96-3-23 ( 253.97 kB ) - Вестник Московского университета

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 3, ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 1996. № 3
АТОМНАЯ
И ЯДЕРНАЯ
ФИЗИКА
У Д К 539.14; 539.16
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
ПОВЕРХНОСТИ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ЯДЕРНОЙ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ
О. П. Бадаев
(кафедра общей физики)
Предложен способ наиболее точного описания ядерной энергетической поверхности частями параболоидов, образующих непрерывную энергетическую поверхность
( с ~ 0 , 1 МэВ). Параметры вычисленной поверхности, являющиеся общими для рядов
граничащих друг с другом областей ядер, не меняются, и их значения можно распространить и на области еще не изученных ядер. Это позволило описать энергии
а-активных ядер с 82<N <126 и более надежно прогнозировать энергии ядер, недоступных для эксперимента. Обнаружено увеличение кривизны изобарных сечений
ядерной энергетической поверхности при переходе от нейтронодефицитных К нейтроноизбыточным ядрам.
З а д а ч а вычисления энергии связи атомных ядер B=B(Z, N) как
функции ядерных переменных Z и N с точностью, соизмеримой с
точностью эксперимента и составляющей в настоящее время д л я большинства ядер несколько сотых долей МэВ, до сих пор остаётся сложной задачей.
Широко распространенные теоретические методы [1, 2] гарантируют точность расчетов, не превышающую единиц МэВ. Более высокую
точность (порядка 0,3—0,5 МэВ) удается получить при использовании
полуэмпирических формул [3, 4] или при разбиении системы ядер на
области, ограниченные магическими и субмагическими числами протонов и нейтронов, с последующим описанием отдельных ее частей
[5—8]. Наиболее точное расчетное воспроизведение частей ядерной
энергетической поверхности (ЯЭП) получается при эмпирическом описании энергий присоединения нуклонов к атомным ядрам [5, 8]. Ни и
этот метод является несовершенным, т а к как приводит к нарушению
непрерывности вычисленной энергетической поверхности.
В настоящей работе предлагается метод, обеспечивающий вычисление непрерывной энергетической поверхности B=B(Z, N) как суммы
энергий присоединения отдельных нуклонов, составляющих ядра, с
точностью, приближающейся к экспериментальной [9—12]. В этом способе описания ЯЭП пространство ядерных переменных ( Z , N ) , определяющее протонно-нейтронный состав атомных ядер, разделено некоторыми числами протонов Zk и нейтронов Ni на прямоугольные области. Числа Zk и Ni, где k и I — порядковые номера этих чисел, интерпретируются как (суб) магические числа протонов и нейтронов.
Часть ядер, д л я которой Zk<Z<Zk+l
и Nt<N<Ni+l,
будем называть
междумагической областью {k, /}. В каждой такой области энергии связи ядер B=B(Z,N)
одного и того ж е типа четности i, / (i—(—l)z,
j=
= ( — 1 ) ^ ) выражаются с высокой точностью (для 78% ядер отклонения вычисленных значений от экспериментальных составляют менее
0,1 МэВ) квадратичными функциями от Z и N, а энергии присоединения протонов p(Z, N) и энергии присоединения нейтронов n(Z, N) —
линейными функциями тех ж е ядерных переменных:
Pij(Z,
N) =
—0,5а^- ( Z — Z k ) -j- 0,5уМ (N—N{),
(1)
23
nij(Z,
N) =
Здесь p°.j, au,
+ 0,byfj(Z--—Zh)—-0,5$iJ(N—Nг).
y f j , n°ip yf.,
(2)
— параметры, на которые накладыва-
ются условия a t + = а £ _ = а г ,
=
=
= v i / = vf,
= Vi+
a вследствие непрерывности энергетической поверхности в области
{k, 1} должно выполняться равенство
4l+y^y%+yz_.
,
(3>
Под непрерывностью вычисленной энергетической поверхности дискретно изменяющихся аргументов Z и N следует понимать равенство нулю
суммы энергий присоединения нуклонов к ядрам по любому замкнутому
контуру.
