Лабораторная работа № 4(семестр 1)

Лабораторная работа № 4
Вещественные числа
Необходимые понятия и теоремы: рациональные и иррациональные
числа, действительные числа, аксиомы действительных чисел, принцип
математической индукции, верхняя и нижняя грани множеств, ограниченные множества.
Литература: [1] с. 29 – 61, [4] с. 37 – 80.
1 Исходя из аксиом действительных чисел, доказать утверждения:
1.1 Если a  b  c , то a  c  b .
1.2 Число, обладающее свойством единицы, единственно.
1.3 Если a  b , то для любого числа c справедливо a  c  b  c .
1.4 Для любого числа a справедливо a  0  0 .
1.5 Число, обладающее свойством нуля, единственно.
1.6 Число, обратное к данному отличному от нуля числу, единственно.
1.7 Если a  b и b  c , то a  c .
1.8 Если a  b  0 , то хотя бы один из сомножителей a и b равен нулю.
1.9 Число, противоположное данному, единственно.
1.10 Для любого числа a  0 справедливо a : a  1 .
1.11 Если a  b , то a  b .
1.12 Для любых чисел a и b справедливо ( a)  b   a  b .
1.13 Для любых чисел a и b справедливо  a  b   (a  b) .
1.14 Для любого числа a  0 справедливо 1: (1: a)  a .
1.15 Если a  b и c  d , то a  c  b  d .
1.16 Уравнение a  x  b , a  0 , имеет единственное решение.
a ac
a
1.17 Для любой дроби , b  0 , и c  0 справедливо  .
b bc
b
1.18 Если a  b и c  d , то a  c  b  d .
1.19 Если a  b и c  0 , то ac  bc .
1.20 Уравнение a  x  b имеет единственное решение.
2 Доказать иррациональность числа a :
№
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
a
3
5
7
11
10
№
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
a
13
17
15
19
20
№
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
a
21
22
33
37
41
№
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
a
43
51
57
50
2
3
3 Найти max X , min X , sup X , inf X числового множества:
№
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
№
3.11
X
{x  : x  1}
[0; 2)
{ (1)n (1  1 n), n  }
{ cos n, n  }
{1 3;1 9; ...,1 3n , ...}
{x  : x  1}
(0; 5]
X
{x  : x  1}
[1; 2]
3.12
3.13
{1  (1)n n , n  }
3.14
{ 1 3;  1 9; ..., 1 3n , ...}
3.15
{ 1 2; 3 4; ...,  (2n  1) 2n , ...}
{x  : x  3}
{ sin n, n  }
3.16
{ n2e n , n  }
3.17
3.18
3.9
{1 10;1 100; ...,1 10n , ...}
3.19
{1 10;1 100; ...,1 10n , ...}
{ 2;1  1 2; ...,1  1 n , ...}
3.10
{1 2; 3 4; ..., (2n  1) 2n , ...}
3.20
{m n m, n  , m  n}
4 Пусть n, m 
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
. Найти:
mn
m n mn
mn
inf sup
n m mn
m
sup inf
m n mn
m
inf sup
n m mn
mn
sup inf
m n 2m  n
mn
inf sup
n m 2m  n
mn
sup inf
m n m  3n
sup inf
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
mn
n m m  3n
m
sup inf
m n 7m  n
m
inf sup
n m 7m  n
mn
sup inf
n m mn
mn
inf sup
m n mn
m
sup inf
n m mn
m
inf sup
m n mn
inf sup
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
mn
n m 2m  n
mn
inf sup
m n 2m  n
mn
sup inf
n m m  3n
mn
inf sup
m n m  3n
m
sup inf
n m 7m  n
m
inf sup
m n mn
mn
sup inf
m n m  2n
sup inf
5 С помощью метода математической индукции доказать истинность
утверждений при n :
5.1 n3  5n кратно 6.
4
n2 (n  1)2
.
4
5.3 n3  9n 2  26n  24 кратно 6.
n(3n  1)
5.4 1  4  7   (3n  2) 
.
2
5.5 7 2 n  1 кратно 24.
n(2n2  5n  1)
5.6 2  2  3  5  (n  1)(3n  1) 
.
2
5.7 13n  5 кратно 6.
5.8 5  9  5  13  52   (4n  1)  5n1  n  5n .
5.2 13  23  33 
 n3 
5.9 15n  6 кратно 7.
5.10 4  2  7  23  10  25 
 (3n  1)  22n 1 .
5.11 9 n  3 кратно 4.
5.12 1  6  20   (2n  1)  2n1  3  2n  (2n  3) .
1 
1  n2
 1  1 


5.13  1     1     1   ... 1 
.
2

4
9
16

 
 
   n  1  2n  2
1
1
1
n 1
5.14 (1  )  (1  ) (1  2 ) 
.
4
9
2n
n
5.15 7 n  3n  1 кратно 9.
4
4
4
4
1  2n
)
5.16 (1  )(1  )(1  ) (1 
.
2
1
9
25
1  2n
(2n  1)
5.17 7 n  12n  17 кратно 18.
1
1
1
n

