Степанова Н.С. Методические указания к выполнению

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Уральский государственный технический университет – УПИ»
Нижнетагильский технологический институт (филиал) УГТУ-УПИ
СТАТИСТИКА
Методическая разработка по РГР для студентов
всех форм обучения и специальностей
Нижний Тагил
2007
УДК 331
ББК У9(2)290-21
У91
Составитель Н. С. Степанова
Научный редактор: канд. экон. наук М. М. Щербинин
Статистика : метод. разработка по расчетно-графической работе студентов / авт.сост. Н. С. Степанова ; Нижнетагил. технол. ин-т (фил.) УГТУ-УПИ.−Нижний Тагил,
2007. − 45 с.
Методическая разработка предназначена для практической отработки понятий,
изучаемых в курсе «Статистика». Издание подготовлено в соответствии с программой
курса. В нем даются задачи по разделам, а также методические указания для их
решения.
Структура методических указаний предполагает подробную схему изучения
курса. Приведены варианты задач для выполнения расчетно-графической работы.
Предназначено для студентов всех видов обучения экономических
специальностей.
Подготовлено кафедрой «Экономика и управление в промышленности»
 ГОУ ВПО «Уральский государственный
технический университет – УПИ»
Нижнетагильский технологический институт (филиал), 2007
2
ОГЛАВЛЕНИЕ.
ВВЕДЕНИЕ
4
1. ГРУППИРОВКА СТАТИСТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
5
2. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
6
3. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ
6
4. РЯДЫ ДИНАМИКИ
9
5. ИНДЕКСЫ
11
6. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
14
7. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ
17
8. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
20
ВАРИАНТ 1
20
ВАРИАНТ 2
22
ВАРИАНТ 3
25
ВАРИАНТ 4
27
ВАРИАНТ 5
29
9. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕМАМ
31
9.1. Группировка статистических материалов
31
9.2. Относительные величины.
32
9.3. Средние величины и показатели вариации
33
9.4. Ряды динамики
38
9.5. Индексы
39
9.6. Выборочное наблюдение
40
9.7. Статистическое изучение взаимосвязей
41
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
44
3
ВВЕДЕНИЕ
В современных условиях становления рыночной экономики и
совершенствования развития предприятий возрастает роль и значение
статистики.
Статистика – важная часть системы управления предприятием.
Статистическая информация имеет широкий круг пользователей – от
юридических и физических лиц до государственных органов управления
экономикой.
Изучение статистики играет важную роль в процессе
профессиональной подготовки высококвалифицированных экономистов.
Цель данной методической разработки – помочь студентам освоить
курс статистики и приобрести опыт в решении конкретных статистических
задач.
Расчетно-графические работы – одна из форм учебных занятий
студентов, цель которой – закрепление и углубление теоретических знаний
по конкретной дисциплине учебного плана.
В методических указаниях кратко излагаются узловые теоретические
вопросы, без знания которых нельзя выполнить практическую работу.
Также рассматриваются примеры решения типовых задач по разным
темам. Весь цифровой материал является условным.
Расчетно-графическая работа (РГР) по дисциплине «Статистика»
выполняется для закрепления знаний и навыков применения
статистических методов и приемов при обработке информации.
При выполнении РГР следует обратить внимание на следующие
требования:
1. Задания к РГР составлены в пяти вариантах. Выбор варианта зависит от
начальной буквы фамилии студента:
Начальная буква фамилии студента
А Ж Н У Щ
Б З Т О Ф Э
В И Е П Х Ю
Г К Р Ц Ш
Д М Л С Ч Я
Номер выполняемого варианта
первый
второй
третий
четвертый
пятый
Каждый вариант работы включает семь задач по основным разделам
курса.
2. Расчеты должны быть представлены в развернутом виде, с
использованием, где это необходимо, табличного оформления со всеми
формулами, пояснениями и выводами.
3. РГР оформляется на листах формата А-4.
4
1. ГРУППИРОВКА СТАТИСТИЧЕСКИХ
МАТЕРИАЛОВ
Для успешного решения задач данного раздела необходимо освоить
следующие понятия:
Статистическая совокупность – масса отдельных единиц,
объединенных качественной основой, но различающихся по ряду
признаков.
Статистическая группировка – разбиение совокупности на группы
по какому-то признаку.
Группированный признак – вытекает из цели исследования.
Признаки делятся по форме:
- на количественные;
- на качественные (атрибутивные).
по содержанию:
- факторные, оказывающие влияние на изменение результативного
признака;
- результативные, изменяющиеся под влиянием факторных.
Типологическая
группировка
–
разбиение
разнородной
совокупности на отдельные качественно однородные группы и выявление
на этой основе экономических типов явлений.
Аналитическая группировка – группировка, выявляющая
взаимосвязи между изучаемыми явлениями и признаками.
Структурная группировка – группировка для изучения состава
однородной совокупности по какому-либо варьирующему признаку.
Ряды распределения – простейшая группировка, в которой в
качестве характеристики групп применяется один показатель –
численность групп. Ряды бывают:
- дискретные,
в которых численное распределение признака
выражено конечным числом;
- интервальные, в которых значения признака заданы в виде
интервала.
Для расчета оптимального числа групп или количества интервалов
рекомендуется формула Стерджесса:
n = 1 + 3,322 lgN,
где N – число единиц совокупности;
хmax и хmin – соответственно наибольший и наименьший варианты
признака в исследуемой совокупности равного.
5
Величина интервала определяется по формуле:
h = R / n,
где h – величина интервала;
R – разность между наибольшим и наименьшим вариантом признака в
исследуемой совокупности;
n – количество групп или интервалов.
2. ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Относительными величинами называют обобщающие показатели,
характеризующие соотношение двух сопоставляемых статистических
величин. При решении задач следует обратить внимание на особенности,
отличающие отдельные виды относительных величин, и способы их
расчета.
В зависимости от целей исследования используют следующие виды
относительных показателей:
Показатели
1. Относительный показатель
плана (ОПП)
2. Относительный показатель
реализации плана (ОПРП)
3. Относительный показатель
динамики (ОПД)
4. Относительный показатель
структуры (ОПС)
5. Относительный показатель
координации (ОПК)
6. Относительный показатель
сравнения (ОПСр)
7. Относительный показатель
интенсивности (ОПИ)
Способы расчета
плановое задание на i + 1 период
фактическое выполнение в i-м периоде
фактическое выполнение в i + 1 периода
плановое задание на i + 1 период
фактическое выполнение в i + 1 периода
фактическое выполнение в i-м или базовом периодах
часть совокупности
вся совокупность
часть совокупности
другая часть совокупности, принятая за базу
сравнения
значение показателя объекта А
значение такого же показателя объекта Б
абсолютный показатель какого-либо явления
показатель, характеризующий среду
распространения изучаемого явления или
показатели, связанных с изучаемым
3. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ И ПОКАЗАТЕЛИ
ВАРИАЦИИ
Средние показатели признаков необходимы для обобщающей
характеристики массовых общественных явлений.
6
При решении задач данной темы основным является правильный
выбор метода расчета среднего показателя. Для упрощения расчетов
средней арифметической применяют способ моментов, основанный на
свойствах средней арифметической.
Средняя величина, являясь обобщающей характеристикой
изучаемого признака, отличается от его вариантов, присущих отдельным
единицам совокупности.
Поэтому необходимо измерять величины этих отклонений.
Различают несколько показателей изменений этого признака, т.е. его
колеблемости, вариации.
Основные формулы, используемые для решения контрольных
заданий:
Средняя арифметическая:
простая
n
xi
,
n
∑
i=1
где n – объем совокупности;
xi – вариант осредняемого признака.
взвешенная
X =
(∑ x f ) ,
(∑ f )
i
i
i
где fi – вес варианта (частота, показывающая сколько раз встречается i-е
значение осредняемого признака).
Средняя гармоническая:
простая
Х
=
n







1 
∑
i=1

X i 


n
.
взвешенная
X =
(∑ M ) ,



∑  M 
 X 

i
i


7
i

где
M = x⋅ f
.
Способ моментов:
   (X i − X 0 )  
  ∑ 
 ⋅ f i  
h
 
 
X =
* h + X0,
f
∑
i




где Х0 – произвольно взятое основание (чаще вариант с наибольшей
частотой);
h – величина интервала.
Мода – наиболее часто встречающееся значение признака.


