раб пр методы оптимизации Правдивая

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное
Учреждение высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
Факультет «Информационные технологии и вычислительная
техника»
Программа дисциплины «Методы оптимизации»
Для направления 230100 «Информатика и вычислительная техника»
специальности 230100.68 «Системы автоматизированного проектирования»
подготовки магистра
Автор программы :
Правдивая Е.А. , [email protected]
Одобрена на заседании кафедры ИТАС
Зав.кафедрой Тумковский С.Р.
«______»______________2010 г.
Рекомендована профессиональной коллегией УМС
Председатель_____________
«_______»________________2010г.
Утверждена УС МИЭМ НИУ ВШЭ «______» _______________2010г.
Ученый секретарь Симонов В.П. _______________________________
Москва, 2010 г.
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями
университета и другими вузами без разрешения кафедры –разработчика
программы.
1. Цели и задачи дисциплины.
Целью преподавания дисциплины является ознакомление студентов с
формулировками задач параметрической оптимизации, возникающими в
процессе проектирования, и методами их решения.
Задачами преподавания являются изучение основных формулировок
задач оптимизации, критериев существования их решений, методов поиска
решений, а также освоение методик решения практических задач оптимального
проектирования.
2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.
В процессе изучения курса студент должен научиться правильно
формулировать задачу оптимизации с учетом особенностей модели
оптимизируемого объекта, выбирать соответствующие методы решения задачи
и использовать методики их решения.
3. Объем дисциплины и виды учебной работы.
Вид учебной работы
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
И (или) другие виды аудиторных занятий
Самостоятельная работа
Курсовой проект (работа)
Расчетно-графическая работа
Реферат
И (или) другие виды самостоятельной работы
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
Всего
часов
54
27
27
Семестр
1
1
1
1
2
4. Содержание дисциплины.
4.1. Разделы дисциплины и виды занятий.
№
п/п
Раздел дисциплины
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Математическая модель объекта проектирования и
формулировка задач параметрической оптимизации.
Классификация задач оптимизации.
Формирование
критериев
оптимальности,
аддитивные, мультипликативные и минимаксные
критерии. Основные подходы к решению задачи
векторной оптимизации.
Условия существования экстремума целевой функции
в
задаче
последовательной
безусловной
минимизации.
Условия существования экстремума целевой функции
в задаче условной минимизации с функциональными
ограничениями типа равенств.
Методы
минимизации
однопараметрической
унимодальной целевой функции.
Методы 0-го порядка безусловной минимизации
многопараметрической унимодальной функции.
Методы 1-го порядка безусловной минимизации
многопараметрической унимодальной функции.
Методы 2-го порядка безусловной минимизации
многопараметрической унимодальной функции.
Задача линейного программирования и методы ее
решения.
Условия существования экстремума целевой функции
в задаче условной минимизации с функциональными
ограничениями типа неравенств.
Методы
условной
минимизации
многопараметрической целевой функции.
Основные сведения о методах случайного поиска,
основные подходы к решению многоэкстремальных
задач оптимизации.
Аудиторные
занятия
Лек
ПЗ
ЛР
ции (или С)
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
4.2. Содержание разделов дисциплины.
Лекции.
1.
Математическая модель проектируемого объекта (процесса), входные,
выходные и внутренние параметры и характеристики модели, ее структурные и
параметрические изменения и варьируемые параметры, примеры моделей.
Неформальное определение наилучшего значения
вектора варьируемых
параметров модели. Формулировка задач векторной и скалярной
параметрической оптимизации. Основные подходы к решению задачи
3
нелинейного программирования, влияние свойств модели проектируемого
объекта на процесс ее решения. Первичная классификация задач оптимизации в
зависимости от вида целевой функции и наличия и характера ограничений.-2ч
2.
Формирование
критериев
оптимальности,
аддитивные,
мультипликативные и минимаксные критерии. Основные подходы к решению
задачи векторной оптимизации. Область Парето. Построение множества
конкурирующих решений. Метод последовательной субоптимизации. Сведение
задачи векторной оптимизации к скалярной. Стратегии выбора весовых
коэффициентов для частных критериев.-2ч
3. Экстремум ограниченной непрерывной функции. Разложение гладкой
функции в ряд Тейлора. Нормы векторов и матриц. Спектральная норма
матрицы. Необходимое условие 1-го порядка как теоретическая основа
построения градиентных методов оптимизации. Седловая точка. Положительно
определенная матрица. Необходимые и достаточные условия 2-го порядка.
