) и F(X) (рис.3, рис. 4).
f(X)
F(X)
1
1
0.5
0.5
0
1
2
Х
Рис.3. График функции плотности
вероятности
0
1
2
Х
Рис.4. График функции распределения
Математическое ожидание М(Х) вычисляем по формуле:
35
2
M(X )
x f(x) dx
2
x
x
2
0
dx
0
2
2
M(X )
x
2
f(x) dx
x2
2
2
x
x
2
dx
2
0
dx
x3
0
2
2
x3
16
6
0
x4
dx
8
2.
8
2
16
2.
8
0
Для нахождения дисперсии D(Х) воспользуемся формулой:
D(X) = М(Х ) – (M( Х )) .
2
2
D(X)= 2
4
2
3
2
16
2
9
9
.
Из графика функции плотности вероятности f(x) видно, что эта функция
достигает максимума в точке х=2 и, значит М0(Х)=2.
Медиана делит область значений случайной величины Х на две равные по
вероятности части т.е:
Р(Х < Ме(Х)) = P(Ме(Х) < X) = 0,5.
Для нахождения медианы Ме (Х) нужно решить уравнение:
x2
4
= 0.5; x2 = 2;
х=± 2.
Случайная величина определена только на интервале 0, 2 , значит,
Ме(Х) = + 2 1,414 .
Ответ: М(Х) = 2;
М О (X) = 2; Ме(Х) = + 2
D(X) = 2/9;
1,414 .
Задача 5.13.
Задана случайная величина Х N(0;2). Найти вероятность того, что эта
случайная величина принимает значение:
а) в интервале [–1, 2];
б) меньше –1;
в) больше 2;
г) отличается от своего среднего значения (математического ожидания)
по абсолютной величине не больше чем на 1.
Решение. В первых трех случаях можно воспользоваться формулой
Р(а
Х
b)
Ф
μ
b
σ
)
Ф
а
μ
σ
x
,
где Ф(X)
1
σ 2π
(e
т.е. функцией нормального распределения с параметрами μ и σ, X
а) Задано:
= 0,
σ = 2;
a = –1 ;
37
b = 2.
(t μ)
σ2
)dt ,
N( μ, σ) .
Найти: Р(–1 ≤ X ≤ 2).
Имеем:
Р(–1 ≤ X ≤ 2) = Ф
2
0
2
1 0
–Ф
= Ф(1) – Ф(–0,5) = Ф(1) – (1–Ф(0,5)) =
2
= Ф(1) –1 + Ф(0,5) = 0,84134 – 1 + 0,69146 = 0,53280.
б) Задано:
= 0,
Найти: Р(X ≤ 1).
Получаем:
Р(X ≤–1)=Р(–
σ = 2;
1 0
< Х ≤ 1) = Ф
b = –1.
a=– ;
2
–Ф
0
= Ф(– 0,5)–Ф(– ) =
2
= 1 – Ф(0,5) – 0 = 1 – Ф(0,5) – 0 = 1 – 0,69146 = 0,30854.
в) Задано:
σ = 2;
= 0;
Найти: Р(X 2).
Имеем:
Р(X
2) = Р(2
Х
a = 2;
0
)=Ф
2
b= .
–Ф
2
0
2
= Ф( ) – Ф(1) =
= 1 – 0,84134 = 0,15866.
г) Задано:
σ= 2,
= 0,
Найти: Р( X – 0 1).
ε = 1.
Для данного случая воспользуемся формулой:
Р( Х
Получаем:
μ
Р( X – 0
ε)
2Ф
ε
1 , где
σ
X
N( μ, σ) .
1) = 2Ф(0,5) – 1 = 2∙0,69146 – 1 = 0,38292.
Ответ. а) 0,53280;
б) 0,30854;
в) 0,15866;
г) 0,38292.
38
Типовой расчѐт №1. (Типовые задачи)
Задание.
1. Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для
решаемого варианта.
2. Определить испытания и элементарные события.
