Вероятность и статистика в курсе математики

Реклама
Å.À. ÁÓÍÈÌÎÂÈ×, Â.À. ÁÓËÛ×ÅÂ
ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÜ È ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ
 ÊÓÐÑÅ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ
ÎÁÙÅÎÁÐÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÉ ØÊÎËÛ
Ëåêöèè 1—4
Ìîñêâà
«Ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
«Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ»
2005
Å.À. Áóíèìîâè÷, Â.À. Áóëû÷åâ
Å.À. Áóíèìîâè÷, Â.À. Áóëû÷åâ. Âåðîÿòíîñòü è ñòàòèñòèêà â êóðñå ìàòåìàòèêè
îáùåîáðàçîâàòåëüíîé øêîëû: ëåêöèè 1—4. — Ì. : Ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
«Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ», 2005. – 128 ñ. Ó÷åáíîå-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå
Ð å ä à ê ò î ð Ë.Î. Ðîñëîâà
Ê î ð ð å ê ò î ð Ë.À. Ãðîìîâà
Ê î ì ï ü þ ò å ð í à ÿ â å ð ñ ò ê à Î.Â. Ñóõàðåâà
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 10.09.2005.
Ôîðìàò 60õ90/16. Ãàðíèòóðà «Òàéìñ». Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Ïå÷. ë. 8,0.
Òèðàæ 300 ýêç. Çàêàç ¹
Ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ»,
óë. Êèåâñêàÿ, ä. 24., Ìîñêâà, 121165
http://edu.1september.ru
© Å.À. Áóíèìîâè÷, Â.À. Áóëû÷åâ, 2005
© Ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ», 2005
Ó÷åáíûé ïëàí êóðñà
¹
áðîøþðû
1
Ó÷åáíûé ìàòåðèàë
Ëåêöèÿ ¹ 1. Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
1
Ëåêöèÿ ¹ 2. Êîìáèíàòîðèêà â âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòåé
1
Ëåêöèÿ ¹ 3. Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòåé
1
2
Ëåêöèÿ ¹ 4. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è èõ ðàñïðåäåëåíèÿ.
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 1 «Âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé»
Ëåêöèÿ ¹ 5. Àíàëèç äàííûõ
2
Ëåêöèÿ ¹ 6. Ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà è åå ïðåäñòàâëåíèå
2
Ëåêöèÿ ¹ 7. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âûáîðêè.
Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹ 2 «Àíàëèç ñëó÷àéíîé âûáîðêè»
2
Ëåêöèÿ ¹ 8. Èñïûòàíèÿ Áåðíóëëè
Èòîãîâàÿ ðàáîòà. Èòîãîâàÿ ðàáîòà äîëæíà ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ðàçðàáîòêó óðîêà ïî òåìå «Âåðîÿòíîñòü è ñòàòèñòèêà», ñîçäàííóþ íà îñíîâå ìàòåðèàëîâ äàííîãî êóðñà ëåêöèé. Ïîäðîáíûé êîíñïåêò óðîêà, ñîïðîâîæäàåìûé ñïðàâêîé èç îáðàçîâàòåëüíîãî ó÷ðåæäåíèÿ, ïîäòâåðæäàþùåé ôàêò
åãî ïðîâåäåíèÿ, äîëæåí áûòü ïðåäñòàâëåí â Ïåäàãîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
Ëåêöèÿ 1
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
 íàøåé ïåðâîé ëåêöèè ìû ïîãîâîðèì î òîì, ÷òî òàêîå âåðîÿòíîñòü è
íàó÷èìñÿ åå âû÷èñëÿòü.
 òîëêîâîì ñëîâàðå ðóññêîãî ÿçûêà Ñ.È. Îæåãîâà è Í.Þ. Øâåäîâîé
÷èòàåì: «Âåðîÿòíîñòü — âîçìîæíîñòü èñïîëíåíèÿ, îñóùåñòâèìîñòè ÷åãîíèáóäü». Ìû ÷àñòî óïîòðåáëÿåì â ïîâñåäíåâíîé æèçíè «âåðîÿòíî», «âåðîÿòíåå», «íåâåðîÿòíî», âîâñå íå èìåÿ â âèäó êîíêðåòíûå êîëè÷åñòâåííûå îöåíêè ýòîé âîçìîæíîñòè èñïîëíåíèÿ.
Îñíîâàòåëü ñîâðåìåííîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé À.Í. Êîëìîãîðîâ ïèñàë î âåðîÿòíîñòè òàê: «Âåðîÿòíîñòü ìàòåìàòè÷åñêàÿ — ýòî ÷èñëîâàÿ
õàðàêòåðèñòèêà ñòåïåíè âîçìîæíîñòè ïîÿâëåíèÿ êàêîãî-ëèáî îïðåäåëåí-
4
Ëåêöèÿ 1
íîãî ñîáûòèÿ â òåõ èëè èíûõ îïðåäåëåííûõ, ìîãóùèõ ïîâòîðÿòüñÿ íåîãðàíè÷åííîå ÷èñëî ðàç óñëîâèÿõ».
Èòàê, â ìàòåìàòèêå âåðîÿòíîñòü èçìåðÿåòñÿ ÷èñëîì. Ñîâñåì ñêîðî
ìû âûÿñíèì, êàê èìåííî ýòî ìîæíî ñäåëàòü. Íî íà÷íåì ìû ñ îáñóæäåíèÿ òîãî, ó êàêèõ ñîáûòèé áûâàåò «ìàòåìàòè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü» è ÷òî
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýòè «îïðåäåëåííûå, ìîãóùèå ïîâòîðÿòüñÿ íåîãðàíè÷åííîå ÷èñëî ðàç óñëîâèÿ». Èìåííî ïîýòîìó íàøà ïåðâàÿ ëåêöèÿ
íà÷èíàåòñÿ ñ ðàññìîòðåíèÿ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé è ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
1. Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ. Ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò.
Ýëåìåíòàðíûå èñõîäû
Íóæíî ñêàçàòü, ÷òî òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé, êàê íèêàêàÿ äðóãàÿ îáëàñòü ìàòåìàòèêè, ïîëíà ïðîòèâîðå÷èé è ïàðàäîêñîâ. Îáúÿñíåíèå ýòîìó î÷åíü ïðîñòîå — îíà ñëèøêîì òåñíî ñâÿçàíà ñ ðåàëüíîé, îêðóæàþùåé íàñ äåéñòâèòåëüíîñòüþ. Äîëãîå âðåìÿ åå âìåñòå ñ ìàòåìàòè÷åñêîé
ñòàòèñòèêîé äàæå íå õîòåëè ïðè÷èñëÿòü ê ìàòåìàòè÷åñêèì äèñöèïëèíàì, ñ÷èòàÿ èõ ñóãóáî ïðèêëàäíûìè íàóêàìè.
Òîëüêî â ïåðâîé ïîëîâèíå ïðîøëîãî âåêà, â îñíîâíîì áëàãîäàðÿ
òðóäàì íàøåãî âåëèêîãî ñîîòå÷åñòâåííèêà À.Í. Êîëìîãîðîâà, èìÿ êîòîðîãî óæå óïîìèíàëîñü âûøå, áûëè ïîñòðîåíû ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâàíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, êîòîðûå ïîçâîëèëè îòäåëèòü ñîáñòâåííî íàóêó
îò åå ïðèëîæåíèé. Ïîäõîä, ïðåäëîæåííûé Êîëìîãîðîâûì, òåïåðü ïðèíÿòî íàçûâàòü àêñèîìàòè÷åñêèì, ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòü â íåì (à òî÷íåå,
âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî) îïðåäåëÿåòñÿ êàê íåêàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ñòðóêòóðà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ îïðåäåëåííîé ñèñòåìå àêñèîì.
Èìåííî íà ýòîì ïîäõîäå ïîñòðîåí ñîâðåìåííûé âóçîâñêèé êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ÷åðåç êîòîðûé ïðîøëè â ñâîå âðåìÿ âñå íûíåøíèå
ó÷èòåëÿ ìàòåìàòèêè. Îäíàêî â øêîëå òàêîé ïîäõîä ê èçó÷åíèþ âåðîÿòíîñòè (äà è ìàòåìàòèêè â öåëîì) âðÿä ëè ðàçóìåí. Åñëè â âóçå îñíîâíîé àêöåíò äåëàåòñÿ íà èçó÷åíèè ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà äëÿ èññëåäîâàíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé, òî â øêîëå ó÷åíèê äîëæåí íàó÷èòüñÿ ýòè ìîäåëè ñòðîèòü, àíàëèçèðîâàòü, ïðîâåðÿòü èõ àäåêâàòíîñòü
ðåàëüíûì ñèòóàöèÿì. Òàêóþ òî÷êó çðåíèÿ ðàçäåëÿþò ñåãîäíÿ áîëüøèíñòâî ó÷åíûõ, çàíèìàþùèõñÿ ïðîáëåìàìè øêîëüíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî
îáðàçîâàíèÿ.
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
5
***
 ñîâðåìåííûõ øêîëüíûõ ó÷åáíèêàõ, âêëþ÷àþùèõ ñ íåäàâíåãî âðåìåíè âåðîÿòíîñòíî-ñòàòèñòè÷åñêèé ìàòåðèàë, âû íàéäåòå ïðèìåðíî ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå: ñîáûòèå íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûì, åñëè ïðè îäíèõ
è òåõ æå óñëîâèÿõ îíî ìîæåò êàê ïðîèçîéòè, òàê è íå ïðîèçîéòè. Ñëó÷àéíûì áóäåò, íàïðèìåð, ñîáûòèå «Ïðè ïîäáðàñûâàíèè èãðàëüíîãî êóáèêà âûïàäåò 6 î÷êîâ».
 ïðèâåäåííîì îïðåäåëåíèè íåÿâíî ïîäðàçóìåâàåòñÿ îäíî âàæíîå
òðåáîâàíèå, êîòîðîå íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü: ìû äîëæíû èìåòü âîçìîæíîñòü íåîäíîêðàòíî âîñïðîèçâîäèòü îäíè è òå æå óñëîâèÿ, â êîòîðûõ íàáëþäàåòñÿ äàííîå ñîáûòèå (íàïðèìåð, ïîäáðàñûâàòü êóáèê), — èíà÷å íåâîçìîæíî ñóäèòü î åãî ñëó÷àéíîñòè.
Ñòàëî áûòü, ãîâîðÿ î ëþáîì ñëó÷àéíîì ñîáûòèè, ìû âñåãäà èìååì â
âèäó íàëè÷èå îïðåäåëåííûõ óñëîâèé, áåç êîòîðûõ îá ýòîì ñîáûòèè âîîáùå íå èìååò ñìûñëà ãîâîðèòü. Ýòîò êîìïëåêñ óñëîâèé íàçûâàþò ñëó÷àéíûì îïûòîì èëè ñëó÷àéíûì ýêñïåðèìåíòîì.
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì íàçûâàòü ñëó÷àéíûì ëþáîå ñîáûòèå, ñâÿçàííîå ñî ñëó÷àéíûì ýêñïåðèìåíòîì. Äî ýêñïåðèìåíòà, êàê ïðàâèëî,
íåâîçìîæíî òî÷íî ñêàçàòü, ïðîèçîéäåò äàííîå ñîáûòèå èëè íå ïðîèçîéäåò — ýòî âûÿñíÿåòñÿ ëèøü ïîñëå åãî çàâåðøåíèÿ. Íî íåñïðîñòà
ìû ñäåëàëè îãîâîðêó «êàê ïðàâèëî»: â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðèíÿòî
ñ÷èòàòü ñëó÷àéíûìè âñå ñîáûòèÿ, ñâÿçàííûå ñî ñëó÷àéíûì ýêñïåðèìåíòîì, â òîì ÷èñëå:
• íåâîçìîæíûå, êîòîðûå íèêîãäà íå ìîãóò ïðîèçîéòè;
• äîñòîâåðíûå, êîòîðûå ïðîèñõîäÿò ïðè êàæäîì òàêîì ýêñïåðèìåíòå.
Íàïðèìåð, ñîáûòèå «Íà èãðàëüíîì êóáèêå âûïàäåò 7 î÷êîâ» — íåâîçìîæíîå, à «Íà èãðàëüíîì êóáèêå âûïàäåò ìåíüøå ñåìè î÷êîâ» —
äîñòîâåðíîå. Ðàçóìååòñÿ, åñëè ðå÷ü èäåò î êóáèêå, íà ãðàíÿõ êîòîðîãî
íàïèñàíû ÷èñëà îò 1 äî 6.
***
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî íàèáîëåå èçëþáëåííûõ â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðèìåðîâ ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
Îïûò 1. Ïîäáðàñûâàíèå ìîíåòû. Ýòîò ýêñïåðèìåíò â íåêîòîðîì ñìûñëå ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîñòåéøèì ñëó÷àéíûì îïûòîì.  ðåçóëüòàòå òàêîãî
ýêñïåðèìåíòà ìîíåòà ìîæåò óïàñòü íà îäíó èç äâóõ ñâîèõ ñòîðîí —
«îðåë» èëè «ðåøêà».
6
Ëåêöèÿ 1
Íàïîìíèì, ÷òî «ðåøêîé» íàçûâàåòñÿ ëèöåâàÿ ñòîðîíà ìîíåòû (àâåðñ),
íà êîòîðîé âûáèò åå íîìèíàë — íàïðèìåð, 1 ðóáëü. «Îðëîì» íàçûâàåòñÿ îáðàòíàÿ ñòîðîíà ìîíåòû (ðåâåðñ). Íà ðîññèéñêèõ ìîíåòàõ íà ýòîé
ñòîðîíå èçîáðàæåí ãåðá Ðîññèéñêîãî ãîñóäàðñòâà — äâóãëàâûé îðåë.
Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïðè ïîäáðàñûâàíèè ìîíåòû îíà ñ ðàâíûìè øàíñàìè ìîæåò âûïàñòü íà «îðëà» èëè «ðåøêó». Äëÿ ðåàëüíûõ ìîíåò ýòî ìîæåò
áûòü íå ñîâñåì òàê — âåäü, â êîíöå êîíöîâ, ñòîðîíû ìîíåòû íå ñîâñåì
îäèíàêîâûå. Êðîìå òîãî, ìîíåòà ìîæåò óïàñòü íà ðåáðî èëè âîîáùå çàêàòèòüñÿ â ùåëü ïîä ïîë…
Îäíàêî â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ãîâîðÿ îá ýêñïåðèìåíòå ñ ìîíåòîé, èìåþò
â âèäó íåêóþ èäåàëüíóþ ìîíåòó, äëÿ êîòîðîé øàíñû «îðëà» è «ðåøêè» â
êàæäîì ýêñïåðèìåíòå ðàâíû, è äðóãèõ èñõîäîâ áûòü íå ìîæåò.
Îïûò 2. Ïîäáðàñûâàíèå êóáèêà. Ýòî ñëåäóþùèé ïî ïîïóëÿðíîñòè
ïîñëå ìîíåòû ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò. Ðå÷ü â íåì èäåò îá èãðàëüíîì
êóáèêå (èëè èãðàëüíîé êîñòè), íà ãðàíÿõ êîòîðîãî âûáèòû òî÷êè, ñèìâîëèçèðóþùèå êîëè÷åñòâî î÷êîâ îò 1 äî 6.
Åñëè êóáèê ñèììåòðè÷íûé, òî ïðè åãî ïîäáðàñûâàíèè îí ìîæåò ñ
ðàâíûìè øàíñàìè âûïàñòü íà ëþáóþ èç øåñòè ãðàíåé. Èìåííî ñ òàêèìè èäåàëüíûìè êóáèêàìè ìû è áóäåì èìåòü äåëî â äàëüíåéøåì. Â ðå-
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
7
àëüíûõ êóáèêàõ øàíñû ãðàíåé ìîãóò ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ. Èíîãäà ýòîãî
äîáèâàþòñÿ ñïåöèàëüíî, çàïàèâàÿ âíóòðü êóáèêà äðîáèíêó, ñìåùåííóþ ê îäíîé èç åãî ãðàíåé. Åñëè, íàïðèìåð, ñìåñòèòü òàêóþ äðîáèíêó
ê ãðàíè ñ 1, òî íà êóáèêå áóäåò ÷àùå âûïàäàòü 6 (ñì. ðàçâåðòêó èãðàëüíîãî êóáèêà).
Îïûò 3. Âûáîð ïåð÷àòîê.  êîðîáêå ëåæèò 3 ïàðû îäèíàêîâûõ ïåð÷àòîê. Èç íåå, íå ãëÿäÿ, âûòàñêèâàþò äâå ïåð÷àòêè. Ãîâîðÿ «íå ãëÿäÿ», ìû
ëèøíèé ðàç ïîä÷åðêèâàåì íåïðåäñêàçóåìîñòü ðåçóëüòàòîâ äàííîãî îïûòà. Áîëåå òî÷íî: ìû ñ÷èòàåì, ÷òî âñå øåñòü ïåð÷àòîê èìåþò îäèíàêîâûå
øàíñû áûòü âûíóòûìè èç êîðîáêè.
Ïîñëåäíèé ïðèìåð èìååò â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äàëåêî èäóùåå îáîáùåíèå è íîñèò íàçâàíèå «óðíîâîé ñõåìû». Èìååòñÿ â âèäó êîðîáêà (ìåøîê, óðíà) â êîòîðîé íàõîäèòñÿ M îäèíàêîâûõ íà îùóïü øàðîâ. Èç íåå,
íå ãëÿäÿ, âûíèìàþò N øàðîâ. Íà øàðàõ ìîãóò áûòü íàïèñàíû ÷èñëà,
áóêâû, îíè ìîãóò áûòü îêðàøåíû â ðàçíûå öâåòà è ò.ä. Ïîíÿòíî, ÷òî íàø
îïûò ñ øåñòüþ ïåð÷àòêàìè ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé
«óðíîâîé ñõåìû», â êîòîðîé òðè øàðà ïîêðàøåíû, íàïðèìåð, â áåëûé
öâåò (ëåâûå ïåð÷àòêè) è òðè øàðà — â ÷åðíûé (ïðàâûå ïåð÷àòêè).
Ýêñïåðèìåíò ñ âûáîðîì øàðîâ ìîæíî ïðîâîäèòü ïî-ðàçíîìó, ïîëó÷àÿ ïðè ýòîì ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷íûå ñëó÷àéíûå îïûòû. Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ òðè ñõåìû âûáîðà.
I. Âûáîð ñ âîçâðàùåíèåì. Ïîñëå èçâëå÷åíèÿ î÷åðåäíîãî øàðà èíôîðìàöèÿ î íåì çàïèñûâàåòñÿ, è îí âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî â óðíó. Øàðû
ïåðåìåøèâàþòñÿ, ïîñëå ÷åãî èçâëåêàåòñÿ ñëåäóþùèé øàð. Òàêàÿ ïðîöåäóðà ïîâòîðÿåòñÿ N ðàç. Ïîíÿòíî, ÷òî â òàêîì îïûòå îäèí è òîò æå øàð
ìîæåò áûòü âûíóò ìíîãîêðàòíî. Îòìåòèì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ÷èñëî N
ìîæåò áûòü êàê ìåíüøå, òàê è áîëüøå èëè ðàâíî M.
II. Âûáîð áåç âîçâðàùåíèÿ. Íà ýòîò ðàç êàæäûé âûíóòûé øàð óæå
íå âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîâòîðíî âûíóò áûòü íå ìîæåò.  ýòîì ñëó÷àå, î÷åâèäíî, N ≤ M .
III. Îäíîâðåìåííûé âûáîð. Â òàêîì ýêñïåðèìåíòå âñå N øàðîâ
âûíèìàþòñÿ èç óðíû ñðàçó, îäíîâðåìåííî. Ïîçæå ìû óâèäèì, ÷òî ïðèíöèïèàëüíîé ðàçíèöû ìåæäó ìîäåëÿìè II è III íåò — âî ìíîãèõ çàäà÷àõ
ìîæíî ïðèíÿòü êàê òó, òàê è äðóãóþ ñõåìó âûáîðà.
Îïûò 4. Òåòðàäíûé ëèñò. Íà òåòðàäíûé ëèñò â ëèíåéêó íàóäà÷ó áðîñàåòñÿ ìîíåòà. Íî íà ýòîò ðàç èíòåðåñóþòñÿ íå òåì, êàêîé ñòîðîíîé óïàëà
ìîíåòà, à òåì, ñêîëüêî ëèíååê îíà ïðè ýòîì ïåðåñåêëà.
8
Ëåêöèÿ 1
Ïðèâåäåííûå â ýòîì ðàçäåëå ïðèìåðû èíòåðåñíû åùå è òåì, ÷òî îãðîìíîå êîëè÷åñòâî ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, â êîòîðûõ íåò íè ìîíåò,
íè êóáèêîâ, íè øàðîâ, ìîãóò áûòü ñâåäåíû ê îäíîé èç ðàññìîòðåííûõ
ìîäåëåé. ×óòü ïîçæå âû óáåäèòåñü â ýòîì ñàìè, êîãäà íà÷íåòå ðåøàòü
çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé.
***
 äàëüíåéøåì, ãîâîðÿ î ñëó÷àéíîì îïûòå, ìû âñåãäà áóäåì ïîäðàçóìåâàòü âûïîëíåíèå äâóõ òðåáîâàíèé: åãî íåïðåäñêàçóåìîñòè è âîçìîæíîñòè ìíîãîêðàòíîãî ïîâòîðåíèÿ ïðèáëèçèòåëüíî â îäíèõ è òåõ æå
óñëîâèÿõ. Åñëè õîòÿ áû îäíî èç ýòèõ òðåáîâàíèé íå âûïîëíÿåòñÿ, òî ãîâîðèòü î òàêèõ ýêñïåðèìåíòàõ ìû íå áóäåì. Ïîíÿòíî, ÷òî âñå ÷åòûðå
ðàññìîòðåííûõ âûøå ýêñïåðèìåíòà óäîâëåòâîðÿþò ýòèì ñâîéñòâàì. À âîò
ïðèìåð ýêñïåðèìåíòà äðóãîãî ñîðòà.
Îïûò 5. Ìîæíî ëè ñ÷èòàòü ñëó÷àéíûì ýêñïåðèìåíòîì ïîñòóïëåíèå
àáèòóðèåíòà Âèòè Ìàëååâà íà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓ?
Íåïðåäñêàçóåìîñòü çäåñü íàëèöî, à âîò âîçìîæíîñòü ìíîãîêðàòíîãî
ïîâòîðåíèÿ — ïðîáëåìàòè÷íà. Ìíîãîêðàòíî ïîâòîðèòü ýòîò ýêñïåðèìåíò
èìåííî ñ Âèòåé íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì äàæå òåîðåòè÷åñêè, ïîýòîìó äîâîëüíî áåññìûñëåííî çàäàâàòüñÿ âîïðîñîì, ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ îí ïîñòóïèò â óíèâåðñèòåò.
Åñëè ýòîò îïûò ðàññìîòðåòü â áîëåå îáùåì êîíòåêñòå — ïîñòóïëåíèå
ïðîèçâîëüíîãî (ñëó÷àéíî âûáðàííîãî) àáèòóðèåíòà íà ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓ, — òî îí ïðèîáðåòàåò íåêîòîðûå ÷åðòû ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà, õîòÿ âî ìíîãîì âîïðîñ î íåèçìåííîñòè óñëîâèé
îñòàåòñÿ äèñêóññèîííûì. Âîîáùå, â ïðèìåðàõ èç ðåàëüíîé æèçíè ðàçîáðàòüñÿ äàëåêî íå âñåãäà òàê ïðîñòî, êàê â èäåàëüíûõ ìîäåëÿõ, ïîäîáíûõ ìîíåòå èëè êóáèêó.
Îòìåòèì åùå, ÷òî çà òåðìèíîì «ýêñïåðèìåíò» ìîæåò ñêðûâàòüñÿ è
êàêîå-òî ïðèðîäíîå ÿâëåíèå, êîòîðîå ïðîèñõîäèò ñàìî ñîáîé, áåç íàøåãî ó÷àñòèÿ, áåç «ïîñòàíîâêè ýêñïåðèìåíòà». Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â ýòîì
ñëó÷àå îïûò ïîâòîðÿåò ñàìà ïðèðîäà.
Îïûò 6. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò ñîñòîèò â ðåãèñòðàöèè êîëè÷åñòâà ñîëíå÷íûõ äíåé â èþëå ìåñÿöå â ðàéîíå ãîðîäà Çàäîíñêà. Èñõîä òàêîãî îïûòà çàðàíåå íåïðåäñêàçóåì, è ïðîâîäèòü åãî ìû ìîæåì åæåãîäíî. Ïîñêîëüêó ãëîáàëüíîå èçìåíåíèå êëèìàòà íà Çåìëå ïðîèñõîäèò, ê ñ÷àñòüþ, íå ñòîëü áûñòðî, òî óñëîâèÿ ïðîâåäåíèÿ íàøåãî îïûòà
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
9
ìîæíî ñ÷èòàòü ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâûìè. Òàê ÷òî íåîáõîäèìûå òðåáîâàíèÿ ê ñëó÷àéíîìó ýêñïåðèìåíòó â ýòîì ïðèìåðå âûïîëíåíû.
Ê ðàññìîòðåííûì çäåñü ñëó÷àéíûì îïûòàì ìû áóäåì íåîäíîêðàòíî
âîçâðàùàòüñÿ íà ïðîòÿæåíèè âñåé ëåêöèè.
***
Êðîìå ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ, ñ îïûòîì ñâÿçàíî åùå îäíî âàæíîå ïîíÿòèå — ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà. Èñõîäîì (èëè ýëåìåíòàðíûì èñõîäîì, ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì) íàçûâàåòñÿ îäèí èç âçàèìîèñêëþ÷àþùèõ äðóã äðóãà âàðèàíòîâ, êîòîðûì ìîæåò çàâåðøèòüñÿ ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò.  ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà âñåãäà ïðîèñõîäèò îäèí è òîëüêî
îäèí èç åãî èñõîäîâ. Òî åñòü, ñ îäíîé ñòîðîíû, íå ìîãóò ïðîèçîéòè ñðàçó äâà èñõîäà, ñ äðóãîé — ýêñïåðèìåíò íå ìîæåò çàâåðøèòüñÿ âîîáùå
áåç êàêîãî-ëèáî èñõîäà.
Ïîïðîáóåì îïðåäåëèòü ÷èñëî âîçìîæíûõ èñõîäîâ â êàæäîì èç ðàññìîòðåííûõ âûøå îïûòîâ:
• â îïûòå 1 — 2 èñõîäà: «îðåë» è «ðåøêà»;
• â îïûòå 2 — 6 èñõîäîâ: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
• â îïûòå 3 — 2 èñõîäà: «ïåð÷àòêè íà îäíó ðóêó», «ïåð÷àòêè íà ðàçíûå ðóêè»;
• â îïûòå 4 — êîëè÷åñòâî èñõîäîâ çàâèñèò îò ðàçìåðîâ ìîíåòû è
ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ëèíåéêàìè;
• â îïûòå 5 — 2 èñõîäà: «ïîñòóïèë», «íå ïîñòóïèë»;
• â îïûòå 6 — 32 èñõîäà: 0, 1, 2, …, 31 ñîëíå÷íûõ äíåé.
Ïîæàëóé, òîëüêî â îïûòàõ 1 è 2 ïðèâåäåííûå îòâåòû íå âûçûâàþò
ñîìíåíèé.
 îïûòå 3 ìîæíî ïðåäëîæèòü áîëåå äåòàëüíîå îïèñàíèå èñõîäîâ:
• «îáå ïåð÷àòêè íà ëåâóþ ðóêó»;
• «îáå ïåð÷àòêè íà ïðàâóþ ðóêó»;
• «ïåð÷àòêè íà ðàçíûå ðóêè».
À ìîæíî ïîéòè åùå äàëüøå — ïåðåíóìåðîâàòü âñå øåñòü ïåð÷àòîê
(õîòÿ áû ìûñëåííî),
10
Ëåêöèÿ 1
è òîãäà ÷èñëî èñõîäîâ âîçðàñòåò äî 15:
12, 13, 14, 15, 16,
23, 24, 25, 26,
34, 35, 36,
45, 46,
56
(äëÿ êàæäîãî èñõîäà ìû óêàçûâàåì çäåñü íîìåðà âûíóòûõ èç êîðîáêè
ïåð÷àòîê).
×òîáû íàéòè êîëè÷åñòâî èñõîäîâ â îïûòå 4, óñëîâèìñÿ äëÿ îïðåäåëåííîñòè ñ÷èòàòü, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíåéêàìè ðàâíî 8 ìì (ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê äëÿ ñòàíäàðòíîãî òåòðàäíîãî ëèñòà), à äèàìåòð ìîíåòû —
20 ìì (òàêîé äèàìåòð èìååò 1 ðóáëü). Òîãäà ëåãêî ñîîáðàçèòü, ÷òî ìîíåòà ìîæåò ïåðåñå÷ü 2 èëè 3 ëèíåéêè (äîêàæèòå!). Çíà÷èò, ó ýòîãî îïûòà
äâà âîçìîæíûõ èñõîäà.
Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàæäûé èñõîä îïûòà è çäåñü ìîæíî îïèñûâàòü áîëåå äåòàëüíî: íàïðèìåð, ôèêñèðîâàòü ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ìîíåòû äî áëèæàéøåé ëèíåéêè.  ýòîì ñëó÷àå êàæäûé èñõîä áóäåò îïèñûâàòüñÿ äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì
x, ãäå 0 ≤ x ≤ 4,
è êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ èñõîäîâ ñòàíåò áåñêîíå÷íûì!
Àíàëîãè÷íàÿ «äåòàëèçàöèÿ» èñõîäîâ âîçìîæíà è â îïûòå 5 (åñëè, êàê
óæå áûëî ñêàçàíî âûøå, ïðåâðàòèòü åãî â ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò): ìîæíî
âçÿòü â êà÷åñòâå èñõîäà ñóììó íàáðàííûõ áàëëîâ èëè äàæå ñàìè áàëëû
ïî êàæäîìó èç ýêçàìåíîâ.
Âñå ñêàçàííîå ìîæíî çàâåðøèòü ñëåäóþùèì ïðàâèëîì: ïðè ðàññìîòðåíèè âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà ñëåäóåò âûáèðàòü èõ êàê ìîæíî
áîëåå «ýëåìåíòàðíûìè», íåäåëèìûìè äàëüøå íà áîëåå ìåëêèå ñîáûòèÿ. Èñïîëüçîâàíèå ýòîãî ïðàâèëà ïîçâîëèò â äàëüíåéøåì èçáåæàòü
ìíîãèõ îøèáîê ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé.
