Расчет рассеяния света в плоско-слоистых

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования "Московский физико-технический
институт (государственный университет)"
На правах рукописи
Щербаков Алексей Александрович
Расчет рассеяния света в плоско-слоистых
диэлектрических средах, содержащих микро- и
наночастицы
01.04.03 – Радиофизика
ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель
д. ф.-м. н., проф.
Гладун А. Д.
Научный консультант
к. ф.-м. н.
Тищенко А. В.
Долгопрудный – 2012
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 1.
Излучение, распространение и рассеяние света в планарных струк­
турах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.
4
8
Распространение электромагнитных волн в однородных плоско-слоистых
структурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2.
Дифракция и рассеяние в плоских слоях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.
Метод обобщенных источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.
Органические светоизлучающие диоды с рассеивающими слоями . . . . . . 24
1.5.
Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Глава 2.
Дифракция на двумерных диэлектрических решетках . . . . . . 29
2.1.
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.
Базисное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.
Расчет дифракции с помощью S-матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.
Дифракция на голографических решетках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5.
Численный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.
Дифракция на профилированных решетках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7.
Дифракционная решетка в планарной структуре . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8.
Сходимость численного метода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.9.
Выводы ко второй главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Глава 3.
Органические светодиоды с рассеивающими слоями . . . . . . . . 57
3.1.
Расчет рассеяния на непериодических структурах . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.
Рассеяние плоской волны на слое с наночастицами . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.
ОСИД с рассеивающими слоями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4.
Выводы к третьей главе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Приложение А.
Поляризация плоских волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3
Приложение Б.
S-матрицы профилированных решеток . . . . . . . . . . . . 99
Приложение В.
Вывод уравнений, описывающих дифракцию на профили­
рованной решетке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Приложение Г.
Таблицы дифракционных эффективностей . . . . . . . . . 105
Введение
Актуальность работы Активные исследования в области органической фотоэлек­
троники, начавшиеся в начале 90-х годов прошлого века, в настоящее время привели к со­
зданию органических светодиодов (ОСИД), способных конкурировать с неорганическими
аналогами. Сейчас ОСИД–дисплеи малого размера применяются в бытовой технике и со­
товых телефонах, существуют декоративные элементы освещения, основанные на ОСИД,
а массовое производство органических телевизоров и осветительных приборов анонсиру­
ется на ближайшие 5 лет. При этом перед производителями еще стоят важные задачи
продления срока жизни ОСИД, синтеза и применения новых функциональных материа­
лов, а также повышения внешней эффективности диодов. Следует отметить, что макси­
мизация эффективности особенно важна для осветительных приложений, где основными
конкурентами ОСИД являются неорганические светодиоды.
Как правило, ОСИД представляет собой плоскую многослойную структуру. Эффек­
тивность ОСИД определяется как отношение числа эмитированных фотонов к числу
электронов, прошедших через диод, либо, как отношение мощности излучаемого света
к электрической мощности, потребляемой диодом. При этом выделяют два существенно
различных канала потерь мощности. Первый связан с безызлучательной рекомбинацией
экситонов в электролюминесцентном слое, и переходе их энергии возбуждения в тепловые
колебания. Второй канал определяется долей оптического излучения, выходящего из под­
ложки, на которую нанесен ОСИД, в воздух. В настоящее время за счет использования
фосфоресцирующих материалов удается создавать ОСИД с внутренней эффективностью,
близкой к 100%. Поэтому, основные усилия по решению проблемы повышения эффектив­
ности ОСИД направлены на улучшение вывода оптического излучения из многослойных
структур светодиодов.
Наиболее перспективным и приемлемым способом повышения эффективности вы­
вода излучения из ОСИД структур представляется введение дополнительно рассеиваю­
щего слоя между прозрачным электродом и подложко. Чтобы подобрать оптимальные
параметры рассеивающих слоев для конкретных ОСИД, необходимо иметь возможность
моделировать их оптические свойства. Точность такого моделирования должна быть не
хуже процента, поскольку полный ожидаемый положительный эффект от использования
рассеивающих слоев составляет величину порядка 10%. При этом уравнения Максвелла
5
должны решаться строго, поскольку модель должна учитывать рассеяние затухающих
волн и изменения полей в ближней зоне излучения в средах со значительным контрастом
относительного показателя преломления и характерными неоднородностями порядка дли­
ны волны распространяющегося излучения. Несмотря на значительный интерес к задаче
моделирования ОСИД с рассеивающими слоями, до настоящего времени не было предло­
жено достаточно достоверных методов ее решения.
Цель диссертационной работы состоит в разработке точного метода расчета
рассеяния и дифракции света в плоско-слоистых пространственно неоднородных диэлек­
трических средах, вычислительная сложность которого линейно зависит от числа узлов
расчетной сетки; написании программ ЭВМ на основе этого метода; применении мето­
да для точного моделирования внешней эффективности органических светоизлучающих
диодов с рассеивающими слоями.
Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи: вывод анали­
тических выражений компонент S-матрицы неоднородного плоского слоя; вывод неявного
уравнения, описывающего дифракцию электромагнитных волн в неоднородных плоско­
слоистых периодических средах; разработка численного метода для решения полученных
уравнений; написание и отладка программ ЭВМ, реализующих разработанный численный
метод; исследование сходимости численного метода и сравнение результатов расчетов мо­
дельных задач с известными решениями и альтернативными методами; проведение чис­
ленного моделирования рассеяния распространяющихся и затухающих электромагнитных
волн на плоских пространственно неоднородных диэлектрических слоях; разработка чис­
ленного метода для расчета оптических параметров ОСИД; проведение расчетов внешней
эффективности многослойных структур ОСИД с рассеивающими слоями.
Научная новизна и практическая значимость. Все выносимые на защиту ре­
зультаты являются новыми. Впервые представлен численный метод расчета рассеяния и
дифракции света в плоско-слоистых диэлектрических структурах, обладающий линейной
сложностью относительно числа узлов расчетной сетки, и предоставляющий возможность
излучения большого разнообразия типов структур. Проведено точное моделирование спек­
тральной мощности излучения ОСИД с рассеивающим слоем, содержащим диэлектриче­
ские частицы с диаметрами порядка нескольких сотен нанометров и контрастом показа­
теля преломления ∼ 0.1.
Изложенные в диссертации методы и разработанные на их основе программы ЭВМ
6
могут быть использованы для расчета и оптимизации оптических свойств органических
светодиодов, фотоэлементов, диэлектрических фотонных кристаллов, а также для моде­
лирования дифракции электромагнитного излучения оптического диапазона на диэлек­
трических решетках, высокоапертурных дифракционных элементах сложной формы и
фотомасках для проекционной оптической литографии.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
1. Аналитические выражения компонент S-матриц бесконечно тонкого плоского под­
слоя голографической или профилированной дифракционной решетки;
2. Система алгебраических уравнений, описывающих дифракцию электромагнитных
волн светового диапазона на голографических и профилированных дифракционных
решетках, периодических в одном или двух направлениях, с произвольным контра­
стом и пространственным распределением диэлектрической проницаемости;
3. Точный численный метод расчета дифракции электромагнитных волн светового диа­
пазона на голографических и профилированных дифракционных решетках, периоди­
ческих в одном или двух направлениях, с произвольным контрастом и пространствен­
ным распределением диэлектрической проницаемости, вычислительная сложность и
требования к памяти которого линейно зависят от числа узлов расчетной сетки в
одномерном координатном и двумерном сопряженном пространствах;
4. Численный метод расчета оптических параметров ОСИД, состоящих из любого чис­
ла слоев, с помощью S-матриц, позволяющий получать спектральную и угловую мощ­
ность излучения ОСИД, а также рассчитывать потери в любой части многослойной
структуры ОСИД.
5. Увеличение внешней эффективности ОСИД на несколько процентов по абсолютной
величине за счет применения диэлектрического рассеивающего слоя, представляюще­
го собой однородную матрицу, содержащую сферические диэлектрические частицы
с диаметрами порядка нескольких сотен нанометров, контрастом показателя прелом­
ления ∼ 0.1 и концентрацией ∼ 0.1.
Апробация работы Диссертационная работа была выполнена частично в рамках
сотрудничества с фирмами Kodak и OSRAM Opto Semiconductors.
Основные результаты диссертации были представлены в виде 9-ти устных докладов
и 3-х постерных презентаций на следующих конференциях:
7
1. 49-я Научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и
прикладных наук», Долгопрудный, Россия, 24-25 ноября, 2006;
2. 9-th International Conference on Near-field Optics, Lausanne, Switzerland, 10-15 September
2006.
3. 50-я Научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и
прикладных наук», Долгопрудный, Россия, 23-27 ноября, 2007;
4. XIII International Conference «Laser Optics», St. Petersburg, Russia, 23-28 June, 2008;
5. Mie Theory 1908-2008. Present developments and interdisciplinary aspects of light scattering,
Martin Luther University, Halle, Germany, 15-17 September 2008.
6. XVII Internationa Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modeling,
Jena, Germany, 17-18 April, 2009;
7. Progress in Electromagnetic Research Symposium, Moscow, Russia, 18-21 August, 2009;
8. The 26𝑡ℎ Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetics, Tampere,
Finland, 26-29 April;
9. 18𝑡ℎ International Workshop on Optical Waveguide Theory and Numerical Modeling,
Cambridge, United Kingdom, 9-10 April, 2010;
10. Solid State and Organic Lightning, Karlsruhe, Germany, 21-24 June, 2010;
11. Days on Diffraction’11, St. Petersburg, Russia, 30 May - 3 June, 2011;
12. Electromagnetic and Light Scattering XIII, Taormina, Italy, 26 - 30 September, 2011;
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 14 печатных работах, из
них 5 статей в рецензируемых журналах, включая 4 из списка ВАК, и 9 статей в рецензи­
руемых сборниках трудов международных конференций.
Личный вклад автора Содержание диссертации и основные положения, выноси­
мые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подго­
товка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем
вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты по­
лучены лично автором.
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 3 глав, за­
ключения, библиографии и четырех приложений. Общий объем диссертации 107 страниц,
из них 88 страниц текста, включая 34 рисунка и 4 таблицы. Список литературы включает
177 источников.
Глава 1
Излучение, распространение и рассеяние света в
планарных структурах.
1.1. Распространение электромагнитных волн в однородных
плоско-слоистых структурах
Данная диссертационная работа посвящена расчету рассеяния и дифракции света
в пространственно неоднородных планарных диэлектрических структурах. В работе раз­
рабатывается новый численный метод, имеющий меньшую численную сложность и тре­
бования к объему вычислительной памяти по сравнению с известными аналогами для
определенного класса задач. Метод применяется для решения задачи моделирования оп­
тических свойств органических светоизлучающих диодов (ОСИД) с рассеивающими слоя­
ми. Рассматриваемую задачу естественно разделить на несколько подзадач, включающих
расчет распространения света в однородных планарных средах, моделирование плоских
электролюминесцентных источников, расчет дифракции и рассеяния в планарных про­
странственно неоднородных структурах. Для решения каждой из подзадач, равно как и
для общей задачи, ранее были предложены различные методы. Часть из них легла в осно­
ву предлагаемой в данной диссертации модели. Эти методы, а также подходы, наиболее
близкие к разработанным, будут рассмотрены в текущей обзорной главе.
В общем виде изучаемые планарные структуры можно представить как набор конеч­
ного числа 𝑁𝐿 смежных друг с другом плоских слоев различных материалов, причем слои
могут быть как однородными, так и неоднородными. Введем Декартову систему коорди­
нат, ось 𝑍 которой перпендикулярна плоскости слоев, и обозначим координаты границ
раздела слоев как 𝑧0 . . . 𝑧𝑁𝐿 (Рис. 1.1). Полубесконечные среды, граничащие со структу­
рой снизу и сверху относительно положительного направления оси 𝑍 будем далее назвать
подложкой и покрытием соответственно. Координаты их границ раздела со структурой
обозначим 𝑧𝐿 = 𝑧0 и 𝑧𝑈 = 𝑧𝑁𝐿 . Обозначим также толщины слоев как ℎ𝑘 = 𝑧𝑘+1 − 𝑧𝑘 , где
целое 𝑘 ∈ Z+ : 0 ≤ 𝑘 < 𝑁𝐿 .
Излучение, распространение и рассеяние электромагнитных волн в данной работе
рассматриваются в рамках классической электродинамики и описываются уравнениями
9
z
zN
a+c
L
zN
z1
z0
ac–
L
hN
-1
L
-1
εN
a+s
ε0
εs
h0
as–
εc
L
-1
y
Рис. 1.1. Схематическое изображение планарной многослойной структуры.
Максвелла:
𝜕B
,
𝜕𝑡
𝜕D
∇×H=J+
,
𝜕𝑡
∇×E=−
(1.1)
(1.2)
∇ · D = 𝜌𝑒 ,
(1.3)
∇ · B = 0.
(1.4)
Далее всюду будем предполагать, что поля и источники могут быть разложены на мо­
нохроматические временные гармоники с частотой 𝜔, которым соответствует временной
множитель exp(−𝑖𝜔𝑡). Считая, что плотность внешних зарядов равна 0, перепишем систе­
му (1.1)-(1.4) в виде двух уравнений для амплитуд временных гармоник:
∇ × E = 𝑖𝜔B,
(1.5)
∇ × H = J − 𝑖𝜔D.
(1.6)
Уравнения (1.5) и (1.6) должны быть дополнены материальными соотношениями между
векторами напряженности и индукции и условиями на границах разделов различных сред
[1]. Материальные соотношения запишем стандартным образом в виде матрично-вектор­
ного произведения для электрического поля и линейной связи для магнитного:
D = 𝜀ˆE,
(1.7)
B = 𝜇0 H.
Для записи граничных условий введем функции 𝜀𝑘 (r), 𝑘 ∈ Z+ : 𝑘 = 0 . . . 𝑁𝐿−1 , 𝑧𝑘 < 𝑧 <
𝑧𝑘+1 , где r = (𝑥, 𝑦, 𝑧) — вектор во введенной системе координат, описывающие диэлектриче­
скую проницаемость 𝑘-го слоя рассматриваемой планарной структуры (Рис. 1.1), а также
10
константы 𝜀𝑠 и 𝜀𝑐 , соответствующие диэлектрическим проницаемостям подложки и по­
крытия. При этом композитные слои, состоящие из различных материалов, описываются
разрывными функциями 𝜀𝑘 (r). Поэтому стандартные граничные условия непрерывности
тангенциальных компонент векторов E и H и нормальных компонент векторов D и B
должны быть поставлены как на плоскостях 𝑧 = 𝑧𝑘 , 𝑘 = 0 . . . 𝑁𝐿 , так и на поверхностях
разрыва функций 𝜀𝑘 (r).
Уравнения Максвелла (1.5), (1.6) содержат плотность внешних источников J. Выде­
лим два типа источников, которые будут рассматриваться в дальнейшем. Первый — это
бесконечно удаленные источники, излучение которых падает на изучаемую структуру в
виде плоских монохроматических волн, характеризуемых проекциями волнового вектора
𝑘𝑥 и 𝑘𝑦 на оси 𝑋 и 𝑌 :
E𝑖𝑛𝑐 (r) = E𝑖𝑛𝑐 exp(𝑖𝑘𝑥 𝑥 + 𝑖𝑘𝑦 𝑦 ± 𝑖𝑘𝑧 𝑧),
(1.8)
где
𝑘𝑧 =
√︁
𝜔 2 𝜇0 𝜀 − 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑦2 .
(1.9)
Далее будем обозначать волновой вектор плоской волны как k± = (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , ±𝑘𝑧 ). Знак “+”
здесь и в (1.8) характеризует волны, распространяющиеся в положительном направлении
относительно оси 𝑍, а знак “–” — в отрицательном (более точное определение дано в
Приложении А).
Второй тип источников — дипольные источники, находящиеся внутри структуры или
в ее окрестности в ближней зоне излучения. Классический точечный монохроматический
диполь, расположенный в точке r0 = (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0 ), можно описать с помощью плотности
дипольного момента
p(r, 𝑡) = p0 𝛿(𝑥 − 𝑥0 )𝛿(𝑦 − 𝑦0 )𝛿(𝑧 − 𝑧0 ) exp(−𝑖𝜔𝑡).