3. Определить исследуемое событие А и другие события.
4. Установить, какие формулы следует использовать для вычислений и
выполнить последние. Вычисления произвести, по возможности, точно.
Задача 1.1.
В уровне К черных и Н белых шаров. Случайным образом вынимают М
шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:
а) Р белых шаров;
б) меньше, чем Р белых шаров;
в) хотя бы один белый шар.
Значение параметров К, Н, М и Р по вариантам приведены в таблице 1.
Таблица 1
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
К
5
6
6
7
4
8
6
4
5
7
8
6
4
8
5
Н
6
5
5
4
5
6
7
7
6
4
6
5
6
6
6
М
5
4
5
4
4
5
4
4
5
4
4
4
4
5
5
Р
3
2
3
2
2
3
4
2
3
2
3
3
3
2
4
Вариант
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
К
7
5
6
5
6
6
6
8
6
5
6
5
6
6
4
Н
4
7
5
7
7
8
5
6
7
7
7
7
8
7
7
М
5
4
5
5
5
5
5
5
4
4
6
5
5
5
4
Р
3
3
2
4
3
4
4
3
3
2
3
3
3
2
2
39
Задача 1.2.
Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в
течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями р1, р2 и р3.
Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя:
а) только один элемент;
б) хотя бы один элемент.
Значения параметров вычислить по следующим формулам:
14.9 V
k=
– (здесь и далее буквой V обозначен номер варианта);
100
р1 = 1 – k,
р2 = 0,9 – k,
р3 = 0,85 – k..
Задача 1.3.
В первой урне К белых и L черных шаров, а во второй урне М белых и N
черных шаров. Из первой урны взяли случайным образом Р шаров, а из
второй– Q шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:
а) все шары одного цвета;
б) только три белых шара;
в) хотя бы один белый шар.
Шары доставали из обеих урн независимо.
Значения параметров K, L, M, N, P и Q по вариантам приведены в табл.2.
Таблица 2
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
K
5
4
7
5
5
5
5
6
6
6
6
3
3
3
3
L
5
5
3
4
6
7
8
3
5
6
7
8
7
6
5
M
4
5
6
7
7
6
7
5
5
5
5
5
6
6
6
N
8
8
3
4
3
4
5
6
3
5
4
7
4
5
6
P
2
2
3
1
3
2
4
3
2
4
2
2
3
4
4
Q
2
3
1
4
2
2
1
3
2
1
3
3
3
1
1
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
K
3
5
4
4
4
4
4
4
4
7
7
7
7
7
7
L
4
3
9
8
7
6
5
4
3
2
4
5
6
7
8
M
6
4
7
7
8
7
7
7
7
4
8
4
4
4
8
N
7
9
3
4
3
5
6
7
8
8
5
6
7
4
5
P
2
2
3
2
4
2
3
3
1
4
3
2
3
1
3
Q
2
3
3
3
1
2
2
3
4
1
3
2
2
4
3
Вариант
40
Задача 1.4.
В урне черные и белые шары, всего К шаров. К ним прибавляют L белых
шаров. После этого из урны случайным образом вынимают М шаров. Найти
вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все
предположения о первоначальном содержании урны равновозможные.
Значения параметров К, L и M по вариантам приведены в табл.3.
Таблица 3
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
K
3
5
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
4
3
3
L
4
3
2
4
4
4
3
3
3
4
4
4
4
4
4
M
4
4
3
4
2
3
2
3
4
2
3
4
5
2
3
Вариант
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
K
3
3
3
3
3
6
6
6
6
6
6
6
6
6
6
L
4
5
5
5
5
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
M
5
2
3
4
5
2
3
4
5
2
3
4
5
2
3
Задача 1.5.
В одной урне К белых и L черных шаров, а в другой − M белых и N
черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают P шаров и
опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно
вынимают R шаров. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из
второй урны, белые.
Значения параметров К, L, M, N, P, R по вариантам приведены в табл.4.
