ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ И

2505
УДК 510:511.3+62.501
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ
ЗАКОНОМЕРНОСТИ И ФРАКТАЛЬНЫЕ
ФУНКЦИИ СИНГУЛЯРНОГО ТИПА В
ЗАДАЧАХ ФИНИТНОГО УПРАВЛЕНИЯ
РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫМИ СИСТЕМАМИ
А.Н. Агаджанов
Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН
Россия, 117997, Москва, Профсоюзная ул., 65
E-mail: ashot_ran@mail.ru
Ключевые слова: точки управляемости, метрическая теория чисел, сингулярные функции, финитные управления
Аннотация: В докладе раскрыта принципиальная связь между метрической теорией алгебраических и трансцендентных чисел, сингулярными по Лебегу фрактальными функциями и точками управляемости для некоторых распределенных колебательных систем.
1. Введение
Развитие современной теории управления распределенными системами неразрывно
связано с совершенствованием соответствующего математического аппарата.
В докладе показано, что существует принципиальная связь между метрической
теорией алгебраических и трансцендентных чисел, сингулярными по Лебегу фрактальными функциями и точками управляемости для некоторых распределенных колебательных систем. Иначе говоря, различные, на первый взгляд, разделы математического
знания в синтезе оказываются тем инструментом, который позволяет доказать сам факт
существования финитного управления в таких системах.
Связь метрических свойств действительных чисел с проблемой существования финитного управления для колебательной системы впервые была обнаружена в [1]. Дальнейшее развитие результаты работы [1] получили в [2].
Ниже приводится результаты по затронутой проблематике, полученные автором в
последние годы, в рамках построения теории фрактальных функций, как функций
управления распределенными системами [3-5].
Прежде чем переходить к содержательной части доклада отметим, что отдельные
проблемы, связанные с выяснением арифметической природы различных классов чисел, возникли в математике очень давно. Так например, известная еще из глубокой
древности задача о квадратуре круга сводится к исследованию арифметической природы числа π. В качестве другого примера укажем на предположение, высказанное Л. Эй-
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2506
лером о трансцендентности чисел вида log p q , где p – рациональное положительное
число, отличное от 1, а q  p k (k – рациональное).
Несмотря на раннее возникновение подобных проблем, строгое доказательство существования трансцендентных чисел впервые было получено только в 1844 г. Ж. Лиувиллем. Он установил, что алгебраические числа не могут «слишком хорошо» приближаться рациональными дробями. Более подробно это означает следующие.
Пусть ξ – любое фиксированное число. Будем говорить, что число ξ допускает приближение рациональными дробями порядка µ, если существует такое c ,    0 , что
неравенство  
p c ,  

имеет бесконечное множество решений в целых p и q,
q
q
p
  . Ж. Лиувилль установил, что рациональные числа выделяются из множества
q
всех действительных чисел тем свойством, что они допускают приближения рациональными дробями лишь первого порядка, тогда как для иррациональных числе этот
порядок не меньше двух. Он так же показал, что существуют числа, допускающие приближения рациональными дробями сколь угодно высокого порядка. Сегодня такие числа называют трансцендентными числами Лиувилля (см. ниже).
В 1874г. Г. Кантор дал другое доказательство существования трансцендентных
числе, установив счетность множества алгебраических числе. Отсюда следовало, что
почти все числа трансцендентны. Тем не менее и сегодня существует мало книг и обзоров, посвященных теории трансцендентных чисел. Что же касается применения теоретико-числовых методов в задачах управления динамическими системами, то они в современной теории управления практически отсутствуют.
Перейдем теперь непосредственно к докладу.
2. Модельный пример
Особенности предлагаемого подхода рассмотрим на примере финитного управления для колебательной системы[1,2]:
 2Q  2Q
(1)
 2   ( x  a )  u (t ) , 0  x  1 , t  0
x
t 2
(2)
Q(0, t )  Q(1, t )  0 , t  0
Q
Q( x,0)  Q0 ( x) ,
 Q1 ( x)
(3)
t t 0
где 0  a  1 – числовой параметр.
Задача финитного управления состоит в нахождении такой функции u (t ) (управления), чтобы в некоторый момент времени t  T  0 колебательная система успокоиласть, то есть
Q
x, t   0 при всех x  0;1.
(4)
Q  x, t  
t
t T
Определение 1. Точку а назовем точкой управляемости, если существует решение
поставленной задачи финитного управления, в противном случае а – точка неуправляемости
Известно [1, 2], что проблема существования финитного управления в задаче (1)-(4)
эквивалентна разрешимости интерполяционной задачи
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2507
sin(k )
u~ k   
, 0   1
sin ka 
где u~ z  – целая функция, экспоненциального типа, являющаяся преобразованием Фурье функции u t  . (Здесь k  0,1,2  ).
Имеет место
Теорема 1. Необходимым и достаточным условием разрешимости задачи(5) является выполнение условия
ln  k
 