(1.10)
Если представить электрическое и магнитное поле в виде разложения по плоским волнам
∞
Z ∞
Z
1
f (r, 𝑡) =
f (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝑡)𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 ,
(1.11)
(2𝜋𝑘0 )2
−∞ −∞
√
где вектор f обозначает одно из полей E или H, а множитель 𝑘0 = 𝜔 𝜇0 введен для со­
хранения размерности, то поля, излучаемые диполем (1.10), записанные в базисе плоских
волн, примут вид (см., например, [2])
]︀]︀
(︀
)︀
𝑘02 [︀ ± [︀ ±
k × k × p0 exp 𝑖k± r − 𝑖𝜔𝑡 ,
2𝑖𝜀𝑚 𝑘𝑧
]︀
(︀
)︀
𝑖𝜔𝑘 2 [︀ ±
Hp (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝑡) =
k × p0 exp 𝑖k± r − 𝑖𝜔𝑡 .
2𝑘𝑧
Ep (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝑡) =
(1.12)
11
Здесь 𝜀𝑚 обозначает диэлектрическую проницаемость однородной изотропной среды, в ко­
торой находится дипольный источник. В ряде работ по изучению люминесценции молекул
вблизи плоских границ разделов сред двумерное преобразование Фурье (1.11) заменяется
√︀
на преобразование Фурье-Бесселя по переменной 𝑘𝜌 = 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 . Соответствующие выра­
жения для компонент поля диполя можно найти, например, в [3–5].
Изучение оптических поляризационных свойств планарных структур удобно произ­
водить с помощью разложения векторов полей на две независимые поляризации, ТЕ и
ТМ, по отношению к направлению, заданному осью 𝑍, которя перпендикулярна плос­
кости структуры. При этом, для ТЕ поляризации вектор электрического поля E волны
перпендикулярен плоскости падения волны, а для ТМ поляризации к плоскости падения
перпендикулярным является вектор магнитного поля H. Формулы перехода между ампли­
тудами 𝑎𝑒± и 𝑎ℎ± ТЕ и ТМ поляризаций (знак “±” имеет то же значение, что и выше) и
проекциями амплитуд полей на оси координат в виде матрично-векторных соотношений,
которые будут использованы в дальнейшем изложении, даны в приложении А.
В простейшем случае все слои структуры, как и полупространства, граничащие с ней
с обеих сторон, являются однородными и изотропными. Если толщина структуры равна
нулю, задача вырождается в плоскую границу раздела между двумя средами, на которой
отражение и преломление плоских волн описывается коэффициентами Френеля [1]. Если
структура состоит из нескольких слоев различной толщины, для нее также можно выпи­
сать коэффициенты прохождения и отражения плоских гармоник в явном аналитическом
виде (например, [6]). В общем случае наличия произвольного числа слоев можно выде­
лить два подхода численного расчета электромагнитного поля во всем пространстве — с
помощью S- [7] и Т-матриц [1, 8].
Для определения S- и Т-матриц используем введенные выше обозначения. Рассмот­
рим плоские волны, распространяющиеся в подложке и покрытии. Обозначим их ампли­
±
туды как 𝑎±
𝑠 и 𝑎𝑐 соответственно (Рис. 1.1). Тогда T-матрица определяется как матрица
перехода от амплитуд волн, распространяющихся в подложке, к амплитудам волн, рас­
пространяющихся в покрытии (или наоборот):
⎛ ⎞ ⎛
⎞⎛ ⎞
+
𝑎
𝑇
𝑇
𝑎+
⎝ 𝑐 ⎠ = ⎝ 00 01 ⎠ ⎝ 𝑠 ⎠ .
𝑎−
𝑇10 𝑇11
𝑎−
𝑐
𝑠
(1.13)
S-матрицы связывает волны, падающие на структуру с волнами, распространяющимися
12
от нее:
⎛
⎝
𝑎−
𝑠
𝑎+
𝑐
⎞
⎛
⎠=⎝
𝑆00 𝑆01
𝑆10 𝑆11
⎞⎛
𝑎+
𝑠
⎠⎝
𝑎−
𝑐
⎞
⎠,
(1.14)
и соответствует определению оператора рассеяния в квантовой механике [9], который свя­
зывает начальное и конечное состояния рассматриваемой системы. Т-матрицы являются
удобным инструментом для аналитического описания свойств слоистых структур (напри­
мер, [10, 11]), поскольку правило их умножения, позволяющее находить Т-матрицу состав­
ной структуры из Т-матриц отдельных слоев, совпадает с обычным матричным умножени­
ем. Однако, в численных расчетах использование Т-матриц оказывается нежелательным,
поскольку приводит к экспоненциальному накоплению ошибок при расчете распростра­
нения затухающих гармоник [12]. В противоположность этому вычисления с помощью
S-матриц являются численно устойчивыми, но за данное преимущество приходится пла­
тить сложностью их умножения. Ввиду того, что основой данной работы является именно
численный метод, ниже будут рассматриваться и использоваться исключительно S-матри­
цы.
Аналитические выражения для компонент S-матриц имеют наиболее простой вид для
границы раздела двух сред и плоского слоя однородной среды. Если две смежные среды с
диэлектрическими проницаемостями 𝜀𝐿 и 𝜀𝑈 имеют плоскую границу раздела (Рис. 1.2а),
то явный вид S-матрицы определяется коэффициентами Френеля [1]:
⎛ 𝐿
⎞
2𝑘𝑧𝑈
𝑘𝑧 − 𝑘𝑧𝑈
⎜ 𝑘𝐿 + 𝑘𝑈 𝑘𝐿 + 𝑘𝑈 ⎟
𝑧
𝑧
𝑧
𝑧 ⎟
𝑆𝐼𝑇 𝐸 = ⎜
⎝ 2𝑘𝑧𝐿
𝑘𝑧𝑈 − 𝑘𝑧𝐿 ⎠
𝑘𝑧𝐿 + 𝑘𝑧𝑈 𝑘𝑧𝐿 + 𝑘𝑧𝑈
(1.15)
для ТЕ-поляризованных волн и
𝜀𝑈 𝑘𝑧𝐿 − 𝜀𝐿 𝑘𝑧𝑈
⎜ 𝜀𝑈 𝑘 𝐿 + 𝜀𝐿 𝑘 𝑈
𝑧
𝑧
=⎜
⎝
2𝜀𝑈 𝑘𝑧𝐿
𝜀𝑈 𝑘𝑧𝐿 + 𝜀𝐿 𝑘𝑧𝑈
⎛
𝑆𝐼𝑇 𝑀
⎞
2𝜀𝐿 𝑘𝑧𝑈
𝜀𝑈 𝑘𝑧𝐿 + 𝜀𝐿 𝑘𝑧𝑈 ⎟
⎟
𝜀𝐿 𝑘𝑧𝑈 − 𝜀𝑈 𝑘𝑧𝐿 ⎠
𝜀𝑈 𝑘𝑧𝐿 + 𝜀𝐿 𝑘𝑧𝑈
(1.16)
для ТМ-поляризованных волн. Для плоского однородного слоя толщиной ℎ (Рис. 1.2б)
независимо от поляризации имеем,
⎛
𝑆𝐿 = ⎝
0
exp(𝑖𝑘𝑧 ℎ)
exp(𝑖𝑘𝑧 ℎ)
0
⎞
⎠.
(1.17)
S-матрицу удобно также определить не для одной плоской гармоники, а для набора гар­
моник, так что ее размер становиться не 2 × 2, а 2𝑁𝑂 × 2𝑁𝑂 , где 𝑁𝑂 — рассматриваемое
13
число гармоник. В случае структуры из однородных плоских слоев такая матрица содер­
жит четыре диагональных подматрицы размера 𝑁𝑂 × 𝑁𝑂 , так как при распространении,
отражении и преломлении в такой структуре проекция волнового вектора плоской волны
√︀
на плоскость 𝑋𝑌 𝛾 = 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 остается постоянной.
z
z
z
aU±
aU±
εU
aU±
εL
a
SU
SL
ε
L±
aL±
а)
б)
aL±
в)
Рис. 1.2. К определению S-матрицы границы раздела двух сред a), S-матрицы однородного слоя
б) и S-матрицы двухкомпонентной структуры в)
Далее рассмотрим структуру, состоящую из двух частей, S-матрицы которых обозна­
чим как 𝑆 𝐿 и 𝑆 𝑈 (см. Рис. 1.2в). Тогда компоненты S-матрицы всей структуры связаны с
компонентами матриц частей как (правило умножения S-матриц)
(︀
)︀
𝐿
𝐿 𝑈
𝑈 𝐿 −1 𝐿
𝑆00 = 𝑆00
+ 𝑆01
𝑆00 1 − 𝑆00
𝑆11
𝑆10 ,
(︀
)︀
𝐿
𝑈 𝐿 −1 𝑈
𝑆01 = 𝑆01
1 − 𝑆00
𝑆11
𝑆01 ,
(︀
)︀
𝑈
𝑈 𝐿 −1 𝑈
𝑆10 = 𝑆10
1 − 𝑆00
𝑆11
𝑆10 ,
(︀
)︀
𝐿
𝑈 𝐿
𝑈 𝐿 −1 𝑈
𝑆11 = 𝑆11
+ 𝑆10
𝑆11 1 − 𝑆00
𝑆11
𝑆01 .
(1.18)
Если 𝑆 𝐿 и 𝑆 𝑈 записаны для набора гармоник, то в уравнениях (1.18) умножения стано­
вятся матричными, деление — умножением на обратную матрицу, а единица заменяется
на единичную матрицу размера 𝑁𝑂 × 𝑁𝑂 . При этом все операции в (1.18) записаны таким
образом, что при переходе к матрицам их порядок остается корректным.
Использование приведенных выражений для S-матриц позволяет рассчитывать про­
хождение и отражение волн от бесконечно удаленных источников на планарной структуре
с однородными слоями. Чтобы смоделировать источники, находящиеся внутри структуры
или вблизи нее, разложим поле излучения диполя (1.12) на ТЕ и ТМ поляризованные
14
волны [2]:
𝑖𝜔 2 𝜇0 𝑘02
(𝑘𝑦 𝑝0𝑥 − 𝑘𝑥 𝑝0𝑦 ) ,
8𝜋 2 𝛾𝑘𝑧
)︀
𝑖𝜔 2 𝑘 2 (︀
= 2 0 ∓𝑘𝑥 𝑘𝑧 𝑝0𝑥 ∓ 𝑘𝑦 𝑘𝑧 𝑝0𝑦 + 𝛾 2 𝑝0𝑧 ,
8𝜋 𝛾𝑘𝑧
𝑎𝑒±
𝑑 =
𝑎ℎ±
𝑑
где 𝛾 =
(1.19)
√︀ 2
𝑘𝑥 + 𝑘𝑦2 . Выражения, аналогичные (1.19), наряду с техникой T-матриц использо­
вались в ряде работ по изучению времени жизни флуоресцентных молекул, расположен­
ных вблизи плоских границ разделов сред и многослойных структур [2, 3, 13–17]. Ана­
логичные исследования проводились и с помощью разложения полей по цилиндрическим
гармоникам [4, 18–20]. Кроме того, можно отметить работы, где развивались аналитиче­
ские методы, основанные функции Грина многослойной структуры [21–25], которые, одна­
ко, представляют главным образом академический интерес. С практической точки зрения
эти методы либо позволяют получить лишь ряд оценочных результатов, либо сводятся к
вычислениям T-матриц.
1.2. Дифракция и рассеяние в плоских слоях
Следующей подзадачей, которую необходимо решить для построения модели распро­
странения и рассеяния света в планарных структурах является расчет S-матриц (или их
частей) неоднородного плоского слоя. Как было показано, S-матрицы однородных слоев и
границ разделов различных сред имеют весьма простой вид (1.15)-(1.17). Однако, при пе­
реходе к сложным пространственно неоднородным средам, получение полной S-матрицы
в явном аналитическом виде в большинстве случаев оказывается невозможно. Поэтому ее
элементы необходимо рассчитывать численно. Сейчас существует ряд точных методов чис­
ленного решения уравнений Максвелла, принципиально позволяющих производить такой
расчет. Эти методы можно классифицировать на конечно-разностные, конечно-элемент­
ные, методы интегральных уравнений, модальные и гибридные.
Конечно разностные методы — весьма широкий класс методов решения дифферен­
циальных уравнений. Идея метода заключается в замене производных в некотором диф­
ференциальном уравнении 𝐿𝑓 = 𝑢 конечными разностями на узлах некоторой сетки 𝐺,
заданной в области 𝑥 ∈ 𝐷, где требуется найти решение 𝑓 (𝑥) ∈ 𝑆. Это исходное уравнение
заменяется разностной схемой 𝐿𝑔 𝑓𝑔 (𝑥) = 𝑢𝑔 , а решение ищется в пространстве сеточных
функций 𝑆𝑔 . Главными свойствами разностной схемы являются сходимость, аппроксима­
ция и устойчивость [26]. Сходимость подразумевает, что уменьшение шага сетки приводит
15
к уменьшению отличия полученного сеточного решения от спроецированного на сетку точ­
ного решения 𝐹𝑔 , пропорционально некоторой натуральной степени 𝑘 (порядку сходимо­
сти) шага сетки 𝜏 :
‖𝑓𝑔 − 𝐹𝑔 ‖ ≤ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 · 𝜏 𝑘 .
Аппроксимация показывает, с какой точностью (по порядку шага сетки) выполняется се­
точное уравнение, если в него подставить точное решение (уменьшение нормы невязки
при уменьшении шага сетки):
‖𝐿𝑔 𝐹𝑔 − 𝑢𝑔 ‖ ≤ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 · 𝜏 𝑘 .
Устойчивость означает, что малые возмущения начальных данных в разностном уравне­
нии приводят к равномерно малому по шагу сетки изменению решения:
𝑧 ∈ 𝑆𝑔 , 𝐿𝑔 𝜙𝑔 = 0, 𝐿𝑔 𝜓𝑔 = 𝑧 ⇒ ‖𝜙𝑔 − 𝜓𝑔 ‖ ≤ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 · ‖𝑧‖.
Одна из наиболее популярных разностных схем, многократно примененная для мо­
делирования оптических рассеивающих и дифракционных свойств различных структур с
характерными размерами порядка длины волны, была предложена в работе [27] (статья
цитируется более 7 тысяч раз). Схема обладает вторым порядком аппроксимации по вре­
мени и пространству. Программы, основанные на ней применялись, например, для моде­
лирования дифракционных оптических элементов [28, 29], фотонных кристаллов [30–32],
рассеяния в света непериодических средах [33, 34]. Упомянутая схема, как и большинство
других схем конечно-разностного методов [35], основана на кубической (или квадратной
в двух измерениях) решетке. В задачах со сложной геометрией естественно использовать
неравномерные сетки, учитывая специфику пространственного распределения материа­
лов и электромагнитного поля. Для конечно-разностного метода были предложены схемы
с неравномерными решетками, однако они значительно усложняют формулировку мето­
да [36]. Для задач со сложными искривленными границами разделов сред в этом смысле
более подходит метод конечных элементов. Благодаря этому преимуществу последний при­
меняется для задач расчета рассеяния и дифракции электромагнитных волн значительно
шире, чем метод конечных разностей.
В задачах точного решения уравнений Максвелла для расчета рассеяния и дифрак­
ции с помощью метода конечных разностей получается сильно разреженная система ли­
нейных алгебраических уравнений. Если обозначить ее размерность как 𝑁 , то сложность
16
метода при использовании стандартных итеративных алгоритмов [37] есть 𝑂(𝑁 2 ). Од­
нако, разреженность матрицы, как правило, позволяет производить умножение быстрее
[35]. При этом к недостаткам метода можно отнести необходимость выбирать расчетную
область в несколько раз большую по размерам, чем рассеивающий объект, что приводит
к значительному увеличению числа точек расчетной сетки, и, следовательно, затратам
компьютерной памяти. Поэтому, изучение сложных трехмерных объектов методом конеч­
ных разностей возможно только при использовании мощных вычислительных комплексов
с большим объемом оперативной памяти.