***
Òàêèì îáðàçîì, èñõîä — ýòî òîæå ñëó÷àéíîå ñîáûòèå. Êàê è ëþáîå
äðóãîå, îíî ìîæåò ïðîèçîéòè èëè íå ïðîèçîéòè â ðåçóëüòàòå ñëó÷àéíîãî
ýêñïåðèìåíòà. Îäíàêî â îòëè÷èå îò îñòàëüíûõ ñîáûòèé èñõîäû íàçûâàþò åùå ýëåìåíòàðíûìè ñîáûòèÿìè, æåëàÿ òåì ñàìûì ïîä÷åðêíóòü,
÷òî ýòè ñîáûòèÿ ñîñòîÿò òîëüêî èç îäíîãî èñõîäà è íåäåëèìû íà áîëåå
ìåëêèå.
11
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
À âîò ëþáîå íåýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå áóäåò ñîñòîÿòü èç íåêîòîðîãî
ìíîæåñòâà èñõîäîâ, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ áëàãîïðèÿòíûìè äëÿ ýòîãî
ñîáûòèÿ. Áëàãîïðèÿòíû îíè â òîì ñìûñëå, ÷òî ïðèâîäÿò ê íàñòóïëåíèþ
äàííîãî ñîáûòèÿ.
Åñëè îáîçíà÷èòü ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà áóêâîé Ω 1 , òî êàæäûé èñõîä ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ýëåìåíò ýòîãî ìíîæåñòâà:
ω ∈Ω ,
à ëþáîå ñëó÷àéíîå ñîáûòèå A — êàê åãî ïîäìíîæåñòâî:
A⊆Ω .
Ïðè ýòîì íåâîçìîæíîå è äîñòîâåðíîå ñîáûòèÿ ïîëó÷àþòñÿ êàê äâà
÷àñòíûõ ñëó÷àÿ ýòîãî âêëþ÷åíèÿ:
• íåâîçìîæíîìó ñîáûòèþ ñîîòâåòñòâóåò ïóñòîå ìíîæåñòâî èñõîäîâ
{∅} ;
• äîñòîâåðíîìó ñîáûòèþ ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâî âñåõ èñõîäîâ îïûòà Ω.
Èìåííî òàêîé ÿçûê — òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûé — ïðèíÿò â àêñèîìàòè÷åñêîì ïîñòðîåíèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Èíîãäà òàêîé ïîäõîä áóäåò
ïîëåçåí è äëÿ íàñ, íî ñëåäîâàòü åìó íà ïðîòÿæåíèè âñåãî êóðñà ìû íå
áóäåì.
Îïûò 2. Ïîäáðàñûâàíèå êóáèêà. Ìíîæåñòâî âñåõ èñõîäîâ îïûòà
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Ïðèâåäåì ïðèìåðû ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, ñâÿçàííûõ
ñ ýòèì îïûòîì:
A = {âûïàäåò ÷åòíîå ÷èñëî} = {2, 4, 6};
B = {âûïàäåò ÷èñëî ìåíüøå 3} = {1, 2};
C = {âûïàäåò ïðîñòîå ÷èñëî} = {2, 3, 5}.
Îòìåòèì, ÷òî èíîãäà ðàçíûå ñëîâåñíûå îïèñàíèÿ ìîãóò ïðèâîäèòü ê
îäíîìó è òîìó æå ïîäìíîæåñòâó èñõîäîâ, ò.å. ôàêòè÷åñêè ê îäíîìó è
òîìó æå ñîáûòèþ:
D = {âûïàäåò äåëèòåëü ÷èñëà 14} = {1, 2}.
Ìû âèäèì, ÷òî D = B.
1
Èñïîëüçîâàíèå ãðå÷åñêèõ áóêâ Ω è ω («îìåãà áîëüøîå» è «îìåãà ìàëåíüêîå»)
— èñòîðè÷åñêàÿ òðàäèöèÿ, ñëîæèâøàÿñÿ â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.
12
Ëåêöèÿ 1
Îïûò 3. Âûáîð ïåð÷àòîê. Âîçìîæíûå èñõîäû ýòîãî îïûòà ìû äîãîâîðèëèñü îáîçíà÷àòü íîìåðàìè âûáðàííûõ ïåð÷àòîê:
Ω = {12, 13, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 45, 46, 56} .
Ïðèâåäåì ïðèìåðû ñîáûòèé, ñâÿçàííûõ ñ ýòèì îïûòîì (ñì. íóìåðàöèþ ïåð÷àòîê íà ïðèâåäåííîì ðàíåå ðèñóíêå):
A = {îáå ïåð÷àòêè íà ëåâóþ ðóêó} = {13, 15, 35};
B = {îáå ïåð÷àòêè íà ïðàâóþ ðóêó} = {24, 26, 46};
B = {ïåð÷àòêè íà îäíó ðóêó} = {13, 15, 35, 24, 26, 46};
C = {ïåð÷àòêè íà ðàçíûå ðóêè} = {12, 14, 16, 23, 25, 34, 36, 45, 56}.
Îïûò 4. Òåòðàäíûé ëèñò. Âîçìîæíûå èñõîäû ýòîãî îïûòà, êàê âû ïîìíèòå, äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà èç îòðåçêà [0; 4]:
Ω = {x : 0 ≤ x ≤ 4} ,
ãäå â êà÷åñòâå x ìû äîãîâîðèëèñü áðàòü ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ìîíåòû äî
áëèæàéøåé ëèíèè.
8 ìì
20 ìì
Ãëÿäÿ íà ðèñóíîê, íåñëîæíî îïèñàòü ìíîæåñòâà áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ äëÿ êàæäîãî èç ñëåäóþùèõ ñîáûòèé:
A = {ìîíåòà ïåðåñåêëà 2 ëèíèè} = { x : 2 < x ≤ 4} ;
B = {ìîíåòà ïåðåñåêëà 3 ëèíèè} = { x : 0 ≤ x ≤ 2} .
Èòàê, ìû ââåëè òðè âàæíåéøèõ ïîíÿòèÿ, ëåæàùèõ â îñíîâå âñåõ âåðîÿòíîñòíûõ ìîäåëåé: ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò, ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, èñõîä (ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå). Òåïåðü ìîæíî ïåðåõîäèòü ê îïðåäåëåíèþ
òîãî, ÷òî æå òàêîå âåðîÿòíîñòü.
2. Âåðîÿòíîñòü êàê ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå ÷àñòîòû
Âûøå óæå ãîâîðèëîñü, ÷òî âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ — ýòî
÷èñëîâàÿ ìåðà åãî ïðàâäîïîäîáèÿ. Êàê ìîæíî áûëî áû òàêóþ ìåðó ââå-
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
13
ñòè? Ïîíÿòíî, ÷òî ñàìûå ïðàâäîïîäîáíûå ñîáûòèÿ — äîñòîâåðíûå. Òàê
÷òî ó íèõ ýòà ìåðà äîëæíà áûòü ìàêñèìàëüíà. Ñàìûå íåïðàâäîïîäîáíûå — íåâîçìîæíûå. Ñîîòâåòñòâåííî, èõ ìåðà ïðàâäîïîäîáèÿ äîëæíà
áûòü ìèíèìàëüíà.
Óäîáíî èçìåðÿòü ñòåïåíü äîñòîâåðíîñòè ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ÷èñëàìè èç îòðåçêà [0; 1]. Òîãäà äîñòîâåðíûì ñîáûòèÿì áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü âåðîÿòíîñòü 1 (ìàêñèìàëüíî âîçìîæíàÿ), íåâîçìîæíûì — âåðîÿòíîñòü 0 (ìèíèìàëüíî âîçìîæíàÿ). À êàê èçìåðÿòü âåðîÿòíîñòü îñòàëüíûõ (ò.å. ñîáñòâåííî ñëó÷àéíûõ) ñîáûòèé?
Âåñü íàø æèçíåííûé îïûò ïîäñêàçûâàåò, ÷òî ëþáîå ñîáûòèå ñ÷èòàåòñÿ òåì áîëåå âåðîÿòíûì, ÷åì ÷àùå îíî ïðîèñõîäèò. Çíà÷èò, âåðîÿòíîñòü
äîëæíà áûòü êàêèì-òî îáðàçîì ñâÿçàíà ñ ÷àñòîòîé.
Îïðåäåëåíèå 1. Àáñîëþòíîé ÷àñòîòîé ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A â ñåðèè èç N ñëó÷àéíûõ îïûòîâ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî NA, êîòîðîå ïîêàçûâàåò,
ñêîëüêî ðàç â ýòîé ñåðèè ïðîèçîøëî ñîáûòèå A.
Àáñîëþòíàÿ ÷àñòîòà âñåãäà âûðàæàåòñÿ öåëûì ÷èñëîì 0 ≤ N A ≤ N .
Ïðè ýòîì:
• äëÿ íåâîçìîæíîãî ñîáûòèÿ NA = 0;
• äëÿ äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ NA = N.
Îïðåäåëåíèå 2. Îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòîé ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A
â ñåðèè èç N ñëó÷àéíûõ îïûòîâ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî F(A), êîòîðîå ïîêàçûâàåò, êàêàÿ äîëÿ îïûòîâ â ýòîé ñåðèè çàâåðøèëàñü íàñòóïëåíèåì ñîáûòèÿ A:
NA
.
N
Îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà (èíîãäà ãîâîðÿò ïðîñòî ÷àñòîòà) âûðàæàåòñÿ
÷èñëîì îò 0 äî 1. Ïðè ýòîì:
• äëÿ íåâîçìîæíîãî ñîáûòèÿ F(A) = 0;
• äëÿ äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ F(A) = 1.
Èç ïîñëåäíåãî îïðåäåëåíèÿ âèäíî, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà îáëàäàåò âñåìè íóæíûìè íàì ñâîéñòâàìè, êîòîðûå ìû õîòåëè áû âèäåòü
ó âåëè÷èíû, èçìåðÿþùåé ñòåïåíü äîñòîâåðíîñòè ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ:
• îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà èçìåíÿåòñÿ îò 0 äî 1;
• äëÿ íåâîçìîæíûõ ñîáûòèé îíà ðàâíà 0, à äëÿ äîñòîâåðíûõ — 1;
• äëÿ ëþáîãî ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ åãî îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà òåì áîëüøå, ÷åì ÷àùå îíî ïðîèñõîäèò ïðè ïîâòîðåíèè îïûòîâ.
F ( A) =
14
Ëåêöèÿ 1
Ìîæåò áûòü, îòíîñèòåëüíóþ ÷àñòîòó è íóæíî ïðèíÿòü çà âåðîÿòíîñòü?
Ê ñîæàëåíèþ, òàêîå îïðåäåëåíèå ïðèâîäèò ê îäíîìó íåóäîáñòâó — çíà÷åíèå ÷àñòîòû çàâèñèò îò êîíêðåòíîé ñåðèè îïûòîâ è îò èõ êîëè÷åñòâà.
Ïðèìåð 1. Ïåðåä âàìè îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà îðëîâ, ïîëó÷åííàÿ
â äâàäöàòè ðàçëè÷íûõ ñåðèÿõ ïî 100-êðàòíîìó áðîñàíèþ ìîíåòû:
0,49 0,49 0,53 0,41 0,51 0,51 0,51 0,57 0,46 0,43
0,51 0,58 0,51 0,47 0,47 0,51 0,51 0,48 0,56 0,48
Èç ýòèõ ðåçóëüòàòîâ âèäíî, ÷òî ÷àñòîòà ìîæåò çíà÷èòåëüíî êîëåáàòüñÿ
îò ñåðèè ê ñåðèè (â íàøåì ïðèìåðå — îò 0,41 äî 0,58). Íî ñ äðóãîé
ñòîðîíû, ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, ÷òî ýòè êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò îêîëî íåêîòîðîãî êîíêðåòíîãî ÷èñëà. Äëÿ âàñ âðÿä ëè áóäåò íåîæèäàííîñòüþ,
åñëè ìû îáúÿâèì, ÷òî äëÿ íàøåãî ïðèìåðà ýòî ÷èñëî 0,5.
Ôóíäàìåíòàëüíûì ñâîéñòâîì îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò (åñëè õîòèòå —
çàêîíîì ïðèðîäû) ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà îïûòîâ
îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ ïîñòåïåííî ñòàáèëèçèðóåòñÿ è ïðèáëèæàåòñÿ ê âïîëíå îïðåäåëåííîìó ÷èñëó, êîòîðîå è ñëåäóåò ñ÷èòàòü åãî âåðîÿòíîñòüþ.
Ïðèìåð 2. Ïåðåä âàìè äèíàìèêà èçìåíåíèÿ îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû îðëîâ â äëèííîé ñåðèè èç 2000 îïûòîâ ïî ïîäáðàñûâàíèþ ìîíåòû. ×àñòîòà
îðëîâ ïåðåñ÷èòûâàëàñü ïîñëå êàæäûõ 100 îïûòîâ è íàíîñèëàñü íà ãðàôèê:
0,540
0,530
0,520
0,510
0,500
0,490
0,480
0,470
0,460
0,450
0,440
100
400
700
1000
1300
1600
1900
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
15
Ïî ãðàôèêó âèäíî, ÷òî ñ ðîñòîì ÷èñëà îïûòîâ ÷àñòîòà íà÷èíàåò ïîñòåïåííî ñòàáèëèçèðîâàòüñÿ. Ïðàâäà, òî÷íî íàçâàòü òî ÷èñëî, îêîëî êîòîðîãî ïðîèñõîäèò ýòà ñòàáèëèçàöèÿ, ïî ãðàôèêó íåâîçìîæíî. Òåì íå
ìåíåå âèäíî, ÷òî îíî ëåæèò ãäå-òî â ðàéîíå 0,5–0,52. Äëÿ áîëåå òî÷íîé
îöåíêè ñëåäóåò óâåëè÷èòü êîëè÷åñòâî îïûòîâ.
Âñå ñêàçàííîå äàåò âîçìîæíîñòü äàòü ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå 3. Âåðîÿòíîñòüþ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A íàçûâàåòñÿ
÷èñëî P(A), ê êîòîðîìó ïðèáëèæàåòñÿ îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ýòîãî ñîáûòèÿ â äëèííîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ2 .
Äàííîå îïðåäåëåíèå (èëè êàêîå-íèáóäü áëèçêîå ê íåìó) íàçûâàþò âî
ìíîãèõ ó÷åáíèêàõ «ñòàòèñòè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè». ×åñòíî
ãîâîðÿ, ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî âîîáùå íå îïðåäåëåíèå. Âîïåðâûõ, ãäå ãàðàíòèÿ, ÷òî îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà âîîáùå áóäåò ê ÷åìó-òî
«ïðèáëèæàòüñÿ»? Âî-âòîðûõ, ïî÷åìó äëÿ êàæäîé ñåðèè ýòî áóäåò îäíî è
òî æå ÷èñëî? Â-òðåòüèõ, íàñêîëüêî äëèííîé äîëæíà áûòü ñàìà ñåðèÿ,
÷òîáû ïîëó÷åííàÿ â íåé ÷àñòîòà äîñòàòî÷íî õîðîøî ïðèáëèæàëà âåðîÿòíîñòü? È òàê äàëåå. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî íàéòè âåðîÿòíîñòü ñ ïîìîùüþ ýòîãî
îïðåäåëåíèÿ íåëüçÿ. Òåì íå ìåíåå îíî äàåò âîçìîæíîñòü ïðèáëèæåííî
îöåíèòü çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè ïî ÷àñòîòå — ïðè÷åì òåì òî÷íåå, ÷åì äëèííåå ñåðèÿ ïðîâåäåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ìîæíî áûëî áû ñêàçàòü, ÷òî
âåðîÿòíîñòü — ýòî ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå ÷àñòîòû â áåñêîíå÷íîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ, íî, ê ñîæàëåíèþ, íå òàê ïðîñòî ïðèäàòü ýòîìó âûñêàçûâàíèþ òî÷íûé ìàòåìàòè÷åñêèé ñìûñë.  êîíöå íàøåãî öèêëà ëåêöèé ìû åùå âåðíåìñÿ ê ýòîìó óòâåðæäåíèþ, ÷òîáû îáëå÷ü åãî â ôîðìó
íàñòîÿùèõ òåîðåì — çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë è öåíòðàëüíóþ ïðåäåëüíóþ
òåîðåìó.
Âñëåä çà ñòàòèñòè÷åñêèì îïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòè âîçíèêàåò âîïðîñ: ñóùåñòâóþò ëè êàêèå-ëèáî òåîðåòè÷åñêèå, íå ñâÿçàííûå ñ ïðîâåäåíèåì ýêñïåðèìåíòîâ, ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé? Äà, ñóùåñòâóþò, è ìû ñîâñåì ñêîðî ñ íèìè ïîçíàêîìèìñÿ. Íî, ê ñîæàëåíèþ,
ïðèìåíÿòü ýòè ìåòîäû ìîæíî äàëåêî íå êî âñÿêèì ñëó÷àéíûì îïûòàì. À
âîò ïðèâåäåííîå âûøå ñòàòèñòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå â ýòîì ñìûñëå óíèâåðñàëüíî.
Îáîçíà÷åíèå ïðîèñõîäèò îò ïåðâîé áóêâû ôðàíöóçñêîãî ñëîâà probabilite —
âåðîÿòíîñòü.
2
16
Ëåêöèÿ 1
***
Îòìåòèì òåïåðü íåñêîëüêî çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ îòíîñèòåëüíûõ
÷àñòîò, èç êîòîðûõ íåìåäëåííî âûòåêàþò è ñîîòâåòñòâóþùèå ñâîéñòâà
âåðîÿòíîñòåé (êàê èõ ïðåäåëüíûõ çíà÷åíèé).
Ñâîéñòâî 1. Ñóììà îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò âñåõ âîçìîæíûõ èñõîäîâ
îïûòà ðàâíà 1 äëÿ ëþáîé ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ.
Äåéñòâèòåëüíî, êàæäûé ýêñïåðèìåíò âñåãäà çàêàí÷èâàåòñÿ òîëüêî
îäíèì èç âîçìîæíûõ èñõîäîâ, ïîýòîìó ñóììà èõ àáñîëþòíûõ ÷àñòîò
áóäåò ðàâíà ÷èñëó ïðîâåäåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Îòñþäà ñóììà îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò âñåãäà ðàâíà 1.
Òàê êàê ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà îïûòîâ îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàþòñÿ ê âåðîÿòíîñòÿì, òî íàéäåííîå ñâîéñòâî ïåðåíîñèòñÿ è íà âåðîÿòíîñòè ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ (ïðè óñëîâèè, ÷òî
ýòèõ èñõîäîâ êîíå÷íîå ÷èñëî):
Ñâîéñòâî 1’. Ñóììà âåðîÿòíîñòåé âñåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ îïûòà
ðàâíà 1.
Ñëó÷àéíîå ñîáûòèå ïðîèñõîäèò âñÿêèé ðàç, êîãäà îïûò çàâåðøàåòñÿ
îäíèì èç áëàãîïðèÿòíûõ äëÿ íåãî èñõîäîâ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷àñòîòà
ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ ñêëàäûâàåòñÿ èç ÷àñòîò âõîäÿùèõ â íåãî èñõîäîâ.
Îòñþäà ïîëó÷àåì âòîðîå ñâîéñòâî ÷àñòîò.
Ñâîéñòâî 2. Îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà ñóììå
îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò âõîäÿùèõ â íåãî èñõîäîâ.
 ïðèìåíåíèè ê âåðîÿòíîñòÿì ýòî áóäåò çâó÷àòü òàê:
Ñâîéñòâî 2’. Âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé âõîäÿùèõ â íåãî èñõîäîâ.
Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòè ñâîéñòâà íà ïðèìåðå.
Ïðèìåð 3.  òàáëèöå ïðèâåäåíû ÷àñòîòû âñåõ èñõîäîâ îïûòà ñ ïîäáðàñûâàíèåì êóáèêà, çàôèêñèðîâàííûå ïîñëå 100, 1000 è 10000 îïûòîâ:
Èñõîäû
Ñóììà
1
2
3
4
5
6
ïîñëå 100
0,22
0,17
0,13
0,13
0,18
0,17
1000
×àñòîòà
ïîñëå 1000
0,171
0,175
0,173
0,151
0,165
0,165
1000
ïîñëå 1000
0,1660
0,1652
0,1664
0,1658
0,1662
0,1704
100000
17
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
Ñëîæèâ â ëþáîé ìîìåíò ÷àñòîòû âñåõ øåñòè èñõîäîâ, ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî èõ ñóììà ðàâíà 1. Èíòåðåñíî èçîáðàçèòü ïîëó÷åííûå ÷àñòîòû èñõîäîâ íà äèàãðàììå:
0,25
0,2
0,15
100
1000
10000
0,1
0,05
0
1
2
3
4
5
6
Ìû âèäèì çäåñü òðè ëîìàíûõ (îíè íàçûâàþòñÿ «ïîëèãîíàìè ÷àñòîò»), ïîêàçûâàþùèõ ñîîòíîøåíèå ÷àñòîò øåñòè èñõîäîâ íàøåãî îïûòà
ïîñëå 100, 1000 è 10000 îïûòîâ. Õîðîøî âèäíî, êàê ïðè óâåëè÷åíèè
÷èñëà îïûòîâ ïðîèñõîäèò âûðàâíèâàíèå ëîìàíîé (îíà âûòÿãèâàåòñÿ â
ãîðèçîíòàëüíûé îòðåçîê), è ïðèáëèæåíèå âñåõ øåñòè ÷àñòîò ê
1
— ýòî
6
è åñòü âåðîÿòíîñòü êàæäîãî èç øåñòè èñõîäîâ
Òåïåðü, ïîëüçóÿñü ñâîéñòâîì 2, íàéäåì ÷àñòîòû ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé,
î êîòîðûõ øëà ðå÷ü ðàíåå:
A = {âûïàäåò ÷åòíîå ÷èñëî} = {2, 4, 6};
B = {âûïàäåò ÷èñëî ìåíüøå 3} = {1, 2};
C = {âûïàäåò ïðîñòîå ÷èñëî} = {2, 3, 5}.
18
Ëåêöèÿ 1
Ñîáûòèå
×àñòîòà
ïîñëå 100
ïîñëå 1000
ïîñëå 10 000
A
0,47
0,491
0,5014
B
0,39
0,346
0,3312
C
0,48
0,513
0,4978
×àñòîòà êàæäîãî èç ñîáûòèé êîëåáëåòñÿ îêîëî íåêîòîðîãî ÷èñëà —
ñîîòâåòñòâóþùåé âåðîÿòíîñòè. Óæå â ñëåäóþùåì ïóíêòå ìû âûÿñíèì
(õîòÿ íåòðóäíî äîãàäàòüñÿ îá ýòîì è ñåé÷àñ), ÷òî
1
1
1
P( A) = ; P( B) = ; P(C ) = .
2
3
2
***
 çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà ñêàæåì åùå âîò ÷òî. Ó íåðàâíîäóøíîãî
÷èòàòåëÿ, âîçìîæíî, óæå âîçíèê âîïðîñ: à êòî æå ýòî íå ïîëåíèëñÿ 10 000
ðàç áðîñèòü êóáèê äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ïðèâåäåííûå â ïîñëåäíåì
ïðèìåðå ðåçóëüòàòû? Ïðèçíàåìñÿ ÷åñòíî, ÷òî «íàòóðíûé» ýêñïåðèìåíò
ìû íå ïðîâîäèëè — ñëèøêîì ìíîãî íóæíî çàòðàòèòü íà ýòî âðåìåíè è
ñèë. Èñòîðèÿ âîîáùå çíàåò íå òàê ìíîãî äîñòàòî÷íî äëèííûõ ðåàëüíûõ
ñåðèé ñëó÷àéíûõ èñïûòàíèé. Îäèí èç íàèáîëåå èçâåñòíûõ â ýòîì îòíîøåíèè ïðèìåðî⠗ èçâåñòíûé îïûò Ïèðñîíà, â êîòîðîì îí ïðîâåë ñåðèþ èç 24 000 ïîäáðàñûâàíèé ìîíåòû. Ñêîëüêî âðåìåíè íà ýòî áûëî
ïîòðà÷åíî, ñêàçàòü òðóäíî. Èçâåñòíî ëèøü, ÷òî âî âðåìÿ ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà Ïèðñîí íàõîäèëñÿ â äîëãîâîé òþðüìå è ðàñïîëàãàë íåîãðàíè÷åííûì çàïàñîì ñâîáîäíîãî âðåìåíè…
 íàøåì ïðèìåðå äàííûå îá èñïûòàíèÿõ ñ êóáèêîì áûëè âçÿòû, ðàçóìååòñÿ, íå èç ãîëîâû — ýòî, âî-ïåðâûõ, íå÷åñòíî, âî-âòîðûõ, ñëèøêîì ðèñêîâàííî — ìîæíî íå ó÷åñòü âñåõ íåïðåäâèäåííûõ çàêîíîìåðíîñòåé ñëó÷àÿ!
Íà ñàìîì äåëå, ìû ñìîäåëèðîâàëè ýòè 10 000 èñïûòàíèé ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà (êîíêðåòíî â ýòîì ïðèìåðå — ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîííîé òàáëèöû
Excel, â áîëåå ñëîæíûõ ñèòóàöèÿõ — ñ ïðèâëå÷åíèåì ÿçûêà ïðîãðàììèðîâàíèÿ Ïàñêàëü). Ê ìîäåëèðîâàíèþ ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ ñ ïîìîùüþ
êîìïüþòåðà è ê ïðàêòè÷åñêîé ïîëüçå, êîòîðóþ ìîæíî èçâëå÷ü èç òàêîãî
ìîäåëèðîâàíèÿ, ìû åùå âåðíåìñÿ â êîíöå íàøåãî öèêëà ëåêöèé.
19
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
3. Îïûòû ñ ðàâíîâîçìîæíûìè èñõîäàìè.
Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè
Èòàê, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ ñêëàäûâàåòñÿ èç âåðîÿòíîñòåé ñîñòàâëÿþùèõ åãî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ. Åñëè
ýòèõ èñõîäîâ êîíå÷íîå ÷èñëî è âåðîÿòíîñòè èõ èçâåñòíû, òî ìîæíî
íàéòè âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ êàê ñóììó âåðîÿòíîñòåé âõîäÿùèõ â íåãî èñõîäîâ:
åñëè A = {ω1, ω2, ..., ωk } , òî P ( A) = P (ω1 ) + P (ω2 ) + ... + P (ωk ) .
Ïðèìåíèì ýòó ôîðìóëó ê âû÷èñëåíèþ âåðîÿòíîñòåé äëÿ ñëó÷àéíûõ
ñîáûòèé, ñâÿçàííûõ ñ ïîäáðàñûâàíèåì êóáèêà (ñì. ðàçäåë 1, îïûò 2):
A = {âûïàäåò ÷åòíîå ÷èñëî} = {2, 4, 6},
P ( A) = P (2) + P (4) + P (6) ;
B = {âûïàäåò ÷èñëî ìåíüøå 3} = {1, 2},
P ( B ) = P (1) + P (2) ;
C = {âûïàäåò ïðîñòîå ÷èñëî} = {2, 3, 5}, P (C ) = P (2) + P (3) + P (5) .
×òîáû íàéòè îòâåò, îñòàåòñÿ âûÿñíèòü, êàê îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü
êàæäîãî èç ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ.  îáùåì ñëó÷àå ýòî ñäåëàòü íå ïðîñòî. Îäíàêî äëÿ êóáèêà ïî÷òè î÷åâèäíî, ÷òî âñå èñõîäû èìåþò îäíó è òó
1
.
6
Íà ÷åì îñíîâàíà òàêàÿ óáåæäåííîñòü? Ïðåæäå âñåãî îá ýòîì ãîâîðÿò
ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííûõ íàìè èñïûòàíèé. Ìû âèäåëè, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà îïûòîâ îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû âñåõ øåñòè èñõîäîâ íà÷èíàþò
æå âåðîÿòíîñòü
1
. Òåì íå
6
ìåíåå ñêîëüêî áû îïûòîâ ìû íè ïðîâåëè, ïîëíîé óâåðåííîñòè, ÷òî ýòî è
åñòü âåðîÿòíîñòü, ó íàñ âñå ðàâíî íå áóäåò!
Ýòà óâåðåííîñòü âîçíèêàåò ñêîðåå ïî äðóãîé ïðè÷èíå — èç-çà ñèììåòðèè êóáèêà. Êàæäàÿ èç øåñòè ãðàíåé íè÷åì íå ëó÷øå (è íå õóæå)
ëþáîé èç ïÿòè îñòàâøèõñÿ. Ýòî äàåò íàì âñå îñíîâàíèÿ óòâåðæäàòü,
÷òî øåñòü èñõîäîâ ýòîãî îïûòà èìåþò îäèíàêîâóþ âåðîÿòíîñòü, èëè,
êàê ãîâîðÿò, ðàâíîâîçìîæíû. Òî æå ñàìîå ìîæíî ñêàçàòü ïðî äâà
èñõîäà ïðè ïîäáðàñûâàíèè ìîíåòû â îïûòå 1, ïðî 15 èñõîäîâ ïðè âûáîðå äâóõ èç øåñòè ïåð÷àòîê â îïûòå 3 è äàæå ïðî áåñêîíå÷íîå ÷èñëî
èñõîäîâ â îïûòå 4. À âîò ñ÷èòàòü ðàâíîâîçìîæíûìè èñõîäû îïûòîâ 5
âûðàâíèâàòüñÿ è ïðèáëèæàòüñÿ ê îäíîìó è òîìó æå ÷èñëó
20
Ëåêöèÿ 1
è 6 íèêàêèõ îñíîâàíèé, ðàçóìååòñÿ, íåò. Èõ âåðîÿòíîñòü ìîæíî îöåíèòü òîëüêî ïî ÷àñòîòå, íàéäåííîé ïî ðåçóëüòàòàì èìåþùèõñÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ íàáëþäåíèé.