(6)
l im
k 
k
sin(k )
.
где  k  
sin ka 
Однако условие (6) при некоторых значениях a может не выполняться. Именно в
силу этого точка a, для которой существует решение задачи (1) – (4) называется точкой
управляемости.
(5)
3. Необходимые факты из теории трансцендентных чисел
Пусть z – произвольное комплексное число. Для каждой пары положительных чисел n и h определим полином Pn (z ) с целыми коэффициентами степени не выше n и высотой не превышающей h ( h  max ai ), такой, что при заданном z  z 0 полином прини0i  n
мает наименьшее положительное значение. Определим w(n, h) из уравнения
Pn ( z 0 )  h  n*w( n ,h )
Пусть wn  limw(n, h) , w  limwn , а v – наименьшее натуральное n, начиная с котоh0
n
рого wn   . Если wn   при всех n, то v   . К. Малер предложил следующую
классификацию иррациональных чисел [6].
v   ; S-классу, если
Число z 0 принадлежит А-классу, если w  0,
0  w  , v   ;Т-классу, если w  , v   ;U-классу, если w  , v   .
Приведенная классификация занимает центральное место в характеризации как
множеств точек управляемости, так и множеств точек неуправляемости в задаче(1)(4).Известно[6], что А-класс состоит только из алгебраических иррациональных чисел.
Из результатов К. Малера и Спринджука следует, что множество чисел, принадлежащих S-классу, имеет единичную лебегову меру. Что же касается T и U классов, то как
числовые множества они не только имеют нулевую лебегову меру, но и мера Хаусдорфа для них также оказывается нулевой [7, 8].
Из [7] следует существование важных числовых классов U m (m  1) , состоящих из
U-чисел. Приведем их определение.
Для любого натурального n  1 обозначим через wn ( z 0 ) Pn ( z 0 )  0  верхнюю грань
тех значений w, для которых неравенство Pn ( z 0 )  hPn  имеет бесконечное множеw
ство решений. Будем говорить, что задана последовательность полиномов Лиувилля
(назовем ее Lm-последовательностью для числа z 0 ), если hL1   hL2    и
0  Lm ( z 0 )  hLm 
 wm
 1 ), m  1,2  , где lim wn   .
n
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2508
Обозначим через U m (m  1) класс всех трансцендентных чисел ξ (то есть чисел, не
являющихся корнями произвольных алгебраических многочленов с рациональными
коэффициентами), для которых существует Lm-последовательность, но не существует
Lm-1-последовательности. Например, числа Лиувилля составляют U1-класс.
Напомним [9], что действительное число z называется числом Лиувилля, если оно
иррационально и если для каждого натурального n существуют целые p и q такие, что