Метод конечных разностей получил широкое распространение в задачах решения
уравнений Максвелла и многих других систем дифференциальных уравнений, отчасти
благодаря своей универсальности. Однако, как было отмечено выше, в нем возникает
ряд трудностей при решении задач с граничными условиями, заданными на сложных по­
верхностях. От этого недостатка свободен метод конечных элементов, сохраняя свойство
универсальности. Метод конечных элементов (другой вариант названия, принятый в элек­
тродинамике, — метод моментов) решения системы дифференциальных уравнений 𝐿𝑓 = 𝑢
заключается в нахождении разложения искомого решения 𝑓 (𝑥) по некоторой полной си­
стеме ортогональных функций. Если обозначить приближение искомого решения как 𝑓˜(𝑥)
то такое разложение можно записать как
𝑓˜(𝑥) = 𝜓0 +
∑︁
𝑐𝑛 𝜓𝑛 (𝑥).
𝑛
Для нахождения коэффициентов 𝑐𝑛 используется либо вариационный принцип, либо усло­
вие минимизации энергии. В вариационном принципе требуется найти такую функцию
ˆ что (𝑓˜′ , 𝑔 ′ ) = (𝑢, 𝑔) для любого 𝑔 ∈ 𝑆.
ˆ В условии минимизации требуется найти 𝑓˜
𝑓˜ ∈ 𝑆,
ищется из условия минимума функционала 𝐸(𝑔) = 21 (𝑔 ′ , 𝑔 ′ ) − (𝑢, 𝑔): 𝑓˜ ∈ 𝑆, 𝐸(𝑓˜) ≤ 𝐸(𝑔)
ˆ На основании этих формулировок получаются разреженные системы ли­
для любого 𝑔 ∈ 𝑆.
нейных уравнений, для решения которых используются итеративные методы (вследствие
большой размерности систем) [38]. Основная проблема метода конечных элементов при
расчете сложных трехмерных рассеивающих структур та же, что и у метода конечных
разностей — слишком высокие требования к памяти, и, как следствие, длительный расчет
таких больших массивов данных.
Для расчета рассеивающих сред со сложной геометрией применяются также методы
объемного и поверхностного интегральных уравнений [39]. Если рассмотреть некоторый
рассеивающий объем 𝑉 , то объемное интегральное уравнение в трехмерном координатном
17
пространстве можно записать в виде [40]
Z
2
∆𝜀(r′ )G𝑚 (r, r′ )E𝑠𝑐𝑎 (r′ ),
E𝑠𝑐𝑎 (r) = E𝑖𝑛𝑐 (r) + 𝑑r′ 𝑘𝑚
(1.20)
𝑉
где ∆𝜀 — отличие диэлектрической проницаемости рассеивателя от диэлектрической про­
√
ницаемости среды 𝜀𝑚 , в которой он находится, 𝑘𝑚 = 𝜔 𝜀𝑚 𝜇0 , а G𝑚 (r, r′ ) — тензорная
функция Грина свободного пространства [41]. Путем разбиения объема 𝑉 на малые про­
странственные ячейки, уравнение (1.20) сводится к системе уравнений на компоненты
поля в каждой ячейке. Сходная система получается и в популярном методе дискретных
диполей [42]. Решение получаемых систем может быть получено с помощью быстрых ал­
горитмов, имеющих линейную сложность по числу пространственных ячеек [42]. Однако,
получение достаточно точных результатов требует весьма мелкого разбиения рассеиваю­
щего объема (шаг порядка 10 нм для оптических длин волн [43]), что делает существенно
затруднительным изучение высокоапертурных структур. Другой интегральный метод —
метод поверхностных интегральных уравнений (метод нулевого поля) — основан на запи­
си уравнений Максвелла в интегральной форме по поверхности рассеивающих объектов
и последующем разложении полей по сферическим гармоникам. Основным применением
этого метода является нахождение Т-матриц несферических объектов для последующего
использования в методе Т-матриц [44] (отметим, что определение Т-матрицы в теории рас­
сеяния света отличается от (1.13), и, по сути, представляет собой компоненту 𝑆11 матрицы
(1.14)).
Методы конечных разностей и конечных элементов, как правило, применяются в
тех случаях, когда отсутствует альтернатива выбора метода. Как показывает практика,
более узко специализированные подходы, учитывающие специфику соответствующих за­
дач, оказываются намного более предпочтительными. Наиболее эффективными среди всех
методов являются модальные. К ним относятся, например, решение Ми [45, 46], описыва­
ющее рассеяние плоской волны на сфере, метод Т-матриц расчета рассеяния [44, 47–49],
и модальный метод расчета дифракции на одномерных и двумерных дифракционных ре­
шетках [50–55]. В задачах, где есть возможность аналитического представления полей
мод, как, например, в методе Т-матриц для сферических частиц, или модальном мето­
де для прямоугольных решеток, модальные методы обладают точностью результатов и
сходимостью, намного превосходящими остальные методы. Однако, такие аналитические
представления существенно суживают круг применений модальных методов.
18
Намного более широкими возможностями обладает модальный метод, реализован­
ный в Фурье-пространстве [56, 57] (ФММ). Он является одним из подходов, которые можно
отнести к Фурье-методам [50]. Эти методы широко распространены в расчетах планарных
структур в задачах дифракционной и интегральной оптики. Поскольку предлагаемый в
данной работе метод также оперирует в сопряженном плоскости 𝑋𝑌 Фурье-пространстве,
остановимся на этих методах подробнее. Изначально Фурье-методы разрабатывались для
решения задач дифракции света на решетках, поэтому опишем их с этой точки зрения.
Рассмотрим периодически структурированный плоский слой (Рис. 1.3 изображает в
качестве примера профиль границы раздела сред двумерной синусоидальной дифракцион­
ной решетки). Структурирование естественным образом описывается как периодическое
изменение диэлектрической и магнитной проницаемостей среды слоя в одном (одномер­
ные решетки) или двух (двумерные решетки) неколлинеарных направлениях, лежащих в
плоскости 𝑋𝑌 . Обозначим как Λ1,2 периоды решетки, а 𝑘ˆ1,2 — единичные вектора в на­
правлениях периодичности. Тогда материальные константы слоя с решеткой можно рас­
сматривать как пространственно неоднородные периодические функции координат:
𝜀(r) = 𝜀(r + 𝑚1 Λ1 𝑘ˆ1 + 𝑚2 Λ2 𝑘ˆ2 ),
𝜇(r) = 𝜇(r + 𝑚1 Λ1 𝑘ˆ1 + 𝑚2 Λ2 𝑘ˆ2 ),
(1.21)
где 𝑚1,2 — целые числа.
Представим поля в области слоя с решеткой в виде разложений по пространственным
гармоникам:
f (r) =
∞
∑︁
∞
∑︁
f𝑛1 𝑛2 (𝑧) exp(𝑖𝑛1 K1 𝜌 + 𝑖𝑛2 K2 𝜌),
(1.22)
𝑛1 =−∞ 𝑛2 =−∞
где 𝜌 = (𝑥, 𝑦) — радиус-вектор в плоскости слоя, K1,2 = 𝑘ˆ1,2 𝐾1,2 , 𝐾1,2 = 2𝜋/Λ1,2 , а f , как и
выше, обозначает электрическое или магнитное поле. Индексы 𝑛1,2 нумеруют дифракци­
онные порядки. Обратное к (1.22) преобразование имеет вид
1
f𝑛1 𝑛2 (𝑧) =
Λ1 Λ2
Λ
Z1 ΛZ2
exp(−𝑖𝑛1 𝐾1 𝜉1 − 𝑖𝑛2 𝑘2 𝜉2 )f (𝜉1 , 𝜉2 , 𝑧)𝑑𝜉1 𝑑𝜉2 .
(1.23)
0 0
Здесь 𝜉1,2 — координаты в системе, оси Ξ1,2 которой определяются направлениями векто­
ров K1,2 , а третья ось совпадает с 𝑍. Преобразования (1.22) и (1.23) позволяют переписать
уравнения Максвелла (1.5) и (1.6) в виде бесконечной системы линейных дифференциаль­
19
Рис. 1.3. Пример профиля, разделяющего различные материалы, двумерной синусоидальной
плоской дифракционной решетки и введенные обозначения.
ных уравнений с функциями, зависящими от координаты 𝑧:
(︀ 𝑥
)︀
𝑘𝑛𝑥 ,𝑛 ∑︁
𝑑𝐸𝑛𝑥1 𝑛2
𝑦
𝑦
𝑥
= 𝑖𝜔𝜇0 𝐻𝑛𝑦1 𝑛2 − 1 2
𝜀(𝑛1 −𝑚1 )(𝑛2 −𝑚2 ) 𝑘𝑚
𝐻
−
𝑘
𝐻
,
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
1 2
1 2
1 2
1 2
𝑑𝑧
𝜔 𝑚 ,𝑚
1
𝑑𝐸𝑛𝑦1 𝑛2
𝑑𝑧
𝑑𝐻𝑛𝑥1 𝑛2
𝑑𝑧
𝑑𝐻𝑛𝑦1 𝑛2
𝑑𝑧
= −𝑖𝜔𝜇0 𝐻𝑛𝑥1 𝑛2 −
= −𝑖𝜔
∑︁
𝑘𝑛𝑦 1 ,𝑛2
𝜔
2
∑︁
(︀ 𝑥
)︀
𝑦
𝑦
𝑥
𝜀(𝑛1 −𝑚1 )(𝑛2 −𝑚2 ) 𝑘𝑚
𝐻𝑚
− 𝑘𝑚
𝐻𝑚
,
1 𝑚2
1 𝑚2
1 𝑚2
1 𝑚2
𝑚1 ,𝑚2
𝑦
𝜀(𝑛1 −𝑚1 )(𝑛2 −𝑚2 ) 𝐸𝑚
1 𝑚2
𝑚1 ,𝑚2
= 𝑖𝜔
∑︁
𝑦
𝜀(𝑛1 −𝑚1 )(𝑛2 −𝑚2 ) 𝐸𝑚
+
1 𝑚2
𝑚1 ,𝑚2
)︀
𝑘𝑛𝑥 ,𝑛 (︀
+ 1 2 𝑘𝑛𝑥1 𝑛2 𝐸𝑛𝑦1 𝑛2 − 𝑘𝑛𝑦 1 𝑛2 𝐸𝑛𝑥1 𝑛2 ,
𝜔𝜇0
(1.24)
)︀
𝑘𝑛𝑥1 ,𝑛2 (︀ 𝑥
𝑘𝑛1 𝑛2 𝐸𝑛𝑦1 𝑛2 − 𝑘𝑛𝑦 1 𝑛2 𝐸𝑛𝑥1 𝑛2 .
𝜔𝜇0
Здесь кроме Фурье-образов диэлектрической проницаемости 𝜀𝑛1 𝑛2 , определенных согласно
(1.23), появляются также Фурье-образы обратной проницаемости:
1
𝜀𝑛1 𝑛2 (𝑧) =
Λ1 Λ2
Λ
Z1 ΛZ2
1
exp(−𝑖𝑛1 𝐾1 𝜉1 − 𝑖𝑛2 𝑘2 𝜉2 )𝑑𝜉1 𝑑𝜉2 .
𝜀(𝜉1 , 𝜉2 , 𝑧)
(1.25)
0 0
Проекции волновых векторов различных дифракционных порядков 𝑘𝑛𝛼1 𝑛2 , 𝛼 = 𝑥, 𝑦, также
введенные в (1.23), определяются с помощью выражений
𝑘𝑛𝛼1 𝑛2 = 𝑘𝛼𝑖𝑛𝑐 + 𝑛1 𝐾1𝛼 + 𝑛2 𝐾2𝛼 , 𝛼 = 𝑥, 𝑦,
(1.26)
20
в которых 𝑘𝛼𝑖𝑛𝑐 — проекции волнового вектора падающей на решетку плоской волны (1.8).
Перепишем систему дифференциальных уравнений (1.23) в матричной форме
F′ (𝑧) = ℋF,
(1.27)
где вектор F = (𝐸𝑥 , 𝐸𝑦 , 𝐻𝑥 , 𝐻𝑦 ) составлен из всех гармоник компонент полей. Фурье­
модальный метод, основы которого были заложены в работах [56–58], сводится к поиску
собственных решений (1.27), или, другими словами, поиску мод в Фурье-пространстве.
Сначала необходимо разбить слой с решеткой по координате 𝑧 на тонкие подслои, в каж­
дом из которых зависимостью 𝜀 от координаты 𝑧 можно пренебречь (эта процедура в
англоязычной литературе получила название "slicing approximation"). Затем, константы
распространения Фурье-мод 𝛽𝑛1 𝑛2 в каждом подслое ищутся из уравнения
ℋF = ±𝛽F.
(1.28)
Для его численного решения необходимо обрезать матрицу ℋ по дифракционным поряд­
кам, выбрав максимальные значения max |𝑛1,2 | = 𝑁𝑂1,2 . Тогда (1.28) сводится к задаче
на нахождение собственных значений конечной матрицы ℋ𝑁𝑂1 𝑁𝑂2 . Вычислительная слож­
3
3
) [37], так что и сложность всего метода оказывается той
𝑁𝑂2
ность этой задачи есть 𝑂(𝑁𝑂1
же.
В дифференциальном методе для системы линейных дифференциальных уравнений
первого порядка (1.27) с заданными граничными условиями строится разностная схема
по оси 𝑍. Было предложено множество способов построения дифференциального метода,
примеры можно найти в [50, 59]. Отметим, что метод не получил широкого распростране­
ния и до недавнего времени развивался, главным образом, авторами [60].
Фурье-методы в том виде, как они описаны выше, хорошо работают только для рас­
чета голографических решеток с гладкими функциями (1.21). В работах [61, 62] было
продемонстрировано, что существовавшая до того времени проблема сходимости ФММ с
изменением числа дифракционных порядков при расчетах дифракции ТМ-поляризован­
ных волн на одномерных профилированных решетках, связана с некорректным переходом
от (1.27) к конечной системе уравнений. Суть проблемы состояла в том, переход к Фурье­
представлению произведения разрывных функций, которые имеют совпадающие точки
разрыва, является математически некорректным и в численных расчетах приводит к пло­
хой сходимости. Попытка математического обоснования этой проблемы была дана в [63],
21
однако, возможно привести более простое объяснение тем, что произведение соответству­
ющих обобщенных функций не может быть определено [64–66].
Работы [61, 62] значительно стимулировали развитие и применение Фурье-методов
[67, 68], в частности, развитие методов расчета дифракции на сложных двумерных решет­
ках [69–74]. Поскольку решение упомянутой проблемы сходимости состоит в разделении
нормальных и тангенциальных компонент поля на границах разделов разных материалов
(математическая формулировка решения будет приведена в следующей главе), двумер­
ная формулировка Фурье методов требует решения дополнительной задачи о задании
нормальных векторов к поверхности профилированной решетки. В работах [72–74] эта
задача сводится к генерации двумерного векторного поля в каждом подслое слоя с решет­
кой, в котором направления векторов совпадают с направлением нормалей на требуемой
кривой, получаемой пересечением профиля решетки плоскостью подслоя. В следующей
главе будет показано, что это решение не является единственно возможным, и для пред­
лагаемого в данной работе метода будет применен другой подход.
Фурье методы широко применяются для расчетов свойств дифракционных оптиче­
ских элементов и двумерных фотонных кристаллов (например, [75–78]), которые являются
периодическими или квазипериодическими структурами. Однако, последнее время появи­
лись работы, в которых предприняты попытки применения ФММ для расчета непериоди­
ческих структур [79–81]. В них рассматривались одномерные дифракционные решетки, в
которых на границах периодов был искусственно введен поглощающий идеально сочета­
ющийся слой (ИСС, англ. — Perfectly Matched Layer, PML) [82, 83]. Благодаря наличию
ИСС исключалось перерассеяние волн на отдельных периодах решетки, так что удавалось
получать решение, приближенно описывающее рассеяние на уединенном объекте. Метод,
разработанный в данной диссертации, сформулирован таким образом, чтобы в него также
можно было непосредственно включить слои ИСС, однако, для моделирования рассеяния
в третьей главе будет применен более простой подход.
