Функции Excel, используемые при расчете показателей

Использование Excel в описательной статистике
Лекция 2
Доцент каф. ПМ иВТ Мисюра В.В.
ВВЕДЕНИЕ
Математическая
статистика – раздел
математики, посвящённый
математическим методам
систематизации, обработки и
использования статистических
данных для научных и
практических выводов.
Статистическими данными мы
называем сведения о числе объектов
в какой-либо более или менее
обширной совокупности, обладающих
теми или иными признаками.
Метод
исследования,
опирающийся на
рассмотрение
статистических
данных о тех или
иных
совокупностях
объектов,
называется
статистическим.
Первичный статистический анализ
Понятие о генеральной совокупности и выборке
Генеральной
совокупностью
называется
полный набор
всех значений,
которые
принимает или
может принять
случайная
величина
Часть генеральной
совокупности из n
значений случайных
величин,
выделенных из этой
совокупности,
называется
выборкой
Выборки объемом
до 30 значений
случайных величин
(СВ) условно
принято считать
малыми, а свыше 30
– большими
Число значений СВ,
входящих в
выборку,
называется ее
объемом
Требования к выделению выборки
1) В выборку можно включать только
данные,
относящиеся
к
исследуемой
генеральной
совокупности;
2) Все значения СВ, принадлежащие к исследуемой
генеральной
совокупности,
должны
иметь
одинаковую возможность быть включенными с
выборку;
3) Выборка
должна
быть
репрезентативной
(представительной), т.е. она должна включать в себя
достаточное число значений случайной величины для
представления
об
особенностях
генеральной
совокупности
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ БОЛЬШИХ ВЫБОРОК
1. Составление вариационного ряда (в порядке возрастания)
x1(min ) ≤ x2 ≤ x3 ≤  ≤ xn (max )
2. Определение размаха вариационного ряда
(1)
R = xn − x1 или R = x(max ) − x(min )
3. Выбор числа интервалов разбиения k вариационного ряда
k=
3
n;
(2)
k = 1 + 3,32 lg n
(2 )
∗
4. Определение длины интервала разбиения (шага)
h=
R
k
(3)
h0 = xmin − 0,5h (4)
Нижняя граница
первого
интервала
5. Составляют интервальный (группированный)
вариационный рад в виде таблицы 1.
Частость - это относительная частота попадания СВ в i-й
интервал (число значений СВ в определенном интервале,
отнесенное к общему объему выборки).
6. Строят в масштабе гистограмму
Гистограмма – ступенчатая фигура, состоящая из
прямоугольников с основанием в виде отрезков,
соответствующих длинам интервалов, и высотами,
соответствующими частостям.
7. Определяют закон распределения случайной величины
Закон распределения СВ – это соотношение,
устанавливающее связь между возможными значениями
СВ и соответствующими им вероятностями.
Интервальный вариационный ряд
№№
интервала
1
Границы интервала
h 0 ÷ (h 0 + h
)
Частота
(число
вариантов в
i-ом интервале
mi
Частость
mi
ωi =
n
m1
ω1
m2
ω2
Xmin ÷( Xmin + h)
2
(h 0 + h ) ÷ (h 0 + 2h )
(Xmin + h) ÷( Xmin + 2h)
3
(h 0 + 2h ) ÷ (h 0 + 3h )
m3
ω3
…
………………
………….
…….
[xmin + (k − 1) h ] ÷ xmax
mk
ωr
k
∑ m i = n ∑ ωi
=1
Таблица
1
Р
X
Рис.1. Гистограмма
k
12
xi
Рис. 2. Кривая распределения
Понятие «частость» (ωi) для генеральной совокупности
заменяется на понятие «вероятность» (ρi). При n → ∞ ωi = ρi .
С ростом числа интервалов, будет уменьшаться их длина
и ломаная линия гистограммы превратится в плавную
кривую (рис. 2). При этом, относящееся к выборке
понятие частость (ωi) для генеральной совокупности,
ωi = ρi.
заменяется на понятие вероятность (ρi): n → ∞
Основные статистические показатели
Среднее
Среднее
арифметическое
арифметическое
(все варианты имеют
(все варианты имеют
одну и ту же частоту,
одну и ту же частоту,
равную единице)
равную единице)
Характерно
для
Характерно
малых
выборок
для малых
выборок
Среднее
взвешенное
Наиболее достоверная
оценка измеряемой
СВ
+
+  + xk m k
x = x1 m 1 x2 m 2
;
m 1 + m 2 + + m k
(5)
Характерно для
больших
выборок
СТЕПЕНЬ РАЗБРОСА (РАССЕИВАНИЯ) ОТДЕЛЬНЫХ ЧАСТЕЙ
СВ ОТНОСИТЕЛЬНО ЕЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ
РАЗМАХОМ (R) называется разность между
наибольшим (xmax) и наименьшим (xmin) вариантами
ДИСПЕРСИЕЙ (D)
называется среднее
арифметическое значение
квадратов отклонений D
отдельных вариант от их
средней арифметической
Среднее
квадратичное
отклонение (δ) – это
значение корня
квадратного из
