Неравенство Йенсена и выпуклые функции А.Н. Лепес

Неравенство Йенсена и выпуклые функции
А.Н. Лепес
РСФМСШИ им.О.А.Жаутыкова, adilsultan01@gmail.com
В школьной программе математики есть определение касательной прямой (см. [1],
стр. 99-100), как предельное положение секущей. Необходимо отметить, что всякая
касательная прямая обладает одним важным свойством: если функция дважды непрерывнодифференцируема и её вторая производная в точке x0 отлична от нуля, то существует
окрестность точки x0, в которой график функции лежит по одну сторону от касательной
прямой, проведенной в точке x0. Это объясняется тем, что если, например, вторая
производная функции в точке x0 положительна, то в силу непрерывности второй
производной существует окрестность точки x0, в которой вторая производная положительна,
что означает, что функция выпукла вниз. Следовательно, график такой функции лежит не
ниже отрезка касательной в некоторой окрестности точки x0.
В статье В.И. Гаврилова (см.[2]) показана эквивалентность двух определений
выпуклых функций: одно через секущую, другое через касательную. Автор рассматривает
функции, графики которых лежат по одну сторону от касательной прямой, проведенной в
любой точке графика функции.
Одним из широко известных свойств выпуклых функций является то, что все они
удовлетворяют неравенству Йенсена (см., например, [3]):
∑𝑛
𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘 )
𝑛
≥ 𝑓(
∑𝑛
𝑘=1 𝑥𝑘
𝑛
),
(1)
где f – выпуклая вниз на интервале I, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝐼.
Между тем на математических олимпиадах встречаются неравенства так или иначе
связанные с неравенством Йенсена, общий вид которых можно записать следующим
образом:
∑𝑛𝑗=1 𝑓(𝑥𝑗 ) ≥ 𝑛𝑓(𝑥0 ),
(2)
где x0, x1, x2, …, xnI, ∑𝑛𝑗=1 𝑙(𝑥𝑗 ) = 𝑛 ⋅ 𝑙 (𝑥0 ).
В дальнейшем, если функция f удовлетворяет неравенству (2), то мы будем говорить,
что функция удовлетворяет неравенству Йенсена в точке x0.
Практический интерес к неравенству (2) заключается в том, что хотя в простейшем
случае, когда l(x)=x, а функция f – выпукла вниз, оно превращается в неравенство (1),
существует множество примеров невыпуклых функций, удовлетворяющих неравенству (2).
Возникает вопрос: это совпадение или существуют более общие условия на функции,
обеспечивающие неравенство (2), чем выпуклость? Важность этого вопроса обусловлена
тем, что отсутствие анализа в данной области может как порождать 6 различных
доказательств одного неравенства (см., например, [4], стр.71-75), так и приводить к созданию
неправильной ссылки на выпуклость для функций, удовлетворяющих неравенству Йенсена
(см., например, [5], стр. 19).
Действительно, зачем усилять неравенство Йенсена (см. решение №4, [4], стр.73-74),
𝑥
если оно и так выполнено, причем функция 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3+4, где х(0; 4), является не выпуклой?
1
А
в
решении
№1
неравенство
𝑎
𝑎 3 +4
обеспечивающим требуемое неравенство:
a+b+c+d=4. Однако прямая 𝑦 =
2𝑥+3
25
≤
2𝑎+3
25
𝑎
𝑎 3 +4
является
𝑏
𝑐
тем
𝑑
ключевым
моментом,
4
+ 𝑏3 +4 + 𝑐 3 +4 + 𝑑3 +4 ≤ 5, где a, b, c, d>0 и
является касательной прямой к графику функции f в
точке x0=1. И об этом не сказано в решении №1, вместо этого применяется неравенство
𝑎
2𝑎+3
Юнга. Опять же зачем применять специальное неравенство, если разность 𝑎3 +4 − 25 на
интервале (0; 4) эквивалента по знаку многочлену (𝑎 − 1)2 (2𝑎2 + 5𝑎 + 8), который,
очевидно, всюду принимает неотрицательные значения. Под эквивалентностью по знаку
двух функций f1 и f2, областью определения которых является некоторое числовое множество
Е, здесь и всюду ниже мы будем понимать выполнение следующих соотношений
1. {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑓1 (𝑥 ) > 0} = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑓2 (𝑥 ) > 0};
2. {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑓1 (𝑥 ) < 0} = {𝑥 ∈ 𝐸: 𝑓2 (𝑥 ) < 0}.