( f2 − f1 )
,
М0 = X M + h ⋅ 
(
(
)
(
)
)
−
+
−
f
f
f
f
2
3 
 2 1
где ХМ – нижняя граница модального интервала;
h – величина интервала;
f2 – частота модального интервала;
f1 – частота интервала, предшествующего модальному;
f3 – частота интервала, следующего за модальным.
Медиана – вариант у той величины, которая делит ранжированный
(расположенный в порядке убывания или возрастания) ряд пополам.
 1 ∑ fi − SMe−1 
,
Ме = ХМ + h ⋅  2


fMe


где ХМе – нижняя граница медианного интервала;
1 ∑ f – половина накопительной частоты;
2
SMe-1 – накопленные частоты до медианного интервала;
fMe – частота медианного интервала.
Размах вариации:
R=Xmax-Xmin ,
где Xmax – максимальное значение совокупности;
Xmin – минимальное значение совокупности.
8
Дисперсия и среднее квадратичное отклонение:
∑(Х − X ) ⋅ f ,
=
∑f
2
σ2
i
i
i
σ=
∑
(X
)
2
i
− X ⋅ fi
,
∑ fi
Коэффициент вариации:
σ 
V =   ⋅100%.
X
Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не
превышает 33%.
Среднее линейное отклонение:
σ=
(∑ X − x ⋅ f ).
i
∑f
i
i
4. РЯДЫ ДИНАМИКИ
Вариационные ряды, в которых варианты соотносимы по времени,
называют динамическими рядами (или рядами динамики).
В зависимости от показателя времени динамические ряды делятся на
моментные и интервальные.
Для анализа развития изучаемых явлений за отдельные периоды
времени используют систему показателей:
4. Абсолютный прирост (∆y):
∆yц = yi - yi-1 – цепной,
∆yб = yi - y0 – базисный,
y – уровень ряда;
y – уровень, принятый за базу сравнения.
5. Темпы роста (ТР):
 y 
Т Р =  i  ⋅100% – цепной;
 ( yi−1 ) 
9
 y 
Т Р =  i  ⋅ 100 % – базисный.
 y0 
6. Темп прироста (ТПР):
ТПР = ТР - 100%.
7. Абсолютное значение 1% прироста – это сотая часть предыдущего
уровня ряда (∆аб%):
∆аб% =
∆уЦ
Т ПР%
.
Расчет производится по цепным показателям.
5. Средний уровень ряда ( у ) :
интервальный ряд
у=
у=
∑y
i
n
∑ y *t
∑t
i
i
i
– равные промежутки времени;
– неравные промежутки времени.
где уi – уровень ряда;
n – число уровней;
ti – длительность интервала времени между уровнями.
моментный ряд
у 
 у1
 + у2 + у3 + ...+ n 
2
2
у=
– равные промежутки времени;
n −1
y=
(( y1 + y2 ) *t1 +( y2 + y3)*t2 +...+( yn−1 + yn ) *tn−1)
(2*(t1 +t2 +...+tn−1))
промежутки времени.
10
– неравные
6. Средний абсолютный прирост (∆ у ) :
∆у =
( уn − yi ) ,
n −1
где уn – конечный уровень ряда;
у1 – начальный уровень ряда.
7. Средний темп роста (Т Р ) :
ТР =
n −1
yn
.
y1
8. Средний темп прироста (T ПР ) :
Т
ПР
=Т
Р
− 100 %.
Для рядов с нечетко выраженной тенденцией возрастания или
убывания для выявления основной тенденции используют различные
приемы сглаживания (выравнивания) ряда.
Наиболее простые из них:
- метод укрупнения интервала;
- метод скользящей средней.
5. ИНДЕКСЫ
Индексы – это относительные показатели, характеризующие
изменения уровня сложных совокупностей и отдельных их единиц во
времени и пространстве.
Условно количественно выражаемые явления подразделяют на
объемные (количественные) и качественные. Объемные характеризуют
повторяемость уровней качественных явлений; качественные –
рассчитываются на единицу объемных уровней. Например: численность
рабочих – количественный показатель, производительность –
качественный.
При подсчете изменений уровней сложных экономических явлений
используют соизмерители (веса) – показатели, посредством которых
непосредственно несопоставимые явления приводят в сопоставимый вид.
Индексы бывают индивидуальные и сводные (общие).
11
Основной формой свободного индекса является агрегатная форма. В
ходе решения задач при построении индексов необходимо помнить
следующее:
- если
индексируемой величиной является количественный
показатель, то в количестве весов выступает качественный и
наоборот;
- все индексы уровней количественных показателей могут иметь две
формы: переменного состава и фиксированного состава, связанные
между собой посредством индекса структурных сдвигов;
- между индексами существует взаимосвязь.
Для построения индексов при решении, предлагаемых задач
необходимо использовать следующие условные обозначения:
q – количество (объем) какого-либо продукта в натуральном
выражении;
p – цена единицы товара;
z – себестоимость единицы продукции;
t – затраты времени на производство единицы продукции;
v – выработка продукции в натуральном выражении на одного
рабочего или в единице времени;
w – выработка в стоимостном выражении на одного работника или в
единицу времени;
Т – численность работающих;
pq – стоимость продукции;
zq – издержки производства или обращения;
tq – общие затраты времени.
Индивидуальные индексы – характеризуют изменения одного
элемента сложного явления.
q
i q = 1 – индекс физического объема определенного в виде
q0
продукции;
i
p
i pq
p1
– индекс цен определенного вида продукции;
p0
p * q1
= 1
– индекс товарооборота.
p0 * q0
=
Агрегатные индексы – характеризуют изменения сложного явления
в целом.
1. Индекс физического объема:
12
Iq =
(∑ q
(∑ q
1
(∑ q
(∑ q
1
Iq =
0
0
* p)
* p)
* p0 )
* p0 )
– Пааше;
– Ласпейреса.
2. Индекс цен:
(∑ p * q )
(∑ p * q )
(∑ p * q )
=
(∑ p * q )
Ip =
Ip
1
1
0
1
1
0
0
0
– Пааше, используется при планировании и анализе;
– Ласпейреса, используется при прогнозировании.
3. Индекс стоимости (товарооборота):
I qp =
(∑ q p ) .
(∑ q p )
1 1
0
0
4. Индекс себестоимости:
I z = (∑ z1q1 ) /(∑ z0 q1 ) .
5. Индекс издержек производства:
I q z = (∑ q1 z1 ) /(∑ q0 z0 ) .
6. Индекс производительности труда (трудоемкости):
I t = (∑ t0 q1 ) /(∑ t1q1 ) .
7. Индекс затрат
продукции:
времени
на
производство
I tq = ( ∑ t1 q1 ) /( ∑ t 0 q 0 ) .
13
(реализацию)
Когда изменяется не только осредненный признак, но и вся
совокупность в целом, то применяют индексы постоянного
(фиксированного) и переменного состава в целом. Рассмотрим данную
систему на примере индекса цен.
Индекс переменного состава показывает, что на изменение средней
цены влияет изменение двух факторов – изменение самих цен и изменение
структуры реализованной продукции:
−
I p = p1/ p0 = ((∑ p1q1 ) /(∑ q1 )) /((∑ p0 q0 ) /(∑ q0 )) .
Индекс постоянного состава показывает влияние только цен на
изменение средней цены:
I p = (∑ p1q1 ) /(∑ p0 q1 ) .
Индекс структурных сдвигов показывает влияние структуры на
изменение средней цены:
I = (( ∑ p0 q1 ) /( ∑ q1 )) /(( ∑ p0 q0 ) /( ∑ q0 )) = ( I p / I p ) .
Взаимосвязь индексов: индекс переменного состава равен индексу
постоянного состава умноженного на индекс структурных сдвигов.
Ip = Ip ⋅Ip .
6. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
Для решения задач данной темы необходимо иметь представление о