Количественные значения определенности (положительной, отрицательной и т.
д.) матрицы Гессе и тип (минимум, максимум, седло) стационарной точки.
Обусловленность матрицы. Количественные значения числа обусловленности
матрицы Гессе (с использованием спектральной нормы) и характер экстремума.
Квадратичные функции, их использование в последующих темах дисциплины.4ч
4.
Основные подходы к решению задачи условной оптимизации с
функциональными
ограничениями
типа
равенств
(аналитические
преобразования, поисковый процесс). Функция Лагранжа. Теорема
(необходимое условие экстремума). Метод множителей Лагранжа, пример
решения задачи. Связь в точке минимума множителей Лагранжа с частными
производными целевой функции по параметрам ограничений. -2ч
5.
Источники возникновения задачи. Общая характеристика методов
одномерной минимизации и их классификация. Общие и специфические
требования
к
методам.
Методы
сокращения
длины
интервалов
неопределенности. Теоретическая основа методов. Методы равномерного
поиска, деления интервала пополам, методы Фибоначчи и золотого сечения.
Сравнение эффективности методов и оценка их численной устойчивости.
Методы, основанные на идее интерполяции (квадратичная и кубическая
интерполяция без использования производных, кубическая интерполяция с
использованием производных). Методы 0-го, 1-го и 2-го порядков, основанные
на построении релаксационных последовательностей. -4ч
6.
Общая характеристика методов 0-го порядка. Метод покоординатного
спуска с дискретным и оптимальным шагом, его основные недостатки. Метод
конфигураций, метод вращающихся координат (метод Розенброка). Теорема о
построении ортогональных направлений поиска. Понятие сопряженных
направлений. Свойство параллельных подпространств квадратичной функции,
квадратичная скорость сходимости процесса поиска ее минимума по
сопряженным направлениям. Метод сопряженных направлений 0-го порядка.
Линейная независимость направлений поиска. Сравнение эффективности
рассмотренных методов. -4ч
4
7.
Общая характеристика методов 1-го порядка. Градиент - направление
наиболее быстрого изменения функции (доказательство путем решения
соответствующей экстремальной задачи методом множителей Лагранжа).
Метод наискорейшего спуска (метод Коши), доказательство его недостатков.
Методы параллельных касательных и "тяжелого шарика". Вывод метода
сопряженных направлений Флетчера-Ривса. Метод сопряженных направлений
Зангвилла. Сравнение эффективности рассмотренных методов.-4ч
8.
Общая характеристика методов 2-го порядка. Метод Ньютона, его
скорость сходимости для квадратичной функции. Основные недостатки метода
Ньютона. Квазиньютоновские методы. Метод Марквардта, его достоинства и
недостатки. Метод переменной метрики. Сравнение эффективности
рассмотренных методов.-2ч
9.
Формулировка
задачи
линейного
программирования,
ее
распространенность в практике решения оптимизационных задач. Пример
формулировки задачи, графические методы ее решения. Переход к
формулировке задачи в стандартной форме, симплекс-метод ее решения,
пример решения задачи симплекс-методом. Анализ чувствительности в
линейном программировании, развитие идей линейного программирования.-2ч
10.
Условия Куна-Таккера и задача Куна-Таккера (основные теоремы).
Условия существования седловой точки, условия оптимальности второго
порядка.-2ч
11.
Методы оптимизации, основанные на преобразовании задачи условной
оптимизации в безусловную. Штрафные и барьерные функции, примеры
функций, пример решения задачи. Методы прямого поиска в задачах условной
оптимизации. Метод комплексов. Преобразование задачи в последовательность
задач линейного программирования.-4ч
12.
Основные сведения о методах случайного поиска, адаптивные
эвристические алгоритмы с переменным шагом. Поиск глобального минимума
целевой функции путем использования комбинаций различных методов
оптимизации, одновременное построение нескольких траекторий поиска. -2ч
Практические занятия.
1. Формирование аддитивных, мультипликативных и минимаксных критериев
качества, выбор весовых коэффициентов для частных критериев. –2ч
2. Определение стационарных точек гладкой целевой функции. Определение
характера стационарной точки путем исследования матрицы Гессе.
