ВОПРОСЫ К КУРСУ “СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА”

Глава 1
ВОПРОСЫ К КУРСУ
“СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА”
1. Основные положения
• В книге [1, Гл. 1], приведено подробное обсуждение
базовых понятий статистической физики.
Микроскопические и макроскопические состояния
системы.
Виды ансамблей
• Микроканонический ансамбль (микроканоническое распределение).
Предположим, что статистика состояния некоторой системы задаётся микроканоническим распределением. Пусть микроскопическое состояние |ψn i
этой системы является разрешённым для данного
микроканонического распределения, так что вероятность находиться системе в этом состоянии равна ωn , Чему равно количество разрешённых (или
доступных) состояний ∆Γ?
• Канонический ансамбль (каноническое распределение, распределение Гиббса). Запишите выражение для вероятности находиться системе в микроскопическом состоянии |ψn i, обладающем энергией En , если свободная энергия системы равна F .
Запишите вероятность системе обладать энергией
в интервале значений (E, E + dE), если известна
зависимость энтропии системы S от энергии E.
• Большой канонический ансамбль (большое, или
обощённое, каноническое распределение)
Имеется квази-классическая система тождественных частиц с функцией Гамильтона H(PN , QN ),
PN = (p1 , . . . pN ) и QN = (q1 , . . . , qN ), где qi
и pi – трёхмерные координаты и импульсы i-й
частицы, а N – количество этих тождественных
частиц. Гамильтониан определён для любого количества частиц N . Запишите статистическую
сумму системы в квази-классическом приближении и Ω-потенциал, предполагая, что система может обмениваться частицами с термостатом (температура термостата T , химический потенциал
рассматриваемых частиц в нём – µ).
1.1
Квантовые эффекты – одночастичная задача.
Рассмотрите квантовый гармонический осциллятор,
имеющий частоту ω, который слабо связан с внешней средой, имеющей температуру T . Вычислите для
такого осциллятора его статистическую сумму Z , найдите свободную энергию F , среднюю энергию E и
теплоёмкость C при произвольном соотношении температуры T и кванта энергии осциллятора ~ω. Исследуйте поведение полученных термодинамических величин в двух пределах: в пределе низкой температуры,
T ≪ ~ω, когда квантовая природа гармонического осциллятора оказывается существенной и происходит так
называемая ‘заморозка’ осцилляторной степени свободы, и в пределе высокой температуры, T ≫ ~ω, когда
при вычислении термодинамических величин осциллятор можно считать классическим.
Проведите те же вычисление для классического осциллятора. Когда результаты этих вычислений совпадают с результатами квантового рассмотрения? Почему?
1.1.1
Применение полученных результатов к
задаче о квантовом спине в магнитном поле.
Пусть дан квантовый спин длиной S и магнитным моментом µ: оператор M̂ магнитного момента спина
равен
M̂ =
µ
Ŝ.
S
(1.1)
Эта система похожа на квантовой осциллятор тем, что
её энергетические уровни также не вырождены и эквидистантны. Отличие, однако, состоит в том, что этих
уровней имеется конечное количество.
При каком соотношении магнитного поля, величины
спина, его магнитного момента и температуры оказываются существенными квантовые эффекты при вычислении термодинамических величин? Когда квантовые эффекты, наоборот, оказываются несущественными? Как
выглядит заселённость энергетических уровней спина в
магнитном поле в этих двух пределах?
2
Глава 1. В
1.2
Теплоёмкость газа во внешнем поле.
Какова теплоёмкость идеального одно-атомного газа,
помещённого во внешнее однородное гравитационное
поле g и находящегося в ограниченном сосуде высотой
h? К каким значениям стремится теплоёмкость такого
газа в двух пределах, mgh ≪ T и mgh ≫ T , где m
есть масса атомов газа? Каким физическим ситуациям
соответствуют эти пределы? Как можно посчитать теплоёмкость газа в этих пределах, не прибегая к вычислению точного выражения для статистической суммы, а
пользуясь физическими соображениями?
