Лекция 6 Тема: Интервальный статистический ряд 1. Основные

Лекция 6
Тема: Интервальный статистический ряд
1. Основные определения
В случае, когда число значений признака Х
велико или признак является непрерывным,
составляют интервальный ряд.
Опр. Интервальный статистический ряд
содержит в качестве значений интервалы
(могут быть равными или неравными) и
частоты значений, попадающих в этот
интервал.
Размер равных интервалов называется
шагом; обозначается - hi.
1
Пример 1.
Данные по среднемесячному доходу (в
руб.) на человека в выборке из 100
человек:
Хi, <1000 [1000, [2000, [3000, [4000, >5000
2000) 3000) 4000) 5000)
доход
mi,
колво
10
15
20
25
18
12
2
Замечания
1. Число интервалов следует брать не очень
большим, чтобы после группировки ряд не был
громоздким, и не очень малым, чтобы не
потерять особенности распределения признака.
2. Формулой Стерджеса задается рекомендуемое число интервалов
xmax − xmin
R
m=1+3.322· lg n и шаг h =
= .
1 + 3.322 ⋅ lg n
m
Начало первого интервала:
x1 = xmin − h / 2.
3
Пример 2.
Рост студентов на потоке от 158 см до
198 (всего n=100 чел.). Найдем по
формулам число интервалов и шаг:
R=198-158=40
m=1+3.322lg100=1+3.322*2=7.644
h=40/7.644=5.23
Выберем
h=6 и x1=158-6/2=158-3=155.
4
2. Характеристики интервального ряда
Опр. Выборочное среднее:
k
x=
∑x
i
i =1
n
*
mi
k
= ∑ xi ωi .
*
i =1
Опр. Выборочная дисперсия:
k
s =
2
*
2
(
x
−
x
)
mi
∑ i
i =1
n
k
= ∑ ( xi − x) ωi .
*
2
i =1
В формулах хi* – середина интервала i.
5
Задача.
Найти выборочное среднее.
Решение. n=70
Середина
Хi,
500
2500
3500
0-1000 1000-2000 2000-3000 3000-4000
mi,
10
k
x=
1500
∑x
i =1
i
*
mi
15
=
20
25
n
500 ⋅ 10 + 1500 ⋅ 15 + 2500 ⋅ 20 + 3500 ⋅ 25
=
≈ 2357.
70
6
Опр. Гистограммой частот (частостей)
называется ступенчатая фигура, состоящая из
прямоугольников с основаниями, равными
интервалам значений hi, и высотами, равными
отношению частот (или частостей) к шагу
mi  ωi
mi 
=

.
hi  hi n ⋅ hi 
Площадь гистограммы частот равна
объему выборки, а площадь гистограммы
частостей равна 1.
7
Час то та / инте рвал
mi
hi
Гис то грамма час то т
0.025
0.020
0.018
0.015
0.010
0.006
[0;1000)
[1000;2000)
[2000;3000)
[3000;4000)
[4000;5000)
[5000;7000]
Инте рвалы
8
Тема: Элементы теории оценок
1. Основные определения
Виды статистических наблюдений:
• сплошное, когда изучаются все объекты
генеральной совокупности (перепись населения);
• выборочное, когда изучается часть объектов
(соц. исследования).
Основные характеристики:
• генеральная и выборочная средняя;
• генеральная и выборочная дисперсия;
• генеральная и выборочная доля (отношение числа
элементов с признаком к числу всех элементов).9
Способы образования выборок:
повторный отбор (каждый элемент после
изучения возвращается обратно и может быть
выбран повторно);
бесповторный отбор (отобранный элемент в
общую совокупность не возвращается).
Задача выборочного метода:
оценка параметров (характеристик)
генеральной совокупности по данным выборки.
10
Понятие оценки параметров
Пусть изучается СВ Х c законом распределения,
зависящим от одного или нескольких параметров
(например, для нормального закона).
Требуется по выборке Х1, Х2, …, Хn, оценить
неизвестный параметр θ.
Опр. Оценкой θn параметра θ называют всякую
функцию результатов наблюдений над СВ Х, с
помощью которой судят о значении параметра θ:
n ( X , X ,..., X ).
θn = θ
1
2
n
Функцию результатов наблюдений (т.е.
функцию выборки) называют статистикой.
11
Т.к. Х1, Х2, …, Хn – случайные величины, то
и оценка является случайной величиной.
Если произвести другую выборку, то и
функция примет, вообще говоря, другое
значение.
К оценке любого параметра предъявляется
ряд требований, которым она должна
удовлетворять, чтобы быть «близкой» к
истинному значению параметра, т.е. быть в
каком-то смысле «наилучшей» оценкой.
12
2. Свойства оценок
1) несмещенность:
Опр. Оценка θ n параметра θ называется
несмещенной, если ее математическое ожидание
равно оцениваемому параметру:
M ( θ n ) = θ .
В противном случае оценка называется смещенной.
Опр. Оценка θn
параметра θ называется
асимптотически несмещенной, если:
M ( θ n ) → θ .
n→ ∞
13
Замечания.
1. Если требование равенства математического ожидания оценки самому параметру
не выполняется, то оценка, полученная по
разным выборкам, будет в среднем либо
завышать значение θ, либо занижать его.
2. Требование несмещенности гарантирует
отсутствие систематических ошибок при
оценивании.
14
2)состоятельность:
Опр. Оценка θ n параметра θ называется
состоятельной, если она удовлетворяет
ЗБЧ, т.е. сходится по вероятности к
оцениваемому параметру:
P
θ n → θ
n→ ∞
lim P { | θ n − θ |< ε } = 1 .
n→ ∞
15
Замечания.
1.Состоятельность оценки означает, что с
увеличением объема выборки мы все ближе к
истинному значению параметра.
2.Если оценка параметра является
несмещенной и ее дисперсия →0 при n→∞, то
эта оценка является и состоятельной.
3. Свойство состоятельности обязательно для
любого правила оценивания (несостоятельные
оценки не используются).
16
3) эффективность:
Опр. Оценка θ n параметра θ называется
эффективной, если она имеет наименьшую
дисперсию среди всех возможных
несмещенных оценок параметра θ,
вычисленных по выборкам одного и того же
объема n.
Пример.
Выборочная средняя является
несмещенной, эффективной и
состоятельной оценкой генеральной
средней.
17
Несмещенные оценки
1)для выборочной средней:
xΗ = x ;
2)для выборочной дисперсии:
k
n 2
s =
s =
n −1
2
Η
∑ (x
i =1
i
− x ) ni
n −1
2
.
18