***
Èòàê, åñëè âñå èñõîäû ýêñïåðèìåíòà èìåþò ðàâíûå øàíñû, òî îíè
íàçûâàþòñÿ ðàâíîâîçìîæíûìè. ×àùå âñåãî ðàâíîâîçìîæíîñòü èñõîäîâ ñëåäóåò èç óñëîâèé ïðîâåäåíèÿ îïûòà è ñèììåòðèè òåõ îáúåêòîâ,
êîòîðûå â íåì ó÷àñòâóþò. Äëÿ îïûòîâ ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ïðîñòîå ïðàâèëî ïîäñ÷åòà âåðîÿòíîñòè ëþáîãî ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ, ïîëó÷èâøåå íàçâàíèå ôîðìóëû
êëàññè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè èëè ôîðìóëû Ëàïëàñà.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé ýêñïåðèìåíò, êîòîðûé ìîæåò çàâåðøèòüñÿ
îäíèì èç n ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ. Ïóñòü ðîâíî m èç ýòèõ èñõîäîâ áëàãîïðèÿòñòâóþò (ò.å. ïðèâîäÿò ê íàñòóïëåíèþ) ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A. Òîãäà âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ ìîæåò áûòü âû÷èñëåíà ïî
ôîðìóëå:
m
.
n
Ôîðìóëà íåìåäëåííî ñëåäóåò èç ðàâíîâîçìîæíîñòè âñåõ èñõîäîâ è
èç ñâîéñòâà, ïî êîòîðîìó âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà ñóììå
âåðîÿòíîñòåé âõîäÿùèõ â íåãî èñõîäîâ.
Âåðíåìñÿ ê ðàññìîòðåííûì ðàíåå ñëó÷àéíûì îïûòàì è íàéäåì âåðîÿòíîñòè ïðèâåäåííûõ â íèõ ñîáûòèé ïî ôîðìóëå êëàññè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè:
Îïûò 2. Ó ýòîãî îïûòà n = 6 ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ. Íàéäåì êîëè÷åñòâî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ äëÿ êàæäîãî èç îïèñàííûõ âûøå ñîáûòèé (ñì. ðàçäåë 1):
P( A) =
mA = 3, mB = 2, mC = 3 ;
P( A) =
3 1
2 1
3 1
= , P ( B ) = = , P (C ) = = .
6 2
6 3
6 2
Îïûò 3. Â ýòîì îïûòå, êàê ìû óæå âèäåëè, n = 15 ðàâíîâîçìîæíûõ
èñõîäîâ. Íàéäåì äëÿ êàæäîãî èç ñîáûòèé êîëè÷åñòâî áëàãîïðèÿòíûõ
èñõîäîâ (ñì. ðàçäåë 1):
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
21
mA = 3, mB = 3, mC = 6, mD = 9 ;
3 1
3 1
6 2
9 3
= , P( B) = = , P(C ) = = , P( D) = = .
15 5
15 5
15 5
15 5
Îïûò 4.  ýòîì îïûòå âñå èñõîäû ðàâíîâîçìîæíû, íî êîëè÷åñòâî èõ
áåñêîíå÷íî, ïîýòîìó ôîðìóëà Ëàïëàñà çäåñü íåïðèìåíèìà. Òåì íå ìåíåå âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè áåç ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà âîçìîæíî è
çäåñü, íî íà îñíîâå äðóãîé ôîðìóëû — ôîðìóëû ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè, î êîòîðîé ïîéäåò ðå÷ü â ñëåäóþùåì ðàçäåëå.
P( A) =
***
Ôîðìóëà êëàññè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè äàåò î÷åíü ïðîñòîé, íå òðåáóþùèé ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòîâ, ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Îäíàêî ïðîñòîòà ýòîé ôîðìóëû î÷åíü îáìàí÷èâà. Äåëî â òîì, ÷òî ïðè åå
èñïîëüçîâàíèè âîçíèêàþò, êàê ïðàâèëî, äâà î÷åíü íåïðîñòûõ âîïðîñà:
1. Êàê âûáðàòü ñèñòåìó èñõîäîâ îïûòà òàê, ÷òîáû îíè áûëè ðàâíîâîçìîæíû, è ìîæíî ëè ýòî ñäåëàòü âîîáùå?
2. Êàê íàéòè ÷èñëà m è n?
Åñëè â îïûòå ó÷àñòâóþò íåñêîëüêî ïðåäìåòîâ, ðàâíîâîçìîæíûå èñõîäû óâèäåòü íå âñåãäà ïðîñòî (ìû óæå ìîãëè â ýòîì óáåäèòüñÿ íà ïðèìåðå ñ ïåð÷àòêàìè). Âåëèêèé ôðàíöóçñêèé ôèëîñîô è ìàòåìàòèê Äàëàìáåð âîøåë â èñòîðèþ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñî ñâîåé çíàìåíèòîé îøèáêîé, ñóòü êîòîðîé â òîì, ÷òî îí íåâåðíî îïðåäåëèë ðàâíîâîçìîæíîñòü
èñõîäîâ â îïûòå âñåãî ñ äâóìÿ ìîíåòàìè!
Îïûò 7 (îøèáêà Äàëàìáåðà). Ïîäáðàñûâàåì äâå îäèíàêîâûå ìîíåòû. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíè óïàäóò íà îäíó è òó æå ñòîðîíó?
Ðåøåíèå Äàëàìáåðà. Îïûò èìååò òðè ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäà:
1. îáå ìîíåòû óïàäóò íà «îðëà»;
2. îáå ìîíåòû óïàäóò íà «ðåøêó»;
3. îäíà èç ìîíåò óïàäåò íà «îðëà», äðóãàÿ íà «ðåøêó».
Èç íèõ áëàãîïðèÿòíûìè äëÿ íàøåãî ñîáûòèÿ áóäóò äâà èñõîäà, ïîýòî2
.
3
Ïðàâèëüíîå ðåøåíèå. Îïûò èìååò ÷åòûðå ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäà:
1. ïåðâàÿ ìîíåòà óïàäåò íà «îðëà», âòîðàÿ òîæå íà «îðëà»;
2. ïåðâàÿ ìîíåòà óïàäåò íà «ðåøêó», âòîðàÿ òîæå íà «ðåøêó»;
ìó èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà
22
Ëåêöèÿ 1
3. ïåðâàÿ ìîíåòà óïàäåò íà «îðëà», à âòîðàÿ — íà «ðåøêó»;
4. ïåðâàÿ ìîíåòà óïàäåò íà «ðåøêó», à âòîðàÿ — íà «îðëà».
Èç íèõ áëàãîïðèÿòíûìè äëÿ íàøåãî ñîáûòèÿ áóäóò äâà èñõîäà, ïîýòî2 1
= .
4 2
Äàëàìáåð ñîâåðøèë îäíó èç ñàìûõ ðàñïðîñòðàíåííûõ îøèáîê, äîïóñêàåìóþ ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòè: îí îáúåäèíèë äâà ýëåìåíòàðíûõ èñõîäà â îäèí, òåì ñàìûì ñäåëàâ åãî íå ðàâíûì ïî âåðîÿòíîñòè
îñòàâøèìñÿ èñõîäàì îïûòà. ×òîáû íå ïîâòîðèòü ýòó îøèáêó, ïîìíèòå,
÷òî ïðèðîäà ðàçëè÷àåò âñå ïðåäìåòû, äàæå åñëè âíåøíå îíè äëÿ íàñ
íåîòëè÷èìû. Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ýòîãî ïðàâèëà åùå íà îäíîì èíòåðåñíîì ïðèìåðå.
Îïûò 8. Èç êîðîáêè, â êîòîðîé 2 áåëûõ è 2 ÷åðíûõ øàðà, âûòàñêèâàþò 2 øàðà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî îíè îêàæóòñÿ îäíîãî öâåòà?
Äëÿ ýòîé çàäà÷è ìû ïðèâåäåì öåëûõ ÷åòûðå ðàçíûõ ðåøåíèÿ (ñ ðàçíûìè îòâåòàìè!).
ìó èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà
Ðåøåíèå 1.  êîðîáêå ÷åòûðå øàðà:
Âîçìîæíûå èñõîäû îïûòà:
1.
— âûíóëè 2 áåëûõ øàðà;
2.
— âûíóëè 1 áåëûé è 1 ÷åðíûé øàð;
— âûíóëè 2 ÷åðíûõ øàðà.
3.
Áëàãîïðèÿòíûìè äëÿ íàøåãî ñîáûòèÿ áóäóò èñõîäû 1 è 3. Îòñþäà:
2
.
3
 ýòîì ðåøåíèè ìû ñ÷èòàëè, ÷òî øàðû âûíèìàëèñü îäíîâðåìåííî,
ïîýòîìó íå ðàçëè÷àëè, êàêîé èç íèõ âûíóò ïåðâûì, à êàêîé — âòîðûì.
Ïîïðîáóåì ñ÷èòàòü, ÷òî øàðû âûíèìàþòñÿ äðóã çà äðóãîì (áåç âîçâðàùåíèÿ).
n = 3, m = 2, P( A) =
Ðåøåíèå 2.  êîðîáêå ÷åòûðå øàðà:
Âîçìîæíûå èñõîäû:
1.
— è â ïåðâûé, è âî âòîðîé ðàç âûíóëè áåëûå øàðû;
2.
— âûíóëè ñíà÷àëà áåëûé øàð, ïîòîì ÷åðíûé;
3.
— âûíóëè ñíà÷àëà ÷åðíûé øàð, ïîòîì áåëûé;
4.
— è â ïåðâûé, è âî âòîðîé ðàç âûíóëè ÷åðíûå øàðû.
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
23
Áëàãîïðèÿòíûìè äëÿ íàøåãî ñîáûòèÿ áóäóò èñõîäû 1 è 4. Îòñþäà:
2 1
= .
4 2
Ïîëó÷èëè äðóãîé îòâåò! À òåïåðü ïðîíóìåðóåì (õîòÿ áû ìûñëåííî)
øàðû, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ â êîðîáêå.
n = 4, m = 2, P( A) =
Ðåøåíèå 3.  êîðîáêå ÷åòûðå øàðà: ¬ ­ ¸ ¹
Áóäåì ñíîâà ñ÷èòàòü, ÷òî øàðû âûíèìàþòñÿ îäíîâðåìåííî. Âîçìîæíûå èñõîäû:
¬
¬
3. ¬
4. ­
5. ­
6. ¸
1.
2.
­
¸
¹
¸
¹
¹
Áëàãîïðèÿòíûìè äëÿ íàøåãî ñîáûòèÿ áóäóò èñõîäû 1 è 6. Îòñþäà:
2 1
= .
6 3
Òðåòüå ðåøåíèå — òðåòèé îòâåò! À ìîæíî ïðèâåñòè åùå è ÷åòâåðòîå,
â êîòîðîì ïðîíóìåðîâàííûå øàðû áóäóò âûíèìàòüñÿ íå îäíîâðåìåííî,
à äðóã çà äðóãîì (çàïèøèòå åãî ñàìîñòîÿòåëüíî).
Êàæäîå èç ïðèâåäåííûõ ðåøåíèé êàæåòñÿ óáåäèòåëüíûì. Îäíàêî
ïîíÿòíî, ÷òî, êàê è â çàäà÷å Äàëàìáåðà, êàêèå-òî èç íèõ îøèáî÷íû —
îòâåòû-òî ïîëó÷èëèñü ðàçíûå! Ïðè÷åì îøèáêó íàäî èñêàòü íå â âû÷èñëåíèÿõ (îíè î÷åíü ïðîñòûå), à â âûáðàííûõ ìîäåëÿõ. Âñëåä çà Äàëàìáåðîì, ìû çàáûëè î òîì, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ
íóæíî ðàçëè÷àòü âñå ïðåäìåòû, ó÷àñòâóþùèå â ýêñïåðèìåíòå, à íå òîëüêî èõ öâåòà. Çíà÷èò, ïðàâèëüíûìè ñëåäóåò ñ÷èòàòü òîëüêî ðåøåíèÿ 3 è 4
n = 6, m = 2, P( A) =
1
(óáåäèòåñü, ÷òî ÷åòâåðòîå ðåøåíèå äàñò òîò æå ñàìûé îòâåò: P( A) = ).
3
Åñëè ïðèâåäåííûå çäåñü ðàññóæäåíèÿ âàñ âñå-òàêè íå óáåäèëè, ñîâåòóåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ñàìûì èñïûòàííûì ñïîñîáîì: âçÿòü ÷åòûðå øàðà
è ïðîâåñòè îïèñàííûé â çàäà÷å ýêñïåðèìåíò. Ïîâòîðèâ åãî ìíîãîêðàòíî,
24
Ëåêöèÿ 1
âû ñìîæåòå îöåíèòü íåèçâåñòíóþ âåðîÿòíîñòü ïî ïîëó÷åííîé ÷àñòîòå.
Íàäååìñÿ, ÷òî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò áóäåò áëèçîê ê
1
.
3
4. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü
Èòàê, â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìû íàó÷èëèñü âû÷èñëÿòü âåðîÿòíîñòè
ñîáûòèé â îïûòàõ, èìåþùèõ êîíå÷íîå ÷èñëî ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ. Äëÿ ýòîãî íå òðåáóåòñÿ ïðîâîäèòü íèêàêèõ ýêñïåðèìåíòî⠗ íóæíî
âñåãî ëèøü ïðàâèëüíî ïîñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî âñåõ âîçìîæíûõ èñõîäîâ
îïûòà è êîëè÷åñòâî èñõîäîâ, áëàãîïðèÿòíûõ äëÿ äàííîãî ñîáûòèÿ.
À êàê áûòü, åñëè ýòèõ èñõîäîâ áåñêîíå÷íî ìíîãî? Òàêàÿ ñèòóàöèÿ
âîçíèêàåò â íåêîòîðûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷àõ, ñâÿçàííûõ ñî ñëó÷àéíûì âûáîðîì òî÷êè íà ïðÿìîé, ïëîñêîñòè èëè â ïðîñòðàíñòâå, — âñïîìíèòå, íàïðèìåð, îïûò 4 ñ òåòðàäíûì ëèñòîì è ìîíåòîé. Ôîðìóëà êëàññè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè çäåñü óæå íåïðèìåíèìà. Ïîñìîòðèì, êàê âñå æå è
â ýòîì ñëó÷àå âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü áåç îáðàùåíèÿ ê îïûòó.
Âûáåðåì íà ãåîãðàôè÷åñêîé êàðòå ìèðà ñëó÷àéíóþ òî÷êó (íàïðèìåð,
çàæìóðèì ãëàçà è ïîêàæåì óêàçêîé). Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ýòà òî÷êà
îêàæåòñÿ â Ðîññèè? Î÷åâèäíî, äëÿ îòâåòà íà âîïðîñ íóæíî çíàòü, êàêóþ
÷àñòü âñåé êàðòû çàíèìàåò Ðîññèÿ. Òî÷íåå, êàêóþ ÷àñòü âñåé ïëîùàäè
êàðòû ñîñòàâëÿåò ïëîùàäü Ðîññèè. Îòíîøåíèå ýòèõ ïëîùàäåé è äàñò
èñêîìóþ âåðîÿòíîñòü. À êàêîâà âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü ïðè ýòîì â Ãðèíâè÷ñêèé ìåðèäèàí? Êàê íè ñòðàííî, ïðèäåòñÿ ïîëîæèòü åå ðàâíîé íóëþ,
ò.ê. ïëîùàäü ìåðèäèàíà ðàâíà íóëþ (ýòî âåäü ëèíèÿ, à íå ôèãóðà: ó íåå
åñòü òîëüêî äëèíà). Íà ñàìîì äåëå íè÷åãî ñòðàííîãî â ýòîì ôàêòå íåò —
ïîïàñòü óêàçêîé òî÷íî â ìåðèäèàí íåâîçìîæíî.
Òàêóþ æå êàðòèíó ìû èìååì è â îáùåì ñëó÷àå, êîãäà â íåêîòîðîé
îãðàíè÷åííîé îáëàñòè Ω ñëó÷àéíî âûáèðàåòñÿ òî÷êà:
25
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîïàäàíèå â ëþáóþ òî÷êó îáëàñòè Ω ðàâíîâîçìîæíî, òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé òî÷êè â çàäàííîå ìíîæåñòâî A áóäåò ðàâíà îòíîøåíèþ ïëîùàäåé
P ( A) =
S ( A)
S (Ω )
(÷åðåç P ìû, êàê è ðàíüøå, îáîçíà÷àåì âåðîÿòíîñòü, à ÷åðåç S — ïëîùàäü). Åñëè A èìååò íóëåâóþ ïëîùàäü, òî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â A
ðàâíà íóëþ. Íàïðèìåð, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ íà îòðåçîê L áóäåò íóëåâîé. Òàêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè íàçûâàåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèì.
Ñèòóàöèÿ íàïîìèíàåò êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè: êàê è
òàì, çäåñü âàæíà ðàâíîâîçìîæíîñòü âñåõ èñõîäîâ, ò.å. âñåõ òî÷åê îáëàñòè. Íî òåïåðü ÷èñëî èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà áåñêîíå÷íî, ïîýòîìó ïðèõîäèòñÿ ñ÷èòàòü íå èõ êîëè÷åñòâî, à çàíèìàåìóþ èìè ïëîùàäü. Òî÷íî òàê
æå ìîæíî îïðåäåëèòü ãåîìåòðè÷åñêóþ âåðîÿòíîñòü â ïðîñòðàíñòâå (âìåñòî ïëîùàäåé çäåñü íàäî áðàòü îáúåìû òåë) è íà ïðÿìîé (à çäåñü —
äëèíû îòðåçêîâ).
***
Òåïåðü ñàìîå âðåìÿ âåðíóòüñÿ ê îïûòó ñ òåòðàäíûì ëèñòîì è ìîíåòîé.
Îïûò 4. Íàïîìíèì, ÷òî â ýòîì îïûòå ìû äîãîâîðèëèñü ñ÷èòàòü ìíîæåñòâîì èñõîäîâ Ω = { x: 0 ≤ x ≤ 4} . Åñëè ìîíåòà áðîñàåòñÿ íà ëèñò íàóäà÷ó, òî âñå çíà÷åíèÿ x èç îòðåçêà [0; 4] áóäóò ðàâíîâîçìîæíûìè. Çíà÷èò, âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé
A = {ìîíåòà ïåðåñåêëà 2 ëèíèè} = {x: 2 < x ≤ 4} ;
B = {ìîíåòà ïåðåñåêëà 3 ëèíèè} = {x: 0 ≤ x ≤ 2} .
ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè, ïîäåëèâ äëèíû îòðåçêîâ [2; 4] è [0; 2] íà äëèíó âñåãî îòðåçêà [0; 4]:
P( A) =
2 1
= ;
4 2
P( B) =
2 1
= .
4 2
Âåðîÿòíîñòè ñîáûòèé A è B ñîâåðøåííî íåîæèäàííî ïîëó÷èëèñü îäèíàêîâûìè. Íî ïðåäïîëàãàòü ýòî ñ ñàìîãî íà÷àëà íå áûëî íèêàêèõ îñíîâàíèé: ñòîèò èçìåíèòü ïàðàìåòðû çàäà÷è (ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíåéêàìè
26
Ëåêöèÿ 1
èëè ðàçìåð ìîíåòû) — è ðàâíîâîçìîæíîñòü ýòèõ ñîáûòèé èñ÷åçíåò (ñì.
çàäà÷ó â êîíöå ëåêöèè).
À âîò â ñëåäóþùåì îïûòå îòâåò ìîæíî íàéòè êàê ñ ïîìîùüþ ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè, òàê è ïî ôîðìóëå Ëàïëàñà.
Îïûò 9. Ïðîâîäèòñÿ îïûò ñ âåðòóøêîé (ðóëåòêîé), èçîáðàæåííîé íà
ðèñóíêå.  öåíòðå âåðòóøêè çàêðåïëåíà ñòðåëêà, êîòîðàÿ ðàñêðó÷èâàåòñÿ è îñòàíàâëèâàåòñÿ â ñëó÷àéíîì ïîëîæåíèè (òàêóþ âåðòóøêó ëåãêî
èçãîòîâèòü ñàìîìó ñ ïîìîùüþ êóñêà êàðòîíà, êíîïêè è àíãëèéñêîé áóëàâêè ñ «óøêîì»).
Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ñòðåëêà âåðòóøêè îñòàíîâèòñÿ íà ÷åðíîì ñåêòîðå?
Äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ ìîæíî ëèáî âû÷èñëèòü ïëîùàäü ÷åðíûõ
ñåêòîðîâ è ðàçäåëèòü åå íà ïëîùàäü âñåãî êðóãà, ëèáî íàéòè ñóììàðíóþ
äëèíó äóã, îãðàíè÷èâàþùèõ ÷åðíûå ñåêòîðû, è ïîäåëèòü åå íà äëèíó
âñåé îêðóæíîñòè. Âòîðîé ñïîñîá ëó÷øå îòðàæàåò ñóòü íàøåãî
ýêñïåðèìåíòà, âåäü ôàêòè÷åñêè ìû âûáèðàåì òî÷êó íà îêðóæíîñòè,
â êîòîðîé îñòàíîâèòñÿ îñòðèå ñòðåëêè. Íàïîìíèì, ÷òî äëèíà äóãè íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
L = αR,
ãäå α — öåíòðàëüíûé óãîë äóãè, âûðàæåííûé â ðàäèàíàõ. Îòñþäà èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü áóäåò
π
2 R 1
P= 4 = .
2πR 4
Òîò æå ðåçóëüòàò äëÿ íàøåé âåðòóøêè ìîæíî ïîëó÷èòü è áåç ïðèâëå÷åíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè. Âåäü îíà ïîäåëåíà íà 8 ðàâíûõ
(à çíà÷èò, ðàâíîâîçìîæíûõ!) ñåêòîðîâ, èç êîòîðûõ äâà âûêðàøåíû â
÷åðíûé öâåò. Îòñþäà
27
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
P=
2 1
= .
8 4
Åñëè æå ñåêòîðû, íà êîòîðûå ïîäåëåíà âåðòóøêà, ñäåëàòü íåðàâíûìè, áåç ãåîìåòðè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ óæå íå îáîéòèñü.
Îïûò 10.  êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 4 ñì «áðîñàþò» òî÷êó. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ðàññòîÿíèå îò ýòîé òî÷êè äî áëèæàéøåé ñòîðîíû êâàäðàòà
áóäåò ìåíüøå 1 ñì?
Èçîáðàçèì êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 4 ñì è çàêðàñèì â íåì ìíîæåñòâî
òî÷åê, óäàëåííûõ îò áëèæàéøåé ñòîðîíû êâàäðàòà ìåíüøå, ÷åì íà 1 ñì:
Ïëîùàäü çàêðàøåííîé ÷àñòè êâàäðàòà ñîñòàâëÿåò 16 ñì2 – 4 ñì2 =
= 12 ñì2. Îòñþäà èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü áóäåò
P=
12 3
= = 0,75 .
16 4
 çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì îïûò, êîòîðûé íà ïåðâûé âçãëÿä íå èìååò
îòíîøåíèÿ ê ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè.
Îïûò 11. Çàäà÷à î âñòðå÷å. Êîëÿ è Îëÿ äîãîâîðèëèñü âñòðåòèòüñÿ
â Öåíòðàëüíîì ïàðêå ñ 12.00 äî 13.00. Ïðèøåäøèé ïåðâûì æäåò äðóãîãî â òå÷åíèå 30 ìèíóò, ïîñëå ÷åãî óõîäèò. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî
îíè âñòðåòÿòñÿ, åñëè êàæäûé èç íèõ ñ îäèíàêîâîé âåðîÿòíîñòüþ ìîæåò
ïðèéòè â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè â òå÷åíèå çàäàííîãî ÷àñà?
Îáîçíà÷èì âðåìÿ ïðèõîäà â ïàðê Êîëè ÷åðåç x, à Îëè — ÷åðåç y (äëÿ
óäîáñòâà áóäåì âûðàæàòü âðåìÿ â ìèíóòàõ, ïðîøåäøèõ ïîñëå 12 ÷àñîâ). Òîãäà òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè (x, y) áóäåò ñëó÷àéíîé òî÷êîé â êâàäðàòå
íà ïëîñêîñòè Oxy, èçîáðàæåííîì íà ðèñóíêå:
28
Ëåêöèÿ 1
Êàæäàÿ òî÷êà ýòîãî êâàäðàòà — ýòî îäèí èç âîçìîæíûõ èñõîäîâ íàøåãî ýêñïåðèìåíòà. Ýêñïåðèìåíò çàâåðøàåòñÿ âñòðå÷åé, åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå |x – y| < 30. Ìíîæåñòâî òàêèõ òî÷åê çàêðàøåíî íà ñëåäóþùåì ðèñóíêå:
Ïëîùàäü çàêðàøåííîé ÷àñòè ìîæíî íàéòè, âû÷èòàÿ èç ïëîùàäè êâàäðàòà ïëîùàäè äâóõ ðàâíûõ òðåóãîëüíèêîâ:
S = 602 – 2 ·
1
· 30 · 30 = 3600 – 900 = 2700.
2
Èñêîìóþ âåðîÿòíîñòü âñòðå÷è íàõîäèì êàê îòíîøåíèå «áëàãîïðèÿòíîé» ïëîùàäè êî âñåé ïëîùàäè êâàäðàòà:
P=
2700 3
= .
3600 4
Íàäî îòìåòèòü, ÷òî ðàâíîâîçìîæíîñòü èñõîäîâ â ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè — äåëî ñîâñåì íåïðîñòîå. Äîñòàòî÷íî ïîçíàêîìèòüñÿ ñ êëàññè÷åñêèì ïàðàäîêñîì Áåðòðàíà, îïèñàíèå êîòîðîãî âû ìîæåòå íàéòè
â ëèòåðàòóðå (ñì. íàïðèìåð [27]).
29
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
Âîïðîñû è çàäà÷è
Ê ðàçäåëó 1
1. Êàêèå ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿ ñëó÷àéíûìè? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.
2. Êàêèå ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿ íåâîçìîæíûìè? äîñòîâåðíûìè? Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.
3. ×òî òàêîå ñëó÷àéíûé îïûò? Íàçîâèòå äâà îáÿçàòåëüíûõ óñëîâèÿ,
êîòîðûì îí äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü. Ïðèäóìàéòå ñâîé ïðèìåð ñëó÷àéíîãî îïûòà.
4. Òðè ñåñòðû — Îëüãà, Ìàøà è Èðèíà — òÿíóò æðåáèé, êîìó èç íèõ
ìûòü ïîñóäó. Äëÿ ýòîãî îíè êëàäóò â øàïêó òðè áóìàæêè, íà îäíîé èç
êîòîðûõ íàðèñîâàí êðåñòèê, è ïî î÷åðåäè èõ âûòàñêèâàþò: Îëüãà — ïåðâîé, Ìàøà — âòîðîé, Èðèíà — òðåòüåé. Âûïèøèòå âñå âîçìîæíûå èñõîäû ýòîãî îïûòà è íàéäèòå èõ êîëè÷åñòâî.
5.  îïûòå èç çàäà÷è 4 çàïèøèòå ìíîæåñòâà èñõîäîâ, èç êîòîðûõ ñîñòîÿò ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ:
A = {ïîñóäó áóäåò ìûòü Îëüãà};
B = {ïîñóäó áóäåò ìûòü Ìàøà};
C = {ïîñóäó áóäåò ìûòü Èðèíà}.
Ê ðàçäåëó 2
6. ×òî òàêîå àáñîëþòíàÿ ÷àñòîòà? îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà?
7. Êàê ÷àñòîòà ñâÿçàíà ñ âåðîÿòíîñòüþ?
8. Ïîñëå 100 îïûòîâ ÷àñòîòà ñîáûòèÿ A îêàçàëàñü ðàâíà 0, à ÷àñòîòà
ñîáûòèÿ B – 1. Ìîæíî ëè ñêàçàòü, ÷òî ñîáûòèå A íåâîçìîæíîå, à ñîáûòèå B — äîñòîâåðíîå?
9. Ïîñëå 1000 èñïûòàíèé ïî ïîäáðàñûâàíèþ ìîíåòû ðàçíîñòü àáñîëþòíûõ ÷àñòîò «îðëîâ» è «ðåøåê» îêàçàëàñü ðàâíà 80. Íàéäèòå ðàçíîñòü
èõ îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò.
10. Çà ïîñëåäíèå 100 òèðàæåé ëîòåðåè «Ñïîðòëîòî 5 èç 36» â 48 òèðàæàõ óãàäûâàëèñü âñå 5 íîìåðîâ. Ìîæíî ëè óòâåðæäàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü
óãàäàòü 5 íîìåðîâ èç 36 ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíà
1
?
2
Ê ðàçäåëó 3
11. Ïóñòü âàì òðåáóåòñÿ îöåíèòü âåðîÿòíîñòü êàæäîãî èç âîçìîæíûõ
èñõîäîâ â îïûòàõ ïî ïîäáðàñûâàíèþ: à) ìîíåòû; á) êíîïêè; â) êóáèêà;
ã) äâóõ ìîíåò; ä) äâóõ êíîïîê; å) äâóõ êóáèêîâ. Â êàêèõ èç ýòèõ ñèòóàöèé âû ãîòîâû äàòü îòâåò, íå ïðîâîäÿ ýêñïåðèìåíòà?
30
Ëåêöèÿ 1
12. Ó÷åíèê õî÷åò îïðåäåëèòü, ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ïðè áðîñàíèè
äâóõ êóáèêîâ ìîæíî ïîëó÷èòü ñóììó â 12 î÷êîâ. Îí ðàññóæäàåò òàê:
ñóììà î÷êîâ íà äâóõ êóáèêàõ ìîæåò ðàâíÿòüñÿ ëþáîìó ÷èñëó îò 2
äî 12; ïîñêîëüêó êóáèêè ñèììåòðè÷íûå, òî âñå 11 çíà÷åíèé ñóììû ðàâíîâîçìîæíû, ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü áóäåò
1
. Ïðàâ ëè
11
ó÷åíèê?
13. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ó ñëó÷àéíî âûáðàííîãî æèòåëÿ Çåìëè
äåíü ðîæäåíèÿ ïðèõîäèòñÿ íà à) 1 ÿíâàðÿ; á) 28 ôåâðàëÿ; â) 29 ôåâðàëÿ?
14. Çàäà÷à Ýéëåðà. Òðè ãîñïîäèíà ïðèøëè â ðåñòîðàí â îäèíàêîâûõ
øëÿïàõ è ñäàëè èõ â ãàðäåðîá. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ êàæäûé èç íèõ
óéäåò â ñâîåé øëÿïå, åñëè îíè áóäóò âûáèðàòü èõ íàóãàä? Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ êàæäûé óéäåò â ÷óæîé øëÿïå?
