В преддверии ММО

11 класс
В преддверии ММО
10 марта 2016
1. Последовательность {an } такова, что an = n2 при 1 6 n 6 5 и при всех натуральных n справедливо
равенство an+5 + an+1 = an+4 + an . Найдите a2016 .
2. Сумма нескольких не обязательно различных положительных чисел не превосходила 100. Каждое
из них заменили на новое следующим образом: сначала прологарифмировали по основанию 10, затем
округлили стандартным образом до ближайшего целого числа и, наконец, возвели 10 в найденную
целую степень. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел превышает 300?
можно вычеркнуть в левой части уравнения
3. Какое наибольшее количество множителей вида sin nπ
x
2π
3π
2016π
π
sin x sin x sin x . . . sin x = 0 так, чтобы число его натуральных корней не изменилось?
4. На плоской горизонтальной площадке стоят 5 прожекторов, каждый из которых испускает лазерный
луч под одним из двух острых углов α или β к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной
оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые 4 из этих прожекторов можно повернуть
так, что все 4 испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть
все 5 прожекторов, чтобы все 5 лучей пересеклись в одной точке?
Обратите внимание, что пункты а) и б) на ММО оцениваются как отдельная задача!
5. На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD c центром O отмечены такие точки P и Q соответственно, что ∠AOP = ∠COQ = ∠ABC.
а) Докажите, что ∠ABP = ∠CBQ.
б) Докажите, что прямые AQ и CP пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.
6. В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой
строке таблицы сумма k наибольших чисел равна a, а в каждом столбце таблицы сумма k наибольших
чисел равна b.
а) Докажите, что если k = 2, то a = b.
б) В случае k = 3 приведите пример такой таблицы, для которой a 6= b.
7. При какой перестановке a1 , a2 , . . . , a2016 чисел 1, 2, . . . , 2016 значение выражения
a2016
...a2015
a
a 3
a1 2
будет наибольшим?
8. У повара в подчинении 10 поварят, некоторые из которых дружат между собой. Каждый рабочий
день повар назначает одного или нескольких поварят на дежурство, а каждый из дежурных поварят
уносит с работы по одному пирожному каждому своему недежурящему другу. В конце дня повар узнаёт
количество пропавших пирожных. Сможет ли он за 45 рабочих дней узнать, кто из поварят дружит
между собой, а кто нет?
11 класс
В преддверии ММО
10 марта 2016
1. Последовательность {an } такова, что an = n2 при 1 6 n 6 5 и при всех натуральных n справедливо
равенство an+5 + an+1 = an+4 + an . Найдите a2016 .
2. Сумма нескольких не обязательно различных положительных чисел не превосходила 100. Каждое
из них заменили на новое следующим образом: сначала прологарифмировали по основанию 10, затем
округлили стандартным образом до ближайшего целого числа и, наконец, возвели 10 в найденную
целую степень. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел превышает 300?
можно вычеркнуть в левой части уравнения
3. Какое наибольшее количество множителей вида sin nπ
x
3π
2016π
sin
.
.
.
sin
=
0
так,
чтобы
число
его
натуральных
корней не изменилось?
sin πx sin 2π
x
x
x
4. На плоской горизонтальной площадке стоят 5 прожекторов, каждый из которых испускает лазерный
луч под одним из двух острых углов α или β к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной
оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые 4 из этих прожекторов можно повернуть
так, что все 4 испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть
все 5 прожекторов, чтобы все 5 лучей пересеклись в одной точке?
Обратите внимание, что пункты а) и б) на ММО оцениваются как отдельная задача!
5. На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD c центром O отмечены такие точки P и Q соответственно, что ∠AOP = ∠COQ = ∠ABC.
а) Докажите, что ∠ABP = ∠CBQ.
б) Докажите, что прямые AQ и CP пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.
6. В каждой клетке квадратной таблицы написано по действительному числу. Известно, что в каждой
строке таблицы сумма k наибольших чисел равна a, а в каждом столбце таблицы сумма k наибольших
чисел равна b.
а) Докажите, что если k = 2, то a = b.
б) В случае k = 3 приведите пример такой таблицы, для которой a 6= b.
7. При какой перестановке a1 , a2 , . . . , a2016 чисел 1, 2, . . . , 2016 значение выражения
a
...a 2016
a3 2015
a2
a1
будет наибольшим?
8. У повара в подчинении 10 поварят, некоторые из которых дружат между собой. Каждый рабочий
день повар назначает одного или нескольких поварят на дежурство, а каждый из дежурных поварят
уносит с работы по одному пирожному каждому своему недежурящему другу. В конце дня повар узнаёт
количество пропавших пирожных. Сможет ли он за 45 рабочих дней узнать, кто из поварят дружит
между собой, а кто нет?