1
p
1
z   n и q  1 . Примером числа Лиувилля является z   k ! .
q q
k 1 10
Отметим, что любое число Лиувилля трансцендентно. Кроме того, множество чисел является всюду плотным числовым множеством на всей действительной оси и имеет мощность континуума на любом конечном отрезке. Вместе с тем множество чисел
Лиувилля имеет s-мерную меру Хаусдорфа при любом s  0 .Напомним понятие sмерной меры Хаусдорфа [9].
Пусть s  0 – положительное число и множество E  R . Говорят, что E имеет нулевую s-мерную меру Хаусдорфа, если для любого   0 существует последователь

n 1
n 1
ность интервалов I n такая, что E   I n ,  I n   и I n   при всех n.
s
Важность чисел Лиувилля среди всех действительных чисел определяется фундаментальным результатом венгерского математика П. Эрдеша: произвольное действительное число представляется в виде суммы двух чисел Лиувилля.
Дальнейшее развитие результат П. Эрдеша получил в [8]. Важно отметить, что каждое из множеств Um является множеством мощности континуума, причем при различных m эти множества не пересекаются. Отметим также, что не существует пустых Umклассов.
U-класс трансцендентных числе есть счетное объединение Um-классов.
4. Трансцендентные числа, фрактальные функции
сингулярного типа и точки управляемости
k 

Пусть зафиксирована последовательность натуральных чисел
j
j 0
, причем
k 0  1, k j  2 .Зададим последовательность положительных чисел l j j 0 (l 0  1) такую,

что k j l j  l l 1 ( j  1) . С помощью этих последовательностей можно строить симметрические обобщенные канторовские множества (ОК-множества), имеющие дробную размерность Хаусдорфа и являющиеся поэтому фрактальными множествами (примеры построения таких множеств приведены в [10].) Существование ОК-множеств оказывается
тесно связанным не только с важным классом фрактальных функций, а именно, классом неубывающих сингулярных функций (непрерывных функций ограниченной вариации на произвольном конечном отрезке, у которых классическая производная почти
всюду по мере Лебега равна нулю), но и трансцендентными числами.
Свойство фрактальности у сингулярных функций проявляется в том, что у них могут существовать дробные производные Римана-Лиувилля [11] порядка между 0 и 1 на
множестве положительной лебеговой меры.
Что касается, трансцендентных чисел, то существуют числа из этого класса,

имеющие вид    l j где l j j 0 – последовательность , порождающая ОК-множества.

j 0
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2509
Например, трансцендентными являются числа вида