И снова возникает вопрос: это совпадение, что точка x0=1 является корнем второй
кратности указанного многочлена, или это свойство разности функции и её касательной в
точке х0. На эти и другие вопросы призвана попытаться найти ответ данная работа.
Относительно неправильной ссылки (см., [5], стр. 19) на выпуклость хотелось бы
подчеркнуть, что хотя функция 𝑓 (𝑥) = 10𝑥 3 − 9𝑥 5 на отрезке [0; 1] является невыпуклой, но
она удовлетворяет неравенству Йенсена в точке x0=1/3:
1
10(𝑎3 + 𝑏3 + 𝑐 3 ) − 9(𝑎5 + 𝑏5 + 𝑐 5 ) = 𝑓 (𝑎) + 𝑓 (𝑏) + 𝑓 (𝑐 ) ≥ 3𝑓 (3) = 1,
где a, b, c>0 и a+b+c=1. Последнее неравенство может быть доказано и без неравенства
Йенсена (см., например, [6], стр.297).
Необходимо отметить, что в большинство современной литературы, посвященной
неравенству Йенсена, упоминаются только выпуклые функции. В этом можно убедиться на
примере журнала Квант, см. [7]-[9]. Хотя есть и исключения, см., например, [7], стр.68-70.
Данная работа призвана также восполнить имеющийся пробел, в связи с чем предлагается
расширить определение касательной прямой следующим образом.
Определение 1. Пусть дана числовая функция f, определенная на некотором
промежутке I. Функция g: IR называется касательной к графику f в точке x0I, если
f(x0)=g(x0) и существует >0 такое, что выполнено одно из следующих условий
1) для всякого 𝑥 ∈ 𝐼 ∩ (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 + 𝛿 ) справедливо неравенство f(x)≥g(x);
2) для всякого 𝑥 ∈ 𝐼 ∩ (𝑥0 − 𝛿; 𝑥0 + 𝛿 ) справедливо неравенство f(x)≤g(x).
Заметим, что в силу вышесказанного если функция дважды непрерывно
дифференцируема и вторая производная функции f в точке x0 отлична от 0, то касательная
прямая удовлетворяет определению 1. В общем случае сложно сказать, когда касательная
прямая удовлетворяет определению 1. Тем более пример касательной прямой для функции
𝑓2 (𝑥 ) = 𝑥 3 в точке касания x0=0 показывает, касательная прямая может и не удовлетворять
определению 1.
2
Чтобы научиться строить необходимые касательные желательно, сначала понять
какие еще особые свойства у них есть. В следующей теореме и всюду ниже мы будем
рассматривать промежутки не нулевой длины. Справедлива
Теорема 1. Пусть даны многочлены P, Q и g, промежуток I, точка x0I. Пусть
𝑃(𝑥 )
также для всякого xI выполнено неравенство Q(x)>0 и 𝑔(𝑥0 ) = 𝑄(𝑥0 ). Если существует >0
0
𝑃(𝑥)
такое, что для всякого xI(x0 – ; x0 + ) выполнено неравенство f(x)≥g(x), где 𝑓(𝑥 ) = 𝑄(𝑥),
то 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑔′(𝑥0 ).