выборочном методе в статистических исследованиях, уметь определять
объем выработки, обеспечивающей необходимую репрезентативность
выборочной совокупности, определять ошибки выборки при повторном и
бесповторном отборе.
При статистическом исследовании экономических явлений
производится наблюдение не всех единиц совокупности (генеральная
совокупность), а лишь части (выборочная совокупность), и по этой части
судят о всей совокупности в целом. Выборка должна наиболее полно
представлять свойства генеральной совокупности, т. е. быть
репрезентативной.
14
Важнейшими характеристиками выборочной и генеральной
совокупности являются средние значения изучаемого признака, доля и его
среднеквадратическое отклонение.
При решении задач можно использовать теорию выборочного
наблюдения, основанную на знании закона больших чисел.
Для определения средней и предельной ошибки выборки, а также
числа единиц для выборочного наблюдения используют следующие
показатели:
Условные обозначения показателей выборки:
µ – средняя ошибка выборки;
∆ – предельная ошибка выборки;
σ
– среднее квадратическое отклонение в генеральной
совокупности;
σ 2 – дисперсия в генеральной совокупности;
w – выборочная доля;
t – коэффициент доверия (зависит от Р);
p – степень вероятности;
n – объем выборки (число обследованных единиц);
N – объем генеральной совокупности (число входящих в нее единиц).
1. Средняя ошибка выборки ( µ )
а) при повторном отборе:
для средней
σ2
µ=
n
;
для доли
µ=
где w =
w(1 − n)
;
n
m
.
n
б) при бесповторном отборе:
для средней
µ=
σ2
n
(1 −
для доли
15
n
);
N
w(1 − w)
n
(1 − ) .
n
N
µ=
2. Предельная ошибка ( ∆ )
а) при повторном отборе:
для средней
∆x = t
σ
n
2
;
для доли
∆=t
w(1 − w)
;
n
P = 0,683; t=1;
P = 0.954; t = 2;
Р = 0,997; t = 3
б) при бесповторном отборе:
для средней
∆x = t
σ2
n
n
(1 − ) ;
γ
для доли
∆x = t
w(1 − w)
n
(1 − ) .
n
γ
3. Численность выборки (n)
а) при повторном отборе:
для средней
n = (t 2σ 2 ) /(∆x 2 ) ;
для доли
n = (t 2 w(1 − w)) / ∆ 2 .
б) при повторном отборе:
16
для средней
n = (t 2σ 2 n) /( N ∆x 2 + t 2σ 2 ) ;
для доли
n = (t 2 w(1 − w) N ) /( N ∆ 2 + t 2 w(1 − w)) .
7. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ
ВЗАИМОСВЯЗЕЙ
В задачах данного раздела требуется установить и оценить связь
между экономическими явлениями. Это одна из важнейших задач
статистического исследования состоящая в том, чтобы на основе анализа и
обобщения, собранных в процессе наблюдения статистических данных
выявить и охарактеризовать связь и взаимодействие между
экономическими явлениями и процессами. Связи между признаками
явлений и самими явлениями бывают различными, их подразделяют по
степени зависимости одного явления от другого. Следует различать,
прежде всего, связи функциональные и корреляционные.
Функциональные – это такие связи, когда изменению одного
признака (х) на единицу соответствует изменение другого признака (у) на
строго определенную величину.
Корреляционные – это такие связи, когда при одном и том же
значении признака (х) встречаются разные значения признака (у); при
этом, однако между ними имеется такое соотношение, что определенному
изменению признака (х) соответствуют средние изменения признака (у).
Связи по общему направлению могут быть прямые и обратные, а по
их аналитическому выражению – прямолинейные, криволинейные.
Для успешного решения поставленной в задаче проблемы
необходимо придерживаться следующего алгоритма расчетов:
- оценка и анализ полученных результатов, и определение тесноты
связи между изучаемыми величинами;
- отбор взаимодействующих факторов, оказывающих наибольшее
влияние на результативный признак, выявление характера этого
явления;
- установление формы связи;
- решение
принятой модели путем нахождения параметров
17
корреляционного уравнения.
Методы изучения взаимосвязи
1. Корреляционный анализ – метод установления связи и
измерения ее тесноты между наблюдениями. Корреляционная связь
проявляется в среднем для массовых наблюдений, когда заданным
значением зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятных
значений независимой переменной.
В статистике теснота связи может определяться с помощью
различных коэффициентов (Фехнера, Пирсона, коэффициентные
ассоциации и т. д.).
При линейной зависимости коэффициент корреляции между
факторами x и у определяется следующим образом:
r=
∑ ( x − x )( y − y)
∑ (x − x ) ∑ ( y − y)
i
i
2
i
2
,
i
где r – линейный коэффициент корреляции;
x i – индивидуальное значение факторного признака в совокупности;
x – среднее значение факторного признака в совокупности;
y i – индивидуальные значения результативного признака в
совокупности;
y – среднее значение результативного признака в совокупности.
Значения коэффициента корреляции изменяются в интервале [- 1; + 1].
Значение r = -1 свидетельствует о наличии жестко
детерминированной обратно пропорциональной связи между факторами;
r=+1 – соответствует жестко детерминированной связи с прямо
пропорциональной зависимостью факторов. Если линейной связи между
факторами не наблюдается, r= 0.
Другие значения коэффициента корреляции свидетельствуют о
наличии стохастической связи, причем, чем ближе (r) к единице, тем связь
теснее.
При r < 0,3 – связь можно считать слабой; при 0.3 < r < 0.7 – связь
средней тесноты; r > 0,7 – тесная.
2. Регрессионный анализ – это метод установления аналитического
выражения стохастической зависимости между исследуемыми признаками.
Уравнение регрессии показывает, как в среднем изменяется у при
изменении любого из
xi
и имеет вид:
18
y = f ( x1 x2 ...xn ) ,
где у – зависимая переменная;
xi – независимая переменная.
В ходе регрессионного анализа решаются две основные задачи:
- построение
уравнения регрессии, т. е. нахождение вида
зависимости между результативным показателем и независимыми
факторами x1 x2 ...xn
оценка значимости полученного уравнения, т.е. определение того,
насколько выбранные факторные признаки объясняют вариацию
признака у.
Регрессионный анализ – один из наиболее разработанных методов
математической статистики.
Для реализации регрессионного анализа необходимо выполнение
ряда специальных требований:
- множество значений – x1 x 2 ...x n ;
-
у – должен быть независимым;
- нормальное распределение случайных величин.
При линейной зависимости уравнение регрессии имеет вид:
-
у = а + в х,
где а, в – параметр уравнения, из которых «в» – коэффициент регрессии.
Система нормальных уравнений способом наименьших квадратов
для нахождения параметров линейной регрессии.
an + в ∑ x =∑ y