Требование непрерывности энергетической поверхности на границах областей приводит к уменьшению числа параметров и обеспечивает однозначность энергии присоединения нуклонов,
принадлежащих
двум граничащим друг с другом областям. При этом условии разности
p(Zi,N)—p{Zi-\-2,N)=a.i{k)
не зависят от числа и четности нейтронов
и не меняются, пока Zk<Z<Zk+i.
Аналогично разности n(Z,N,) —
—n(Z,Nj+2)=$j(l)
сохраняют свою величину, пока Ni<N<Ni+i.
Параметры a i ( k ) и § / ( / ) , сохраняющие свои значения соответственно в
границах Zb — Zk+i и Nt— Ni+ь названы внешними параметрами, в
отличие от Y^* (k, /), y^(k, I), y2^ (к, I),
(k, I), которые д л я к а ж д о й
области индивидуальны и названы внутренними.
Предположение о том, что в области {k, I} должны выполняться
соотношения (1) — (2), накладывает ограничение на количество (суб)магических чисел n — k + l < A / 4 , где А — м а с с о в о е число ядра.
Д л я согласования математической модели (М-модели) с экспериментальными данными использовался метод наименьшего модуля, т а к
как энергии ядер не независимы, а связаны условием непрерывности
Я Э П [13].
.М-модель описывает четыре энергетические поверхности ядер четырех типов четности. В пределах области {k, 1} поверхности являются параболоидами, имеющими одинаковые параметры, но смещенными
относительно друг друга на величину энергий поправки на четность.
Полная энергетическая поверхность четно-четных ядер построена из.
параболоидов, не имеющих разрывов на границах областей. В к а ж д о й
области параболоиды характеризуются своим индивидуальным набором
параметров.
Н а рис. 1 схематично изображена область {к, /}. Точки пересечения линий обозначают ядра. Н а д линией, соединяющей два ядра, буквами а0о, а01 и т. д. обозначены экспериментальные значения энергий
присоединения протонов к ядрам, под линией
р%0,
...
вычисленные значения этих ж е энергий. Буквы feoo, ••• над линией обозначают экспериментальные значения энергий присоединения
нейтронов,
п
оо> по\> ' ' • п о д линией — вычисленные значения этих ж е энергий. Вычисленные значения энергии присоединения нуклонов к ядрам в соответствии с методом наименьшего модуля должны удовлетворять условию ^ ( l a s f — P s t \ \ b s t — I ) — m i n , справедливому для всех обst
ластей ЯЭП. Д л я вычисления энергии присоединения нуклонов к
ядрам в пределах области нужно задать 12 независимых величин:
1) четыре параметра, фиксирующие значения энергий присоедине24
ния нуклонов на двух границах области Z*. и N,, pg0, р°0,
но внутри области, например рЦр
2) четыре независимых параметра а+, а - , Р+, Р-,
t
и од-
a
ъ1prn
т1 Роп
С:
с;сз
с:1
сГ
с
сГ
(m-i)n
P(m-i)n
^Р3п
Лп
с:1
1
a
!
j
i
ot J
p
ot ;
At
!i
I
fSI
с?
Роз (V
C5§
C:
<*07
Poi СЭ
pzt
<м
сГ1
-сГ сГ"
02
P02
1
Ы
P3t
^
и12
с22
р22
СМ
с:е
oo
еп
К? С:
C;S
о
р" 1
.
{m-i)t
1
Р33
°-32
Р
'32
.-У
"О
а
37
«27
оа
fm-7)f
с?
f»
с:
a
Р23 см с
a
p
i
a
А< =/V„'
a2t
o-it
«да
fl
ю
(m-l)l
с
J с?