1.3. Метод обобщенных источников
После краткого описания методов, потенциально применимых для решения постав­
ленных в начале данной главы задач, и выделения ряда результатов, имеющих прямое
отношение к разрабатываемому методу, перейдем к описанию общего подхода, который
лег в основу диссертационной работы. Этот подход описан в работах [84, 85], где назван
22
методом обобщенных источников (МОИ, или на англ., Generalized Source Method, GSM).
МОИ представляет собой общий подход, позволяющий эффективно решать задачи о рас­
пространении монохроматических электромагнитных волн в неоднородных средах. Метод
можно представить в виде двух последовательных шагов. На первом этапе выбирается
базисная среда, характеризуемая некоторой функцией 𝜀𝑏 (r) (и, возможно, 𝜇𝑏 (r)), для ко­
торой известно базисное решение в аналитическом виде для любого распределения токов.
Второй шаг состоит в подстановке отличия проницаемости между исходной рассеиваю­
щей средой и базисной в качестве обобщенных токов, и получение неявного уравнения.
Рассмотрим более подробно формализм метода.
Распространение волн описывается уравнениями Максвелла (1.5), (1.6), первое из ко­
торых перепишем в более общем виде для случая неоднородный магнитной проницаемости
𝜇(r) и наличия магнитных токов F(r):
∇ × E = 𝑖𝜔𝜇H + F.
(1.29)
Уравнения (1.29) и (1.5) сводятся к волновым уравнениям
∇×
1
1
∇ × E − 𝜔 2 𝜀E = 𝑖𝜔𝜀J + ∇ × F,
𝜇
𝜇
1
1
∇ × ∇ × H − 𝜔 2 𝜇H = −𝑖𝜔𝜇F + ∇ × J.
𝜀
𝜀
(1.30)
(1.31)
Точные аналитические решения (1.30) и (1.31) для любых заданных источников J и F
известны лишь для весьма ограниченного круга задач. Метод обобщенных источников
заключается в использовании этих точных решений для построения неявных уравнений,
позволяющих численно решать широкие классы задач. Выберем одно из точных реше­
ний системы (1.30), (1.31) с соответствующими граничными условиями и назовем его ба­
зисным. Это решение представим в виде функционального соотношения, связывающего
неизвестные поля с заданными токами:
E = ℵ𝑏𝐸 (J, F),
(1.32)
H = ℵ𝑏𝐻 (J, F).
Как было указано, соответствующее решению (1.32) пространственные распределения про­
ницаемостей 𝜀𝑏 (r), 𝜇𝑏 (r) также будем называть базисными. Тогда диэлектрическую и маг­
нитную проницаемости среды, для которой требуется найти решение задачи рассеяния
или дифракции света можно представить в виде суммы выбранной базисной функции и
23
некоторой, в общем случае произвольной, добавки:
𝜀(r) = 𝜀𝑏 (r) + ∆𝜀(r),
(1.33)
𝜇(r) = 𝜇𝑏 (r) + ∆𝜇(r).
Это представление дает возможность ввести в уравнения (1.30) и (1.31) обобщенные токи
J𝑔𝑒𝑛 и F𝑔𝑒𝑛 , которые порождаются разностью проницаемостей ∆𝜀(r) и ∆𝜇(r):
J𝑔𝑒𝑛 = −𝑖𝜔∆𝜀E,
(1.34)
F𝑔𝑒𝑛 = 𝑖𝜔∆𝜇H,
(1.35)
так что соотношения (1.32) можно переписать как
E = ℵ𝑏𝐸 (J𝑟 + J𝑔𝑒𝑛 , F𝑟 + F𝑔𝑒𝑛 ) = E𝑖𝑛𝑐 + ℵ𝑏𝐸 (−𝑖𝜔∆𝜀E, 𝑖𝜔∆𝜇H),
(1.36)
H = ℵ𝑏𝐻 (J𝑟 + J𝑔𝑒𝑛 , F𝑟 + F𝑔𝑒𝑛 ) = H𝑖𝑛𝑐 + ℵ𝑏𝐻 (−𝑖𝜔∆𝜀E, 𝑖𝜔∆𝜇H).
Здесь J𝑟 в первых равенствах обозначает реальные электрические токи, которые во вто­
рых равенствах заменены на возбуждаемые ими внешние поля E𝑖𝑛𝑐 , H𝑖𝑛𝑐 . Система (1.36)
представляет собой общий вид неявных уравнений, лежащих в основе любой реализации
метода обобщенных источников. Конкретный вид уравнений зависит от выбора базисно­
го решения (1.32). Необходимо отметить, что на величины ∆𝜀(r) и ∆𝜇(r) изначально не
накладывается никаких ограничений.
Для наглядного представления метода обобщенных источников можно трактовать
соотношение (1.36) следующим образом. Пусть заданная внешняя электромагнитная вол­
на E𝑖𝑛𝑐 , H𝑖𝑛𝑐 распространяется в области, где находятся некоторые рассеиватели. Функции
∆𝜀(r), ∆𝜇(r) дают вклад в обобщенные источники (1.34), (1.35), так что модифицирован­
ное поле принимает вид
E(1) = E𝑖𝑛𝑐 + ℵ𝑏𝐸 (−𝑖𝜔∆𝜀E𝑖𝑛𝑐 , 𝑖𝜔∆𝜇H𝑖𝑛𝑐 ),
H
(1)
(1.37)
= H𝑖𝑛𝑐 + ℵ𝑏𝐻 (−𝑖𝜔∆𝜀E𝑖𝑛𝑐 , 𝑖𝜔∆𝜇H𝑖𝑛𝑐 ).
Это поле, в свою очередь, взаимодействуя с рассеивающей системой, дает:
E(1) = E𝑖𝑛𝑐 + ℵ𝑏𝐸 (−𝑖𝜔∆𝜀E(1) , 𝑖𝜔∆𝜇H(1) ),
(1.38)
H(1) = H𝑖𝑛𝑐 + ℵ𝑏𝐻 (−𝑖𝜔∆𝜀E(1) , 𝑖𝜔∆𝜇H(1) ).
и так далее. Уравнение (1.37) есть, очевидно, Борновское приближение [86]. Если про­
должить описанную схему до бесконечности, получится операторный ряд Неймана [87].
24
При численной реализации метода обобщенных источников ряд Неймана зачастую оказы­
вается расходящимся и малопригодным для реальных вычислений. Поэтому, для расчета
рассеяния и дифракции на высококонтрастных объектах с большой апертурой необходимо
использовать соответствующие численные методы.
Примером применения метода обобщенных источников можно считать метод объ­
емного интегрального уравнения в теории рассеяния электромагнитных волн светового
диапазона [40]. В работе с участием автора данной диссертации [43] была показана экви­
валентность указанного метода объемного интегрального уравнения методу обобщенных
источников с базисным решением, взятым в виде тензорной функции Грина уравнения
Гельмгольца для свободного пространства [41]. В данной диссертации МОИ применяется
для разработки метода расчета рассеяния и дифракции света в наноструктурированных
плоских слоях. Попытка построения схожего метода была предложена в [88, 89], однако
авторам удалось лишь посчитать дифракцию ТЕ волн на одномерных решетках. Совсем
недавно, одновременно с публикацией, описывающей метод расчета дифракции на слож­
ных двумерных решетках [65], появилась работа [90], где описывается аналогичный метод
в применении к расчету профилированных двумерных прямоугольных решеток.
1.4. Органические светоизлучающие диоды с рассеивающими
слоями
Выше был приведен обзор методов, позволяющих изучать дифракцию и рассеяние
электромагнитных волн светового диапазона в плоско-слоистых композитных структурах.
Обозначено положение разрабатываемого метода среди прочих известных подходов, так
также описан ряд известных результатов, необходимых для дальнейшего изложения. При­
ложения метода, рассматриваемые в данной диссертационной работе, связаны с его при­
менением для расчета структур ОСИД с целью повышения их внешней эффективности.
Поэтому, в данном разделе приводятся необходимые сведения об ОСИД и обзор работ,
связанных с решаемыми задачами.
Электролюминесцентные свойства органических материалов изучались примерно с
50-х годов прошлого века [91]. В 1989 году был создан первый светодиод на основе орга­
нических материалов [92], что положило начало бурным исследованиям и разработкам в
области органической фотоэлектроники. В настоящее время ОСИД-приборы малого раз­
25
мера (до нескольких сантиметров в диагонали) применяются во многих бытовых прибо­
рах и сотовых телефонах, существуют декоративные элементы освещения, основанные на
ОСИД, а массовое производство телевизоров и осветительных приборов на ОСИД анонси­
руется на ближайшие 5 лет. При этом, перед производителями еще стоят основные задачи
продления срока жизни ОСИД, синтеза и применения новых органических материалов, а
также повышения внешней эффективности ОСИД. Следует отметить, что максимизация
эффективности особенно важна для осветительных приложений, где основными конкурен­
тами ОСИД являются неорганические светодиоды.
Как правило, ОСИД представляет собой плоскую многослойную структуру, пример
которой приведен на Рис. 1.4. Кроме электродов — металлического катода и прозрач­
ного анода (в настоящее время основным материалом для анода является ITO — смесь
оксидов иттрия и олова, нанесенная на подложку с помощью вакуумного напыления)
— и электролюминесцентного слоя, ОСИД может содержать дополнительные органиче­
ские слои, контролирующие электронно-дырочный транспорт в приборе. Эффективность
ОСИД определяется как отношение числа эмиттированных фотонов к числу электронов,
прошедших через диод, либо, как отношение мощности излучаемого света к электриче­
ской мощности, потребляемой диодом. При этом выделяют два существенно различных
канала потерь мощности. Первый связан с безызлучательной рекомбинацией экситонов в
электролюминесцентном слое, и переходе их энергии возбуждения в тепловые колебания.
Пусть он характеризуется коэффициентом 𝜂𝑖𝑛 . Второй канал, описывающийся коэффи­
циентом 𝜂𝑜𝑢𝑡 , определяется долей оптического излучения, выходящего из подложки, на
которую нанесен ОСИД, в воздух. Тогда полная эффективность диода определяется как
произведение
𝜂𝑒𝑥𝑡 = 𝜂𝑖𝑛 𝜂𝑜𝑢𝑡 .
(1.39)
В настоящее время за счет использования фосфоресцирующих материалов удается созда­
вать ОСИД с коэффициентом 𝜂𝑖𝑛 , близким к 100% [93–95]. Поэтому, основные усилия по
решению проблемы повышения эффективности ОСИД направлены на улучшение вывода
оптического излучения из ОСИД-структур.
Можно выделить несколько механизмов потерь оптического излучения в ОСИД­
структурах [96]. Во-первых, это потери на поглощение в слоях, основную долю которого
составляет поглощение в металлическом катоде (до 50%), а также существенное поглоще­
ние в прозрачном электроде (∼10%). Во-вторых, возбуждение волноводных мод, несущих
26
а)
б)
Рис. 1.4. Примеры ОСИД-структур: а) без рассеивающего слоя и б) с рассеивающим слоем.
в себе значительную энергию (∼10%). Кроме того, существенные потери при выводе излу­
чения может вносить полное внутреннее отражение на границе подложки и воздуха (до
∼10%).
Для уменьшения доли мощности, теряемой на возбуждение волноводных мод и пол­
ное внутреннее отражение, был предложен ряд способов [96–99] (Рис. 1.5), включающих
использование фотонных кристаллов и дифракционных решеток [100–109], микроскопи­
ческих линз [110–117], рассеивающих слоев [118, 119], аэрогеля [120], гофрирование или
микроструктурирование подложки [121–128], а также создание микрорезонансных струк­
тур [129–134]. Хорошие результаты относительно увеличения эффективности дает приме­
нение диэлектрических решеток и фотонных кристаллов, а также микролинз. Однако,
периодическое структурирование, с одной стороны, приводит сильной анизотропии по на­
правлениям излучаемого света, что крайне нежелательно для многих приложений, а, с
другой, является довольно трудоемкой и дорогостоящей технологией (особенно, создание
микролинз).
Наиболее перспективным и приемлемым способом повышения эффективности выво­
да излучения из ОСИД структур представляется введение дополнительно рассеивающего
слоя между прозрачным электродом и подложкой (Рис. 1.4б). С одной стороны, такой
слой практически никак не влияет на электронный транспорт в диоде, а с другой, позво­
ляет рассеивать затухающие волны, волноводные моды и изменять угловое распределение
излучения. Кроме того, представляется вполне возможным реализовать быстрое и деше­
вое производство таких слоев. Чтобы подобрать оптимальные параметры рассеивающих
27
Рис. 1.5. Способы повышения внешней эффективности ОСИД (слева направо, сверху вниз): обыч­
ная структура ОСИД, ОСИД с аэрогелем, гофрированный ОСИД, ОСИД с наноструктурирован­
ной подложкой, ОСИД с микролинзой и ОСИД с мезаструктурой. Рисунок взят из работы [97].
слоев для конкретных ОСИД, необходимо иметь возможность моделировать их оптиче­
ские свойства. Точность такого моделирования должна быть не хуже процента, поскольку
полный ожидаемый положительный эффект от использования таких слоев составляет по­
рядка 1-10%. При этом уравнения Максвелла должны решаться строго, поскольку модель
должны учитывать рассеяние затухающих волн и распространение волн в ближней зоне
излучения в средах со значительным контрастом относительного показателя преломле­
ния (до нескольких десятых долей единицы) и характерными неоднородностями порядка
длины волны распространяющегося излучения. Как можно видеть, задача моделирования
28
ОСИД с рассеивающим слоем предъявляет большие требования к модели. Рассмотрим,
какие численные модели для расчета оптических свойств ОСИД и, в частности, ОСИД с
рассеивающим слоем были предложены ранее.
Оптические свойства стандартных ОСИД с однородными слоями как многослойных
структур, содержащих электролюминесцентные источники, в основном моделируются с
помощью упомянутого метода Т-матриц (либо подстановки аналитических выражений
для коэффициентов пропускания с обеих сторон от слоя с источниками) и представления
источников в виде классических диполей [19, 135–139]. Также, были предложены моде­
ли, основанные на приближенном расчете интегралов в пространстве волновых векто­
ров [140–142]. Можно выделить работы, где проводился модовый анализ ОСИД-струк­
тур [102, 143]. Примеры оптимизации внешней эффективности ОСИД с однородными
слоями, основанной на классических электромагнитных моделях, можно найти в рабо­
тах [114, 144–148]. Что касается структурированных ОСИД, можно отметить работы, где
периодически структурированные слои моделируются с помощью ФММ [105, 149, 150].
Кроме того, микроструктурированные ОСИД моделировались с помощью КРМ и МКЭ
[144, 151–163]. Здесь мы не будем останавливаться на обсуждении этих методов, поскольку
их недостатки были выделены выше. Модели ОСИД с рассеивающим слоем были пред­
ложены в работах [118, 164]. Они основаны на теории переноса излучения и являются
существенно приближенными, не удовлетворяя указанным выше требованиям.
1.5. Выводы
Первая глава является обзорной и посвящена краткому описанию численных ме­
тодов, которые принципиально возможно применить для решения поставленных задач,
описанию метода обобщенных источников, который является основой теоретической ча­
сти данной диссертационной работы, а также обзору проблемы вывода излучения из пла­
нарных ОСИД-структур. На основании приведенного обзора можно сделать следующие
выводы. Во-первых, в настоящее время существует потребность в развитии точных и быст­
рых методов решения задач рассеяния и дифракции в пространственно неоднородных
планарных структурах. Во-вторых, для решения этих задач являются перспективными
Фурье-методы. И, в-третьих, в отношении приложений к моделированию ОСИД, пробле­
ма строгого моделирования ОСИД с рассеивающим слоем является важной и ранее не
была решена.
