Способы решения задач по математике

Реклама
Федеральное агентство по образованию
Российской Федерации
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
А. Н. Рурукин,
Е. В. Бровкова,
Т. Н. Виссонова
Способы решения
задач
по математике
Часть 1
В помощь учащимся 9-го класса
Москва 2009
УДК 512(076)
ББК 22.143я7
Рурукин А.Н., Бровкова Е.В., Виссонова Т.Н. Способы решения задач по математике. Часть 1. В помощь учащимся 9-го класса: Учебнометодическое пособие. – М.: НИЯУ МИФИ, 2009. – 112 с.
В данном пособии систематизированы знания по математике, которые получают учащиеся за 9 лет обучения в средней школе. Охвачены все
узловые темы курса. Часть 1 включает такие узловые темы курса, как преобразование алгебраических выражений, свойства функций, построение
графиков функций, решение уравнений и неравенств. Особое внимание
уделено практике решения задач, начиная с самых простых задач и кончая достаточно сложными.
Пособие предназначено для учащихся 9-х классов средних школ, которые хотят углубленно изучать математику, и поможет подготовиться к
олимпиадам, поступлению в физико-математические лицеи. Учителя могут использовать данное пособие для подготовки к занятиям.
Рекомендовано редсоветом НИЯУ МИФИ в качестве
учебного пособия.
Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. Г.В. Лупенко
 Национальный исследовательский ядерный
университет «МИФИ», 2009
ISBN 978-5-7262-1177-0
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ......................................................................................... 4
Тема 1. Преобразования алгебраических выражений ...................... 5
1.1 Свойства степеней с действительными показателями................... 5
1.2 Формулы сокращенного умножения ............................................. 6
1.3. Разложение многочленов на множители ...................................... 7
1.4. Дробные алгебраические выражения ........................................... 9
1.5. Выражения, содержащие знаки абсолютной
величины (модуля) ...................................................................... 12
1.6. Иррациональные выражения ...................................................... 15
Задачи для самостоятельного решения ............................................. 18
Тема 2. Функция и ее свойства. Построение графиков функций,
уравнения, неравенства .................................................................. 22
2.1. Понятие функции. Способы задания функции.
Основные свойства функции ...................................................... 22
2.2. Построение графиков функций. Графики основных
функций ....................................................................................... 28
2.3. Простейшие преобразования графиков ...................................... 35
2.4. Понятие о графике уравнения, неравенства ............................... 37
Задачи для самостоятельного решения ............................................. 40
Тема 3. Уравнения и неравенства ..................................................... 46
3.1. Основные понятия ...................................................................... 46
3.2. Уравнения ................................................................................... 48
3.3 Неравенства ................................................................................. 65
Задачи для самостоятельного решения ............................................. 74
Тема 4. Системы уравнений .............................................................. 85
4.1. Основные понятия ...................................................................... 85
4.2. Системы линейных уравнений ................................................... 85
4.3. Системы нелинейных уравнений ............................................... 90
Задачи для самостоятельного решения ............................................. 95
Ответы .................................................................................................102
3
Предисловие
Пособие, состоящее из двух частей, предназначено для учащихся 9-х
классов и представляет собой объединение учебника и задачника. При
этом преследовались следующие цели:
- напомнить основные сведения и способы решения задач, изучаемые
в 6–8-х классах;
- более детально рассмотреть темы 9-го класса;
- изложить все необходимые сведения для решения задач по данным
темам;
- рассмотреть наиболее типичные задачи и дать наиболее рациональные способы их решения;
- систематизировать и изложить учебный материал в наиболее доступной форме;
- уложить данный материал в разумный объем.
Напомним особенности 9-го класса. К окончанию этого класса учащиеся, занимающиеся по различным программам, должны получить равноценный объем и качество знаний и сдавать экзамены в одинаковых условиях
(или в традиционной форме, или в форме государственной итоговой аттестации). Поэтому 9-й класс – этап систематизации и уточнения знаний,
подведения определенных итогов. Пособие написано с целью помочь
учащимся в этом.
В соответствии с рубрикацией государственной итоговой аттестации и
Единого государственного экзамена весь излагаемый материал представлен семью темами (независимо от порядка их изучения). В пределах каждой темы основные сведения и способы решения задач излагаются от
простого к сложному. Задачи для самостоятельного решения для удобства разделены на три группы сложности. Поэтому данное пособие будет
полезно как для базовой, так и для углубленной подготовки.
Вместе с тем, необходимо понимать, что создать универсальное пособие невозможно (так же как невозможно изобрести панацею от всех болезней). Поэтому надо рассматривать это пособие как некоторую основу и совмещать его со школьными учебниками и задачниками, а также другими пособиями (в зависимости от степени подготовленности и заинтересованности
учащихся). В конце пособия приведен рекомендуемый список литературы.
Предлагаемый курс свыше 30 лет совершенствуется в процессе заочного, вечернего и дневного обучения в физико-математических лицеях и
школах г. Москвы, написания пособий для 5–11-х классов.
Курс не рассчитан на беглое чтение: для развития навыков решения
задач каждая тема должна быть детально изучена: проработаны приведенные типичные задачи и самостоятельно решено как можно больше задач). Поэтому потребуется интенсивная и напряженная работа.
Желаем успешной учебы!
Авторы
4
Тема 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
При решении многих задач и различных разделов математики
необходимо выполнять алгебраические преобразования. Цель этих
преобразований – замена сложных и громоздких выражений более
простыми и наглядными. Напомним основные приемы и способы
преобразований.
1.1. Свойства степеней с действительными
показателями
Напомним свойства степеней с действительными показателями:
1) ахау = ах+у;
2) ах:ау = ах–у;
x
3) (ах)у = аху;
x
a
a
5)    x .
b
b
 
В этих формулах а и b – положительные числа, х и у – действительные числа.
Пример 1.1. Упростить выражение (аа4)5 : (а2а3)4.
Решение. Используя перечисленные свойства, выполним сначала действия в скобках, возведем результаты в данные степени, а
затем выполним деление. Получаем:
(a  a 4 ) 5 : ( a 2  a 3 ) 4  (a1 4 ) 5 : ( a 23 ) 4  ( a 5 )5 : (a 5 ) 4 
4) (аb)x = ахbх;
 a 55 : a 54  a 25 : a 20  a 25 20  a 5 .
Пример 1.2. Упростить выражение
a b   a
3 1/ 2 3
 
1/ 2 2 2

4
b : a1 / 2b1 / 3 .
Решение. Используя приведенные свойства, выполним действия:
1   1

  1 4 1  4 
3
2
3 1/ 2 3
1/ 2 2 2
1/ 2 1/ 3 4
33 2   2
22   2

ab
a b :a b
 a b
 a b
: a b3  

 
 


 
 


 

9 3/ 2
 a b
 

 ab : a b  
4
2 4/3
3
4
 4
912 2
3
а
b
a
8
25
b6
8
a b
4
1
6.
5
1.2. Формулы сокращенного умножения
Напомним формулы сокращенного умножения:
1) а2 – b2 = (a – b)(a + b);
2) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2);
3) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2);
4) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
5) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2;
6) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;
7) (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
Пример 1.3. Выполнить действия 16а4 – 9b2.
Решение. Используя формулу 1, получаем
16а4 – 9b2 = (4а2)2 – (3b)2 = (4a2 – 3b)(4a2 + 3b).
Пример 1.4. Упростить выражение
А = (а + 2)(а – 2)(а2 + 2а + 4)(а2 – 2а + 4).
Решение. Изменим порядок умножения: перемножим сначала
первую и четвертую скобки, затем вторую и третью, используя
формулы 2 и 3. Получаем:
А = [(а + 2)(а2 – 2а + 4)][(а – 2)(а2 + 2а + 4)] =
3
= (а + 23)(а3 – 23) = (а3 + 8)(а3 – 8) = (а3)2 – 82 = а6 – 64.
Здесь также была использована формула 1.
Пример 1.5. Найти наименьшее значение выражения
А = 2а2 – 2ab + b2 – 2a + 5.
При каких значениях а и b оно достигается?
Решение. Выделим в выражении А полные квадраты разности
по переменным а и b. для этого представим 2а2 = а2 + а2 и 5 = 1 + 4.
Тогда данное выражение А имеет вид
А = (а2 – 2ab + b2) + (a2 – 2a + 1) + 4 =
= (a – b)2 + (a – 1)2 + 4.
Так как слагаемые (a – b)2  0 и (a – 1)2  0, то наименьшее
значение А достигается при выполнении условий
(a  b) 2  0,
 a  b  0,
или 

(a  1) 2  0
a  1  0,
откуда а = b = 1. Это наименьшее значение А = 4.
6
1.3. Разложение многочленов на множители
Во многих алгебраических преобразованиях возникает задача
разложения многочлена на множители, т. е. представления многочлена в виде произведения нескольких одночленов и многочленов.
Остановимся на основных способах разложения многочленов.
1. Вынесение общего множителя за скобки. Этот способ основан на использовании очевидной формулы ab + ac = a(b + c).
Если все члены многочлена содержат общий множитель (одночлен
или многочлен), то этот множитель можно вынести за скобки. В
скобках остается многочлен, полученный от деления данного многочлена на этот общий множитель.
Пример 1.6. Разложить на множители многочлен
А = 3х2у3–6х2у + 15ху2.
Решение. Легко заметить, что каждый одночлен многочлена А
содержит множитель 3ху. Поэтому многочлен А можно записать в
виде А = 3хуху2 – 3ху2х + 3ху5у. Теперь вынесем этот общий
множитель 3ху за скобки: А = 3ху(ху2 – 2х + 5у). Таким образом,
многочлен А разложен на произведение одночлена 3ху и многочлена ху2 – 2х + 5у.
2. Группировка членов. В ряде случаев все члены многочлена
не имеют общего множителя, однако определенные группы этих
членов такой множитель имеют. Этот факт может быть использован для разложения многочлена па множители.
Пример 1.7. Разложить на множители многочлен
А = 8ab – 2ac – 12b2 + 3bc.
Решение. Сгруппируем одночлены 8ab, –2ас и –12b2, 3bс и
получим A = (8ab – 2ac) + (–12b2 + 3bc).    
   2a,   –3b.  
  : A = 2a(4b – c) – 3b(4b – c).
 ,       (4b – c).
     : A = (4b – c)(2a – 3b). 
,  A      (4b – c) и (2a – 3b).
3. Использование формул сокращенного умножения. Как
правило, в задачах этот способ сочетается со способом вынесения
7
общего множителя за скобки и способом группировки членов многочлена.
Пример 1.8. ть   
A = a4 – 2a3 + a2 – 1.
Решение.      
 A = (a4 – 2a3 + a2) – 1.   
   (a2 – a).  : A =
= (a2 – a)2 – 1 = (a2 – a)2 – 12.    
     : A = (a2 – a – 1)(a2 – a + 1).
       
 выделять группы членов,    
   .
Пример 1.9. Разложить    A = 4a4 + 1.
Решение.   A     4a2,
: A = (4a4 + 4a2 + 1) – 4a2.    
    .  A = (2a2 + 1)2 – (2a)2.
      
: A = (2a2 + 1 + 2a)(2a2 + 1 – 2a) = (2a2 + 2a + 1)(2a2 – 2a + 1).
 ,  A    
: 2a2 + 2a + 1  2a2 – 2a + 1.
4. Нахождение корней многочлена.  одной переменной A = anxn + an–1xn–1 +…+ a1x + a0 ( an, an–1,…, a0   ) легко разложить  , ели известны все корни x1, x2, …, xn  : A = an(x – x1)×
×(x – x2)×…×(x – xn).  ,   
A = ax2 + bx + c,    A = a(x – x1)(x – x2),
   x1  x2  .
Пример 1.10.    
A = 6x2 – 7x – 5.
Решение. Сначала    .  
   6x2 – 7x – 5 = 0.  
7  49+4  6  5 7  13
20 5
,  х1, 2 =
=
, . . х1 
 
12
12
12 3
6
1
x2=    .
12
2
8
1
 5 
А  6   х   х   .
2
 3 
Можно   6  .     6 
5
1


  6 = 3·2.  А  3   х    2   х   . 
3
2


   3   ,  2   .
 A = (3x – 5)(2x + 1).  A  
  (3x – 5)  (2x + 1).
     
 однородные   . ,
 однородным   , 
 однородных членов одной и той же степени.
Пример 1.11. ть     A = 2x2 – 5xy + 2y2.
Решение.    ,  x  ,  y   . 
 , :
   
5 y  25 y 2  4  2  2 y 2 5 y  9 y 2 5 y  3 y


4
4
4
у
или х1 = 2 у, х2 =
.     А 
2
:
у
у


А  2( х  2 у ) х    ( х  2 у )  2   х    ( х  2 у )( 2 х  у ) .
2
2


x1, 2 
1.4. Дробные алгебраические выражения
Алгебраической дробью  ,  
    ,
 знаменатель  содержит переменные.
      
   .    
.
9
 ,    ( ,   
 )  основное свойство дробей:
a
ma
=
(b  0, m  0), т.е.  числитель  знаменатель 
b
mb
умножить  разделить на одно и то же 
 (  ),   равная ей дробь.
6 x 2+ xy  y 2
 1.12. ь  A =
.
4x2  y 2
Решение.      
.      
.    ,  x 
,  y  .   
 :
 y  y 2  4  6  ( y 2 )
 y  25 y 2
 y  5y
=
=
12
12
12
4y y
 6y
y
 x1 =
=  x2 =
=  .    :
12 3
12
2
y 
y

6 x 2+ xy  y 2 = 6 x    x +  = 3x  y 2 x+y  .
3
2



    , 
4x2 – y2 = (2x)2 – y2 = (2x – y)(2x + y).
3x  y 2 x+y  = 3x  y (   A=
2 x  y 2 x+y  2 x  y
      (2x + y)). ,
  A    2x – y  0, 2x + y  0, . . 
y  2x.
   .
Пример 1.13. ь 
 2  6n
4    4m 2  n 2 
.
 : 1 
A  
 2

2
2m  n   4m 2  n 2 
 2m  n n  4m
     (   
):
x1, 2=
10
2
6n
4
 2

.   A1 
2
2m  n n  4m
2m  n
     (    
2
6n
4
 )   A1 



2
2
2m  n 4 m  n
2m  n
2
6n
4
=


.   
2m  n ( 2m  n)(2m  n) 2m  n
  (2m – n)(2m + n).   :    (2m + n),   1,   (2m – n).
 :
2( 2 m  n )  6 n  4( 2 m  n) 4 m  2n  6 n  8m  4 n
 4m
A1 


( 2m  n)( 2m  n)
( 2m  n)(2m  n)
4m 2  n 2
( 2m – n  0, 2m + n  0, . .  n  2m).
4m 2  n 2
4m 2  n 2 + 4m 2  n 2
8m 2
. A2 = 1+ 2 2 =
=
4m  n
4m 2  n 2
4m 2  n 2
( n  2m).
4 m
8m2
 4m 4m 2  n 2
1
. A = A1 : A2=
:
=
=
2
2
2
2
2
2
2
2m
4m  n
4m  n
(4m  n )  8m
. A1 


(m  0).      
  -  .
1
, A= 
.     n  2m, m  0.
2m
Пример 1.14. зать,     a > 1
1
1
2
4
8
16
  A=
+
+
+
+
+
2
4
8
1  a 1+a 1+а 1 + а 1 +а 1 + а16
.
Решение.     ,  
  ,    . 
1
1 1+a+1  a
2
:
+
=
=
,
A1=
2
1  a 1+a
1 а
1  а2

A2 = A1+
2
2
2
2+2а 2+ 2  2а 2
4
=
+
=
=
.
2
2
2
4
1+а
1 а
1+а
1 а
1  а4
11
 ,   
32
A=
. ,  a > 1, ,  
1  а 32
  1 – a32 < 0,   A .
4b+a
 1.15. ,  A =
=2 . ти 
5a  7b
3a 2  2ab+b 2
 B =
.
5a 2+2b 2
Решение. Сначала отметим,    
 A     , 
 B     .  
  A ,     
4b+a
a  b:
 2  4b + a = 2(5a – 7b)  4b + a = 10a – 14b,
5a  7b
18b = 9a  a = 2b.      B:
B=
3  2b 2  22b   b +b 2
12b 2  4b 2 +b2
9b 2
9
=
=
=
.
2
2
2
2
2
22
20b + 2b
22b
5  2b  +2b
1.5. Выражения, содержащие знаки абсолютной
величины (модуля)
Абсолютной величиной (модулем)  () a  само выражение () a,   неотрицательное, 
противоположное выражение () (–a),  a отрицательное.
  () a   () |a|.
a, если a  0;
, | a | 
 a, если a  0.
Пример 1.16. ) |3,7| = 3,7,    a = 3,7
 (  );
) |0| = 0,    a = 0 ;
) |–7,2| = –(–7,2) = 7,2,    a = –7,2 .
   |a|     a  
0; |a – b|     a  b.
12
Свойства абсолютных величин чисел (выражений):
1) |a|  0;
2) |–a| = |a|;
3) |ab| = |a||b|;
a |a|
4) =
(b  0) ;
5) |a|2 = a 2 .
b |b|
      
    a.
  ,  
 .     
 ,       
( )     .
 1.17.     A = 3x + |2x – 1|+5.
Решение.       
a = 2x – 1    ,     .

3x  (2 х  1)  5, если 2 x  1  0;
A

3x  ( 2 x  1)  5, если 2 x  1  0
1 
1

3 x  2 х  1  5, если x  2 ; 5 x  4, если x  2 ;
=

3 x  2 x  1  5, если x  1  x  6, если x  1 .

2 
2
      , 
   нецелесообразно.  
   метод интервалов,  
    .
 1.18.    
A = 2 – 3x + |x – 1| – |2x – 3| + |x + 2|.
Решение.      : a =
= x – 1, b = 2x – 3, c = x + 2,    
.       x,  
13
    a, b  c (. . 
 x,   a = 0, b = 0, c = 0).
3
и x = –2.
2
Они       : x  (–; –2),
 3
3

x  [–2; 1],
x  1;   x   ;  . ( , 
2
2




   a, b  c   
       ( 
   a, b  c  ).  
      a,
b, c    x (    
)  .
,   I    x = –10. 
  ,  a < 0, b < 0, c < 0.  
       
