Полная версия научной работы 183 КБ

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
ТВОРЧЕСКАЯ РАБОТА ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ТЕОРИЯ ИГР»
на тему:
«ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА».
Выполнил: студент группы С2-2у Сабаев К.Р.
Научный руководитель: Зайковская Г. Г.
Москва, Россия
Federal State Budget Institution of Higher Professional Education
“FINANCIAL UNIVERSITY UNDER THE GOVERNMENT OF THE
RUSSIAN FEDERATION”
CREATIVE WORK ON DISCIPLINE “game theory”
On the topic:
“DECISION MAKING UNDER CONDITIONS OF RISK”.
Completed: the student: group C2-2y Sabaev K. R.
Supervisor: Zaikovskaya G. G.
Moscow, Russia
В экономической практике во многих задачах принятия решений важным
элементом является неопределенность, не связанная с сознательным
целенаправленным противодействием противника и заключается в
недостаточной информированности лица, принимающего решение, об
объективных условиях, в которых будет приниматься решение.
Неопределенность такого рода может порождаться различными причинами:
нестабильность экономической ситуации, покупательный спрос на товар,
рыночная конъюнктура, политика правительства, надежность партнера и т.д.
Во всех задачах такого рода выбор решения зависит от объективной
действительности, называемой в математической модели «природой» .
Таким образом, в игре с природой осознанно действует только один игрок, а
именно, лицо, принимающее решение – игрок А. Вторым игроком является
природа, обозначим ее через П. При этом игрок П не является противником
игрока А, так как не действует осознанно против этого игрока.. В теории игр
с природой в зависимости от имеющейся информации различают две
ситуации. Одна из них характеризуется тем, что либо известны вероятности,
1
с которыми природа принимает каждое из своих возможных состояний, либо
эти вероятности не известны, но имеются сведения об их относительных
значениях, либо вероятности состояний природы устанавливается в
результате опроса экспертов и усреднения их показаний. В этой ситуации
говорят о «принятии решения в условиях риска». В другой ситуации
вероятности возможных состояний природы неизвестны и нет никакой
возможности получить о них какую-либо информацию. В этом случае
говорят о «принятии решения в условиях неопределенности». Давайте
остановимся на первой ситуации и рассмотрим ее подробнее. И так, принятие
решений в условиях риска.
Рассмотрим игру с природой, в которой игрок А обладает m возможными
стратегиями А1,…,Аm, а природа П может находиться в одном из n своих
состояний П1,…,Пn. Предполагается обычно, что игрок А в состоянии
оценить результаты выбора им каждой из своих стратегий Аi, i=1,…,m, при
каждом состоянии природы Пj, j=1,…,n, количественно выражающиеся
действительными числами аij.
Эти числа, называемые выигрышами игрока А, можно записать в виде
матрицы (таблица 1)
Таблица 1. Платежная матрица.
Пj
П1
П2
…
Пn
Ai
А1
a11
a12
…
a1n
А=
А2
a21
a22
…
a2n
…
…
…
…
…
Аm
am1
am1
…
amn
размера m x n, строки которой соответствуют стратегиям игрока А, столбцы –
состояниям природы П.
Задача игрока А состоит в выборе оптимальной стратегии, обеспечивающей
ему максимально возможный выигрыш. При возможности, матрицу можно
упростить, уменьшив число строк и столбцов на основании принципа
доминирования стратегий игрока А.
Существует множество различных критериев, с которыми можно
столкнуться при принятии решения игр в условиях риска, однако, давайте
рассмотрим основные критерии, а именно, остановимся на четырех
критериях: критерии Байеса относительно выигрышей и относительно
рисков, а так же критерии Лапласа относительно выигрышей и относительно
рисков.
2
Критерий Байеса относительно выигрышей. Допустим, что игроку А
известно не только состояния П1,…, Пn в которых может находиться природа
П, но и соответствующие вероятности q1,…, qn, с которыми природа П
реализует эти состояния. Тогда мы находимся в ситуации принятия решения
в условиях риска.
Показателем эффективности стратегии по критерию Байеса относительно
выигрышей называется математическое ожидание выигрыша i-строки с
учетом вероятностей всех возможных состояний природы. Если обозначить
среднее значение через , то получится формула
= + + ⋯ + = , = 1, … , .(1)
Таким образом, , представляет собой взешенное среднее выигрышей i-ой
строки, взятых с весами q1,q2,…, qn.
Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно
выигрышей считается стратегия Ai0 с максимальным показателем
эффективности (1), т.е. с максимальным средним выигрышем
= max (2)
Таким образом, выбранное решение по этому критерию является
оптимальным не в каждом отдельном случае, а в среднем.
Распространим понятие показателя эффективности по критерию Байеса
относительно выигрышей на смешанные стратегии игрока А.