дисперсии
σ= D
(7 )
1 k
=
∑
n − 1 i =1
[(x
− x ) ⋅ mi
2
i
]
(6)
Коэффициент вариации (ν) –
это отношение среднего
квадратичного отклонения к
среднему значению СВ,
выраженное в процентах
σ
ν = ⋅ 100,% (8)
x
Показатели описательной статистики Excel
Показатели описательной статистики
Показатели
положения
Показатели
разброса
Показатели
асимметрии
Показатели
распределения
xmin, xmax
Дисперсия
Ax
Полигон
Средние
Стандарт
Кумулята
Мода
R
Положение
медианы
относительно
среднего
Медиана
Гистограм
ма
Эксцесс
Функции Excel, используемые при расчете
показателей положения
1. Функция МИН.
МИН(число1;число2;…).
Функция МИН находит наименьшее значение в множестве данных.
Функции Excel, используемые при расчете
показателей положения
2. Функция НАИМЕНЬШИЙ.
НАИМЕНЬШИЙ(массив;k).
Функция НАИМЕНЬШИЙ находит k-е по порядку (начиная с минимального) наименьшее значение в множестве данных.
Функции Excel, используемые при расчете
показателей положения
3. Функция МАКС.
МАКС(число1;число2;…).
Функция МАКС находит наибольшее значение в множестве данных.
Функции Excel, используемые при расчете
показателей положения
4. Функция НАИБОЛЬШИЙ.
НАИБОЛЬШИЙ(массив;k).
Функция НАИБОЛЬШИЙ находит k-е по порядку (начиная с максимального) наибольшее значение в множестве данных.
Функции Excel, используемые при расчете
показателей положения
5. Функция КВАРТИЛЬ.
КВАРТИЛЬ(массив;k).
Функция КВАРТИЛЬ рассчитывает квартиль дискретного вариационного
ряда.
Функция КВАРТИЛЬ рассчитывает:
• минимальное значение, если k=0;
• первую квартиль, если k=1;
• значение медианы, если k=2;
• третью квартиль, если k=3;
• максимальное значение, если k=4.
Функция КВАРТИЛЬ не требует предварительной ранжировки
данных она проводит её автоматически.
Функции Excel, используемые при расчете
показателей положения
6. Функция СРЗНАЧ.
СРЗНАЧ(число1;число2;…).
Функция СРЗНАЧ рассчитывает значение невзвешенной средней арифметической множества данных.
Функции Excel, используемые при расчете
показателей положения
8. Функция СРГЕОМ.
СРГЕОМ(число1;число2;…).
Функция СРГЕОМ рассчитывает среднюю геометрическую значений
массива положительных чисел.
10
Функции Excel, используемые при расчете
показателей положения
9. Функция МОДА.
МОДА(число1;число2;…).
Функция МОДА отображает наиболее часто встречающееся значение в
интервале данных.
Функции Excel, используемые при расчете
показателей положения
10. Функция МЕДИАНА.
МЕДИАНА(число1;число2;…).
Функция МЕДИАНА рассчитывает медиану заданного дискретного
вариационного ряда.
Функции Excel, используемые при расчете
показателей разброса
1. Функция ДИСП.
ДИСП(число1;число2;…).
Функция ДИСП оценивает генеральную дисперсию по выборке.
n
S2 =
2
(
x
−
x
)
∑ i
i =1
n −1
Функция ДИСП рассчитывает дисперсию при условии, что исходные
данные образуют выборочную совокупность (исправленная выборочная
дисперсия). В случае, если совокупность является генеральной, то
необходимо воспользоваться функцией ДИСПР.
13
Функции Excel, используемые при расчете
показателей разброса
2. Функция ДИСПР.
ДИСПР(число1;число2;…).
Функция ДИСПР вычисляет невзвешенную дисперсию по генеральной
совокупности.
n
∑ ( xi
Dx = i=1
− x) 2
n
Часто генеральную дисперсию обозначают σ2.
Функции Excel, используемые при расчете
показателей разброса
3. Функция СТАНДОТКЛОН.
СТАНДОТКЛОН(число1;число2;…).
Функция СТАНДОТКЛОН оценивает генеральное стандартное
отклонение (стандарт) по выборке.
n
S=
∑ ( x − x)
i =1
2
i
n −1
Функция СТАНДОТКЛОН рассчитывает стандарт при условии, что
исходные данные образуют выборочную совокупность. В случае, если
совокупность является генеральной, то необходимо воспользоваться
функцией СТАНДОТКЛОНП.
Функции Excel, используемые при расчете
показателей разброса
4. Функция СТАНДОТКЛОНП.
СТАНДОТКЛОНП(число1;число2;…).
Функция СТАНДОТКЛОНП вычисляет стандартное отклонение по
генеральной совокупности.
n
σ=
∑ ( x − x)
i =1
2
i
n
16
Функции Excel, используемые при расчете
показателей разброса
5. Функция СРОТКЛ.
СРОТКЛ(число1;число2;…).
Функция СРОТКЛ вычисляет среднее невзвешенное отклонение множества данных.
n
∑|
d = ± i =1
xi − x |
n
Функция Excel, используемая при расчете
показателя асимметрии
Функция СКОС.
СКОС(число1;число2;…).
Функция СКОС оценивает коэффициент асимметрии по выборке.
n
 xi − x 
Ax =


