Примеры принятия решений и их реализация

Матрица решений
Принятие решения представляет собой выбор одного из некоторого множества E рассматриваемых вариантов:
Ei ∈ E
Каждым вариантом Ei однозначно определяется некоторый результат (например, выигрыш, полезность или
надежность) ei .
Эти результаты должны допускать количественную оценку.
Идет поиск варианта с наибольшим значением результата, то есть целью выбора является max ei .
Таким образом, выбор оптимального варианта i производится с помощью критерия:
могут соответствовать различные внешние условия
решений
Под
решениями понимают оценку, соответствующую варианту
эффект (прибыль),
и характеризующую экономический
полезность, надежность и т.д. Такой результат называют полезностью решения.
Оценочная функция
Каждому варианту Ei приписывается, таким образом, некоторый результат
последствия этого решения.
Возникает, однако, проблема, какой смысл вложить в результат eir
.
eir
, характеризующий в целом все
Классические критерии принятия решений
Максиминный критерий Вальда
Максиминный критерий Вальда (ММ-критерий) использует оценочную функцию (6.4), соответствующую
позиции крайней осторожности.
ZMM оценочная функция ММ-критерия.
–
1. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием
минимаксного ZMM критерия.
Z MM  max min eij
j
i
eij 
13
5
21
2
5
0
9
8
4
2
1
7
0
2
6
1
Из каждой строки матрицы выбираем минимальный (min) элемент и заносим его в дополнительный столбец,
дальше из этого столбца выбираем максимальный элемент (max) – это и есть ответ.
eij 
Ответ:
13
5
21
2 2
5
0
9
8 5
4
2
1
7 1
0
2
6
1 2
E0  E1   2
2
Критерий Байеса – Лапласа
Решение реализуется (теоретически) бесконечное число раз;
Исходная позиция при применении BL-критерия оптимистичнее, чем в случае ММ-критерия, однако она
предполагает более высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.
2. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием
критерия Байеса-Лапласа ZBL при равновесных состояниях.
Z BL  max eir
i
eir 
n
e
i 1
ij
qj
n
Z BL  max  eij q j
i
eij 
Так как состояния равновесные то,
q1=q2=q3=q4=q5 q/5 =0.2
j 1
1
3
2
5
0
2
0
2
3
4
6 5
3
0
1
2
1
1 5
4
Каждый элемент матрицы умножаем на вероятность события q, которая в этой задаче равна 0.2 , после этого
полученные значения складываются построчно и записываются в дополнительный столбец.
Вычисление:
ei1=1*0.2+3*0.2+2*0.2+5*0.2+0*0.2=2.2
ei2=2*0.2+0*0.2+(-2)*0.2+3*0.2+4*0.2=1.4
ei3=6*0.2+(-5)*0.2+3*0.2+0*0.2+1*0.2=1.0
ei4=2*0.2+4*0.2+1*0.2+(-1)*0.2+5*0.2=2.2
eij 
1
3
2
5
0 2.2
2
0
2
3
4 1.4
6 5
3
0
1 1.0
2
1
 1 5 2.2
4
Из дополнительного столбца выбирается максимальное (max) значение – это и есть ответ.
Ответ: E0  E1   E4   2.2
3. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием
критерия Байеса-Лапласа ZBL при следующем распределении вероятностей состояния системы принятия
решений: q1=0.3, q2=0.3, q3=0.2, q4=0.1, q5=0.1
Z BL  max eir
i
n
eir   eij q j
i 1
n
Z BL  max  eij q j
i
eij 
j 1
1
3
2
5
0
2
0
2
3
4
6
5
3
0
1
2
4
1
1 5
Считается точно так же как и в предыдущей задаче:
уже заданную вероятность q1 умножаем на первый элемент первой строки, q2 умножаем на второй элемент
первой строки, q3 умножаем на третий элемент первой строки, q4 умножаем на четвѐртый элемент первой строки,
q5 умножаем на пятый элемент первой строки,
полученные ответы складываются и записываются в дополнительный столбец.
Далее то же самое проделывается с каждой строкой.
Вычисление:
ei1=1*0.3+3*0.3+2*0.2+5*0.1+0*0.1=2.1
ei2=2*0.3+0*0.3+(-2)*0.2+3*0.1+4*0.1=0.9
ei3=6*0.3+(-5)*0.3+3*0.2+0*0.1+1*0.1=1.0
ei4=2*0.3+4*0.3+1*0.2+(-1)*0.1+5*0.1=2.4
eij 
1
3
2
5
0 2.1
2
0
2
3
4 0.9
6 5
3
0
1 1.0
2
1
 1 5 2.4
4
Из дополнительного (посчитанного) столбца выбирается максимальное значение (max) – это и есть ответ.