Пусть Р=(р1,…,рm) - некоторая смешанная стратегия игрока А, при которой
чистая стратегия используется им с вероятностью рi, i=1,…, m. Тогда
выигрыш игрока А при смешанной стратегии Р=(р1,…,рm) и при состоянии
природы Пj будет равен
!, П # = ∑
% , & = 1, … , '(3)
Показателем эффективности смешанной стратегии Р=(р1,…,рm) по
критерию Байеса относительно выигрышей будет являться среднее значение
выигрышей (3) с учетом вероятностей q1,q2,…, qn состояний природы.
(!).
Обозначим этот показатель через Используя (1), будем иметь:
(!) = ∑ ) !, П # = ∑ ∑
% = ∑ % ∑ =
∑
.(4)
% Таким образом, как видно из равенства (4), показатель эффективности
смешанной стратегии Р=(р1,…,рm) по критерию Байеса относительно
выигрышей представляет собой взвешенное среднее показателей
эффективности чистых стратегий Аi, i=1,..., m, по тому же критерию с
3
весами pi, i=1,..., m .
Если, в частности, стратегия Р=(р1,…,рm) является чистой стратегией Аk,
k=1,..., m, то pi=0 i и k не равны, pk=1, и ее показатель эффективности как
(+, ), определяемый формулой (4), превращается в ее
смешанной стратегии показатель эффективности как чистой стратегии ak, вычисляемый по формуле
(1).
Критерий Байеса относительно рисков. Рассмотрим ту же игру с природой
матрицей (таблица 1), в которой известны вероятности состояний
природы q1 , ..., qn. При принятии решений в условиях риска можно
пользоваться не только средними выигрышами, но и средними рисками.
Составим матрицу рисков для матрицы A (таблица 1), используя формулу
рисков (4)
Таблица 2. Матрица рисков.
Пj
П1
П2
…
Пn
Ai
А1
r11
r12
…
r1n
А2
…
Аm
r21
…
rm1
r22
…
rm1
…
…
…
r2n
…
rmn
Показателем неэффективности стратегии Аi по критерию Байеса
относительно рисков называется среднее значение, или математическое
ожидание риска i-й строки матрицы (таблица 2), вероятности которых,
очевидно, совпадают с вероятностями состояний природы. Обозначим
средний риск при стратегии Аi через ṝi, тогда
ṝi = q1 ri1 + q2 ri2 + … + qn rin =
, i=1, …, m.
(5)
является взвешенной средней рисков i-й строки матрицы (таблица 2) с
весами pi, i=1, ..., n.
Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса относительно
рисков является стратегия Аi0, показатель неэффективности (5) которой
минимален, т.е. минимален средний риск
-. = min - (6)
Определим понятие риска при использовании игроком А смешанной
стратегии P=(p1,…, pm) и при состоянии природы Пj, j=l, ..., n, как разность
r(P,П ) = 4max (9, П ): ; !, П #, & = 1, … , ',(7)
5∈78
4
между максимальным выигрышем H (U, Пj) при всех смешанных
стратегиях U = ( u1 , ..., un ) ϵ SA и состоянии природы Пj и
выигрышем H (P, Пj) при смешанной стратегии P = ( p1 , ..., pm ) и при
состоянии природы Пj.
В качестве показателя неэффективности смешанной стратегии P = ( p1 ,
..., pm ) по критерию Байеса относительно рисков рассмотрим взвешенную
среднюю рисков с весовыми коэффициентами, равными вероятностям q1 ,
..., qn состояний природы:
=
.
(8)
Оптимальной среди всех смешанных (в том числе и чистых) стратегий по
критерию Байеса относительно рисков будем считать стратегию P0,
показатель неэффективности которой, вычисляемый по формуле (8),
минимален: min -̅ (!) = -̅ (!. )
=∈78
В предыдущих двух критериях Байеса известные вероятности q1 , ..., qn
состояний природы могли быть получены из статистических данных,
отражающих многократное решение подобных задач, или в результате
наблюдений за поведением природы. Однако, довольно часто складывается
такая ситуация, когда мы лишены возможности определить вероятности
состояний природы указанными способами. Желая все же принять решение в
условиях риска, мы вынуждены оценить вероятности состояний природы
субъективно. Существуют различные методы численной субъективной
оценки степени правдоподобности состояний природы. Один из них состоит
в том, что мы не можем отдать предпочтение ни одному из состояний
природы, и потому считаем их равновероятными, т.е. q1 = .. .=qn =
. Этот
принцип называется «принципом недостаточного основания» Лапласа. На
нем основан критерий Лапласа относительно выигрышей.
Показателем эффективности стратегии Аi по критерию Лапласа относительно
выигрышей называется среднее арифметическое выигрышей i-й строки:
āi =
, i=1, …, m.