Таблица 4
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
K
5
5
5
5
4
4
4
4
4
4
6
6
6
6
6
L
5
4
3
2
3
4
5
6
7
8
8
7
6
5
4
M
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
5
3
3
3
3
N
7
6
5
4
3
5
4
6
7
8
9
3
4
5
6
P
2
3
2
3
3
4
2
3
2
3
3
4
3
4
4
R
3
3
4
4
2
3
4
3
4
3
4
3
2
3
2
41
Вариан
т
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
K
6
6
3
3
3
3
3
3
3
7
7
7
7
7
7
L
3
2
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
M
3
3
6
6
6
6
6
6
6
2
2
2
2
2
2
N
7
8
8
7
6
5
4
3
2
8
6
5
4
3
2
P
3
3
2
2
3
3
2
3
3
2
2
3
3
2
2
R
3
4
4
3
3
4
5
2
3
3
2
2
4
2
3
Задача 1.6.
Анализ на наличие примесей в сплаве можно провести при помощи двух
приборов. Вероятность достоверного результата у первого р1, у второго – р2.
В лаборатории имеются R приборов, из них L второго типа. Найти
вероятность того, что результат анализа будет достоверным, если анализ
проводится на приборе, выбранном случайным образом.
Значения параметров вычислить по следующим формулам:
k = |14 – V|,
р1 = 0,95 – k/100,
р2 = 0,6 – k/100,
L
R = 5 + k,
3, V
14,
4, V
14.
Задача 1.7.
На конвейер в монтажный цех узлы поступают с трѐх участков,
производительность которых М1,М2,М3 штук в смену. Узлы, изготовленные
на этих участках, могут безотказно работать до конца гарантийного срока с
вероятностью р1, р2, р3 соответственно. Найти вероятность того, что
работающее безотказно до конца гарантийного срока устройство
смонтировано из узлов, изготовленных на 1, 2, 3 участке.
Значения параметров вычислить по следующим формулам:
k = |14 – V|
р1 = 0,99 – k/100,
р2 = 0,9 – k/100,
р3 = 0,85 – k/100,
М1 = 5 + k,
М2 = 20 – k,
М3 = 25 – k.
42
Типовой расчѐт №2. (Типовые задачи)
Задание.
1. Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для
решаемого варианта.
2. Определить испытания и элементарные события.
3. Определить исследуемое событие А и другие события.
4. Установить, какие формулы следует использовать для вычислений и
выполнить их. Вычисления произвести, по возможности, точно.
Задача 2.1
В каждой из n независимых испытаний событие А происходит с
постоянной вероятностью p. Вычислить все вероятности рk, k = 0, 1, 2, ….., n,
где k − частота событий А. Построить график вероятностей рk. Вычислить
наивероятнейшую частоту k0.
Значения параметров n и p вычислить по следующим формулам:
11,
n
10,
9,
10
V
10;
V
20;
V
20.
р = 0,3 + V/100.
Задача 2.2.
В каждом из n независимых испытаний событие А происходит с
постоянной вероятностью р. Найти вероятность того, что событие А
происходит:
а) точно G раз;
б) точно L раз;
в) меньше чем M и больше чем F раз;
г) меньше чем R раз.
Значения параметров n, p, G, L, M, F, R вычислить по следующим формулам:
n = 500 + V·10,
G = 220+V·10,
M = G + 20 + V,
p = 0,4 + V/100,
L = G – 30,
F = G – 40 + V,
R = G + 15.
Задача 2.3.
На телефонной станции неправильное соединение происходит с
вероятностью p. Найти вероятность того, что среди n соединений
произойдет:
а) точно G неправильное соединение;
б) меньше чем L неправильных соединений;
в) больше чем M неправильных соединений.
Значения параметров n, p, G, L, M, вычислить по следующим формулам:
D = V·100 + 200, S = остаток (V/7) + 1,
n = S·D,
L = остаток (V/6) + 3,
p = 1/D,
G = остаток(V/5) + 1, M = остаток(V/8) + 2.