   (   
 ). , для всех точек  I :
A = 2 – 3x – (x – 1) – (–(2x – 3)) – (x + 2) =
= 2 – 3x – x + 1 + 2x – 3 – x – 2 = –3x – 2.
  II , ,  x = 0.  
  : a < 0, b < 0, c > 0.         a  b 
  ,   c  
.   для всех точек  II :
A = 2 – 3x – (x – 1) – (–(2x – 3)) + x + 2 =
= 2 – 3x – x + 1 + 2x – 3 + x + 2 = –x + 2.
   III  a > 0, b < 0,
c > 0. 
    x = 1, x =
14
A = 2 – 3x + (x – 1) – (–(2x – 3)) + x + 2 = x.
    IV a, b, c > 0 
A = 2 – 3x + (x – 1) – (2x – 3) + (x + 2) = –3x + 6.
   :
 3 x  2, если x  ( ;2);

 x  2, если x  [ 2;1];

 3
A   x, если x  1; ;
 2


3

 3 x  6, если x   ; .
2


   А    х,   
        
(,     II   III  
х =1)          (
х = 1   (–х + 2)  х    1).
        
. ,  х = 1    
    .
           .
1.6. Иррациональные выражения
        
,    ,    
  .
Пример 1.19.  
A = 1  x + 4 x 2  12 x + 9 + 2 x  3 .
Решение.    A  , ,
  : 1 – x  0, 4x2 – 12x + 9  0.  
   x ≤ 1,     x,  
4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2  0.
  A  : A = 1  x +|2 x  3|+ 2 х  3 .
15
     x ≤ 1 (   x
 2x – 3 < 0), : A= 1  x  2 x  3+2 x  3  1  х .
   ,   
    
.    .
Пример 1.20.  
A = 3 x+2 3x  5  4  12 x  4 3x  5  19 .
Решение.    ,   A, 
   , , ,  .    ,   
2
y +5
y  3x  5 .  y2 = 3x – 5  x =
.   3
  A, :
A= 3 
2
2
y +5
y +5
+2 y  4  12 
+4 y  19 =
3
3
= y 2+2 y+1  4 y 2 +4 y+1 = |y + 1| – |2y + 1|.
    y  0,   y + 1 
2y + 1 . 
A = y + 1 – (2y + 1) = –y =  3х  5 .
5
    x  .
3
 е     
    .  
      
, . .   ,   
  .  
,  ,    
.
Пример 1.21.       A =
16
y
3

x 2 x  y
.
Решение.     A  
3


2
x  2 x + y  :
3
y
A =
3

2
x 2 x+

x2 x  y
 x 2
3
2
y

x+ y

y
=
3

2
x 2 x+
х (4 х  у )
y
.
,   A   x > 0, y  0, y  4x.
Пример 1.22.   
1
1
1
A=
+
+ . . .+
.
100 + 99
99 + 98
2 1
Решение.    A   
 :
A=

100  99
100 + 99 100 

=
99
+ ...+


2  1
=
2+ 1 2  1


100  99
2  1
+...+
=
100  99
2 1
 100  99 + 99  98 +...+ 2  1 .
      
,    ,   
A= 100  1  10  1  9 .
,     ,  ,      
  .
Пример 1.23.  
xa1 / 2
2 x 2  4 xa
x3 / 2

+
.
1/ 2
1/ 2
xa
x + a
a  x
   y = x1/ 2= x , z = a1/ 2= a , 
x = y2  a = z2.  x  a   A, :
A=
A=
3
2
4
2
3
2
4
2
y
y z 2 y  4 y z2
y
y z 2 y  4 y z2

+
=
+
+
=
2
y+z zy
y+z y  z  y+z  y  z 
y  z2
17


y 3  y  z + y 2 z  y+z + 2 y 4  4 y 2 z 2
=
 y+z  y  z 
=



3 y4  3 y 2 z 2 3 y 2 y 2  z 2
=
= 3 y2.
2
2
 y+z  y  z 
y z
    x  a,  A = 3x.
  A   x  0, a  0, x  a.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
–A–
Выполнить действия.
1. (–0,8х2у3)(5ху2).
3. (2ху2)3:(ху)2.
4
2. (0,5х3у6)(–6х2у3).
4. (х2у4)2:(ху2)3.
2
 1 1  1 1
5.  x 2 y 3  :  x 3 y 2  .

 

2
2
7. (2а – 3b)(2a + 3b).
9. (a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2).
Разложить на множители.
11. а3 + b3 + a2b + ab2.
13. 2x + y + y2 – 4x2.
15. 6a2 – 5a – 4.
Упростить выражения.
3
12. a3 – b3 + a2b – ab2.
14. x – y + 9y2 – x2.
16. 10x2 + 13x – 3.
17.
3x 2  7 x  2
.
2  6x
18.
19.
6a 2  a  1
.
8a  b  2ab  4
20.
4x2 1
2
 1 1  1 1
6.  x 3 y 2    x 6 y 4  .

 


 

2
2
4
8. 4a – 12ab + 9b .
10. (2a – 3)3.
5x 2  12 x  4
.
6  15 x
10a  3b  2ab  15
4a 2  4 a  3
.
x  2 1 x
9x2  1
x  1 x 1

.
22. 2


.
x  x  2 3x  1 x  2
x  5x  6 2 x  1 x  3
 2x
  2x
4x 2
1 
:
23. 
 2

.
2
2
2
 2 x  y 4 x  4 xy  y   4 x  y
y  2 x 

 
21.
18
2

 x2
  x
x3
x 2 
:
24. 
 2

.
 x  y x  y 2  2 xy   x  y y 2  x 2 

 

25.
a a b b
.
a b
26.
a a b b
.
a  2 ab  b
 x1,5  1
 x 1
27.  0,5
 x 0 ,5  : 0 ,5 .
 x 1
 x 1


1/ 3
 x 1
 x 1
28.  1 / 3
 x1 / 3   2 / 3
.
 x 1
 x 1
Записать без знака модуля (раскрыть модуль).
| x 3|
.
x 3
32. 3x + |x – 3| + 2.
x 1
.
| x 1|
31. 2х + |x – 2| + 1.
29.
30.
–B–
Вычислить значение выражения.
33.
5п 1  5 п 1
2  5п
.
34.
85  6 
85  6 . 35.
8  28  8  28 .
Разложить на множители.
36. 3х2 – 11ху – 4у2.
38. ab2 – b2y – ax + xy + b2 – x.
37. 4х4 – 5х2 + 1.
39. x2y2 – 5xy2 + 6y2 – x2 + 5x – 6.
Упростить выражения.
40.
x 2  10 xy  25 y 2  1
.
(1  x  5 y )( x  5 y  1)
41.
36  x 2
x 8
 x
2x
 12 x
 2
.


x

6
x  12 x  36  x  6

ab ba
4a 2   a 2
a b 2 
42. 

 2
:
 2  .
 b  a b  a a  b 2   b 3  ab 2
b 
b

 
1
1
1
43.


.
(a  b)(a  c) (b  a)(b  c ) (c  a )(c  b)
2
 a a b b
 a  b 
 .
44. 
 ab 
 a b
 a  b 



19
45.
x  3  4 x 1  x  8  6 x 1.
 a1 / 4  b1 / 4
 1/ 2
a1 / 4  b1 / 4
2b1 / 2
 b  a1 / 2 .
46.  1 / 2


 a  a1 / 4 b1 / 4 a1 / 2  a1 / 4b1 / 4 a 3 / 4  a1 / 4 b1 / 2 



47. Найти значение выражения
3x 2  xy  4 y 2
2
2
, если

x  4y
 2.
x y
x  2 xy  2 y
48. Найти все целые значения п, при каждом из которых значение вы12п  70
ражения
является целым числом.
4п  11
49.
Найти
наименьшее
значение
выражения
x  2y 5 
+ (2 x  3 y  8) 2  7 и укажите числа х и у, при которых оно достигается.
–С–
Найти значения числовых выражений.
50.
51.
1
1
1
1


 ... 
.
1 2 2  3 3  4
99 100
2
2 2 3

64 2
.
52.
3
7  5 2  3 7  50 .
2 2 3
Разложить на множители.
53. х(х + 1)(х + 2)(х + 3) – 15.
54. х4 + 4.
55. (ab + ac + bc)(a + b + c) – abc.
Упростить выражения.
 9x 2  1

1
1
(27 x 3  18 x 2  3x).
56.  2

:
 9 x  6 x  1 27 x 3  9 x 2  3x  1 27 x 3  1 


2
2
4
2
2
 x  y x  y  y  2  4x  4x y  y  4
:
57. 

.
 2 y  x x 2  xy  2 y 2 
x 2  y  xy  x


 1
 1

 1
1
1 
2
2
1 

  1 

58.



.
( x  y )3  x 4 y 4  ( x  y ) 4  x 3 y 3  ( x  y ) 5  x 2 y 2 
20
59.
a 2  3a  (a  1) a 2  4  2
2
2
a  3a  (a  1) a  4  2
a2
.
a2
 49
 a 4 / 3  27a1 / 3 40  a 2 / 3
a1 / 3  3

60. 
 2/3

.
 a  27 a
 3a1 / 3  9  16  a 2 / 3
4  a1 / 3

61.
( x  1) ( x  1) 2  4 x
x2 1  2 | x |
.
( x  2) ( x  2) 2  8 x
.
x 2  4 | x 1 |
63. Найти зависимость между а, b и с, если существуют такие х и у,
что выполнены равенства а = х + у, b = х2 + у2, с = х3 + у3.
64. Положительные числа а и b связаны равенством 3а2 – 2b2 = 5ab.
62.
2а 2  ab  3b 2
.
a 2  ab  2b 2
1
1
65. Найти значение выражения x 3  3 , если x   3 .
x
x
Найти значение выражения
66.
Найти
значение
выражения
19  a  10  a ,
если
19  a  10  a  1.
67. При каких значениях х и у выражение 2 + 6у – 4х – х2 – у2 принимает наибольшее значение и чему оно равно?
10
68. Найти наибольшее значение выражения 2
,
2
x  y  2 x  10 y  30
при каких значениях х и у оно достигается?
69. При каких значениях х и у, связанных соотношением х + у = 1, выражение 4х2 + 2ху – у2 принимает наименьшее значение? Чему равно это
значение?
6
70. Найти наибольшее значение выражения

( x  y  3) 2  3

4
. При каких значениях х и у оно достигается?
| x  y  5 | 2
21
Тема 2. ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА.
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИИ,
УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА
         .              .
      ,
,    ..   
    .   
     ,
, .
2.1. Понятие функции. Способы задания функции.
Основные свойства функции
Понятие функции.       X  Y    f,   каждому числу
x  X      y  Y (. .
2.1).  ,   функция y = f(x)  y(x) 
  (..) X    (..) Y.
   x  независимой переменной ( аргументом ),  y  зависимой переменной (
значением ).
Рис. 2.1
Пример 2.1.   y = x  2 +3 .   y    x  
 :   x   2 (x – 2),
22
     




x  2 , нако-
нец,   3 x  2 + 3 . Совокупность  
( ,      x 
 y)   функцией y(x). ,  x = 6
 y(6)  6  2  3  4  3  2  3  5 , т.е.  
 y    x необходимо подставить эту величину x    y(x).
,     для любого 
 x      y (. . 
 x    y).
      
 .      (x – 2)
,     , . . x – 2  0
 x  2.  ..  x  2; +  .       0  x  2 <+ ,   
     3 и 
3  x  2 +3 <+  3 ≤ y < +.  .. 
y  3; +  .
Основные способы задания функций.
1. Аналитический способ (    ).
Пример 2.2.  :
 x, если x < 0 ;
) y = x 2 + 3 x ; ) y = 
 x 2 , если x  0 .
   ,   
 .    x    y.
,  x = –0,37 (  x < 0), ,  
2
,  y(–0,37) = –0,37.  x = (  x > 0,
3
2
 2  2 4
   )  y  =   = . 
 3  3 9
  y ,    x 
   y.
23
Пример 2.3. Рассмотрим соотношение 3x + y = 2y – x2. 
 него  y: 3x + x2 = 2y – y  x2 + 3x = y.  ,
     y = x2 + 3x.
2. Табличный способ.
Пример 2.4.    у   х:
x
у
1
1
1,5
2,25
2
4
2,5
6,25
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
    :   (  )  x   
 y. , y(1,5) = 2,25, y(5) = 25  . .
3. Графический способ.    
    y(x)  пользоваться      (рис. 2.2).
Графиком функции y(x) называют множество  точек 
, абсциссы    независимой переменной x,  ординаты  соответствующим  зависимой пеРис. 2.2
ременной y.
   ,    (x0, y0), 
удовлетворяют   y(x), расположены
  .    , не удовлетворяющие  y(x)    не лежат.
Пример 2.5.   y = 2x2 – 3x + 1. : ) y(2);
) y(–3x); ) y(x + 1).
Решение.        каком-то  ,    
    .  :
) y(2) = 2·22 – 3·2 + 1 = 8 – 6 + 1 = 3;
) y(–3x) = 2·(–3x)2 – 3·(–3x) + 1 = 18x2 + 9x + 1;
) y(x + 1) = 2·(x + 1)2 – 3(x + 1) + 1 = 2·(x2 + 2x + 1) – 3x – 3 + 1 =
= 2x2 + x.
24
Пример 2.6. ,  y(3 – x) = 2x2 – 4. : ) y(x);
) y(–2).
Решение.   z = 3 – x,  x = 3 – z. Подставим   x     y(3 – x) = 2x2 – 4
  y(3 – (3 – z)) = 2(3 – z)2 – 4,  y(z) = = 2(3 – z)2 – 4,
или y(z) = 2(9 – 6z + z2) – 4, или y(z) = 2z2 – 12z + 14.  
,     функции: z, x, t
  ,    y(x) = 2x2 – 12x + 14.
)   
y(–2) = 2(–2)2 – 12(–2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.
Основные свойства функций.    
м     область определения  область изменения
функции (.  2.1).    функции  точки пересечения   с осями координат.
   0y  ,      
 x = 0,    0x –     
 y = 0,          .
Точка пересечения с осью 0y  значению  y(x) при
x = 0, .. y(0). Точки пересечения с осью 0x  корнями
уравнения y(x) = 0.
Пример 2.7. еть  y(x) = –x2 + 6x – 8. ти
       .
Решение.      
 ,    y(x)  x = 0:
y(0) = –02 + 60 – 8 = –8.
    A(0; –8).  определим        .
    y = –x2 + 6x – 8   у = 0 
   0 = –х2 + 6х – 8  0 = х2 – 6х + 8.
 :
6  36  4  1  8 6  4 6  2
х1,2 =


,
2
2
2
. . х1 = 2, х2 = 4.    (рис. 2.3) 
    : В(2; 0) и С(4; 0).
25
   ограниченность функции (рис. 2.4).
 называется ограниченной
снизу,   значения  
  числа а (.. у(х)  а).
  ограниченной
сверху,    функции не
больше  числа А (.. у(х) ≤ А).
   снизу 
сверху,    ограниченной.
Рис. 2.3
Рис. 2.4
       (..
возрастание  убывание ).
  возрастающей,  большему значению
аргумента  большее значение функции (.. 
х2 > х1,  у(х2) > у(х1)).   убывающей, 
большему значению аргумента  меньшее значение
26
функции (..  х2 > х1,  у(х2) < у(х1)).  . 2.5 
  (  )  немонотонной .
Рис. 2.5
 четности   только   с
симметричной областью определения.
  четной,  при изменении знака аргумента значение функции не меняется, .. у(х) = у(–х). 
   симметричен относительно оси ординат.
  нечетной,  при изменении знака аргумента значение функции  меняется на противоположное,
.. у(–х) = –у(х).     симметричен
относительно оси ординат.
 . 2.6   ,   
,    .
Рис. 2.6
27
2.2. Построение графиков функций.
Графики основных функций
Линейная функция и ее график
 у = kx + b ( k  b   )  линейной .  ,    у = kx + b
независимая переменная x  обязательно в первой .
    прямая линия, 
     любые две точки,
 ,  провести   прямую.        точки пересечения графика с осями координат.
Пример 2.8.    y = 4 – 2x.
Решение.       
.      у(х)  х = 0:
у(0) = 4 – 20 = 4.   
  А(0; 4).
    
 .   у = 4 – 2х положим у = 0,    0 =
= 4 – 2х.  ,  х = 2. 
     В(2; 0).
м  А  В,  
Рис. 2.7
      
(рис. 2.7).
Пример 2.9.    y = |x + 1|+|x – 2|.
Решение. И  ,   
  у(х).  (х + 1)    
х = –1,  (х – 2)   х = 2.     числовую .        :
I  х (–; 1], II  х  (–1; 2), III  х  [2; +).
28
      . 
 I: х + 1 < 0, х – 2 < 0, 
у = –(х + 1) – (х – 2) = 1 – 2х.
    (рис.
2.8).   полученного  
,   х   пределах  I ( 1).
  II: х + 1 > 0, x – 2 < 0,
 y = x + 1 – (x – 2) = 3.   II,
Рис. 2.8
. . х  (–1; 2),   y = 3 
   ,   II
( 2).
, ,   III: х + 1 > 0,
x – 2  0, 
у = х + 1 + х – 2 = 2х – 1.       
,   III ( 3).  
   ,    1, 2, 3.
Квадратичная функция и ее график
 у = ах2 + bx + c ( a, b, c  , a  0) 
квадратичной функцией.  ,   
у = ах2 + bx + c  переменная x   во
второй степени ( ).   
 парабола.    вверх  a > 0 
вниз   a < 0.
     
 точки пересечения параболы с осями координат  координаты вершины параболы.     форb
х + х2
муле хВ = 
 хВ = 1
( х1  х2   
2a
2
ах2 + bx + c = 0),      x = xB,
. . yB = y(xB).  , парабола симметрична относительно
прямой x = xB.
Пример 2.10.    y = x2 + x – 2.
29
Решение. Сначала н     
 .   :  х = 0  
у = 02 + 0 – 2 = –2 ( А (0; –2)).   : 
у = 0,    0 = х2 + х – 2   :
 1  12  4  1   2  1  9  1  3
=

,
2
2
2
. . х1 = –2  х2 = 1.    В (–2; 0)  С (1; 0).
   вершины :
x  x  2 1
1
xB  1 2 
 ,
2
2
2

2
1 1
1
 1 1
у В       2    2  2 .
2
4 2
4
 2
1
 1
  D   ;2   вершина
4
 2
.
   