(9)
Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно
выигрышей считается стратегия Аi0 показатель эффективности, которой,
вычисляемый по формуле (9), максимален, т.е. = max .
Очевидно, что критерий Лапласа относительно выигрышей есть частный
5
случай критерия Байеса относительно выигрышей при q1 = .. .=qn =
.Поэтому все утверждения на счет критерия Байеса относительно
выигрышей, остаются в силе и для критерия Лапласа относительно
выигрышей.
Подставляя (9) в (4), получим показатель эффективности смешанной
стратегии P = ( p1 , ..., pm ) по критерию Лапласа относительно выигрышей
=
.
(10)
Стратегия P = ( p1 , ..., pm ) будет оптимальной среди всех смешанных
стратегий множества SA по критерию Лапласа относительно выигрышей,
если она максимизирует показатель эффективности (10).
Критерий Байеса относительно рисков при равновероятных состояниях
0
природы, q1 = .. .=qn =
рисков. Тогда величина
, превращается в критерий Лапласа относительно
, получающаяся из (5) при qj =
, j=1,…, n,или более простая величина
представляет собой показатель
неэффективности стратегии Аi по критерию Лапласа относительно
рисков. Следовательно, оптимальной среди чистых стратегий по критерию
Лапласа относительно рисков является стратегия Аi0, показатель
неэффективности
которой минимален. Подставляя в (8)
, j=1, …, n, получим показатель неэффективности смешанной
значения qj =
стратегии Р по критерию Лапласа относительно рисков, вместо которого
можно рассматривать более простую величину
=
.
Стратегия Р, для которой показатель
принимает минимальное значение,
является оптимальной среди всех стратегий множества SA. Чистая стратегия,
оптимальная среди чистых стратегий по критерию Лапласа относительно
рисков, оптимальна по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий
множества SA.
Для более лучшего понимания рассмотрим пример на нахождение
оптимальной стратегии по критерию Лапласа относительно выигрышей.
6
Возможно строительство 4 типов электростанций: А1 - тепловые, А2 –
атомные, А3 – гидроэлектростанции, А4 – шлюзовые. Эффективность каждого
из типов электростанций определяется сочетанием факторов, зависящих от
различных случайных явлений: погодные условия, режима рек, сейсмической
активности и т. д. Пусть число возможных сочетаний факторов равно 4( П1,
П2, П3, П4). Экономическая эффективность каждого типа электростанции в
зависимости от состояния природы задается платежной матрицей:
Таблица 3. Платежная матрица.
Пj
П1
П2
П3
П4
Ai
А1
7
3
9
2
А2
2
2
7
11
А3
4
6
1
8
А4
5
10
0
3
Где А1-строительство вероятности состояний природы нам не известны.
Будем считать, что все 4 возможные состояния природы равновероятны.
Найдем оптимальную стратегию по критерию Лапласа относительно
выигрышей. Для этого пока добавим столбец показателей эффективности
стратегий, вычисляемых по формуле (9) без множителя 1/n в правой части (т.
е. =a
11+a12+a13+a14=7+3+9+2=21), получим:
Таблица 4.
Пj
П1
П2
П3
П4
Ai
А1
7
3
9
2
21
А2
2
2
7
11
22
А3
4
6
1
8
19
А4
5
10
0
3
18
Из последнего столбца видно, что наибольшим показателем эффективности
обладает стратегия А2, для которой а2=22. Значит, по критерию Лапласа
относительно выигрышей оптимальной стратегией является стратегия А3, т.
е. оптимальным является строительство атомных электростанций.
Особым классом задач принятия решений являются задачи с учетом
факторов риска. Факторы риска, понимаемого как вероятность потерь,
влияют на процесс принятия решений. Аварии на промышленных
производствах, человеческие жертвы, связанные с использованием
различных технологий, определяют исключительную важность задач анализа
риска.
Основными направлениями исследований в области анализа риска являются:
7
измерение риска;
повышение безопасности крупномасштабных технологических систем;
анализ аварий.
Суждения людей о вероятностях опасных событий и потенциальном ущербе
основаны на личном восприятии риска и существенно отличаются от
объективных данных.
При установке стандартов используются три основных подхода: экспертные
суждения, аналогия с известными технологиями, многокритериальный
анализ. Крупные аварии характеризуются, как правило, совпадением ряда
маловероятных событий.
8
Список использованной литературы:
1. Лабскер Л. Г., Бабешко Л. О. Игровые методы в управлении
экономикой и бизнесом: Учеб. Пособие. – М.: Дело, 2001. – 464 с.
2. Розен. В. В. Теория игр и экономическое моделирование. Саратов, 1996
3. Интернет источник: http://www.aup.ru/books/m157/3_3_2.htm административно-управленческий портал.
9