Доказательство. Предположим, что 𝑔′(𝑥0 ) ≠ 𝑓 ′ (𝑥0 ) =
𝑃 ′ (𝑥0)𝑄(𝑥0)−𝑃(𝑥0 )𝑄′(𝑥0)
𝑄2 (𝑥0 )
. Пусть
для определенности, не теряя общности, 𝑔′ (𝑥0 ) > 𝑓 ′ (𝑥0 ). Согласно формуле Тейлора всякий
многочлен представим в следующем виде
𝑛
𝑃(𝑘) (𝑥0 )
( 𝑥 − 𝑥 0 ),
𝑃 (𝑥 ) = ∑
𝑘!
𝑘=0
где n – степень многочлена P, 𝑃(𝑘) (𝑥0 ) – k-ая производная многочлена Р в точке х0. Отсюда,
многочлены P, Q, g можно записать в виде
𝑃 (𝑥 ) = 𝑃 (𝑥0 ) + 𝑃′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑃1 (𝑥 )(𝑥 − 𝑥0 )2 ,
𝑄(𝑥 ) = 𝑄(𝑥0 ) + 𝑄′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑄1 (𝑥 )(𝑥 − 𝑥0 )2 ,
𝑔 (𝑥 ) =
𝑃 (𝑥0 )
+ 𝑔1 (𝑥 )(𝑥 − 𝑥0 ),
𝑄 (𝑥0 )
где P1, Q1, g1– многочлены. Следовательно,
𝑓 (𝑥 ) − 𝑔 (𝑥 ) =
=
𝑃 (𝑥 ) 𝑃 (𝑥 0 )
−
− 𝑔1 (𝑥 )(𝑥 − 𝑥0 ) =
𝑄(𝑥 ) 𝑄 (𝑥0 )
(𝑥−𝑥0)(𝑃 ′ (𝑥0)𝑄(𝑥0)−𝑃(𝑥0 )𝑄′ (𝑥0 )−𝑔1 (𝑥)𝑄(𝑥)𝑄(𝑥0 )+(𝑥−𝑥0)(𝑃1(𝑥)𝑄(𝑥0 )−𝑃(𝑥0)𝑄1 (𝑥0))
𝑄(𝑥)𝑄(𝑥0)
.
(3)
Заметим, что функция
𝑀(𝑥 ) = 𝑃′ (𝑥0 )𝑄(𝑥0 ) − 𝑃(𝑥0 )𝑄′ (𝑥0 ) − 𝑔1 (𝑥 )𝑄(𝑥 )𝑄(𝑥0 ) + (𝑥 − 𝑥0 )(𝑃1 (𝑥 )𝑄(𝑥0 ) − 𝑃 (𝑥0 )𝑄1 (𝑥0 )
является многочленом и 𝑀(𝑥0 ) = 𝑄2 (𝑥0 )(𝑓 ′ (𝑥0 ) − 𝑔1 (𝑥0 )) = 𝑄2 (𝑥0 )(𝑓 ′ (𝑥0 ) − 𝑔′(𝑥0 )) < 0.
Поскольку, как известно, многочлен является всюду непрерывной функцией, то существует
>0 такое, что для всякого x(x0 – ; x0 + ) выполнено неравенство M(x)<0. Следовательно,
если x0<x<x0+, то f(x)<g(x), что противоречит условию теоремы. Поэтому 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑔′(𝑥0 ).
Тем самым, теорема 1 доказана.
3
Теорема 2. Пусть даны многочлены P, Q и g, промежуток I, точка x0I такие, что
𝑃(𝑥)
f(x0)=g(x0), 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑔′ (𝑥0 ), где 𝑓 (𝑥 ) = 𝑄(𝑥). Пусть также для всякого xI выполнено
неравенство Q(x)>0. Тогда функция ℎ(𝑥 ) = 𝑓 (𝑥) − 𝑔(𝑥 ) эквивалентна функции вида
(x-x0)2T(x), где T – некоторый многочлен.