 А, В, С, D,   
1
  х = хВ = 
2
Рис. 2.9
(  ).
,  а = 1 > 0     .
      (. 2.9).
Пример 2.11.  . 2.10   
у = ах2 + bx + с.   коэффициентов а, b, с.
Решение.   пересечения параболы   :
у(0) = а02 + b0 + с = с.
  ,    
( А) у(0) > 0.  с > 0.
    ,
Рис. 2.10
, а < 0.
    b  
 xB   ( B).   ,
х1, 2=
30
b
>0.    (2а) ,  
2a
      (   
b
): 
 2a < 0  2а  –b < 0. ,   
2a
     (–1) (
  ): –b  (–1) > 0 (–1)  b > 0.
, a < 0, b > 0, c > 0.
Пример 2.12.   
 хВ= 
y=х 2  3x 
3x  9 2 .
Решение.     х  (–; + ).
Функцию     у = х2 – 3х – |3x – 9|.
   
  .
)  3х – 9  0 (. . х  3), 
у = х2 – 3х – (3х – 9) =
= х2 – 6х + 9 = (х – 3)2.
  у = (х – 3)2 
   ,  
х  3 ( 1 на рис. 2.11).
)  3х – 9 < 0 (. . х < 3), 
у = х2 – 3х – (–(3х – 9)) =
= х2 – 3х + 3х – 9 = х2 – 9.
  у = х2 – 9 
   ,  
Рис. 2.11
х < 3 ( 2 на рис. 2.20).
Итак, график       1  2.
Дробно-линейная функция и ее график
ax + b
( а, b, с, d   , с  0)
cx + d
 дробно-линейной .  , 
   дробь, числитель  знаменатель
 y =
31
  линейными .     гипербола.
Для построения графика надо найти точки пересечения с осями
координат и асимптоты (вертикальную и горизонтальную). При
этом ветви гиперболы расположены в диаметрально противоположных частях областей между асимптотами.
2 x+3
Пример 2.13.    y =
.
1 x
Решение.       коор2  0+3
динат:    y 0  =
=3 ( А (0; 3)),  
1 0
2 x+3
 у = 0,  и  0 =
 2х + 3 = 0,
1 x
3
 3 
 х   ( B   ; 0  ).   .
2
 2 
  
. Вертикальная асимптота
 ,  знаменатель   в ноль,
.. 1 – х = 0  х = 1.  х = 1
  вертикальной асимптоты (  1 на рис.
2.12).
Горизонтальная асимптота определяется поведением функции при
больших значениях |x|.
    функРис. 2.12
ции 2х + 3  2х, знаменатель 1 – х 
 –х.   у  
2x
y 
= 2.
x
 у = –2    (
 2 на рис. 2.12).    ,  
 асимптоты    С(1; –2). Ветви
32
  ()   симметрично относительно   С. ,  ветви гиперболы пересекать
асимптоты не могут.
     .  
   А  В  приближаться неограниченно  
,     . 
      С
.
 ,      
 .
|x|  2
 2.14.    y =
.
|x+3|  1
Решение.    , :
 x+2
 x+4 , если x<  3;

 x+2
у  
, если  3  x  0;
 x+2
x 2
 x  2 , если x >0.

  .
x+ 2
  х  (–; –3)  y =
 вертиx+ 4
кальную  х = –4, горизонтальную асимптоту у = 1,  0х
 .
  х  [–3; 0]
x+2
функция y = 
определена
x2
,   
х = –2.   у = –1.
  х  (0; +)
x2
гипербола y =
 гориx+2
Рис. 2.13
зонтальную  у = 1 
  0х   х = 2.  , 
   исходной  (рис. 2.13).
33
Степенная функция и ее график
 у = ахп ( а, п   ; а  0, п  
  )  степенной.  
   в  : у = ах2 (п = 2  
a
,   ), y = (п = –1   пропорx
циональная ,   ).
    распространенных    : у = х3 
у = х1/2 = х .
 у = х3   .   определена на всей числовой оси х  (–; +),  область изменения   вся числовая ось у(–;
+).  неограниченная  возрастающая, а
Рис. 2.14
также ,    симметричен
  .  . 2.14 приведен график
 у = х3.
 y = x   . Данная
  область определения
х [0; +)  область изменения y  [0; +).
 ограничена снизу  возрастает.
    . 2.15.
Рис. 2.15
Пример 2.15.    y = 3  x .
Решение.   определения    3 – х  0, . .
х  (–; 3].  у = 0, решая 
0 = 3  х ,  точку пересечения 
 : х = 3 (точка А).  х = 0
 у(0) = 3   В пересечения   ординат.  
Рис. 2.16
,   функция .
  можно    функции (рис. 2.16).
34
2.3. Простейшие преобразования графиков
    у(х)   преобразования ,      
.   правила преобразования графиков пригодны
для любых функций: ,   ..
Правило 1. Ч    y = f ( x) + a ,
   у = f(х),  график  y = f (x )
поднять на а  ,  а > 0,  опустить  | a | 
,  а < 0.
Правило 2.   график  у  f ( x  b)
   у = f(х),  график  у = f(х) сместить влево  b ,  b > 0,  сместить вправо  | b |
,  b < 0.
Правило 3.   график  y =  f (x ) ,
   у = f(х),  график  у = f(х)
симметрично отразить относительно оси абсцисс.
Пример 2.16.    у = х2 – 4х + 3.
Решение.    у  :
у = (х2 – 4х + 4) – 1 = (х – 2)2 – 1.
     (рис. 2.17): 
  у = х2,       
   у = (х – 2)2. Н,    
       у = (х – 2)2 – 1.
Рис. 2.17
35
     ,
  .
Правило 4. Ч    y = | f ( x) | 
   у = f(х); сохранить   часть,
  выше оси абсцисс;   часть, 
 ниже оси абсцисс, зеркально отразить вверх относительно оси абсцисс.
Правило 5. Ч    y = f | x | , 
   у = f(х) для неотрицательных значений х,   зеркально отразить его относительно оси ординат.
Правило 6. Ч    | y |= f (x) ,
    у = f(х) для неотрицательных
значений у,   зеркально отразить его относительно оси абсцисс.
 2.17.    |y| = x2 – 4|x| + 3.
Решение.     у = х2 – 4х + 3 =
=(х – 2)2 – 1 (.  2.16)  х  0.   
       
 у = х2 – 4|x| + 3 (рис. 2.18).
Рис. 2.18
     ,  
         
.     |y| = x2 – 4|x| + 3
36
(рис. 2.19).      
    .
Рис. 2.19
2.4. Понятие о графике уравнения, неравенства
 ,  ,   функции  
графики функций.  олимпиадах  конкурсных экзаменах
    графики уравнений  неравенств. Графиком уравнения (неравенства)  множество  точек (х, у),    данному  ().  ,  
 ,     .
Пример 2.18.    (х, у) координатной
,    (х2 – 1)(у2 – х2) = 0.
Решение.    сомножителей (х2 – 1)  (у2 – х2) обращается 
,   первый    нулю,
либо .    .
)  х2 – 1 = 0  (х – 1)(х + 1) = 0.
  х – 1 = 0 (.. х = 1),  х + 1 = 0
(.. х = –1).    :
х = –1  х = 1 (  ординат
на рис. 2.20).
Рис. 2.20
37
)  у2 – х2 = 0.   , 
(у – х)×(у + х) = 0.   у – х = 0 (. . у = х),  у + х = 0
(.. у = –х).  : у = х  у = –х.  , графиком     : х = –1, х = 1,
у = –х  у = х (см. рис. 2.20).
Пример 2.19.   , 
 у + х2 > 2 – x.
Решение.     у > –x2 – x + 2 и
 . Н     :
у = 2.       , 
 0 = –х2 – х + 2  0 = х2 + х – 2.   уравнения: х1 = –2  х2 = 1.     
 :
х +х
1
хВ = 1 2 =  ,
2
2
2
1
 1  1
у В          2  2 .
4
 2  2
  
  (рис. 2.21). 
  
  ,    ,
 ,  
Рис. 2.21
 . ,
     . 
       
, : А (0; 0)  В (1; 1).   
   .
  А (0; 0) (. . х = 0, у = 0)   
: 0 + 02 > 2 – 0  0 > 2.    
,      ,    
,   .   B(1; 1) (. .
x = 1, y = 1) : 1 + 12 > 2 – 1  2 > 1.   
,      ,    
,   .
38
  ,    
    ( ).
   ,    ( 
 )       
 (   ).
  (x – a)2 + (y – b)2 = R2.  уравнение       A (a; b)  радиусом
|R|.
Пример 2.20.   
x2 + y2 –2x + 4y + 4 = 0.
Решение.      квадратичные    x  y , 
    
 ,  
   x  y:
(x2 – 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) – 1 = 0
 (x – 1)2 + (у + 2)2 = 12.
Рис. 2.22
,     окружность     А (1; –2)  1 (рис. 2.22).
Пример 2.21.   х0у  ,
 у  x 2  2 x  1;
   
( x  1) 2  ( y  2) 2  1.
Решение.  
,  
.  
график    функции
у = х2 – 2х – 1.   пересекает  0у   у = –1,  0х 
 х1  1  2  х2  1  2 .
  находится 
Рис. 2.23
 (1; –2),  
  (рис. 2.23).    
  ,    , 
, находящуюся   .   
39
(, (1; –1))    , ,  
  у > х2 – 2х – 1.    
    ( 
,    ).
,   (х – 1)2 + (у + 2)2 = 1 (.
 2.20), ,  
(х – 1)2 + (у + 2)2 ≤ 1
     .
   ,  
 .   ,  
 ( )     
 .
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
–А–
1. Найти области определения и изменения, монотонность, четность
или нечетность линейной функции и построить ее график: а) у = 2х; б) у =
= –3х; в) у = 2х – 4; г) у = –3х + 6.
2. Найти области определения и изменения, промежутки монотонности, четность или нечетность квадратичной функции, построить ее график
и найти точки пересечения его с осями координат: а) у = –3х2; б) у = х2 +
+ 4х + 4; в) у = х2 – 2х + 3; г) у = –х2 + 5х – 6.
3. Найти области определения и изменения, монотонность, четность
или нечетность дробно-линейной функции, построить ее график и найти
3
точки пересечения его с осями координат и асимптоты графика: а) у  ;
х
2
х3
2х
2х  3
б) у   ; в) у 
; г) у 
; д) у 
.
х
х 1
х 1
2  3х
4. Найти области определения и изменения, монотонность степенной
функции, построить ее график и найти точки пересечения его с осями координат: а) у = –х3;
б) у = (х – 2)3;
3
3
в) у = х3 – 1;
г) у  х  2 ;
д) у  3  х ; е) у  2 х ; ж) у  3 1  х .
5. График функции у = 2х + b проходит через точку А (1; –1). Найти
величину b и построить график функции.
6. График функции у = kх + 2 проходит через точку А (–1; 6). Найти
коэффициент k и построить график функции.
40
7. График функции у = kх + b проходит через точки А (1; 4) и В (–2; –5).
Найти коэффициенты k и b и построить график функции.
8. Построить графики функций у = 3х + 1 и у = 6х –2. В какой точке
пересекаются графики?
9. Найти наименьшее значение функции у = х2 – 4х + 3 и построить ее
график.
10. Найти наибольшее значение функции у = –2х2 + 4х и построить ее
график.
11. График функции у = 2х2 – 3х + с пересекает ось ординат в точке А
(0; 1). Найти коэффициент с и построить график функции.
12. График функции у = –3х2 + bх + с пересекает ось абсцисс в точках
1
х1 = 1 и х2 =  . Найти коэффициенты b и с и построить график функции.
3
13. График функции у = ах2 – 4х + с имеет вершину в точке А (1; 1).
Найти коэффициенты а и с и построить график функции.
ха
14. График функции у =
пересекает ось ординат в точке А (0; –3).
х 1
Найти величину а и построить график функции.
х 1
15. График функции у =
имеет горизонтальную асимптоту у = 2.
ах  1
Найти величину а и построить график функции.
16. График функции у = 2 х  а пересекает ось ординат в точке у = 4.
Найти величину а и построить график функции.
17. Постройте графики функций и уравнений:
у2
у 1
а)
 1 ; б)
 2;
в) у = |x – 3|;
г) y = |x| – 3;
ух
х 1
| х|
д) |y| = x – 3; e) y = x + 2|x|; ж)|y – x| = 1; з) у  х 
.
х
18. Постройте графики функций и уравнений:
а) у = х2 – 4х + 3;
б) y = |x2 – 4x + 3|;
в) y = x2 – 4|x| + 3;
г) |y| = x2 – 4x + 3;
д) y = (x – 2)(3 + x);
е) y 
x 2  4x  3
;
x 1
x 2  4x  3
;
з) y = –x2 + 6x – 9;
и) y = x2 + 2x + 3.
3 x
19. Постройте графики функций и уравнений:
2 x
2 x
2 x
а) y 
;
б) y 
;
в) y 
;
1 x
x 1
1 x
ж) y 
41
г) y 
2 | x |
;
1 | x |
д) | y |
ж) y  | x | 1 ;
2 x
;
x 1
з) y  1 | x | ;
е) y  | x | 1 ;
и) | y | | x | 1 .
–В–
20. Построить график функции, найти области определения и изменения, промежутки монотонности, четность или нечетность функции:
а) y 
в) y 
x 2  x  20
 x7;
x5
( x  5)( x 2  4 x  12)
б) y 
;
x 2  11x  30
 1
 x  3, если x  2;
д) y   2
 x  4, если x  2.
1 1 2
  x , если | x | 1;
ж) y   2 2
 x 2  1, если | x | 1.

и) y = (1 – x)|x + 2|;
x3
л) y 
;
| x | 3
1 x
н) y 
;
| x  2 | 1
г) y 
x2  x  2
 x  3;
x2
( x  4)( x 2  9 x  18)
;
x 2  10 x  24
 x  1, если x  2;

е) y   1
 2 x  3, если x  2.
2 x 2  2, если | x | 1;
з) y  
1  x 2 , если | x | 1.
к) y = (x + 2)|1 – x|;
| x | 3
м) y 
;
x3
1 x
о) y 
;
| x  2 | 1
п) y  1  x 2 ;
р) y  x 2  1;
с) y  x 2  1.
21. Построить графики уравнений:
а) |2x + y – 1| = 3;
б) |y| + |x| = 2;
в) |y| – |x| = 2;
г) |y – x| = 2 + x;
д) x = 2y – y2;
е) |x| = 5 + 4y – y2;
2
2
2
2
ж) x – 2x + y + 4y = 0;
з) x – 4x + y + 6y + 13 = 0;
x 2  y 2  25
2
2
и) x + 2x + y – 4у = 4;
к)
 0.
x3
22. Найдите наименьшее значение функции:
а) y  3 x 2  9  2 ;
в) y  
42
12
x2  4
;
б) y  4  25  2 x 2 ;
г) y 
x2  3
x2  5
.
23. Найдите наибольшее значение функции:
а) y  4  2 x 2  9 ;
в) y 
6
б) y  3  16  5 x 2 ;
г) y 
x2  8
.
x2  6
x2  9
24. Найти координаты точек прямой у = –5х – 24, равноудаленных от
осей координат.
25. Найти функцию у(х), если у(3 – х) = х2 – 2х + 3.
26. Три прямые, попарно пересекаясь, образуют треугольник с вершинами в точках А (2; 5), В (8; 5) и С (8; 2). Написать уравнения этих прямых.
27. Парабола с вершиной в точке А (0; –3) проходит через точку В (6;
15). В каких точках эта парабола пересекает ось абсцисс?
28. При каких значениях а ветви параболы у = ах2 – 3х + 1 направлены
вверх и парабола пересекает ось абсцисс в двух точках?
;
–С–
29. Построить графики функций, уравнений и неравенств:
а) у = |x + 2| + |x – 4|;
б) y = |x + 2| – |x – 4|;
x
x
в) y  x  3 
;
г) y | x  3 | 
;
|x|
|x|
д) | y  2 x  1 | 2;
е) | y | 2 | x | 2;
ж) |y – 1| + |х + 2|= 3;
и) |x + y| + |x – y| = 4;
л) y = |||x – 1| –2| –3|;
н) (y – |x|)(y – 2)(x + 2)  0;
п) 4(х – 1)2 + (у + 2)2  4;
| x  1 | 3
с) y 
;
| x  6 | 2
з) |y – x| + x  3;
к) |x + y| – |x – y| = 2;
м) y2 – 2xy – 3x2  0;
о) (x + 2)2 + (y – 1)2 > 9;
р) x2 – 2x + y2 + 4у  4;
y) y  x 2  4 x ;
ф) y  x 2  2 x  5 ;
т) y  2 x  x 2 ;
x 3
x2
;
ц) y  2
.
x 2  4x  5
x  4x  5
30. Найти наименьшее значение функции. Определить, при каких значениях х оно достигается.
х) y 
а) y  7  4 x 2  4 x  3;
б) y  3  5 | x 2  4 x  3 |;
43
в) y  x 2  9  7 x 2  16 ;
д) y 
5 x 2  10 x  14
x 2  2x  4
;
г) y  x 2  4 x  5  3 2 x 2  8 x  17 ;
е) y  x  2  4 x  3 ;
ж) y  x 2  2 x  8  3x 2  12 x  28 .
31. Построить график функции у = max(х – 2; –х2). В зависимости от
значений параметра а найти число решений уравнения а = max(х – 2; –х2).
32. Построить график функции у = min(х + 2; х2; –2х). В зависимости
от значений параметра а найти число решений уравнения а = min(х + 2; х2;
–2х).
33. Постройте график функции у =
6 х  х 2 . В зависимости от зна-
чений параметра а найти число решений уравнения а = 6 х  х 2 .
х2
34. Постройте график функции у 
. При каких значениях пара4
х
х
х2
метра а уравнения а 
не имеет решений?
4
х
х
35. Прямая у = –2х + 2 пересекает прямую у = х и ось абсцисс в точках
А и В соответственно. Найти площадь АВО (где О – начало координат).
36. При каких значениях а прямая у = 0,5х + а образует с осями координат треугольник, площадь которого равна 81?
37. Площадь фигуры, заданной системой неравенств
 y 2  x 2  2ax  36  a 2 ;

( x  2) 2  36
равна 18. Найдите значения параметра а.
38. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств:
 x  4 | y |;
 y | x  1 | 2;

а) 
б) 
1
 y  4 | x  2 | .
 x  1  2 | y |;
39. Найдите площадь фигуры, заданной системой неравенств
 y | x  а | а 2  4а  2;

 y   | x  а | а 2  8а.
При каких значениях а эта площадь наибольшая?
44
40. Прямая 3х + 2у = с (где с – некоторое число) касается гиперболы
6
у  в точке с положительными координатами. Найти эти координаты.
х
41. Прямая, параллельная прямой у = 6х, касается параболы у = х2.
найдите координаты точки касания.
42. При каких значениях а окружность х2 + у2 = 8 и прямая х + у = а
пересекаются в двух точках?
43. Парабола проходит через точки А (0; 1), В (1; 2) и С (–1; 6). Найдите координаты ее вершины.
44. Найти все значения k, при которых прямая у = kx пересекает в
1, если | х | 3;

двух различных точках ломаную у   2 x  5, если х  3;
2 x  5, если х  3.