15. Â øêàôó íàõîäèòñÿ 4 ïàðû áîòèíîê ñ 42-ãî ïî 45-é ðàçìåðû. Èç
íèõ ñëó÷àéíî âûáèðàþò äâà áîòèíêà. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ îíè îêàæóòñÿ ïàðíûìè?
Ê ðàçäåëó 4
16.  êâàäðàòå ñî ñòîðîíîé 10 ñì íàóãàä âûáèðàåòñÿ òî÷êà. Ñ êàêîé
âåðîÿòíîñòüþ ðàññòîÿíèå îò ýòîé òî÷êè äî öåíòðà êâàäðàòà áóäåò: à) ìåíüøå 5 ñì? á) ðàâíî 5 ñì? â) áîëüøå 5 ñì?
17. Ïÿòèðóáëåâóþ ìîíåòó, äèàìåòð êîòîðîé 25 ìì, áðîñàþò íàóãàä íà
òåòðàäíûé ëèñò â ëèíåéêó (ðàññòîÿíèå ìåæäó ëèíåéêàìè 8 ìì). Êàêîå
÷èñëî ëèíèé ìîæåò ïåðåñå÷ü ìîíåòà? Ñ êàêèìè âåðîÿòíîñòÿìè?
18. Íà îêðóæíîñòè ðàäèóñà R ñëó÷àéíî âûáèðàþò äâå òî÷êè. Ñ êàêîé
âåðîÿòíîñòüþ ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè áóäåò ìåíüøå R?
19. Îêîííàÿ ðåøåòêà ñîñòîèò èç êëåòîê ñî ñòîðîíîé 20 ñì. Êàêîâà
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîïàâøèé â îêíî ìÿ÷ ïðîëåòèò ÷åðåç ðåøåòêó, íå
çàäåâ åå, åñëè ðàäèóñ ìÿ÷à ðàâåí: à) 10 ñì; á) 5 ñì.
20.  ðåøåòêó èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è 100 ðàç áðîñàëè íàóãàä îäèí è
òîò æå ìÿ÷.  50 ñëó÷àÿõ îí ïðîëåòåë ÷åðåç ðåøåòêó, íå çàäåâ åå. Îöåíèòå ïðèáëèæåííî ðàäèóñ ìÿ÷à.
21. Ñòåðæåíü ñëó÷àéíûì îáðàçîì ëîìàþò íà òðè ÷àñòè. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ èç íèõ ìîæíî ñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê?
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
Ìåòîäè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ
31
Ìåòîäè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ ê ýòîé è ïîñëåäóþùèì ëåêöèÿì ìû áóäåì
íà÷èíàòü ñ íàïîìèíàíèÿ îá îáÿçàòåëüíîì ìèíèìóìå ñîäåðæàíèÿ îáðàçîâàíèÿ ïî ñîîòâåòñòâóþùåé òåìå, çàïèñàííîì â íîâûõ ñòàíäàðòàõ øêîëüíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ.
Îñíîâíàÿ øêîëà. Ïîíÿòèå è ïðèìåðû ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé. ×àñòîòà
ñîáûòèÿ, âåðîÿòíîñòü. Ðàâíîâîçìîæíûå ñîáûòèÿ è ïîäñ÷åò èõ âåðîÿòíîñòè. Ïðåäñòàâëåíèå î ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè.
Ñòàðøàÿ øêîëà. Ýëåìåíòàðíûå è ñëîæíûå ñîáûòèÿ. Âåðîÿòíîñòü è
ñòàòèñòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ. Ðåøåíèå ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ñ ïðèìåíåíèåì âåðîÿòíîñòíûõ ìåòîäîâ. Ïîî÷åðåäíûé è îäíîâðåìåííûé âûáîð íåñêîëüêèõ ýëåìåíòîâ èç êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà.
Ê ðàçäåëó 1
Çíàêîìñòâî ñ âåðîÿòíîñòíî-ñòàòèñòè÷åñêèì ìàòåðèàëîì íà÷èíàåòñÿ ñ
òðåõ âàæíåéøèõ ïîíÿòèé, ïðåäâàðÿþùèõ îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè: ñëó÷àéíûé îïûò, ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, ýëåìåíòàðíûé èñõîä.
Àâòîðû [1], [2] íà÷èíàþò çíàêîìñòâî ñî ñëó÷àéíûìè ñîáûòèÿìè óæå
â 5-ì êëàññå, ñïðàâåäëèâî ïîëàãàÿ, ÷òî â ýòîì âîçðàñòå çàêëàäûâàþòñÿ
îñíîâû âåðîÿòíîñòíîé èíòóèöèè, ïîçâîëÿþùèå âïîñëåäñòâèè óñâîèòü
ôîðìàëüíûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé.  ýòîò ïåðèîä ó÷åíèê
äîëæåí ïîëó÷èòü îáùåå ïðåäñòàâëåíèå î ñëó÷àéíîì ñîáûòèè, íàó÷èòüñÿ
âûäåëÿòü íåâîçìîæíûå è äîñòîâåðíûå ñîáûòèÿ.
Íà áîëåå ïîçäíåì ýòàïå, â 6–7-õ êëàññàõ, ïîÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà, â êîíòåêñòå êîòîðîãî ðàññìàòðèâàåòñÿ ëþáîå ñëó÷àéíîå ñîáûòèå. Îäíîâðåìåííî ñ ýòèì âîçíèêàåò ïðåäñòàâëåíèå î åãî
âîçìîæíûõ èñõîäàõ. Ïåðâîíà÷àëüíîå çíàêîìñòâî ñ ýòèìè ïîíÿòèÿìè ïðîèñõîäèò íà íåìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå, ïîýòîìó ãëàâíîé çàäà÷åé ó÷èòåëÿ
ÿâëÿåòñÿ ðàçúÿñíåíèå èõ ñóùåñòâåííûõ ïðèçíàêîâ, î êîòîðûõ â îñíîâíîì è èäåò ðå÷ü â ïåðâîì ðàçäåëå íàøåé ëåêöèè.  ðåçóëüòàòå çíàêîìñòâà ñ ýòèìè ïîíÿòèÿìè ó÷åíèê äîëæåí íàó÷èòüñÿ ðàçëè÷àòü ñëó÷àéíûå è
íåñëó÷àéíûå îïûòû; îòëè÷àòü ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ (èñõîäû) îò íåýëåìåíòàðíûõ.
Îñîáîå âíèìàíèå ñëåäóåò óäåëèòü îáñóæäåíèþ «ýëåìåíòàðíîñòè»
èñõîäîâ, ïîñêîëüêó íåïîíèìàíèå ýòîãî ïðèçíàêà ïîâëå÷åò äàëüøå íåèçáåæíûå îøèáêè ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòåé.
Ïðèíöèïèàëüíûì ìîìåíòîì ýòîãî ðàçäåëà ÿâëÿåòñÿ ïåðåõîä îò ñëîâåñíîãî îïèñàíèÿ ñîáûòèé è ýêñïåðèìåíòîâ ê òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåí-
32
Ëåêöèÿ 1
íîìó. Âêëþ÷åíèå ýëåìåíòàðíûõ ïîíÿòèé èç òåîðèè ìíîæåñòâ â îáÿçàòåëüíûé ìèíèìóì øêîëüíîãî îáðàçîâàíèÿ äåëàåò òàêîé ïåðåõîä íå òîëüêî âîçìîæíûì, íî è êðàéíå ïîëåçíûì êàê äëÿ ñàìîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, òàê è äëÿ äàëüíåéøåãî çàêðåïëåíèÿ îñíîâíûõ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ ïîíÿòèé è îïåðàöèé. Íà ýòîì ýòàïå ó÷åíèêè äîëæíû óìåòü:
• ïåðå÷èñëÿòü âñå âîçìîæíûå (â ñëó÷àå èõ áîëüøîãî êîëè÷åñòâà —
íåêîòîðûå) èñõîäû îïûòà, èñïîëüçóÿ äëÿ ýòîãî èõ åñòåñòâåííûå îáîçíà÷åíèÿ;
• ñòðîèòü ïî ñëîâåñíîìó îïèñàíèþ ñîáûòèÿ ñîîòâåòñòâóþùåå ìíîæåñòâî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ;
• ïåðåõîäèòü îò ñîáûòèÿ, ïðåäñòàâëåííîãî â âèäå ìíîæåñòâà èñõîäîâ, ê åãî ñëîâåñíîìó îïèñàíèþ (ïîíèìàÿ, ÷òî òàêîé ïåðåõîä íåîäíîçíà÷åí).
Ïðè ðàññìîòðåíèè ïðèìåðîâ ñëó÷àéíûõ îïûòîâ ïîëåçíî ðàññìàòðèâàòü ðàçëè÷íûå ñïîñîáû êîäèðîâàíèÿ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ; îáñóæäàòü, êàêèå èç íèõ íàèáîëåå óäîáíû è ýêîíîìè÷íû.
Ê ðàçäåëó 2
Ïðèíöèïèàëüíûì íîâøåñòâîì, îòëè÷àþùèì ìåòîäè÷åñêóþ ñèñòåìó
àâòîðîâ [1], [2] îò ïðåäøåñòâóþùèõ ïîïûòîê ââåñòè ýëåìåíòû òåîðèè
âåðîÿòíîñòåé â îáùåîáðàçîâàòåëüíîé øêîëå, áûëî ãëàâåíñòâî ÷àñòîòíîãî (à íå àêñèîìàòè÷åñêîãî èëè êëàññè÷åñêîãî) ïîäõîäà ê îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòè. Ñåãîäíÿ ñ òàêèì ïîäõîäîì ñîãëàñíî áîëüøèíñòâî àâòîðîâ, ïèøóùèõ äëÿ øêîëû. Òàêèì îáðàçîì, óíèâåðñàëüíîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè êàê ÷èñëà, ê êîòîðîìó ïðèáëèæàåòñÿ îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ â äëèííîé ñåðèè îïûòîâ, ïðåäñòàâëÿåòñÿ, íåñìîòðÿ íà âñå ñâîè íåäîñòàòêè, åäèíñòâåííî ïðàâèëüíûì.
Ïðè ýòîì êëàññè÷åñêèé è ãåîìåòðè÷åñêèé ïîäõîä ê îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòè äîëæíû ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ÷àñòíûå ñëó÷àè âåðîÿòíîñòíûõ
ìîäåëåé, â êîòîðûõ ýòî ÷èñëî óäàåòñÿ âû÷èñëèòü (ïðåäñêàçàòü) áåç ïðîâåäåíèÿ îïûòà. Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòü ïîÿâëÿåòñÿ êàê óíèâåðñàëüíàÿ êîëè÷åñòâåííàÿ ìåðà âîçìîæíîñòè îñóùåñòâëåíèÿ ñëó÷àéíûõ
ñîáûòèé, à âñå ÷àñòíûå ôîðìóëû äëÿ åå ïîäñ÷åòà ñëóæàò ëèøü äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòîé ìåðû â îïðåäåëåííîì êðóãå ñèòóàöèé.
Òàêîå ââåäåíèå âåðîÿòíîñòè òðåáóåò ïðåäâàðèòåëüíîãî (è äîñòàòî÷íî
ïîäðîáíîãî) çíàêîìñòâà ó÷àùèõñÿ ñ ïîíÿòèÿìè àáñîëþòíîé è îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòû, èçó÷åíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà, ïîëó÷åííîãî
êàê ñàìîñòîÿòåëüíî (áðîñàíèå ìîíåòû, êóáèêà, êíîïêè, îïûòû ñ øàðà-
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
33
ìè, âåðòóøêàìè è ò.ä.), òàê è ïðåäîñòàâëåííîãî ó÷èòåëåì. Íàáëþäåíèå
çà ðåàëüíîé ñòàáèëèçàöèåé îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò èãðàåò, íà íàø âçãëÿä,
íå ìåíåå âàæíóþ ðîëü â ðàçâèòèè âåðîÿòíîñòíîãî ìûøëåíèÿ è èíòóèöèè, ÷åì ïîëó÷åíèå êîìáèíàòîðíûõ íàâûêîâ.
Ïðè èçó÷åíèè ýòîãî ðàçäåëà ïîëåçíûì ìîæåò îêàçàòüñÿ óðîê â ôîðìå
ëàáîðàòîðíîé ðàáîòû, ñâÿçàííîé ñ ïðîâåäåíèåì ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ è îáðàáîòêîé ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ (â èäåàëå — êîìïüþòåðíîé). Íà äèñêå [5], óæå ïîëó÷èâøåì ðàñïðîñòðàíåíèå â øêîëüíîé ïðàêòèêå, èìååòñÿ ñïåöèàëèçèðîâàííîå ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå, ïîçâîëÿþùåå â ñ÷èòàííûå ñåêóíäû ñìîäåëèðîâàòü òûñÿ÷è ñëó÷àéíûõ ýêñïåðèìåíòîâ, íàáëþäàÿ ïðè ýòîì çà äèíàìèêîé èçìåíåíèÿ ÷àñòîò è èõ ïðèáëèæåíèåì ê âåðîÿòíîñòÿì ñëó÷àéíûõ èñõîäîâ è ñîáûòèé.
Çàêàí÷èâàåòñÿ ðàçäåë ðàññìîòðåíèåì äâóõ âàæíåéøèõ äëÿ äàëüíåéøåãî ñâîéñòâ ÷àñòîò è âåðîÿòíîñòåé:
• ñóììà îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò (âåðîÿòíîñòåé) âñåõ ýëåìåíòàðíûõ
èñõîäîâ îïûòà ðàâíà 1;
• îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà (âåðîÿòíîñòü) ëþáîãî ñîáûòèÿ ðàâíà ñóììå
÷àñòîò (âåðîÿòíîñòåé) áëàãîïðèÿòíûõ äëÿ íåãî èñõîäîâ.
Ïðè ýòîì äëÿ ÷àñòîò ýòè ñâîéñòâà âûïîëíÿþòñÿ ñ î÷åâèäíîñòüþ, à íà
âåðîÿòíîñòü îíè ïåðåíîñÿòñÿ â ðåçóëüòàòå «ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà».
Ê ðàçäåëó 3
Òî ÷òî âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîáûòèÿ ìîæåò áûòü íàéäåíà êàê ñóììà
âåðîÿòíîñòåé áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ, àâòîìàòè÷åñêè ïîäâîäèò íàñ ê
âîïðîñó — à êàê âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòè ñàìèõ èñõîäîâ? Ìîæíî ëè ñäåëàòü ýòî, ìèíóÿ îïûò?
Íåñêîëüêî õîðîøî çíàêîìûõ ïðèìåðî⠗ ìîíåòà, êóáèê — íàâåäóò
ó÷åíèêîâ íà èäåþ îïûòà ñ ðàâíîâîçìîæíûìè èñõîäàìè. Ïîñëå ýòîãî
îíè âïîëíå ñïîñîáíû ñàìîñòîÿòåëüíî îòêðûòü ôîðìóëó Ëàïëàñà:
m
. Èìåííî ñ ýòîé ôîðìóëû íà÷èíàåòñÿ ðåøåíèå ïî-íàñòîÿùåìó
n
èíòåðåñíûõ çàäà÷.
Ê ñîæàëåíèþ, àâòîðû ìíîãèõ ó÷åáíèêîâ, ïðèâîäÿ ôîðìóëó Ëàïëàñà,
çàáûâàþò ëèøíèé ðàç íàïîìíèòü îá óñëîâèÿõ åå ïðèìåíèìîñòè: îïûò
äîëæåí èìåòü êîíå÷íîå ÷èñëî ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ. Èìåííî ñ
ýòîãî ñëåäóåò íà÷èíàòü ðåøåíèå ëþáîé çàäà÷è, ñâÿçàííîé ñ èñïîëüçîâàíèåì äàííîé ôîðìóëû. ×ðåçâû÷àéíî ïîëåçíûìè çäåñü îêàçûâàþòñÿ ïðèP( A) =
34
Ëåêöèÿ 1
ìåðû, â êîòîðûõ èñõîäû îïûòà ëèáî íåðàâíîâîçìîæíû ïî ñâîé ñóòè
(êíîïêà, ïóãîâèöà, êóáèê ñî ñìåùåííûì öåíòðîì òÿæåñòè è ò.ä.), ëèáî â
êà÷åñòâå èñõîäîâ îøèáî÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ íåðàâíîâîçìîæíûå ñîáûòèÿ (îïûòû 7 è 8 èç ýòîãî ðàçäåëà).
 êà÷åñòâå èñïûòàííîãî íà ïðàêòèêå ðàáî÷åãî «èíñòðóìåíòà» ìîæåì
ïðåäëîæèòü ñëåäóþùóþ îáùóþ ñõåìó ðåøåíèÿ çàäà÷ íà êëàññè÷åñêóþ
âåðîÿòíîñòü:
1. Îïèñàíèå âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà, èõ êîäèðîâàíèå è ïåðå÷èñëåíèå (ïîëíîå èëè ÷àñòè÷íîå).
2. Îáîñíîâàíèå ðàâíîâîçìîæíîñòè ïåðå÷èñëåííûõ èñõîäîâ (çäåñü
ìîæíî îïèðàòüñÿ íà ñèììåòðèþ ñàìîãî îáúåêòà, ó÷àñòâóþùåãî â îïûòå; èñïîëüçîâàòü ïðÿìûå óêàçàíèÿ â òåêñòå çàäà÷è: «ñëó÷àéíî», «íàóãàä»,
«íå ãëÿäÿ» è ò.ä.).
3. Ïîäñ÷åò îáùåãî ÷èñëà èñõîäîâ îïûòà n (íà ïåðâîì ýòàïå — ïðÿìîé ïîäñ÷åò; ïîçæå — èñïîëüçîâàíèå êîìáèíàòîðíûõ ïðàâèë è ôîðìóë).
4. Îïèñàíèå áëàãîïðèÿòíûõ äëÿ ñîáûòèÿ A èñõîäîâ, èõ ïåðå÷èñëåíèå
(ïîëíîå èëè ÷àñòè÷íîå). Åñëè âñå èñõîäû óæå âûïèñàíû, òî ìîæíî ïðîñòî îòìåòèòü ñðåäè íèõ áëàãîïðèÿòíûå äëÿ A.
5. Ïîäñ÷åò ÷èñëà áëàãîïðèÿòíûõ äëÿ ñîáûòèÿ A èñõîäîâ m.
m
.
n
7. Îöåíêà è èíòåðïðåòàöèÿ ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà.
Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî ïåðâûå òðè ïóíêòà êàñàþòñÿ òîëüêî ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà è íèêàê íå ñâÿçàíû ñî ñëó÷àéíûì ñîáûòèåì A.
Íóæäàåòñÿ â êîììåíòàðèÿõ ïîñëåäíèé, ñåäüìîé, ïóíêò ïðèâåäåííîé
ñõåìû. Ïîëó÷èâ îòâåò, íåîáõîäèìî îáñóäèòü ñ ó÷åíèêàìè åãî ðåàëüíûé
ñìûñë, ïðèâåñòè ÷àñòîòíóþ èíòåðïðåòàöèþ. Ïîëåçíî âûÿñíèòü, ñîâïàäàåò ëè ïîëó÷åííàÿ âåëè÷èíà ñ èíòóèòèâíûì ïðåäñòàâëåíèåì ó÷åíèêîâ î
âåðîÿòíîñòè; óäîâëåòâîðÿåò ëè îñíîâíûì ñâîéñòâàì è ò.ä. Èñïîëüçîâàíèå íà óðîêàõ ýëåêòðîííîãî ïîñîáèÿ [5] ïîçâîëÿåò îðãàíèçîâàòü ñàìîñòîÿòåëüíóþ ïðîâåðêó ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ÷åðåç ïðîâåäåíèå âèðòóàëüíîãî ýêñïåðèìåíòà è ñðàâíåíèå âû÷èñëåííîé âåðîÿòíîñòè ñ ïîëó÷åííîé â îïûòå ÷àñòîòîé. Òàêàÿ ïðîâåðêà âàæíà êàê ñ ñîäåðæàòåëüíîé, òàê è ñ ìåòîäè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ: çàêðåïëÿÿ ïîíÿòèå î âåðîÿòíîñòè êàê ïðåäåëüíîì çíà÷åíèè ÷àñòîòû ñ îäíîé ñòîðîíû, îíà ñîçäàåò äîïîëíèòåëüíóþ ìîòèâàöèþ äëÿ èçó÷åíèÿ ìåòîäîâ åå ðàñ÷åòà ñ äðóãîé.
6. Âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòè ïî ôîðìóëå P( A) =
Ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåðîÿòíîñòü
35
Ê ðàçäåëó 4
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ìîäåëü âåðîÿòíîñòè, íåñìîòðÿ íà êàæóùóþñÿ ïðîñòîòó è åñòåñòâåííîñòü, âûçûâàåò íåèçìåííûå òðóäíîñòè ó ó÷àùèõñÿ. Èõ
èñòî÷íèê ëåãêî îáúÿñíèòü — ïåðåõîä îò êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà ê áåñêîíå÷íîìó (äà åùå íåñ÷åòíîìó!).
Ïðè ââåäåíèè ñàìîãî ïîíÿòèÿ ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè ìû íåèçìåííî îêàçûâàåìñÿ ïåðåä âîïðîñîì: êàêèì îáðàçîì èç òî÷åê, èìåþùèõ
íóëåâóþ âåðîÿòíîñòü, ñêëàäûâàåòñÿ îáëàñòü íåíóëåâîé âåðîÿòíîñòè. 3
Ïî÷åìó â ýòîì ñëó÷àå íå ðàáîòàåò îñíîâíîå ñâîéñòâî âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷åííîå â ðàçäåëå 1 — àääèòèâíîñòü? «Íàó÷íûé» îòâåò íà ýòîò âîïðîñ
çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: âåðîÿòíîñòü îáëàäàåò ñâîéñòâîì (íå ïóãàéòåñü) σ-àääèòèâíîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ áóäåò ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé áëàãîïðèÿòíûõ äëÿ íåãî èñõîäîâ
ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè ýòèõ èñõîäîâ êîíå÷íîå èëè ñ÷åòíîå ÷èñëî.
À îòðåçîê èëè ïëîñêàÿ îáëàñòü ñîñòîèò, êàê èçâåñòíî, èç íåñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà òî÷åê.
Îäíàêî êàê ïðè ýòîì îòâåòèòü íà âïîëíå ïðàâîìåðíûé âîïðîñ ó÷åíèêà: «Åñëè âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â ëþáóþ òî÷êó îáëàñòè ðàâíà 0, êàê æå
ìû âñå-òàêè òóäà ïîïàäàåì?». Íà ñàìîì äåëå, íà ýòî åñòü âïîëíå ïîíÿòíûé è îáîñíîâàííûé îòâåò. Ìû çíàåì, ÷òî åñëè ñîáûòèå A íåâîçìîæíî,
òî P(A) = 0. Íî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî: èç P(A) = 0 åùå íå ñëåäóåò, ÷òî ñîáûòèå A íåâîçìîæíî. Íè÷òî íå ìåøàåò åìó îñóùåñòâèòüñÿ
â îäíîì èëè íåñêîëüêèõ îïûòàõ — åãî îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ïðè ýòîì
âñå ðàâíî áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê 0. Òàêèì îáðàçîì, ñîáûòèÿ íóëåâîé âåðîÿòíîñòè âïîëíå ìîãóò ïðîèñõîäèòü â åäèíè÷íûõ îïûòàõ.
Âûáðàâøèñü òàêèì îáðàçîì èç çàòðóäíåíèé ôèëîñîôñêîãî ïëàíà, ìû
ñòàëêèâàåìñÿ ñ áîëåå ïðèçåìëåííûìè, íî íå ìåíåå ñåðüåçíûìè, âîçíèêàþùèìè ïðè ðåøåíèè çàäà÷. Ïåðâàÿ èç íèõ — îïèñàíèå ìíîæåñòâà
âîçìîæíûõ èñõîäîâ.  çàäà÷àõ íà ãåîìåòðè÷åñêóþ âåðîÿòíîñòü ýòî ìíîæåñòâî äàëåêî íå òàê î÷åâèäíî, êàê â çàäà÷àõ íà êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå. Ïîýòîìó íà÷èíàòü ñëåäóåò ñ çàäà÷, â êîòîðûõ ÿâíî êîíñòàòèðóåòñÿ
ñëó÷àéíûé âûáîð òî÷êè â íåêîòîðîé îáëàñòè (îïûò 10). Çàòåì îò òî÷åê
ïåðåõîäèòü ê ðåàëüíûì îáúåêòàì (îïûò 4). È, íàêîíåö, çàêàí÷èâàòü çàäà÷àìè, ãäå ãåîìåòðèÿ ñêðûòà â íåêîòîðîé ðåàëüíîé ñèòóàöèè (îïûò 11).
3
«– Ñêîëüêî ñòîèò îäíà êàïëÿ ñîêà? — Íèñêîëüêî. — Íó, íàêàïàéòå ñòàêàí÷èꅻ
36
Ëåêöèÿ 1
Òèïè÷íàÿ îøèáêà ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà ãåîìåòðè÷åñêóþ âåðîÿòíîñòü — íåñîîòâåòñòâèå ðàçìåðíîñòåé. ×àñòî ïðè âû÷èñëåíèè ãåîìåòðè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè äëèíó äåëÿò íà ïëîùàäü èëè ïëîùàäü íà îáúåì.
 òàêèõ ñëó÷àÿõ ïîëåçíî ïðîâåðÿòü ïîëó÷åííóþ ôîðìóëó äëÿ âåðîÿòíîñòè íà «áåçðàçìåðíîñòü».
Ïåðå÷èñëåííûå òðóäíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé òåìû, êàê íàì êàæåòñÿ,
ñ ëèõâîé îêóïàþòñÿ èíòåðåñíûìè çàäà÷àìè è èõ ñâÿçüþ ñî âñåìè ðàçäåëàìè ìàòåìàòèêè — ãåîìåòðèåé, àëãåáðîé, ìàòåìàòè÷åñêèì àíàëèçîì.
Ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèìåðû åñòü â òåêñòå ëåêöèè è çàäàíèÿõ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ.
37
Ëåêöèÿ 2
Êîìáèíàòîðèêà è âåðîÿòíîñòü
 ýòîé ëåêöèè ìû çàéìåìñÿ êîìáèíàòîðèêîé — íàóêîé î ñîñòàâëåíèè
è ïîäñ÷åòå êîìáèíàöèé — è âûÿñíèì, êàê îíà ñâÿçàíà ñ ïîäñ÷åòîì âåðîÿòíîñòåé.
1. Ïðàâèëà ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ.
Ïåðå÷èñëåíèå êîìáèíàöèé. Ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé ïîðÿäîê
Ñëîâî «êîìáèíàòîðèêà» ïðîèñõîäèò îò ëàòèíñêîãî combino — ñîåäèíÿþ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ïîëó÷åíèè ëþáîé êîìáèíàöèè ìû ñîñòàâëÿåì åå èç îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ, ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíÿÿ èõ äðóã ñ äðóãîì. ×àùå âñåãî ýòè ýëåìåíòû âûáèðàþòñÿ èç íåêîòîðîãî êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà.
Ïîäñ÷èòàòü îáùåå ÷èñëî âîçìîæíûõ êîìáèíàöèé â ýòîì ñëó÷àå ïîìîãàåò îäíî èç âàæíåéøèõ ïðàâèë êîìáèíàòîðèêè — ïðàâèëî óìíîæåíèÿ. Ñôîðìóëèðóåì åãî äëÿ íà÷àëà â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå: åñëè ïåðâûé
ýëåìåíò â êîìáèíàöèè ìîæíî âûáðàòü a ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî âòîðîé
ýëåìåíò — b ñïîñîáàìè, òî îáùåå ÷èñëî êîìáèíàöèé èç äâóõ ýëåìåíòîâ
áóäåò a · b.
Ïðèìåð 1. Ïîäñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî äâóçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç öèôð 1, 2, 3. Íà ïåðâîå ìåñòî öèôðó ìîæíî âûáðàòü
òðåìÿ ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî íà âòîðîå ìåñòî — òîæå òðåìÿ ñïîñîáàìè.
Çíà÷èò, âñåãî òàêèõ ÷èñåë ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ áóäåò
3 · 3 = 9.
Ìîæíî ïðîâåðèòü îòâåò, âûïèñàâ äðóã çà äðóãîì âñå ýòè ÷èñëà â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ:
11, 12, 13;
21, 22, 23;
31, 32, 33.
Âèäíî, ÷òî îíè ðàçáèëèñü íà òðè ãðóïïû ïî òðè ÷èñëà â êàæäîé —
îòñþäà è ïðàâèëî óìíîæåíèÿ ïðè ïîäñ÷åòå òàêèõ êîìáèíàöèé.
 ïðèâåäåííîì ïðèìåðå ñëîâà «ïîñëå ÷åãî», êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ
â ôîðìóëèðîâêå ïðàâèëà óìíîæåíèÿ, íè÷åãî íå çíà÷àò, ïîñêîëüêó âû-
38
Ëåêöèÿ 2
áîð âòîðîé öèôðû íèêàê íå ñâÿçàí ñ âûáîðîì ïåðâîé. Íî ýòî äàëåêî íå
âñåãäà òàê.
Ïðèìåð 2. Ïîäñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî äâóçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç öèôð 1, 2, 3 òàê, ÷òîáû âñå öèôðû áûëè ðàçëè÷íû. Íà
ïåðâîå ìåñòî öèôðó ìîæíî âûáðàòü òðåìÿ ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî íà
âòîðîå ìåñòî — òîëüêî äâóìÿ ñïîñîáàìè (òó öèôðó, êîòîðàÿ íà ïåðâîì
ìåñòå, èñïîëüçîâàòü óæå íåëüçÿ!). Çíà÷èò, âñåãî òàêèõ ÷èñåë ïî ïðàâèëó
óìíîæåíèÿ áóäåò 3 · 2 = 6. Âîò ýòè ÷èñëà:
12, 13;
21, 23;
31, 32.
Òåïåðü â êàæäîé èç òðåõ ãðóïï òîëüêî ïî äâà ýëåìåíòà.
***
Íî áûâàþò çàäà÷è, â êîòîðûõ ïîñëå âûáîðà îäíîãî èç a îáúåêòîâ
â êà÷åñòâå ïåðâîãî ýëåìåíòà êîìáèíàöèè íåëüçÿ îäíîçíà÷íî ñêàçàòü,
ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáðàòü âòîðîé ýëåìåíò — ýòî çàâèñèò
îò òîãî, êàêîé èìåííî îáúåêò áûë âûáðàí ïåðâûì. Ðàññìîòðèì òàêóþ
ñèòóàöèþ íà ïðèìåðå.