,
2
a ∑ x + в ∑ x = ∑ yx
где п – число наблюдений;
параметр а – начальное значение результативного признака;
параметр в – значение характеризует, насколько в среднем изменится
значение факторного признака.
19
8. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ
РАБОТЫ
ВАРИАНТ 1
Задача 1.1
Построить аналитическую группировку по величине расходов на
рекламу относительно стоимости реализованной продукции и прибыли.
Проанализируйте полученные результаты и сделайте выводы о
зависимости показателей, графически представить сгруппированные
данные.
Исходные данные к задаче:
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Отпускная стоимость
Прибыль, млн руб.
реализованной продукции, млн
руб.
52,0
5,8
49,1
6,2
510,1
25,3
614,2
34,1
542,9
52,9
196,2
17,3
158,8
14,5
99,3
8,8
542,2
29,1
326,1
36,3
399,5
24,4
39,4
7,7
138,6
15,3
57,6
4,4
42,2
7,5
Расходы на
рекламу млн руб.
2,2
1,8
3,1
2,8
4,8
5,0
1,4
0,4
4,5
8,8
5,9
3,2
6,6
3,7
3.4
Задача 1.2
Состав и численность промышленно-производственного персонала
предприятия по виду характеризуется следующими данными:
Категории работающих, человек
Рабочие
Руководители
Специалист
Служащие
2002
1130
5
64
35
2003
1080
9
55
28
2004
1075
9
62
32
Определить: изменение общей численности всего персонала по
годам в процентах (на переменной базе сравнения); структуру персонала
20
по годам; сколько руководителей, специалистов и служащих приходится
на 100 рабочих.
Задача 1.3
Имеются следующие данные о мощности жилы:
Мощность жилы, м 0,6-0,8
Кол-во замеров
38
8,8-1,0
1,0-1,2
1,2-1,4
41
47
24
1,4-1,6 1,6-1,8
13
8
1,8-2
4
Определить: среднюю мощность жилы методом моментов; моду и
медиану данного ряда распределения.
Задача 1.4
Определить базисные и ценные темпы роста и прироста; абсолютное
значение 1 % прироста и средний абсолютный прирост за 10 лет по
следующим данным о добыче угля, тыс. т.
Год
Добыча, тыс. т.
Год
Добыча, тыс. т.
1
4240
6
5010
2
4660
7
5350
3
4720
8
5420
4
4840
9
6180
5
4890
10
7000
Проанализировать полученные результаты.
Задача 1.5
Имеются данные о ценах и количестве реализованной продукции за
2003 г. – 2004 г.
Наименование
продукции
А
Б
Цена за единицу, руб.
2003 г.
2004 г.
1100
1200
5700
6200
Объем реализации, тыс. тонн
2003 г.
2004 г.
150
160
250
200
Определить:
а) общий индекс цен;
б) индекс физического объема товарооборота;
в) общий индекс товарооборота в фактических ценах;
г) проанализировать полученные результаты.
Задача 1.6
Произведено
выборочное
обследование
длительности
производственного стажа, в выборку было взято 100 рабочих из общего
количества в 1000 человек. Результаты выборки следующие:
21
Продолжительность стажа, лет
Число рабочих, чел.
0-2
20
2-4
40
4-6
25
6-8
10
8-10
5
Определить с вероятностью 0,997 возможные пределы колебания
средней продолжительности производственного стажа всех рабочих; какое
число рабочих надо взять в выборку, чтобы ошибка не превышала 0,5 года,
на основе приведенных показателей.
Задача 1.7
Имеются следующие данные об объеме реализованной продукции и
накладных расходов предприятий, входящие в промышленный холдинг.
Предприятие
1
2
3
4
5
6
7
8
Объем реализованной
продукции, д. е.
192
183
182
179
177
175
174
160
Накладные расходы, д. е.
28
21
22
19
18
19
19
15
Провести корреляционно–регрессионный анализ.
ВАРИАНТ 2
Задача 2.1
Имеются следующие данные о работе 25 предприятий:
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Основные
Среднесписочное число Валовая продукция за
производственные фонды,
рабочих, чел.
отчетный год, млн. руб.
млн. руб.
3,0
360
3,2
7,0
380
9,6
2,0
220
1,5
3,9
460
4,2
3,3
396
6,4
2,8
280
2,8
6,5
580
9,4
6,6
200
11,9
2,0
270
2,5
4,7
340
3,5
2,7
200
2,3
3,3
250
1,3
3,0
310
1,4
3,1
410
3,0
3,1
635
2,5
3,5
400
7,9
22
17
18
19
20
21
22
23
24
25
3,1
5,6
3,5
4,0
1,0
7,0
4,5
4,9
5,9
310
450
300
350
330
260
435
505
370
3,6
8,0
2,5
2,8
1,6
12,9
5,6
4,4
5,2
Произведите группировку предприятий по размеру основных
производственных фондов, образовав, пять групп с равными интервалами.
Каждую группу охарактеризуйте следующими показателями: число
предприятий, число работающих, размер основных производственных
фондов, валовая продукция. Наряду с абсолютными размерами
показателей вычислите структуру групп в общем итоге. Полученные
результаты проанализируйте.
Задача 2.2
Изменение численности населения в России с 1970 по 2002 гг.
характеризуется следующими данными.
Данные о численности населения
Годы
мужчины
1970
1980
1990
2002
59161
63208
68714
67604
Население, млн. чел.
женщины
всего
а том числе
городское
сельское
70780
129941
80631 94942
49310
74202
137410
107959
42468
78308
147022
106427
39063
77560
145164
38737
Вычислите:
а) процент мужчин и женщин в общей численности населения;
б) процент городского и сельского населения;
в) динамику численности населения;
г) относительные величины координации.
Задача 2.3
Распределение
следующими данными:
Группа студентов, лет
Число студентов
студентов
17
2
23
по
возрасту
18
22
19
16
характеризуется
20
6
21
4
Итого
50
Определите:
а) средний возраст студентов по формуле моментов;
б) показатели вариации.
Задача 2.4
По приведенным данным о выпуске продукции в сопоставимых
ценах определить абсолютный прирост, цепные и базисные темпы роста и
прироста.
Рассчитать методом скользящей средней за каждые 3 года
ежегодный выпуск продукции, выровнять ряд по прямой, вычислить
средний уровень ряда:
Годы
Выпуск продукции, млн. руб.
1998
45,5
1999
50,0
2000
65,5
2001
65,0
2002
72,0
2003
100,0
Задача 2.5.
Имеются данные по двум предприятиям.
Предприятия
№1
№2
Базисный год
Отчетный год
выработано отработано чел. - выработано
отработано
продукции
дней, тыс. ед. продукции, тыс. чел. - дней, тыс.
т.
ед.
15000
130
17000
150
2700
70
2500
60
Определить индексы динамики производительности труда по
каждому предприятию и в целом по двум предприятиям переменного и
фиксированного состава; индекс влияния структурных сдвигов на
изменение среднего уровня производительности труда.
Задача 2.6.
Из партии изделий в 5 тыс. шт. выборочной проверке подверглось
250 шт., среди которых оказалось 200 единиц первого сорта. Определить с
вероятностью 0,954, в каких пределах лежит процент изделий первого
сорта во всей партии.
Задача 2.7
Определить коэффициент корреляции на основе следующих данных
о рабочем стаже и выполнении сменных норм выработки рабочими
производственного участка.
24
Стаж работы,
лет
Среднее
выполнение
норм, %
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
97
100
101
104
106
108
110
112
115
118
Проанализировать результаты.
ВАРИАНТ 3
Задача 3.1
По данным задачи 2.1 постройте группировку предприятий по
среднесписочному числу рабочих. Выберите число подлежащих
выделению групп и вид интервалов – равных или неравных. Вычислите
групповые и общие итоги по следующим показателям: число предприятий,
размер основных производственных фондов, среднесписочное число