Демонстрация задач для квадратичной функции на компьютере. –4ч
3. Решение задач условной оптимизации с ограничениями типа равенств
методом замены переменных и методом множителей Лагранжа. –2ч
4. Решение задач минимизации однопараметрической функции методами
сокращения интервала неопределенности. Демонстрация процессов
одномерной минимизации на компьютере. – 2ч
5
5. Решение задач минимизации однопараметрической функции методами,
основанными на идее интерполяции. Демонстрация процессов одномерной
минимизации на компьютере. – 2ч
6. Сравнительная оценка трудоемкостей методов одномерной минимизации
унимодальной целевой функции. Демонстрация процессов одномерной
минимизации на компьютере. – 2ч
7. Определение ортогональных и сопряженных направлений поиска.
Демонстрация и сравнительная оценка эффективности методов безусловной
минимизации 0-го порядка на компьютере. -2ч
8. Решение задач безусловной минимизации методами 1-го порядка.
Демонстрация и сравнительная оценка эффективности методов безусловной
минимизации 1-го порядка на компьютере. -2ч
9. Решение задач безусловной минимизации методами 2-го порядка.
Демонстрация и сравнительная оценка эффективности методов безусловной
минимизации 2-го порядка на компьютере. -2ч
10. Формулировка и решение задач линейного программирования графическим
и симплекс-методом. Демонстрация решение задач симплекс-методом на
компьютере. –4ч
11. Решение задач условной оптимизации с использованием штрафных и
барьерных функций. Демонстрация процесса решения задач на компьютере.
– 2ч
12. Решение задач условной оптимизации путем их линеаризации и
использования опорных плоскостей. -2ч
13. Решение многоэкстремальных задач оптимизации. -2ч
14. Контрольная работа.
4.3. Понедельный план поведения лекционных и практических занятий.
В соответствии с учебным планом (2 часа лекции каждую неделю, 2 часа
семинар каждую неделю).
5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
5.1. Рекомендуемая литература
а) основная литература.
1). Батищев Д.И. Методы оптимального проектирования.: Учеб. пособие для
ВУЗов. - М.: Радио и связь, 1984. - 248 с.
2). Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел. Оптимизация в технике: Кн. 1. Пер.
с англ. - М.: Мир, 1986. - 349 с.
3). Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел. Оптимизация в технике: Кн. 2. Пер.
с англ. - М.: Мир, 1986. - 320 с.
б) дополнительная литература.
1). Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы:
Пер. с англ. - М.: Мир, 1982. - 583 с.
5.2. Средства обеспечения дисциплины.
6
Необходимыми для изучения дисциплинами техническими средствами и
программным обеспечением являются ОС Windows и разработанные на
кафедре пакеты программ.
1). Влияние на характер и тип стационарной точки каких-либо квадратичных
функций числовых значений обусловленности и определенности матрицы
Гессе.
2). Визуализация процессов работы и сравнение эффективности 9-ти методов
одномерной минимизации набора однопараметрических целевых функций.
3). Визуализация процессов работы и автоматического сравнения
эффективности и точности 16-ти методов минимизации многопараметрических
целевых функций. В библиотеке, открытой для включения новых задач,
содержатся описания примерно 20-ти критериев, используемых в
отечественных и зарубежных учебниках по методам параметрической
оптимизации.
4). Иллюстрация процесса работы симплекс-метода решения задачи линейного
программирования.
5). Иллюстрация процесса преобразования многокритериальных задач
оптимизации, процессов использования штрафных и барьерных функций.
5). Демонстрация некоторых разделов лекций с помощью ряда фрагментов
компьютерного учебника в виде системы видеофильмов с встроенным в них
речевым сопровождением. Видеофильмы выполнены в среде Macromedia
Director 8.5 и Director MX.
6. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
Необходимое оборудование установлено в компьютерных классах №1 и № 2
каф. ИТАС.
Рабочая программа составлена в соответствии с Государственным
образовательным стандартом высшего профессионального образования по
специальности 230104.
Настоящая программа рассмотрена на заседании кафедры “20” октября 2010 г.
протокол № 10 и рекомендована к применению в учебном процессе.
Зав кафедрой ИТАС
проф. Тумковский С.Р.
“____”_________________2010г.
Срок действия программы продлен на
20__/20__ уч. год _____________________________________
(подпись зав. кафедрой)
Срок действия программы продлен на
7
20__/20__ уч. год _____________________________________
(подпись зав. кафедрой)
Срок действия программы продлен на
20__/20__ уч. год _____________________________________
(подпись зав. кафедрой)
Срок действия программы продлен на
20__/20__ уч. год _____________________________________
(подпись зав. кафедрой)
8