Глава 2
Дифракция на двумерных диэлектрических решетках
2.1. Введение
В данном разделе описывается применение метода обобщенных источников, описан­
ного в параграфе 1.3, в двумерном сопряженном пространстве. Сначала будут получены
компоненты S-матриц бесконечно тонкого неоднородного слоя, а затем будет сформулиро­
вано неявное уравнение, описывающее дифракцию плоских волн на решетках. Приводится
подробный вывод и анализ методов, разработанных на основании полученных аналитиче­
ских выражений.
Переход от исходной непериодической задачи изучения рассеяния света в планарных
структурах к расчету дифракции на плоских решетках можно установить исходя из следу­
ющих соображений. Как было сказано в предыдущей главе, подход, развиваемый в данной
работе, привязан к планарной геометрии рассеивающей структуры, независимо от формы
содержащихся в ней рассеивающих частиц. Естественным для такого описания является
разложение всех величин по плоским волнам. Переход к описанию процесса рассеяния в
терминах пространственных плоских гармоник подразумевает преобразование полей, то­
ков и проницаемостей как функций координат в Фурье-пространство. Согласно теореме о
свертке, преобразование Фурье произведения функций есть свертка их Фурье-образов:
ℱ(𝑓 · 𝑔) = ℱ(𝑓 ) * ℱ(𝑔).
(2.1)
При переходе в Фурье-пространство в волновых уравнениях (1.30) и (1.31) свертками ста­
новятся произведения диэлектрической и магнитной проницаемостей на электрическое и
магнитное поле соответственно. Для численного расчета необходимо перейти от конти­
нуума волновых векторов в сопряженном пространстве к некоторой ограниченной дис­
кретной сетке. Нетрудно заметить, что, если в Фурье-пространстве выбрана равномерная
сетка волновых векторов, свертку можно представить в виде произведения Теплицевой
матрицы (элементы которой зависят только разности индексов) на вектор, которое, как
было указано в предыдущем разделе, может быть вычислено с помощью БПФ. То есть,
если представить решение задачи дифракции с помощью алгоритма, в котором требует­
ся производить лишь произведения векторов на Теплицевы и, возможно, диагональные
30
матрицы, то сложность этого алгоритма будет определяться сложностью БПФ и будет ли­
нейной по числу узлов сетки в сопряженном пространстве при большом числе узлов. При
этом предпосылка о равномерной сетке в пространстве волновых векторов автоматически
приводит к периодичности в координатном пространстве, то есть, фактически метод будет
рассчитывать дифракцию на решетках.
2.2. Базисное решение
Рассмотрим первый шаг метода обобщенных источников применительно к дифракци­
онным решеткам, а именно, построение базисного решения. Исходя из уравнений Максвел­
ла (1.5), (1.6) запишем уравнения Гельмгольца в однородной изотропной среде с диэлек­
трической и магнитной проницаемостями 𝜀𝑏 и 𝜇𝑏 с учетом электрических и магнитных
токов:
∇ (∇E𝑏 ) − ∆E𝑏 − 𝜔 2 𝜀𝑏 𝜇𝑏 E𝑏 = 𝑖𝜔𝜇𝑏 J + ∇ × F,
(2.2)
∇ (∇H𝑏 ) − ∆H𝑏 − 𝜔 2 𝜀𝑏 𝜇𝑏 H𝑏 = −𝑖𝜔𝜀𝑏 F + ∇ × J.
(2.3)
Введем векторные AE , AH и скалярные 𝜙E , 𝜙H потенциалы следующим образом
1
∇ × AH ,
(2.4)
𝜀𝑏
1
H𝑏 = ∇𝜙H + 𝑖𝜔AH + ∇ × AE .
(2.5)
𝜇𝑏
Подставляя данные выражения в уравнения Максвелла (1.5), (1.6), получаем уравнения
E𝑏 = −∇𝜙E + 𝑖𝜔AE −
для векторных потенциалов
∆AE + 𝑘𝑏2 AE = −𝜇𝑏 J,
(2.6)
∆AH + 𝑘𝑏2 AH = 𝜀𝑏 F,
(2.7)
при условии, что используется калибровка Лоренца [165]
𝜙E =
∇AE
,
𝑖𝜔𝜀𝑏 𝜇𝑏
(2.8)
∇AH
.
(2.9)
𝑖𝜔𝜀𝑏 𝜇𝑏
Ввиду того, что объектом изучения являются планарные структуры, и в дальнейшем
𝜙H = −
предполагается переход в двумерное Фурье-пространство, сопряженное плоскости 𝑋𝑌 ,
запишем источники в виде плоских токов
⎛ ⎞ ⎛
⎞
J
j(𝑧)
⎝ ⎠=⎝
⎠ exp (𝑖𝑘𝑥 𝑥 + 𝑖𝑘𝑦 𝑦) .
F
f (𝑧)
(2.10)
31
Решение уравнений (2.6), (2.7) для указанного вида источников (2.10) можно записать в
виде интеграла по координате 𝑍 [85]
⎞
⎛
⎞
⎛
∞
Z
𝜇
j(𝑧)
AE (r)
⎠ exp [𝑖𝑘𝑧 (𝑧 − 𝑧 ′ ) 𝜉 (𝑧 − 𝑧 ′ )] 𝑑𝑧 ′ ,
⎝ 𝑏
⎠ = 𝑖 exp (𝑖𝑘𝑥 𝑥 + 𝑖𝑘𝑦 𝑦)
⎝
2𝑘𝑧
−𝜀𝑏 m(𝑧)
AH (r)
−∞
в котором символом 𝜉 обозначена разность двух 𝜃-функций Хевисайда:
⎡
1, 𝑧 − 𝑧 ′ ≥ 0
′
′
′
⎣
𝜉 (𝑧 − 𝑧 ) = 𝜃 (𝑧 − 𝑧 ) − 𝜃 (𝑧 − 𝑧) =
,
−1, 𝑧 − 𝑧 ′ < 0
(2.11)
(2.12)
а 𝑧−проекция волнового вектора 𝑘𝑧 определяется выражением 1.9. Тогда, на основании
(2.4) и (2.5) поля запишутся как суперпозиция плоских волн, распространяющихся в по­
ложительном и отрицательном направлениях относительно оси 𝑍 и дополнительного сла­
гаемого, пропорционального амплитуде источника:
{︂
𝛿𝛼𝑧
𝐸𝛼 = exp (𝑖𝑘𝑥 𝑥 + 𝑖𝑘𝑦 𝑦)
𝑗𝑧 (𝑧)
𝑖𝜔𝜀𝑏
]︃
𝑧 [︃
+
∑︁ Z
Y
𝛽𝛼
′
′
𝑗𝛽 (𝑧 ′ )
+
− 𝑓𝛽 (𝑧 ′ )X+
𝛽𝛼 exp [𝑖𝑘𝑧 (𝑧 − 𝑧 )] 𝑑𝑧
𝜔𝜀
𝑏
𝛽=𝑥,𝑦,𝑧
−∞
Z𝑧
+
⎫
]︃
−
⎬
Y
𝛽𝛼
−
′
′
′
′
𝑗𝛽 (𝑧 )
− 𝑓𝛽 (𝑧 )X𝛽𝛼 exp [−𝑖𝑘𝑧 (𝑧 − 𝑧 )] 𝑑𝑧 ,
⎭
𝜔𝜀𝑏
[︃
∑︁
𝛽=𝑥,𝑦,𝑧 −∞
{︂
𝐻𝛼 = − exp (𝑖𝑘𝑥 𝑥 + 𝑖𝑘𝑦 𝑦)
Z𝑧 [︃
−
∑︁
𝑓𝛽 (𝑧 ′ )
𝛽=𝑥,𝑦,𝑧 −∞
Z𝑧 [︃
−
∑︁
𝛽=𝑥,𝑦,𝑧 −∞
(2.13)
𝛿𝛼𝑧
𝑓𝑧 (𝑧)
𝑖𝜔𝜇𝑏
]︃
+
Y𝛽𝛼
′
′
+ 𝑗𝛽 (𝑧 ′ ) X+
𝛽𝛼 exp [𝑖𝑘𝑧 (𝑧 − 𝑧 )] 𝑑𝑧
𝜔𝜇𝑏
(2.14)
⎫
⎬
]︃
−
Y
𝛽𝛼
′
′
𝑓𝛽 (𝑧 ′ )
+ 𝑗𝛽 (𝑧 ′ ) X−
.
𝛽𝛼 exp [−𝑖𝑘𝑧 (𝑧 − 𝑧 )] 𝑑𝑧
⎭
𝜔𝜇𝑏
Здесь индексы 𝛼 и 𝛽 обозначают координаты 𝑥, 𝑦 и 𝑧, матричные элементы
±
Y𝛼𝛽
𝑘𝛼± 𝑘𝛽± − 𝑘 2 𝛿𝛼𝛽
=
,
2𝑘𝑧
(2.15)
𝑒𝛼𝛾𝛽 𝑘𝛾±
=
,
2𝑘𝑧
(2.16)
X±
𝛼𝛽
а 𝛿𝛼𝛽 и 𝑒𝛼𝛽𝛾 —- символ Кронекера и абсолютно антисимметричный тензор соответственно.
Выражения (2.13) и (2.14) представляют собой искомое базисное решение метода обоб­
щенных источников, на основании которого будут получены компоненты S-матриц неод­
нородного слоя и неявное уравнение для расчета дифракции и рассеяния на неоднородных
32
плоских слоях. Аналогичные формулы можно также получить с помощью метода функ­
ций Грина [166, 167].
Рассмотрим случай, когда источники расположены только в плоскости 𝑧 = 0, и ам­
плитуды токов (2.10) являются 𝛿-функциями координаты 𝑧:
𝑗𝛽 (𝑧) = 𝑗𝛽 𝛿(𝑧), 𝑓𝛽 (𝑧) = 𝑓𝛽 𝛿(𝑧).
(2.17)
В этом случае первый член сумм в формулах (2.13), (2.14) представляет собой сингу­
лярное возмущение в плоскости 𝑋𝑌 . Ввиду удобства изучения поляризационных свойств
планарных структур, произведем стандартный переход [1] от амплитуд компонент полей
к амплитудам ТЕ- и ТМ-поляризованных волн. Соответствующие обозначения приведе­
ны в Приложении А). Подставляя (2.17) в (2.13) и (2.14) с учетом (А.7), (А.8), находим
выражения связи амплитуд ТЕ- и ТМ-волн с амплитудами токов всюду вне плоскости
источника
𝜔𝜇0 𝑘𝑥
𝜔𝜇0 𝑘𝑦
𝑘𝑥
𝑗𝑦 −
𝑗𝑥 ± 𝑓𝑥 ±
2𝛾𝑘𝑧
2𝛾𝑘𝑧
2𝛾
𝜔𝜀0 𝑘𝑥
𝑘𝑥
𝜔𝜀0 𝑘𝑦
𝑓𝑥 −
𝑓𝑦 ± 𝑗𝑥 ±
𝑎ℎ±
𝑟𝑒𝑔 (j, f ) =
2𝛾𝑘𝑧
2𝛾𝑘𝑧
2𝛾
𝑎𝑒±
𝑟𝑒𝑔 (j, f ) =
𝑘𝑦
𝛾
𝑓𝑦 −
𝑓𝑧 ,
2𝛾
2𝑘𝑧
𝑘𝑦
𝛾
𝑗𝑦 −
𝑗𝑧 .
2𝛾
2𝑘𝑧
(2.18)
(2.19)
В области существования тока (2.17), то есть, в плоскости 𝑧 = 0, к этим соотношениям
необходимо добавить сингулярные слагаемые
𝛿𝑒
𝑒±
𝑎𝑒± = 𝑎𝑒±
𝑟𝑒𝑔 + 𝑎 = 𝑎𝑟𝑒𝑔 + 𝛿(𝑧)
𝑗𝑧
,
𝑖𝜔𝜀0
(2.20)
𝛿ℎ
𝑎ℎ± = 𝑎ℎ±
= 𝑎ℎ±
𝑟𝑒𝑔 + 𝑎
𝑟𝑒𝑔 − 𝛿(𝑧)
𝑓𝑧
.
𝑖𝜔𝜇0
(2.21)
Выражения (2.18)-(2.21) также, как и (2.13), (2.14), можно рассматривать как базисное
решение метода обобщенных источников.
Для упрощения дальнейшего анализа и, возможно, улучшения численной реализа­
ции метода, введем следующие модифицированные поля путем вычитания сингулярных
членов в области источника:
𝐸˜𝑥,𝑦 = 𝐸𝑥,𝑦 ,
𝑗𝑧
𝐸˜𝑧 = 𝐸𝑧 −
,
𝑖𝜔𝜀𝑏
(2.22)
˜ 𝑥,𝑦 = 𝐻𝑥,𝑦 ,
𝐻
(2.23)
˜ 𝑧 = 𝐻𝑧 + 𝑓𝑧 ,
𝐻
𝑖𝜔𝜇𝑏
так что модифицированные поля всюду регулярны и могут быть разложены по амплиту­
дам (2.18) и (2.19).
33
2.3. Расчет дифракции с помощью S-матриц
Выражения (2.18), (2.19) получены для одной плоской гармоники тока (2.10). В об­
щем случае необходимо рассматривать набор Фурье-гармоник полей и токов. Для упро­
щения и последующих обозначений введем единый индекс, нумерующий Фурье-порядки
и соответствующие дифракционные гармоники. С учетом последующего обрезания рядов
Фурье, максимальные значения номеров гармоник были обозначены в предыдущем па­
раграфе как 𝑁𝑂1 и 𝑁𝑂2 . Тогда, взаимно-однозначное соответствие пары индексов 𝑛1 , 𝑛2
единому индексу 𝑛 может быть установлено как 𝑛 = 𝑛1 𝑁𝑂2 + 𝑛2 , −𝑁𝑂1,2 < 𝑛1,2 < 𝑁𝑂1,2 .
Таким образом, уравнения (2.18) и (2.19), с учетом данных обозначений и введенного мо­
дифицированного поля (2.22), (2.23), можно записать как
𝜔𝜇𝑏 𝑘𝑥𝑚
𝜔𝜇𝑏 𝑘𝑦𝑚
𝑘𝑥𝑚
𝑘𝑦𝑚
𝛾
𝑗𝑦𝑚 −
𝑗𝑥𝑚 ±
𝑓𝑥𝑚 ±
𝑓𝑦𝑚 −
𝑓𝑧𝑚 ,
(2.24)
2𝛾𝑘𝑧𝑚
2𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚
2𝛾𝑚
2𝛾𝑚
2𝑘𝑧𝑚
𝜔𝜀𝑏 𝑘𝑦𝑚
𝜔𝜀𝑏 𝑘𝑥𝑚
𝑘𝑥𝑚
𝑘𝑦𝑚
𝛾𝑚
𝑎
˜ℎ±
𝑓𝑥𝑚 −
𝑓𝑦𝑚 ±
𝑗𝑥𝑚 ±
𝑗𝑦𝑚 −
𝑗𝑧𝑚 .
(2.25)
𝑚 =
2𝛾𝑚 𝑘𝑧
2𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚
2𝛾𝑚
2𝛾𝑚
2𝑘𝑧𝑚
Согласно методу обобщенных источников, обобщенные токи выражаются через произве­
𝑎
˜𝑒±
𝑚 =
дения полей на модификацию базисной проницаемости (1.34), (1.35). Рассмотрим случай
голографической решетки, когда 𝜀(r) и 𝜇(r) являются непрерывными функциями коорди­
нат 𝑥 и 𝑦. На основании (1.34), (1.35), (2.22) и (2.23) запишем связь между Фурье-компо­
нентами модифицированных полей и обобщенных токов:
(︂[︂
]︂
)︂
𝜀𝑥,𝑦
𝑗𝑥,𝑦𝑚 = −𝑖𝜔𝜀𝑏
− 𝛿𝑚𝑛 𝐸˜𝑥,𝑦𝑛 ,
𝜀𝑏 𝑚𝑛
(︂
[︂ ]︂ )︂
(2.26)
𝜀𝑏
˜
𝐸𝑧𝑛 ,
𝑗𝑧𝑚 = −𝑖𝜔𝜀𝑏 𝛿𝑚𝑛 −
𝜀𝑧 𝑚𝑛
(︂[︂
]︂
)︂
𝜇𝑥,𝑦
˜ 𝑥,𝑦𝑛 ,
𝑓𝑥,𝑦𝑚 = 𝑖𝜔𝜇𝑏
− 𝛿𝑚𝑛 𝐻
𝜇𝑏 𝑚𝑛
(︂
[︂ ]︂ )︂
(2.27)
𝜇𝑏
˜
𝑓𝑧𝑚 = 𝑖𝜔𝜇𝑏 𝛿𝑚𝑛 −
𝐻𝑧𝑛 .