рабочих, производимая продукция. Проанализируйте полученные
результаты.
Задача 3.2
На основе приведенных ниже данных вычислить относительные
величины по каждому участку и в целом по цеху:
а) относительный показатель плана;
б) относительный показатель реализации плана;
в) относительный показатель динамики.
Номер
участка
1
2
3
Выпуск товарной продукции (Т.П.) тыс. р.
2003
2004
факт
план
факт
1251,2
1400
1328,3
3728,5
3500
3520
723,7
1000
952,2
Задача 3.3
Определить среднюю нагрузку на забой по объединению, моду и
медиану признака, среднее квадратическое отклонение по следующим
данным:
Шахта
Год, добыча, тыс. т.
Среднедействующее
число забоев
1
415-430
2
430-445
3
445-460
4
460-475
5
475-490
6
490-508
3,6
2,3
3,8
3,8
4,3
4,1
25
Месяц
январь
февраль
март
апрель
май
июнь
июль
август
сентябрь
октябрь
ноябрь
декабрь
ППП
чел.
Задача 3.4
Определить показатели изменения ряда динамики, оценить средние
показатели динамики за анализируемый период промышленнопроизводственого персонала.
792
774
784
819
781
780
786
770
757
747
721
739
Задача 3.5
Данные о ценах и объем реализации по ассортименту выпускаемой
продукции приведены в таблице.
Продукция
12
U
О
Базисный период
цена за единицу,
объем
д. е.
реализации, т
6.7
100
54.0
250
7.0
105
Текущий период
цена за единицу,
объем
Д. е.
реализации, т
7.0
110
59.0
200
6,5
110
Определить агрегатные индексы цен (Пааше, Ласпейреса). Дать
характеристику определяемым индексам.
Задача 3.6
В результате анализа 250 проб угля, отобранном в случайном
порядке из разных вагонов, получены следующие данные о содержании
золы в угле:
% зольности
Число проб
4-5
10
5-6
45
6-7
155
7-8
35
8-9
5
Определите средний % зольности угля и возможную выборку с
вероятностью 0,954.
Задача 3.7
Имеются следующие данные о выпуске продукции (тыс. ед.) и
расходе топлива в тыс. т.
Выпуск, тыс. ед.
Расход топлива, тыс. т.
5,4
8,0
6,2
8,0
26
7,1
10,0
8,9
11,0
9,2
13,0
Найдите уравнение зависимости расхода топлива от выпуска
продукции и измерьте тесноту связи.
ВАРИАНТ 4
Задача 4.1
Произвести группировку строительных организаций, положив в
основу стоимость основных фондов, по каждой группе определить
стоимость основных фондов, среднесписочную численность работающих и
объем
строительно-монтажных
работ.
Графически
представить
сгруппированные данные.
№ п/п Среднегодовая стоимость
ОФ, тыс. руб.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Среднесписочная
численность
работающих, чел.
92,5
305
87,5
775
750
175
325
87,5
330
210
290
800
1337,5
932,5
1375
1125
850
722,5
775
565
770
1070
Объем выполненных
строительномонтажных работ, млн.
руб.
7
16
7
11,5
13
7,5
4,5
5,75
6
4,5
6,25
Проанализировать полученные результаты.
Задача 4.2
Затраты на единицу продукции промышленного предприятия в
отчетном периоде составили 110 руб. Планируется снижение затрат на 15
%, фактические затраты на единицу продукции составили 105 руб.
Определить ОПРП и ОПД.
Задача 4.3
Определить средний объем брака по предприятию за I и II кварталы,
за I полугодие – дисперсию, среднеквадратическое отклонение,
коэффициент вариации.
27
март
апрель
май
июнь
283,5
1,5
270,4
1,8
290,2
1,4
285,4
1,2
280,4
1,6
январь
Характеристика продукции
февраль
Месяцы
Выпуск горной продукции, тыс. руб. 274,5
1,6
Брак в % к годной продукции
Проанализировать полученные результаты.
Задача 4.4
Динамика капитальных вложений характеризуется следующими
данными, в сопоставимых ценах.
Год
Млн. руб.
2000
136,95
2001
112,05
2002
84,66
2003
74,7
2004
62,3
Определить цепные и базисные показатели динамики, абсолютный
прирост, темп роста в %, темп прироста в %.
Вид продукции
А
Б
Баз. период
затраты времени, выпуск, шт.
чел. час.
3000
20000
250
210
Отч. период
затраты
выпуск, шт.
времени, чел.
час.
4250
250
14400
150
Задача 4.5
Имеются следующие данные о производстве и трудоемкости
продукции.
Определить индексы трудоемкости и производительности труда
(индивидуальные) и общие.
Задача 4.6
Произведено выборочное обследование для определения доли брака
продукции. В выборку было взято от общего количества 5000 единиц.
В результате обследования забраковано оказалось 20 единиц.
Определите размер колебаний брака во всей партии с вероятностью 0,954.
Сколько единиц продукции должно быть отобрано в порядке
выборки для определения доли брака с отметкой не превышающей 0,5 %.
Задача 4.7
Провести корреляционно-регрессионный анализ, оценить тесноту
связи между заработной платой и квалификацией 14 рабочих.
28
№п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Тарифный разряд
2
4
4
4
3
3
4
5
5
4
4
5
5
4
Заработная плата тыс. руб.
2750
4700
4890
4900
3560
3740
4890
5100
5270
4950
4900
5270
5150
4950
Проанализировать результат.
ВАРИАНТ 5
Задача 5.1
Произвести вторичную группировку следующих данных по двум
обогатительным фабрикам с целью получения сопоставимых показателей
и их анализа.
Перегруппируйте данные по второй фабрике, образовав в ней такие
же группы, какие имеются у первой фабрики.
После перегруппировки изобразите графически в виде гистограммы
распределение рабочих на каждой фабрике.
Первая фабрика
Вторая фабрика
дневная
число
объем валовой дневная
число
объем валовой
заработная рабочих, % продукции, % заработная рабочих, % продукции, %
плата, руб.
плата, руб.
90 - 100
18
12
90 - 110
24
18
100 - 120
30
26
110 - 120
20
22
120 - 130
28
30
120 - 135
30
30
130 - 150
24
32
135 - 150
26
24
100
100
Итого 100
Итого 100
Задача 5.2
Имеются данные о цене за период на продукцию. Вычислить
относительный показатель динамики с постоянной базой сравнения.
29
Октябрь
Ноябрь
Декабрь
263,42
386,72
Сентябрь
327,73
263,42
Август
327,72
Май
321,07
Июль
Апрель
325,32
328,25
Март
325,32
Июнь
Февраль
357,29
332,45
Январь
339,01
Месяц
Цена за ед.
продукции,
руб/гр.
Проанализировать результат.
Задача 5.3
Определить среднюю мощность пласта, моду, медиану и
коэффициент вариации по данным замеров мощности угольного пласта в
угольном бассейне.
Мощность пласта, см
Кол-во замеров
Мощность пласта, см
Кол-во замеров
40 - 50
2
90-100
86
50-60
5
100- 110
74
60-70
16
110- 120
33
70-80
21
120- 130
32
80-90
71
130-140
19
Для расчета средней мощности используйте формулу моментов.
Задача 5.4
Динамика выпуска продукции на производственном объединении
характеризуется следующими данными:
Год
Тыс. т.
2000
160
2001
154
2002
150
2003
140
2004
132
На основе этих данных определить: средний уровень ряда,
среднегодовой темп роста и прироста, средний абсолютный прирост.
Проанализируйте результат.
Задача 5.5
Имеются следующие данные о добыче угля и численности ППП на
двух шахтах за апрель и май месяцы.
Шахта,
номер
1
2
Апрель
Май
добыча угля, т число работников добыча угля, т число работников
18000
450
16500
480
23000
980
22000
950
30
Определить натуральные индексы производительности переменного
и фиксированного составов, а также индекс структурных сдвигов.
Показать взаимосвязь индексов.
Задача 5.6
Сколько лиц в возрасте от 20 до 30 лет надо опросить выборочно,