Доказательство. Повторяя преобразование выражения 𝑓(𝑥 ) − 𝑔(𝑥 ) при
доказательстве теоремы 1 мы получим соотношение (3). Далее из равенства 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑔 ′ (𝑥0 )
следует, что 𝑔1 (𝑥 ) = 𝑓 ′ (𝑥0 ) + 𝑔2 (𝑥 )(𝑥 − 𝑥0 ), где g2 является многочленом. Следовательно,
𝑓 ( 𝑥 ) − 𝑔 (𝑥 ) =
(𝑥−𝑥0)2 [(𝑃1 (𝑥)𝑄(𝑥0)−𝑃(𝑥0 )𝑄1 (𝑥))−𝑓′ (𝑥0 )𝑄(𝑥0)(𝑄′ (𝑥0 )+𝑄1 (𝑥)(𝑥−𝑥0 ))−𝑔2 (𝑥)𝑄(𝑥)𝑄(𝑥0 )]
𝑄(𝑥)𝑄2(𝑥0 )
.
Последнее в силу положительности значений многочлена Q эквивалентно функции
(x-x0)2T(x),
где
𝑇(𝑥 ) = 𝑃1 (𝑥 )𝑄(𝑥0 ) − 𝑃 (𝑥0 )𝑄1 (𝑥 ) − 𝑓 ′ (𝑥0 )𝑄(𝑥0 )(𝑄′ (𝑥0 ) + 𝑄1 (𝑥 )(𝑥 − 𝑥0 )) − 𝑔2 (𝑥 )𝑄(𝑥 )𝑄(𝑥0 ).
Что и требовалось доказать.
Следствие 1. Пусть даны два многочлена P и Q, промежуток I, точка x0I. Пусть
также для всякого xI выполнено неравенство Q(x)>0. Тогда функция
𝑓 (𝑥 ) − (𝑓(𝑥0 ) + 𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 )),
𝑃(𝑥)
где 𝑓 (𝑥 ) = 𝑄(𝑥), эквивалентна функции вида (x-x0)2T(x), где T – некоторый многочлен.
Практический смысл теоремы 1 заключается в том, что в случае рациональной
функции среди многочленов в качестве касательной необходимо рассматривать только те, у
которых в точке касания производные совпадают с производной рассматриваемой функции.
В связи с этим в следующей теореме мы будем рассматривать касательные вида
𝑔(𝑥 ) = 𝑘 ⋅ 𝑙(𝑥 ) + 𝑚, где числа k и m мы определим из соотношений f(x0)=g(x0) и
𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑔′ (𝑥0 ). Оказывается, что расположение графика функции f не ниже такой
касательной является достаточным условием для выполнения неравенства (2). Справедлива
Теорема 3. Пусть даны числовые функции f и l, определенные на промежутке I.
Пусть также функция f и l дифференцируемы в точке х0I. Если для каждого xI
выполнено неравенство
𝑓 (𝑥 ) ≥ 𝑘 ⋅ 𝑙 (𝑥) + 𝑚,
0, если 𝑙 ′ (𝑥0 ) = 0,
где 𝑘 = {𝑓′ (𝑥0)
𝑙′ (𝑥
0
, если 𝑙 ′ (𝑥0 ) ≠ 0,
)
𝑚 = 𝑓 (𝑥0 ) − 𝑘 ⋅ 𝑙(𝑥0 ), то для функции f справедливо
неравенство (2).
4
Доказательство теоремы 3 тривиально: согласно условию теоремы имеем
𝑛
𝑛
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑗 ) ≥ ∑(𝑘 ⋅ 𝑙(𝑥𝑗 ) + 𝑚) = 𝑘 ∑ 𝑙(𝑥𝑗 ) + 𝑚𝑛 = 𝑛(𝑘 ⋅ 𝑙(𝑥0 ) + 𝑚) = 𝑛𝑓(𝑥0 )
𝑗=1
𝑗=1
𝑗=1
Замечание 1. Если l(x)=x и функция f является выпуклой вниз на промежутке I, то
график функции лежит по одну сторону от касательной прямой, проведенной в любой точке
x0I, то есть справедливо неравенство f(x)≥kx+m, где числа k и m определены также как в
условии теоремы 3. Следовательно, согласно теореме 3 для всякой выпуклой функции
справедливо неравенство Йенсена. Тем самым, можно также утверждать, что неравенство
Йенсена справедливо в точке x0 для всякой функции как выпуклой, так и не выпуклой,
график которой лежит по одну сторону от касательной прямой, проведенной в точке x0.