43
Задача 2.4.
Случайная величина Х задана рядом распределения:
X
x1
x2
x3
x4
p
p1
p2
p3
p4
Найти функцию распределения F(Х) случайной величины Х и построить ее
график. Вычислить для Х ее математическое ожидание М(Х), дисперсию
D(X) и моду Мo(X).
Значения параметров x1, x2, x3, x4, p1, p2, p3, p4 вычислить по следующим
формулам:
R = остаток(V/4) + 2,
x1 = V + 3,
p1 =
1
R
5
,
x2 = x1 + R,
p2 =
1
R
3
,
x3 = x2 + R,
p3 =
2
41
33R
R
(R
3)(R
5)(8
x4 = x3 + 2R,
R
3
R)
,
p4 =
1
8
R
.
Задача 2.5.
Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности:
f(X)
0,
x/K, 0
0,
x 0;
x R;
x R.
Найти функцию распределения F(Х) случайной величины Х. Построить
графики функций f(Х) и F(Х). Вычислить для Х ее математическое ожидание
М(Х), дисперсию D(X), моду М0(Х) и медиану Ме(Х).
Значения параметров K и R вычислить по следующим формулам:
K = 2 +V,
R=
2K .
Задача 2.6.
Задана случайная величина Х N(μ;σ). Найти вероятность того, что эта
случайная величина принимает значение:
а) в интервале [a, b];
б) меньше a;
в) больше b;
г) отличающиеся от своего среднего значения по абсолютной величине не
больше чем на ε.
Значения параметров μ, σ, a, b и ε вычислить по следующим формулам:
μ = V,
σ = остаток(V/8) + 2,
a = V – S,
b = V + 2S,
44
S = остаток(V/5) + 1,
ε = S.
8. Приложения
Приложение 1
λk
Распределение Пуассона Р(k)
k!
λ
e
λ
.
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
1
2
3
4
9048
0905
0045
0002
0
8187
1638
0164
0019
0001
7408
2222
0333
0033
0002
6703
2681
0536
0072
0007
6065
3033
0758
0126
0016
5488
3293
0988
0198
0030
4966
3476
1217
0284
0050
4493
3595
1438
0383
0077
4066
3659
1647
0494
0111
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0001
0
0
0002
0
0
0004
0
0
0007
0001
0
0012
0002
0
0020
0003
0
k
λ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
3679
3679
1839
0613
0153
1353
2707
2707
1804
0902
0498
1494
2240
2240
1680
0183
0733
1465
1954
1954
0067
0337
0842
1404
1755
0025
0149
0446
0892
1339
0009
0064
0223
0521
0912
0003
0027
0107
0289
0572
0001
0011
0050
0150
0337
0000
0005
0023
0076
0189
5
6
7
8
9
0031
0005
0001
0
0
0361
0120
0037
0009
0002
10008
0504
0216
0081
0027
1563
1042
0595
0298
0132
1755
1462
1044
0653
0363
1606
1606
1377
1033
0688
1277
1490
1490
1304
1014
0919
1221
1396
1396
1241
0607
0911
1171
1318
1318
0378
0631
0901
1126
1251
10
11
12
13
14
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0008
0002
0001
0
0
0053
0019
0006
0002
0001
0181
0082
0034
0013
0005
0413
0225
0126
0052
0022
0710
0452
0263
0142
0071
0993
0722
0481
0296
0169
1186
0970
0728
0504
0324
1251
1137
0948
0729
0521
15
16
17
18
19
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0002
0
0
0
0
0009
0003
0001
0
0
0033
0014
0006
0002
0001
0090
0045
0021
0009
0004
0194
0109
0058
0029
0014
0347
0217
0128
0071
0037
20
21
22
23
24
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0002
0001
0
0
0
0006
0003
0001
0
0
0019
0009
0004
0002
0001
25
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
k
45
Приложение 2
х2
1
Функция плотности вероятности нормального распределения f(x)
2π
e 2
.