чтобы установить среди них процент студентов с точностью до 0,5 % и
гарантируемой вероятностью 0,997.
Задача 5.7
Провести корреляционно-регрессионный анализ по следующим
данным энерговооруженности труда и производительности на
предприятиях отрасли.
№
предприятия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Энерговооруженность 1 рабочего,
кВт
15
17
18
20
21
22
24
25
27
30
32
34
Дневная выработка, руб.
200
230
260
280
300
380
320
400
420
450
420
470
9. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
ПО ТЕМАМ
9.1. Группировка статистических материалов
Задача
Имеются
следующие
данные
по
основным
социальноэкономическим показателями 10 областей одного из регионов Российской
Федерации в 2003 г.
№ п/п
области
1
2
3
Среднегодовая
численность занятых в
Валовый
региональный
677,5
596,1
720,9
53,7
320
44,9
31
б
Основные фонды в
экономике, млрд. руб
173,8
136,1
142,4
4
5
6
7
8
9
10
1076,4
490.С
484,1
606,4
569,5
534,7
664,9
63,2
22,1
33,9
38,3
51,2
44,0
51,1
266,9
192,6
115,3
148,9
174,4
148,1
209,6
Постройте аналитическую группировку областей одного из регионов
Российской Федерации в 2003 г. по величине валового регионального
продукта, выделив две группы. Рассчитайте по каждой группе все
показатели, взаимосвязанные с величиной валового регионального
продукта. Результаты группировки изложите в табличной форме и
сделайте выводы о взаимосвязи показателей.
Решение
Группировка областей одного из регионов Российской Федерации по
величине валового регионального продукта в 2003 г.
Группы
областей по
величине
Число
валового
областей
регионального
продукта,
млрд. руб.
22,1-42,7
42,7-63,3
Итого
4
6
10
Валовый
региональный
продукт, млрд. руб.
всего
в
среднем
на одну
область
126,3
308,1
434,3
31,6
51,4
43,4
Среднегодовая
Основные фонды в
численность занятых
экономике, млрд. руб.
в экономике, тыс. чел.
всего
в
среднем
на одну
область
всего
в
среднем
на одну
область
592,9
1115,2
1708,1
148,2
185,9
170,8
2177,2
4243,9
6421,1
544,3
707,3
642,1
Группировочный признак – валовый региональный продукт, млрд.
руб.
k = 2;
xmax = 63,2
xmiт = 22,1
x −x
266,9 − 115,3
= 75,8
h = max min =
k
2
1-я группа: 22,1 – 42,7
2 –я группа: 22,7 – 63,3
9.2. Относительные величины.
Задача
Производство электроэнергии в РФ в 2002 г. составило 891 млрд.
кВт-ч, а в 2003 г. -915 млрд. кВт-ч. Рассчитайте относительные показатели
32
уровня экономического развития, если известно, что среднегодовая
численность населения за указанные годы соответственно составляла 143,5
и 143,7 млн. чел.
Решение
Определяем производство электроэнергии в расчете на душу
населения, предварительно осуществив перевод млрд. кВт-ч в млн. кВт-ч,
ОПУЭР2002 =
891000
= 6209(кВт ⋅ ч)
143,5
ОПУЭР2003 =
915000
= 6367(кВт ⋅ ч)
143,7
9.3. Средние величины и показатели вариации
Задача 1
Имеются данные о распределении
среднедушевых денежных доходов (табл. 1):
населения
по
величине
Таблица 1
Доходы населения, руб. в
месяц
Всё население
В том числе со
среднедушевыми
денежными доходами
до 500,0
500,1 — 750,0
750,1 — 1000,0
1000,1 — 1500,0
1500,1 — 2000,0
2000,1 — 3000,0
3000,1 — 4000,0
свыше 4000,0
Млн. человек
2000 г.
145,6
В%
2000 г.
100
4,5
10,5
14,3
30,1
24,7
30,7
14,9
15,9
3,1
7,2
9,8
20,7
17,0
21,1
10,2
10,9
Рассчитайте показатели модального дохода, медианного значения
дохода, децильный коэффициент дифференциации доходов населения,
индекс концентрации доходов (коэффициент Джини).
Решение
1) Составим дополнительную табл. 2.
33
Таблица 2
Распределение населения Российской Федерации по величине среднедушевых
денежных доходов в 2000 г.
Среднедушевые
денежные доходы,
руб. в месяц
До 500,0
500,1 — 750,0
750,1 — 1000,0
1000,0 —1500,0
1500,1 — 2000,0
2000,1 — 3000,0
3000,1 — 4000,0
Свыше 4000,0
Итого
Центральное
значение
интервала
( χ ′i )
Доля
населения, %
к итогу (ϖ i )
Плотность
распределения
(mi)
Накопленная
частость
численности
населения
Pi = ∑ϖ i
375
625
875
1250
1750
2500
3500
4500
—
3,1
7,2
9,8
20,7
17,0
21,1
10,2
10,9
100,0
0,0124
0,0288
0,0392
0,0414
0,034
0,0211
0,0102
0,0109
3,1
10,3
20,1
40,8
57,8
78,9
89,1
100,0
2) Рассчитаем показатели центра распределения:
а) средняя арифметическая:
k
x=
∑ χ i′mi
i −1
k
∑ mi
=
375×0 , 0124 + 625×0 , 0288+875×0 , 0392 +1250×0 , 0414 +1750×0 , 034 + 2500×0 , 0211+ 3500×0 , 0102 + 4500×0 , 0109
0 ,198
i =1
305 , 7
0 ,198
= 154 ,39 руб.
б) мода:
Μ0 = χ0 + i
( m Μ 0 − m Μ 0 −1 )
( m Μ 0 − m Μ 0 −1 ) + ( m Μ 0 − m Μ 0 +1 )
= 1000 ,1 + 500
( 0 , 0414 − 0 , 0392 )
( 0 , 0414 − 0 , 0392 ) + ( 0 , 0414 − 0 , 034 )
= 1114 , 58 руб.
в) медиана:
Μе = χ0 + i
FΜ − FΜ −1
fΜ
= 1500,1 + 500 5017−40, 0,8 = 1770,69 руб.
3) рассчитаем 1-й и 9-й децили:
D =χ +i
1
FD1 − Pi1
ϖ1
= 500,1 + 250 107−,32,1 = 739,68руб.,
34
=
=
т. е. 10% населения имели доход не более 739,68 руб.;
D = 4000,1 + 1000 9010−89, 9 ,1 = 4082,67 руб.,
9
т. е. 10% населения имели среднедушевой доход более 4082,67 руб.
Используя рассчитанные децили, вычислим децильный коэффициент
дифференциации:
ΚD =
D9
D1
=
4082 , 67
739 , 68
= 5,52 .
Следовательно, в 2000 г. минимальный доход 10% наиболее
обеспеченного населения в 5,52 раза превышал максимальный доход 10%
наименее обеспеченного населения.
4) рассчитаем индекс концентрации доходов (коэффициент Джини):
k −1
k −1
i =1
i =1
G = ∑ pi q i +1 − ∑ p i +1 qi .
Для расчёта коэффициента Джини составим табл. 3, в которой
используем данные табл. 1 и 2.
Таблица 3
Расчёт индекса концентрации доходов (коэффициента Джини)
Средне- Централь- Накоплен- Доля
ная
наседушевые
ное
частость
леденежзначение
численния,
ные
интервала
ности
%к
доходы,
′
( χi )
населения итогу
руб. в
месяц
( Pi )
(ϖ i )
χ ′i ϖ i
Сово- Накопкуп- ленная
ный
часдоход, тость
% к денежитогу
ного
дохода,
% (Qi)
Pi × Qi+1
Pi+1 ×
Qi
1
До 500,0
500,1 –
750,0
2
375
625
3
3,1
10,3
4
3,1
7,2
5
1162,5
4500,0
6
0,5606
2,170
7
0,5606
2,7306
8
8,46486
70,7156
9
5,7742
54,885
750,1 –
1000,0
1000,1 1500
1500,1 2000
875
20,1
9,8
8575,0
4,135
6,8656
388,826
280,116
1250
40,8
20,7
25875,0
12,479 19,3446 1374,658 1118,118
1750
57,8
17,0
29750,0
17,348 33,6926 3417,806 2658,369
35
2000,1 –
3000,0
3000,1 –
4000,0
Свыше
4000,0
Итого
2500
78,9
21,1
52750,0
Окончание табл. 3
25,439 59,1316 6023,90 5268,63
3500
89,1
10,2
35700,0
17,217 76,3486
4500
100,0
10,9
49050,0
23,655
100,0
207362,5
100,0
—
100,00
8910,0
7634,86
—
—
20194,37 17020,75
Для расчёта графы «Совокупный доход, % к итогу» необходимо
воспользоваться формулой:
χ ′i ϖ i
∑ χ ′i ϖ i
Например,
1162 , 5
207362, 5
для
первой
× 100 .
группы
× 100 = 0,5606 ; для второй –
4500
207362 , 5
эта
величина
равна:
× 100 = 2,170 и т.д.
Поскольку накопленные частости в табл. 3 представлены в
процентах к итогу, для определения коэффициента Джини нужно итоговые
суммы двух последних граф разделить на 10000:
G=
20194 , 37
10000
, 75
− 17020
10000 = 2,0194 − 1,7020 = 0,3174 .
Так как коэффициент Джини изменяется от 0 до 1, то рассчитанный