Теорема 3 может быть обобщена следующим образом.
Теорема 4. Пусть даны числовые функции f и l, определенные на промежутке I, и
множество G, x0I/G,. Пусть также функции f и l дифференцируемы в точке х0 и на
множествах G и I функция f достигает своего наименьшего значения. Если
min 𝑓 + (𝑛 − 1) min 𝑓 ≥ 𝑛𝑓 (𝑥0 )
𝐺
𝐼
и для каждого xI/G выполнено неравенство
𝑓 (𝑥 ) ≥ 𝑘 ⋅ 𝑙 (𝑥) + 𝑚,
0, если 𝑙 ′ (𝑥0 ) = 0,
где 𝑘 = {𝑓′ (𝑥0)
𝑙′ (𝑥0 )
, если 𝑙 ′ (𝑥0 ) ≠ 0,
𝑚 = 𝑓 (𝑥0 ) − 𝑘 ⋅ 𝑙(𝑥0 ), то для функции f справедливо
неравенство (2).
Доказательство. Если x1, x2, …, xnI/G, то, рассуждая также, как и в доказательстве
теоремы 3, получим, что ∑𝑛𝑗=1 𝑓(𝑥𝑗 ) ≥ 𝑛𝑓 (𝑥0 ).
Пусть теперь x1 не принадлежит множеству I/G, т.е. 𝑥1 ∈ 𝐺, тогда согласно
определению наименьшего значения функции имеем
𝑓 (𝑥1 ) ≥ min 𝑓, 𝑓(𝑥2 ) ≥ min 𝑓, 𝑓(𝑥3 ) ≥ min 𝑓, …, 𝑓 (𝑥𝑛 ) ≥ min 𝑓.
𝐺
𝐼
𝐼
𝐼
Складывая полученные неравенства, согласно условию теоремы получим требуемое.
Средние степенные
Одним из недостатков теорем 3 и 4 является то, что они тип функции в касательной и
в условиях на переменные совпадает, попытаться отойти от этого можно с помощью свойств
средне степенных.
5
Определение 2. Пусть даны положительные числа x1, x2, …., xn. Если число  отлично
от нуля, то средним степенным чисел x1, x2, …., xn называется число
𝑐𝛼 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = (
∑𝑛𝑗=1 𝑥𝑗𝛼
𝑛
1
𝛼
) .
Если =0, то
𝑐0 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑛√𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ … ⋅ 𝑥𝑛 .
Справедлива
Теорема 5. Пусть даны число , положительное число х0 и натуральное число n≥2.
Пусть дана функция f, определенная на множестве всех положительных чисел, и
дифференцируема в точке x0. Если (𝛼 − 1) ⋅ 𝑓 ′ (𝑥0 ) ≤ 0 и для всякого положительного числа
x такого, что 𝑥 𝛼 < 𝑛𝑥0𝛼 выполнено 𝑓(𝑥 ) ≥ 𝑓 (𝑥0 ) + 𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑥 − 𝑥0 ), то
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑗 ) ≥ 𝑛𝑓(𝑥0 ),
𝑗=1
где x1, x2, …, xn>0 и 𝑐𝛼 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑥0 .
Доказательство. Если ≠0 и для положительных чисел x1, x2, …, xn>0 выполнено
(
𝑐𝛼 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = 𝑥0 , то вне зависимости положительно или нет число  для каждого k=1, 2,
…, n выполнено неравенство 𝑥𝑘𝛼 < 𝑛𝑥0𝛼 . Если же =0, то указанное неравенство также
выполнено.