𝜇𝑧 𝑚𝑛
Эти соотношения дают возможность получить в явном аналитическом виде компоненты
S-матрицы бесконечно тонкого слоя
⎛
⎞ ⎛
⎞⎛
⎞
𝑒±
𝑒𝑒±±
𝑒ℎ±±
𝑒±
𝑎
𝑆
𝑆𝑚𝑛
𝑎
⎝ 𝑚 ⎠ = ⎝ 𝑚𝑛
⎠⎝ 𝑛 ⎠.
ℎ𝑒±±
ℎℎ±±
𝑆𝑚𝑛
𝑆𝑚𝑛
𝑎ℎ±
𝑎ℎ±
𝑚
𝑛
(2.28)
Вводя обозначения
]︂
(𝜀, 𝜇)𝑥,𝑦
− 𝛿𝑚𝑛 ,
=
(𝜀, 𝜇)𝑏 𝑚𝑛
[︂
]︂
(𝜀, 𝜇)𝑧
= 𝛿𝑚𝑛 −
,
(𝜀, 𝜇)𝑏 𝑚𝑛
∆𝜀,𝜇
𝑥,𝑦𝑚𝑛
∆𝜀,𝜇
𝑧𝑚𝑛
[︂
(2.29)
34
выпишем эти компоненты
{︂
𝑘𝑥𝑚
𝑘𝑥𝑛
𝑘𝑦𝑚
𝑘𝑦𝑛
𝑘𝑏 2
∆𝜀𝑦𝑚𝑛
+ 𝑘𝑏 2
∆𝜀𝑥𝑚𝑛
𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚
𝛾𝑛
𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚
𝛾𝑛
𝑘𝑥𝑚 𝜇 𝑘𝑥𝑛 𝑘𝑧𝑛
𝑘𝑦𝑚 𝜇 𝑘𝑦𝑛 𝑘𝑧𝑛
±𝑚 ±𝑛
∆𝑥𝑚𝑛
±𝑚 ±𝑛
∆
𝛾𝑚
𝛾𝑛
𝛾𝑚 𝑦𝑚𝑛 𝛾𝑛
}︂
𝛾𝑚 𝜇
+
∆ 𝛾𝑛 ,
𝑘𝑧𝑚 𝑧𝑚𝑛
{︂
𝑖
𝑘𝑦𝑛 𝑘𝑧𝑛
𝑘𝑥𝑛 𝑘𝑧𝑛
𝑘𝑥𝑚
𝑘𝑦𝑚
ℎ𝑒±±
𝑆𝑚𝑛 = 𝜔𝜇𝑏 ±𝑛
∆𝜀𝑦𝑚𝑛
− ±𝑛
∆𝜀𝑥𝑚𝑛
2
𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚
𝛾𝑛
𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚
𝛾𝑛
}︂
𝑘𝑦𝑚 𝜇 𝑘𝑥𝑛
𝑘𝑥𝑚 𝜇 𝑘𝑦𝑛
∆𝑥𝑚𝑛
∓𝑚
∆
,
±𝑚
𝛾𝑚
𝛾𝑛
𝛾𝑚 𝑦𝑚𝑛 𝛾𝑛
{︂
𝑖
𝑘𝑥𝑛 𝑘𝑧𝑛
𝑘𝑦𝑛 𝑘𝑧𝑛
𝑘𝑦𝑚
𝑘𝑥𝑚
𝑒ℎ±±
𝑆𝑚𝑛 = 𝜔𝜀𝑏 ±𝑛
∆𝜇𝑥𝑚𝑛
∓𝑛
∆𝜇𝑦𝑚𝑛
2
𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚
𝛾𝑛
𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚
𝛾𝑛
}︂
𝑘𝑥𝑚 𝜀 𝑘𝑦𝑛
𝑘𝑦𝑚 𝜀 𝑘𝑥𝑛
∓𝑚
∆𝑥𝑚𝑛
±𝑚
∆
,
𝛾𝑚
𝛾𝑛
𝛾𝑚 𝑦𝑚𝑛 𝛾𝑛
{︂
𝑘𝑦𝑚
𝑘𝑥𝑚
𝑖
𝑘𝑦𝑛
𝑘𝑥𝑛
ℎℎ±±
𝑆𝑚𝑛 =
𝑘𝑏 2
∆𝜇𝑥𝑚𝑛
+ 𝑘𝑏 2
∆𝜇𝑦𝑚𝑛
2
𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚
𝛾𝑛
𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚
𝛾𝑛
𝑘𝑥𝑚 𝜀 𝑘𝑥𝑛 𝑘𝑧𝑛
𝑘𝑦𝑚 𝜀 𝑘𝑦𝑛 𝑘𝑧𝑛
±𝑚 ±𝑛
∆𝑥𝑚𝑛
±𝑚 ±𝑛
∆
𝛾𝑚
𝛾𝑛
𝛾𝑚 𝑦𝑚𝑛 𝛾𝑛
}︂
𝛾𝑚 𝜀
∆ 𝛾𝑛 ,
+
𝑘𝑧𝑚 𝑧𝑚𝑛
где знаки ‘’±‘’ и ‘’∓‘’ с индексом 𝑛 относятся к амплитудам падающих волн, а с
𝑒𝑒±±
𝑆𝑚𝑛
𝑖
=
2
(2.30)
(2.31)
(2.32)
(2.33)
индек­
сом 𝑚 — к амплитудам дифрагирующих. Аналогичные, но более громоздкие выражения
можно получить и для S-матрицы профилированной решетки. В явном виде они даны в
Приложении Б.
Полученные формулы (2.30)-(2.33) и их модификации (Б.2)- (Б.10) позволяют про­
изводить расчет дифракции на решетках с помощью правила умножения S-матриц (1.18).
Поскольку (2.30)-(2.33) описывают дифракцию на бесконечно тоноком слое (ввиду (2.17)),
для расчета дифракции на решетках конечной глубины необходимо разрезать плоский
слой с решеткой, по оси 𝑍 на достаточно тонкие подслои, и для каждого подслоя найти
свою S-матрицу. Таким образом, алгоритм расчета дифракции можно сформулировать
следующим образом:
1. Разбиение плоского слоя толщиной ℎ, содержащего дифракционную решетку на 𝑁𝑆
подслоев толщиной ∆ℎ;
2. Расчет матриц Фурье-образов функций диэлектрической и магнитной проницаемо­
стей 𝜀(𝑥, 𝑦, 𝑧𝑝 ) и 𝜇(𝑥, 𝑦, 𝑧𝑝 ) в каждом подслое 𝑝 = 0 . . . 𝑁𝑆 − 1, так, что 𝑧𝑝 = 𝑧 (𝐿) + (𝑝 +
1/2)∆ℎ;
35
3. Расчет Фурье-образов тригонометрических функций углов, определяющих направ­
ление нормали к поверхностям разделов сред для профилированных решеток (При­
ложение Б);
4. Расчет S-матриц каждого подслоя по формулам (2.30)-(2.33) или (Б.2)-(Б.10);
5. Расчет полной S-матрицы решетки по формулам (1.18).
Пункты 2 и 3 описанного алгоритма сохранятся в методе, основанном на решении линей­
ной системы алгебраических уравнений, и будут обсуждаться ниже.
Можно заметить, что наиболее сложной частью алгоритма с вычислительной точки
зрения является последний пункт. В соответствии с формулами (1.18) здесь требуется
обращать матрицы размером 𝑁𝑂 × 𝑁𝑂 , что требует в общем случае 𝑂(𝑁𝑂3 ) операций. Так
как обращение необходимо произвести для добавления каждого из 𝑁𝑆 подслоев, то общую
сложность метода можно оценить как 𝑂(𝑁𝑂3 𝑁𝑆 ) вычислительных операций умножения с
плавающей точкой.
На основании изложенного алгоритма была написана программа на языке C++ для
расчета дифракции на одномерных решетках (как для коллинеарного, так и для неколли­
неарного случаев). Набор входных параметров программы включает в себя: длину волны
падающей на решетку плоской волны, угол падения (два угла в неколлинеарном случае),
период и глубину решетки, тип профиля, параметры 𝑁𝑂 и 𝑁𝑆 , и показатели преломления
материалов, составляющих решетку, подложку и покрытие. В качестве выходных данных
программа рассчитывает S-матрицу решетки.
На Рис. 2.1 и 2.2 показана сходимость метода с увеличением числа подслоев 𝑁𝑆 для
расчета дифракции плоской волны с длиной 0.6328 мкм, распространяющейся под углом
10∘ к нормали, на решетках с прямоугольным и синусоидальным профилями. Графики
приведены для решеток с периодом 1 мкм, глубиной 0.5 мкм и контрастом показателя
преломления, равным 1.5. При этом следует отметить, что аналогичный характрер схо­
димости был обнаружен и для других типов решеток (синусоидальных голографических,
цилиндрических, бинарных) в диапазоне периодов от 100 нм до 10 мкм и глубин от 10 нм
до 10 мкм. Для расчета прямоугольной решетки использовалось намного большее число
слоев, чем для расчета синусоидальной. Это связано с тем, что прямоугольный профиль
не зависит от координаты 𝑍 и S-матрицы всех подслоев одинаковы, что позволяет пере­
множать их не линейно, а по степенному закону.
36
p=0
p=1
p=2
1
max(∆ an)
10
max(∆ an)
102
NO = 16
NO = 32
NO = 64
NO = 128
102
1
-1
10
10-2
10-2
10-4
10-6
10-3
10-5
10-4
1/NS
10-3
10-2
10-5
а)
10-4
1/NS
10-3
10-2
б)
Рис. 2.1. а) Сходимость метода расчета дифракции с помощью S-матриц при дифракции на од­
номерной прямоугольной решетке с увеличением числа подслоев для разных значений числа
дифракционных порядков; б) Улучшение сходимости метода с помощью полиномиальной интер­
поляции Лагранжа.
Рис. 2.1 и 2.2 показывают, что при заданном числе дифракционных порядков 𝑁𝑂 ,
начиная с достаточно большого числа подслоев сходимость носит степенной характер.
Это наблюдение позволяет сделать предположение, что решение (амплитуды волн 𝑎𝑚 )
как функция параметра 1/𝑁𝑆 может быть представлено в виде полинома по степеням
1/𝑁𝑆 в некоторой окрестности точки 1/𝑁𝑆 = 0:
𝑎𝑚 (1/𝑁𝑆 ) = 𝑎𝑚 (0) +
∞
∑︁
𝑘=1
(𝑘)
𝑎𝑀
(︂
1
𝑁𝑆
)︂𝑘
(2.34)
где 𝑎𝑚 (0) есть точное решение. Тогда, построив интерполяционный полином Лагранжа [37]
степени 𝑝 для получаемых амплитуд 𝑎𝑚 , и вычислив коэффициент при нулевой степени
1/𝑁𝑆
𝑎𝑚 (0) ≈
𝑝+1
∑︁
∏︀
𝑘=1
𝑎𝑚 (1/𝑁𝑆𝑘 )
[1 − 𝑁𝑆𝑞 /𝑁𝑆𝑘 ],
(2.35)
𝑞̸=𝑘
можно получить значительно ускорение сходимости. На Рис. 2.1б и 2.2б показан пример
использования формулы (2.35) для расчета дифракции на решетках, указанных выше. Из
этих графиков видно, что применение полиномиальной интерполяции дает ожидаемый
результат и позволяет на несколько порядков улучшить получаемое решение при заданном
числе подслоев 𝑁𝑆 .
Полученный метод интересен тем, что предлагается впервые, однако, приведенная
37
10
NO = 16
NO = 32
NO = 64
NO = 128
102
max(∆ an)
max(∆ an)
102
1
p=0
p=1
p=2
1
10-2
10-1
10-2
-3
-2
10
10-4
10
1/NS
а)
10-3
10-2
1/NS
б)
Рис. 2.2. а) Сходимость метода расчета дифракции с помощью S-матриц при дифракции на од­
номерной синусоидальной решетке с увеличением числа подслоев для разных значений числа
дифракционных порядков; б) Улучшение сходимости метода с помощью полиномиальной интер­
поляции Лагранжа.
оценка его вычислительной сложности показывает, что он не дает никаких преимуществ
перед описанным в Главе 1 Фурье-модальным методом. Тем не менее, его можно моди­
фицировать, таким образом, чтобы свести задачу к упомянутой в параграфе 1.3 неявной
системе уравнений. Физически это будет означать, что вместо последовательного расчета
S-матриц в отдельных подслоях и последующего перемножения всех S-матриц, будет про­
изводится единое самосогласованное вычисление всех амплитуд волн в каждом подслое
одновременно.
2.4. Дифракция на голографических решетках
В данном параграфе представленный выше метод будет модифицирован, так что на
основании метода обобщенных источников будет получена система линейных алгебраиче­
ских уравнений.
Запишем соотношения (2.27) и (2.27) в матрично-векторной форме
⎛
⎞
⎛
⎞⎛
⎞
(𝐸)
𝐸
∑︁ −𝑖𝜔𝜀𝑏 V𝛼𝛽𝑚𝑛
𝑗𝛼𝑚
0
𝐸˜𝛽𝑛
⎝
⎠=
⎝
⎠⎝
⎠,
(𝑀 )
𝐻
˜
𝑗𝛼𝑚
0
𝑖𝜔𝜇𝑏 V𝛼𝛽𝑚𝑛
𝐻𝛽𝑛
𝑛
(2.36)
38
где введены блочно-диагональные матрицы
V𝐸 = 𝑑𝑖𝑎𝑔{∆𝜀𝑥 , ∆𝜀𝑦 , ∆𝜀𝑧 },
(2.37)
V𝐻 = 𝑑𝑖𝑎𝑔{∆𝜇𝑥 , ∆𝜇𝑦 , ∆𝜇𝑧 },
которые являются диагональными относительно координатных индексов 𝛼, 𝛽, а их ком­
поненты определяются с помощью (2.29). Тогда, подставляя (2.36) в базисные решения
(2.13), (2.14) и используя введенные в Приложении А матрицы перехода между амплитуда­
ми полей и ТЕ, ТМ-волн, можно записать неявное интегральное уравнение, связывающее
амплитуды падающих и дифрагированных ТЕ- и ТМ-гармоник:
⎡
(︁
)︁
±
′
𝐸
𝐻
R𝑚 (𝑧, 𝑧 ) P𝛼𝑚 P𝛼𝑚
∞
Z ∑︁
∞ ∑︁ ⎢
⎞
⎞⎛
⎢ ⎛ 𝐸
a𝑚 (𝑧) =
⎢
Q𝐸
0
V𝛼𝛽𝑚𝑛 (𝑧 ′ )
′
⎣ ×⎝
⎠ ⎝ 𝛽𝑛 ⎠ a𝑖𝑛𝑐
𝑛 (𝑧 )
−∞ 𝑛=−∞ 𝛼,𝛽
𝐻
′
𝐻
Q𝛽𝑛
0
V𝛼𝛽𝑚𝑛 (𝑧 )
⎤
⎥
⎥ ′
⎥𝑑𝑧 ,
⎦
(2.38)
где
′
′
′
R±
𝑚 (𝑧, 𝑧 ) = 𝜁 [± (𝑧 − 𝑧 )] exp [±𝑖𝑘𝑧𝑚 (𝑧 − 𝑧 )] ,
⎧
⎪
⎪
1, 𝑧 > 0
⎪
⎨
1
𝜁 (𝑧) =
, 𝑧=0 ,
2
⎪
⎪
⎪
⎩ 0, 𝑧 < 0
(2.39)
(2.40)
а матрицы P𝐸,𝐻 имеют вид
⎞
⎛
−𝜔𝜇𝑏 𝑘𝑦𝑚 /(2𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚 ) 𝜔𝜇𝑏 𝑘𝑥𝑚 /(2𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚 )
0
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
0
1 ⎜ −𝜔𝜇𝑏 𝑘𝑦𝑚 /(2𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚 ) 𝜔𝜇𝑏 𝑘𝑥𝑚 /(2𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚 )
𝐸
⎟,
P𝑚 = ⎜
⎟
2⎜
𝑘𝑥𝑚 /𝛾𝑚
𝑘𝑦𝑚 /𝛾𝑚
−𝛾𝑚 /𝑘𝑧𝑚 ⎟
⎝
⎠
−𝑘𝑥𝑚 /𝛾𝑚
−𝑘𝑦𝑚 /𝛾𝑚
−𝛾𝑚 /𝑘𝑧𝑚
⎛
(2.41)
⎞
𝑘𝑥𝑚 /𝛾𝑚
𝑘𝑦𝑚 /𝛾𝑚
−𝛾𝑚 /𝑘𝑧𝑚
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
−𝑘𝑥𝑚 /𝛾𝑚
−𝑘𝑦𝑚 /𝛾𝑚
−𝛾𝑚 /𝑘𝑧𝑚 ⎟
1⎜
𝐻
⎟.
