Программа курса "Высшая математика", географический

Программа курса "Высшая математика",
географический факультет, II курс.
1. Операции с матрицами (сложение, умножение, умножение на числа) и их свойства.
Операция транспонирования матриц и ее свойства.
2. Типы элементарных преобразований строк и столбцов матриц. Матрицы элементарных преобразований и их свойства. Приведение матрицы к ступенчатому виду с
помощью элементарных преобразований.
3. Невырожденные матрицы. Единственность обратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.
4. Нахождение общего и частного решения системы линейных уравнений.
5. Линейные пространства. Примеры. Свойства и критерий линейной зависимости векторов. Линейная оболочка системы векторов.
6. Арифметическое пространство Rm . Теорема: в пространстве Rm любые n > m векторов линейно зависимы. Основная лемма о линейной зависимости.
7. Два эквивалентных определения базиса. Примеры базисов в Rm и Mm,n . Единственность разложения векторов по базису. Координаты векторов. Размерность. Нахождение фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений.
8. Ранг системы векторов и его свойства. Ранг матрицы. Теорема: ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Теорема о ранге матрицы.
9. Теорема : ранг матрицы равен числу ненулевых строк в ступенчатом виде.Теорема
о ранге произведения матриц. Теорема Кронекера-Капелли.
10. Определитель матрицы. Его свойства по отношению к элементарным преобразованиям строк. Мультипликативность определителя.
11. Разложение определителя по произвольной строке и по произвольному столбцу. Лемма о фальшивом разложении. Вычисление обратной матрицы с помощью определителя. Геометрический смысл определителя (формулировка).
12. Поле комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Модуль
и аргумент комплексного числа. Формула Муавра.
13. Матричная модель комплексных чисел. Тело кватернионов. Группа Q8 .
14. Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора. Примеры. Матрицы ортогональных преобразований плоскости.
15. Матрица перехода, ее невырожденность. Формулы перехода от одного базиса к другому. Преобразование матрицы оператора при замене базиса (формулировка). Изоморфность линейных пространств одинаковой размерности.
1
16. Евклидовы пространства. Примеры. Определение нормы в евклидовом пространстве. Неравенство Коши-Буняковского.
17. Основная теорема комбинаторики. Перестановки, сочетания и размещения. Классическая схема вероятности. Пример: парадокс де Мере.
18. Определение σ-алгебры множеств. σ-алгебра борелевских множеств. Аксиоматическое определение и свойства вероятности. Непрерывность вероятности (формулировка).
19. Геометрические вероятности. Примеры: задача о встрече и задача Бюффона.
20. Условная вероятность и ее свойства. Пример: задача о наилучшем выборе. Вероятность суммы n событий. Формула умножения вероятностей.
21. Попарная независимость событий и независимость в совокупности. Пример Бернштейна. Формула полной вероятности. Пример: задача о страннике. Формула Байеса.
22. Схема Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число успехов в n испытаниях Бернулли. Полиномиальная схема. Частный случай: схема выбора с возвращением.
23. Предельные теоремы в схеме Бернулли: формула Пуассона, локальная формула
Муавра-Лапласа (формулировка), интегральная формула Муавра-Лапласа.
24. Два эквивалентных определения случайной величины. Алгебраические свойства случайных величин. Примеры.
25. Функции распределения случайных величин и их характеристические свойства.
26. Дискретные случайные величины. Свойства дискретных распределений. Примеры:
распределение Пуассона, биномиальное, геометрическое и гипергеометрическое распределения.
27. Непрерывные случайные величины. Характеристические свойства плотности непрерывного распределения. Критерий непрерывности функции распределения.
28. Примеры непрерывных распределений: равномерное, экспоненциальное распределения и распределение Лапласа.
29. Вычисление интеграла Пуассона. Нормальное распределение.
30. Случайные векторы. Вычисление вероятности попадания в прямоугольник для двумерного случайного вектора. Функции распределения случайных векторов и их характеристические свойства.
31. Дискретные и непрерывные случайные векторы. Их свойства.
32. Независимость случайных величин. Критерии независимости для дискретных и
непрерывных случайных величин.
2
33. Распределение суммы независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона. Распределение суммы независимых непрерывных случайных величин.
Распределение суммы независимых нормально распределенных случайных величин.
34. Математическое ожидание и его свойства. Вычисление M f (ξ) в дискретном и непрерывном случаях, где ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) — случайный вектор, f : Rn → R — борелевская
функция. Определение и свойства дисперсии.
35. Вычисление математического ожидания и дисперсии для распределения Пуассона и
биномиального распределения.
36. Вычисление математического ожидания и дисперсии для геометрического и гипергеометрического распределений.
37. Вычисление математического ожидания и дисперсии для равномерного и экспоненциального распределений.
38. Вычисление математического ожидания и дисперсии для нормального распределения и распределения Лапласа.
39. Ковариация и коэффициент корреляции. Их свойства. Пример зависимых случайных
величин ξ1 , ξ2 , для которых cov(ξ1 , ξ2 ) = 0.
40. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел. Теорема Бернулли.
41. Производящие функции целочисленных случайных величин. Свойства производящих функций.
42. Вычисление математического ожидания и дисперсии целочисленных случайных величин с помощью производящих функций. Примеры: вычисление математического
ожидания и дисперсии биномиального, пуассоновского и геометрического распределений.
43. Определение и свойства характеристической функции. Связь между характеристической и производящей функциями для целочисленных случайных величин.
44. Формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии случайных величин через характеристическую функцию. Примеры: вычисление математического
ожидания и дисперсии для равномерного, экспоненциального и нормального распределений. Центральная предельная теорема (формулировка).
45. Задачи математической статистики. Вариационный ряд. Первичный статистический
анализ выборки. Гистограммы. Полигоны частот. Пример независимых одинаково
распределенных случайных величин.
46. Выборочная функция распределения и ее свойства. Точечные оценки и их свойства.
Смещение. Несмещенность и состоятельность точечных оценок. Асимптотическая
несмещенность.
47. Несмещенные и состоятельные точечные оценки математического ожидания и дисперсии. Пример несмещенной оценки, которая не является состоятельной.
3
48. Точечные оценки моментов k-го порядка и центральных моментов k-го порядка и их
свойства. Теорема: асимптотически несмещенная оценка, дисперсия которой стремится к нулю, является состоятельной.
49. Эффективность и асимптотическая эффективность оценок. Информация Фишера.
Неравенство Рао-Крамера.
50. Общие сведения о пакете Mathcad. Матричные вычисления в Mathcad.
51. Mathcad: первичная обработка статистических данных, генерирование выборок из
различных распределений, построение плоских графиков, построение гистограмм.
52. Линейная регрессия. Нахождение коэффициентов линейной регрессии. Решение задачи линейной регрессии в Mathcad. Среднеквадратическая ошибка. Построение линейной регрессии общего вида в Mathcad.
4