17 лекция

Лекция 16. Характеристики вариационного ряда
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объёмом n. Случайный
выбор элемента рассматривается как независимое наблюдение за величиной ξ,
имеющей некоторое распределение вероятностей. Если те значения y1, y2…yn, которые
приняла случайная величина ξ в n наблюдениях, записать не в порядке получения, а в
порядке возрастания, то получим упорядоченную выборку x1, x2…xn, называемую
вариационным рядом. Наблюдаемые значения xi называются вариантами. Разность
между максимальным и минимальным элементом выборки xn-x1=w называется
размахом выборки.
Для каждого полученного значения можно подсчитать, сколько раз оно
встретилось в ряде наблюдений. Эти числа называются частотой варианта, или его
весом. В дальнейшем частоту варианта xi мы будем обозначать через mi, где i – индекс
варианта.
Данные наблюдений, среди которых много повторяющихся, удобно изобразить не в
виде ряда, а в виде таблицы (табл. 1.2).
Таблица 1.2
Значения xi
x1
x2
…
xk
Частоты mi
m1
m2
…
mk
Пример 1. На телефонной станции проводились наблюдения над числом X
неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие
результаты: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0; 2; 1; … 1; 1; 5. Расположив эти числа в
порядке неубывания, получим следующий ряд: 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; … 5; 5; 7.
Значения 0; 1; 2; …; 7, принятые случайной величиной в процессе наблюдений,
являются вариантами.
0
1
2
3
4
5
7
Объём
Число в мин xi
Частоты mi
8
17
16
10
6
2
1
60
Выборочное среднее x является случайной величиной, значение которой зависит
от того, какие значения приняли варианты xi.
В таблице 1.3 приведены формулы, по которым в зависимости от описания данных
выборки вычисляется среднее значение выборки.
Таблица 1.3
Задана таблица
Задана таблица
Вариационный ряд
задан
частот
относительных
частот
последовательностью вариационного ряда
вариационного ряда
n
k
k
Среднее значение
mj
1
1
x
m
x
xj
∑
∑
i
j
j
∑
выборки x
n i =1
n j =1
n
j =1
Пример 2. По выборке 4, 6, 7, 7, 10, 15, 18 (n=7) найти x .
x =(4+6+7+7+10+15+18)/7=9,57.
Группировка состоит в том, что область на оси x, куда попали значения x1,…,xn,
разбивают на интервалы I1,…,Ik и подсчитывают частоту попадания значений
величины в каждый интервал.
Задания для самостоятельной работы
1. Дана выборка
7, 3, 3, 6, 4, 5, 1, 2, 1, 3.
Построить вариационный ряд, определить размах выборки.
Найти выборочное среднее x .
2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объёма n=50:
варианта xi
2
5
7
10
частота ni
16
12
8
14
Найти выборочную среднюю.
3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объёма n=60:
варианта xi
1
3
6
26
частота ni
8
40
10
2
Найти выборочную среднюю.
4. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объёма n=10:
xi
1250
1270
1280
ni
2
5
3
5. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объёма n=20:
xi
2560
2600
2620
2650
2700
ni
2
3
10
4
1
6-7. Решите следующие задания, пользуясь таблицами:
6. Из таблицы 1.4 чисел выборки из равномерного распределения на отрезке
[0,100] возьмите подряд 100 чисел, начиная с номера 4N, где N – ваш
порядковый номер в списке группы (дойдя до конца таблицы, перейдите в её
начало). По этой таблице сосчитайте эмпирическое среднее ( x ).
Таблица 1.4
Последовательность случайных чисел, распределённых равномерно на отрезке
[0,100]
10 09 73 25 33 76 52 01 35 86 34 67 35 48 76 80 95 90 91 17
37 54 20 48 05 64 89 47 42 96 24 80 52 40 37 20 63 61 04 02
08 42 26 89 53 19 64 50 93 03 23 20 90 25 60 15 95 33 47 64
99 01 90 25 29 09 37 67 07 15 38 31 13 11 65 88 67 67 43 97
12 80 79 99 70 80 15 73 61 47 64 03 23 66 53 98 95 11 68 77
66 06 57 47 17 34 07 27 68 50 36 69 73 61 70 65 81 33 98 85
31 36 01 08 05 45 57 18 24 06 35 30 34 26 14 86 79 90 74 39
85 26 97 76 02 02 05 16 56 92 68 66 57 48 18 73 05 38 52 47
22 15 67 16 01 76 72 52 73 62 79 88 03 40 47 40 99 58 39 51
05 94 66 77 42 77 53 12 97 87 01 95 47 73 83 68 41 90 12 26
7. Из таблицы 1.5 чисел выборки из нормального распределения N(0,1) возьмите
подряд 100 чисел, начиная с номера 4N, где N – ваш порядковый номер в списке
группы (дойдя до конца таблицы, перейдите в её начало). По этой таблице
сосчитайте эмпирическое среднее ( x ).