^
а
P
L
2О
а
(т-1)о
P(m-i)0 >n5 £
II
Рис. 1. Схематическое изображение области (k, t) и связь параметров области с вычисленными значениями энергий присоединения нуклонов к атомным ядрам:
а
Рй —
Р4с=---
а-
+ =
= Pit — P3t = Pzt —
Pot — Рм =
Pbt—--
Р+
"so
"s2 ~
fl-SZ
— •••
— "si — nss = nS3 — rts5 = . . .
Y+ = P 0 (*+2)
Y—
=
Pl(t+2)
— Pot = P2(t+2)
— P i t = - - ,
~~ Pit = Р з ( Н - 2 ) — Pbt —
•••
Y+ — "(s+2)0 ~ "so — "(s |-2)2 ~ nS2 —
TV
_
Y - — "(s+2)l
"si — "(s+2)3 ~ "S3 —
3) три любых параметра из четырех внутренних
параметров
У-> Y+>
связанных соотношением (3).
В табл. 1 и 2 схематично изображена часть М-модели, распространенной на области fi-нестабильных ядер. Линии образуют сетку границ областей. По периметрам прямоугольников, изображающих области, под линиями границ записаны числа, которые, в соответствии с
рис. I, обозначают энергии:
р°ю,
ро1. Внутренние параметры
vf., Y+. Y^ могут быть вычислены из граничных' значений и
Рои а внешние параметры
а~, Р+, р - вынесены на внешние границы Af-модели — над дугами.
. v
Количество независимых величин, необходимое д л я задания части
25
Таблица' I
1
г
!
I
80
"44760
337^7
"Ьз77"65
9,00 10,79 '8,65 10,00
\i
о
D
1,05
«•t 0,79
n
r>
0.41
9.62
»62
13,95 15,56 57361o, 5o 7,95 9,67
CO
:-(
5(
72
Р 1.57
IS
ГА
|VO
'.53
£ 1.39
(0
kO
CJ
1,66
1.10
<° 1,10
w
h 4 53
5(
5(
1,62
1,74
сб
<У\ /
~j 38,32
35,ЗТ -
»
оЛ
60
» (
К
1.63
1 7Б.-5НI
I е . 1,67
J^ 1,60
«
1,56
•«P
I
1,86
1,76
I
la,
2,14
r
1,36
1,64
О
О
1,66
ЛЛ11.
2,44 4,08 1,02
э
*
1,20 1,00
" 1,54
.о
12.04
11,00 13,21
~ Г"зб~в7
1,02
6 12
7.09
"л£>»3i5,61 7,59
1 0 , 1 9 1 2 . 6 8 6,58 8,58
лfm
r\
r^ 1,45
1,44
1,47
8.61
4,91
4.H
10,U 12,33 7,9) 16,49 «,36. 6,40 3,48 5,37
ос--
I
1,65
56
о V
£
.. "25 ,"24 ~
.6.4813,00 15,00 9,66 11,94 0,188,9010,77 5,78 0,09
C\J
T34.39
о
'.77
t-33701
1 ,C4
1,76
"t~31,53
1,93
1,05
t> 4.91
7.26
JLSI
7.40 9,04 "S754 9,13 4 , 1 4 6 7 4 5
у
- 1,18 1,25
1,70
1.37
ц
о >
52
I-
<
«
10.0?
fi.51
9,30 11,28 6.06 0.52 4,90 7,37
о
n
1,60
1,89
1.95
26,91
1.95
Jt
2,09
_
50
5,85
4,65
9.14
0.БО 107Jff T714 7;49 4, Ц t>,24
w 1,14 1,33
2,49
К
3(
14,21 15,48
11.19
10,21
12,1?