Ответ: E0  E4   2.4
Критерий минимаксного риска Сэвиджа
4. Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием
критерия Сэвиджа ZS
Z S  min eij  min max max eij  eij 
i
i  j  i

eij  max aij
j
aij  max eij  eij
i
eij 
2
5
7
3
6
1
0
2
8
11
3
4
5
7
2
1
а.) Из столбца выбирается элемент с максимальным значением (max), далее из него вычитается первый элемент
столбца, потом второй, потом третий, потом четвѐртый.
б.) То же самое проделывается с каждым столбцом исходной матрицы.
в.) Полученные числа в том же порядке записываются в новую матрицу.
Вычисление:
8-2=6
11-5=6
7-7=0
4+3=7
8-6=2
11-(-1)=12
7-0=7
4-2=2
8-8=0
11-1=10
7-(-3)=10
4-4=0
8-5=3
11-7=4
7-2=5
4-1=3
г.) Из каждой строки новой матрицы выбираем максимальный элемент (max) и заносим его в дополнительный
столбец, дальше из этого столбца выбираем минимальный элемент (min) – это и есть ответ
6
aij 
6
0
77
2 12
7
2 12
0
0
10
0 10
3
4
5
35
Ответ: E0  E4   5
5. Критерий азартного игрока
Критерий азартного игрока использует оценочную функцию (6.2), соответствующую позиции крайнего
оптимизма
ZA – оценочная функция критерия азартного игрока
С помощью критерия азартного игрока определяется стратегия, максимизирующая максимальные выигрыши для
каждого состояния. Это критерий крайнего оптимизма.
Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия в экономике, в общем, нередки, и
пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное положение, когда
они вынуждены руководствоваться принципом или пан, или пропал.
Производные критерии принятия решений
6. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица
С целью занять наиболее уравновешенную позицию был предложен критерий Гурвица, оценочная функция
которого находится где-то между точками зрения предельного оптимизма (6.2) и крайнего пессимизма (6.4):
где с – весовой множитель.
Матрица
дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные значения наименьшего и
наибольшего результатов для каждой строки (6.10). Выбираются те варианты Ei0, в строках которых стоят
наибольшие элементы eir этого столбца.
При с = 1 критерий Гурвица превращается в ММ-критерий. При с = 0 он превращается в критерий азартного
игрока. Отсюда ясен смысл весового множителя с . В приложениях правильно выбрать этот множитель бывает
так же трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель с = 0,5 принимается в
качестве некоторой средней точки зрения.
2
eij 
5
6 1
7
3
0
2
8 11  3
4
5
1
7
2
По условию c  03 - это степень доверия к позиции крайней осторожности ZMM, или вероятность
(коэффициент) возникновения минимаксного критерия, описанного в первой задаче ZMM.
Возьмем c  03 , тогда 1  c  1  0.3  0.7 - это степень доверия к позиции критерия азартного игрока ZAG
max eir  max max eij 
i
i  j

Критерий Гурвица ZHW можно представить в виде:
ZHW= ZMM+ ZAG, а в этой задаче с коэффициентами ZHW= cZMM+ (1-c)ZAG
Решение (считается построчно):
а.) Минимальный (min) элемент строки умножается на 0.3 а максимальный элемент строки умножается на 0.7
б.) Результаты умножений складываются и записываются в дополнительный столбец
Вычисление:
e1r=(-3)*0.3+7*0.7=4
e2r=(-1)*0.3+6*0.7=3.9
e3r=(-3)*0.3+11*0.7=6.8
e4r=1*0.3+7*0.7=5.2
2
eij 
5
6 1
7
0
3 4
2 3.9
8 11  3
4 6.8
5
1 5.2
7
2
г.) Выбирается максимальное значение дополнительного столбца (max) – это и есть ответ.
Ответ: E0  E3   6.8
Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, требования:
- о вероятностях появления состояний Fj ничего не известно;
- с появлением состояний Fj необходимо считаться;
- реализуется лишь малое количество решений;
- допускается некоторый риск.
7. Критерий Ходжа-Лемана
Критерий Ходжа – Лемана (HL) опирается одновременно на ММ-критерий (6.6) и BL-критерий (6.7). С
помощью параметра ν выражается степень доверия к используемому распределению вероятностей. Если это
доверие велико, то акцентируется BL-критерий, в противном случае предпочтение отдается ММ-критерию.
Правило выбора, соответствующее HL-критерию, формулируется следующим образом:
дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами)
математического ожидания и в виде наименьшего результата каждой строки (6.11). Отбираются те варианты
решений Ei0, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца. Для ν = l HL-критерий переходит в BLкритерий, а для ν = 0 превращается в ММ-критерий.
Для ν = l HL-критерий переходит в BL-критерий, а для ν = 0 превращается в ММ-критерий.
Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием
критерия Ходжа-Лемана ZHL, если вероятности состояния системы принятия решений неизвестны. При решении
задачи учесть, что степень доверия к позиции крайней осторожности ZMM на процесс принятия решения должна
быть не более 0,4
2
eij 
5
6 1
7
3
0
2
8 11  3
4
5
1
7
2
По условию 1  v   0.4 - это степень доверия к позиции крайней осторожности ZMM, или вероятность
(коэффициент) возникновения минимаксного критерия, описанного в первой задаче ZMM.
Возьмем 1  v  0.4 , тогда v  1  0.4  0.6 - это степень доверия к позиции критерия Байеса-Лапласа ZBL,
описанного во второй третьей задаче.
Критерий Ходжа-Лемана ZHL можно представить в виде:
ZHL= ZBL+ ZMM, а в этой задаче с коэффициентами, ZHL= vZBL+ (1-v)ZMM
Далее, по условию, вероятности состояния системы принятия решений неизвестны, т.е. по заданной матрице
видно: вероятностей четыре (четыре строки), тогда предположим, что вероятности равноценны. Известно, что
n
сумма всех возможных вероятностей равна 1:
q
j 1
j
 1 → q  0.25
Решение (считается построчно):
а.) Каждый элемент строки умножается на вероятность q  0.25
б.) Всѐ складывается и умножается на 0.6
г.) К полученным значениям прибавляется произведение минимального элемента строки на коэффициент 0,4
Вычисление:
e1r  2 * 0.25  5 * 0.25  7 * 0.25   3) * 02.5* 0.6  0.4 * ( 3)  0.45
e2 r  6 * 0.25  ( 1) * 0.25  0 * 0.25  2 * 0.25* 0.6  0.4 * ( 1)  0.65
e3r  8 * 0.25  11 * 0.25  ( 3) * 0.25 * 4 * 0.25* 0.6  0.4 * ( 3)  1.8
e4 r  5 * 0.25  7 * 0.25  2 * 0.25  1 * 0.25* 0.6  0.4 *1  2.65
д.) Выбирается максимальное значение дополнительного столбца (max) – это и есть ответ.
Ответ: E0  E4   2.65
Требования HL-критерия к ситуации, в которой принимается решение, следующие:
-
неизвестны, но некоторые предположения о распределениях вероятностей возможны;
- принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;
- при малых количествах реализаций допускается некоторый риск.
8. Критерий Гермейера
Опираясь на подход к отысканию эффективных и пригодных к компромиссу решений, которые не считаются
заведомо худшими, чем другие, - можно предложить критерий Гермейера (G), обладающий в некотором
отношении определенной эластичностью.
В качестве оценочной функции выступает
обычно выполняется, при подходящим образом подобранном а > 0:
Определить оптимальные варианты из множества решений, заданных матрицей решений с использованием
критерия Гермейера ZG при следующем распределении вероятностей состояния системы принятия решений:
q1=0.3, q2=0.25, q3=0.25, q4=0.2
2
eij 
5
6 1
7
3
0
2
8 11  3
4
5
1
7
2
При использовании критерия Гермейера ZG для расчѐта должна получится матрица, в которой все элементы
имеют отрицательное значение.
В исходной матрице максимум это 11, поэтому из каждого элемента вычитается любое большее число, например,
12.
Cij    
  12
Получается матрица остатков
 10  7
eij 
5
 15
6
 13  12  10
4
1
7
 5  10  11
 15
8
Считается точно так же как и в задаче 2 и 3:
уже заданную вероятность q1 умножаем на первый элемент первой строки, уже заданную вероятность q2
умножаем на второй элемент первой строки, уже заданную вероятность q3 умножаем на третий элемент первой
строки, уже заданную вероятность q4 умножаем на четвѐртый элемент первой строки.
Далее то же самое проделывается с каждой строкой.
Вычисление:
-10*03= -3
-7*0,25= -1,75
-5*0,25= -1,25
-15*0,2= -3
-6*0,3= -1,8
-13*0,25= - 3,25 -12*0,25= -3
-10*0,2= -5
-4*0,3= -1,2
-1*0,25= -0,25
-15*0,25= -3,75
-8*0,2= -4
-7*0,3= -2,1
-5*0,25= -1,25
-10*0,25= -2,5
-11*0,2= -2,2
Полученные ответы сравниваются, из них выбираются минимальные значения, которые записываются в
дополнительный столбец матрицы остатков.
eij 
 10
7
5
 15  3
6
 13  12  10  5
4
1
 15
7
5
 10  11  2.5
8 4
Из дополнительного столбца выбирается максимальное (max) значение – это и есть ответ.
Ответ:
E0  E4   2.5
Условия применимости G-критерия таковы:
вероятности появления состояний Fj известны;
с появлением тех или иных состояний, отдельно или в комплексе, необходимо считаться;
допускается некоторый риск;
решение может реализоваться один или много раз.
Если функция распределения известна не очень надежно, а числа реализаций малы, то, следуя G-критерию,
получают неоправданно большой риск. Таким образом, здесь остается некоторая свобода для субъективных
действий.