Ïðèìåð 3. Ïîäñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî äâóçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç öèôð 1, 2, 3 òàê, ÷òîáû ïåðâàÿ öèôðà áûëà ìåíüøå âòîðîé. Íà ïåðâîå ìåñòî öèôðó ìîæíî âûáðàòü òðåìÿ ñïîñîáàìè, à âîò íà
âòîðîå ìåñòî ïîñëå ýòîãî:
– äâóìÿ ñïîñîáàìè, åñëè ïåðâîé öèôðîé áûëà âûáðàíà 1;
– îäíèì ñïîñîáîì, åñëè 2;
– íóëåì ñïîñîáîâ, åñëè 3.
Ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü êîìáèíàòîðíîå ïðàâèëî ñëîæåíèÿ: ðàçáèòü
âñå êîìáèíàöèè íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû, ïîäñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî
êîìáèíàöèé â êàæäîì êëàññå (íàïðèìåð, ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ), à çàòåì ñëîæèòü ýòè êîëè÷åñòâà. Ïðàâèëî êàæåòñÿ íàñòîëüêî ïðîñòûì è î÷åâèäíûì, ÷òî åãî äàæå íåóäîáíî íàçûâàòü ïðàâèëîì. Îäíàêî èñïîëüçîâàíèå ýòîé ïðîñòîé èäåè — «ðàçäåëÿé (íà êëàññû) è âëàñòâóé» — îêàçûâàåòñÿ ÷ðåçâû÷àéíî ïîëåçíûì ïðè ðåøåíèè çàäà÷.
***
Âåðíåìñÿ òåïåðü ê ïðàâèëó óìíîæåíèÿ è ñôîðìóëèðóåì åãî åùå ðàç
óæå â áîëåå îáùåì âèäå: åñëè íàì íóæíî ñôîðìèðîâàòü êîìáèíàöèþ èç
39
Êîìáèíàòîðèêà è âåðîÿòíîñòü
k ýëåìåíòîâ è ïðè ýòîì ïåðâûé ýëåìåíò â êîìáèíàöèè ìîæíî âûáðàòü
n1 ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî âòîðîé ýëåìåíò — n2 ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî
òðåòèé — n3 ñïîñîáàìè è òàê äàëåå, òî âñåãî òàêèõ êîìáèíàöèé áóäåò
n1 · n2 · n3 · … · n3.
À òåïåðü ïðèìåíèì ýòî ïðàâèëî ê ðåøåíèþ çàäà÷è.
Ïðèìåð 4. Â êîìïüþòåðå êàæäûé ñèìâîë (áóêâà, öèôðà, ñïåöèàëüíûé çíàê) êîäèðóåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ èç âîñüìè 0 è 1, íàïðèìåð:
– 01000110 — êîä áóêâû «F»;
– 00110010 — êîä öèôðû «2» è ò.ä.
Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ñèìâîëîâ ìîæíî çàêîäèðîâàòü òàêèì îáðàçîì?
Äðóãèìè ñëîâàìè, ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðàçëè÷íûõ äâîè÷íûõ êîäîâ äëèíû 8?
Âûñòðàèâàÿ êîìáèíàöèþ èç âîñüìè íóëåé è åäèíèö, ìû ìîæåì âûáðàòü ïåðâóþ öèôðó äâóìÿ ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî âòîðóþ öèôðó — òîæå
äâóìÿ ñïîñîáàìè è ò.ä. Âñåãî ïîëó÷àåì 2 · 2 · … · 2 = 28 = 256 êîìáèíàöèé. Èìåííî ñòîëüêî ñèìâîëîâ ñîäåðæèò òàê íàçûâàåìàÿ òàáëèöà ASCII,
äàâíî ñòàâøàÿ ñòàíäàðòîì äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ñèìâîëîâ â ïàìÿòè êîìïüþòåðà (ñåé÷àñ åé íà ñìåíó ïðèøëè áîëåå äëèííûå 16-ðàçðÿäíûå êîäû, ïîçâîëÿþùèå êîäèðîâàòü óæå 216 = 65536 ðàçëè÷íûõ ñèìâîëîâ).
Âûïèñûâàòü âñå 256 êîìáèíàöèé ìû çäåñü íå áóäåì, íàïèøåì òîëüêî
íà÷àëî è êîíåö ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:
00000000;
00000001;
00000010;
…
11111110;
11111111.
 ïðåäûäóùèõ ïðèìåðàõ ïðè âûïèñûâàíèè êîìáèíàöèé ìû íå çàäóìûâàëèñü, â êàêîì ïîðÿäêå îíè ïåðå÷èñëÿëèñü: êîìáèíàöèé áûëî ìàëî,
îíè è òàê áûëè âñå «íà âèäó». Òåïåðü ýòîò ïîðÿäîê íåîáõîäèì, ïîñêîëüêó èíà÷å ìû ðèñêóåì ïîòåðÿòü êàêèå-òî èç êîìáèíàöèé èëè âûïèñàòü
íåêîòîðûå èç íèõ ïîâòîðíî.
40
Ëåêöèÿ 2
Ñàìûé åñòåñòâåííûé ïîðÿäîê, êîòîðûé ìîæíî óñòàíîâèòü íà êîìáèíàöèÿõ, íàçûâàåòñÿ ëåêñèêîãðàôè÷åñêèì. Çà ýòèì óñòðàøàþùèì ñëîâîì ñòîèò î÷åíü ïðîñòîé ïðèíöèï óïîðÿäî÷èâàíèÿ: ñíà÷àëà ñðàâíèâàþòñÿ ïåðâûå ýëåìåíòû êîìáèíàöèé; åñëè îíè ñîâïàäàþò, òî ñðàâíèâàþòñÿ
âòîðûå, è òàê äàëåå äî ïåðâîé ïàðû íåñîâïàäàþùèõ ýëåìåíòîâ. Òà êîìáèíàöèÿ, ó êîòîðîé ýòîò ýëåìåíò ìåíüøå, ñ÷èòàåòñÿ ìåíüøåé. Åñëè ñðàâíåíèå ýëåìåíòîâ îáîðâàëîñü èç-çà òîãî, ÷òî îäíà èç êîìáèíàöèé îêàçàëàñü êîðî÷å, òî îíà òàêæå ñ÷èòàåòñÿ ìåíüøåé. Èìåííî òàê óïîðÿäî÷èâàþòñÿ ñëîâà â ñëîâàðå — îòñþäà è íàçâàíèå ñïîñîáà — «ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé». Èíîãäà óäîáíîå íà÷èíàòü ñðàâíåíèå ýëåìåíòîâ íå ñ íà÷àëà,
à ñ êîíöà êîìáèíàöèè, è óïîðÿäî÷èâàòü êîìáèíàöèè íå ïî âîçðàñòàíèþ,
à ïî óáûâàíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ. Ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå
òàêîãî ñðàâíåíèÿ ïîðÿäîê íàçûâàåòñÿ àíòèëåêñèêîãðàôè÷åñêèì, íî ìû
èì ïîëüçîâàòüñÿ íå áóäåì.
Îòìåòèì åùå, ÷òî ïðè ñðàâíåíèè êîìáèíàöèé ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî
ïîðÿäîê óæå óñòàíîâëåí íà ýëåìåíòàõ, èç êîòîðûõ ñòðîèòñÿ êîìáèíàöèÿ.
Êîãäà ýëåìåíòàìè ÿâëÿþòñÿ öèôðû, ÷èñëà, áóêâû, — ýòî äåéñòâèòåëüíî
òàê. Åñëè æå íèêàêîãî åñòåñòâåííîãî ïîðÿäêà íà ñàìèõ ýëåìåíòàõ íåò
(íàïðèìåð, îáúåêòû — ýòî ëþäè èëè öâåòà), òî ìû ìîæåò óñòàíîâèòü åãî
ñàìè.
Ïîñëå âñåãî ñêàçàííîãî ïîïðîáóéòå îòâåòèòü íà âîïðîñ: êàêàÿ êîìáèíàöèÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîäîâ èç ïîñëåäíåãî ïðèìåðà ñëåäóåò çà
êîìáèíàöèåé 00101111? À êàêàÿ ïðåäøåñòâóåò åé?
Åùå îäèí ïðèìåð èëëþñòðèðóåò ïðèìåíåíèå äâóõ êîìáèíàòîðíûõ
ïðàâèë — óìíîæåíèÿ è ñëîæåíèÿ — âìåñòå.
Ïðèìåð 5. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ïîñàäèòü øåñòåðûõ øêîëüíèêîâ íà ñêàìåéêó òàê, ÷òîáû Êîëÿ è Îëÿ îêàçàëèñü ðÿäîì?
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ñêàìåéêå 6 ïóñòûõ ìåñò. Ïîñàäèòü íà îäíî èç
íèõ Êîëþ ìîæíî øåñòüþ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî ïîñàäèòü
ðÿäîì ñ íèì Îëþ ìîæíî… îäíèì èëè äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè.
Ýòî çàâèñèò îò òîãî, êóäà ìû ïîñàäèëè Êîëþ — íà êðàéíåå ìåñòî èëè
íåò. Ñàìîå âðåìÿ ïðèìåíèòü ïðàâèëî ñëîæåíèÿ. Ðàçîáüåì âñå èñêîìûå
êîìáèíàöèè íà äâà êëàññà:
1-é êëàññ: Êîëÿ ñèäèò íà êðàþ, Îëÿ ðÿäîì ñ íèì;
2-é êëàññ: Êîëÿ ñèäèò ãäå-òî â ñåðåäèíå, Îëÿ ðÿäîì ñ íèì.
Çàìåòèì, ÷òî ýòè êëàññû äåéñòâèòåëüíî íå ïåðåñåêàþòñÿ è èñ÷åðïûâàþò
âñå êîìáèíàöèè — âåäü, â êîíöå êîíöîâ, Êîëÿ ñèäèò ëèáî íà êðàþ, ëèáî
Êîìáèíàòîðèêà è âåðîÿòíîñòü
41
ãäå-òî â ñåðåäèíå. Ïîñ÷èòàåì ÷èñëî êîìáèíàöèé â 1-îì êëàññå: ìåñòî ñ
êðàþ äëÿ Êîëè ìîæíî âûáðàòü äâóìÿ ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî Îëþ ìîæíî
ïîñàäèòü ðÿäîì ñ íèì òîëüêî îäíèì ñïîñîáîì, ïîñëå ÷åãî îñòàâøèåñÿ 4
ìåñòà ìîæíî çàíÿòü 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ñïîñîáàìè. Çíà÷èò, â ýòîì êëàññå áóäåò
2 ⋅ 1⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 48 êîìáèíàöèé.
Ïîñ÷èòàåì ÷èñëî èñõîäîâ âî 2-îì êëàññå: ìåñòî â ñåðåäèíå ñêàìåéêè äëÿ Êîëè ìîæíî âûáðàòü ÷åòûðüìÿ ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî Îëþ ìîæíî ïîñàäèòü ðÿäîì ñ íèì äâóìÿ ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî îñòàâøèåñÿ 4 ìåñòà ìîæíî çàíÿòü 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ñïîñîáàìè. Çíà÷èò, â ýòîì êëàññå áóäåò
4 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 192 êîìáèíàöèè.
Èòîãî ïî ïðàâèëó ñëîæåíèÿ 48 + 192 = 240 ñïîñîáîâ. Ïîïðîáóéòå
âûïèñàòü ÷àñòü èç íèõ â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ïîðÿäêå.
2. Ïåðåñòàíîâêè è ðàçìåùåíèÿ. Ôàêòîðèàë
 êîìáèíàòîðèêå ïðèíÿòî êàæäîìó âèäó êîìáèíàöèé äàâàòü ñïåöèàëüíîå íàçâàíèå. Ñåé÷àñ ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ äâóìÿ òàêèìè âèäàìè —
ïåðåñòàíîâêàìè è ðàçìåùåíèÿìè.
Ïåðåñòàíîâêîé èç n ýëåìåíòîâ íàçûâàåòñÿ êîìáèíàöèÿ, â êîòîðîé
âñå ýòè n ýëåìåíòîâ ðàñïîëîæåíû â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå. Òàêèì îáðàçîì, ïåðåñòàíîâêè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ïîðÿäêîì ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ.
Ïðèìåð 1. Âîò âñå ïåðåñòàíîâêè èç áóêâ A, B, C, âûïèñàííûå â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ïîðÿäêå:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Ðàçìåùåíèåì èç n ýëåìåíòîâ ïî k íàçûâàåòñÿ êîìáèíàöèÿ, â êîòîðîé êàêèå-òî k èç ýòèõ n ýëåìåíòîâ ðàñïîëîæåíû â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå. Òàêèì îáðàçîì, ðàçìåùåíèÿ îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà íå òîëüêî ïîðÿäêîì ðàñïîëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ, íî è òåì, êàêèå èìåííî k ýëåìåíòîâ
âûáðàíû â êîìáèíàöèþ.
Ïðèìåð 2. Âîò âñå ðàçìåùåíèÿ èç áóêâ A, B, C ïî 2:
AB, BA, AC, CA, BC, CA.
***
Ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà óìíîæåíèÿ ëåãêî âû÷èñëÿþòñÿ êîëè÷åñòâà ïåðåñòàíîâîê è ðàçìåùåíèé. Íàéäåì ýòè êîëè÷åñòâà.
42
Ëåêöèÿ 2
Ïðè ôîðìèðîâàíèè ïåðåñòàíîâêè èç n ýëåìåíòîâ ïåðâûé ýëåìåíò
ìîæíî âûáðàòü n ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî âòîðîé ýëåìåíò — (n – 1) ñïîñîáàìè (òàê êàê îäèí ýëåìåíò óæå âûáðàí), ïîñëå ÷åãî òðåòèé ýëåìåíò
— (n – 2) ñïîñîáàìè è òàê äàëåå. Âñåãî ïîëó÷àåì
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅1
ïåðåñòàíîâîê. Ïîëó÷åííîå êîëè÷åñòâî — ïðîèçâåäåíèå íàòóðàëüíûõ
÷èñåë îò 1 äî n — â ìàòåìàòèêå íàçûâàåòñÿ ôàêòîðèàëîì ÷èñëà n è
îáîçíà÷àåòñÿ n!. Îòìåòèì îäíó âàæíóþ îñîáåííîñòü ýòîé çàìå÷àòåëüíîé
ôóíêöèè — åå áûñòðûé ðîñò. Ïðèâåäåì äëÿ ïðèìåðà íåñêîëüêî çíà÷åíèé
ôàêòîðèàëà äëÿ âîçðàñòàþùèõ çíà÷åíèé n:
n
n!
8
40 320
0
1
1
1
9
362 880
2
2
10
3 628 800
3
6
11
39 916 800
4
24
5
120
12
479 001 600
6
720
7
5040
13
6 227 020 800
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî äëÿ óäîáñòâà ïîëàãàþò 0! = 1.
Òåïåðü íàéäåì êîëè÷åñòâî ðàçìåùåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî k. Ïåðâûé
ýëåìåíò â ðàçìåùåíèè ìîæíî âûáðàòü n ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî âòîðîé
ýëåìåíò — (n – 1) ñïîñîáàìè (òàê êàê îäèí ýëåìåíò óæå âûáðàí), ïîñëå
÷åãî òðåòèé ýëåìåíò — (n – 2) ñïîñîáàìè è òàê äàëåå. Ïîêà âñå, êàê
â ïåðåñòàíîâêå. Òîëüêî òàêîé âûáîð áóäåò äåëàòüñÿ íå n ðàç, à òîëüêî k,
ïîýòîìó ïî ïðàâèëó ïðîèçâåäåíèÿ ïîëó÷èì
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1)
ðàçìåùåíèé (â ýòîì ïðîèçâåäåíèè êàê ðàç k ñîìíîæèòåëåé). Ýòî ïðîèçâåäåíèå ìîæíî «ñâåðíóòü» â äðîáü ñ èñïîëüçîâàíèåì ôàêòîðèàëîâ:
n ⋅ ( n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1) =
n!
.
(n − k )!
Íàéäåííûå íàìè êîëè÷åñòâà ïåðåñòàíîâîê è ðàçìåùåíèé èìåþò
â êîìáèíàòîðèêå ñïåöèàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ — Pn è Ank ñîîòâåòñòâåííî
(÷èòàþòñÿ êàê «ïý èç ýí» è «à èç ýí ïî êà»). Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòèõ
îáîçíà÷åíèé âûâåäåííûå ôîðìóëû äëÿ ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê è ðàçìåùåíèé çàïèøóòñÿ òàê:
43
Êîìáèíàòîðèêà è âåðîÿòíîñòü
Pn = n ! ,
Ank =
n!
( n − k )! .
À òåïåðü ðåøèì ñ ïîìîùüþ ýòèõ ôîðìóë íåñêîëüêî çàäà÷.
Ïðèìåð 3. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàññòàâèòü íà êíèæíîé ïîëêå
ñîáðàíèå ñî÷èíåíèé Äèêêåíñà, âêëþ÷àþùåå 30 òîìîâ? Êàæäûé òàêîé
ñïîñîá — ýòî ïåðåñòàíîâêà èç 30 ýëåìåíòîâ. Âñåãî òàêèõ ïåðåñòàíîâîê
áóäåò
P30 = 30! = 265 252 859 812191 058 636 308 480 000 000 .
Ïðèìåð 4. Íà êíèæíóþ ïîëêó âëåçàåò òîëüêî 8 ëþáûõ òîìîâ èç
30-òîìíîãî ñîáðàíèÿ Äèêêåíñà. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî çàïîëíèòü ýòèìè òîìàìè òàêóþ ïîëêó? Êàæäûé ñïîñîá — ýòî ðàçìåùåíèå èç
30 ýëåìåíòîâ ïî 8. Âñåãî òàêèõ ðàçìåùåíèé áóäåò
8
=
A30
30!
30!
=
= 235 989 936 000 .
(30 − 8)! 22!
***
Ïîñêîëüêó ÷èñëî ïåðåñòàíîâîê áûñòðî ðàñòåò ñ ðîñòîì N, òî âûïèñûâàòü èõ âðó÷íóþ äàæå äëÿ íåáîëüøèõ N äåëî áåçíàäåæíîå. Íî èíòåðåñíî ðåøèòü äðóãóþ çàäà÷ó. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íà ïåðåñòàíîâêàõ óñòàíîâëåí ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé ïîðÿäîê. Ðàññìîòðèì êàêóþ-íèáóäü ïåðåñòàíîâêó èç ÷èñåë îò 1 äî 7:
1 6 7 3 5 4 2.
Êàêàÿ ïåðåñòàíîâêà áóäåò ñëåäîâàòü íåïîñðåäñòâåííî çà íåé? ×òîáû
íàéòè òàêóþ ïåðåñòàíîâêó, íóæíî óâåëè÷èòü êàê ìîæíî áîëåå äàëåêèå
îò åå íà÷àëà ýëåìåíòû íà êàê ìîæíî ìåíüøóþ âåëè÷èíó. Íà÷íåì
ñ ïîñëåäíåãî ýëåìåíòà è áóäåì äâèãàòüñÿ îò êîíöà ê íà÷àëó ïåðåñòàíîâêè.
• Ìîæíî ëè óâåëè÷èòü 2, íå èçìåíÿÿ ïðåäûäóùèå ýëåìåíòû? Íåò.
• Ìîæíî ëè óâåëè÷èòü 4, íå èçìåíÿÿ ïðåäûäóùèå ýëåìåíòû? Íåò.
• Ìîæíî ëè óâåëè÷èòü 5, íå èçìåíÿÿ ïðåäûäóùèå ýëåìåíòû? Íåò.
• Ìîæíî ëè óâåëè÷èòü 3, íå èçìåíÿÿ ïðåäûäóùèå ýëåìåíòû? Äà, ïîñêîëüêó ïîñëå 3 â ýòîé ïåðåñòàíîâêå åñòü ýëåìåíòû, áîëüøèå 3. Íàèìåíüøèé èç ýòèõ ýëåìåíòî⠗ 4.
44
Ëåêöèÿ 2
Çàìåíÿåì 3 íà 4. Îñòàâøèåñÿ ýëåìåíòû âûïèñûâàåì ïî âîçðàñòàíèþ:
1 6 7 4 2 3 5.
Ýòî áóäåò ïåðåñòàíîâêîé, êîòîðàÿ ñëåäóåò íåïîñðåäñòâåííî çà èñõîäíîé â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ïîðÿäêå.
3. Ñî÷åòàíèÿ
Ïîñêîëüêó ìû óæå ðàññìîòðåëè êîìáèíàòîðíûå ïðàâèëà óìíîæåíèÿ
è ñëîæåíèÿ, åñòåñòâåííî îæèäàòü, ÷òî åñòü àíàëîãè÷íûå ïðàâèëà ñ äåëåíèåì è âû÷èòàíèåì.
Ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê, õîòÿ èõ íå âñåãäà ôîðìóëèðóþò â òàêîì ÿâíîì
âèäå, êàê ïðàâèëî óìíîæåíèÿ. Ýòî ñêîðåå íå ïðàâèëà, à íåêîòîðûå îáùèå ïðèíöèïû äëÿ ïîäñ÷åòà êîìáèíàöèé. Èòàê, ïðàâèëî âû÷èòàíèÿ:
ïðè ïîäñ÷åòå êîìáèíàöèé, îáëàäàþùèõ çàäàííûì ñâîéñòâîì, èíîãäà
ïðîùå íàéòè êîëè÷åñòâî êîìáèíàöèé, êîòîðûå ýòèì ñâîéñòâîì ÍÅ îáëàäàþò, è âû÷åñòü åãî èç îáùåãî êîëè÷åñòâà êîìáèíàöèé.
Ïðèìåð 1. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, â çàïèñè êîòîðûõ åñòü õîòÿ áû îäèí 0. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðàâèëîì âû÷èòàíèÿ. Ñíà÷àëà
íàéäåì êîëè÷åñòâî âñåõ òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë — ýòî ìîæíî ñäåëàòü è áåç
âñÿêîé êîìáèíàòîðèêè — èõ áóäåò 999 – 99 = 900. Òåïåðü íàéäåì, ñêîëüêî èç íèõ íå ñîäåðæàò íè îäíîãî 0: íà ïåðâîå ìåñòî ìîæíî ïîñòàâèòü
ëþáóþ èç äåâÿòè öèôð, íà âòîðîå — ëþáóþ èç äåâÿòè öèôð è íà òðåòüå —
ëþáóþ èç äåâÿòè öèôð (êàæäûé ðàç èñêëþ÷àåì 0). Âñåãî ïî ïðàâèëó
óìíîæåíèÿ áóäåò 9 · 9 · 9 = 729 âàðèàíòîâ. À òåïåðü íàéäåì îòâåò ïî
ïðàâèëó âû÷èòàíèÿ:
900 – 729 = 171 — ñòîëüêî òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ñîäåðæàò õîòÿ áû îäèí 0.
Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì ïðàâèëî äåëåíèÿ: åñëè ïðè ïîäñ÷åòå èñêîìûõ êîìáèíàöèé ìû êàæäóþ èç íèõ ïîñ÷èòàëè m ðàç, òî íóæíî ïîäåëèòü
íàéäåííîå êîëè÷åñòâî êîìáèíàöèé íà m. Ôîðìóëèðîâêà êàæåòñÿ äîâîëüíî
ñòðàííîé — çà÷åì ñ÷èòàòü êàæäóþ èç êîìáèíàöèé ïî íåñêîëüêî ðàç? Íî
èç ïðèìåðîâ ñåé÷àñ âñå áóäåò ÿñíî.
Ïðèìåð 2. Èç êëàññà, â êîòîðîì ó÷èòñÿ 25 ó÷åíèêîâ, íóæíî âûáðàòü
òðîèõ äëÿ ó÷àñòèÿ â øêîëüíîé îëèìïèàäå. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî
ýòî ñäåëàòü?
Ïåðâîãî ó÷åíèêà ìîæíî âûáðàòü 25 ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî âòîðîãî
ó÷åíèêà — 24, ïîñëå ÷åãî òðåòüåãî — 23. Âñåãî ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ
Êîìáèíàòîðèêà è âåðîÿòíîñòü
45
ïîëó÷èòñÿ 25 · 24 · 23 = 13 800 ñïîñîáîâ. Íî ýòî åùå íå îòâåò! Äåëî
â òîì, ÷òî ïðè òàêîì ïîäñ÷åòå ìû ñ÷èòàëè êàæäûé èñêîìûé âàðèàíò ïî
íåñêîëüêî ðàç: ñêàæåì, âàðèàíò, â êîòîðîì íà îëèìïèàäó îòïðàâëÿþòñÿ
Èâàíîâ, Ïåòðîâ è Ñèäîðîâ âñòðå÷àëñÿ â âèäå êîìáèíàöèé:
• Èâàíî⠗ Ïåòðî⠗ Ñèäîðîâ;
• Èâàíî⠗ Ñèäîðî⠗ Ïåòðîâ;
• Ïåòðî⠗ Èâàíî⠗ Ñèäîðîâ;
• Ïåòðî⠗ Ñèäîðî⠗ Èâàíîâ;
• Ñèäîðî⠗ Èâàíî⠗ Ïåòðîâ;
• Ñèäîðî⠗ Ïåòðî⠗ Èâàíîâ;
òî åñòü â âèäå øåñòè ðàçëè÷íûõ ðàçìåùåíèé. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ëþáîé äðóãîé âàðèàíò ñ÷èòàëñÿ òîæå øåñòü ðàç: èìåííî ñòîëüêî ïåðåñòàíîâîê ìîæíî ñîñòàâèòü èç òðåõ âûáðàííûõ ó÷åíèêîâ. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îòâåòà âîñïîëüçóåìñÿ ïðàâèëîì äåëåíèÿ: ðàçäåëèì íàéäåííîå êîëè÷åñòâî
âàðèàíòîâ íà 6:
13800 : 6 = 2300 — ñòîëüêî ñïîñîáîâ âûáðàòü òðåõ ó÷åíèêîâ èç 25.
 ïîñëåäíåì ïðèìåðå ìû ñòîëêíóëèñü åùå ñ îäíèì âàæíåéøèì òèïîì êîìáèíàöèé, ÷àñòî èñïîëüçóþùåìñÿ â êîìáèíàòîðèêå — ñî÷åòàíèÿìè. Ñî÷åòàíèåì èç n ýëåìåíòîâ ïî k íàçûâàåòñÿ êîìáèíàöèÿ, â êîòîðîé èç ýòèõ n ýëåìåíòîâ âûáðàíû ëþáûå k áåç ó÷åòà èõ ïîðÿäêà
â êîìáèíàöèè. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñî÷åòàíèÿ èìååò çíà÷åíèå òîëüêî
ñîñòàâ âûáðàííûõ ïðåäìåòîâ, à íå èõ ïîðÿäîê. Äðóãèìè ñëîâàìè, ñî÷åòàíèå — íå ÷òî èíîå, êàê ëþáîå k-ýëåìåíòíîå ïîäìíîæåñòâî n-ýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà.
Ïðèìåð 3. Âîò âñå ñî÷åòàíèÿ èç áóêâ A, B, C ïî äâå:
[AB], [AC], [BC].
Êâàäðàòíûå ñêîáêè èñïîëüçîâàíû çäåñü ñïåöèàëüíî äëÿ òîãî, ÷òîáû
ïîêàçàòü, ÷òî ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ ýëåìåíòîâ â êîìáèíàöèè íå èìååò çíà÷åíèÿ, ò.å. [AB] = [BA]. Òàêîå îáîçíà÷åíèå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðå.
***
Ôîðìóëó äëÿ ÷èñëà ñî÷åòàíèé ìû âûâåäåì èç ôîðìóëû äëÿ ÷èñëà
ðàçìåùåíèé ñ ïîìîùüþ ïðàâèëà äåëåíèÿ. Ïðè ïîäñ÷åòå ðàçìåùåíèé èç
n ïî k ìû ñ÷èòàëè ÷èñëî ñïîñîáîâ, êîòîðûì ìîæíî âûáðàòü k ïðåäìå-
46
Ëåêöèÿ 2
òîâ èç n ñ ó÷åòîì èõ ïîðÿäêà. Êàæäîå ñî÷åòàíèå ó÷èòûâàëîñü ïðè ýòîì
ñòîëüêî ðàç, ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ñïîñîáîâ óïîðÿäî÷èòü âûáðàííûå k
ïðåäìåòîâ, ò.å. k! ðàç. Ïî ïðàâèëó äåëåíèÿ, ÷òîáû íàéòè ÷èñëî ñî÷åòàíèé, íóæíî ïîäåëèòü ÷èñëî ðàçìåùåíèé íà k!:
n!
.
(n − k )! ⋅ k !
Íàéäåííîå êîëè÷åñòâî ñî÷åòàíèé èìååò â êîìáèíàòîðèêå ñïåöèàëüíîå îáîçíà÷åíèå — Cnk (÷èòàåòñÿ êàê «öý èç ýí ïî êà»). Ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîãî îáîçíà÷åíèÿ âûâåäåííàÿ ôîðìóëà çàïèøåòñÿ òàê:
Cnk =
n!
.
(n − k )! ⋅ k !
À òåïåðü ðåøèì ñ åå ïîìîùüþ íåñêîëüêî çàäà÷.
Ïðèìåð 4. Èç êîëîäû, â êîòîðîé 36 êàðò, âûáèðàþò 6 êàðò. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ýòî ñäåëàòü? Êàæäàÿ èíòåðåñóþùàÿ íàñ êîìáèíàöèÿ — ýòî ñî÷åòàíèå èç 36 ïî 6. Âñåãî òàêèõ ñî÷åòàíèé áóäåò
6
=
C36
36!
36 ⋅ 35 ⋅ 34⋅ 33⋅ 32⋅ 31
=
= 1947 792 .
30! ⋅ 6!
6 ⋅ 5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅1
***
×àñòî ïðè ïîäñ÷åòå êîìáèíàöèé ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü ôîðìóëû äëÿ
÷èñëà ñî÷åòàíèé âìåñòå ñ ïðàâèëîì óìíîæåíèÿ.
Ïðèìåð 5. Èç êîëîäû, â êîòîðîé 36 êàðò, âûáèðàþò 6 êàðò. Ñêîëüêî
ñïîñîáîâ ñäåëàòü ýòî òàê, ÷òîáû ñðåäè íèõ îêàçàëîñü 2 òóçà?