1.3
Задача про двух атомную молекулу, состоящую из одинаковых атомов. Орто- и пара-водород
Вопрос о статистической термодинамике газов рассматривается в [1, гл. 3], и в [2, §§47-48].
Как влияет тождественность частиц на возможный
вид их совместной волновой функции?
Рассмотрите молекулу водорода. Какой полный спин
могут иметь два протона этой молекулы? Как связан
возможный спектр значений механического момента молекулы атома водорода со значением полного спина
двух протонов молекулы водорода? При каких температурах становятся существенными квантовые эффекты?
Обсудить вопрос о теплоёмкости двух- и трёхатомного газа, известными из общей физики. Почему
при комнатной температуре трёх-атомная молекула, у
которой три её атома не лежат на одной оси, может
вращаться во всех трёх направлениях, тогда как двухатомная молекула может вращаться только в двух из
трёх направлений, а вокруг сои аксиальной симметрии
не может?
В связи с этим контрольный вопрос: Почему ядро
гелия не может вращаться вокруг своей оси – и поэтому его теплоёмкость рассчитывается как теплоёмкость
идеального одно-атомного газа, хотя ядро гелия и не
является элементарной частицей?
1.4
Состояние равновесия
Для получения ответов на поставленные вопросы рекомендуется прочесть [2, §15] и [1, Гл.1, §§11-14].
Как совместить два следующих верных утверждения?
1) В состоянии теплового равновесия замкнутая система находится в макроскопическом состоянии,
имеющим максимум энтропии (замкнутость системы означает, что у неё фиксированы объём V , количество частиц N и энергия E).
2) Для некоторой системы, помещённой во внешнюю
среду с фиксированной температурой T ’и давлением P , и имеющей фиксированное количество
частиц, в состоянии равновесия достигает минимума свободная энергия Гиббса Φ. (Например,
таковой системой может быть малая подсистема
системы из утверждения 1); тогда давление P и
температура T , задающие внешние условия для
малой системы, являются давлением и температурой всей большой системы.)
Почему в утверждении 1) говорится о максимуме энтропии S, а в утверждении 2) говорится о минимуме
энергии Гиббса Φ?
Если в утверждении 2) зафиксировать не давление
P , а объём V , какой термодинамический потенциал
в этом случае будет достигать минимума в состоянии
термодинамического равновесия?
1.5
Тепловые флуктуации
Вопрос о тепловых флуктуациях разобран в [1, Гл.6] и
в [2, Гл.XII].
Как зависят флуктуации термодинамических величин от объёма рассматриваемой системы, а именно: во
сколько раз изменится величина флуктуаций термодинамических величин, если объём системы увеличить в
n раз путём составления вместе n копий рассматриваемой системы?
Как различается эта зависимость для экстенсивных
(энергия, энтропия, количество частиц) и интенсивных
(температура, давление, химический потенциал) термодинамических величин?
1.5.1
Сумма случайных величин
Что такое распределение Пуассона и что такое распределение Гаусса?
Пусть дана случайная величина ξ1 , имеющая гауссово распределение. Среднее значение её равно ξ̄1 , а
дисперсия равна ∆ξ12 . Посчитайте среднее значение
случайной величины (ξ1 − ξ̄1 )4 .
Пусть даны n штук одинаково распределённых случайных гауссовских величин ξi , где индекс i пробегает
n значений. Рассмотрим сумму
Ξ
=
n
X
ξi
i=1
и среднее значение ξ = Ξ/n, которые в свою очередь также являются случайными величинами. Свяжите дисперсию величин Ξ и ξ с дисперсией величин ξi .
Величина Ξ является примером экстенсивной величины, а величина ξ – интенсивной величины.
1.5.2
Корреляции случайных величин
Пусть даны две гауссовы случайные величины, ξ1,2 ,
плотность совместной функции распределения ρ(ξ1 , ξ2 )
3
которых с точностью до нормировочного коэффициента
равна
A11 2
A22 2
ρ(ξ1 , ξ2 ) ∝ exp −
ξ1 + A12 ξ1 ξ2 +
ξ2
, (1.2)
2
2
причём
A11 > 0,
A11 A22 − (A12 )2 > 0.