Пусть <1. Тогда 𝑓 ′ (𝑥0 ) ≥ 0. Согласно теореме о монотонности средне степенных
(см., например, [10], стр. 21) имеем
𝑛
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑗 ) ≥ ∑ (𝑓 (𝑥0 ) + 𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑥𝑗 − 𝑥0 )) = 𝑛𝑓(𝑥0 ) + 𝑛𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑐1 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) − 𝑥0 ) ≥
𝑗=1
𝑗=1
≥ 𝑛𝑓(𝑥0 ) + 𝑛𝑓 ′ (𝑥0 )(𝑐𝛼 (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) − 𝑥0 ) = 𝑛𝑓(𝑥0 )
Случай >1 аналогичен предыдущему. А случай =1 следует из теоремы 3. Тем
самым, теорема 5 доказана.
Из теоремы 5 следует важный практический смысл. Если в условии задачи имеется
ограничение, например, на сумму квадратов переменных, то рассматривать в качестве
касательной прямую имеет смысл, если производная соответствующей функции в точке
касания отрицательна. Если же, например, произведение переменных постоянно, то
желательно, чтобы производная функции в точке касания была положительной. Если же
указанное условие для функции не выполнено, то желательно в качестве касательной брать
многочлен той же степени, что и порядок степени переменных в условии задачи. То есть в
случае ограничения на сумму квадратов переменных и положительности значений
производной функции в точке касания в качестве касательной можно попробовать параболу
с абсциссой вершины в точке 0.
6
В теореме 5 ограничение имеется на сумму некоторых степеней переменных, а в
качестве касательная рассматривается прямая. Естественно поставить аналогичный вопрос о
целесообразности рассмотрения в качестве касательной некоторую степенную функцию,
если ограничение в условии задачи имеется на сумму переменных.
Теорема 6. Пусть даны число ≠0, положительное число х0 и натуральное число n≥2.
Пусть дана функция f, определенная на множестве всех положительных чисел, и
дифференцируема в точке x0. Если (𝛼 − 1) ⋅ 𝑓 ′ (𝑥0 ) ≥ 0 и для всякого положительного числа
𝑓′ (𝑥 )
0
(𝑥 𝛼 − 𝑥0𝛼 ) + 𝑓 (𝑥0 ), то
x такого, что 𝑥 < 𝑛𝑥0 выполнено 𝑓 (𝑥 ) ≥ 𝛼⋅𝑥 𝛼−1
0
𝑛
∑ 𝑓(𝑥𝑗 ) ≥ 𝑛𝑓(𝑥0 ),
𝑗=1
где x1, x2, …, xn>0 и 𝑥1 + 𝑥2 +. . . +𝑥𝑛 = 𝑛𝑥0.
Доказательство теоремы 6 аналогично доказательству теоремы 5.
Частные случаи
Теорема 7. Пусть дан многочлен P(x)=ax3+bx2+cx+d, a≠0, натуральное число n и
положительное число х0. Пусть даны неотрицательные числа x1, x2, …, xn, сумма которых
равна nx0. Если 2ax0+b≥0 и (n+2)ax0+b≥0, то справедливо неравенство ∑𝑛𝑗=1 𝑃(𝑥𝑗 ) ≥ 𝑛𝑃(𝑥0 ).
Доказательство. Согласно теореме 2 и равенству (3) функция P(x)-P(x0)-P(x0)(x-x0)
представляется в виде (𝑥 − 𝑥0 )2 𝑃1 (𝑥 ) = (𝑥 − 𝑥0 )2 (𝑎𝑥 + 2𝑎𝑥0 + 𝑏). А поскольку
∑𝑛𝑗=1 𝑃(𝑥0 )(𝑥𝑗 − 𝑥0 ) = 𝑃(𝑥0 )(∑𝑛𝑗=1 𝑥𝑗 − 𝑛𝑥0 ) = 0, то неравенство ∑𝑛𝑗=1 𝑃(𝑥𝑗 ) ≥ 𝑛𝑃(𝑥0 )
эквивалентно следующему
𝑛
2
∑(𝑥𝑗 − 𝑥0 ) (𝑎𝑥𝑗 + 2𝑎𝑥0 + 𝑏) ≥ 0.