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ëþáîé èíòåðåñóþùåé íàñ êîìáèíàöèè íóæíî ñíà÷àëà
âûáðàòü ëþáûå 2 òóçà èç 4, ïîñëå ÷åãî âûáðàòü ëþáûå 4 êàðòû èç 32
«íåòóçîâ». Ïåðâîå äåéñòâèå ìîæíî îñóùåñòâèòü
C42 =
4!
= 6 ñïîñîáàìè,
2! ⋅ 2!
ïîñëå ÷åãî âòîðîå äåéñòâèå –
4
=
C32
32!
32 ⋅ 31⋅ 30 ⋅ 29
=
= 35 960 ñïîñîáàìè.
28! ⋅ 4!
4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1
47
Êîìáèíàòîðèêà è âåðîÿòíîñòü
Ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ îáùåå ÷èñëî ñïîñîáîâ áóäåò
4
= 6 ⋅ 35960 = 215 760 .
C42 ⋅ C32
Ìîæíî îáîáùèòü âîïðîñ, çàäàííûé â óñëîâèè ïðèâåäåííîé çàäà÷è,
è íàéòè êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ, ïðè êîòîðûõ ñðåäè âûáðàííûõ øåñòè êàðò
îêàæåòñÿ 0, 1, 2, 3, 4 òóçà:
Êîë-âî òóçîâ
0
×èñëî ñïîñîáîâ
6
= 906192
C40 × C32
1
5
C41 × C32
= 805 504
2
4
C42 × C32
= 215 760
3
3
C43 × C32
= 19 840
4
2
C44 × C32
= 496
Íå âñåãäà â çàäà÷àõ, ãäå ñëåäóåò ïðèìåíÿòü ôîðìóëó äëÿ ïîäñ÷åòà
ñî÷åòàíèé, â ÿâíîì âèäå ïðèñóòñòâóåò âûáîð èç n ïî k. Èíîãäà ýòîò âûáîð ñêðûò â òåêñòå, è åãî íóæíî åùå óâèäåòü.
Ïðèìåð 6. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàñïîëîæèòü â îäèí ðÿä
3 áåëûõ è 4 ÷åðíûõ øàðà? ×òîáû áûëî ïîíÿòíî, î êàêèõ êîìáèíàöèÿõ
èäåò ðå÷ü, âûïèøåì íåñêîëüêî èç íèõ, îáîçíà÷àÿ áåëûå øàðû áóêâîé Á,
÷åðíûå — áóêâîé ×:
ÁÁÁ××××, ÁÁ×Á×××, ÁÁ××Á××, …
Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî Á < ×, òî ýòè êîìáèíàöèè âûïèñàíû â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ïîðÿäêå.
Íóæíî ñêàçàòü, ÷òî ïîëó÷åííûå êîìáèíàöèè íå ñîâïàäàþò íè ñ îäíèì èç ðàññìîòðåííûõ ðàíåå òèïîâ (ïåðåñòàíîâêà, ðàçìåùåíèå, ñî÷åòàíèå), íî äëÿ èõ ïîäñ÷åòà íàøèõ çíàíèé âïîëíå äîñòàòî÷íî. Êàæäàÿ êîìáèíàöèÿ ñîñòîèò èç ñåìè áóêâ è îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì òåõ
òðåõ èç ñåìè ìåñò, íà êîòîðûõ áóäóò ñòîÿòü áóêâû Á. Âûáðàòü òðè ìåñòà
èç ñåìè ìîæíî C73 =
ñòâî êîìáèíàöèé.
7!
= 35 ñïîñîáàìè — ýòî è åñòü èñêîìîå êîëè÷å4!3!
48
Ëåêöèÿ 2
Çàäà÷ó ìîæíî ðåøàòü è ïî-äðóãîìó, âûáèðàÿ òå ÷åòûðå èç ñåìè ìåñò,
íà êîòîðûõ áóäóò ñòîÿòü áóêâû ×: C74 =
7!
= 35 . Ðàçóìååòñÿ, îòâåò òîò
3! ⋅ 3!
æå ñàìûé. Êðîìå òîãî, ìû îáíàðóæèëè îäíî èíòåðåñíîå ñâîéñòâî ÷èñëà
ñî÷åòàíèé:
Cnk = Cnn −k .
Ýòî ñâîéñòâî ñðàçó ñëåäóåò èç ôîðìóëû äëÿ ÷èñëà ñî÷åòàíèé — ôîðìóëà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî k è (n – k). Íî îáîñíîâàòü ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî ÷èñòî êîìáèíàòîðíûì ñïîñîáîì: âûáîð òåõ k ýëåìåíòîâ èç n,
êîòîðûå ìû ñîáèðàåìñÿ âêëþ÷èòü â êîìáèíàöèþ, ðàâíîñèëåí âûáîðó
òåõ (n – k) ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ìû ñîáèðàåìñÿ îñòàâèòü.
Íàéäåííîå çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî ÷èñëà ñî÷åòàíèé äàëåêî íå åäèíñòâåííîå.  ñëåäóþùåì ïóíêòå ìû ïîãîâîðèì îá ýòèõ ñâîéñòâàõ ïîäðîáíåå.
4. Êîìáèíàòîðèêà ïðè âû÷èñëåíèè âåðîÿòíîñòåé
Ïåðåéäåì òåïåðü ê èñïîëüçîâàíèþ ïîëó÷åííûõ ñâåäåíèé èç êîìáèíàòîðèêè äëÿ ðåøåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ çàäà÷. Ñíà÷àëà çàäàäèìñÿ âîïðîñîì, êàêàÿ âîîáùå ìîæåò áûòü ñâÿçü ìåæäó êîìáèíàòîðèêîé, ãäå âñå
æåñòêî îïðåäåëåíî è äåòåðìèíèðîâàíî, è òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé, èçó÷àþùåé ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ?  ïåðâîé ëåêöèè, îáñóæäàÿ ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòè, ìû âûÿñíèëè, ÷òî ñóùåñòâóåò äîâîëüíî øèðîêèé êðóã ñëó÷àéíûõ
îïûòîâ, â êîòîðûõ âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîáûòèÿ ìîæíî âû÷èñëèòü
a priory — áåç ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòî⠗ ïî ôîðìóëå êëàññè÷åñêîé âåðîÿòíîñòè
P( A) =
m
,
n
ãäå n — êîëè÷åñòâî âñåõ èñõîäîâ îïûòà, à m — êîëè÷åñòâî èñõîäîâ,
áëàãîïðèÿòíûõ äëÿ ñîáûòèÿ A. Ýòî òàê íàçûâàåìûå îïûòû ñ ðàâíîâîçìîæíûìè èñõîäàìè.
Ðàññìàòðèâàÿ ïðèìåðû òàêèõ îïûòîâ, ìû ñïåöèàëüíî âûáèðàëè èõ äîñòàòî÷íî ïðîñòûìè, ÷òîáû ïðè ïîäñ÷åòå ÷èñëà âîçìîæíûõ è áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ ìîæíî áûëî ïðîâåñòè ýòîò ïîäñ÷åò ïðîñòûì ïåðå÷èñëåíèåì
âñåõ âàðèàíòîâ. Îäíàêî çà÷àñòóþ êîëè÷åñòâî èñõîäîâ îïûòà íàñòîëüêî
49
Êîìáèíàòîðèêà è âåðîÿòíîñòü
âåëèêî, ÷òî ïåðå÷èñëèòü âñå òàêèå èñõîäû íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì.
Âîò çäåñü è ïðèõîäÿò íà ïîìîùü êîìáèíàòîðíûå ïðàâèëà è ôîðìóëû, ðàññìîòðåííûå âûøå. ×àùå âñåãî ýòî ïðîèñõîäèò â îïûòàõ, ãäå ëèáî ó÷àñòâóåò ìíîãî îáúåêòîâ (ìîíåò, êóáèêîâ, øàðîâ è ò.ä.), ëèáî ñ îäíèì è òåì
æå îáúåêòîì ïðîèçâîäÿò ìíîãîêðàòíûå äåéñòâèÿ (ìîíåòó èëè êóáèê áðîñàþò íåñêîëüêî ðàç, íåñêîëüêî ðàç ó÷àñòâóþò â ëîòåðåå è ò.ä.).
Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ êîìáèíàòîðíûõ ìåòîäîâ
ïðèãîäíû òîëüêî òå çàäà÷è, â îñíîâå êîòîðûõ ëåæàò îïûòû ñ ðàâíîâîçìîæíûìè èñõîäàìè — èíà÷å ïîäñ÷åò êîëè÷åñòâà òàêèõ èñõîäîâ íè÷åãî
íå äàåò äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè. Íà÷íåì ñ ïðèìåðîâ, óæå ðàçîáðàííûõ â ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ. Òîëüêî òåïåðü â êàæäîì èç íèõ ñîçäàäèì
âåðîÿòíîñòíóþ ñèòóàöèþ.
Ïðèìåð 1 (ñì. ïðèìåð 1.5). Øåñòü øêîëüíèêîâ ñëó÷àéíûì îáðàçîì
ðàññàæèâàþòñÿ íà ñêàìåéêó. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ Êîëÿ è Îëÿ áóäóò
ñèäåòü ðÿäîì?
Ôðàçó «ðàññàæèâàþòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì» íóæíî ïîíèìàòü òàê,
÷òî âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû ðàññàæèâàíèÿ ðàâíîâîçìîæíû. Êàæäûé
òàêîé âàðèàíò — ýòî ïåðåñòàíîâêà èç 6 ýëåìåíòîâ, çíà÷èò, âñåãî âîçìîæíûõ èñõîäîâ ó ýòîãî îïûòà áóäåò
n = P6 = 6! .
Èñõîäû, áëàãîïðèÿòíûå äëÿ ñîáûòèÿ «Êîëÿ è Îëÿ áóäóò ñèäåòü ðÿäîì» ìû óæå ñ÷èòàëè ðàíåå — èõ ïîëó÷èëîñü m = 240 . Îòñþäà íàõîäèì
âåðîÿòíîñòü:
P( A) =
m 240 1
=
= .
n
6! 3
Ïðèìåð 2 (ñì. ïðèìåð 3.2).  êëàññå, â êîòîðîì ó÷èòñÿ 25 ó÷åíèêîâ,
ðàçûãðûâàþò ïî æðåáèþ 3 áèëåòà â öèðê. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ â öèðê
ïîéäóò Èðà, Ìàøà è Îëÿ?
Ôðàçà «ðàçûãðûâàþò ïî æðåáèþ 3 áèëåòà» ãîâîðèò î òîì, ÷òî ëþáûå
òðè ÷åëîâåêà èç êëàññà ìîãóò ïîïàñòü â öèðê ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ
(ò.å. æðåáèé ñïðàâåäëèâûé). Êàæäûé âàðèàíò æåðåáüåâêè — ýòî ñî÷åòàíèå èç 25 ïî 3; âñåãî òàêèõ âàðèàíòîâ
3
=
n = C25
25 ⋅ 24 ⋅ 23
= 2300 .
3 ⋅ 2 ⋅1
50
Ëåêöèÿ 2
Áëàãîïðèÿòíûé èñõîä âñåãî îäèí — ýòî åäèíñòâåííîå ñî÷åòàíèå ÈðàÌàøà-Îëÿ. Îòñþäà èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü áóäåò
P( A) =
1
≈ 0,0004 .
2300
Ïðèìåð 3. (ñì. ïðèìåðû 3.4 è 3.5) Èç êîëîäû, â êîòîðîé 36 êàðò,
ñëó÷àéíî âûáèðàþò 6 êàðò. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ñðåäè íèõ íåò íè îäíîãî òóçà? îäèí òóç? äâà òóçà? òðè òóçà? ÷åòûðå òóçà?
6
Ôðàçà «ñëó÷àéíî âûáèðàþò» ãîâîðèò î òîì, ÷òî âñå C36
èñõîäîâ
ýòîãî îïûòà ðàâíîâîçìîæíû. Áëàãîïðèÿòíûå èñõîäû äëÿ êàæäîãî èç
ïåðå÷èñëåííûõ â óñëîâèè çàäà÷è ñîáûòèé ìû óæå ñ÷èòàëè. Îñòàåòñÿ
ïîäñòàâèòü ýòè äàííûå â ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè:
P( A0 ) =
6
C40 ⋅ C32
6
C36
=
4!
32! 30!⋅ 6! 32!⋅ 30! 27⋅ 28⋅ 29⋅ 30
⋅
⋅
=
=
≈ 0,465;
4! ⋅ 0! 26!⋅ 6! 36!
26!⋅ 36! 33⋅ 34⋅ 35⋅ 36
P( A1 ) =
5
C41 ⋅ C32
≈ 0, 414 ;
6
C36
P( A2 ) =
4
C42 ⋅ C32
≈ 0,111 ;
6
C36
P( A3 ) =
3
C43 ⋅ C32
≈ 0, 010 ;
6
C36
P( A4 ) =
2
C44 ⋅ C32
= 0,00026 .
6
C36
Ìû ïîäðîáíî âûïèñàëè ïðîöåññ âû÷èñëåíèÿ P ( A0 ) , ÷òîáû ïîêàçàòü,
÷òî íå íóæíî òîðîïèòüñÿ ñðàçó âû÷èñëÿòü âñå çíà÷åíèÿ Cnk — ìíîãèå
ôàêòîðèàëû ìîãóò ñîêðàòèòüñÿ (õîòÿ áû ÷àñòè÷íî) åùå äî èõ âû÷èñëåíèÿ. Îòìåòèì åùå, ÷òî ñóììà íàéäåííûõ âåðîÿòíîñòåé äîëæíà ðàâíÿòü-
51
Êîìáèíàòîðèêà è âåðîÿòíîñòü
ñÿ åäèíèöå, ïîñêîëüêó ñîáûòèÿ A0 , A1 , ..., A4 íå ïåðåñåêàþòñÿ è èñ÷åðïûâàþò âñå âîçìîæíûå âàðèàíòû äàííîãî îïûòà (î òàêèõ ñîáûòèÿõ ìû ïîäðîáíåå ïîãîâîðèì â ñëåäóþùåé ëåêöèè). Ó íàñ ðîâíî 1 íå ïîëó÷èòñÿ —
ýòî ñâÿçàíî ñ îêðóãëåíèåì íàéäåííûõ âåðîÿòíîñòåé.
Ïðèìåð 4 (ñì. ïðèìåð 3.6). 3 áåëûõ è 4 ÷åðíûõ øàðà ñëó÷àéíûì
îáðàçîì ðàñêëàäûâàþò â ðÿä. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ öâåòà øàðîâ áóäóò
÷åðåäîâàòüñÿ?
Ìû óæå ñ÷èòàëè îáùåå êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ìîæíî ðàñïîëîæèòü â îäèí ðÿä 3 áåëûõ è 4 ÷åðíûõ øàðà — èõ ïîëó÷èëîñü
C73 =
7!
= 35 . Ïðè ýòîì öâåòà áóäóò ÷åðåäîâàòüñÿ òîëüêî â îäíîì èç
4! ⋅ 3!
ýòèõ ñïîñîáîâ, à èìåííî:
×Á×Á×Á×.
1
.
35
Âîîáùå ãîâîðÿ, ñëåäóÿ ñîâåòàì, èçëîæåííûì â ëåêöèè 1, ñëåäîâàëî
áû ðåøàòü ýòó çàäà÷ó íåñêîëüêî èíà÷å. Ïðè ðàñêëàäûâàíèè øàðîâ íå
èìåþò íèêàêîãî çíà÷åíèÿ èõ öâåòà; âàæíî òîëüêî, ÷òî ýòèõ øàðîâ 7 øòóê,
ïîýòîìó ðàâíîâîçìîæíûìè èñõîäàìè îïûòà áóäóò 7! ïåðåñòàíîâîê, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü èç 7 øàðîâ.
×òîáû íàéòè êîëè÷åñòâî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ, íóæíî ïîñ÷èòàòü,
äëÿ ñêîëüêèõ ïåðåñòàíîâîê öâåòà ÷åðåäóþòñÿ â ñëåäóþùåì ïîðÿäêå:
×Á×Á×Á×. ×åòûðå ÷åðíûõ øàðà ìîæíî ðàçìåñòèòü íà îòìå÷åííûõ äëÿ
íèõ ìåñòàõ 4! ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî ðàçìåñòèòü íà òðåõ îñòàâøèõñÿ
ìåñòàõ òðè áåëûõ øàðà ìîæíî 3! ñïîñîáàìè. Òàêèì îáðàçîì, âñåãî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ áóäåò 4! · 3! Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü áóäåò
Çíà÷èò, èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà
P( A) =
m 4! ⋅ 3! 3 ⋅ 2 ⋅ 1 1 .
=
=
=
n
7!
5 ⋅ 6 ⋅ 7 35
Ïîëó÷èëè òîò æå îòâåò.
Ïðèìåð 5. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðè ïîäáðàñûâàíèè 10 ìîíåò
«îðëîâ» âûïàäåò áîëüøå, ÷åì «ðåøåê»? Ïîìíÿ î òîì, ÷òî ïðè ðàññìîòðåíèè âîçìîæíûõ èñõîäîâ ýòîãî îïûòà íóæíî ðàçëè÷àòü âñå 10 ìîíåò
(ñì. ëåêöèþ 1), íàéäåì îáùåå êîëè÷åñòâî èñõîäîâ: äëÿ ïåðâîé ìîíåòû
52
Ëåêöèÿ 2
âîçìîæíû äâà âàðèàíòà («îðåë» è «ðåøêà»), äëÿ âòîðîé — òîæå äâà è
ò.ä. Âñåãî èñõîäîâ ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ áóäåò 2 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ 2 = 210 .
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ îòìåòèì ïðåæäå âñåãî î÷åâèäíóþ ñèììåòðèþ íàøåãî îïûòà îòíîñèòåëüíî âûáîðà «îðëà» è «ðåøêè». Çíà÷èò, èñõîäîâ, â êîòîðûõ ÷èñëî «îðëîâ» áîëüøå ÷èñëà «ðåøåê»
áóäåò ñòîëüêî æå, ñêîëüêî èñõîäîâ, ãäå ÷èñëî «ðåøåê» áîëüøå ÷èñëà
«îðëîâ». Îñòàþòñÿ åùå èñõîäû, ãäå «îðëîâ» è «ðåøåê» ïîðîâíó. Âîò ñ
íèõ è íà÷íåì: êàæäûé òàêîé èñõîä îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì 5 ìîíåò, íà
êîòîðûõ âûïàäóò «îðëû» (íà äðóãèõ 5 ìîíåòàõ âûïàäóò «ðåøêè»). Òà5
ñïîñîáàìè. Ïî ïðàâèëó âû÷èòàíèÿ ÷èñëî
êîé âûáîð ìîæíî ñäåëàòü C10
èñõîäîâ, â êîòîðûõ ÷èñëî «îðëîâ» ÍÅ ðàâíî ÷èñëó «ðåøåê», áóäåò
5
, à ÷èñëî èñêîìûõ áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäî⠗ â äâà ðàçà ìåíü210 − C10
øå:
1 10
5
(2 − C10
) . Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:
2
5
5
) 1
C10
1 (210 − C10
(1
) ≈ 0,377 .
=
⋅
−
P( A) = ⋅
2
2
210
210
Ïðèìåð 6. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ïðè ïîäáðàñûâàíèè N êóáèêîâ
íà êàêèõ-òî êóáèêàõ âûïàäóò ñîâïàäàþùèå ÷èñëà?
Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî çàäà÷à èìååò ñìûñë òîëüêî ïðè N > 1.
Äàëåå, ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå ïðè N > 6 èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà 1
(âñåãäà íàéäóòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå äâà êóáèêà ñ îäèíàêîâûì ÷èñëîì î÷êîâ). Îñòàåòñÿ ðåøèòü çàäà÷ó äëÿ 2 ≤ N ≤ 6 . Êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ëåãêî íàéòè îáùåå êîëè÷åñòâî èñõîäîâ îïûòà ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ: 6 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 6 = 6 N . Äëÿ áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ ñíîâà âîñïîëüçóåìñÿ
ïðàâèëîì âû÷èòàíèÿ — íàéäåì ÷èñëî èñõîäîâ, ãäå âñå ÷èñëà íà êóáèêàõ ðàçëè÷íû. Ïðè òàêîì èñõîäå íà ïåðâîì êóáèêå ìîæåò âûïàñòü ëþáîå èç 6 ÷èñåë, íà âòîðîì — ëþáîå èç 5 îñòàâøèõñÿ, íà âòîðîì —
ëþáîå èç 4 è ò.ä. Âñåãî òàêèõ èñõîäîâ ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ áóäåò
6 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (6 − N + 1) . Çíà÷èò, áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ ïî ïðàâèëó âû÷èòàíèÿ
áóäåò 6 N − 6 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (6 − N + 1) . Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü áóäåò
P( A) =
6 N − 6 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (6 − N + 1)
6 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (6 − N + 1)
= 1−
.
6N
6N
53
Êîìáèíàòîðèêà è âåðîÿòíîñòü
Âîò òàáëèöà, â êîòîðîé ýòà âåðîÿòíîñòü ïîñ÷èòàíà äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé N:
N
P(A)
2
0,167
3
0,444
4
0,722
5
0,907
6
0,985
>6
1
Ïðèìåð 7. Êëàññ, â êîòîðîì ó÷èòñÿ 12 äåâî÷åê è 12 ìàëü÷èêîâ, ñëó÷àéíûì îáðàçîì äåëÿò íà äâå ðàâíûå ãðóïïû äëÿ çàíÿòèé íà êîìïüþòåðàõ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ìàëü÷èêîâ è äåâî÷åê â íèõ îêàæåòñÿ
ïîðîâíó?
Ïåðåôîðìóëèðóåì çàäà÷ó: èç 24 ó÷åíèêîâ ýòîãî êëàññà ñëó÷àéíî îòáèðàþò 12. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî ñðåäè íèõ ðîâíî 6 ìàëü÷èêîâ? (Óáåäèòåñü, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî òà æå çàäà÷à!) Âñåãî ñïîñîáîâ âûáîðà
12 ÷åëîâåê èç 24 áóäåò
12
=
C24
24!
= 2 704 000 ,
12! ⋅ 12!
ïðè÷åì âñå ýòè ñïîñîáû ðàâíîâîçìîæíû. Áëàãîïðèÿòíûìè áóäóò èñõîäû,
â êîòîðûõ ñðåäè âûáðàííûõ 12 ÷åëîâåê ðîâíî 6 ìàëü÷èêîâ. Êàê ñôîðìèðîâàòü ëþáîé òàêîé èñõîä? Ñíà÷àëà íóæíî âûáðàòü ëþáûå 6 èç 12 ìàëü÷èêîâ, à ïîòîì äîáàâèòü ê íèì ëþáûå 6 èç 12 äåâî÷åê. Îáùåå êîëè÷åñòâî
òàêèõ âàðèàíòîâ âûáîðà ìîæíî íàéòè ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ:
6
6
⋅ C12
=
C12
12! 12!
⋅
= 853 800 .
6! ⋅ 6! 6!⋅ 6!
Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü áóäåò ðàâíà
P( A) =
6
6
⋅ C12
C12
≈ 0,316 .
18
C24
Ïðèìåð 8.  êëàññå ó÷èòñÿ 12 ìàëü÷èêîâ è 12 äåâî÷åê. Èõ ñëó÷àéíî
ðàññàäèëè çà 12 ïàðò. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çà êàæäîé ïàðòîé
îêàçàëèñü ìàëü÷èê è äåâî÷êà?
24 ÷åëîâåêà ìîæíî ïîñàäèòü íà 24 ìåñòà 24! ñïîñîáàìè — èìåííî
ñòîëüêî ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ ó íàøåãî ýêñïåðèìåíòà. Òåïåðü íàéäåì
êîëè÷åñòâî áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ. Ïðè áëàãîïðèÿòíîì èñõîäå çà êàæäîé
54
Ëåêöèÿ 2
èç 12 ïàðò ñèäèò ðîâíî îäèí ìàëü÷èê. Ýòè 12 ìåñò äëÿ ìàëü÷èêîâ (ïî îäíîìó ìåñòó íà êàæäîé ïàðòå) ìîæíî âûáðàòü 212 ñïîñîáàìè (äâà âàðèàíòà äëÿ
êàæäîé èç 12 ïàðò). Ïîñëå âûáîðà ýòèõ ìåñò ìàëü÷èêîâ ìîæíî ðàññàäèòü ïî
íèì 12! ñïîñîáàìè, ïîñëå ÷åãî äåâî÷åê ìîãóò ñåñòü íà îñòàâøèåñÿ ìåñòà
òàêæå 12! ñïîñîáàìè. Ïîëó÷àåì, ÷òî èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà
P ( A) =
m 212 ⋅ 12!⋅ 12!
=
= 0,0015 .
24!
n
5. Êëàññè÷åñêèå ìîäåëè ñ âûáîðîì ýëåìåíòîâ
èç êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà
Áîëüøèíñòâî ïðèâåäåííûõ âûøå ïðèìåðîâ íà âû÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëè, íàçûâàåìîé åùå «óðíîâîé ñõåìîé». Ðå÷ü èäåò î çàäà÷å, â êîòîðîé
èç óðíû (êîðîáêè, ìåøêà), ñîäåðæàùåé M îäèíàêîâûõ íà îùóïü øàðîâ, íå ãëÿäÿ, âûíèìàþò N øàðîâ. Â çàâèñèìîñòè îò ìåõàíèçìà ýòîãî
âûáîðà ðàçëè÷àþò íåñêîëüêî òàêèõ ñõåì, î êîòîðûõ óæå øëà ðå÷ü â íàøåé ïåðâîé ëåêöèè.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå øàðû ïðîíóìåðîâàíû ÷èñëàìè îò 1 äî M.
I. Ïîñëåäîâàòåëüíûé âûáîð ñ âîçâðàùåíèåì. Òàê íàçûâàþò ýêñïåðèìåíò, â êîòîðîì íà êàæäîì øàãå èçâëå÷åííûé øàð âîçâðàùàåòñÿ
îáðàòíî. Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè ýòîì îäèí è òîò æå øàð ìîæåò ïîÿâëÿòüñÿ â
íàøåì ýêñïåðèìåíòå íåîäíîêðàòíî.
Èñõîäàìè òàêîãî îïûòà ÿâëÿþòñÿ âñå âîçìîæíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç N ÷èñåë âèäà (a1 , a2 , ..., a N ) , ãäå ai — íîìåð øàðà, èçâëå÷åííîãî íà
i-îì øàãå. Ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ ëåãêî ïîñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî òàêèõ
èñõîäîâ: äëÿ ïåðâîãî øàðà — M âàðèàíòîâ, äëÿ âòîðîãî — ñíîâà M
âàðèàíòîâ è ò.ä., âñåãî MN èñõîäîâ. Ïðè ýòîì âñå òàêèå èñõîäû ðàâíîâîçìîæíû.
Ïðèìåð 1. Ì = 4, N = 3. Âîçìîæíûå èñõîäû:
(1, 1, 1);
(1, 1, 2); (1, 1, 3); …; (4, 4, 3); (4, 4, 4).
Ïåðå÷èñëèòü èõ âñå çàòðóäíèòåëüíî, ïîñêîëüêó èõ 43 = 64 øòóêè.
Èíòåðåñíî, ÷òî ïîäáðàñûâàíèå ìîíåòû èëè êóáèêà òîæå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê âûáîð ñ âîçâðàùåíèåì:
55
Êîìáèíàòîðèêà è âåðîÿòíîñòü
• N-êðàòíîå áðîñàíèå ìîíåòû (èëè îäíîâðåìåííîå áðîñàíèå N ìîíåò)
ðàâíîñèëüíî âûáîðó ñ âîçâðàùåíèåì N øàðîâ èç óðíû ñ äâóìÿ øàðàìè
— îäèí èç íèõ ñîîòâåòñòâóåò «îðëó», äðóãîé — «ðåøêå»;
• N-êðàòíîå áðîñàíèå êóáèêà (èëè îäíîâðåìåííîå áðîñàíèå N êóáèêîâ) ðàâíîñèëüíî âûáîðó ñ âîçâðàùåíèåì N øàðîâ èç óðíû ñ øåñòüþ
øàðàìè — ýòî øàðû ñ öèôðàìè 1, …, 6.
II. Ïîñëåäîâàòåëüíûé âûáîð áåç âîçâðàùåíèÿ. Òåïåðü âûíóòûé
øàð îáðàòíî â óðíó íå âîçâðàùàåòñÿ, è ñëåäîâàòåëüíî, ïîâòîðíî âûíóòûì áûòü íå ìîæåò.
Èñõîäàìè òàêîãî îïûòà ÿâëÿþòñÿ âñå âîçìîæíûå ðàçìåùåíèÿ èç M
÷èñåë ïî N, òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âèäà (a1 , a2 , ..., a N ) , ãäå âñå a i
ðàçëè÷íû è ÿâëÿþòñÿ ÷èñëàìè îò 1 äî M. Ìû óæå âûÿñíÿëè, ÷òî îáùåå
êîëè÷åñòâî òàêèõ èñõîäîâ áóäåò AMN =
M!
. Ïðè ýòîì âñå îíè ðàâ( M − N )!
íîâîçìîæíû.
Ïðèìåð 2. Ì = 4, N = 3. Âîçìîæíûå èñõîäû:
(1, 2, 3); (1, 3, 2); (2, 1, 3); …; (4, 2, 3); (4, 3, 2).
Èñõîäîâ ñòàëî ìåíüøå, ÷åì ïðè âûáîðå ñ âîçâðàùåíèåì, íî âñå ðàâ4!
= 24 .
1!
Ýòîé ñõåìå ñîîòâåòñòâóþò, íàïðèìåð, çàäà÷è 1, 4, 8 èç ïðåäûäóùåãî
ðàçäåëà ëåêöèè.
íî äîñòàòî÷íî ìíîãî —
III. Îäíîâðåìåííûé âûáîð. Øàðû âûíèìàþòñÿ èç óðíû îäíîâðåìåííî, ïîýòîìó ïîðÿäîê èõ ïîÿâëåíèÿ óæå íå ó÷èòûâàåòñÿ — èìååò çíà÷åíèå òîëüêî ñîñòàâ âûíóòîé êîìáèíàöèè.