45. Найти функцию f(x), если выполнено условие:
а) 3f(x – 3) + 5f(3 – x) = x2 – 3x + 1;
1
б) 2 f ( x )  3 f    x 2  3 x  1.
x
45
Тема 3. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Говорить о значимости этой темы в курсе математики излишне.
При исследованиях в любой области науки количественные характеристики предмета представляют собой неизвестные величины.
Между этими величинами удается установить определенные математические соотношения (уравнения, неравенства и т. д.), решив
которые, можно определить характеристики предмета. Поэтому
надо уметь решать самые простые и распространенные уравнения
и неравенства: линейные, квадратные и т.д.
3.1. Основные понятия
Соотношение вида у(х)  0 (где у(х) – некоторая функция переменной х, а  – символ сравнения, который может совпадать с одним из пяти знаков: >, <, , ≤, = ) называется уравнением, если символ  совпадает со знаком =, и неравенством, если символ  совпадает с одним из знаков: >, <, , ≤ .
Решением уравнения или неравенства у(х)  0 называется любое
значение х0, при котором соотношение y(x0)  0 является верным.
Решить уравнение или неравенство означает найти все его решения или доказать, что решений нет.
Областью допустимых значений ()   неравенства у(х)  0  область определения функции у(х), ..
 значения х,   выполнимы  операции с выражениями, входящими в функцию у(х).
, решения    
 в  области допустимых значений.   
       
 .
2
Пример 3.1.   2 x  4 +
 0.
1 x
Решение.    ,  опреде2 x  4  0,
 x  2,
ляется  
 
 х, 
1  x  0,
 x  1.
46
   ,  .
     , т.е.   
 х     . 
    .
Пример 3.2.   3 x+ x  2 = 2  x + 2 x + 2.
Решение.    .   усло x  2  0,
 x  2,
виями 
 
  
 2  x  0,
 x  2.
  х = 2.     
  х = 2. ,     
 .  х = 2    
 3  2+ 2  2 = 2  2 +2  2+2  6 = 6 ( ).
      х = 2.
 уравнения ( неравенства)  эквивалентными
( ),  все      не
имеют решений.   () обозначают  .
    ()  
 более простым,  эквивалентным . 
    преобразования,  приводят к равносильному  ().
  .
1)    ()   
 ,      ;
2)        
  ( ),   .
       
   ( ).  
  .
       
   ( ).  
    .
47
3.2. Уравнения
Линейные уравнения
  ах + b = 0 ( а  b   )
     х.       , .. 
     у(х) = ах + b.
Пример 3.3. ть  3(2х – 1) + 2(4 – х) = 4х + 11.
Решение.      
.       
 : 6х – 3 + 8 – 2х = 4х + 11  4х + 5 = 4х + 11.
      : 4х + 5 – 4х – 11 = 0
 0х – 6 = 0.    а = 0, b = –6  0  
  .
Уравнения, сводящиеся к линейным.       ,    ,   
       .
Пример 3.4.  
5х(12х + 7) – 4х(15х – 11) – 29х = 30.
Решение.       
: 60х2 + 35х – 60х2 + 44 – 29х = 30  50х = 30, 
3
x = .  ,   ,    
5
 60х2,       3
  x = =0,6 .     со5
кратились.
Пример 3.5.   х3 – 2х2 + 4х – 8 = 0.
Решение.      ,
сгруппировав  : (х3 – 2х2) + (4х – 8) = 0,  х2(х – 2) +
+4(х – 2) = 0,  (х – 2)(х2 + 4) = 0.    (х2 + 4) 
  х    ,     уравнения  (х2 + 4)    : х – 2 = 0, 
48
х = 2.    .  , 
     .
Уравнения, содержащие модуль неизвестной.  
      
    .
Пример 3.6.   |x – 5| + |x + 2| = 7.
Решение. Применим два х .
1.     . 
   |x – 5| + |x – (–2)| = 7.  l1 = |x – 5| – 
  x   5   , l2 = |x – (–2)|   
 x   (–2)   .    
  l1 + l2  7.   5  (–2)  
:
 ,     x  [–2; 5] 
 l1 + l2    AB, . . 7.   
,    x  (–; –2)  x  (5; +) 
 l1 + l2  7.   
  x  [–2; 5].
2.   ,   .  
  .   (–2)  5  
.        :
      .
 интервале I (х  (–; –2)) : –(х–5) – (х+2) = 7 
–х + 5 – х – 2 = 7  –2х + 3 = 7,  х = –2.        .  х = –2  
  .
  II (х  [–2; 5]) : –(x – 5) + (x + 2) = 7  7 = 7.
    ,         .
49
  III (x  (5; +)) : (х – 5) + (х + 2) = 7 
2х – 3 = 7,  х = 5.  х = 5          .
,    х  [–2; 5] ( 
).
 ,    я 
  графическим способом .
3.         модулей   ,    .  
необходимо    у1 = |x – 5| + |x + 2| 
y2 = 7  ,   x    
  .
    y1   
 . 2  (рис. 3.1).
  I функция
  y1 = –2x + 3 ( 1
),   II получаем y1 = 7 ( 2 ),
  III  у1 =
=2х – 3 ( 3 ).
  у2 = 7
представляет собой горизонтальную (-)
. ,  
 у1  у2  
Рис. 3.1
 АВ.  
   х  [–2; 5]     (      ).
  .    
 ,     
     
 .  ,   
      
 ,    ?
50
        
 а   х,   . 
е    лежит то,   
   . 
      :
   ,      .
     
.
Пример 3.7.   (а2 – а – 6)х = а + 2.
Решение.   (а2 – а – 6)  х 
: а2 – а – 6 = (а – 3)(а + 2).    х
  разделить обе части  на этот коэффициент.      ,   коэффициент   , .  (а – 3)(а + 2)  0  а  3  а  –2.
 а  3  а  –2, ,  ,    :
a+2
1
X=
=
.
a  3a+2  a  3
 а = 3  а = –2   х    
, , .      
   а,      
    .
 а = 3,     : (32 – 3 – 6)х = 3 + 2
 0х = 5.     , . . x   .
 а = –2,       :
[(–2)2 – (–2) – 6]х = –2 + 2  0х = 0.   
   х, . . x   ; +   .
      :
1
 a   ;  2    2; 3  3; +  ,  x =
;  а = –2,
a3
 х  (–; +),  а = 3,  х  . ,   
     а ( 
 ).     ,  
 х     а.
51
Квадратные уравнения
 ах2 + bx + c = 0 ( a, b, c  ; x  )  квадратным. ,   
    y(x) = ax2 + bx + c.
b D
К     : x1, 2=
.
2a
 D = b2 – 4ac  дискриминантом  .  D > 0,    
   x1  x2 (x1  x2),  D = 0,  
   ( ,  
b
) x = 
;  D < 0,     .
2a
Пример 3.8.   –2х2 + 5х + 1 = 0.
Решение.    D = 52 – 4  (–2)  1 =
= 25 + 8 = 33 > 0.      :
 5  33  5  33 5  33
х1, 2 


.
2  (2)
4
4
Неполное квадратное уравнение  ах2 + bx + с = 0,
  коэффициент b  с  .     ,     
,     .
Пример 3.9.   –3х2 + 7х = 0.
Решение.     ны, 
  с = 0.     :
х(–3х + 7) = 0.       уравнениям х = 0 ( х1 = 0)  –3х + 7 = 0 (откуда х2 = 73 ). 
  : х1 = 0 и х2 = 73 .
   ,    .
Пример 3.10.     
|x2 – 2x – 1| = (5x + 1)/3.
Решение.    .  
  ,   .
52
1.  x2 – 2x – 1  0,    : x2 – 2x –1 =
5x+1
=
,    ю 3x2 – 11x – 4 = 0. 
3
этого : х1, 2 =
11  112  4  3   4 
11  13
=
 x1 = 4 
6
6
1
х2 =  .  ,     3
2
 х – 2х – 1  0.  х1 = 4   42 – 24 – 1  0
 7  0.    , , х1 = 4  
5x+1
 .    
 
3
 ,    .
5  4+1
     х1 = 4:
=7  0 (
3
). , х1 = 4    .
1
  х2 =    х2 – 2х – 1  0:
3
2
2
 1
 1
    2      1  0    0 (  ). 
9
 3
 3
 1
5    +1
5 x+1
 3  =  2  0     
 0:
3
3
9
1
.   х2 = 
  
3
 .
2.  x2 – 2x – 1 < 0,    :  ( х 2  2 х  1) =
5 x +1
,    : 3х2 – х – 2 = 0. 
3
2
  х3 = 1  х4 =  .  
3
.  х3 = 1   :
=
53
5 x+1
 0    . 
3
2
 ,   х4 = 
  3
5 x+1
 х2 – 2х – 1 < 0  
 0    
3
.
,   имеет
 : x = 1  х = 4.
  графическое   .
  
у1 = |x2 – 2x – 1| ( 
5 x+1
на рис. 3.2)  y 2 =
(3
 ).
,    
пресекаются    А (1; 2)
 В (4; 7),   х = 1
 х = 4    данноРис. 3.2
го .
Пример 3.11. Определить, п   а 
(а2 – а – 6)х2 – –(а2 + 2а – 15)х + (а2 – 2а – 3) = 0   ?
Решение.       
,       ,
. .   х2   0: а2 – а – 6 = 0.
  ,  а1 = –2, а2 = 3. , 
      а1  а2.  
 а1 = –2, : 0х2 + 15х + 5 = 0.   
1
   x =  .    урав3
нение а2 = 3, : 0х2 + 0х + 0 = 0.   
    x   ; +    
   ,  ,  (,
х2 – 2х – 1 < 0 
54
 х1 = –40, х2 = –5, х3 = 101     ).
, а = 3.
Пример 3.12.   а,    
 х2 – (3а + 2)х + (2а2 + а – 3) = 0   1.
Решение. Найдем корни уравнения:
х1, 2 =
3a+2 
3a+22  42а 2+a  3
=
2
3a+2  a 2 + 8 a +16 3a+2  a+4 
=
=
,
2
2
 х1 = 2а + 3  х2 = а – 1. ,   
    а.     х1,2  1,
2а  3  1;
а  1;
.. 
 
 а  –1  а  (–; –1]. ,
а  1  1
 а  2,
 а  (–; –1]       1.
   ах2 + bx + с = 0,  
х1  х2,      
b
  ( ): х1 + х2 =  ,
a
c
х1 х2 = .       .
a
Пример 3.13.   х2 + 1999х – 2000 = 0.
    ,    .    :
 х1  х2  1999,
      :

 х1 х2  2000.
х1 = 1.       х2 = –2000.
 ,    х1  х2  
 .
Пример 3.14.   х2 + (2а – 1)х + а2 + 2 = 0,
 ,        .
 х1  х2  (2 а  1),
Решение.   : 
 уч2
 х1 х2  а  2
тем,  х1 = 2х2.       формулы
55
2 х2  х2  ( 2а  1),
3 х2  1  2а,
   
  2

2
2
2 х2 х2  а  2
2 х2  а  2.
1  2a
   х2=
   :
3
2
1  4a+4а 2 2
1 2 a 
2
2
=а +2  0 = а2 +8а + 16
  а +2  2 
3
9


 0 = (а + 4)2,  а = –4.   
1  2a
х2 =
=3  х1 = 2х2 = 6.
3
,  а = –4    х1 = 6  х2 = 3 (. .
    ).
,    а = –4   
 .  : х2 – 9х + 18 = 0, 
, : х1 = 6  х2 = 3.
Существует    :   х1  х2
b
c
 : x1  x2   , x1 x2 = ,  х1  х2  корни
a
a
  ах2 + bx + с = 0.   
    .
Пример 3.15.   , 
1
5
 х1 =  х2= .
3
2
Решение.    :
1 5 17
b
17
x1+x2= +  =  ( b =  a );
3 2 6
a
6
1 5 5 c
5
x1 x2=  = = ( c = a ).
3 2 6 a
6
    :
17
5
ax 2  ax + a = 0 , 6ах2 – 17ах + 5а = 0,
6
6
6х2 – 17х + 5 = 0
(    а,   а  0).
,   6х2 – 17х + 5 = 0.
56
  
     
(,   . .).      
  ,     способами   :    (   ) 
  .
      ,
    .
Пример 3.16.   х3 – 4х2 – х + 4 = 0.
Решение.   : (х3 – 4х2) – (х – 4) = 0,
 х2(х – 4) – (х – 4) = 0, (х – 4)(х2 – 1) = 0, (х – 4)(х – 1)(х + 1) = 0.
      ,   
   , . . х – 4 = 0  х – 1 = 0 
х + 1 = 0.     ,   
   : х1 = 4, х2 = 1, х3 = –1.
 ,        ,    
 .     
  .
Пример 3.17.   (х2 – 2х)2 – 4(х2 – 2х) + 3 = 0.
Решение.       х  только    х2 – 2х,     у = х2 – 2х.
     у2 – 4у + 3 = 0, 
 у1 = 1  у2 = 3.    х,  у1
: х2 – 2х = 1 ( х1,2 = 1  2 );  у2: х2 – 2х = 3
( х3 = –1, х4 = 3).  ,    
 .
Пример 3.18.   (х2 + 4х + 3)(х2 + 4х + 1) = 48.
Решение.  ,     решено  ,   ,    у = х2 + 4х + 1.
   (у + 2)у = 48  у2 + 2у – 48 = 0, 
 у1 = –8, у2 = 6.     уравне57
ний: х2 + 4х + 1 = 6 ( х1 = –5, х2 = 1)  х2 + 4х + 1 = –8 (
).
Пример 3.19.  
(х – 1)(х + 1)(х + 3)(х + 5) = 105.
Решение. Здесь  ,  (х – 1)(х + 5) = х2 + 4х – 5,
(х + 1)(х + 3) = х2 + 4х + 3. ,   
   , 
[(x – 1)(x + 5)][(x + 1)(x + 3)] = 105

(x2 + 4x – 5)(x2 + 4x + 3) = 105.
     . 
 у = х2 + 4х – 5    у(у + 8) = 105, 
 у1 = –15  у2 = 7.   х2 + 4х – 5 = –15
(  )  х2 + 4х – 5 = 7 ( х1 = –6  х2 = 2).
Пример 3.20.  
(х2 + 3х – 8)2 + 2х(х2 + 3х – 8) – 3х2 = 0.
Решение. ,      уравнения,       ,
   у = х2 + 3х – 8.    :
у2 + 2ху – 3х2 = 0.  ,     переменной у,  у = –х  2х, . . у = –3х  у = х.  
 х,   : х2 + 3х – 8 = –3х ( х1,2 =
=  3  17 )  х2 + 3х – 8 = х ( х3 = –4  х4 = 2).
Пример 3.21.   2х4 + 3х3 – 4х2 – 3х + 2 = 0.
Решение.     является     
  (  х4     2;
  х3  х  +3  –3 ). 
      .
Сначала ,  х = 0     (,   х = 0  ,   2 = 0).
     х2:
3 2
2х2 + 3х – 4 – + 2  0 .
х х
58
   ,  
 :
1 
1

2 x 2 + 2 +3 x    4 = 0 .
x
x  

1
    : y = x  . 
x
1
2
выразить  x + 2  у,    замену:
x
1
1
2
2
y = x 2  2+ 2 ,  x 2 + 2 = y  2 .   
x
x
1
1
x  , x 2 + 2  , : 2(у2 + 2) + 3у – 4 = 0 
x
x
3
2у2 + 3у = 0 (корни у1 = 0  y 2 =  ).  ,  у1
2
1
  x  = 0  х2 – 1 = 0 ( х1 = –1, х2 = 1),
x
1
3
1
 у2: x  =   2х2 + 3х – 2 = 0 ( х3 = –2, х4 = ).
x
2
2
 
 у(х) = 0  ,  
у(х)    .
     
     , 
     ,     
  .
1
1
Пример 3.22.   x 2 +
= 2+
 x.
x 1
x 1
Решение.       
1
,  х – 1  0  х  1 (   
x 1
 ).   : х2 = 2 – х 
59
х2 + х – 2 = 0,  : х1 = 1  х2 = –2.  х1 
   .  
    : х = – 2.
1
a 1
Пример 3.23.   =
.
x
a x
Решение.    : х  0 
х  –а.      (,
      х(а + х),  а + х =
= х(а – 1).      х 
 : а = х(а – 2).  а – 2  0 (. . а  2)  
a
x=
,  а – 2 = 0 (. . а = 2)   : 2 = х0 
a2
  .    ( а  2)  уравa
нения x =
   а,  х = 0  х = –а,
a2
    а      .
a
  x =
,     а  
a2
a
a
0 
  а .     а = 0,
a2
a2
   а = 0  а = 1. ,  а = 0  а = 1 
    .   ,
  :  а  (–; 0)(0; 1)(1; 2)(2; +)
a
x=
;  а  {0; 1; 2} x   .
a2
   ,  ,    ,     
, ,  .
2
2
x +2 x+1 x +2 x+2 7
Пример 3.24.   2
+ 2
= .
x +2 x+2 x +2 x+3 6
Решение.  ,    
  .    х   
    х2 + 2х,    :
60
у = х2 + 2х   
y+1 y+2 7
+
=  5у2 + 13у = 0.
y+2 y+3 6
13
.   
5
 х,  : х2 + 2х = 0 ( х1 = 0, х2 = –2)
13
 х 2+2 x = 
(  ).
5
2
 10 x + 15
3x
Пример 3.25.   x 2
= 2
.
x  6 x + 15
x  8 x+15
Решение.       
очевидна,    .   заметить,
   х2 + 15,    у.
  :
y  10 x
3x
=
 у2 – 21ху + 98х2 = 0.
y  6x
y  8x
 ,      у  6х
 у  8х ().    у2 – 21ху + 98х2 = 0
  у  : у = 7х  у = 14х (
  ).    х, 
: х2 + 15 = 7х (  )  х2 + 15 = 14х (
х1  7  34 , х2  7  34 ).
  : у1 = 0, y 2 = 
И 
 у(х) = 0  иррациональным,  
у(х)  корни из неизвестной величины х  выражений,
  х.
     ,
   понятиях корня   уравнения и их
свойствах.
Пример 3.26.  
4
3 x 6+2 x  5 + x  1+ 8 x 5  3x+2 =0.
61
Решение.      
  ()  ,   
.      .
      .  возможно
 ,       ,
   ,    3 x 6  2 x  5  0;

  :  x  1  0;
   
 5
 x  3 x  2  0.
     6  5, 
     .
       ,  
 х = 1.   ,   
    .   ,
 х = 1    .
    