 

5.18
.
5  12 12  19
(7n  2)  (7n  5) 5(7n  5)
1 
1
 1  1 
5.19  1     1   ... 1 
.

n  1 n  1
 2  3 
n  n  1
5.20 1  2  3   n 
.
2
6 С помощью метода математической индукции доказать неравенство
при n :
6.1 4n  7 n  5 .
6.2 3n  2n  n .
6.3 4n  n 2  3n .
1
1
1

 
 1.
6.4
1 2 2  3
n  (n  1)
5
6.5 y1  y2   yn  n, y1, y2 , , yn  0: y1 y2 yn  1 .
1
1
1 1
6.6

 
 , n  2 .
n 1 n  2
2n 2
1
1
 
 n , n  2 .
6.7 1 
2
n
1
1
6.8  n 1 , n  2 .
n! 2
x  x   xn n
6.9 1 2
 x1x2 xn , xk  0, k  1, n .
n
1
1
1
6.10

 
 1.
n 1 n  2
3n  1
1 3 5
2n  1
1

6.11    
, n  2 .
2 4 6
2n
3n  1
1
1
1 13
6.12

 
 , n  2 .
n 1 n  2
2n 14
1
1
 
 2 n , n  2 .
6.13 1 
2
n
1 1
1
6.14 1     n
 n , n  2 .
2 3
2 1
1 1
1
n
6.15 1     n
 , n  2 .
2 3
2 1 2
1
6.16 (1  x1)(1  x2 ) (1  xn )  , xk  0, k  1, n, и x1  x2 
2
4n
6.17 (2n)! 
(n!)2 , n  2 .
n 1
n
6.18 2 n!  n n , n  2 .
6.19 3n  2n  7 n , n  4 .
6.20 n  2n 1 .
1
 xn  .
2
7 Построив соответствующее сечение, доказать равенство:
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
2
2
3
5
5
7
32 
5
27 
3
20 
5
50
10
48
15
45
35
7.7
7.8
7.9
7.10
7.11
7.12
3  75 
2 3
3  12 
2 6 
7  28 
7 2 
108
6
27
12
63
14
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
6 5 
7  11 
5  20 
7 3
3  27 
2 8
30
77
45
21
48
18
6
Решение типовых примеров
1.20 Уравнение a  x  b имеет единственное решение.
Р е ш е н и е . Число  a  b удовлетворяет уравнению a  x  b . В самом
деле: a  ( a  b)  (a  ( a)  b)  0  b  b . Других решений нет. Действительно, если x и является решением уравнения a  x  b , то
a  b  a  b ,
 a  (a  x)   a  b ,
( a  a)  x   a  b ,
0  x  a  b ,
x  a  b .
2.20 Доказать, что 2 – иррациональное число.
Р е ш е н и е . Доказываем методом от противного. Допустим, что сущестm
вует такое рациональное число
(несократимая дробь), квадрат которого
n
2
 m
равен 2. Тогда    2 или m 2  2n 2 . Следовательно, число m 2 есть четn
ное число. Отсюда m есть четное число, и, следовательно, представимо в
виде m  2k . Тогда имеем n 2  2k 2 . Значит, n 2 есть четное число, тогда и
n – четное. Таким образом, числа m и n являются четными. Поэтому
m
дробь
сократима, что противоречит предположению. Допущение не
n
верно, т.е. не существует рационального числа, квадрат которого равен 2,
а, значит, 2 – иррациональное число, 2  1,41421356 .
3.20 Найти max X , min X , sup X , inf X числового множества
m

X 
m, n  , m  n 
 n

Р е ш е н и е . Шаг 1. Покажем, что inf X  0 , то есть, 1) x 
m
X ,
n
m
 0 (0 – нижняя граница X ); 2) x*  0 x  X такой, что x  x* (0 –
n
наибольшая из нижних границ). Утверждение 1) очевидно.
Докажем утверждение 2). Представим x* в виде десятичной дроби
x*  a, x1x2 ...xn xn1... . Если a  0 , то неравенство x  x* очевидно, так как
7
множество X состоит из правильных дробей. Если a  0 , то n такой, что
xn  0 , и поэтому x  0, x1x2 ...xn 1 ( xn  1)... – искомое, то есть, x  x* .
Шаг 2. Покажем, что min X не существует. По определению, наименьшим элементом множества X называется такое число c  X , что для всех
x  X выполняется неравенство x  c . Заметим, что inf X  X , так как
0
 X , 0 – не натуральное число, и поэтому множество не имеет наименьn
шего элемента.
m
m
Шаг 3. Покажем, что sup X  1 , то есть 1) x   X ,
 1 (1 – верхn
n
няя граница X ); 2) x*  1 x  X такой, что x  x* (1 – наименьшая из
верхних границ). Утверждение 1) очевидно, так как X содержит только
правильные дроби.
Докажем утверждение 2). Представим x* в виде десятичной дроби
x*  0, x1x2 ...xn xn1... . Тогда n такой, что xn  0 , и поэтому
x  0, x1x2 ...xn 1 ( xn  1)... – искомое, то есть, x  x* .
Шаг 4. . Покажем, что max X не существует. По определению, наибольшим элементом множества X называется такое число c  X , что для
всех x  X выполняется неравенство x  c . Заметим, что sup X  X , так
m
как
 1 при m  n , что противоречит определению правильной дроби.
n
Поэтому множество X не имеет наибольшего элемента.
m
.
m n mn
Р е ш е н и е . Заметим, что если max X и min X , то sup X  max X ,
inf X  min X .
m
m
Для всех n
выполняется 0 
. Следовательно,