х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
39894
39695
39104
38139
36827
39892
39654
39024
39023
36678
39886
39608
38940
37903
36526
39876
39559
38853
37780
36371
39862
39505
38762
37654
36213
39844
39448
38667
37524
36053
39822
39387
38568
37391
35889
39797
39322
38466
37255
35723
39767
39253
38361
37115
35553
39733
39181
38251
36973
35381
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
35207
33322
31225
28969
26609
35029
33121
31006
28767
26369
34849
32918
30785
28504
26129
34667
32713
30563
28269
25888
34482
32526
30339
28034
25647
34294
32297
30114
27798
25406
34105
32086
29887
27562
25164
33912
31874
29659
27324
24923
33718
31659
29430
27086
24681
33521
31443
29200
26848
24439
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
24197
21785
19419
17137
14973
23955
21546
19186
16915
14764
23713
21307
18954
16694
14556
23471
21069
18724
16474
14350
23230
20831
18494
16256
14146
22988
20594
18265
16038
13943
22747
20327
18037
15822
13742
22506
20121
17810
15608
13542
22265
19886
17585
15395
133344
22025
19652
17360
15183
13147
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
12952
11092
09405
07895
06562
12758
10915
09246
07754
06438
12566
10741
09089
07614
06316
12376
10567
08933
07477
06195
12188
10396
08780
07341
06077
12001
10226
08628
07206
05959
11816
10059
08478
07074
05844
11632
09893
08329
06943
05730
11450
09728
08183
06814
05618
11270
09566
08038
06687
05508
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
05399
04398
03547
02833
02239
05292
04307
03470
02768
02186
05186
04217
03394
02705
02134
05082
04128
03319
02643
02083
04980
04041
03246
02582
02033
04879
03955
03174
02522
01984
04780
03871
03103
02463
01936
04682
03788
03034
02406
01888
04586
03706
02965
02349
01842
04491
03626
02898
02294
01797
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
01753
01358
01042
00792
00595
01709
01323
01014
00770
00578
01667
01289
00987
00748
00562
01625
01256
00961
00727
00545
01585
01223
00935
00707
00530
01545
01191
00909
00687
00514
01506
01160
00885
00668
00499
01468
01130
00861
00649
00485
01431
01100
00837
00631
00470
01394
01071
00814
00613
00457
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
00443
00327
00238
00172
00123
00430
00317
00231
00167
00119
00417
00307
00224
00161
00115
004005
00298
00216
00156
00111
00393
00288
00210
00151
00107
00381
00279
00203
00146
00104
00370
00271
00196
00141
00100
00358
00262
00190
00136
00097
00348
00254
00184
00132
00094
00337
00246
00178
00127
00090
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
00087
00061
00042
00029
00020
00084
00059
00041
00028
00019
00081
00057
00039
00027
00018
00079
00055
00038
00026
00018
00076
00053
00037
00025
00017
00073
00051
00035
00024
00016
00071
00049
00034
00023
00016
00068
00047
00033
00022
00015
00066
00046
00031
00021
00014
00063
00044
00030
00021
00014
4,0
00013
00009
00006
00004
00002
00002
00001
00001
0
0
46
Приложение 3
х
1
Функция плотности распределения нормального распределения Ф(x)
2π
t2
е
2
dt .