              
.       
  , . . ,  
  .   
      
   .
Пример 3.27.   x  1 + 3 = x .
Решение.     х – 1  0,
 х  1.     : x  1 = x  3 
      : х – 1 = х2 – 6х + 9
 0 = х2 – 7х + 10.    : х1 = 2 и
х2 = 5.  ,    
  х2,     .
,    х1  х2   .   х
    .   x  1 = x  3 , ,     
62
.       
, . . х – 3  0  х  3.  
   х2.
       
   .
3 x
2+x
Пример 3.28.  
+3
= 4.
2+x
3 x
Решение.    y =
3 x
 
2+x
3
уравнение y + =4  у2 – 4у + 3 = 0,   у1 = 1, у2 = 3.
y
   х,  я:
3 x
1
3 x
1 
= 1  3 – х = 2 + х, откуда х = ;
2+x
2 х
2
3 x
3 x
3
3 
= 9  3 – х = 18 + 9х, откуда х   .
2+x
2 х
2
1
3
 ,    х1 =
 х2  
2
2
  .
Пример 3.29.  
3х  4  2 3х  5  3х  5  1 .
Решение.    y= 3 x  5 (, 
3х–5  0, . . x 
2
5
y +5
),  у2 = 3х – 5  x =
. 
3
3
 :
2
y +5
 4  2 y + y  1  y 2  2 y + 1 + y  1  |y – 1| + y = 1.
3
    , : у  1.
   х,   

3 x  5  1.     
3
63
, : 3х – 5  1,  х  2.  
5
5 
 x  ,  : x   ; 2 .
3
3 
Пример 3.30.   4 х 2+12 x 1+x = 27 1+x  .
Решение.    y = 1  x  
однородное    х  у:
4х2 + 12ху = 27у2  27у2 – 12ух – 4х2 = 0.
2
    у, : y =  x и
9
2
2
y = x.    х, : 1  x =  x ;
3
9
2
1 x = x . ,     х  0 (  
3
  )  х  –1.   
  , ходим   
9(9  97 )
0 = 4х2 – 81х – 81, х1, 2=
.
8
9(9  97 )
     х=

8
2
 –1  х  0.    1 x = x  
3
  х  0.      
,    0 = 4х2 – 9х – 9, 
3
 х1 =  и х2 = 3.     х = 3 удовле4
творяет  х  0.  ,  
9(9  97 )
: х=
 х = 3.
8
     
      
  .
Пример 3.31.   3 2  x + x  1 = 1 .
64
Решение.   х  1.    переменные: y = 3 2  x и z = x  1 .    
 : у + z = 1.      (х и у), 
   .   
.    у  : у3 = 2 – х,   z  
: z2 = х – 1. Ч   х, 
  : у3 + z2 = (2 – х) + (х – 1)  у3 + z2 = 1.
 у  z  1.
,   :  3
 
2
 y  z  1.
  z = 1 – y и подставим    
: у3 + (1 – у)2 = 1  у3 + у2 – 2у = 0  у(у2 + у – 2) = 0.
   у1 = 0, у2 = –2, у3 = 1.  
 х,   : 0 = 3 2  x
( х1 = 2),  2 = 3 2  x ( х2 = 10)  1 = 3 2  x (
х3 = 1).  ,      
 .
3.3. Неравенства
Решение неравенств во многом аналогично решению подобных
уравнений.
Пример 3.32. Р 
(4 – х)2 – (х + 6)2  (х + 5)2 – (2 – х)2.
Решение. ,      
   ,   

(4 – х + х + 6)(4 – х – х – 6)  (х + 5 + 2 – х)(х + 5 – 2 + х)

10(–2 – 2х)  7(2х + 3).
 : –20 – 20х  14х + 21.  ,
  х,    ,  ,  зависящие  х, –   : –20 – 21  20х + 14х  –41  34х.
       
65
34 (    )  : x  
41
34
41 

 x    ;  .
34 

3( х  2)  x  4;
Пример 3.33.    
1  2( x  1)  9  4 x.
Решение.      
:
3 х  6  x  4;
3 х  х  6  4;
2 х  2;
 x  1;
 

 

1  2 x  2  9  4 x
4 x  2 х  9  1  2
2 x  6
 x  3.
      () 
 () :
Отсюда ,    первого,   неравенства   ,    
, .. х  (1; 3].
Пример 3.34.   а(х – 1) < 2х + 1.
Решение.   х      
первой ,      х. 
,   х,    ;  
 х   : х(а – 2) < (а + 1).    неравенства,       коэффициент (а – 2)  х.      а 
(а – 2)   ,   , 
.      .
1.  а – 2 < 0, . . а < 2,     
 х(а – 2) < а + 1    (а – 2).
      :
a 1
 a 1

x
 x  
;   .
a2
a2

2.  а – 2 = 0, . . а = 2, , ,     (а – 2),  0, .  а = 2 
66
х(а – 2) < а + 1    0х < 3, 
   х  (–; +).
3.  а – 2 > 0, . . а > 2,     
х(а – 2) < а + 1    (а – 2).        :
a 1
a 1 

x
 x    ;
.
a2
a2

  1–3    :
 a 1

 а  (–; 2),  x  
;   ;
a2

 а = 2,  х  (–; +);
a 1 

 а  (2; +),  x    ;
.
a
2

   ,    ,  решение  x      a .
     
 .    
.
Пример 3.35.   |x – 3|+|x + 1|  6.
Аналитическое решение.    
   :
)  х  (–; –1] –(х – 3) – (х + 1)  6  –2х  4, 
х  – 2. , ,   
х(–; –1],      х  [–2; –1];
)  х (–1; 3) –(х – 3) + х + 1  6  4  6,   неравенство    х  - ;
)  х  [3; +) (х – 3) + (х + 1)  6  2х  8,  х  4.
     : х  [3; 4].
  ,     :
х  [–2; –1]; х (–1; 3); х  [3; 4],   :
х  [–2; 4].
Графическое решение.       
   (рис. 3.3): у1(х) = |x – 3|+|x + 1|
67
(сплошная )  у2(х) = 6 (- ) 
,    х    
  .   ,   выполняется  х  [–2; 4],     .
Рис. 3.3
 х 2  4 х  3  0;
Пример 3.36.    
 х 2  3х  2  0.
Решение.     .
    х2 + 4х + 3  0. 
   х2 + 4х + 3 = 0: х1 = –3 
х2 = –1.      ,  
   :
   х2 + 4х + 3, ,  х = 0
0 + 40 + 3 = 3 > 0.      знаков  . ,   выполняется  х  [–3; –1].
    х2 + 3х + 2  0. 
  х1 = –2  х2 = –1.     числовую ось:
2
   х2 + 3х + 2, ,  х = 5
52 + 35 + 2 = 42 > 0.      выражения:
68
,     x   ;  2   1;    .
   х,    
.       
( )   ( )  
 . ,     
 х  [–3; –2]     х = –1.
,     x   3;2   1 .
Пример 3.37.   х2 – (b + 4)x + 4b  0.
Решение.    :
D = (b + 4)2 – 44b = b2 + 8b + 16 – 16b = b2 – 8b + 16 = (b – 4)2.
b  4  b  4
 х1 = b
2
 x2 = 4.  b     4,   
    4.   .
1.  b < 4, то н  ,
  , . . x   ; b  4; +  :
    : х1, 2=
2.  b = 4,    : x2 – 8x + 16  0 
(x – 4)2  0 .      x  (–; +):
3.  b > 4,    ,
  , . . x  (–; 4][b; +):
,  :  b  (–; 4) x   ; b  4; +  ;
 b = 4 x  (–; +);  b  (4; +) x   ; 4  b; +  .
69
Пример 3.38.    a,    
  x2 – 2x – a2 = 0  (–1),     1.
Решение.    :
D = 22 – 4(–а2) = 4 + 4а2.
   а  D > 0,  
   .   
функции у = х2 – 2х – а2 (рис. 3.4).
   находится   (1; –1 – а2). 
  х2  
1. Ч   х1 
 (–1),   достаточно,   функции у
 х = –1  отрицательно.
  :
Рис. 3.4
2
(–1) – 2(–1) – а2 < 0  3 – а2 < 0.
    .  
 : а1   3  а2  3 .  а = 0
   : 3 – 02 = 3 > 0  
 :
  : 
а  ( ;  3 )  ( 3 ;+)
  .
  интервалов    
.      .
Пример 3.39.  
(х + 5)8(х + 2)3х(х – 1)2(х – 3)7  0.
Решение. О,      
   (х – х0)k,  ,  х0 
   k.    
,   k    ,    k
      x0      
(. .    ),   k  
70
    x0    (. . 
 ).
   , ,  
 : x1 = –5 ( 8   ), x2 = –2
( 3  ), x3 = 0 ( 1  ), x4 = 1
( 2  ), x5 = 3 ( 7  ). 
       ""  ""  четность
  :
  ,     неравенства   х,     (, 
х = –3  ).    многочлена,      0х.  
х = –2    ,     х
      
   (–2; 0) .  х = 0
(  )    
,     (0; 1)  отрицательным.   х = 1    ,  
      (1; 3)  - .   ,   
       ,
  .      
:   х   ?  числовой оси ,  х  {–5}[–2; 0]{1}[3; +).
( x 2  1)( x 2  2 x  3)
Пример 3.40.  
0.
(5 x  x 2 )( x  2)
Решение. ,  ,  (5х – х2)(х + 2)  0 
х(5 – х)(х + 2)  0, . . х  –2, х  0, х  5 ( ).
     
(  3.39).     
      знаменателя
71
(5х – х2)2  (х + 2)2.      , 
мы : (х2 + 1)(х2 – 2х – 3)(5х – х2)(х + 2)  0. 
   , :
(х2 + 1)(х – 3)(х + 1)х(5 – х)(х + 2)  0.
    :
У,      
: х  (–; –2][–1; 0] [3; 5].   
    :
х  (–; –2)[–1; 0][3; 5].
      
     3.40,  
  .
2x  5
1
Пример 3.41.   2

.
x  6x  7 x  3
Решение.      предыдущему
,        :
2x  5
1

 0 .     ,
2
x  6x  7 x  3
х2  7x  8
 0 , . .  
x  7 x  1 x  3
.   , : x  (–; –8](–3; –1)[1; 7):
:
      х2 + 7х – 8
(х = –8  х = 1),        х
(х  –3; х  –1; х  7).
      изучаются,     
  .  ,  возводить в четную
72
степень     , если они неотрицательные (     ).
Пример 3.42.   x  3  2  x .
Решение.      х – 3  0, . .
х  3.     х   
, .. 2 – х < 0.    
 x  3  0 ,   : 
    . 
    , . . x   .
     (рис. 3.5).



y1= x  3  у2 = 2 – х.  
 ,   
 у2   
   у1. Видно,
Рис. 3.5
    х   выполняется.
Пример 3.43.   x  3  2  x .
Решение.     х – 3  0 
х  3.    х  2 – х < 0.   x  3  0 ,
 2 – х < 0,      х  . ,
 : x  3; +  . ,    
   . 3.5.
Пример 3.44.   x  3  x  5 .
Решение.   х  3.    
     х:   x  3  0 , 
x  5  x  3 ,  х – 5  0,  х  5.
 х  5       
   (     ):
х – 3  х2 –10х + 25  0  х2 – 11х + 28.   : х  (–; 4][7; +).    х (х  5),   х  [7; +).
73
   
  решения.



y1= x  3  у2 = х – 5.  . 3.6 видно,    функции у2
   графика корневой  у2  х  [7;+).
Пример 3.45.  
Рис. 3.6
x  3  x  5.
Решение.   х  3.    х – 5
меняет   х = 5,      :
х  [3; 5)  x  [5; +).
 х  [3; 5)     ,     , , 
   х   .
 x  [5; +)               
  : х – 3  х2 – 10х + 25  0  х2 – 11х + 28. 
 , находим х  [4; 7].  
, получаем x  [5; 7].
      ,
 находим х  [3; 7].     
 . 3.36.
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
–А–
Решить линейные уравнения.
1. 3 – 7x = 6 + 2x.
3. (1 – 2х)2 = 4х2 – 2х.
5. (5 – 2х)(х + 1) = 4х – 2х2.
7.
74
3х2  х  1 5 х 2  2 х  3

.
3
5
2. 4 – 2х = 3х – 1.
4. (3х + 1)2 = 9х2 + 2х – 3.
6. (3х – 2)(х + 3) = 3х2 + 2х.
8.
2х 2  5х  1 7 х 2  х  3

.
2
7
9. |x| + 3 = 5x – 1.
1
11. | x  1 | x .
2
13. |x – 2| + x = 2.
15. (a – 1)x = a2 – 1.
17. (a2 – 9)x = a + 3.
10. |x| – 2 = 2х + 1.
1
12. |x + 1 | = – x .
3
14. |x + 3| – x = 3.
16. (a + 2)x = a2 – 4.
18. (16 – a2)x = a + 4.
Решить квадратные уравнения.
19. (3 – 2x)(4x – 1) = (2x – 3)2.
20. (5 + 4x)2 = (9 – 11x)(4x + 5).
21. 27 x 2  6 3 x  1  0 .
23. 5x2 – 4ax – a2 = 0.
25. x2 – 2ax + a2 – 1 = 0.
27. |x2 – 10| = 6.
22. 3x 2  2 51x  17  0.
24. 7x2 – 3ax – 4a2 = 0.
26. x2 – 4ax + 4a2 – 9 = 0.
28. |x2 – 17| = 8.
Найти координаты точек пересечения парабол.
29. y = 3x2 – 8x + 2 и y = x2 – 4.
30. y = 2x2 – 6x – 1 и y = x2 – 2x + 4.
Решить уравнения высоких степеней.
31. х4 + 2х2 – 15 = 0.
32. x4 – 7x2 + 12 = 0.
4
2
33. 2x – 11x + 9 = 0.
34. 3x4 – 13x2 + 4 = 0.
2
3
3
35. (3x – 2x) = (4x) .
36. (2x2 – x)3 = (5x)3.
2
37. 3x (2x –5) + x(2x – 5) + 2(5 – 2x) = 0.
38. 2x2(3x – 2) + x(3x – 2) + (2 – 3x) = 0.
39. x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0.
40. x3 – 3x2 – 3x + 9 = 0.
3
2
41. 2x – 5x – 2x + 5 = 0.
42. 2x3 – x2 – 8x + 4 = 0.
Решить дробно-рациональные уравнения.
43.
1 67 3

 1 .
7x 7
x
x 2  25
 0.
20  4 x
3x  5
47.
 2.
3x  1
45.
49.
x 2  7 x  12
 0.
x3
44.
5 53 2

  3.
9x 9
x
x2  9
 0.
12  4 x
2x  5
48.
 2.
3x  2
46.
50.
x2  6x  8
 0.
x4
75
6 x
2

 1.
3x 2  12 x  2
16
6
1
53. 2
 2
 .
x x x x x
51.
x 8
2

 1.
2 x 2  18 x  3
3
15
4
54. 2
 2
 .
x  4x x  4x x
52.
Решить иррациональные уравнения.
55.
x  5  3.
56.
x  2  4.
57.
5
 5.
x5
58.
3
 3.
x3
59.
x6
 2.
x6
60.
x4
 3.
x4
61.
6 x 2  7 x  2  1.
62.
3 x 2  2 x  1  2.
Решить неравенства.
63. 5x – 7  7x – 5.
65. 3(2x – 3) – 2(3x – 2) 1 – 4x.
64. 3x – 8  8x – 3.
66. 4(3x – 4) – 3(4x – 3)  1 – 5x.
67. (3 – 2x)( 5  7 )  0.
68. (1  3x )( 3  5 )  0 .
69. (2x – 3)(5x + 2)  (2x – 3)(3x – 8).
70. (3x – 1)(4x + 3)  (3x – 1)(2x – 5).
71. x2 – 19x + 18  0.
72. x2 – 17x + 16  0.
7
8
73.
 0.
74.
 0.
5x  2
3x  4
7
2x
5
3x
75. 2
 2
.
76. 2
 2
.
x 5 x 5
x 7 x 7
76
77. 8 2 x  9  0.
78. 5 8  3x  0.
79. ( x 2  11) x  3  0.
80. (2 x 2  7) 6  x  0.
81.
4 x2  9
3

.
2x  5
5  2x
82.
5 x 2  11
2

.
3x  7
7  3x
83.
x2
 7.
5  3x
84.
x3
 4.
7  2x
–B–
Решить линейные уравнения.
15  9 x 3  x
4x x  3



.
5
2
5
9
87. |5x – 3| = |3x – 5|.
89. |2x – 3| + 3|x + 1| = 7.
91. |3x + 1| + 5x – 7 = |4x – 2|.
93. |x – 1| + |x + 2| = 3.
a2
95.
 a  1.
x2
a 1
2a
97.

 0.
xa a2
85.
8  5x 2  x
x 4( x  2)

 
.
3
2
3
5
88. |7x – 4| = |2x + 1|.
90. |3x – 2| + 2|x + 2| = 7.
92. |2x + 3| – 3x – 1 = |4x + 2|.
94. |x – 3| – |x – 1| = 2.
a 3
96.
 2a  1.
x 1
a 1
2a
98.

 0.
xa a2
86.
Решить квадратные уравнения.
99. (x2 + 27x – 57)2 = (x2 – 3x + 1)2.
100. (x2 – 12x + 20)2 = (x2 + 2x – 12)2.
101. (3x + 7)3 = (2x)6.
102. (5x + 4)3 = (3x)6.
3
3
3
103. (x – 2) + (x – 4) = 2(x – 3) .
104. (x – 3)3 + (x – 5)3 = 2(x – 4)3.
105. x 2  2 x 3  8 3  4 x.
106. x 2  2 x 5  8 5  4 x.
107. |x2 + 11x + 28| = |x2 – 14|.
108. |x2 – 11x + 24| = |x2 – 12|.
2
109. |5x – 24| = x + 2x + 6.
110. |3x – 19| = x2 – x + 4.
2
2
111. x – (3a + 2)x + 2a + 7a – 15 = 0.
112. x2 (a + 2) x – 2a2 + 7a – 3 = 0.
Найти все значения а, при которых уравнение имеет два корня.
a
113. ax2 – 6x + a = 0.
114. ax2 – 5x + = 0.
4
Найти значения а, при которых уравнения имеют корни.
115. х2 – 18х + 100 = а.
116. –х2 + 12х – 21 = а.
Решить уравнения высоких степеней.
117. x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0.
119. x5 – 9x3 + 20x = 0.
118. x4 – 16x2 + 24x – 9 = 0.
120. x5 – 7x3 + 12x = 0.
77
121. (x2 + 4x)(x2 + 4x – 17) = –60.
122. (x2 – 5x)(x2 – 5x +10) +24 = 0.
123. (x2 +10x + 16)2 + (x2 + 11x + 24)2 = 0.
124. (x2 + 6x – 72)2 + (x2 + 15x + 36) = 0.
125. (3x + y – 4)2 + (x + y – 2)2 = 0.
126. (x – 2y + 1)2 + (2x + y – 3)2 = 0.
127. (x – 4)(x – 3)3 = (x – 3)(x – 4)3.
128. (x + 4)(x + 5)3 = (x + 5)(x + 4)3.
Определить значения а, при которых уравнения имеют два корня.
Найти эти корни.
129. x3 + 6x2 + ax = 0.
130. 4x3 + 4x2+ ax = 0.
Решить дробно-рациональные уравнения.
131.
x2  5x  6
 0.
x2  2x  3
2x  3 x  6
133.

