2 Формулы структурной кристаллографии. Зона

Формулы структурной кристаллографии. При решении различных
задач структурного анализа приходится вычислять углы между отдельными
плоскостями и кристаллографическими направлениями, направляющие
косинусы нормали, межплоскостные расстояния, а также определять
множество других параметров.
Направления
в
плоскости.
Связь
между
индексами
кристаллографической плоскости и параллельного (или лежащего в ней)
направления
легко
установить,
если
записать
уравнение
плоскости,
проходящей через начало координат:
hх + ky + lz = 0
(1)
Прямая, лежащая в этой плоскости и проходящая через начало
координат,
должна
проходить
через
узлы,
координаты
которых
удовлетворяют уравнению (1). По определению индексы направления [uvw]
равны или пропорциональны координате второго узла, через который
проходит направление:
hu + kv + lw = 0
(2)
Пересечение плоскостей. Если известны индексы двух пересекающихся
плоскостей (h1k1l1) и (h2k2l2), то можно вычислить индексы направления [uvw]
– линии их пересечения. Задача сводится к совместному решению двух
уравнений:
h1u + k1v + l1w = 0
(3)
h2u + k2v + l2w = 0
(4)
Запись через детерминанты дает:
k1 l1
h 1 l1
h 1 k1
u = k2 l2
- v = h2 l2
w = h2 k2
В окончательной записи надо числа u, v, w привести к взаимно простым
числам.
Практически для решения задачи удобна следующая последовательность
вычислений. Если написать дважды в первой строке индексы первой
плоскости, во второй – второй плоскости, в результате получим матрицу,
четыре внутренних столба которой служат для вычисления индексов:
h1
k1 l1 h1 k1 l1
h2
k2 l2 h2 k2 l2
Применяя правило перекрестного умножения (попарно перемножая
между собой перекрестным способом цифры матрицы), получим:
u = k1l2 – k2l1;
v = l1h2 – l2h1;
w = h1k2 – h2k1
(5)
Аналогичным образом можно решить обратную задачу: найти индексы
двух направлений, лежащих в этой плоскости.
Это уравнение (5) можно использовать для определения индексов
совокупности
пересекающихся
плоскостей,
параллельных
заданному
направлению [uvw]. Такие плоскости называют плоскостями одной зоны, а
направление, которому они параллельны (линия их пересечения), - осью
зоны [uvw] (рис.1). Условию зональности отвечает уравнение (2).
Ось зоны
Рис.1 Совокупность плоскостей {hikili} зоны [uvw]
Направляющие
косинусы
нормали
к
плоскости.
Положение
плоскости в пространстве кристаллической решетки, ее ориентацию в
кристаллографической
системе
координат
определяют
направляющие
косинусы нормали Н к плоскости АВС (рис.2). Для кристаллографических
систем, которые относятся к прямоугольной системе координат (кубической,
ромбической, тетрагональной), их нетрудно вычислить, используя известные
формулы аналитической геометрии:
cos  = А*М;
cos  = В*М;
cos  = С*М
где М = 1/(а+В+С) – нормирующий множитель;
А, В, С – коэффициенты в общем уравнении плоскости Ах+Вy+Сz+D = 0.
Z
Рис.
К
определению
направляющих
косинусов
2.
нормали
к
плоскости
pc
C
и
межплоскостного расстояния d

O
K

B Y
nb
ma
X
A
Если известны отрезки, отсекаемые плоскостью по осям координат (на
рис.2 - ОА, ОВ, ОС), то уравнение плоскости примет вид:
х/ОА + y/ОВ + z/ОС = 1
(6)
Выразим отсекаемые отрезки через кристаллографические единицы параметры элементарной ячейки:
ОА = ma = a/h;
OB = nb = b/k;
OC = pc = c/1
Уравнение плоскости (3.10) примет вид:
(h/а)х + (k/b)у + (l/с)z = 1
(7)
Используя значения коэффициентов перед переменными в уравнении
плоскости (3.11), определим направляющие косинусы нормали:
Для кубической сингонии а = b = с, поэтому:
cos  = h/(h2+k2+l2) ; cos  = k/(h2+k2+l2) ; cos  = l/(h2+k2+l2)
(8)
Таким образом, для кубического кристалла направляющие косинусы
нормали к плоскости пропорциональны индексам самой плоскости.
Межплоскостные расстояния. Характеристикой плоскостей кристалла
является не только его ориентация (описанная численными значениями
индексов Миллера) в пространстве кристаллической решетки, но и
расстояние между соседними параллельными идентичными плоскостями –
межплоскостное расстояние, которое соответствует длинам нормалей,
проведенных из начала координат ко всем кристаллографическим плоскостям
(рис.3).
d0 1 0
d110
Y
Z
d120
X
Рис. 3. Определение межплоскостного расстояния как длины
нормалей, проведенных из начала координат
Межплоскостные
расстояния
для
любой
системы
параллельных
плоскостей являются величиной постоянной, что обусловлено правильной
трехмерной периодичностью расположения узлов и меняется в зависимости
от их ориентации в кристалле, то есть с изменением индексов Миллера.
В общем случае, чем меньше значения индексов плоскостей, тем больше
величина межплоскостных расстояний. Максимальные значения величины
межплоскостного расстояния соответствуют плоскостям с индексами (100),
(010), (001).
Совокупность
плоскостей.
Повторяемость.
Семейства
разноориентированных плоскостей, для которых характерно одно и то же
значение межплоскостных расстояний, образуют совокупность.
Совокупность обозначается индексами плоскостей hkl, заключенными в
фигурные
скобки:
{hkl}.
Число
семейств
плоскостей,
образующих
совокупность (рис.4), определяется симметрией кристалла, зависит от их
расположения относительно элементов симметрии, то есть от ориентации их
в кристалле, а значит и от значений индексов.
а)
б)
в)
Рис. 4. Зависимость числа семейств плоскостей от симметрии кристалла
Все плоскости и индексами типа (100) в кубическом (а) кристалле
образуют одну совокупность {100}; в тетрагональном (б) – две: {001} и
{100}; в ромбическом (в) – три: {001}, {100}), {010}.
Число семейств плоскостей, входящих в совокупность, называется
повторяемостью и обозначается (Р). Число семейств плоскостей в
совокупности уменьшается, если среди индексов есть одинаковые или
равные нулю. Совокупность {100} в кубическом кристалле включает только
6 плоскостей: (100), ( 1 00), (010), (0 1 0), (001), (001 ).
Совокупность {111} – 8 плоскостей:
( 1 11), (1 1 1), (11 1 ), (111), ( 11 1), (1 1 1 ), ( 1 11 ), ( 111 )
Совокупность {110} – 12 плоскостей.
Совокупность {hkl} (когда индексы не равны между собой и не один из
них не равен нулю, например {123}) – число всех возможных комбинаций
равно 48:
123
132
213
231
312
321
1 23
1 32
2 13
2 31
3 12
3 21
123
13 2
21 3
23 1
31 2
321
12 3
13 2
21 3
23 1
31 2
32 1
123
132
2 13
2 31
3 12
3 21
12 3
13 2
21 3
23 1
31 2
32 1
12 3
13 2
2 13
2 31
312
3 21
12 3
13 2
213
2 31
312
3 21