коэффициент свидетельствует о значительном отклонении фактически
сложившегося распределения доходов от линии их равномерного
распределения.
Задача 2
По данным о чистой прибыли (балансовой за вычетом налогов)
предприятий двух районов, определите: 1) дисперсии; а) общую; б)
межгрупповую; в) среднюю из групповых; 2) коэффициент детерминации
и эмпирическое корреляционное отношение:
Район
I
II
Число предприятий
6
10
Чистая прибыль, млн руб.
4, 6, 9, 4, 7, 6
8,128,9,6,5,7,7,8,10
Решение.
Для расчета внутригрупповых дисперсий вычислим средние по
каждому району:
x1 =
4 + 6 + 9 + 4 + 7 + 6 36
=
= 6( млн. руб.) ,
6
6
36
x2 =
-
Рассчитаем внутригрупповые дисперсии
σ 12 =
σ 22 =
80
= 8(млн.руб.) .
10
(4 − 6) 2 + (6 − 6) 2 + (9 − 6) 2 + (4 − 6) 2 + (7 − 6) 2 + (6 − 6) 2 4 + 9 + 4 + 1
=
= 3,0 .
6
6
(8 − 8) 2 + (12 − 8) 2 + (8 − 8) 2 + (9 − 8) 2 + (6 − 8) 2 + (7 − 8) 2 + (5 − 8) 2 + (7 − 8) 2 + (10 − 8) 2 + (8 − 8) 2
=
10
=
16 + 1 + 4 + 9 + 1 + 1 + 4
= 3,6 .
10
-
Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий
σ
2
∑σ n
=
∑n
2
i i
=
i
-
Рассчитаем общую среднюю арифметическую
x=
∑x n
∑n
i
i
i
-
=
6 ⋅ 6 + 8 ⋅ 10 116
=
= 7,25(млн.руб.) .
16
16
Рассчитаем межгрупповую дисперсию
δ
2
x
∑ (x − x)
=
∑n
i
i
-
3 ⋅ 6 + 3,6 ⋅10 54
=
= 3,38 .
16
16
2
ni
=
(6 − 7,25) 2 ⋅ 6 + (8 − 7,25) 2 ⋅ 10 9,38 + 5,6 14,98
=
=
= 0,936 .
16
16
16
Рассчитаем общую дисперсию по правилу сложения дисперсий
σ 2 = 3,38 + 0,936 = 4,316 .
-
Определим коэффициент детерминации
η2 =
δ x2 0,936
=
= 0,217.или.21,7% .
σ 2 4,316
Полученное значение показывает, что чистая прибыль на 21,7%
зависит от территориальной принадлежности предприятий и на 78,3% – от
внутритерриториальных возможностей.
- Эмпирическое корреляционное отношение составит
37
δ x2
0,936
η=
=
= 0,47 ,
2
4,316
σ
что свидетельствует о среднем влиянии на чистую прибыль
территориальных особенностей.
- Для проверки рассчитаем общую дисперсию по обычной формуле
σ
2
∑ (x
=
i
− x)2
ni
=
(4 − 7,25) 2 + (6 − 7,25) 2 + (9 − 7,25) 2 + ... + (10 − 7,25) 2 68,96
=
= 4,31
16
16
9.4. Ряды динамики
Задача
Используя взаимосвязь аналитических показателей динамики,
определите
уровни
ряда
–
динамики
производства
часов
производственным объединением за 1999-2004 гг. и недостающие в
таблице цепные показатели динамики:
Цепные показатели динамики
Годы
1999
2000
2001
2002
Производство
часов, тыс. Абсолютный
прирост, тыс.
шт.
шт.
22,3
…
1,3
Темп роста,
%
…
Абсолютное
Темп
значение 1%
прироста, %
прироста,
тыс. шт.
…
2,12
104,1
107,1
2003
1,85
2004
Решение.
1) Определим уровень 2000 г.
∆ 0099 = 1,3..или..1,3 = y 00 − 22,3. Отсюда y00 = 1,3 + 22,3 = 23,6 .
2) Определим уровень 2001 г.
% 01 = 0,24 или 0,24 =
y01 − 23,6
= 0,5088 = y01 − 23,6 . Отсюда y 01 = 24,11 .
2,12
38
…
0,24
3) Определим уровень 2002 г.
Tp02 / 01 = 104,1% или 104,1 =
y02
y
104,1 ⋅ 24,11
= 02 . Отсюда y 2002 =
= 25,1 .
100
y 01 24,11
4) Определим уровень 2003 г.
Tp 03 / 02 = 107,1% или 107,1 =
y 03
y
107,1 ⋅ 25,1
= 26,9 .
= 03 . Отсюда y 2003 =
100
y 02 25,1
5) Определим уровень 2004 г.
Tp 04 / 03 = 1,85% , отсюда Tp04 / 03101,85 или 101,85 =
Отсюда y 2004 =
y 04
y
= 04 ,
y 03 26,9
101,85 ⋅ 26,9
= 27,4 .
100
6) Далее выполняется расчет недостающих цепных аналитических
показателей динамики.
Годы
Производство
Цепные показатели динамики
Абсолютный
прирост, тыс.
шт.
Темп роста,
%
Темп
прироста, %
Абсолютное
значение 1%
прироста,
тыс. шт.
1999
2000
2001
2002
2003
22,3
23,6
24,1
25,1
26,9
…
1,3
0,5
1,0
1,8
…
105,8
102,1
104,2
10?!2
…
5,8
2,1
4,2
7,2
…
0,22
0,24
0,24
0,25
2004
27,4
0,5
101,9
1,9
0,27
9.5. Индексы
Задача
Имеются следующие данные о реализации мясных продуктов через
розничную торговую сеть города:
39
Продукт
Март
Апрель
Продано, т
Говядина
Цена за 1 кг,
руб.
90
Продано, т
32,5
Цена за 1 кг,
руб.
95
Баранина
80
12,7
85
13,1
Свинина
110
18,8
115
16,5
28,0
Рассчитайте сводные индексы цен, физического объема реализации и
товарооборота, а также величину перерасхода покупателей от роста цен.
Решение
Сводный индекс цен
lp =
65 ⋅ 28,0 + 85 ⋅13,1 + 115 ⋅16,5
= 1,054(105,4%) .
90 ⋅ 20,0 + 80 ⋅13,1 + 110 ⋅16.5
Сводный индекс физического объема реализации
lq =
90 ⋅ 28,0 + 80 ⋅13,4 + 16,5 ⋅110
= 0,896(89,6%) .
90 ⋅ 32,5 + 80 ⋅12,7 + 110 ⋅18,8
Сводный индекс товарооборота
l pq =
95 ⋅ 28,0 + 85 ⋅13,1 + 115 ⋅16,5
= 0,944(94,4%) .
90 ⋅ 32,5 + 80 ⋅12,7 + 110 ⋅18,8
Перерасход покупателей от роста цен
П = 5671-5383=288 (тыс.руб.).
9.6. Выборочное наблюдение
Задача
Из партии готовой продукции с целью проверки ее соответствия
технологическим требованиям произведена 10%-ная собственно-случайная
бесповторная выборка, которая привела к следующим результатам:
Вес изделия, г
85
87
88
89
90
91
92
Число изделий, шт.
39
131
165
78
33
16
11
Можно ли принять всю партию при условии, что доля изделий с
весом 91 г и более с вероятностью 0,997 не должна превышать 7%?
40
Решение
1. Определяем долю изделий весом 91 г и более в общем объеме
выборки
w=
16 + 11
27
=
= 0,057 .
39 + 131 + ... + 11 473
2. Рассчитываем дисперсию доли
σ 2 = 0,057(1 − 0,057) = 0,0538 .
3. Определяем среднюю и предельную ошибки выборки
µ=
0,0538 
473 
1 −
 = 0,010 ( руб.) .
437  4730 
∆ = 3 ⋅ 0,010 = 0,030 ( руб.) .
4. Находим границы генеральной доли (доли изделий весом 91 г и
более во всей партии)
0,057 − 0,030 ≤ р ≤ 0,057 + 0,030 ,
0,027 ≤ р ≤ 0,087 ,
2,7% ≤ р ≤ 8,7% .
Вывод: всю партию принять нельзя, так как доля изделий с
завышенным весом при уровне вероятности 0,997 может быть более 7%.
9.7. Статистическое изучение взаимосвязей
Задача
Имеются следующие данные о среднегодовой численности занятых в
экономике и величине валового регионального продукта федеральных
округов Российской Федерации в 2003г.
Федеральный
округ
Центральный
Северо-Западный
Южный
Приволжский
Уральский
Сибирский
Дальневосточный
Среднегодовая численность
занятых в экономике, млн. чел.
17,5
66
8,3
14,3
5,9
8,8
3,3
41
Валовой региональный
продукт, трлн. руб.
26
0,8
0,6
1,4
1,2
0,9
0,4
На основе расчета линейного коэффициента корреляции определите
степень и направление связи между среднегодовой численностью занятых
в экономике и величиной валового регионального продукта
Решение
Расчетная таблица для определения линейного коэффициента
корреляции
№
п/п
Федеральный
округ
Среднегодовая
численность
занятых в
экономике, млн.
1
2
3
4
5
6
7
Центральный
Северо-Западный
Южный
Приволжский
Уральский
Сибирский
Дальневосточный
17,5
6,6
8,3
14,3
5,9
4 8,8
3,3
2,6
0,8
0,6
1,4
1,2
0,9
0,4
45,50
5,28
4,98
20,02
7,08
7,92
1,32
306,25
43,56
68,89
204,49
34,81
77,44
10,89
6,76
0,64
0,36
1,96
1,44
0,81
0,16
64,7
7,9
92,10
746,33
12,13
Итого
Валовой
региональный
продукт,
трлн. руб., у
ху
x2
y2
Линейный коэффициент корреляции
rxy =
xy =
σ x = x − (x) =
2
2
σ x = y − ( y) =
2
2
∑x
2
n
∑ xy = 92,10 = 13,157;
7
n
x=
∑ x = 64,7 = 9,243;
y=
∑ y = 7,9 = 1,129;
7
n
7
n
2
∑x
 = 746,33 −  64,7  = 21,189 = 4,6;
− 