.
x
x4
x5
4
24
135.

 2
 0.
x3 x3 x 9
3x  2 2 x  3

 2  0.
2 x  3 3x  2
60
139. x 2  x  32  2
.
x x
8
141.
  x.
| x2|
4 x  3 3x  4

 2  0.
3x  4 4 x  3
24
140. x 2  x  14  2
.
x x
9
142.
  x.
| x 8 |
137.
143.
1
2
| x  2x |

5
2
( x  2 x)
2
x2  3x  2
 0.
x2  4x  3
5x  2 4 x  13
134.

.
x
x4
x 1
1
4
136.

 2
 0.
x2 x2 x 4
132.
138.
 6.
144.
4
2
( x  2 x)
2

1
2
| x  2x |
 3.
Определить все значения а, при которых уравнения имеют хотя бы
один общий корень. Найти этот корень.
145.
78
6 1
7
1
 ax и
 ax .
x 6
xa 6
146.
7
3
8
3
  ax и
  ax .
x
7
x  3a
7
Решить иррациональные уравнения.
147. 3x  2  4 x  3.
148.
2
150. ( x 2  25) x  3  0.
149. ( x  16) x  2  0.
151.
x4
x2
2 x  1  3 x  2.
 x  4.
152.
x2
x4
 x  2.
153. ( x  6) 2 x  9  3( x  6).
154. ( x  4) 3x  5  2( x  4).
155. | 3x  4  1 | 3.
156. | 4 x  3  1 | 2.
157.
x 2  3 x  2  x 2  4  0.
158.
x 2  4 x  3  x 2  9  0.
159.
x  3  3 x  2  7.
160.
3 x  1  x  4  1.
Решить неравенства.
161. (3x  7) 2  (7 x  3)2 .
162. (5x  4) 2  (4 x  5) 2 .
163. x 2 ( x 2  16)  9( x 2  16).
164. x 2 ( x 2  4)  25( x 2  4).
165. (x + 1)(x – 2)(x – 1)2  0.
166. (x + 3)(x – 6)(x + 2)2  0.
2
2
167. (5x – 2)(3x – x – 4)  (4x + 1)(3x2 – x – 4)2.
168. (4x – 1)(2x2 – x – 3)2  (3x + 4)(2x2 – x – 3)2.
4
1
6
1
169. 2

.
170. 2

.
x  4x x  4
x  6x x  6
171.
x  2 x 5

.
x7 x4
172.
x3 x4

.
x6 x5
173.
x  3  3  x.
174.
4  x  x  8.
175.
x  32  x  2.
176. 10  x  x  4.
177. (3x  4) 4 x  3  0.
178. (3x  5) 5x  3  0.
–C–
Решить линейные уравнения. Определите количество корней уравнения.
179. |x – 2| + |x + 3| = a.
180. |x + 4| – |x – 3| = a.
79
Определить, при каких значениях а уравнение имеет не менее трех
корней.
181. |x + 5| – |x – 2| = ax + 3.
182. |x – 4| + |x + 2| = –2x + a.
Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
имеет два различных корня, равноудаленных от точки х = 5.
183. |4x + 9a + 5| = |10x + 8a – 3|.
184. |10x + 7a – 5| = |3x + 2a – 1|.
Решить квадратные уравнения.
185. x2 – (14a – 9)x + 49a2 – 63a + 20 = 0.
186. x2 – (14a – 3)x + 49a2 – 21a + 2 = 0.
187. |5x2 – 7x + 3| = 2x – 1.
188. |8x2 – 10x + 3| = 2 – x.
2
2
2
189. |x – 4| + |x – 9| = 2x – 13.
190. |x2 – 1| + |x2 – 16| = 2x2 – 17.
Найти пары (х, у) целых чисел х и у, для которых выполнимы равенства.
191. 4х + 6ху – 9у = 11.
192. 3х + 6ху – 10у = 12.
193. (2x – y)2 + 27(3x – y)2 = 25.
194. (2x + y)2 + 18(x + y)2 = 16.
2
2
195. 3(x – 1) + 4(y + 2) = 7.
196. 2(x – 3)2 + 3(y – 2)2 = 5.
197. Уравнение 3х2 + ах – 1 = 0 имеет корни х1 и х2. Найти: а) х1 + х2;
1 1
б) х1х2; в)
 ; г) х12  х22 ; д) |x1 – x2|.
х1 х2
198. Найти значения параметра а, при которых корни уравнения
(х – 6а)2 + (х – 2а)2 = 128 симметричны относительно точки х = 12.
199. Найти значения параметра а, при которых больший корень
уравнения х2 – (20а – 3)х + 100а2 – 30а = 0 в 6 раз больше, чем его меньший корень.
200. Корни уравнения х2 – (а + 3)х + а + 5 = 0 отличается в 2 раза.
Найдите значение параметра а и корни уравнения х2 – (а + 3) + а + 5 = 0.
201. При каждом значении параметра а найти число решений уравнения 9(3х – 1)а2 – (21х – 19)а + 2(х – 1) = 0.
202. Найти значения а, при которых уравнения х2 + 3х + 7а – 21 = 0
2
х + 6х + 5а – 6 = 0 имеют хотя бы один общий корень.
203. Определить, при каких значениях параметра а корни уравнения
х2 – 2ах + (а + 1)(а – 1) = 0 принадлежат промежутку [–5; 5].
204. Определить, при каких значениях параметра а корень уравнения
х2 – (а + 1)х + 2а2 = 0 больше 0,5а другой меньше 0,5.
80
205. Определить, при каком значении параметра а сумма квадратов
корней уравнения х2 + (2 – а)х – а – 3 = 0 минимальна?
Решить уравнения высоких степеней.
206. х4 – х3 – 7х2 + х + 6 = 0.
207. х4 + х3 – 3х2 – 5х – 2 = 0.
208. (2х2 – х + 1)2 + 6х = 1 + 9х2.
209. х2 + 1 = 2х + (3х2 – х – 2)2.
210. (х – 2)2(х2 – 4х + 3) = 12.
211. (х2 + 6х)2 – 2(х + 3)2 – 17 = 0.
212. (х2 – 7х + 13)2 – (х – 3)(х – 4) = 1;
213. (х2 – 5х + 7)2 – (х – 3)(х – 2) = 1.
214. (х – 2)(х – 1)(х + 2)(х + 3) = 60.
215. х(х + 1)(х + 2)(х + 3) = 120.
216. 2х4 – х2(х + 2) – (х + 2)2 = 0.
217. 3х4 + 2х2(х –2) – (х – 2)2 = 0.
218. (х2 – 4х – 12)2 + (х2 + 4х – 12)2 = 2(х2 – 4)(х2 – 36).
219. (х2 – 2х – 15)2 + (х2 + 2х – 15)2 = 2(х2 – 9)(х2 – 25).
220. х4 + 5х3 + 2х2 + 5х + 1 =0.
221. 2х4 + 3х3 – 4х2 – 3х + 2 = 0.
222. Доказать, что уравнение (х2 + 2х + 2)(х2 – 4х + 5) = 1 не имеет
корней.
223. Доказать, что уравнение (2х2 – 4х + 3)(х2 – 2х + 2) = 1 имеет
единственный корень х = 1.
Решить дробно-рациональные уравнения.
224.
x2  x  5
3x
 2
 4  0.
x
x  x5
2
 x 2  12   7 x  2
 
226. 
 0.
 9  x 2   x 2  9 


2
2x 
4x2

228.  x 
 5.
 
x2
x2

1 
1 

230. 7 x    2 x 2  2   9.
x
x 

 
225.
x 2  14
10 x
 2
 3.
x
x  14
2
 x 2  10   7 x  2
 
227. 
  0.
 4  x 2   x2  4 


2
3x 
3x 2

229.  x 
.
  4
x3
x 3

1 
1


231. 2 x 2  2   11 x    8  0.
x
x 


81
232.
12
15

 2.
( x  1)( x  5) ( x  2)( x  4)
233.
1
9

 1 .
( x  1)( x  3) ( x  1)( x  5)
234. x 2 
25 x 2
( x  5) 2
235. x 2 
 1.
2
2
2
2
4x2
( x  2) 2
 12.
9 x2  4
 3x  2   3x  2 
236. 
.
 
 2
16 x 2  9
 4x  3   4x  3 
4x2  9
 2x  3   2 x  3 
237. 
.
 
 2 2
9 x  16
 3x  4   3x  4 
2x  1
5
7
x9
12
238.



 3
.
2
x  3 x  4 x  3 x  4 x  x  12 x  12
2x  1
5
7
x 1
11
239.



 3 2
.
x3 x4
x  3 x  4 x  x  12 x  11
240.
x2  2x 1
2
x  x 1
242.

3x
2
 1.
241.
x  2x  1
x2  4x  2
2

x  2x  2
Найти значения параметра
а,
3x
2
 1.
x  2x  2
при которых
уравнение
2
x  4x  9
x2  5 x  9
 a имеет хотя бы одно решение.
243. Найти значения параметров а и b, при которых равенство
a
b
x

 2
выполняется для всех допустимых значениях х.
x 1 x  1 x 1
Решить иррациональные уравнения.
244. (4 x 2  4 x  3) 4 x 2  12 x  5  0. 245. x 2  x  2 x 2  x  4  4.
82
246.
2 x 1
x 1
9
 6.
x 1
2x 1
248.
x 2  5 x  4  4 x  x2   x 2  6 x  5  3x .
249.
x  7  4 x  3  x  12  6 x  3  5.
247. x(2 x  1)  2 x
2x 1
 1  0.
x
250. 3 10  x  3 3  x  1.
251.
3
2  x  x  1  1.
x  2  2a  3.
252.
6 x  5 | x |  | 3x  2 | 1.
253.
254.
x  a  x  a  2x .
255. 1  x 2  a  x.
Определить, при каких значениях параметра а уравнения имеют два
различных корня.
256.
xa  x .
257.
x 2  2a  a  1.
258.
ax  x  2.
Определить, при каких значениях параметра а уравнения имеют
единственное решение.
259.
x  a  1  x.
260.
x  a  x  2.
261.
2 x  3  ax  2.
Определить, при каких значениях параметра а уравнения не имеют
решений.
262.
2 x  1  x  a.
263. 1  2 x  x  a.
Найти все пары (х, у) чисел х и у, для которых выполняются равенства.
264.
x 2  y  1  x  3 y  5  0.
265.
( x  2 y  1) 2  1  (3x  y  2)2  25  6.
Решить неравенства.
266. (3x 2  1)( x 2  6 x  8) 2 (2 x  3)3 (5 x  4)8  0.
267. (3х2 – 4х + 1)4  (2х2 – 3х + 3)4.
268. (9х4 – 9х – 10)3 (8х4 – 9х – 9)3.
269. |3x2 – 11x + 6|(6x2 – 11x + 3)  0.
270. (x2 + 6x + 11)(x2 + 6x + 13)  8.
271. |x2 – 4| < |x + 2|.
272. |x2 – 1| > |x – 1|.
273.
275.
2x  5
x2  6x  7

1
.
x3
4 x 2  12 x  5
2 x 2  3x  2
 0.
274.
x2  2x  3
x2  4x  3
 3.
276. (2 x 2  3x  20) 25  x 2  0.
83
277.
4
x5 3

3
x 5  4
.
278. x  3   3x  2 
9 x2  4
2  3x
.
Найти все пары (х, у) целых чисел х и у, для которых выполняются
равенства.
279. (х2 – 4х + 7)(у2 + 2у + 10)  27. 280. 7(x – 5)2 + 5(y – 7)2  6.
2
1
2
281. x 2  4 x  6  2
.
282.

 0,9.
y  6 y  10
2( x  5) 2 5( y  3)2
283.
1
9( x  7) 2  7( y  9) 2
1
 .
8
284.
x 2  6 x  13 y 2  10 y  34  6.
Решить неравенства при всех значениях параметра а.
285. (a + 1)x – 3a + 1  0.
287. ax + 3(a – x) < 8a – 13x + 1.
289. (a + 1)x2 – 2  0.
291. ax2 + (a + 1)x + 1 > 0.
84
286. (a2 – 1)x – 2a + 1 > 0.
288. a2(x + 1) + a  x + 2.
1
290. ax  .
x
292. (a + 2)x2 – (2a + 1)x + a  0.
Тема 4. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
4.1. Основные понятия
  два уравнения с двумя неизвестными f(x, y) = 0 
g(x, y) = 0.        
,  ,      , 
 .  пара чисел (x0, y0),  
    ,  решением системы .    – значит, найти
все ее решения  доказать, что их нет.
    равносильными,  
системы имеют одни и те же решения или решений не имеют.
    в замене данной системы
другой, более простой равносильной системой.   
  .
1.  одно уравнение  оставить без изменения,  другое уравнение  заменить равносильным , 
 система будет равносильна исходной.
,  каждое   заменить равносильным  ,   система будет равносильна исходной.
2.  одно уравнение  оставить без изменения,  другое уравнение  заменить суммой или разностью уравнений
системы,   система будет равносильна исходной
      :
      .
4.2. Системы линейных уравнений
 ,     
  ,  . ,
 ,         :
85
а1 х  b1 y  c1 ;

а2 х  b2 y  c2 ,
 х  у  ; а1, а2, b1, b2, c1, c2  .
     
,     .
3 x  5 y  7;
Пример 4.1.    
 2 x  3 y  8.
Решение.
Способ подстановки.   первого уравнения
7  3x
 у   х: y  
  
5
 7  3x 
 : 2х – 3  
  8 .  
5 

      х: 19х + 21 = 40,
 х = 1.    y   х, :
7  3 1
 2 .
5
Способ алгебраического сложения      х,    у.
      3: 9х + 15у = –21,
   5: 10х – 15у = 40    :
9х + 10х = –21 + 40.   х = 1.   у
 х = 1, ,    3 + 5у = –7,
 у = –2.
Способ сравнения.      ,
7  3x
 у,    y  
  
5
2х  8
у
.      
3
7  3x 2 х  8
 
=
.    ,
5
3
 х = 1   у = –2.
,     : (1; –2).
у
86
,       
  . ,  
      у(х)
     .   
     .        
 .

а
b 
Случай 1 – единственное решение  если 1  1  . Графики
а2 b2 

уравнений представляют собой две пересекающиеся прямые.

а
b
Случай 2 – бесконечное множество решений  если 1  1 
а2 b2

с 
 1  . Графики уравнений представляют собой две совпадающие
с2 
прямые. Коэффициенты любой точки этих прямых являются решением системы уравнений. В этом случае говорят, что система не
определена.

а
b
с 
Случай 3 – отсутствие решений  если 1  1  1  . Графики
а2 b2 с2 

уравнений представляют собой две параллельные прямые, которые
общих точек не имеют. В этом случае говорят, что система не совместна.
       
   .
 х  ау  1;
Пример 4.2.    
2
ах  у  а .
Решение.     . 
  х = 1 – ау.     второе , : а(1 – ау) + у = а2  у(1 – а2) = а(а – 1).
а
а2  а 1
 1 – а2  0, . . а  1,  у  
  х 
.
а 1
а 1
87
 х  у  1;
 а = 1     
 
 х  у  1,
 х  у,    ( 
х + у = 1),  .   
     (t; 1 – t),  t  (–; +).
 х  у  1;
 a = –1     

  х  у  1.
,    ,    
 х – у = 1,   х – у = –1,  .
 ,   :
 а  (–; –1)(–1; 1)(1; +)  
 а2  а  1
а 


 а  1 ; а  1  ;


 а = –1   (х; у)  ;  а = 1 
  (t; 1 – t),  t  (–; +).
     ,
      
.      
  ,   .
| x  1 |  y  2;
Пример 4.3.    
 x  | y  1 | 4.
Решение.    х  у ,   ,
    ,  рассмотреть  :
) х – 1  0, у + 1  0;
) х – 1  0, у + 1 < 0;
) х – 1 < 0, у + 1  0;
) х – 1 < 0, у + 1 < 0.
    :
( х  1)  у  2;  х  у  3;
)  x  1, у  –1: 

 х  ( у  1)  4
 х  у  3.
     : х = t,
у = 3 – t.     t,  
88
     х, у.  
t  1;
   
  t  [1; 4];
3  t  1
 х  1  у  2;
 х  у  3;
)  x  1, y < –1: 
 
 
 х  ( у  1)  4
 х  у  5.
   x = 4, y = –1,     
  х, у     
;
 ( х  1)  у  2;  х  у  1;
)  х < 1, у  –1: 

  х  ( у  1)  4
 х  у  3.
   х = 1, у = 2,    
 х, у.        ;
)  x < 1, y < 1:
 ( х  1)  у  2;  х  у  1;


 х  ( у  1)  4
 х  у  5.
    .
   исходную
  графически (рис.
4.1).   уравнения выразим
у = 2 – |x – 1|  построим  
 ( линия).    проще  x =
=4 – |y + 1|    ,
 x  функцией, y  
(- ).
Рис. 4.1
,    АВ графики
   уравнений , . .     .   .   ,     АВ 
 4  х  1.     у = 2 – |x – 1| 
 у = 3 – х.     x = t, у = 3 – t,  t
 [1; 4].       .
89
4.3. Системы нелинейных уравнений
Система ,   хотя бы одно из уравнений не
является линейным,  системой нелинейных уравнений.
 в ,  способы решений  
 .     
   ,     
  .
й      
  ,       
 линейное уравнение,  . 
       