2
 kj!
(k  1) . При каждом фикси-
j 1
рованном k числа l j  2  kj! порождают ОК-множества.
Оказывается, имеет место следующий фундаментальный факт.
Теорема 2. Точка «а» является точкой управляемости задачи (1)-(4) тогда и
только тогда, когда «а» либо принадлежит А классу, либо принадлежит S-классу.
Теорема 3. Существуют ОК-множества, состоящие только из точек управляемости.
Однако следует заметить, что существуют и такие ОК-множества, в которые не
входят точки управляемости, например из А-класса. Пусть k 0  0, k j  2, l j  3  j , j  1 .
В этом случае ОК-множество есть классическое канторовское множество. Но из [12]
следует, что канторовское множество не включает ни одного числа из А-класса.
Охарактеризуем множество точек управляемости для задачи (1)-(4) с помощью
размерностей Хаусдорфа.
Теорема 4. Пусть q  2 . Существует ОК-множество точек управляемости Eq
2
. Это
состоящее из чисел S-класса и имеющее размерность Хаусдорфа dim H E q 
q
множество состоит из таких иррациональных чисел «а», для которых каждое нера1
m
венство a   q имеет бесконечное множество рациональных решений (Здесь m и
n n
n – натуральные).
Может быть сформулирована и дуальная теорема к теореме 4.
Теорема 5. Точка «а» является точка неуправляемости для задачи (1)-(4) тогда и
только тогда, когда, число «а» либо является рациональным числом, либо являясь
трансцендентным числом, принадлежит Т-классу или U-классу.
Для некоторых точек неуправляемости задачи (1)-(4) справедлива.
Теорема 6. Пусть m  1 . Существуют множества мощности континуума
( K m  U m ) состоящие из таких точек неуправляемости, для которых каждое нера-
1
m
 2   0 имеет лишь конечное число рациональных решений.
n n
Теперь сформулируем результат, связанный с различными представлениями точек
управляемости. Имеет место.
Теорема 7. Точки управляемости для задачи (1)-(4),принадлежащие S-классу, могут быть представлены следующими способами.
1) a  a1  a 2 ,где a1 , a 2 – точки неуправляемости принадлежащие классу U1.
2) a  a3  a 4 ,где a3 , a 4 – точки неуправляемости принадлежащие классу U1.
3) a   1b1   2 b2     m bm , (m  2) , где  1 , m  Z ; b1 , bm  S  классу .
Точки управляемости, принадлежащие А-классу, могут быть представлены следующими способами:
1) a  c1  c 2 ,где c1 , c 2  U 1 .
Если а является алгебраическим числом порядка m , то
2) a  c3  c 4 ,где c3 , c 4  U km (k  1, m  2,3, ) .
3) a  c5  c 6 ,где c5 , c6  U km (k  1, m  2,3, ) .
4) a   1 d1   l d l (l  1 ,где  1 , l  Z ; d1 , d l  S  классу .
венство a 
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2510
5) a  1l1    k l k (k  2) ,где 1 , ,  k  Z ; l1 , , l k принадлежат произвольному ОКмножеству.
Справедлива также
Теорема 8. Точки неуправляемости, принадлежащие Т-классу и Um-классам, могут
быть представлены следующими свойствами.
1) a  t1  t 2 ,где t1,t2 – точки неуправляемости, принадлежащие классу U1.
2) a  1 w1   p w p p  1 ,где 1  p  Z ; w1 , w p ,являясь точками неуправляемости, принадлежат определенному ОК-множеству.
В [13] построены примеры сингулярных функций, спектр (множество точек роста)
которых совпадает с заданным множеством положительной размерности Хаусдорфа.
Имеет место.
Теорема 9. Множество точек управляемости для задачи (1)-(4), принадлежащие
S-классу, представляется (с точностью до множества S0 лебеговой меры нуль) в виде
объединения непересекающихся ОК-множеств S k (k  1,2,3) , имеющих положительные размерности Хаусдорфа. Существуют неубывающие сингулярные функции Fk  x 
удовлетворяющие условию Гельдера, спектр которых состоит только из точек управляемости, принадлежащих Sk.
Следствием из Теоремы 9 является.
Утверждение. Функции Fk  x  имеют дробные производные Римана-Лиувилля на
множестве положительной лебеговой меры.
В заключение отметим, что применение методов теории чисел и фрактальных функций
( не обязательно сингулярных) к задачам финитного управления и многомерными распределенными системами представляют самостоятельный интерес.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Бутковский А.Г. // ДАН. 1976. Т. 227, № 2, С. 309-311.
Бутковский А.Г.Структурная теория распределенных систем. М.: Наука, 1977.
Агаджанов А.Н. // ДАН. 2008. Т. 418, № 3. С. 583-586.
Агаджанов А.Н., Бутковский А.Г. // ДАН. 2010. Т. 434, № 3. С. 295-298.
Агаджанов А.Н. // ДАН. 2013. Т. 449, № 4. С. 379-383.
Спринджук В.Г. // УМН. 1980. Т. 35, № 4. С. 3-68.
Le Veque W.J. // J. London Math. Soc. 1953. Vol. 28. P. 220-229.
Alniacik K. // Proc. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 85, No. 4. P.499-505.
Окстоби Дж. Мера и категория. М.: Мир, 1974.
Эйдерман В.Я. // Алгебра и анализ. 1991. Т. 3. С. 175-189.
Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
приложения. Минск: Наука и техника, 1987.
12. Проблемы теории диофантовых приближений / Под редакцией Шидловского А.Б., М.: Мир, 1974.
13. Salem R. Arkiv Math. 1950. Vol. 26, No. 1. P. 353-365.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.