2,10
1,42
i l l
JUi2_
7,10 9,7C 4,34 6,87
12,27
7.70
10,08 12,54 6,85 9,57 3,03 7,00
2,01 1,57 1,55 1,37 1,53 1,04
М-модели, изображенной в табл. 1 и 2, около 370. Если в этом массиве ядер ограничиться только ядрами одного типа четности, то число
независимых параметров М-модели уменьшится до 120. При этом вместо параметров а + , а _ , |3 + ,
у2^, yz_,
у1^ останется всего три параметра: а = а + + а _ ,
+
и Y = Y+ + ?f.- М-модели ядер других
26
Таблица
124
Т~37,01
[~4 8,29~
2(i
( |
33.98
™ 1.38
1.32
о"
120 |
'45,53
35,51
25112
Тго, 50
,1.21
IS МЗ
22,70
| 31,34
Й.61
Т)
в"
9,71
6,40
7,25
4,72
0,67
1,16
—а,07_
~I 18,32
3,56
2
77з1 о, 69 4,96
6,03
*( I
•г» V
116
1тг,59
|"42й? ~
108
Г 357Q1-
С-
1,28
'2В71Г" ~
f
1,12
1,01
е.60
8,44 8,00
4,74
5,07
7,51
3,72 4,99
1,26
-
1,06
г,873.064,13
2,54
2,26
3,
0,73
0,62
р
1,62
1,02
Г,
о
~ 2.11
1,97 2,77
-0,01
1,08
1,06
1,04
3.84
1Л1
10,09 П,СЕ {,,(,5 7,85 3,34 4,96 2,01 2,21 0,90 1,30
1.29
0,85
1,07
1,02
0,99
9,0S
5,39
7,00
i. о
3.16
3,10 3,22
а
0.П7
0,53
1,05
rP,3fi
-0,74
1,00
0,95
Ь*
з
h23>Г
1,37
7,63 9,36
"АЛ2
4.65 6,20
Iz.33.
1,65
1,32
1,39
87 10,69 11.01
•tn ,
?|25,
; 0,99
1,15
1,12
о\
5,93
вч
92
'
D
*
Ч(
°О *\ I
1,27
ш
8,75
„ 1'33
""1,33
1,33
1,02
' Щ 24.Т5 t V Л
«; 01
„ / Гзо.69" Г 2 3713" "
Ч> /
7,19
о
0,GO
1,20
.19
3.60
* -Ы47,US ЭО4,83 5,79 3,09
+27721 — ~~ 10,79 11,19 6,
5,3t
<„ / ! -
о >
9G
1
9,44 10,52
1,60
( I
.«,
Ф 1.28
по (>
—
. 58,38'
I1-1
;-( г
ю
I1- 1.37
1,31
| «м 1, , 66
/ 'гС
-о \
t-
w 1,54
2,74
_=Q.37
-0,82 1,53
1,11
4.02
7.01
79Й~БТ^Г W T T C I T 0,53 2,75"
Л
fi
СО
* 1.55
9.09
ТТ65 10,00
1,20
оС 1,53
1,21
1,00
—2s U1
—_
5.2Й 7,33
1,56
4,37
1,05 0,95 1,15 1,00
-
1,25
-1,41 1,54
0,9G 0,00
0,04
0,92
0,85 0,72
типов четности можно получить, если ввести поправку на четность, которую нужно прибавить к энергиям четно-четных ядер. Формула для
вычисления поправки может быть взята из работы В. М. Вымятии а [4]:
(4)
27
Уравнения параболоидов, описывающих поверхности энергий связи
ядер Af-модели в пределах области {k, /}, можно записать в виде функций
В (Z, N) = a (Z—Zk) + b (N—Nj) + с ( Z - Z f e ) 2 +
+ d (N-Ntf
+ e (Z—Zh) (N-NJ
+ В (Zft,
Nt).