P𝑚 = ⎜
(2.42)
⎟
2 ⎜ 𝜔𝜀𝑏 𝑘𝑦𝑚 /(2𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚 ) −𝜔𝜀𝑏 𝑘𝑥𝑚 /(2𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚 )
⎟
0
⎝
⎠
𝜔𝜀𝑏 𝑘𝑦𝑚 /(2𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚 ) −𝜔𝜀𝑏 𝑘𝑥𝑚 /(2𝛾𝑚 𝑘𝑧𝑚 )
0
(︁
)︁T
𝑒−
ℎ+
ℎ−
Вектор a(𝑧) = 𝑎𝑒+
состоит из амплитуд всех ТЕ- и ТМ-гармоник,
𝑎
𝑎
𝑎
𝑚𝑛
𝑚𝑛
𝑚𝑛
𝑚𝑛
распространяющихся в слое с координатой 𝑧.
Для перехода к алгебраическим уравнениям введем стандартное представление ин­
теграла в виде конечной суммы, разрезая слой с решеткой на подслои, как и в алгоритме
39
с S-матрицами. Пусть, как и ранее, все изменения проницаемостей заключены в слое меж­
ду плоскостями 𝑧 (𝐿) и 𝑧 (𝑈 ) , так что 𝑧 (𝑈 ) − 𝑧 (𝐿) = ℎ. Разделим этот слой на 𝑁𝑆 подслоев
одинаковой толщины ∆ℎ = ℎ/𝑁𝑆 , так что амплитуды волн 𝑎𝑒,ℎ±
𝑚𝑝 определяются в центрах
этих слоев с координатами 𝑧𝑝 , 𝑝 = 0, . . . , (𝑁𝑆 − 1),
𝑧𝑝 = 𝑧 (𝐿) + (𝑝 + 1/2) ∆ℎ.
(2.43)
Тогда, заменяя интеграл в правой части (2.38) суммой, получаем бесконечную систему
алгебраических уравнений
a𝑚𝑝 =
𝑁∑︁
𝑆 −1
∞ ∑︁
∑︁
R±
𝑚𝑝𝑞 P𝛼𝑚 V𝛼𝛽𝑚𝑛𝑞 Q𝛽𝑛 ,
(2.44)
𝑞=0 𝑛=−∞ 𝛼,𝛽
в которой индексы 𝑝 и 𝑞 нумеруют подслои, а введенные выше матричные элементы заме­
нены более компактной записью, включающей как электрические, так и магнитные ком­
поненты. Далее перейдем от бесконечных сумм по дифракционным порядкам к конечным
с максимальным значением числа порядков, равным произведению числа порядков по обе­
им координатам плоскости рассматриваемого слоя 𝑁𝑂 = 𝑁𝑂𝑥 𝑁𝑂𝑦 . Тогда (2.44) становится
конечной линейной системой алгебраических уравнений, которую запишем в матричном
виде
a = RPVQa𝑖𝑛𝑐 = Aa𝑖𝑛𝑐 .
(2.45)
Вектор амплитуд падающего поля естественно задавать на границах плоского слоя
(𝑈 )
(𝐿)
с решеткой с помощью величин 𝑎𝑒,ℎ−
) и 𝑎𝑒,ℎ+
). Тогда, компоненты соответствую­
𝑖𝑛𝑐 (𝑧
𝑖𝑛𝑐 (𝑧
щего вектора амплитуд a𝑖𝑛𝑐 в каждом слое запишутся как
⎛
⎞ ⎛
⎞
𝑒,ℎ+
𝑒,ℎ+ (𝐿)
𝑎
(𝑧 )
𝑎𝑖𝑛𝑐 (𝑧 ) exp [𝑖𝑘𝑧0 ∆ℎ(𝑞 − 1/2)]
⎝ 𝑖𝑛𝑐 𝑞 ⎠ = ⎝
⎠
𝑒,ℎ− (𝑈 )
𝑎𝑒,ℎ−
(𝑧
)
𝑎
(𝑧
)
exp
[𝑖𝑘
∆ℎ(𝑁
+
1/2
−
𝑞)]
𝑞
𝑧0
𝑆
𝑖𝑛𝑐
𝑖𝑛𝑐
(2.46)
Эти величины необходимо подставлять в (2.45). Здесь необходимо отметить, что на дан­
ном этапе вывода слой с решеткой считается находящимся в однородной изотропной среде
с диэлектрической проницаемостью 𝜀𝑏 . Обобщение результатов на случай наличия произ­
вольных подложки и покрытия будет дано ниже.
Теперь расчет амплитуд дифрагированного поля внутри слоя, согласно методу обоб­
щенных источников (1.36), сводится к решению самосогласованной задачи, представлен­
ной следующей системой линейных алгебраических уравнений:
a = (I − RPVQ)−1 a𝑖𝑛𝑐 = (I − A)−1 a𝑖𝑛𝑐 ,
(2.47)
40
где I — единичная матрица
I = I𝛼𝛽𝑚𝑛𝑝𝑞 = 𝛿𝛼𝛽 𝛿𝑚𝑛 𝛿𝑝𝑞 .
(2.48)
Для нахождения амплитуд дифракционных порядков, распространяющихся от границ ис­
следуемого слоя a𝑜𝑢𝑡 , необходимо еще раз применить (2.45), так что
a𝑜𝑢𝑡 = a𝑖𝑛𝑐 + TPVQ(I − RPVQ)−1 a𝑖𝑛𝑐 .
(2.49)
Введенная здесь матрица T преобразует и когерентно складывает неизвестные амплитуды
дифрагированных волн в каждом подслое в соответствующие амплитуды на границах
слоя с решеткой. Ее компоненты находятся аналогично (2.46) (опять же, для однородной
изотропной среды с проницаемостью 𝜀𝑏 ), их можно записать как
)
T(𝑈
𝑛𝑞 = exp [𝑖𝑘𝑧𝑛 ∆ℎ(𝑁𝑆 + 1/2 − 𝑞)],
(2.50)
T(𝐿)
𝑛𝑞 = exp [𝑖𝑘𝑧𝑛 ∆ℎ(𝑞 − 1/2)].
Наконец, чтобы рассчитать неизвестные электрическое и магнитное поля внутри слоя с
решеткой, воспользуемся (А.7), (А.8), (2.22) и (2.23), что дает
⎞
⎛
I 0
0
⎟
⎜
⎟ 𝐸
⎜
−1 𝑖𝑛𝑐
E(𝑧𝑞 ) = ⎜ 0 I
0 ⎟ Q (I − A) a ,
⎠
⎝
0 0 I − ∆𝜀𝑧
⎛
I 0
0
(2.51)
⎞
⎟
⎜
⎟ 𝐻
⎜
−1 𝑖𝑛𝑐
H(𝑧𝑞 ) = ⎜ 0 I
0 ⎟ Q (I − A) a .
⎠
⎝
0 0 I − ∆𝜇𝑧
(2.52)
Вне слоя с решеткой модифицированные поля (2.22) и (2.23) совпадают с реальными и
могут быть найдены простым умножением вектора a𝑜𝑢𝑡 на матрицы (А.7), (А.8).
Таким образом, полученные выражения (2.47), (2.49), (2.51) и (2.52) полностью опи­
сывают задачу расчета дифракции на голографической решетке с произвольной непрерыв­
ной периодической функцией проницаемости 𝜀(r). Далее рассмотрим численный алгоритм
решения полученных уравнений.
2.5. Численный метод
Во введении к данной главе было указано, что произведение матриц Фурье-обра­
зов проницаемостей и векторов амплитуд полей может быть вычислено с помощью БПФ,
41
для чего необходимо представить решение полученных алгебраических уравнений в итера­
тивном виде. Кроме того, применение итеративных методов оказываются необходимыми
вследствие невозможности выполнять прямое обращение матриц для больших значений
параметров 𝑁𝑂 и 𝑁𝑆 . Сложность прямого обращения составляет 𝑂(𝑁𝑂3 𝑁𝑆3 ), что ограничи­
вает применение данного метода на современных персональных компьютерах значениями
параметров 𝑁𝑂 ∼ 100, 𝑁𝑆 ∼ 10.
Для итеративного решения различных типов систем линейных алгебраических урав­
нений в настоящее время применяется ряд различных методов [38]. Матрица системы
(2.49) является комплексной полностью заполненной матрицей, что значительно сужива­
ет число применимых методов. Наиболее распространенными методами, применяемыми
для решения подобных уравнений, возникающих в задачах расчета рассеяния и дифрак­
ции света [39, 168], являются метод бисопряженных градиентов [38], его модификации
[169, 170], и обобщенный метод минимальных невязок (ОММН) [171]. Их применение для
расчета дифракции разработанным здесь методом показало, что наиболее надежным с
точки зрения сходимости методом является ОММН. Поэтому, его использование неявно
будет подразумеваться во всех приведенных ниже численных примерах и результатах.
Рассмотрим более подробно структуру матрицы A в уравнениях (2.47), (2.49) и (2.51).
Эта квадратная матрица может быть представлена, как состоящая из блоков размера
𝑁𝑆 × 𝑁𝑆 , каждый из которых содержит (2𝑁𝑂 − 1) × (2𝑁𝑂 − 1) внутренних блоков раз­
мера 4 × 4. В силу (2.47), A есть произведение четырех матриц, A = RPVQ. Матрица
R содержит экспоненциальные множители, описывающие распространение плоских волн
между различными подслоями, и ее элементы 𝑅𝑛𝑝𝑞 зависят от разности индексов подсло­
ев (𝑝 − 𝑞). Эта матрица является Теплицевой относительно данной пары индексов, или
блочно-Теплицевой. Аналогично, элементы 𝑉𝑛𝑚𝑝 зависят от разности (𝑛 − 𝑚), и она Тепли­
цева относительно этой пары индексов, а относительно 𝑝, 𝑞 — диагональной. Матрицы P и
Q являются блочно-диагональными относительно внутренних блоков 3×4 и 4×3. Как уже
отмечалось, Теплицева матрица может быть растянута в циркулянт [37], а произведение
циркулянта на вектор может быть вычислено с помощью БПФ.
Таким образом, предлагаемый численный алгоритм основывается на обобщенном ме­
тоде минимальных невязок, в котором матрично-векторные произведения рассчитываются
с помощью БПФ. При использовании в вычислениях (𝑁𝑂 дифракционных порядков и 𝑁𝑆
подслоев, сложность алгоритма может быть оценена как 𝑂 [𝑁𝑆 𝑁𝑂 log (𝑁𝑆 𝑁𝑂 )]. Для боль­
42
ших значений 𝑁𝑂 и 𝑁𝑆 эта зависимость становиться линейной по отношению к произведе­
нию 𝑁𝑆 𝑁𝑂 , что значительно лучше сложности ОММН с обычным матрично-векторным
умножением 𝑂 (𝑁𝑆2 𝑁𝑂2 ) и рассмотренного выше S-матричного метода 𝑂 (𝑁𝑆 𝑁𝑂3 ).
Итак, численный алгоритм можно сформулировать в виде последовательности сле­
дующих действий:
∙ Расчет падающего поля по формулам (2.46) на основании заданных амплитуд на
границах рассматриваемого слоя.
∙ Расчет Фурье-образов диэлектрической и магнитной проницаемостей в каждом под­
слое для заданного типа решетки и предвычисление БПФ от полученных матриц.
∙ Предвычисление БПФ от матрицы R.
∙ Обращение матрицы в (2.47) обобщенным методом минимальных невязок с умноже­
ниями, производимыми посредством БПФ с помощью указанных предвычисленных
матриц, и нахождение дифрагированного поля в каждом подслое.
∙ Расчет амплитуд дифракционных порядков по формуле (2.49) и/или амплитуд полей
на основании (2.51).
2.6. Дифракция на профилированных решетках
В параграфе 2.4 были получены выражения (2.47), (2.49) и (2.51) для расчета ди­
фракции на голографических решетках, для которых величины 𝜀(r) и 𝜇(r) являются пе­
риодическими непрерывными функциями координат. Во многих практических приложе­
ниях, однако, требуется изучать свойства композитных сред, где присутствуют границы
раздела между разными материалами. В этом случае представленное решение уравнений
Максвелла является некорректным ввиду упомянутого во введении перехода к конечным
суммам ряда Фурье произведения разрывных функций. Хотя, с физической точки зрения
можно ожидать относительной близости решения, полученного на основании (2.47), (2.49),
вывод корректных выражений необходим для получения хорошей сходимости решения, и,
следовательно, возможности контроля точности вычислений.
Для рассмотрения профилированных решеток заметим, что обобщенные токи про­
43
порциональны электрическому смещению D и магнитной индукции B:
J𝑔𝑒𝑛 = −𝑖𝜔(D − D𝑏 )
(2.53)
F𝑔𝑒𝑛 = 𝑖𝜔(B − B𝑏 )
Рассмотрим далее случай наличия только электрических обобщенных источников при
постоянной магнитной проницаемости, равной проницаемости вакуума 𝜇𝑏 = 𝜇0 . Учет маг­
нитных источников полностью аналогичен учету электрических. В связи с этим, ниже
будем опускать индексы матриц, указывающих, на какое поле они действуют и к каким
источникам относятся.
Итак, для корректного обрезания рядов Фурье требуется исключить из формулиров­
ки метода операцию взятия Фурье-образа от произведения разрывных функций с совпада­
ющими точками разрыва. Для этого нужно раздельно выписать граничные условия для
нормальных и тангенциальных компонент поля. Тангенциальная компонента электриче­
ского поля Eq непрерывна на границе решетки, и для нее взятие Фурье-образа от обеих
𝑁
𝑂
∑︀
[𝜀]𝑛𝑚 (Eq )𝑚 . Нормальная компонента E⊥
частей (2.53) является корректным: (Dq )𝑛 =
𝑚=−𝑁𝑂
вместе с функцией 𝜀(r) претерпевает разрыв, поэтому их необходимо разделить по разным
𝑁
𝑂
∑︀
[1/𝜀]𝑛𝑚 (D⊥ )𝑚 = (E⊥ )𝑛 . Из последнего выра­
частям равенства (1/𝜀)D = E, что дает
𝑚=−𝑁𝑂
жение следует матричное соотношение между Фурье-образами электрического смещения
и электрического поля D⊥ = [1/𝜀]−1 E⊥ .