х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
50000
53983
57926
61791
65542
50399
54380
58317
62172
65910
50798
54776
58706
62552
66276
51197
55172
59095
62930
66640
54595
55567
59483
63307
67003
51994
55962
59871
63683
67364
52392
56356
60257
64058
67724
52790
96749
60642
64431
68082
53188
57142
61026
64803
68439
53586
57535
61409
65173
68793
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
69146
72575
75804
78814
81594
69497
72907
76115
79103
81859
69847
73237
76424
79389
82121
70194
73565
76730
79673
82381
70540
73891
77035
79955
82639
70884
74215
77337
80234
82894
71226
74537
77637
80511
83147
71566
74857
77935
80785
83398
71904
75175
78230
81057
83646
72240
75490
78524
81327
83891
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
84134
86433
88493
90320
91924
84375
86650
88686
90490
92073
84614
86864
88877
90658
92220
84850
87076
89065
90824
92364
85083
87286
89251
90988
92507
85314
87493
89435
91149
92647
85543
87698
89617
91308
92786
85769
87900
89796
91466
92922
85993
88100
89973
91621
93056
86214
88298
90147
91774
93189
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
93319
94520
95543
96407
97128
93448
94630
95637
96485
97193
93574
94738
95728
96562
97257
93699
94845
95818
96638
97320
93822
94950
95907
96712
97381
93943
95053
95994
96784
97441
94062
95154
96080
96856
97500
94179
95254
96164
96926
97558
94295
95352
96246
96995
97615
94408
95449
96327
97065
97670
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
97725
98214
98610
98928
99180
9778
98257
97645
98956
99202
97831
98300
98679
98983
99224
97882
98341
98713
99010
99245
97932
98382
98745
99036
99266
97982
98422
98778
99061
99286
98030
98461
98809
99086
99305
98077
98500
98840
99111
99324
98124
98537
98870
99134
99343
98169
98574
98899
99158
99361
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
99379
99534
99653
99744
99813
99396
99547
99664
99752
99719
99413
99560
99674
99760
99825
99430
99573
99683
99767
99831
99446
99585
99693
99774
99836
99461
99598
99702
99781
99841
99477
99609
99711
99788
99846
99492
99621
99720
99795
99851
99506
99632
99728
99801
99856
99520
99643
99736
99807
99861
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
99865
99903
99931
99952
99966
99869
99906
99934
99953
99968
99874
99910
99936
99955
99969
99878
99913
99938
99957
99970
99882
99916
66640
99958
99971
99886
99918
99942
99960
99972
99889
99921
99944
99961
99973
99893
99924
99946
99962
99974
99896
99926
99948
99964
99975
99900
99929
99950
99965
99976
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
99977
99984
99989
99993
99995
99978
99985
99990
99993
99995
99978
99985
9990
99993
99996
99979
99986
99990
99994
99996
99980
99986
99991
99994
99996
99981
99987
99991
99994
99996
99981
99987
99992
99994
99996
99982
99988
99992
99995
99996
99983
99988
99992
99995
99997
99983
99989
99992
99995
99997
4,0
99997
99998
99999
99999
99999
≈1
≈1
≈1
≈1
≈1
47
Рекомендуемая литература
При изучении курса ”Теория вероятностей и математическая статистика”
в качестве основного пособия может быть использован учебник
Гмурман В.Е. ”Введение в теорию вероятностей и математическую
статистику”, изд. З-е – М.: Высш. шк.. 1966.
В качестве дополнительных пособий рекомендуются:
1. Боровков А.А. ”Математическая статистика. – М.: Наука, 1984.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. ”Теория вероятностей (задачи и
упражнения) ”. – М.: Наука, 1969.
3. Гмурман В.Е. ”Теория вероятностей и математическая статистика”. –
М.: Высш. шк.. 1977.
4. Гмурман В.Е. ”Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике”. – М.: Высш. шк.., 1979.
5. Гурский Е.И. ”Теория вероятностей с элементами математической
статистики”. – М.: Высш. шк..,1971.
6. Гусак А.А. ”Высшая математика. Ч. 1–2. – Минск: ТетраСистем, 2001.
7. Гусак А.А. Бричников Е.А. ”Теория вероятностей. Справочное пособие
к решению задач”. – Минск: ТетраСистем, 1999.
8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. ”Высшая математика в
упражнениях и задачах”. Ч. 2. – М.: Высш. шк.,1987.
9. Карасѐв А.И. ”Теория вероятностей и математическая статистика”.
М.: Статистика, 1971.
48