    способ подстановки.
 на самых распространенных способах  .
Системы, содержащие одно линейное уравнение
 ,    способом подстановки.  линейного  одна из неизвестных  через другую  подставляется в оставшееся уравнение.  
    решается,  определяется 
вторая неизвестная.
 х 2  у 2  6 х  2 у  0;
Пример 4.4.    
 х  у  8  0.
Решение.        линейным,    , ,  у = –(х + 8) 
   : х2 + (х + 8)2 + 6х –2(х + 8) = 0 
х2 + 10х + 24 = 0.    х1 = –6 (  у1 = –2)
 х2 = –4 (у2 = –4).
,    : (–6;–2), (–4;–4).
ху
х  у
6
 5;

х у
Пример 4.5.     х  у
 ху  2.

90
Решение.      ,  
      .  замеx y
6
ну t 
   t   5 ,   t1 = 2,
x y
t
x y
t2 = 3.    : 2 
 x = 3y.  получаx y

 x  3 y;
2
2 
ем  
  :   3 ;
,
3
3 
 xy  2,

 2 2
x y
3 ;
 .    3 
 x = 2y.   3 3
x y


 x  2 y;
  
   (–2; –1) и (2; 1).
 xy  2,
 ,     .
Системы, которые с помощью замен
сводятся к линейным
1
 1
 х  у  1  х  у  1  2;

Пример 4.15.    
4
 3

 7.
 х  у  1 х  у  1
Решение.
υ


:
1
    
х  у 1
и
1
,
х  у 1
и  υ  2;

3и  4υ  7.
     и = 1, υ = 1. Возвращаясь   х  у,     урав х  у  1  1;
 х  у  2;
нений: 
 
   единстх  у  1  1
 х  у  0.
венное : х = 1, у = 1.
91
Однородные системы
 ,   левая часть одного из уравнений  однородным многочленом,  правая часть  нулю,    левые части двух уравнений  однородными многочленами,  правые части равны числам,   нулю,  однородными системами .
2 у 2  ху  х 2  0;
Пример 4.7.    2
 х  ху  у 2  3х  7 у  3  0.
Решение.      однородным (       переменным х  у,   ).    неизвестной у,  х  ,   у = –х 
у = х .   о   .
2
  у = –х  х2 – х(–х) – (–х)2 + 3х + 7(–х) + 3 = 0 
х2 – 4х + 3 = 0.  х1 = 1, у1 = –1, х2 = 3, у2 = –3.   у = х
2
2
х  х
х
 х  х     3х  7  3  0  х2 + 26х + 12 = 0.
2 2
2
2
 х3, 4  13  157 ; у3, 4 
 13  157
. ,  2
   .
 х 2  ху  у 2  21;
Пример 4.8.    
2 ху  у 2  15.
Решение.      однородные   ,    
 .       
.       5: 5х2 – 5ху + 5у2 =
= 105,    (–7): –14ху + 7 у2 = –105   уравнения : 12у2 – 19ху + 5х2 = 0.   , 
5
х
у  х  у  .   х   
4
3
   , , .
92
2
5
5
5 
х : 2 х х   х   15  х2 = 16. 
4
4
4 
х
х1 = –4, у1 = –5, х2 = 4, у2 = 5.   у 
:
3
  у 
2
х  х
2 х     15  х2 = 27.  х3  3 3 , у3   3 , х4  3 3 ,
3 3
у4  3 .      
.
Симметричные системы
   симметричной,  при замене х  у,  у  х   не меняются.  
    новых переменных 
 симметричные выражения и = х + у, v = xy (
замены неизвестных).
 х  у  ху  5;
Пример 4.9.     2
2
 х  у  ху  7.
Решение. Эта с   , 
 у  х  ух  5;
   х  у,  у  х    2
2
 у  х  ух  7,
       сомножителей
  .
  : и = х + у, v = ху. ,  х2 + у2 =
= (х + у)2 – 2ху = и2 –2v.      :
u  v  5;
С  ,  
 2
u  v  7.
уравнение   и: и2 + и – 12 = 0,  и1 = –4, и2 = 3.
 v1 = 9, v2 = 2.
   ,  
 x  y  4;  x  y  3;
 
     вызыва
 xy  9
 xy  2.
93
ет,       .  , 
     ,    (1; 2),
(2; 1).
,  симметричность системы  в симметричности ответов:     
(a; b),      (b; a).    
   (1; 2) и (2; 1).
    ,  при анализе или решении       использовать графический метод.
Пример 4.10. Определить, с   
| x |  | y | 1;
  2
2
2
x  y  a .
Решение.   уравнение  : |y| = 1 – |x|,
 построить   (рис. 4.2).  будет ,
      (сплошные
).  второго   
 | a |     координат (-
).
     :  а  д      , . .  
 ;  б  г    
 , . . 
  ;  в   
 , . . 
  .
Рис. 4.2
94
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
–A–
Решить системы целых алгебраических уравнений.
4 x  3 y  5,
1. 
5 x  y  9.
1
 x y  2x
 3  5  1 3 ,
3. 
y  5  x y.
 2 6
3
10 y  x  21,
2. 
3x  5 y  7.
3( x  y )  2( x  y )  2 x  2 y,

5.  x  y x  y
y
 5  3  1  15 .

5( x  y )  4( x  y )  8 y  3x,

6.  x  y x  y
 2  6  3.

 3 x y  3x
  2  6,
4.  4
yx 1  y.
 3
6 2
( x  2) 2  ( y  1) 2  x 2  y 2  1,
( x  2) 2  ( y  4) 2  x 2  y 2  4,
7. 
8. 
6 y  x  25.
7 y  x  23.
 x  y  5,
9.  2
 x  2 xy  y 2  7.
 x  y  2,
10.  2
2 x  xy  y 2  8.
 x  y  7,
11.  2
 x  y 2  9  2 xy.
( x  3 y )( x  4)  0,
13. 
 x  5 y  1.
 x  y  8,
12.  2
 x  y 2  16  2 xy.
( x  4 y )( x  3)  0,
14. 
( x  3 y )  1.
Решить рациональные уравнения.
 3x  2 y
 5,

15.  2 x  3 y
 2 x  3 y  5.

 2x  3 y
 5,

16.  3 x  2 y
3x  2 y  5.

x y
 49,

17.  x  y
 x  y  49.

x y
 47,

18.  x  y
 x  y  47.

95
 2x  7
 7 y  2  5,

19. 
 7 x  2  13.
 2 y  7
 3x  5
 5 y  3  10,

20. 
 5 x  3  14.
 3 y  5
Решить системы иррациональных уравнений.
 x  y  3  0,
 x  y  4  0,
21. 
22. 
 x  y  1  0.
 x  y  2  0.
 x  y  2,
23. 
 x  y  8.
 x  y  3,
24. 
 x  y  11.
 3 x  y  1  1,
25. 
 x  2 y  5  2.
 x  3 y  3  1,
26. 
 2 x  y  3  2.
( x  2) y  3  0,
27. 
 x  y  4.
( x  4) y  6  0,
28. 
 x  y  8.
3 x  8 y  5,
29. 
4 x  7 y  11.
8 x  3 y  5,
30. 
9 x  4 y  13.
–В–
Решить системы целых алгебраических уравнений.
96
4( x  3 y )  2( x  y )  28,
31. 
2( y  x )  x  3 y  2.
2( x  y )  3(2 x  3 y )  30,
32. 
4(3 y  2 x)  x  y  40.
 x 48  y 5  11,
33. 
 x 27  y 5  10.
 x 27  y 2  6,
34. 
 x 75  y 2  18.
3x 2  y  7,
35. 
5 y  3x 2  23.
5 x 2  4 y  17,
36. 
6 y  5 x 2  23.
4 x 2  49 y 2  10(2 x  7 y ),
37. 
 x  y  45.
9 x 2  64 y 2  5(3x  8 y ),
38. 
 x  y  55.
4 | x | 3 y  8,
39. 
 4 x  y  1.
 x  y  z  0,

41.  x  y  2 z  1,
 2 x  y  z  3.

3 | x | 2 y  2,
40. 
3x  y  4.
2 x  y  z  0,

42.  x  2 y  z  0,
 x  y  2 z  0.

 x  y  xy  5,
43. 
 xy( x  y )  6.
 x  y  3xy  13,
44. 
 xy ( x  y )  12.
 x 2  3xy  18,
45. 
3 y 2  xy  6.
 x 2  xy  28,
46. 
 y 2  xy  3.
Решить системы рациональных уравнений.
 5x  6 6x  5
5 y  6  6 y  5 ,

47. 
5  1 .
 x 6  y
 4 x  5 5x  4
4y  5  5y  4 ,

48. 
4  1 .
 x 5  y
25
 3x  2 y

,

49.  3x  2 y 3x  2 y
3x  2 y  5.

49
 2x  3 y

,

50.  2 x  3 y 2 x  3 y
 2 x  3 y  7.

x
 y  32,

51.  2
2
 x  32 y  33.
 32 y
x

x
 y  33,

52.  2
2
 x  33 y  34.
 33 y
x
 y
 x  5  5,
53. 
2
 y 2  y  6.
x 5

 y
 x  6  6,
54. 
2
 y 2  y  7.
x6

6
2
5

 2x  5 y  1  2 x  y  3  2 ,

55. 
4
4


 3.
 2 x  y  1 2 x  y  3
3
6
5

 x  2y  3  x  2y  4  2 ,

56. 
8
5


 3.
 x  2 y  3 x  2 y  4
97
Решить системы иррациональных уравнений.
 5x
 1,

57.  2 y  3
 2
2
 x  5 y  25  ( x  5) .
 7x
 1,

58.  3 y  4
 2
2
 x  7 y  49  ( x  7) .
 x  2  y  1,
59. 
 xy  2 y  2.
5 x  3 y  10 5 x  3 y ,
61. 
5 x  3 y  20.
 x  3  y  4,
60. 
 xy  3 y  4.
4 x  5 y  8 4 x  5 y ,
62. 
4 x  5 y  16.
| 5x  7 y || y | 20,
63. 
 5 x  7 y  5.
| 3x  2 y  8 | 10,
65. 
3x  2 y  12.
| 3x  8 y || y | 33,
64. 
 3x  8 y  6.
| 4 x  7 y  6 | 13,
66. 
4 x  7 y  39.
–С–
Решить системы целых алгебраических уравнений.
2 | x |  y  10,
67. 
 x  2 | y | 10.
| x  3 y |  | y | 3,
69. 
 2 | x  3 y |  y  3.
 y  | x | 2,
68. 
 y  | x  1 | 1.
 x 2  5 xy  6 y 2  0,
70. 
| x  2 y |  | x  3 y | 12.
(2 x  3 y ) 4  7(2 х  3 y ) 2  8,
71. 
2 x  3 y  5.
(4 x  5) 2  (4 y  5) 2  2(4 x  5)(4 y  5),
72. 
 x 2  y 2  72.
 x 2  y 2  xy  7,
 x 2  y 2  xy  3,
73. 
74. 
 x  y  xy  5.
 x  y  xy  1.
2 x 2  xy  10,
75. 
2 y 2  9 xy  20.
98
3x 2  xy  30,
76. 
3 y 2  19 xy  60.
 x 2  y 2  8 x  2 y  17,
77. 
3z  x  5 y  8.
2 x  y  z  1,

79.  x  2 y  z  2,
 x  y  2 z  5.

( x  3z ) 2  | y  7 z | 0,
78. 
 x  y  z  44.
a  b  c  2,

b  c  d  0,
80. 
a  b  d  1,
a  c  d  3.
x y z
 3  12  4  1,
81. Дана система уравнений 
Найти сумму x + y + z.
 x  y  z  1.
10 5 3
2 x  (a  1) y  3,
82. Решите систему уравнений 
при всех значениях
(a  1) x  4 y  3
параметра а.
83. Найти значения параметров а и b, при которых система уравнеa 2 x  ay  1  a,
ний 
имеет единственное решение (1; 1).
bx  (3  2b) y  3  a
84. Найти значения параметра а, при которых система уравнений
 x 2  y 2  a,
имеет единственное решение.

 x  y  a
85. Найти значения параметра а, при которых система уравнений
 x 2  y 2  9,
имеет единственное решение.

 x  y  a
10 x 2  5 y 2  2 xy  38x  6 y  41  0,
86. Решить систему уравнений: 
3x 2  2 y 2  5 xy  17 x  6 y  20  0.
Решить системы рациональных уравнений.
( x  y ) 2  4( x  y ) 2  5,

87. 
1
1
 .
 2
2
9
 x  2 xy  9 y
121

24 x  y  y ,
88. 
24 y  121  x.
x

99
2y
 x
 2 y  3  2 x  3  3,

89. 
 3x  2 y  1.
 2 y  3 2 x  3
( x  3) 2  ( y  3) 2  1,

90.  x 2  5 y 2  3x  2
 1.

2
 4 y  3x  11
x
y


,

5
6
1
91. 1 
x5
y6

5 x  y  xy  5.
8

 y 2  2,
 2
 | x  9 x | 4
92. 
 x  19 y  9.
 x  y  8
4( x 3  y 3 )  x 2 y 2 ,

93.  x 2  y 2 5
 .

2
 xy
 1
1
7

 ,

x

y
x

z
12

 1
1
8
94. 

 ,
 x  y y  z 15
 1
1
9


.

 y  z x  z 20
 3xy
 x  y  2,

 4 xz
95. 
 3,
x z
 5 yz
 y  z  6.

 1 1
1  x  y 

 1 1
96. 1   
 y z
 1 1
1   
 x z
5
,
xy
2
,
yz
1
.
xz
2
3


 5,

97.  (2 х  3z ) 2  1 (3 y  4 z ) 2  1
2 x  3 y  4 z  66.

Найти все пары (х; у) целых чисел х и у, которые являются решениями
систем уравнений.
7 y  34

x  y  5 ,
98. 
 x 2  y 2  52.

100
5

,
 y  3x 
99. 
3x  1
 x 3  y  1.

Решить системы иррациональных уравнений.
x
x
 x  2 y  24 x  2 y  144  0,
,
 6 5
100.  y
101. 
y
 x  2 y  44.

 x  y  40.
3x  y  18 3x  y  81  0,
102. 
3x  y  6 3x  y  9  0.
 y
  10 ,
x
103.  x
 2
2
 x  y  29.
 x  5  y  4  8,
104. 
( x  5) y  4  ( y  4) x  5  96.
| 2 x  5z |  3 y  4 z  0,
105. 
2 x  3 y  z  10.
 ( x  2 y ) 2  4  ( z  11y ) 2  121  13,
106. 
 x  y  z  14.

x y
12

,
x  y 
107. 
x y x y

 xy  15.
 x  y  x  y  2,

108. 
 x 2  y  x 2  y  4.

101
ОТВЕТЫ
Тема 1
25.
1. –4х3у5.
2. –3х5у9.
3. 8ху4.
4. ху2.
5. х 4 / 3 у1 / 3 .
6. х 4 / 3 у 2 .
7. 4а4 – 9b2.
8. (2а – 3b)2.
9. а3 + 8b3.
10. 8a3– 36a2+ 54a –27.
11. (a + b)(a2 + b2).
12. (a + b)2(a – b).
13. (2x + y)(1 + y – 2x).
14. (x – 3y)(1 – x – 3y).
15. (2a + 1)(3a – 4).
16. (5x – 1)(2x + 3).
2 х
17.
.
2
2 х
18.
.
3
3а  1
19.
.
4b
5b
20.
.
2a  1
х2
21.
.
х3
2х
22.
.
х2
2 х ( у  2 х)
23.
.
2х  у
24.
102
х( у  х )
.
х у
a  ab  b
.
a b
26.
a  ab  b
.
a b
x  1.
27.
3
28. x  1.
29. –1 при х < –1;
1 при х > –1.
30. –1 при х < –3;
1 при х > –3.
31. x + 3 при x < 2;
3x – 1 при x  2.
32. 2x + 5 при x < 3;
4x – 1 при x  3.
33. 2,4.
34. 7.
35. –2.
36. (x – 4y)(3x + y).
37. (x–1)(x+1)(2x–1)
(2x+1).
38. (b2 – x)(a – y + 1).
39. (y–1)(y+1)(x–3)
(x–2).
5 у  х 1
40.
.
х  5у  1
41. –x.
4ab
42.
.
4a  3b
43. 0.
44. 1.
45. 5  2 x  1 при
1х  5;
1 при 5 < x < 10;
2 х  1  5 при х  10.
46. –2а1/4.
47. 1,4.
48. –3 и –12.
49. 7 при х = 1, у = 2.
50. 0,99.
51. 4.
52. 2.
53. (х2 + 3х – 3)(х2 +
+ 3х + 5).
54. (х2 – 2х + 2)(х2 +
+ 2х + 2).
55. (a+b)(b+c)(a+c).
56. 9х2.
x 1
57.
.
(2 y  x)(2 x2  y  2)
x y
58.  4 4 .
x y
1 a
.
1 a
60. 10.
x 1
61.
при х < –1;
1 x
x 1
при –1< x <0;
x 1
x 1
при х  0.
x 1
59.
4  x2
при
x 2  4x  4
х < 1;
x2
при 1 x < 2;
2x
x2
при х > 2.
x2
63. а3 – 3ab + 2с = 0.
62.
9
.
8
65. –18.
66. 9.
67. 15 при х = –2,
у = 3.
68. 2,5 при х = 1,
у = 5.
69. – 5 при х = –2,
у = 3.
70. 4 при х = 1, у = 4.
64.
Тема 2
5. b = –3.
6. k = –4.
7. k = 3, b = 1.
8. (1; 4).
9. уmin = –1.
10. уmax = 2.
11. с = 1.
12. b = 2, с = 1.
13. а = 2, с = 3.
14. а = 3.
1
15. а  .
2
16. а = 4.
22. а) 11; б) –1; в) –6;
г) 0,6.
23. а) –2; б) 3; в) 2;
4
г) .
3
24. (–4; –4); (–6; 6).
25. у = х2 – 4х + 6 (обозначайте z = 3–х).
26. у = 5, х = 8;
у = –0,5х + 6.
33. Нет корней при
a  (–; 0)(3; +);
 9
один
корень при
28.  0;  .
 4
а = 3;
30. а) уmin = 7 при х =
два корня при
= –0,5 и х = 1,5
а  [0; 3).
(второе слагаемое
34. а  {0; 0,5; 1}.
равно 0);
1
б) уmin = 3 при х = 1 и 35. 3 .
х = 3 (второе слагае36. а = 9.
мое равно 0);
37. а = –8; а = 4.
в) уmin = 31 при х = 0
38. а) 6; б) 17,5.
(каждое слагаемое
39. S(a) = 2(a2 – 6a +
минимально);
+1)2; Smax = 128 при
г) уmin = 10 при х = 2
a = 3.
(каждое слагаемое
40. При с = 12 (2; 3).
минимально);
41. (3; 9).
д) уmin = 3 при х = –1
42. а(–4; 4).
(в дроби выделить
1 2
целую часть);
43.  ;  .
3 3
е) уmin = 1 при х = 7
(сделать замену
1