∑
( n − 1)(n − 2) i =1  σ 
n
3
Если данные образуют не выборочную, а генеральную совокупность, то
асимметрию необходимо рассчитывать по стандартной формуле:
µ3
Ax = 3
σ
Функция Excel, используемая при расчете
показателя распределения
Функция ЭКСЦЕСС.
ЭКСЦЕСС(число1;число2;…).
Функция ЭКЦЕСС оценивает эксцесс по выборке.

  xi − x 
n( n + 1)
3( n − 1) 2
Ex = 

 −
∑

( n − 2)(n − 3)
 ( n − 1)(n − 2)(n − 3)  i =1  σ 
n
4
Если данные образуют не выборочную, а генеральную совокупность, то
эксцесс необходимо рассчитывать по стандартной формуле:
µ4
Ex = 4 − 3
σ
Подключение режима «Анализ данных»
29
Подключение режима «Анализ данных»
Выход в режим «Описательная статистика»
Справочная информация по технологии работы в
режиме «Описательная статистика»
Справочная информация по технологии работы в
режиме «Описательная статистика»
Справочная информация по технологии работы в
режиме «Описательная статистика»
Средняя ошибка выборки
(показатель Стандартная ошибка)
µx =
σ
n
=E7/КОРЕНЬ(E15)
Предельная ошибка выборки
(показатель Уровень надежности)
∆ x = tµ x
=СТЬЮДРАСПОБР(0,05;E15-1)*E4
Справочная информация по технологии работы в
режиме «Гистограмма»
Справочная информация по технологии работы в
режиме «Гистограмма»
Режим Гистограмма служит для вычисления частот попадания данных в
указанные границы интервалов, а также для построения гистограммы
интервального вариационного ряда распределения.
xmax − xmin
h=
{n}− 1
{n} = 1 + 3,322 ⋅ lg n
26
Справочная информация по технологии работы в
режиме «Гистограмма»
Справочная информация по технологии работы в
режиме «Гистограмма»
Справочная информация по технологии
работы в режиме «Выборка»
29
Справочная информация по технологии
работы в режиме «Выборка»
Режим Выборка служит для формирования выборки из генеральной
совокупности на основе схемы случайного отбора, а также из периодических данных.
Справочная информация по технологии
работы в режиме «Выборка»
Справочная информация по технологии
работы в режиме «Выборка»