Таблица 1.5
Последовательность случайных чисел, имеющих распределение N(0,1)
0,414
0,011
0,666 -1,132 -0,410 -1,077 1,484 -0,340 0,789 -0,494 0,364
-1,237 -0,044 -0,111 -0,210 0,931 0,616
-0,377 -0,433 1,048 -0,037 0,759
0,609
-2,043 -2,290 0,404 -0,543 0,486
0,869
0,347 2,816 -0,464 -0,632
-1,614
0,372 -0,074 -0,916 1,314 -0,038 0,673
0,563 -0,107 0,131 -1,808
0,284
0,458
1,307 -1,625 -0,629 -0,504 -0,0056 -0,131 0,048
1,879 -1,016
0,360
-0,119 2,331 1,672 -1,053 0,840
0,246 -0,237 -1,312 1,603 -0,952
-0,566
1,600
0,465 1,951
0,110 0,251
0,116 -0,957 -0,190 1,479 -0,986
1,249
1,934
0,07
-1,358 -1,246 -0,959 -1,297 -0,722 0,925
0,783 -0,402
0,619
1,826
1,272 -0,945 0,494 0,050
-1,696 1,876 0,063
0,132 0,682
0,544
-0,417 -0,666 -0,104 -0,253 -2,543 -1,133 1,987 0,668
0,360 1,927
1,183
1,211
1,765 0,035 -0,359 0,193
-1,023 -0,222 -0,616 -0,060 -1,319
-0,785 -0,430 -0,298 0,248 -0,088 -1,379 0,295 -0,115 -0,621 -0,618 0,209
0,979
0,906 -0,096 -1,376 1,047 -0,872 -2,200 -1,384 1,425 -0,812 0,748
-1,095
Тренинг умений
Пример выполнения упражнений тренинга.
Задание 1. Для случайно отобранных семи рабочих стаж работы оказался равным: 10,
3, 5, 12, 11, 7, 9.
Чему равен для них средний стаж?
Решение. Заполните таблицу, подобрав каждому алгоритму конкретное содержание.
№
Алгоритм
Конкретное соответствие данной ситуации
п/п
предложенному алгоритму
1.
Выписать
заданные
значения, Задана выборка:
объём выборки и нужную формулу x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
10, 3, 5, 12, 11, 7, 9.
для получения точечной оценки
n=7;
1 n
x = ∑ xi - формула для среднего.
n i =1
2.
Сосчитать значение оценки
10 + 3 + 5 + 12 + 11 + 7 + 9
x=
= 8,14 года
7
Решите самостоятельно следующую задачу:
Построить таблицу дискретного вариационного ряда 60 абитуриентов по числу
баллов, полученных ими на приёмных экзаменах. Найти среднее значение:
20 19 22 24 21 18 23 17 20 16 15 23 21 24 21 18 23 21 19 20 24 21 20 18 17 22 20 16 22
18 20 17 21 17 19 20 20 21 18 22 23 21 25 22 20 19 21 24 23 21 19 22 21 19 20 23 22 25 21 21
Примерные тесты
1. Средняя выборочная вариационного ряда 1,2,3,3,4,5 равна:
-3
- 2,5
-6
- 3,6
2. Средняя выборочная вариационного ряда 1, 2, 5, 3, 2 равна …
-6
-5
- 3,1
- 2,6
3. Средняя выборочная вариационного ряда 2, 2, 4, 6, 6 равна …
-4
- 0,2
- 6,7
-5
4. Средняя выборочная вариационного ряда 1, 3, 4, 4, 2 равна …
- 3,2
- 2,8
-5
-4
5. Средняя выборочная вариационного ряда 1, 2, 5, 5, 7, 10 равна …
- 4,8
-6
-5
- 4,2
6. Средняя выборочная вариационного ряда 1, 5, 5, 6, 2 равна …
- 4,2
-4
-5
- 3,8
7. Средняя выборочная вариационного ряда 1, 2, 2, 3, 7 равна …
- 1,5
-3
- 3,75
-5
8. Средняя выборочная вариационного ряда 2, 3, 4, 4, 5 равна …
- 4,2
-3
- 3,6
-5
9. Средняя выборочная вариационного ряда 2, 3, 3, 3, 1 равна …
-5
- 3,5
- 2,4
-3
10. Средняя выборочная вариационного ряда 2, 3, 4, 3, 2 равна …
- 3,2
-5
- 2,8
-3