(5)
Поскольку в большинстве случаев субмагические числа четные;
удобно использовать для записи и исследования ЯЭП М-модель четно-четных ядер. Коэффициенты в формуле (5) для четно-четных ядер
выражаются через параметры областей следующим образом:
2
а
=
(Роо + Рю) + «
4
_
b
'
2 (п 00 + n 0 i ) + P
4 '
'
Если в формуле (5) сделать переход от переменных Z и N к переменным A=Z+N
и I=N—Z, то в новых координатах она будет выглядеть
так:
В (А /)=
(a + b)(A~A0)
(.c + d + e)
(А-А0У
(,c + d - e ) ( / - / 0 )
{
(&-а) ( / - / „ )
(d-e)(A-A
s
+ B(A0,
/0),
0
) (/-/о)
+
(6)
где A0 = Zft + tf„ I0—Nl—Zh
Переход к новой системе координат дает возможность проследить
за изменением кривизны изобарных сечений по величине коэффициента Kik, I) при (/—/о) 2 :
K{k,
1}
c + d-
CC+P+2Y
32
Рис. 2. Значения кривизны параболоидов М-модели ' по областям
(крестики —• протонодефицитные ядра, кружочки — протоноизбыточные ядра) в
сравнении
с усредненной
кривизной
изобарных сечений (сплошная кривая)
28
(7>
На рис. 2 сделано графическое сопоставление усредненного
значения кривизны изобарных сечений, рассчитанной по предлагаемой
формуле
/<С(А)=0,1 +
+ 1 2 0 Л - 3 / 2 , с кривизной параболоидов, расположенных по разные стороны от линии ^-стабильности. Кривизна поверхности нейтроноизбыточных ядер оказалась
в среднем больше, чем д л я нейтронодефицитных ядер. Из этого
следует, что изобарные сечения
ЯЭП несимметричны и д л я своего описания требуют введения
высших степеней (N—Z).
Удобство применения модели
обусловлено
использованием в
описании всего экспериментального массива данных неболыпо-
го числа универсальных параметров трех типов: а, р и у. Постоянство
а - и p-параметров в областях между соседними субмагическими числами в сочетании с жесткой сеткой границ их постоянства дает надежду на
то, что )М-модель должна
обладать хорошими прогнов, МзВ
зирующими свойствами и
может быть пригодной для
960
941,32
экстраполяции с высокой
940,67
точностью. В частности, для
вычисления энергии ядер в
областях,
не «содержащих
900
экспериментальных данных,
необходимо определить неизвестные в этих областях
850
параметры у. Предполагая,
/+841,31
что в пределах
главных
магических чисел ЯЭП мо52 Z
ЧЧ
48
40
36
32
жет быть описана гладкими функциями, выберем
параметры у, удовлетвоВ. МзВ
1433,04
ряющие этому условию.
1 4 3 1 j 8 1 4 3 1 , 5 7 ^ 9 54
В табл. 1 и 2 в прямо1 4
Z b e s ^ & ^ t ^ ^ 1421,00
1412,43
угольниках,
изображаю1420,98">и.1409,15
щих области с пунктир1396,:
409,01
1407,6l4^1392,57
то
ными линиями
-.границ,
1389,61
' 1388,82
записаны значения <роо+
+ Рю и «оо+«оь необхо1349,60/'/1364, 43
димые для
вычисления
энергий
четно-четных
ядер, а в центре — численные значения у.
1300
По вычисленным значениям энергий
связи
Рис. 3.
Совмещенные изобарные : сечения для
четно-четных ядер были
А = 112 (а) и А = 178 (б); оплошная кривая •—
построены графики изосечения, рассчитанные по «оптимальной массобарных сечений ЯЭП в
вой формуле», штриховая — с помощью Л1-моМ-модели д л я Л = 1 1 2 и
дели
А = 1 7 8 , изображенные на
рис. 3. Д л я сравнения там ж е построены графики сечений, вычисленные по «оптимальной массовой формуле» В. М. Вымятнина [4], котор а я считается одной из лучших для далеких экстраполяций.
Сечения ЯЭП, вычисленные- по «оптимальной массовой формуле»
без учета оболочечных эффектов, являются параболами. Эти ж е сечения, вычисленные в рамках М-модели, как видно из рис. 3, обладают заметной асимметрией.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
B e i n e r М„ L o m b a r d R. J.//Ann. of Phys. (N. Y.). 1974. 86. P. 262.