Найдите среднее значение следующих случайных величин:
ξ1 ξ2 ,
1.6
ξ12 ,
ξ1 ξ22 ,
ξ24 .
(1.3)
Идеальный ферми-газ
Вырожденный ферми-газ обсуждается в [1, гл. 4] и в [2,
глава V].
Обсудить и качественно построить зависимость химического потенциала идеального ферми-газа от температуры при фиксированном значении плотности частиц. Для определённости считать, что низший уровень
энергии одно частичных состояний ферми-частиц имеет
нулевую энергию.
При какой температуре T ∗ (при постоянных количестве частиц N и объёме V ) становятся существенными квантовые эффекты, как оценивается эта температура через массу и плотность частиц?
1.6.1
Вырожденный идеальный ферми-газ
В каком случае ферми-газ называют вырожденным?
Рассмотреть среднее число заполнения nk одночастичного квантового уровня, характеризующегося
импульсом k, как функцию энергии εk этого уровня. Как выглядит эта функция при нулевой температуре, T = 0? Как изменяется функция заполнения
n(ε), если есть ненулевая температура T ≪ ǫF , где ǫF
– энергия Ферми газа? Электроны, занимающие какие
одно-частичные состояния, принимают участие в процессе нагрева ферми-газа (а также в процессе транспорта), пока ферми-газ остаётся вырожденным?
1.6.2
Изотермы ферми-газа
Изотерма T = 0 Постройте зависимости P (V ) давления от объёма для двух- и трёхмерных идеальных
ферми-газов, находящихся при нулевой температуре,
T = 0.
Изотерма с ненулевой температурой Какие
асимптотики имеет изотерма идеального ферми-газа
на плоскости P -V при V → 0 и при V → ∞? Какой предел соответствует вырожденному ферми-газу, а какой –
идеальному больцмановскому газу?
1.7
Идеальный бозе-газ
Рассмотрим трёх-мерный идеальный бозе-газ, частица
которого обладают нулевым спином.
Обсудите и качественно постройте зависимость химического потенциала идеального бозе-газа от температуры при фиксированном значении плотности частиц.
Для определённости считать, что низший уровень энергии одно-частичных состояний ферми-частиц имеет нулевую энергию.
При какой температуре становятся существенными
квантовые эффекты, как оценивается эта температура
через массу и плотность частиц?
Что такое точка бозе-конденсации? Каково количество бозе-частиц, находящихся на низшем энергетическом уровне, когда температура ниже температуры T0
бозе-конденсации, T < T0 , и, наоборот, когда температура выше температуры бозе-конденсации, T > T0 ?
Нарисуйте качественно два графика в случае, когда
уже имеется бозе-конденсат (т.е. T < T0 ):
• и график зависимости числа заполнения n
энергии одночастичного уровня ε.
от
• график плотности вероятности ω(E) одной частице газа иметь энергию E
1.7.1
Изотерма бозе-газа
Постройте (качественно) изотерму идеального трёхмерного бозе-газа на P -V плоскости. Обсудите предел
V → ∞ – чему он соответствует?
Найдите точку бозе-конденсации как функцию температуры, а также количества и массы частиц. Как зависит давление от объёма, температуры и массы частиц
ниже точки бозе-конденсации?
1.7.2
Двух- и одно-мерный бозе-газ.
Можно ли добиться бозе-конденсации двумерного идеального бозе-газа? Почему? Ответьте на тот же самый
вопрос по поводу одно-мерного случая.
1.8
Кинетическое уравнение Больцмана
для вырожденного Ферми-газа
• Этот вопрос разобран в [3, гл. 3],. Также в [1, гл. 4]
приведены основные сведения о устройстве электронных спектров проводников и диэлектриков.
Как записывается кинетическое уравнение Больцмана для вырожденного ферми-газа в τ -приближении?
При каких условиях можно переходить к квазиклассическому описанию ферми-газа?
Пользуясь кинетическим уравнением Больцмана в
τ -приближении, получите выражение для коэффициента теплопроводности κ и проводимости σ вырожденного
ферми-газа.