7
 7 
 n 
∑y
n
xy − x ⋅ y
;
σ x ⋅σ y
2
2
2
∑y
 = 12,13 −  7,9  = 0,459 = 0,7;
− 

7
 7 
 n 
2
42
rxy =
13,157 − 9,243 ⋅1,129
= 0,85 .
4,6 ⋅ 0,7
Вывод: Связь между среднегодовой численностью занятых в
экономике и величиной валового регионального продукта сильная и
прямая, т.е. с увеличением численности занятых возрастает величина
валового регионального продукта федеральных округов Российской
Федерации.
43
Библиографический список
1. Адамов В. Е., Ильенкова С. Д. и др. Экономика и статистика фирм:
учебник. М.: Финансы и статистика, 2001.
2. Громыко Г. Л. Теория статистики: Практикум. – М. : ИНФРА-М, 2004.
3. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: учебник. М. :
Финансы и статистика, 2005.
4. Ефимова М. Р., Ганченко О. И., Петрова Е. В. Практикум по общей
истории статистики: учеб. пособие. М. : Финансы и статистика, 2002.
5. Ефимова М. Р., Петрова Е. В., Румянцев В. Н. Общая теория статистики:
учебник. М. : ИНФРА-М, 2005.
6. Общая теория статистики I Под ред. А. А. Спирина, О. Э. Башиной М.
: Финансы и статистика, 2005.
7. Теория статистики I под ред. проф. Г.Л. Громыко. М. : ИНФРА-М,
2006.
8. Теория статистики I под ред. Р. А. Шмойловой, М. : Финансы и
статистика, 2001.
44
СТАТИСТИКА
Методическая разработка по РГР
Составитель
СТЕПАНОВА Наталья Сигизмундовна
Редактор Е.В. Шабалина
Лаборатория электронных изданий
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
Нижнетагильский технологический институт (филиал) УГТУ-УПИ
622031. Нижний Тагил, ул. Красногвардейская, 59
45