𝑗=1
Заметим, что из того, что сумма неотрицательных чисел x1, x2, …, xn равна nx0 следует,
что каждое из этих чисел принадлежит промежутку [0; 𝑛𝑥0 ]. Однако в силу монотонности
функции 𝑎𝑥 + 2𝑎𝑥0 + 𝑏 и неотрицательности чисел 2ax0+b и (n+2)ax0+b для всякого
𝑥 ∈ [0; 𝑛𝑥0 ] справедливо неравенство 𝑎𝑥 + 2𝑎𝑥0 + 𝑏 ≥ 0. Последнее означает, что требуемое
неравенство является верным. Следовательно, теорема 7 доказана.
Замечание 2. Как известно, для того, чтобы многочлен P(x)=ax3+bx2+cx+d был
выпуклым вниз необходимо и достаточно, чтобы 𝑃′′ (𝑥 ) = 6𝑎𝑥 + 2𝑏 ≥ 0 на всем промежутке
[0; 𝑛𝑥0 ]. А для этого необходимо, чтобы b>0 и 3nax0+b>0. Если числа a, b, n, x0
удовлетворяют указанным неравенствам, то они и удовлетворяют неравенствам 2ax0+b≥0 и
(n+2)ax0+b≥0. Что вполне соответствует общеизвестному факту, что неравенство Йенсена
выполнено для выпуклых функций. Однако, если числа a, b, n, x0 удовлетворяют
неравенствам 2ax0+b≥0 и (n+2)ax0+b≥0, то они не обязаны удовлетворять обоим
неравенствам b>0 и 3nax0+b>0. Например, такими числами могут быть n=3, a=1, b=-1, x0=1.
То есть любая функция вида 𝑃(𝑥 ) = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 является невыпуклой на отрезке [0; 3],
но при этом для нее справедливо неравенство Йенсена в точке x0=1. Ясно, что такой набор
чисел n, a, b, x0 не единственный, можно, например, взять a=1, b= – x0, x0>0, n≥2. Тем самым
7
показано, что существует бесконечно невыпуклых функций, для которых выполнено
неравенство Йенсена в заданной точке.
Литература
1. Шабунин М.И. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень:
учебник для 11 класса. – М.: Бином. Лаборатория знаний, 2008.
2. Гаврилов В.И., Субботин А.В. Изложение темы «выпуклые функции» в
университетском курсе математического анализа// Математика в высшем
образовании. 2003. №1. C. 21-28.
3. Ижболдин О., Курляндчик Л. Неравенство Йенсена//Квант. 2000. N 4. С.7-10.
4. Берлов С.Л., Петров Ф.В., Смирнов А.В. Петербургские математические олимпиады
2011 года – М.: МЦНМО, 2012.
5. Suppa E. Inequalities from around the world 1995-2005. Teramo, 2011. 157 p.
6. Chetkovski Z. Inequalities. Theorems, techniques and Problems. – Verlag Berlin
Heidelberg: Springer, 2012.
7. Pham Kim Hung Secrets in Inequalities (volume 1). – Zalău : Gill. 2007.
8. Курляндчик Л., Файбусович А. История одного неравенства//Квант. 1991. N 4. С.1418.
9. Берколайко С.Т., Каток С.Б. Об одном индуктивном методе доказательства
неравенств//Квант. 1970.N8. С.33-36, 64.
10. Коровкин П.П. Неравенства. – М.: Наука, 1966.
8