44. k    2;  
3
z  x  3 );

ж) уmin = 4 при х = –2
1 
  ;2  .
(исследуйте поведе3 
ние каждого слагае1
мого).
45. а) f ( x )  x 2 
8
31. Один корень при
а(–; –1)(0; +);
3
1
 x  (вести
два корня при
2
8
а  {–1; 0};
переменную t = х –3);
три корня при
2
б) f ( x)   x 2 
a  (–1; 0).
5
32. Нет корней при
6
3
9
a  (1; +);
 x 2 
1
5
5x
5x
один корень при
(записать условие
а = 1;
для значений аргудва корня при
мента х и 1/х).
а  (–; 1).
27. (– 6 ; 0), ( 6 ; 0).
103
Тема 3
1
1.  .
3
2. 1.
1
3.
2
4. –1.
5. 5.
6. 1,2.
4
7.  .
11
13
8.
.
37
9. 1.
10. –1.
2
и х = 2.
3
3
12. х   и х = –1,5.
4
13. х  (–; 2].
14. х  [–3; +).
15. При а  1 х = а +1;
при а = 1 х(–;+).
16. При а  –2
х = а – 2;
при а = –2 х(–;+).
17. При а  3
1
x
;
a3
при а = –3 х(–;+);
при а = 3 х  .
18. При а  4
1
x
;
4a
при а = –4 х(–;+);
при а = 4 х  .
11. х 
104
2
.
3
5
4
20. х   и х 
.
4
15
19. х = 1,5 и х =
21.
3
.
9
51
.
3
а
23. х = а и х   .
5
4а
24. х = а и х  
.
7
25. х = а – 1 и х = а +1.
26. х = 2а – 3 и
х = 2а + 3.
27. х = 2 и х = 4.
28. х = 3 и х = 5.
29. (1; – 3) и (3; 5).
30. (–1; 7) и (5; 19).
22. 
31.  3 .
32.  3 ; 2.
3
33. 1; 
.
2
1
34. 2; 
.
3
35. х = 0 и х = 2.
36. х = 0 и х = 3.
2
37. х = –1, х  ,
3
х = 2,5.
2
38. х = –1, х  ,
3
х = 0,5.
39. х = –3 и х   2 .
40. х = 3 и х   3 .
41. х = 2,5 и х = 1.
42. х = 0,5 и х = 2.
1
43.  .
3
44. –0,5.
45. 5.
46. 3.
7
47. .
3
9
48.  .
4
49. 4.
50. –2.
2
51. х = –3 и х  .
3
52. х = 2 и х = –3,5.
53. х = 3 и х = 7.
54. х = –2 и х = –1.
55. 14.
56. 14.
1
57. 5 .
5
1
58. 3 .
3
59. 10.
60. –5.
1
61. х  и х = 1.
6
5
62. х   и х = 1.
3
63. х  (–; –1].
64. х  [–1; +).
65. х  (–; 1,5].
66. х  (–; 1,6].
67. х  (1,5; +).
1

68. х   ;  .
3

69. х  (–; –5]
[1,5; +).
1

70. х   4; .
3

71. х  (–; 1]
[18; +).
72. х  [1; 16].
73. х  (–0,4; +).
4

74. х    ;  .
3

75. х  [3,5; +).
5

76. х    ;  .
3

77. х  [4,5; +).
8

78. х    ;  .
3

79. х  [–3; +).
80. х  (–; 6].
81. х  (2,5; +).
7

82. х    ;  .
3

5

83. х    ;  
3

[2; +).
84. х  [–3; 3,5).
85. 3.
86.2.
87. х = –1 и х = 1.
1
88. х  и х = 1.
3
89. х = –1,4 и х = 1.
90. х = –1 и х = 1.
91. х = 1.
4
92. х = –2; х  
и
3
х = 0.
93. х  [–2; 1].
94. х  (–; 1].
95. При а  –2 и а  1
3а
х
; при а = –2
а 1
или а = 1 х  .
96. При а  –0,5 и
а4
а3 х
;
2а  1
при а = –0,5 или
а = 3 х  .
97. При а  –2 и а  0
3а 2  3а  2
х
;
2а
при а = –2 или а = 0
х  .
98. При а  –2, а  1 и
 а2  а  2
а0 х
;
2а
при а = –2, а = 1 или
а = 0 х  .
29
99. х = –14; х 
;
15
х = 2.
16
100. х =1, х 
;
7
х = 4.
7
101. х = –1 и х  .
4
4
102. х   и х = 1.
9
103. 3.
104. 4.
105. х  2 3 и х = –4.
106. х  2 5 и х = –4.
107. х = –3,5; х = –2,
42
.
11
108. х = 1,5; х = 4;
36
х
.
11
109. х = –9 и х = 2.
110. х = –5 и х = 3.
111. х = 2а–3 и х = 5+а.
112. х=а – 3 и х = 1–2а.
113. а  (–3; 3).
114. а  (–5; 5).
115. а  [19; +).
116. а  (–; 15].
117. –6; 1; 2; 3.
х
118.  2  7 ; 1; 3.
119. 0; 2;  5 .
120. 0;  3 ; 2.
121. –6; –5; 1; 2.
122. 1; 2; 3; 4.
123. –8.
124. –12.
125. х = 1; у = 1.
126. х = 1; у = 1.
127. 3; 3,5; 4.
128. –5; –4,5; –4.
129. При а = 0 х = –6
и х = 0; при а = 9
х = –3 и х = 0.
130. При а = 0 х = –1 и
х = 0; при а = 1 х =
1
– и х = 0.
2
131. –6.
132. 2.
133. х = –3 и х = 4.
134. х = –8 и х = –1.
135. 1.
136. 0.
105
137. –1.
138. –1.
139. –5; –1; 2; 6.
140. –3; –1; 2; 4.
141. –4.
142. –9.
143. 1 2 .
144. – 1 2 ; –1.
145. При а = 1 х = –6.
1
146. При а  
3
х = –7.
147. 1.
148. 1.
149. х = –2 и х = 4.
150. х = –3 и х = 5.
151. 4.
152. –2.
153. 9.
154. 3.
155. 4.
156. 3.
157. –2.
158. –3.
159. 6.
160. 5.
161. х  [–1; 1].
162. х  (–; –1]
[1; +).
163. х  [–4; –3]
[3; 4].
164. х  (–; –5]
[–2; 2][5; +).
165. х  (–; –1]
{1}[2; +).
166. х  (–; –3]
{–2}[6; +).
167. х  {–1}{4/3}
[3; +).
106
168. х  {–1}{1,5}
[5; +).
169. х  (0; 4)(4;+).
170. х  (0; 6)(6;+).
171. х  (–; –7)
(–4;+).
172. х  (–; –6)
(–5;+).
173. х  [–3; 1).
174. х  (–5; 4].
175. х  [–32; 4).
176. х  (–; 6).
3 4
177. х   ;  .
4 3
3 5
178. х   ;  .
5 3
179. 0 при а  (–; 5),
 при а = 5;
2 при а  (5; +).
180. 0 при
х  (–; –7)(7;+);
+ при а = 7;
1 при а  (–7; 7).
181. а = 2.
182. а = –2.
185
183. а  
.
22
51
184. а   .
8
185. х=7а–4 и х=7а–5.
186. х=7а–1 и х=7а–2.
187. 1.
1
188. х = и х = 1.
8
189. х  (–; –3]
[3; +).
190. х  (–; –4]
[4; +).
191. (–1; –1).
192. (4; 0).
193. (5; 15); (–5; –15).
194. (4; –4); (–4; 4).
195. (0; –1), (0; –3),
(2; –1), (2; –3).
196. (2; 3), (2; 1),
(4; 3), (4; 1).
а
1
197. а)  ; б)  ,
3
3
в) а;
г)
а2  6
;
9
а 2  12
.
3
198. а = 3.
9
199. а =
.
25
200. При а = 3 х = 2 и
х = 4; при а = –4,5
х= 0,5 и х = 1.
1
201. 1 при а  и
9
2
1
а  ;  при а  ;
3
9
2
0 при а  .
3
202. а = 3.
203. а  [–4; 4].
 1 1
204. а    ;  .
 4 2
205. а = 1.
206. –2; –1; 1; 3.
207. –1; 2.
208. 0; –1; 1.
1
209.  ; –1; 1.
3
д)
210. 0; 4.
211. –7; 1; –5; –1.
212. 3; 4.
213. 2; 3.
214. –4; 3.
215. –5; 2.
216. 2; –1.
217. 1; –2.
218. 0.
219. 0.
 5  21
.
2
1
221. 2; –1; 1; .
2
220.
224. –5; 1;  1 6 .
225. –2; 7;  1 15 .
226. –4; 4.
227. –5; 5.
228. –1; 2.
229. –6; 2.
1
230. ; 2.
2
1
231. – ; 2; 2  5 .
2
232. –7; 1;
 6  10
.
2
233.  2  3 .
234.
1 21
.
2
235. 1 5 .
236. 0.
237. 0.
238. 0.
239. 0.
240. 0.
241. 0.
10 
242. а   ;2 .
 11 
243. a = b =1.
1 1 5
244.  ; ; .
2 2 2
245. –4; 3.
10
246.  .
7
247. –1.
248. 1.
249. х  [–3; 1].
250. 2; 11.
251. 1; 10.
252. 1.
3

253. При а    ; 
2

х  ;
 3

при а   ; 
2


х = 4а2 + 12 + 7.
254. При а  (–; 0) х
= –а;
при а = 0 х = 0,
при а  (0;+) х = а.
255. При а  (–;–1)
( 2 ; ) х  ;
при а = –1 х = –1,
при а  (–1;1)
а  2  а2
;
2
при а = 1 х {0; 1};
х
при а  (1; 2 )
х
а  2  а2
;
2
при а  2 х  2 / 2 .
 1 
256. а    ;0 .
 4 
257. а  [1;) .
258. а  (8;+).
259. а  (–; 1].
9 
260. а  (–;2)    .
4
4

261. a    ;  
3

(0; +).
262. а  (–;0).
1

263. a   ;  .
2

 2 13 
264. (–1; 2),  ;  .
3 9 
265. (1; 1).
4   3

266. x      ;  .
5   2

267. x (;1] [2;).
268. х = [–1; 1].
1  2 

269. x  ;     
3  3 

3

  ;  .
2

270. х = –3.
271. х  (1; 3).
272. х (–; –2) (0;
1)(1; +).
273. х(–1;2][3,5; 7).
274. х(–;1) 
3 
  ;2  (3; +).
2 
 1 1 5
275. x    ;    .
 2 2 2
107
276. х  {–5}
5

  4;   {5} .
2

277. х  [5; +).
2

278. х   3;  .
3

279. (2; –1).
280. (5; 6), (5; 7), (5; 8).
281. (–2; 3).
282. (–4; 4), (–4; 2),
(–6; 4), (–6; 2).
283. (7; 8), (7; 10).
284. (3; –5).
285. При а (–; –1)
 3а  1

х 
;  ;
 а 1

при а = –1 х  ;
при а (–1; +)
3а  1

х    ;
.
а  1 

286. При а (–; –1)
(1; +)
 2а  1

х 2
;  ;
 а 1

при а = –1
х  (;);
при а = 1 х  ;
при а (–1; 1)
2а  1 

х    ; 2
.
а 1 

287. При а (–; –10)
 5а  1

х 
;  ;
 а  10

при а = –10 х  ;
108
при а (–10; +)
5а  1 

х    ;
.
а  10 

288. При а (–; –1)
(1; +)
а  2

х    ;
;
а  1 

при а = 1
х  (;);
при а (–1; 1)
 а2

х  
;  .
 а 1

289. При а (–; –1]
х  ;
при а (–1; +)

2 
х    ;


а  1 

1

х    ;   (1;);
а

при а  [1; +)
х  (;1) 
 1

   ;  .
 а

292. При а (–; –2)
 2а  1  1  4а
х 
;

2а  4

2а  1  1  4а
2а  4

,


при а = –2
2

х   ; ;
3

1

при а    2; 
4

 2


;  .

 а  1


2а  1  1  4а 
х   ;



2а  4


290. При а (–; 0]
х  (–; 0);
при а (0; +)
 1 
х   
;0  
а 

 2а  1  1  4а


;;


2а  4


 1

 
;  .
 а

291. При а (–; 0)
1

х    1;  ;
а

при а = 0
х  (1;);
при а (0; 1)
1

при а   ; 
4


х  (;).
Тема 4
1. (–2; 1).
2. (1; –2).
3. (1; –3).
4. (–2; 3).
5. (–3; 1).
6. (1; –4).
7. (1; 4).
8. (2; 3).
9. (3; –2), (–3; –8).
10. (–1; 3), (2; 0).
11.(5; –2), (2; – 5).
12. (6; 2), (2; 6).
 3 1
13. (–4;–1),   ; .
 2 2
2

14.  3; , (4;–1).
3

15. (1; –1).
16. (1; –1).
17. (25; –24).
18. (24; 23).
19. (9; –1).
20. (5; –1).
21. (2; 1).
22. (3; 1).
23. (6; 2).
24. (10; –1).
25. (1; 1).
26. (1; 1).
27. (2; 2), (1; 3).
28. (4; 4), (2; 6).
29. (1; 1).
30. (1; 1).
31. (3; 1).
32. (–2; 2).

1 
.
33.   3;
5


3 
.
34.   3 ;
2

35. (1; –4), (–1; –4).
36. (1; –3), (–1; –3).
37. (35; 10), (61; –16).
38. (40; –15), (87; 32).
 11 7 
39.  ;  .
 16 4 
 10 2 
40.  ;  .
 9 3
 2 1
41. 1; ;  .
 3 3
42. (0; 0; 0).
43. (1; 2), (2; 1).
44. (1; 3), (3; 1).
45. (3;1), (–3; –1).
46. (4; –3), (–4; 3),
 7 1 
 
,
;
2 2

 7
1 

.
;
2
 2
47. (5; 5).
48. (5; 5).
49. (1; 1).
50. (2; –1).
51. (32; 1).
52. (33; 1).
 31 
53.   ;6  ;
 5 
 24 
  ;1.
 5

 43 
54.   ;7 ;
 6 
 35 
  ;1.
 6

55. (1; 1).
56. (1; 1).
57. (3; 6).
58. (4; 8).
59. (6; 1).
60. (1; 4).
10   40 

61.  2;  , 12; .
3 
3 

8   24 

62.  2; , 10; .
5 
5 

63. (–2; 5), (12;–5).
64. (4; 3), (20; –3).
65. (56;–78).
66. (50; –23).
 10 10 
67. (6; 2),  ; ,
3
 3
(–10; 10), (–2; –6).
68. х  [0; 1], y = 2 – x.
69. (9; 3), (–33; –9),
(–21; –9).
70. (–24; 12), (24; –12),
(–36; 12), (36; –12).
3 2
71.  ; , (1; 1).
2 3
72. (6; 6), (–6; –6).
73. (1; 2), (2; 1).
74. (1; –1), (–1; 1), (1;2),
(2; 1).
75. (2; 1), (–2; –1).
76. (3; 1), (–3;–1).
77. (4; 1; –3).
78. (33; 77; 11).
79. (–1; 0; 3).
80. (2; –1; 1; 0).
81. 6.
3 
 3
82. 
;
 при
 3 а а 3
2х  3
а  3; у 
,
4
х  (;) при
а = –3; х, у   при
а = 3.
83. а = 1, b = –1.
84. а = 0, а = 2.
85. а  3 2 .
109
86. (2; 1).
87. (0; 1), (0;–1),

8
5 
 
 ,
;
41 41 

 8
5 

 .
;
41 
 41
 11 11  11 11
88.  ; ,   ; .
5 5 5 5
89. (1; 1).
90. (2; 3), (3; 2).
91. (4; 3).
92. (9; 0).
93. (9; 18), (18; 9).
94. (1; 2; 3).
95. (1; 2; 3).
96. (–3; –4; –2).
97. (9; 8; 6).
98. (6; 4).
99. (–2; –7).
100. (32; 8), (36; 4).
101. (94; 25).
102. (15;–36).
103. (–2; –5).
104. (9; 32), (41; 0).
5 4 
105.  ; ;1 .
2 3 
_____
110
106. (2; 1; 11).
107. (5; 3),

981  9

;

2


981  9 
.

2

5 
108.  ;6  .
2 
Александр Николаевич Рурукин,
Елена Владимировна Бровкова,
Татьяна Николаевна Виссонова
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Часть 1
Редактор Е. Н. Кочубей
Макет подготовлен Е. Н. Кочубей
Подписано в печать 15.08.2009.
Формат 6084 1/16.
Изд. № 055-1. П.л. 7,0. Уч.-изд. л. 7,0. Тираж 4500 экз. Заказ №
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ».
115409, Москва, Каширское шоссе, 31
111
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение
высшего профессионального образования
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
МИФИ – базовое высшее учебное заведение России, предназначенное для подготовки инженеров: физиков, математиков, системотехников – инженеров-исследователей, обладающих глубокими знаниями физико-математических дисциплин в сочетании с серьезной
инженерной подготовкой.
ФАКУЛЬТЕТЫ
телефон
Факультет экспериментальной и теоретической физики (Т)
8(495)324-84-40
Физико-технический факультет (Ф)
8(495)324-84-41
Факультет автоматики и электроники (А)
8(495)324-84-42
Факультет кибернетики (К)
8(495)324-84-46
Факультет информационной безопасности (Б)
8(495)324-84-00
Гуманитарный факультет (Г):
8(495)323-90-62
- Институт международных отношений
- Финансовый институт
- Институт инновационного менеджмента
- Экономико-аналитический институт
- Институт финансовой и экономической безопасности
ПРИЕМНАЯ КОМИССИЯ
Адрес МИФИ:
8(495)323-95-83
8(495)324-03-78
8(495)323-90-88
8(495)323-92-15
8(495)323-95-27
8(495)324-84-17; 8(495)323-95-12
115409, г. Москва, Каширское ш., д.31
По вопросам повышения квалификации учителей физики, математики и информатики, а также по работе МИФИ со школами в регионах РФ обращаться в Центр повышения квалификации и переподготовкu кадров по тел.: 8(495)324-05-08, 8(499)725-24-60.
Скачать