4
Глава 1. В
1.9
Фононы
• В [4], Задача 1, разобрана одномерная цепочка, состоящая из атомов двух типов. На этой модели
можно явно найти линии спектра акустических и
оптических фононов.
• Книга [5] посвящена подробному изучению колебаний кристаллической решётки.
Как устроен спектр колебаний атомной решётки?
Какова зависимость количества линий спектра от количества атомов в элементарной ячейке кристалла? Что
понимают под словом фонон? Какие фононы называют
акустическими, а какие оптическими?
Что такое температура Дебая TD ? Каково максимально возможное абсолютное значение волнового вектора у фононов?
Какова минимально возможная энергия колебаний
атомной решётки?
Посчитать энергию колебаний и теплоёмкость атомной решётки при низких, T ≪ TD , и при высоких,
T & TD , температурах. Рассмотреть двух- и трёхмерную атомные решётки. Связать поведение теплоёмкости с результатом задачи об одном квантовом осцилляторе, связанном со внешней средой, см. Пункт 1.1.
1.10
Системы с аномальным спектром
уровней энергии
Эта задача разобрана в [1, задача 4 из Примеров к Гл. 1].
Рассмотрите систему, состоящую из N элементарных
подсистем, каждая из которых может находиться в одном из двух квантовых состояний с энергиями 0 и ε0 .
Построить зависимость энтропии и температуры системы в зависимости от её полной энергии.
Пусть в начальный момент времени система имела
минимально возможную энергию. находясь таким образом при нулевой температуре. Будем теперь постепенно
нагревать систему, устремляя температуру T к бесконечности. К какому значению будет стремиться средняя
энергия системы?
В чём состоит аномальность спектра энергетических уровней рассматриваемой системы? Сравнить этот
спектр со спектром энергетических уровней идеального
одно-атомного газа N частиц в объёме V . Как зависит
плотность уровней по энергии от энергии для одной и
для другой системы?
2. Сверхпроводимость
Рекомендуемая литература:
• [6] – книга французского ноболевского лауреата П.
де Жена.
• [7] – книга российского автора В.Шмидта, переизданная в переработанном виде М.В.Фейгельманом,
ведущим специалистом по сверхпроводимости в
России.
2.1
Функционал Гинзбурга-Ландау
Что такое функционал Гинзбурга-Ландау для сверхпроводника?
Что такое уравнения Гинзбурга-Ландау? Как они
получаются из функционала Гинзбурга-Ландау? Почему нужно искать минимум функционала ГинзбургаЛандау? Как в общем случае связаны между собой
функционал Гинзбурга-Ландау и энергия сверхпроводника?
Выполните вариацию в следующих выражениях
Z
δ
d3 r′ |Ψ(r ′ )|10 ,
δΨ∗ (r)
δ
δA(r)
Z
2
d3 r ′ (div A(r ′ )) ,
где Ψ – сверхпроводящий параметр порядка, а A –
некоторое векторное поле.
2.1.1
Скачок теплоёмкости в переходах второго
рода
Как ведёт себя теплоёмкость массивного образца сверхпроводника вблизи точки перехода в отсутствии внешнего магнитного поля?
Нарисуйте графики зависимости от температуры
теплоёмкости C, энтропии S и внутренней энергии
E для обсуждаемого образца, когда |T − Tc |/Tc ≪ 1.
Нарисуйте графики тех же величин для воды в
окрестности точки плавления.
В чём состоит качественное отличие графиков для
сверхпроводника и для воды?
2.1.2
Калибровочная инвариантность
Что называют калибровочной инвариантностью? Что
означает калибровочная инвариантность для функционала Гинзбурга-Ландау?
Предположим, что рассматриваемый образец сверхпроводника является такой фигурой, что любой контур,
изначально находящийся полностью внутри сверхпроводника, можно непрерывным преобразованием перевести в точку, при этом всегда оставляя этот контур
полностью по-прежнему внутри сверхпроводника. Такая фигура называется односвязной.