Èñõîäàìè îïûòà ÿâëÿþòñÿ âñå âîçìîæíûå ñî÷åòàíèÿ èç M ÷èñåë ïî
N, òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âèäà [ a1 , a2 , ..., a N ] , ãäå âñå a i ðàçëè÷íû
è ÿâëÿþòñÿ ÷èñëàìè îò 1 äî M, à êâàäðàòíûå ñêîáêè ïîä÷åðêèâàþò, ÷òî
â êîìáèíàöèè íå ó÷èòûâàåòñÿ ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ ýëåìåíòîâ. Îáùåå êîëè÷åñòâî òàêèõ èñõîäîâ áóäåò CMN =
íîâîçìîæíû.
M!
. Ïðè ýòîì âñå îíè ðàâ( M − N )! ⋅ N !
56
Ëåêöèÿ 2
Ïðèìåð 3. Ì = 4, N = 3. Âîçìîæíûå èñõîäû:
[1, 2, 3]; [1, 2, 4]; [1, 3, 4]; [2, 3, 4].
Èñõîäîâ òåïåðü âñåãî ÷åòûðå. Ýòîé ñõåìå ñîîòâåòñòâóþò, íàïðèìåð,
çàäà÷è 2, 3, 7 èç ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà.
Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåõàíèçìà âûáîðà ïîñëåäíèå äâå ìîäåëè ÿâëÿþòñÿ
ïî ñóùåñòâó ýêâèâàëåíòíûìè. Äåëî â òîì, ÷òî ïðè îäíîâðåìåííîì âûáîðå èñïîëüçóåòñÿ âñå òîò æå ìåõàíèçì âûáîðà áåç âîçâðàùåíèÿ: âåäü
îäíîâðåìåííîñòü âûáîðà òîëüêî êàæóùàÿñÿ — âñå ðàâíî êàêîé-òî ýëåìåíò ìû âîçüìåì ïåðâûì, êàêîé-òî âòîðûì è ò.ä. Ïðîñòî â ýòîé ìîäåëè
ìû îòêàçûâàåìñÿ ó÷èòûâàòü ýòîò ïîðÿäîê ïðè îïèñàíèè èñõîäîâ. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ìû îáúåäèíÿåì êàæäûå N! ðàçìåùåíèé, îòëè÷àþùèõñÿ òîëüêî ïîðÿäêîì ñëåäîâàíèÿ ýëåìåíòîâ, â îäíî ñî÷åòàíèå. Îáùåå êîëè÷åñòâî èñõîäîâ ñîêðàùàåòñÿ ïðè ýòîì â N! ðàç (â ïðèâåäåííîì ïðèìåðå —
ñ 24 äî 4, òî åñòü â 3!). Âàæíî, ÷òî òàêèå «óêðóïíåííûå» èñõîäû âñå
ðàâíî îñòàþòñÿ ðàâíîâîçìîæíûìè.
Ïðè ýòîì åñòü çàäà÷è, â êîòîðûõ èç óñëîâèÿ âîîáùå íå ïîíÿòíî, êàêóþ èç äâóõ ïîñëåäíèõ ìîäåëåé âûáðàòü. Âîçüìåì, ê ïðèìåðó, èçâåñòíóþ ëîòåðåþ «Ñïîðòëîòî». Íàïîìíèì, ÷òî ó÷àñòíèêè ëîòåðåè äîëæíû
çà÷åðêíóòü â ñâîåé êàðòî÷êå 5 íîìåðîâ èç 36, êîòîðûå ïî èõ ìíåíèþ
âûèãðàþò â î÷åðåäíîì òèðàæå. Ïðè ýòîì òèðàæ ïðîâîäèòñÿ òàê: â áàðàáàí çàêëàäûâàåòñÿ 36 øàðîâ; îíè ïåðåìåøèâàþòñÿ è íà÷èíàþò âûêàòûâàòüñÿ äðóã çà äðóãîì ñ íåáîëüøèì èíòåðâàëîì âðåìåíè (÷òîáû ñîáëþñòè èíòðèãó è äàòü âðåìÿ íà ðåêëàìó). Êàê òîëüêî âûêàòèòñÿ 5 øàðîâ,
òèðàæ çàêàí÷èâàåòñÿ. Äëÿ òåõ êòî íå íàáëþäàë åãî ïî òåëåâèçîðó, ðåçóëüòàòû ïå÷àòàþòñÿ íà ñëåäóþùèé äåíü â ãàçåòå. Èíòåðåñíî, ÷òî ïðè
ýòîì óæå íå óêàçûâàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, â êîòîðîé âûêàòûâàëèñü
øàðû, à ëèøü ñîñòàâ âûèãðûøíîé êîìáèíàöèè.
Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî åñëè ìû íàáëþäàåì çà òèðàæîì ïî òåëåâèçîðó, òî
äîëæíû âûáðàòü ìîäåëü «Ïîñëåäîâàòåëüíûé âûáîð áåç âîçâðàùåíèÿ»,
à åñëè ÷èòàåì î åãî ðåçóëüòàòàõ â ãàçåòå, òî «Îäíîâðåìåííûé âûáîð».
Î÷åâèäíî, ÷òî íàøè øàíñû ïîëó÷èòü âûèãðûø îò ýòîãî íèêàê çàâèñåòü
íå áóäóò. Óáåäèìñÿ â ýòîì, ïîñ÷èòàâ âåðîÿòíîñòü óãàäàòü âñå 5 íîìåðîâ.
Ìîäåëü 1. Âîçìîæíûå èñõîäû — ðàçìåùåíèÿ èç 36 ïî 5. Âñåãî
36!
= 45 239 040 . Áëàãîïðèÿòíûì áóäåò êàæ31!
äûé èñõîä, ïðè êîòîðîì çà÷åðêíóòûå â íàøåé êàðòî÷êå 5 íîìåðîâ «âû5
òàêèõ èñõîäîâ áóäåò A36
=
57
Êîìáèíàòîðèêà è âåðîÿòíîñòü
êàòûâàþòñÿ» èç áàðàáàíà â ëþáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Òàêèõ èñõîäîâ
5!, ïîýòîìó èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü:
P( A5 ) =
5! 5!31!
=
≈ 0,00000265 .
5
36!
A36
Ìîäåëü 2. Âîçìîæíûå èñõîäû — ñî÷åòàíèÿ èç 36 ïî 5. Âñåãî òàêèõ
5
èñõîäîâ áóäåò C36
=
36!
= 376 992 . Áëàãîïðèÿòíûì òåïåðü áóäåò âñåãî
31! ⋅ 5!
îäèí (!) èñõîä. Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü — òà æå ñàìàÿ:
P( A5 ) =
1
31!5!
=
≈ 0,00000265 .
5
36!
C36
Òàêèì îáðàçîì, îáå ìîäåëè îäèíàêîâî óñïåøíî ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ
â ðåøåíèè îäíèõ è òåõ æå çàäà÷. Âàæíî òîëüêî íå ïóòàòü èõ â ïðîöåññå
ðåøåíèÿ: íàïðèìåð, íåëüçÿ ïåðå÷èñëÿòü âñå âîçìîæíûå èñõîäû, ñëåäóÿ
ìîäåëè 1, êàê ðàçìåùåíèÿ, à áëàãîïðèÿòíûå èñõîäû, ñëåäóÿ ìîäåëè 2,
êàê ñî÷åòàíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ðàññ÷èòûâàòü íà ïðàâèëüíûé îòâåò óæå íå
ïðèõîäèòñÿ.
Âîïðîñû è çàäà÷è
Ê ðàçäåëó 1
1. Â íîìåðå àâòîìîáèëÿ çàïèñûâàþòñÿ ïîäðÿä áóêâà, òðè öèôðû è
åùå äâå áóêâû. Ñêîëüêî òàêèõ íîìåðîâ ìîæíî ñîñòàâèòü, åñëè èñïîëüçîâàòü òîëüêî áóêâû À, Â, Å, Ê, Ì, Í, Î, Ð, Ñ, Ò, Ó, Õ (ýòè áóêâû èñïîëüçóþòñÿ â ðåàëüíûõ íîìåðàõ ðîññèéñêèõ àâòîìîáèëåé, ïîñêîëüêó ñîâïàäàþò ïî íà÷åðòàíèþ ñ áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà)?
2. Êàêîé íîìåð àâòîìîáèëÿ èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è áóäåò ïåðâûì, åñëè
âûïèñûâàòü âñå íîìåðà â ëåêñèêîãðàôè÷åñêîì ïîðÿäêå? Êàêîé íîìåð
áóäåò ïîñëåäíèì? Êàêîé íîìåð ñëåäóåò çà íîìåðîì «Ó 899 ÕÕ»? Êàêîé
íîìåð åìó ïðåäøåñòâóåò?
3.  àâòîìîáèëå 5 ìåñò. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ïÿòü ÷åëîâåê ìîãóò çàíÿòü ìåñòà äëÿ ïóòåøåñòâèÿ, åñëè âîäèòü ìàøèíó ìîãóò òîëüêî òðîå èç íèõ.
4. Ïîñëå õîêêåéíîãî ìàò÷à êàæäûé èãðîê îäíîé êîìàíäû ïîæàë ðóêó
êàæäîìó èãðîêó äðóãîé. Ñêîëüêî âñåãî èãðîêîâ ïðèñóòñòâîâàëî íà ïëîùàäêå, åñëè áûëî ñîâåðøåíî 323 ðóêîïîæàòèÿ?
58
Ëåêöèÿ 2
5. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáðàòü íà øàõìàòíîé äîñêå äâå
ðàçëè÷íûå êëåòêè òàê, ÷òîáû èç îäíîé â äðóãóþ ìîæíî áûëî ïîïàñòü
õîäîì à) ëàäüè; á) ñëîíà?
Ê ðàçäåëó 2
6. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè 5 ÷åëîâåê ìîãóò âñòàòü â î÷åðåäü ê áèëåòíîé êàññå? Êàê íàçûâàåòñÿ êàæäàÿ òàêàÿ êîìáèíàöèÿ â êîìáèíàòîðèêå?
7.  ÷åìïèîíàòå Ðîññèè ïî ôóòáîëó ó÷àñòâóåò 16 êîìàíä. Ñêîëüêèìè
ñïîñîáàìè ìîãóò ðàñïðåäåëèòüñÿ 3 ïðèçîâûõ ìåñòà? Êàê íàçûâàåòñÿ
êàæäàÿ òàêàÿ êîìáèíàöèÿ â êîìáèíàòîðèêå?
8. Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó ïåðåñòàíîâêó ìîæíî ñ÷èòàòü ÷àñòíûì ñëó÷àåì
ðàçìåùåíèÿ.
9. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî íóëåé, íà êîòîðûå çàêàí÷èâàåòñÿ ÷èñëî 100!
10. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñåë ìîæíî ñîñòàâèòü èç
÷åòûðåõ êàðòî÷åê, íà êîòîðûõ íàïèñàíû öèôðû:
à) 1, 2, 3, 4;
á) 1, 2, 3, 3;
â) 1, 1, 2, 2.
Ê ðàçäåëó 3
11. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî âûáðàòü äâóõ äåæóðíûõ èç êëàññà,
â êîòîðîì 25 ó÷åíèêîâ? Êàê íàçûâàåòñÿ êàæäàÿ òàêàÿ êîìáèíàöèÿ â êîìáèíàòîðèêå?
12. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè â êàðòî÷êå ëîòåðåè «Ñïîðòëîòî» ìîæíî
çà÷åðêíóòü 5 íîìåðîâ èç 36? Êàê íàçûâàåòñÿ êàæäàÿ òàêàÿ êîìáèíàöèÿ
â êîìáèíàòîðèêå?
13. Îáúÿñíèòå, ÷åì îòëè÷àþòñÿ ñî÷åòàíèÿ îò ðàçìåùåíèé. ×åãî è âî
ñêîëüêî ðàç áîëüøå?
14. Çàìîê íà ïîäúåçäå èìååò 10 êíîïîê è îòêðûâàåòñÿ îäíîâðåìåííûì íàæàòèåì íà îïðåäåëåííûå 3 êíîïêè. Çà ñêîëüêî ìèíóò (â õóäøåì
ñëó÷àå) ìîæíî îòêðûòü òàêîé çàìîê, åñëè ïåðåáèðàòü âñå âîçìîæíûå
êîìáèíàöèè ñî ñêîðîñòüþ 1 êîìáèíàöèÿ â ñåêóíäó?
15. Ãðóïïó èç 20 òóðèñòîâ íóæíî ðàñïðåäåëèòü ïî 3 ìàðøðóòàì òàê,
÷òîáû ïî ïåðâîìó ìàðøðóòó øëè 8 ÷åëîâåê, ïî âòîðîìó — 7, ïî òðåòüåìó — 5. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ýòî ìîæíî ñäåëàòü?
Ê ðàçäåëó 4
16. Èç Íàòàøèíîãî êëàññà, â êîòîðîì 25 ó÷åíèêîâ, ïî æðåáèþ âûáèðàþò äâóõ äåæóðíûõ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî Íàòàøà áóäåò äåæóðèòü?
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî äåæóðèòü áóäåò Íàòàøà è åå ïîäðóãà Ñâåòà?
17. Îäíîâðåìåííî áðîñàþò 3 êóáèêà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî:
à) íà âñåõ êóáèêàõ âûïàäóò îäèíàêîâûå ÷èñëà; á) âñå ÷èñëà íà êóáèêàõ
ðàçíûå; â) âûïàëî ðîâíî äâà îäèíàêîâûõ ÷èñëà?
Êîìáèíàòîðèêà è âåðîÿòíîñòü
59
18. Êîëîäó èç 36 êàðò ðàçäàþò íà äâîèõ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî
òóçîâ ó íèõ îêàæåòñÿ ïîðîâíó?
19. Ãðóïïó èç 20 øêîëüíèêîâ ðàñïðåäåëÿþò ïî æðåáèþ ïî òðåì àâòîìîáèëÿì äëÿ ïîåçäêè â ñîñåäíèé ãîðîä. Â ïåðâûé àâòîìîáèëü âëåçàåò
8 ÷åëîâåê, âî âòîðîé — 7, â òðåòèé — 5. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ äâà
äðóãà — Âàäèì è Ñåâà — ïîïàäóò â îäíó ìàøèíó?
20. Ìîíåòó áðîñàþò 100 ðàç ïîäðÿä. Íàéäèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
êîëè÷åñòâî «îðëîâ» íå÷åòíî. Èçìåíèòñÿ ëè îòâåò, åñëè ìîíåòó áðîñàþò
101 ðàç?
Ê ðàçäåëó 5
21. Çàìåíèòå êàæäûé èç ñëåäóþùèõ ýêñïåðèìåíòîâ ñëó÷àéíûì âûáîðîì øàðîâ è îïðåäåëèòå, ê êàêîé ñõåìå âûáîðà îí îòíîñèòñÿ: à) 10 ðàç
ïîäðÿä áðîñàþò ìîíåòó; á) îäíîâðåìåííî ïîäáðàñûâàþò 5 êóáèêîâ; â)
êîëîäó èç 36 êàðò ðàçäàþò íà äâîèõ.
22. Â óðíå 10 øàðîâ. Âåðîÿòíîñòü âûòàùèòü èç íåå 2 áåëûõ øàðà
2
. Ñêîëüêî â óðíå áåëûõ øàðîâ?
15
23. Èç êîðîáêè ñ 3 áåëûìè è 3 ÷åðíûìè øàðàìè âûíèìàþò, íå ãëÿäÿ,
2 øàðà. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíè îáà áåëûå? Íàéäèòå îòâåò äëÿ
êàæäîé èç òðåõ ñõåì âûáîðà: à) ñ âîçâðàùåíèåì; á) áåç âîçâðàùåíèÿ;
â) îäíîâðåìåííûé.
24. Òðè äðóãà äåëÿò ïîðîâíó 30 êîíôåò, 3 èç êîòîðûõ ñ ñþðïðèçîì.
Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ êàæäîìó èç òðîèõ äðóçåé äîñòàíåòñÿ ïî ñþðïðèçó?
ðàâíà
Ìåòîäè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ
Îñíîâíàÿ øêîëà. Ïðèìåðû ðåøåíèÿ êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷: ïåðåáîð
âàðèàíòîâ, ïðàâèëî óìíîæåíèÿ. Ðàâíîâîçìîæíûå ñîáûòèÿ è ïîäñ÷åò èõ
âåðîÿòíîñòè.
Ñòàðøàÿ øêîëà. Ïîî÷åðåäíûé è îäíîâðåìåííûé âûáîð íåñêîëüêèõ
ýëåìåíòîâ èç êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà. Ôîðìóëû ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê, ñî÷åòàíèé, ðàçìåùåíèé. Ðåøåíèå êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷. Ðåøåíèå ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ ñ ïðèìåíåíèåì âåðîÿòíîñòíûõ ìåòîäîâ.
Ê ðàçäåëó 1
Óæå ïðèçíàíî, ÷òî ãëàâíàÿ ïðè÷èíà íåóäà÷ êîìáèíàòîðèêè â øêîëå —
ñòðåìëåíèå ñ ïåðâûõ øàãîâ ñäåëàòü àêöåíò íå íà ñîñòàâëåíèè, à íà ïîäñ÷åòå êîìáèíàöèé. Ïåðå÷èñëèòåëüíûå çàäà÷è, áåçóñëîâíî, äîëæíû ïðåäøåñòâîâàòü çàäà÷àì ïîäñ÷åòà èëè èäòè ïàðàëëåëüíî ñ íèìè. Èìåííî òàêîé
60
Ëåêöèÿ 2
ïîäõîä ïðèíÿò â [1], ãäå èçó÷åíèå êîìáèíàòîðèêè íà÷èíàåòñÿ ñ ïåðå÷èñëåíèÿ êîìáèíàöèé ðàçëè÷íîãî âèäà. Äëÿ ýòèõ öåëåé èñïîëüçóþòñÿ äåðåâüÿ,
îáñóæäàåòñÿ ëîãèêà ïåðåáîðà, ðàññìàòðèâàþòñÿ ðàçëè÷íûå âèäû êîìáèíàöèé (áåç ñïåöèàëüíûõ òåðìèíîâ è ôîðìóë äëÿ èõ ïîäñ÷åòà).
Ïåðåáîðîì ïðîñòåéøèõ êîìáèíàöèé ìû óæå çàíèìàëèñü â ïðåäûäóùåé ëåêöèè, êîãäà âûïèñûâàëè âñå âîçìîæíûå èñõîäû îïûòîâ, â êîòîðûõ ó÷àñòâîâàëî íåñêîëüêî îáúåêòîâ (øàðîâ, êóáèêîâ, ìîíåò, ïåð÷àòîê
è ò.ä.). Çäåñü ìû âîçâðàùàåìñÿ ê ýòîìó âîïðîñó ñíîâà. ×òîáû ïåðå÷èñëåíèå íå áûëî ñòèõèéíûì (à â ýòîì ñëó÷àå ìû ðèñêóåì óïóñòèòü êàêèåòî êîìáèíàöèè), ïðåäëàãàåòñÿ ââåñòè íà êîìáèíàöèÿõ îòíîøåíèå ïîðÿäêà. Íàèáîëåå åñòåñòâåííûì çäåñü ÿâëÿåòñÿ ëåêñèêîãðàôè÷åñêèé ïîðÿäîê, õîðîøî çíàêîìûé øêîëüíèêàì ïî ðàáîòå ñ îáû÷íûì ñëîâàðåì.
 êà÷åñòâå ðàáî÷åãî èíñòðóìåíòà, àíàëîãè÷íîãî ðàññìîòðåííîé ðàíåå ñõåìå ðåøåíèÿ çàäà÷ íà êëàññè÷åñêóþ âåðîÿòíîñòü, ìîæåì ïðåäëîæèòü ñëåäóþùóþ îáùóþ ñõåìó ðåøåíèÿ ïåðåáîðíûõ çàäà÷:
1. Ïðèäóìàòü îáîçíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ, ó÷àñòâóþùèõ â êîìáèíàöèÿõ
(åñëè ýòî íå ÷èñëà èëè áóêâû).
2. Âûïèñàòü ïåðâóþ êîìáèíàöèþ è íåñêîëüêî ñëåäóþùèõ çà íåé.
3. Âûïèñàòü ïîñëåäíþþ êîìáèíàöèþ è íåñêîëüêî ïðåäøåñòâóþùèõ åé.
4. Âûïèñàòü ïðîèçâîëüíóþ êîìáèíàöèþ. Íàéòè íåïîñðåäñòâåííî åé
ïðåäøåñòâóþùóþ è ñëåäóþùóþ çà íåé.
5. Ñôîðìóëèðîâàòü ïðàâèëî, ïî êîòîðîìó èùåòñÿ ñëåäóþùàÿ êîìáèíàöèÿ â îáùåì ñëó÷àå.
Òðåòèé øàã â ýòîé ñõåìå èíòåðåñíî îðãàíèçîâàòü â ôîðìå êîëëåêòèâíîãî ñîðåâíîâàíèÿ: êòî áûñòðåå íàéäåò ñëåäóþùóþ êîìáèíàöèþ. Îòâåòû, êîòîðûå ïðåäëàãàþò ó÷åíèêè, ëèáî ñðàçó îòáðàñûâàþòñÿ (êîìáèíàöèÿ îêàçûâàåòñÿ ìåíüøå çàäàííîé), ëèáî îñòàþòñÿ â êà÷åñòâå ïðåòåíäåíòà íà îòâåò (êòî íàéäåò êîìáèíàöèþ ìåæäó çàäàííîé è ïðåäëîæåííîé?) — ïîêà íå áóäåò íàéäåí ïðàâèëüíûé îòâåò. ×åòâåðòûé øàã íàèáîëåå ñëîæíûé è òðåáóåò îò ó÷àùèõñÿ äîñòàòî÷íî âûñîêîé ìàòåìàòè÷åñêîé è àëãîðèòìè÷åñêîé êóëüòóðû.
Êàê óæå óïîìèíàëîñü âûøå, ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ïåðå÷èñëåíèÿ
êîìáèíàöèé äåðåâüÿ, õîòÿ, îòêðîâåííî ãîâîðÿ, íàøà ïðàêòèêà çàíÿòèé ñî
øêîëüíèêàìè íå ïîêàçàëà èõ îñîáîé ïðîäóêòèâíîñòè. Äåëî â òîì, ÷òî
ïðè ìàëîì ÷èñëå ýëåìåíòîâ ëåãêî ïåðå÷èñëèòü âñå êîìáèíàöèè è áåç
äåðåâüåâ, à ïðè áîëüøîì — äåðåâî ñëèøêîì áûñòðî âåòâèòñÿ è ñòàíîâèòñÿ íåîáîçðèìûì.
Êîìáèíàòîðèêà è âåðîÿòíîñòü
61
 äàííîì ðàçäåëå ââîäÿòñÿ ãëàâíûå ïðàâèëà äëÿ ïîäñ÷åòà êîìáèíàöèé: ïðàâèëî óìíîæåíèÿ è ïðàâèëî ñëîæåíèÿ. Ñîáñòâåííî, ïðàâèëîì
êàê òàêîâûì ìîæíî ñ÷èòàòü òîëüêî ïðàâèëî óìíîæåíèÿ. Ïðàâèëî ñëîæåíèÿ — ýòî ñêîðåå îäèí èç ìåòîäîâ ðåøåíèÿ êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷.
Åñëè äëÿ ïîäñ÷åòà êîìáèíàöèé íå èäåò ïðàâèëî óìíîæåíèÿ (íå ïîíÿòíî,
íà ÷òî óìíîæàòü íà ñëåäóþùåì øàãå) — ïîïûòàéòåñü èñïîëüçîâàòü ïðàâèëî ñëîæåíèÿ: ïîäåëèòü êîìáèíàöèè íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ êëàññû,
ïîñ÷èòàòü ÷èñëî êîìáèíàöèé âíóòðè êàæäîãî êëàññà, à ïîòîì ñëîæèòü
ýòè ÷èñëà.
Óìåíèå ïåðåáèðàòü êîìáèíàöèè è íàõîäèòü èõ ÷èñëî ñ ïîìîùüþ
ïðàâèë óìíîæåíèÿ è ñëîæåíèÿ — îñíîâà êîìáèíàòîðíîé êóëüòóðû
øêîëüíèêà è çàëîã óñïåøíîãî ðåøåíèÿ áîëüøèíñòâà êîìáèíàòîðíûõ
çàäà÷. Ýòè óìåíèÿ äîëæíû áûòü ñôîðìèðîâàíû â îñíîâíîé øêîëå. Ñòàðøàÿ øêîëà ïðåäóñìàòðèâàåò çíàêîìñòâî ó÷åíèêà ñ îñíîâíûìè òèïàìè
êîìáèíàöèé, î êîòîðûõ è èäåò ðå÷ü â ñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ ëåêöèè.
Ê ðàçäåëó 2
Ñ ïåðåñòàíîâîê, êàê ïðàâèëî, íà÷èíàåòñÿ çíàêîìñòâî ñ îñíîâíûìè
òèïàìè êîìáèíàöèé. Ïîäñ÷åò ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê íå âûçûâàåò çàòðóäíåíèé ó øêîëüíèêîâ è ÿâëÿåòñÿ ïðåêðàñíîé èëëþñòðàöèåé ïðàâèëà óìíîæåíèÿ.
Ãîðàçäî ñëîæíåå îêàçûâàåòñÿ çàäà÷à ïåðåáîðà âñåõ ïåðåñòàíîâîê.
 ëåêöèè ïðèâåäåí ïðèìåð, â êîòîðîì ïðåäëàãàåòñÿ âûïèñàòü äëÿ äàííîé
ïåðåñòàíîâêè íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþùóþ çà íåé. Çàìå÷àòåëüíî, åñëè
ó÷àùèåñÿ ñìîãóò ñàìîñòîÿòåëüíî ñôîðìóëèðîâàòü îáùåå ïðàâèëî ïåðåáîðà ïåðåñòàíîâîê. Íó, à åñëè â êëàññå åñòü ó÷åíèêè, óâëåêàþùèåñÿ
ïðîãðàììèðîâàíèåì, òî èì ìîæíî ïðåäëîæèòü ñîñòàâëåíèå ïðîãðàììû
ïåðåáîðà ïåðåñòàíîâîê.
Ðàçìåùåíèÿ îáîáùàþò ïîíÿòèå ïåðåñòàíîâêè. Äëÿ ðåøåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ çàäà÷ îíè èãðàþò åùå áîëüøóþ ðîëü, ÷åì ïåðåñòàíîâêè,
ïîñêîëüêó èìåííî íà íèõ ñòðîèòñÿ ñõåìà âûáîðà áåç âîçâðàùåíèÿ: èç
M îáúåêòîâ äðóã çà äðóãîì âûíèìàþò áåç âîçâðàùåíèÿ N îáúåêòîâ.
Êàæäûé èñõîä òàêîãî îïûòà — ýòî è åñòü ðàçìåùåíèå èç M ïî N. Êàê
è äëÿ ïåðåñòàíîâîê, ÷èñëî ðàçìåùåíèé ëåãêî íàõîäèòñÿ ïî ïðàâèëó
óìíîæåíèÿ.
Ïðè ïîäñ÷åòå ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê è ðàçìåùåíèé øêîëüíèêè âïåðâûå
ñòàëêèâàþòñÿ ñ ôàêòîðèàëîì. Ñàìîå âðåìÿ óäåëèòü åìó çäåñü íåìíîãî
âíèìàíèÿ, ïîãîâîðèòü î åãî çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâàõ. Îáÿçàòåëüíî íóæíî
62
Ëåêöèÿ 2
ïîêàçàòü ó÷àùèìñÿ, êàê áûñòðî ðàñòóò çíà÷åíèÿ N!, âû÷èñëèâ íåñêîëüêî
ïåðâûõ çíà÷åíèé è îöåíèâ èõ âåëè÷èíó ïðè áîëüøèõ N. Õîðîøàÿ çàäà÷à
äëÿ ïðîãðàììèñòî⠗ íàïèñàòü ïðîãðàììó, êîòîðàÿ âûïèñûâàåò âñå
öèôðû ÷èñëà 100! (äëÿ ìàòåìàòèêî⠗ íàéòè êîëè÷åñòâî íóëåé â êîíöå
ýòîãî ÷èñëà).
Ê ðàçäåëó 3
 ýòîì ðàçäåëå ìû ïðåäëàãàåì íàðÿäó ñ òðàäèöèîííûìè ïðàâèëàìè
óìíîæåíèÿ è ñëîæåíèÿ ââåñòè â ðàññìîòðåíèå íåçàñëóæåííî «îáèæåííûå» äâà äðóãèõ êîìáèíàòîðíûõ ïðàâèëà — âû÷èòàíèÿ è äåëåíèÿ. Êàê è
ïðàâèëî ñëîæåíèÿ, ýòî ñêîðåå îáùèå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷: ïðàâèëî
âû÷èòàíèÿ ñëåäóåò ïðèìåíÿòü, êîãäà ëåã÷å ïîñ÷èòàòü êîìáèíàöèè, êîòîðûå ÍÅ îáëàäàþò çàäàííûì ñâîéñòâîì, à ïðàâèëî äåëåíèÿ — êîãäà ïðè
óìíîæåíèè îäíà è òà æå êîìáèíàöèÿ ñ÷èòàåòñÿ ìíîãîêðàòíî (íî ïðè ýòîì
êàæäàÿ êîìáèíàöèÿ — îäíî è òî æå ÷èñëî ðàç).
Äàëåå â ðàçäåëå ââîäÿòñÿ ñî÷åòàíèÿ — ïîæàëóé, ñàìûé âàæíûé äëÿ
âåðîÿòíîñòíûõ çàäà÷ òèï êîìáèíàöèé. Åñëè áåç ôîðìóë äëÿ ÷èñëà ïåðåñòàíîâîê è ðàçìåùåíèé, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæíî îáîéòèñü — äîñòàòî÷íî
çíàòü ïðàâèëî óìíîæåíèÿ, — òî áåç ôîðìóëû äëÿ ÷èñëà ñî÷åòàíèé ðåøèòü ìíîãèå âåðîÿòíîñòíûå çàäà÷è áóäåò âåñüìà çàòðóäíèòåëüíî. Íà ñî÷åòàíèÿõ ñòðîèòñÿ ñõåìà ñ îäíîâðåìåííûì âûáîðîì ïðåäìåòîâ: èç M
îáúåêòîâ îäíîâðåìåííî âûíèìàþò íàóãàä N îáúåêòîâ. Êàæäûé èñõîä
òàêîãî îïûòà — ñî÷åòàíèå èç M ïî N.