m  n m 1
m
m
m
m

, а значит, sup
max

n mn
m 1
m 1
n mn
1
m
m
Для всех
выполняется

 1. Следовательно,
2 m 1
m
1
m
1
min
 , а значит, inf
 .
2
m m 1
m m 1 2
4.20 Пусть n, m 
. Найти inf sup
5.20 Методом математической индукции докажите, что для любого
n справедливо равенство
8
1 2  3 
n
Решение.
Шаг 1. При n  1 равенство очевидно.
n(n  1)
.
2
Шаг 2. Предположим, что равенство верно для натурального числа
nk:
k (k  1)
.
1 2  3   k 
2
Шаг 3. Проверим верность утверждения для натурального числа
n  k  1:
k (k  1)
 k  (k  1)  учитывая

 (k  1) 
шаг 2
2
k

 k  2  (k  1)(k  2)
 (k  1)   1  (k  1) 
.

2
2 
 2 
1 2  3 
Из истинности утверждения при n  k вытекает его истинность при
n  k  1. Согласно методу математической индукции, утверждение верно
для любого n .
6.20 С помощью метода математической индукции доказать неравенство n  2n 1 при n .
Решение.
Шаг 1 При n  1 неравенство верно, т.к. 1  1 .
Шаг 2. Предположим, что неравенство верно для n  k , то есть k  2k 1 .
Шаг 3. Докажем, что неравенство верно для n  k  1:
2k  2  2k 1 
учитывая
 2  k  k  k  k 1.
шаг 2
Таким образом, из истинности утверждения при n  k вытекает его истинность при n  k  1. Согласно методу математической индукции, утверждение верно для любого n .
7.20 Построив соответствующее сечение, доказать равенство
2  8  18 .
Р е ш е н и е . Для удобства обозначим 2  8   . Необходимо доказать, что   18 . Покажем, что совпадают верхние классы сечений, опре-
9
деляющие числа  и 18 . Сначала построим сечения, определяющие действительные числа 2, 8, 18 . Рассмотрим верхние классы этих сечений:
2  A | A; A  {a | a 2  2, a  0};
8  B | B; B  {b | b2  8, b  0};
18  C | C; C  {c | c2  18, c  0}.
Теперь определим, какой верхний класс определяет число   2  8 .
Пусть  производит сечение D | D . Рассмотрим рациональные числа
a, a, b, b, удовлетворяющие неравенствам a  2  a и b  8  b , где
a  A, a  A , b  B , b  B .
По определению, суммой 2  8 называется число, которое содержится в следующих рациональных границах:
a  b  2  8  a  b .
Из определения суммы двух вещественных чисел следует, что в верхний класс D сечения, определяющего число 2  8 , входят всевозможные суммы вида a  b :
D  {d  | d   a  b, a  A, b  B} .
Докажем совпадения классов D и C . Для этого вначале покажем, что
D  C . Пусть d   D , тогда    a  b , a  A , b  B и a 2  2, a  0 ,
b 2  b , b  0 .
Ясно, что d   0 . Докажем, что d  2  18 . Так как a 2b 2  16 , то ab  4 и
2ab  8 . Следовательно,
d 2  (a  b)2  a2  2ab  b2  2  8  8 ,
т. е. d  2  18 , d   C  D  C .
Покажем, что C  D . Пусть c  0 , c  C , т. е. c 2  18 . Положим
c 2  18  h ( h –рациональное число) и выберем a  0 так, чтобы
1
2  a2  2  h , a 2  3 и b  c  a .
6
10
Тогда b  0 и b 2  c 2  a 2  2ca .
4a2  4(2  h 6)  8  2h 3 , то
Так
как
c 2  18  h ,
а
4c2a2  (8  2h 3)(18  h)  144  20h  2h2 3 
 144  20h  25h2 36  (12  5h 6)2 ,
т.е. 2ca  12  5h 6 , а a2  c2  20  h , следовательно, b2  8  h 6 , т.е.
b2  8 или c  a  b , где a  A , b  B и верхний класс C  содержится в
классе D . Так как C  D и D  C , то классы C  и D совпадают. Верхние классы D и C  сечений совпадают, значит, совпадают и нижние классы D и C и, следовательно, 2  8  18 .
11