На образец сверхпроводника односвязной формы наложено некоторое поле, так что параметр порядка описывается некоторой комплексной функцией Ψ(r) =
|Ψ(r)| eiθ(r) . Найдите калибровочное преобразование,
которое превращает параметр порядка в чисто действительную функцию.
Почему важна односвязность сверхпроводника?
Приведите пример, когда для куска сверхпроводника с
5
дыркой нельзя привести калибровочным преобразованием параметр порядка к чисто действительной функции.
2.2
Параметры в уравнении ГинзбургаЛандау
Что такое магнитная длина λ и длина когерентности
ξ? Какие сверхпроводники называют сверхпроводниками первого рода, а какие – сверхпроводниками второго
рода [7, §16]? Как зависят длины λ и ξ от температуры
при приближении к температуре фазового перехода Tc
[]? Изменяется ли при этом отношение λ/ξ магнитной
длины и длины когерентности
2.2.1
Фазовая диаграмма
Нарисуйте (качественно) фазовую диаграмму для обоих
типов сверхпроводников на плоскости T -B, где T —
температура, а B – внешнее магнитное поле. Считать,
что образец сверхпроводника имеет бесконечно длинную цилиндрическую форму, а магнитное поле приложено параллельно его боковой стороне.
2.2.2
Проникновение слабого магнитного поля
в сверхпроводник
Литература: [7, §6], [6, Гл.VI,§4,задача].
Рассмотрите ситуацию, когда к плоской границе
вакуум-сверхпроводник из вакуума приложено магнитное поле, направленое параллельно поверхности сверхпроводника. Как упрощаются уравнения ГинзбургаЛандау в этом случае – выпишите их для этого случая.
Проанализируйте эти уравнения в пределе слабого магнитного поля. Нарисуйте качественно графики зависимости магнитного поля и амплитуды
сверх-проводящего параметра порядка внутри сверхпроводника как функцию расстояния до границы сверхпроводника отдельно для сверх-проводников I-го и II-го
рода.
2.3
Сверх-проводящий ток
Рассмотрите область в сверхпроводнике II-го рода, в
которой модуль параметра порядка уже равен своему
значению в глубине сверхпроводника. Как связан сверхпроводящий ток в этой области с градиентом фазы параметра порядка и вектор-потенциалом?
Запишите уравнение Лондонов. Какой тип сверхпроводников описывает уравнение Лондонов?
2.4
Вихри в сверхпроводниках II-го рода
Литература [6, Гл.III,§2]
Как устроен одиночный вихрь в сверхпроводниках
второго рода? (Предполагается, что в сверхпроводнике
нет поблизости другого вихря.) Введём цилиндрические
координаты {z, ρ, ϕ}, так что ось Oz совпадает с осью
вихря.
Что называют кором (сердцевиной) вихря, и каков
радиус самого вихря? Каков полный магнитный поток,
связанный с вихрём, и в какой области пространства
этот поток набирается? В какой области пространства
есть ненулевой сверхпроводящий ток, и куда он направлен?
Нарисуйте качественно зависимость амплитуды
сверхпроводящего параметра порядка и магнитного поля как функцию расстояния до оси вихря ρ. Оцените
величину магнитного поля на оси вихря.
Как меняется в пространстве фаза θ сверхпроводящего параметра порядка? В частности, как θ зависит
от расстояния до оси вихря z и угла ϕ?
Глава 1. В
6
Литература
[1] Р.Кубо. Статистическая механика. Мир, 1967.
[2] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Теоретическая физика, том V. Статистическая физика, часть 1. Наука-Физматлит,
1995.
[3] А.А.Абрикосов. Основы теории металлов. М., Наука, 1987.
[4] Л.С.Левитов А.В.Шитов. Функции Грина. Задачи и решения. ФИЗМАТЛИТ, 2003.
[5] А.М.Косевич. Основы механики кристаллическиой решётки. Наука, 1972.
[6] П. де Жен. Сверхпроводимость металлов и сплавов. МИР, 1968.
[7] В.В.Шмидт. Введение в физику сверхпроводников. ИЦНМО, 2000.