Ïðè ïåðåáîðå ñî÷åòàíèé íóæíî ó÷èòûâàòü, ÷òî ñî÷åòàíèÿ îòëè÷àþòñÿ
äðóã îò äðóãà òîëüêî ñîñòàâîì ïðåäìåòî⠗ çíà÷èò, ïîðÿäîê ýëåìåíòîâ
âíóòðè ñî÷åòàíèÿ íå âàæåí. Äëÿ ýòîãî ïðè âûïèñûâàíèè ñî÷åòàíèÿ ñëåäóåò âñåãäà ðàñïîëàãàòü âñå åãî ýëåìåíòû ïî âîçðàñòàíèþ.
Ê ðàçäåëó 4
Ìàòåðèàë ýòîãî ðàçäåëà ñëóæèò ñâîåîáðàçíûì «îïðàâäàíèåì» òåõ
òðóäíîñòåé, êîòîðûå ïðèõîäèòñÿ ïðåîäîëåâàòü ïðè èçó÷åíèè êîìáèíàòîðèêè. Èìåííî çäåñü ñîäåðæèòñÿ íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî èíòåðåñíûõ âåðîÿòíîñòíûõ çàäà÷ ñ íåòðèâèàëüíûì ðåøåíèåì è èíòåðåñíûì ïðàêòè÷åñêèì ñîäåðæàíèåì.
Íà ìàòåðèàëå ýòîãî ðàçäåëà øêîëüíèêè äîëæíû ïî÷óâñòâîâàòü, íàñêîëüêî ìîùíûé èíñòðóìåíò äëÿ âû÷èñëåíèÿ âåðîÿòíîñòè îíè ïîëó÷èëè
â âèäå òîëüêî ÷òî èçó÷åííûõ êîìáèíàòîðíûõ ïðàâèë è ôîðìóë.
 ïðèâåäåííûõ ïðèìåðàõ ðàçáèðàþòñÿ ñëó÷àéíûå îïûòû, èñõîäû êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàññìîòðåííûå ïåðåä ýòèì òèïû êîìáèíàöèé:
Êîìáèíàòîðèêà è âåðîÿòíîñòü
63
ïåðåñòàíîâêè, ðàçìåùåíèÿ, ñî÷åòàíèÿ. Êëþ÷åâûì øàãîì â ðåøåíèè òàêèõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ, êàê ïðàâèëî, îïðåäåëåíèå òèïà êîìáèíàöèè, ïîñëå
÷åãî ïîäñ÷åò âåðîÿòíîñòè ñòàíîâèòñÿ äåëîì òåõíèêè.
Ê ðàçäåëó 5
 ýòîì ðàçäåëå îáîáùàþòñÿ òå ìîäåëè ñëó÷àéíûõ îïûòîâ, êîòîðûå
ðàçáèðàëèñü â ýòîé è ïðåäûäóùåé ëåêöèÿõ. Âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî áîëüøèíñòâî èç íèõ ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê îäíîé èç òðåõ êëàññè÷åñêèõ ìîäåëåé
ñ âûáîðîì ýëåìåíòîâ èç êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà. Ïîíèìàíèå ýòîãî òðåáóåò
îò øêîëüíèêà äîâîëüíî âûñîêîãî óðîâíÿ àáñòðàêòíîãî ìûøëåíèÿ. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî çäåñü çàêëàäûâàåòñÿ (èëè ðàçâèâàåòñÿ) îäíà èç âàæíåéøèõ ñòîðîí ìàòåìàòè÷åñêîé êóëüòóðû: óìåíèå âèäåòü îäèíàêîâîå â ðàçíîì è ðàçíîå â îäèíàêîâîì.
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé, êàê íèêàêàÿ äðóãàÿ îáëàñòü ìàòåìàòèêè, äàåò
äëÿ ýòîãî áîãàòåéøèé ìàòåðèàë. Êðîìå òîãî, îíà ïðåäîñòàâëÿåò ðåàëüíóþ âîçìîæíîñòü ïðîâåðèòü àäåêâàòíîñòü âûáðàííûõ ìîäåëåé íà ïðàêòèêå: äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè ñåðèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýêñïåðèìåíòîâ è ñâåðèòü íàéäåííóþ âåðîÿòíîñòü ñ ÷àñòîòîé. Çäåñü íåîöåíèìóþ
ïîìîùü ìîæåò îêàçàòü êîìïüþòåð, ñíàáæåííûé ñîîòâåòñòâóþùèì ïðîãðàììíûì îáåñïå÷åíèåì (ñì., íàïðèìåð, [5]).
64
Ëåêöèÿ 3
Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòåé
 ýòîé ëåêöèè ìû óçíàåì, ÷òî ñ ñîáûòèÿìè ìîæíî ðàáîòàòü êàê
ñ ìíîæåñòâàìè: îáúåäèíÿòü, ïåðåñåêàòü, íàõîäèòü äîïîëíåíèå. À ãëàâíîå, ìû âûÿñíèì, ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè ýòîì ñ èõ âåðîÿòíîñòÿìè.
1. Ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèå è åãî âåðîÿòíîñòü.
Äèàãðàììû Ýéëåðà
 íàøèõ ïåðâûõ ëåêöèÿõ ìû íåîäíîêðàòíî îáðàùàëèñü ê ïîíÿòèþ
ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ. Ñíà÷àëà ìû íàçâàëè ñëó÷àéíûì ëþáîå ñîáûòèå,
êîòîðîå ìîæåò ïðîèçîéòè èëè íå ïðîèçîéòè â ðåçóëüòàòå ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà. Çàòåì ìû âûÿñíèëè, ÷òî ñîáûòèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî èñõîäîâ äàííîãî ýêñïåðèìåíòà, — à èìåííî
òåõ èñõîäîâ, ïðè êîòîðûõ ýòî ñîáûòèå íàñòóïàåò.
Îáîçíà÷àÿ ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ èñõîäîâ ýêñïåðèìåíòà ÷åðåç
Ω, ìû ðàññìàòðèâàëè êàæäûé ýëåìåíòàðíûé èñõîä êàê ýëåìåíò ýòîãî
ìíîæåñòâà:
ω∈Ω ,
à êàæäîå ñëó÷àéíîå ñîáûòèå — êàê åãî ïîäìíîæåñòâî:
A⊆Ω .
 ñîîòâåòñòâèè ñ òàêèì âçãëÿäîì íà ñîáûòèÿ åñòåñòâåííî ïåðåíåñòè
íà íèõ òå îïåðàöèè, êîòîðûå õîðîøî èçâåñòíû â òåîðèè ìíîæåñòâ: îáúåäèíåíèå, ïåðåñå÷åíèå, äîïîëíåíèå. Êàæäàÿ èç íèõ äîïóñêàåò åñòåñòâåííóþ èíòåðïðåòàöèþ â òåðìèíàõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé.
Íà÷íåì ñ äîïîëíåíèÿ. Íàïîìíèì åùå ðàç, ÷òî âñå ìíîæåñòâà,
î êîòîðûõ áóäåò èäòè ðå÷ü, ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè íåêîòîðîãî
îáúåìëþùåãî ìíîæåñòâà Ω, ñîäåðæàùåãî âñå âîçìîæíûå èñõîäû
ýêñïåðèìåíòà.
Îïðåäåëåíèå 1 (äëÿ ìíîæåñòâ). Ìíîæåñòâî A íàçûâàåòñÿ äîïîëíåíèåì ê ìíîæåñòâó A, åñëè îíî ñîñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ
Ω, êîòîðûå íå âõîäÿò â A. Êàê âû óæå ïîíÿëè, ÷åðòà íàä ìíîæåñòâîì êàê
ðàç è îáîçíà÷àåò îïåðàöèþ äîïîëíåíèÿ.
65
Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòåé
Îïðåäåëåíèå 1 (äëÿ ñîáûòèé). Ñîáûòèå A íàçûâàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì ê ñîáûòèþ A, åñëè îíî ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
íå ïðîèñõîäèò A. Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèå ñîñòîèò
èç òåõ ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ìíîæåñòâà Ω, ïðè êîòîðûõ ñîáûòèå A íå
ïðîèñõîäèò.
Ïîñëåäíåå çàìå÷àíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ìû èìååì ïî ñóùåñòâó äâà
îäèíàêîâûõ îïðåäåëåíèÿ, âûðàæåííûõ ðàçíûì ÿçûêîì. Ïîýòîìó ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèå ÷àñòî òàêæå íàçûâàþò äîïîëíåíèåì.
Èíòåðåñíî, ÷òî ñâîéñòâî «äîïîëíÿòü» èëè «áûòü ïðîòèâîïîëîæíûì»
äëÿ äâóõ ñîáûòèé ÿâëÿåòñÿ âçàèìíûì: åñëè B ïðîòèâîïîëîæíî A, òî è A
ïðîòèâîïîëîæíî B:
B=A,
A= B .
Ýòîò ôàêò ìîæíî çàïèñàòü åùå è òàêèì íåîáû÷íûì îáðàçîì:
A= A.
Ïðèâåäåì ïðèìåðû ïðîòèâîïîëîæíûõ ñîáûòèé.
Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, ñâÿçàííûå
ñ ïîäáðàñûâàíèåì êóáèêà:
A = {âûïàäåò ÷åòíîå ÷èñëî î÷êîâ},
B = {âûïàäåò øåñòåðêà},
C = {âûïàäåò ÷èñëî ìåíüøå òðåõ}.
Êàæäîå èç íèõ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ìíîæåñòâà áëàãîïðèÿòíûõ
èñõîäîâ:
A = {2, 4, 6},
B = {6},
C = {1, 2}.
Ïðîòèâîïîëîæíûìè ñîáûòèÿìè áóäóò:
A = {âûïàäåò íå÷åòíîå ÷èñëî î÷êîâ},
B = {âûïàäåò íå øåñòåðêà},
C = {âûïàäåò ÷èñëî áîëüøå èëè ðàâíîå òðåõ},
à äîïîëíèòåëüíûìè ìíîæåñòâàìè —
A = {1, 3, 5},
B = {1, 2, 3, 4, 5},
C = {3, 4, 5, 6}.
66
Ëåêöèÿ 3
Îòìåòèì, ÷òî «ñëîâåñíàÿ» ôîðìóëèðîâêà ñîáûòèÿ ìîæåò áûòü ðàçíîé, à âîò ïðåäñòàâëåíèå åãî â âèäå ïîäìíîæåñòâà èñõîäîâ âñåãäà îäíîçíà÷íî. Íàïðèìåð, ñîáûòèå C ìîæíî îïèñàòü è òàê:
C = {âûïàäåò ÷èñëî áîëüøå äâóõ},
îäíàêî åãî çàïèñü â âèäå ïîäìíîæåñòâà îò ýòîãî íå èçìåíèòñÿ.
***
Ïî÷òè î÷åâèäíûì ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå:
P ( A) = 1 − P ( A) .
 ñàìîì äåëå, êàæäûé ðàç, êîãäà ñîáûòèå Aïðîèñõîäèò, ñîáûòèå A
íå ïðîèñõîäèò è íàîáîðîò. Çíà÷èò, ïîñëå ëþáûõ N ñëó÷àéíûõ îïûòîâ
âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
NA + NA = N ,
â êîòîðîì ÷åðåç NA îáîçíà÷åíà àáñîëþòíàÿ ÷àñòîòà A, à ÷åðåç N A —
àáñîëþòíàÿ ÷àñòîòà A . Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà íà N, ïîëó÷èì, ÷òî ñóììà îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò äëÿ ñîáûòèé A è A âñåãäà ðàâíà
1. Ïîñêîëüêó ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà èñïûòàíèé ðàâåíñòâî ñîõðàíÿåòñÿ, à
÷àñòîòû ïðèáëèæàþòñÿ ê âåðîÿòíîñòÿì, òî ñóììà âåðîÿòíîñòåé äëÿ A è
A òàêæå ðàâíà 1, îòêóäà è ñëåäóåò íàøà ôîðìóëà.
 ñëó÷àå ñ ðàâíîâîçìîæíûìè èñõîäàìè ýòó ôîðìóëó ìîæíî ïîëó÷èòü è ïî-äðóãîìó. Ïóñòü íàø îïûò ìîæåò çàêîí÷èòüñÿ îäíèì èç n ðàâíîâîçìîæíûõ èñõîäîâ, m èç êîòîðûõ áëàãîïðèÿòñòâóþò íàñòóïëåíèþ
ñîáûòèÿ A. Òîãäà îñòàëüíûå n – m èñõîäîâ áëàãîïðèÿòñòâóþò íàñòóïëå-
íèþ A . Ïîýòîìó
P ( A) =
n−m
m
= 1 − = 1 − P( A) .
n
n
Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà îêàçûâàåòñÿ îñîáåííî ïîëåçíîé â çàäà÷àõ, ãäå
íàéòè âåðîÿòíîñòü ïðîòèâîïîëîæíîãî ñîáûòèÿ ïðîùå, ÷åì âåðîÿòíîñòü
çàäàííîãî ñîáûòèÿ.
67
Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòåé
Ïðèìåð 2. Ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ïðè áðîñàíèè äâóõ êóáèêîâ íà íèõ
âûïàäåò ðàçíîå ÷èñëî î÷êîâ?
Ïóñòü A = {íà êóáèêàõ âûïàëî ðàçíîå ÷èñëî î÷êîâ}. Òîãäà A = {íà
êóáèêàõ âûïàëî îäèíàêîâîå ÷èñëî î÷êîâ}, èëè A = {(1; 1), (2; 2), (3; 3),
6 1
1 5
= è P( A) = 1 − = .
36 6
6 6
Ðàññìîòðåííûå â ýòîì è ïîñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ äàííîé ëåêöèè ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñîáûòèÿìè óäîáíî èçîáðàæàòü â âèäå ñïåöèàëüíûõ ðèñóíêîâ, ïîëó÷èâøèõ íàçâàíèå äèàãðàìì Ýéëåðà. Êàæäîå ñîáûòèå íà
òàêîì ðèñóíêå èçîáðàæàåòñÿ â âèäå êðóãà èëè êàêîé-íèáóäü äðóãîé ôèãóðû. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ôèãóð äîëæíî ñîîòâåòñòâîâàòü ñîîòíîøåíèþ ñîáûòèé. Ïðè ýòîì âñå òàêèå ôèãóðû ðàçìåùàþòñÿ âíóòðè îäíîãî è òîãî æå ïðÿìîóãîëüíèêà, èçîáðàæàþùåãî ìíîæåñòâî âñåõ âîçìîæíûõ èñõîäîâ îïûòà Ω.  ÷àñòíîñòè, ñîáûòèå A è ïðîòèâîïîëîæíîå ê
(4; 4), (5; 5), (6; 6)}. Îòñþäà P( A) =
íåìó A áóäóò èçîáðàæàòüñÿ íà äèàãðàììå Ýéëåðà òàê:
Ω
A
A
2. Îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå ñîáûòèé
Íàèáîëåå âàæíûìè òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûìè îïåðàöèÿìè ÿâëÿþòñÿ îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå. Íàïîìíèì, êàê îíè îïðåäåëÿþòñÿ, è ââåäåì ñîîòâåòñòâóþùèå ïîíÿòèÿ äëÿ ñîáûòèé.
Îïðåäåëåíèå 1 (äëÿ ìíîæåñòâ). Îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ A è B
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî C, êîòîðîå ñîäåðæèò òå è òîëüêî òå ýëåìåíòû,
êîòîðûå âõîäÿò õîòÿ áû â îäíî èç äâóõ ìíîæåñòâ A èëè B.
Îïðåäåëåíèå 1 (äëÿ ñîáûòèé). Îáúåäèíåíèåì ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå C, êîòîðîå ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîèñõîäèò õîòÿ áû îäíî èç äâóõ ñîáûòèé A èëè B. Ïîÿñíèì, ÷òî ñëîâà
68
Ëåêöèÿ 3
«õîòÿ áû îäíî èç äâóõ» îçíà÷àþò, ÷òî ìîæåò íàñòóïèòü: òîëüêî ñîáûòèå A, òîëüêî ñîáûòèå B, à òàêæå îáà ýòè ñîáûòèÿ îäíîâðåìåííî.
Îáúåäèíåíèå ñîáûòèé (êàê è îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ) îáîçíà÷àåòñÿ
òàê:
C = A∪ B .
Èíîãäà âìåñòî òåðìèíà «îáúåäèíåíèå» èñïîëüçóåòñÿ òåðìèí «ñóììà
ñîáûòèé».  ýòîì ñëó÷àå èñïîëüçóþò è äðóãóþ ñèìâîëè÷åñêóþ çàïèñü
ýòîé îïåðàöèè:
C = A+B .
Íà äèàãðàììå Ýéëåðà îáúåäèíåíèå ñîáûòèé ìîæíî èçîáðàçèòü òàê:
Ω
B
A
Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì ýêñïåðèìåíò ñ êóáèêîì. Íàéäåì îáúåäèíåíèå ñîáûòèé A è B â êàæäîì èç ïåðå÷èñëåííûõ ñëó÷àåâ:
à) A = {âûïàäåò òðîéêà}, B = {âûïàäåò ïÿòåðêà};
á) A = {âûïàäåò ïðîñòîå ÷èñëî}, B = {âûïàäåò íå÷åòíîå ÷èñëî};
â) A = {âûïàäåò ÷åòíîå ÷èñëî}, B = {âûïàäåò íå÷åòíîå ÷èñëî};
ã) A = {âûïàäåò ÷åòíîå ÷èñëî}, B = {âûïàäåò øåñòåðêà}.
Äëÿ îòâåòà íà âîïðîñ ïðåäñòàâèì êàæäîå ñîáûòèå â âèäå ìíîæåñòâà
áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ è íàéäåì ñîîòâåòñòâóþùèå îáúåäèíåíèÿ:
à) A = {3}, B = {5}, A ∪ B = {3, 5};
á) A = {2, 3, 5}, B = {1, 3, 5}, A ∪ B = {1, 2, 3, 5};
â) A = {2, 4, 6} è B = {1, 3, 5}, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
ã) A = {2, 4, 6} è B = {6}, A ∪ B = {2, 4, 6}.
Ñëîâàìè ðåçóëüòàò îáúåäèíåíèÿ ìîæíî îïèñàòü ïî-ðàçíîìó — íàïðèìåð, òàê:
69
Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòåé
à) A ∪ B = {âûïàäåò òðîéêà èëè ïÿòåðêà};
á) A ∪ B = {âûïàäåò ëþáîå ÷èñëî, êðîìå 4 è 6};
â) A ∪ B = {âûïàäåò ëþáîå ÷èñëî};
ã) A ∪ B = {âûïàäåò ÷åòíîå ÷èñëî}.
Èíòåðåñíî ïîêàçàòü êàæäûé èç ïåðå÷èñëåííûõ ñëó÷àåâ íà äèàãðàììå
Ýéëåðà, — âñå ýòè äèàãðàììû áóäóò èìåòü íåêîòîðûå ïðèíöèïèàëüíûå
îòëè÷èÿ äðóã îò äðóãà. Ïîïðîáóéòå ñôîðìóëèðîâàòü ýòè îòëè÷èÿ ñàìîñòîÿòåëüíî:
à)
á)
Ω
B
Ω
B
A
A
â)
ã)
B
Ω
Ω
B
A
A
Âàæíî ïîíèìàòü, ÷òî ïðè íàõîæäåíèè îáúåäèíåíèÿ íå íóæíî âêëþ÷àòü
â íåãî îáùèå èñõîäû ñîáûòèé A è B äâàæäû — âåäü îäèí è òîò æå ýëåìåíò âîîáùå íå ìîæåò âõîäèòü äâàæäû â êàêîå áû òî íè áûëî ìíîæåñòâî.
Èìåííî ïîýòîìó â ñëó÷àå ã) ðåçóëüòàò îáúåäèíåíèÿ ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç
èñõîäíûõ ìíîæåñòâ. Ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðèìåð íà ýòó òåìó.
Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì ýêñïåðèìåíò, â êîòîðîì èç êîëîäû â 36
êàðò ñëó÷àéíî âûòÿãèâàåòñÿ îäíà êàðòà. Ñêîëüêî ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ ñîäåðæèò îáúåäèíåíèå ñîáûòèé A = {âûòÿíóò äàìó} è B = {âûòÿíóò ïèêó}?
70
Ëåêöèÿ 3
Ñîáûòèå A ∪ B íàñòóïàåò, êîãäà èç êîëîäû âûòÿãèâàþò ïèêó (òàêèõ
êàðò âîñåìü) èëè äàìó (èõ ÷åòûðå). Ïðè ýòîì ìîãóò ïðîèçîéòè è îáà ýòè
ñîáûòèÿ îäíîâðåìåííî (âûòÿíóò äàìó ïèê). Çíà÷èò, äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà
ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ, âõîäÿùèõ â îáúåäèíåíèå, íóæíî ñëîæèòü 8 è 4,
à ïîòîì âû÷åñòü 1. Ïîëó÷èòñÿ 11 èñõîäîâ. Ìû åùå âåðíåìñÿ ê òàêîìó
ïîäñ÷åòó â ñëåäóþùåì ðàçäåëå íàøåé ëåêöèè.
***
Ïîñëåäíèé ïðèìåð âïëîòíóþ ïîäâåë íàñ ê ðàññìîòðåíèþ âòîðîé âàæíåéøåé òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé îïåðàöèè — ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ.
Îïðåäåëåíèå 2 (äëÿ ìíîæåñòâ). Ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ A è B
íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî C, êîòîðîå ñîäåðæèò òå è òîëüêî òå ýëåìåíòû,
êîòîðûå âõîäÿò â îáà ìíîæåñòâà A è B.
Îïðåäåëåíèå 2 (äëÿ ñîáûòèé). Ïåðåñå÷åíèåì ñîáûòèé A è B íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå C, êîòîðîå ïðîèñõîäèò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðîèñõîäÿò îäíîâðåìåííî îáà ñîáûòèÿ A è B. Äðóãèìè ñëîâàìè, ýêñïåðèìåíò çàêàí÷èâàåòñÿ èñõîäîì, áëàãîïðèÿòíûì êàê äëÿ A, òàê è äëÿ B.
Ïåðåñå÷åíèå ñîáûòèé (êàê è ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ) îáîçíà÷àåòñÿ òàê:
C = A∩ B .
Èíîãäà âìåñòî òåðìèíà «ïåðåñå÷åíèå» èñïîëüçóåòñÿ òåðìèí «ïðîèçâåäåíèå ñîáûòèé».  ýòîì ñëó÷àå, êàê è äëÿ ñóììû ñîáûòèé, èñïîëüçóþò äðóãóþ ñèìâîëè÷åñêóþ çàïèñü:
C = A⋅ B .
Íà äèàãðàììå Ýéëåðà ïåðåñå÷åíèå èçîáðàæàåòñÿ òàê:
Ω
B
A
Èç îïðåäåëåíèÿ îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ íåìåäëåííî
ñëåäóåò, ÷òî ïåðåñå÷åíèå ëþáûõ ìíîæåñòâ ñîäåðæèòñÿ â èõ îáúåäèíåíèè (ýòî õîðîøî âèäíî íà äèàãðàììå Ýéëåðà).
71
Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòåé
Ïðèìåð 3. Âåðíåìñÿ ê ïðèìåðó 1 è íàéäåì ïåðåñå÷åíèÿ ïðèâåäåííûõ òàì ñîáûòèé (íàïîìíèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ ýêñïåðèìåíò ñ êóáèêîì):
à) A = {âûïàäåò òðîéêà}, B = {âûïàäåò ïÿòåðêà};
á) A = {âûïàäåò ïðîñòîå ÷èñëî}, B = {âûïàäåò íå÷åòíîå ÷èñëî};
â) A = {âûïàäåò ÷åòíîå ÷èñëî}, B = {âûïàäåò íå÷åòíîå ÷èñëî};
ã) A = {âûïàäåò ÷åòíîå ÷èñëî}, B = {âûïàäåò øåñòåðêà}.
Êàê è ïðè íàõîæäåíèè îáúåäèíåíèé óäîáíåå âñåãî ïðåäñòàâèòü êàæäîå ñîáûòèå â âèäå ìíîæåñòâà áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ è íàéòè îáùèå
èñõîäû A è B:
à) A = {3}, B = {5}, A ∩ B = ∅ ;
á) A = {2, 3, 5}, B = {1, 3, 5}, A ∩ B = {3, 5};
â) A = {2, 4, 6} è B = {1, 3, 5}, A ∩ B = ∅ ;
ã) A = {2, 4, 6} è B = {6}, A ∩ B = {6}.
Íàïîìíèì, ÷òî çíàê «∅» èñïîëüçóåòñÿ â ìàòåìàòèêå äëÿ îáîçíà÷åíèÿ
ïóñòîãî ìíîæåñòâà, íå ñîäåðæàùåãî íè îäíîãî ýëåìåíòà. Äèàãðàììû
Ýéëåðà â ýòèõ ÷åòûðåõ ñëó÷àÿõ áóäóò ñëåäóþùèìè:
à)
á)
Ω
Ω
B
B
A
A
â)
B
Ω
ã)
Ω
B
A
A
72
Ëåêöèÿ 3
 ñëó÷àÿõ à), â) ïåðåñå÷åíèå ñîáûòèé ïóñòî, ïîýòîìó íà ñîîòâåòñòâóþùèõ äèàãðàììàõ íè÷åãî íå çàøòðèõîâàíî. Íà ÿçûêå ñîáûòèé ïðàâèëüíåå áûëî áû ñêàçàòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèåì ñîáûòèé A è B â ýòèõ ñëó÷àÿõ
ÿâëÿåòñÿ íåâîçìîæíîå ñîáûòèå, — äðóãèìè ñëîâàìè, îíè íå ìîãóò ïðîèçîéòè îäíîâðåìåííî, ó íèõ íåò îáùèõ áëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ.
Òàêèå ñîáûòèÿ èãðàþò â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íàñòîëüêî âàæíóþ ðîëü,
÷òî äëÿ íèõ ââîäÿò ñïåöèàëüíîå îïðåäåëåíèå, êîòîðîå ìû ðàññìîòðèì
â ñëåäóþùåì ðàçäåëå.
3. Íåñîâìåñòíûå ñîáûòèÿ.
Ôîðìóëà ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé
Îïðåäåëåíèå 1. Äâà ñîáûòèÿ A è B íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòíûìè,
åñëè èõ ïåðåñå÷åíèå ïóñòî, ò.å. îíè íå ìîãóò íàñòóïèòü îäíîâðåìåííî
â ðåçóëüòàòå îäíîãî ñëó÷àéíîãî ýêñïåðèìåíòà.
Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé.
Ïðèìåð 1. Â ñëåäóþùèõ ýêñïåðèìåíòàõ ïàðû ñîáûòèé A è B ÿâëÿþòñÿ íåñîâìåñòíûìè:
à) áðîñàþò ìîíåòó: A = {«îðåë»}, B = {«ðåøêà»};
á) áðîñàþò 2 êóáèêà: A = {ñóììà î÷êîâ íå÷åòíà}, B = {íà êóáèêàõ
âûïàëî îäèíàêîâîå ÷èñëî î÷êîâ};
â) èç êîðîáêè, â êîòîðîé 2 êðàñíûõ, 2 æåëòûõ è 2 çåëåíûõ øàðà
âûòàñêèâàþò 2 øàðà: A = {øàðû îäíîãî öâåòà}, B = {øàðû ðàçíûõ
öâåòîâ};
ã) èç òîé æå êîðîáêè ñíîâà âûòàñêèâàþò 2 øàðà: A = {îáà øàðà êðàñíûå}, B = {îáà øàðà çåëåíûå}.
Çàìåòèì, ÷òî ãîâîðèòü î íåñîâìåñòíîñòè ñîáûòèé ìîæíî òîëüêî
â ðàìêàõ îäíîãî ýêñïåðèìåíòà. Åñëè â ïóíêòå à) óêàçàííûå ñîáûòèÿ A
è B îòíîñÿòñÿ ê ðàçíûì îïûòàì, òî ãîâîðèòü îá èõ íåñîâìåñòíîñòè,
ðàçóìååòñÿ, íåëüçÿ. Óñëîâèÿ ýêñïåðèìåíòà òîæå î÷åíü âàæíû: ñòîèò â
ïóíêòå á) ïåðåéòè îò äâóõ êóáèêîâ ê òðåì, è ñîáûòèÿ ñòàíóò ñîâìåñòíûìè.
 ïðèâåäåííîì ïðèìåðå ìîæíî âûäåëèòü â îñîáóþ êàòåãîðèþ ñëó÷àè à), â) — â íèõ ñîáûòèÿ A è B ÿâëÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè. Ïîíÿòíî, ÷òî ïðîòèâîïîëîæíûå ñîáûòèÿ A è A âñåãäà íåñîâìåñòíû — âåäü ó
íèõ íå ìîæåò áûòü îáùèõ èñõîäîâ ïî îïðåäåëåíèþ ïðîòèâîïîëîæíîãî
ñîáûòèÿ (â A âõîäèò âñå òî, ÷òî íå âõîäèò â A). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè
73
Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòåé
âçÿòü îáúåäèíåíèå ïðîòèâîïîëîæíûõ ñîáûòèé, òî â íåãî âîéäóò âñå âîçìîæíûå èñõîäû îïûòà:
A∪ A = Ω ,
A∩ A = ∅.
Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî A è A îáðàçóþò ðàçáèåíèå ìíîæåñòâà Ω íà äâà
íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîæåñòâà.
***
Åñëè äâà ñîáûòèÿ A è B íåñîâìåñòíû, òî ñîáûòèå A ∪ B ïðîèñõîäèò
â îäíîé èç äâóõ âçàèìîèñêëþ÷àþùèõ ñèòóàöèé: ëèáî ïðîèñõîäèò ñîáûòèå A, ëèáî ñîáûòèå B. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç
N A , N B , N A∪ B àáñîëþòíûå ÷àñòîòû ñîáûòèé A, B è A ∪ B , òî ïîñëå ëþáîãî ÷èñëà ýêñïåðèìåíòîâ áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèå
N A∪ B = N A + N B .
Ïîäåëèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íà îáùå ÷èñëî ýêñïåðèìåíòîâ N, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå äëÿ îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò:
N A∪ B N A N B
=
+
.
N
N
N
Ïîñêîëüêó ýòî ñîîòíîøåíèå îñòàåòñÿ âåðíûì ïîñëå ëþáîãî ÷èñë&agr