С т р у т и н с к и й В. M.//Ядерная физика. 1966. 3. С. 614.
S е е g е г Р. А., Н о w а г d W.. M.//Nucl. Phys. 1975. A 238. P. 491.
К о л е с н и к о в H. H., В ы м я т н и н В. М.//Ядерная физика. 1980. 3 t . С. 79.
К о л е с н и к о в Н. Н.//Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1966. № 6. С. 76;
Z e l d e s N.//Nucl. Phys. 1965. 63. P. 1.
L i r a n S., Z e l d e s N.//Atomic Data and Nuclear Data Tables. 1976. 17. P. 431.
29
8 . К о л е с н и к о в Н. Н., В ы м я т н и н В. М.//Изв. вузов, Физика. 1977. № 6.
С. 115.
9. К о л е с н и к о в Н. Н., Б а д а е в О. П., В ы м я т н и н В. М. Энергия связи
нуклонов в среднетяжелых ядрах. Деп. ВИ1-'ИТИ, № 2627-Деп. М„ 1980.
30. К о л е с н и к о в Н. Н., Б а д а е в О. П., С т а р о с о т н и к о в М. И. Энергия
связи нуклонов в ядрах области 2 2 < Z < 6 4 . Деп. В И Н И Т И М 2627-Деп. М„ 1981.
11. К о л е с н и к о в Н. Н., Б а д а е в О. П. И з эмультиплетные уровни, энергии отрыва нуклонов и бета-распада легких ядер. Деп. В И Н И Т И № 6180—83-Деп. Томск,
1983.
12. К о л е с н и к о в Н. Н., Б а д а е в О. П., В ы м я т н и н В. М.//Излучение возбужденных состояний ядер. Алма-Ата, 1986. С £55.
13. Библиотека программ для изучения структ уры веществ дифракционными методами/Под ред. Б. М. Щедрина, Н. П. Жидкова . М., 1987.
Поступила в редакцию
27.03.95
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 3, ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 1996. № 3
У Д К 523.165
ЕЩЕ РАЗ К ВОПРОСУ О ВИДЕ
ЛУЧЕЙ ВЫСОКОЙ ЭНЕРГИИ
СП ЕКТРА ПРОТОНОВ
КОСМИЧЕСКИХ
Д . М. Подорожный, Г. А. Самсонов, Л. А. Хейн, И. В. Яшин
(НИИЯФ)
Дана трактовка причин разногласий в результатах обработки разными авторами данных об энергетическом спектре проток ов первых космических лучей, полученных в эксперименте «Сокол-2».
Даиные эксперимента «Сокол-2» по спектру протонов высокой
энергии являются предметом дискуссй и в течение ряда лет. Настоязцая публикация рассчитана на читат елей, следивших за ходом дискуссии и знакомых с основными стать:ши по тематике «Сокол». Работа Н. JI. Григорова [13 посвящена вы яснению причин расхождений в
работах [2, 3] и [4, 5], опубликованных в 1988—1990 гг. Здесь представлен анализ причин этих расхождений выполненный четырьмя авторами на основе материала, подготовленн эго всем авторским коллективом
С4, 5].
По заключению [1] причина pacxdждения — отбор протонных событий в области энергии выше 10 Тэ В. В табл. 1 приведено сравнение соответствующих выборок при cjiледующих критериях отбора:
1) заряд частицы, измеренный де гектОром ДЗ-11: 0 , 7 < Z 1 < 1 , 5 ;
2) заряд частицы, измеренный де гектором ДЗ-2: Z 2 < 4 ;
3) взаимодействие происходит не ниже 3-го рйда ионизационного
калориметра (ИК).
Таблица 1
Е , ТэВ
-20
520—32
32—50
50—79
N (И. П. Иваненко и др.)
N (Н. Л . Григоров)
Данные И. П. Иваненко и др. бг зируются на первичном материале, опубликованном в [6] с уточнения ми, опубликованными в [7]. Данные Н. Л. Григорова — только на [6]
30