На основании описанного разложения тангенциальные и нормальные компоненты
обобщенного электрического тока в (2.53) принимают вид
(︂[︂ ]︂
)︂
𝑁𝑂
∑︁
𝜀q
(𝑗q )𝑛 = −𝑖𝜔𝜀𝑏
− I𝑛𝑚 (𝐸q )𝑚
𝜀𝑏 𝑛𝑚
𝑚=−𝑁𝑂
)︃
(︃[︂ ]︂
𝑁𝑂
−1
∑︁
𝜀𝑏
− I𝑛𝑚 (𝐸⊥ )𝑚
(𝑗⊥ )𝑛 = −𝑖𝜔𝜀𝑏
𝜀
⊥ 𝑛𝑚
𝑚=−𝑁
(2.54)
𝑂
Для применения (2.54) введем в каждой точке на поверхности профиля решетки систему
координат с осями n, 𝜓 и 𝜙. Ось n совпадает с направлением нормали, а направления
двух других осей этой системы определяются углом 𝜓 между направлением нормали к
поверхности и осью 𝑍, и углом 𝜙 между проекцией нормали на плоскость 𝑋𝑌 и осью 𝑋.
При этом, оси 𝜓 и 𝜙 лежат в касательной плоскости к поверхности раздела сред, так,
что ось 𝜙 лежит в плоскости 𝑋𝑌 (Рис. 2.3). Для любого вектора b, заданного в исходной
системе координат 𝑋𝑌 𝑍, его компоненты в новой системе координат будут определяться
44
Рис. 2.3. Локальная система координат n, 𝜓 , 𝜙, определяемая на поверхности раздела сред, и
получаемая путем вращения исходной Декартовой системы на углы 𝜓 и 𝜙.
из соотношения
⎛
𝑏n
⎞
⎛
cos 𝜙 sin 𝜃 sin 𝜙 sin 𝜃
cos 𝜃
⎞⎛
𝑏𝑥
⎞
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑏𝜓 ⎟ = ⎜ cos 𝜙 cos 𝜃 sin 𝜙 cos 𝜃 − sin 𝜃 ⎟ ⎜ 𝑏𝑦 ⎟ .
⎠⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝
− sin 𝜙
cos 𝜙
0
𝑏𝑧
𝑏𝜙
Обратное преобразование задается с помощью транспонированной матрицы:
⎞⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛
cos 𝜙 sin 𝜃 cos 𝜙 cos 𝜃 − sin 𝜙
𝑏
𝑏
⎟⎜ n ⎟
⎜ 𝑥⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 𝑏𝑦 ⎟ = ⎜ sin 𝜙 sin 𝜃 sin 𝜙 cos 𝜃 cos 𝜙 ⎟ ⎜ 𝑏𝜓 ⎟ .
⎝ ⎠ ⎝
⎠⎝ ⎠
cos 𝜃
− sin 𝜃
0
𝑏𝜙
𝑏𝑧
(2.55)
(2.56)
Отметим, что Якобиан данного преобразования равен 1.
Далее, предположим, что тригонометрические функции углов 𝜓 и 𝜙 являются глад­
кими функциями координат, кроме, возможно, конечного числа точек. Данное предпо­
ложение не является сильным ограничением, так как в действительности эти функции
определены изначально лишь на определенных кривых в плоскости каждого подслоя, и
могут быть доопределены на область периода решетки с помощью гладких функций с
узким спектром. Основное условие, которое далее будет неявно подразумеваться — это
45
выполнение основных тригонометрических тождеств на всем периоде:
sin2 𝜓(r) + cos2 𝜓(r) = 1,
(2.57)
sin2 𝜙(r) + cos2 𝜙(r) = 1.
Подходы к экстраполяции тригонометрических функций углов будут рассмотрены ниже
при изучении конкретных решеток. Следует отметить, что схожие подходы были приме­
нены в [68] в отношении дифференциального метода и в [64] относительно одномерного
Фурье-модального метода. Другим возможным подходом является подробно изложенный
в [73] метод генерации векторного поля нормалей на периоде решетки, который в данной
работе не применяется.
Теперь, используя введенные обозначения и соотношения (2.54), можно получить (см.
Приложение В) матричное выражение, связывающее амплитуды падающего и дифраги­
рованного модифицированных полей в каждом подслое слоя с решеткой:
𝑁𝑂
∑︁
∑︁
𝐸˜𝛼𝑛𝑞 =
W𝛼𝛽𝑛𝑚 𝐸˜𝛽𝑚𝑞 .
(2.58)
𝛽=𝑥,𝑦,𝑧 𝑚=−𝑁𝑂
Новая матрица W заменяет V в случае профилированной решетки и имеет вид:
⎞
⎛
−1
−1
−1
∆ − DΓ𝑥𝑥 − DΓ𝑥𝑧 C DΓ𝑧𝑥 −DΓ𝑥𝑦 − DΓ𝑥𝑧 C DΓ𝑧𝑦
−DΓ𝑥𝑧 C
⎟
⎜
⎟
⎜
−1
−1
−1
W = ⎜ −DΓ𝑥𝑦 − DΓ𝑥𝑧 C DΓ𝑧𝑦
∆ − DΓ𝑦𝑦 − DΓ𝑦𝑧 C DΓ𝑧𝑦 −DΓ𝑦𝑧 C ⎟ .
⎠
⎝
−1
−1
−1
−C DΓ𝑧𝑥
−C DΓ𝑧𝑦
I−C
(2.59)
Информация о профиле решетки в виде комбинаций тригонометрических функций углов
𝜓 и 𝜙 содержится в матрице Γ. Она, очевидно, является Теплицевой относительно Фурье
индексов 𝑚, 𝑛 (поскольку состоит из Фурье-образов тригонометрических функций углов
перехода к локальной системе координат на поверхности решетки), и в явном записывается
как
⎛
⎞
⎛
2
2
2
⎞
Γ
Γ
Γ𝑥𝑧
cos 𝜙 sin 𝜓
sin 𝜙 cos 𝜙 sin 𝜓 cos 𝜙 sin 𝜓 cos 𝜓
⎜ 𝑥𝑥 𝑥𝑦
⎟ ⎜
⎟
⎟ ⎜
⎟
⎜
2
2
2
Γ(𝑧) = ⎜ Γ𝑦𝑥 Γ𝑦𝑦 Γ𝑦𝑧 ⎟ = ⎜ sin 𝜙 cos 𝜙 sin 𝜓
sin 𝜙 sin 𝜓
sin 𝜙 sin 𝜓 cos 𝜓 ⎟ (2.60)
⎝
⎠ ⎝
⎠
2
Γ𝑧𝑥 Γ𝑧𝑦 Γ𝑧𝑧
cos 𝜙 sin 𝜓 cos 𝜓 sin 𝜙 sin 𝜓 cos 𝜓
cos 𝜓
Кроме того, дополнительно введенные в (2.59) матрицы D и C имеют вид:
D=
[︁ 𝜀 ]︁
−
[︁ 𝜀 ]︁−1
𝑏
𝜀𝑏
𝜀
[︂ ]︂
𝜀
C=
− DΓ𝑧𝑧
𝜀𝑏
(2.61)
(2.62)
46
Наиболее важным отличием выражения (2.59) от матрицы V является наличие обрат­
ных Теплицевых матриц. Это означает невозможность сохранения быстрого численного
алгоритма, описанного в параграфе 2.5, при прямой замене V на W в формулах (2.47),
(2.49) и (2.51). Чтобы сохранить преимущества метода, разложим матрицу W на произве­
дение W = U(M)−1 , в котором M и U имеют вид (см. Приложение В):
⎛ [︁ 𝜀 ]︁[︁ 𝜀 ]︁
⎞
⎛
⎞
𝑏
0
0
I 0 0
⎜ 𝜀 𝜀𝑏 [︁ ]︁[︁ ]︁
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟ 2
𝜀
𝜀
𝑏
⎜
⎟
⎜
⎟
0
0
M=⎜
sin 𝜓 + ⎜ 0 I 0 ⎟ cos2 𝜓,
⎟
𝜀 𝜀𝑏 [︁ ]︁[︁ ]︁ ⎠
⎝
⎠
⎝
𝜀 𝜀𝑏
0
0
I
0
0
𝜀𝑏 𝜀
⎞
⎛
[︁ 𝜀 ]︁
[︁ 𝜀 ]︁
Γ
G
Γ𝑥𝑦
GΓ𝑥𝑧
∆ M +G
⎟
⎜ 𝑥 𝑥𝑥[︁ ]︁ 𝜀𝑏 𝑥𝑥
𝜀𝑏 [︁ ]︁
⎟
⎜
𝜀
𝜀
⎟,
⎜
U=⎜
Γ𝑦𝑥
∆𝑦 M𝑦𝑦 + G
Γ𝑦𝑦
GΓ𝑦𝑧
G
⎟
𝜀
𝜀
𝑏
𝑏
⎝
[︁ 𝜀 ]︁ ⎠
𝑏
FΓ𝑧𝑥
FΓ𝑧𝑦
M𝑧𝑧 −
𝜀
где
[︁ 𝜀 ]︁[︁ 𝜀 ]︁
𝑏
G=I−
,
𝜀𝑏 𝜀
[︁ 𝜀 ]︁[︁ 𝜀 ]︁
𝑏
F=I−
.
𝜀 𝜀𝑏
(2.63)
(2.64)
(2.65)
Данное разложение позволяет переписать формулы (2.49) и (2.51) таким образом, чтобы
избавиться от обращений матриц (детали приведены в приложении В):
a𝑜𝑢𝑡 = a𝑖𝑛𝑐 + TPU(M − QRPU)−1 Qa𝑖𝑛𝑐
(2.66)
⎛
⎞
M𝑥𝑥
0
0
⎜
⎟
⎜
⎟
(2.67)
E(𝑧𝑞 ) = ⎜ 0
M𝑦𝑦
0 ⎟ (M − QRPU)−1 Qa𝑖𝑛𝑐
⎝
[︁ 𝜀 ]︁ ⎠
𝑏
FΓ𝑧𝑥 FΓ𝑧𝑦
𝜀
Таким образом, уравнения (2.66) и (2.67) представляют собой искомую модифика­
цию (2.49) и (2.51) для случая дифракции на профилированной решетке. Входящие в них
матрицы имеют более сложную структуру, однако в полной мере позволяют использовать
описанный в параграфе 2.5 численный алгоритм.
2.7. Дифракционная решетка в планарной структуре
В параграфах 2.4 и 2.6 рассматривалась дифракционная решетка, находящаяся в
однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью, равной базисной про­
ницаемости метода обобщенных источников 𝜀𝑏 . Однако, для практической применимости
47
разработанного метода необходимо учесть случай с произвольными диэлектрическими
проницаемостями подложки 𝜀𝑠 и покрытия 𝜀𝑐 . Пусть границы разделов базисной среды с
(𝐿)𝑒,ℎ
подложкой и покрытием описываются коэффициентами отражения 𝑟𝑛
(𝐿)𝑒,ℎ
дения 𝑡𝑛
(𝑈 )𝑒,ℎ
, 𝑡𝑛
(𝑈 )𝑒,ℎ
, 𝑟𝑛
и прохож­
для каждой плоской гармоники с индексом 𝑛, распространяющейся из
слоя с решеткой. Покажем, что множественные отражения на этих границах могут быть
точно учтены в явном виде, так, что это не повлияет на скорость описанного выше алго­
ритма.
Изменения, вносимые присутствием границ раздела с подложкой и покрытием, оче­
видно, касаются компонент падающего поля, а также матриц R и T. Сначала рассмотрим
модификацию формул для расчета амплитуд падающего поля на границах слоя с решет­
кой. Учет множественных отражений на этих границах разделов приводит к выражениям
𝑎
𝑒,ℎ+
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
𝑡0
exp(𝑖𝑘𝑧0 ℎ)
(𝑧𝐿 ) =
𝑎𝑒,ℎ+ (𝑧𝑈 )
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
1 − 𝑟0
𝑟0
exp(2𝑖𝑘𝑧0 ℎ)
[︃
]︃
(𝐿)𝑒,ℎ 2 (𝑈 )𝑒,ℎ
(𝑡
)
𝑟
exp(2𝑖𝑘
ℎ)
𝑧0
(𝐿)𝑒,ℎ
+ 0 (𝐿)𝑒,ℎ 0(𝑈 )𝑒,ℎ
+ 𝑟¯0
𝑎𝑒,ℎ− (𝑧𝐿 ),
1 − 𝑟0
𝑟0
exp(2𝑖𝑘𝑧0 ℎ)
𝑡0
[︃
(𝑈 )𝑒,ℎ
𝑎𝑒,ℎ− (𝑧𝑈 ) = 𝑟¯0
1
(𝐿)𝑒,ℎ
(𝑈 )𝑒,ℎ
и 𝑟¯0
1
]︃
(2.68)
𝑎𝑒,ℎ+ (𝑧𝑈 )
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
exp(𝑖𝑘𝑧0 ℎ)
𝑡0
𝑎𝑒,ℎ− (𝑧𝐿 ).
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
− 𝑟0
𝑟0
exp(2𝑖𝑘𝑧0 ℎ)
𝑡0
+
Здесь 𝑟¯0
+
(𝑈 )𝑒,ℎ 2 (𝐿)𝑒,ℎ
) 𝑟0
exp(2𝑖𝑘𝑧0 ℎ)
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
− 𝑟0
𝑟0
exp(2𝑖𝑘𝑧0 ℎ)
(𝑡0
обозначают коэффициенты отражения нулевых гармоник, приходя­
щих к изучаемому слою из подложки и покрытия соответственно. Аналогично, для волн,
возбуждаемых в 𝑞-м подслое, имеем,
(𝑈 )𝑒,ℎ
𝑎
𝑒,ℎ+
(𝑧𝑞 ) =
+
𝑎𝑒,ℎ− (𝑧𝑞 ) =
+
exp [𝑖𝑘𝑧0 ∆ℎ(𝑞 − 1/2)] 𝑒,ℎ+
𝑎
(𝑧𝑈 )
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
1 − 𝑟0
𝑟0
exp(2𝑖𝑘𝑧0 ℎ)
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
𝑡0
𝑟0
exp [𝑖𝑘𝑧0 ∆ℎ(𝑁𝑆 + 𝑞 − 1/2)] 𝑒,ℎ−
𝑎
(𝑧𝐿 ),
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
1 − 𝑟0
𝑟0
exp(2𝑖𝑘𝑧0 ℎ)
(𝑈 )𝑒,ℎ (𝐿)𝑒,ℎ
𝑡0
𝑟0
exp [𝑖𝑘𝑧0 ∆ℎ(2𝑁𝑆 − 𝑞 + 1/2)] 𝑒,ℎ+
𝑎
(𝑧𝑈 )
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
1 − 𝑟0
𝑟0
exp(2𝑖𝑘𝑧0 ℎ)
(𝑈 )𝑒,ℎ
exp [𝑖𝑘𝑧0 ∆ℎ(𝑁𝑆 − 𝑞 + 1/2)] 𝑒,ℎ−
𝑡0
𝑎
(𝑧𝐿 ).
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
1 − 𝑟0
𝑟0
exp(2𝑖𝑘𝑧0 ℎ)
𝑡0
(2.69)
Слагаемые 1/2 в (2.69) показывают, что амплитуды и фазы плоских гармоник вычисля­
ются в середине каждого подслоя.
Теперь рассмотрим распространение гармоник, дифрагированных в подслое 𝑞, в под­
слой 𝑝. Наличие границ раздела с подложкой и покрытием в этом случае приводит к
48
зависимости элементов матрицы R от направления распространения волн, так, что
⎞
⎞⎛
⎞ ⎛
⎛
(𝑒,ℎ)(++)
(𝑒,ℎ)(−+)
𝑒,ℎ+
𝑒,ℎ+
𝑎
𝑅
𝑅𝑛𝑝𝑞
𝑎
⎠ ⎝ 𝑛𝑞 ⎠ ,
⎝ 𝑛𝑝 ⎠ = ⎝ 𝑛𝑝𝑞
(2.70)
(𝑒,ℎ)(+−)
(𝑒,ℎ)(−−)
𝑒,ℎ−
𝑎
𝑅
𝑅
𝑎𝑒,ℎ−
𝑛𝑝𝑞
𝑛𝑝𝑞
𝑛𝑞
𝑛𝑝
где в явном виде
[︃
+
(𝑒,ℎ)(++)
+
= ∆ℎ 𝜃𝑝−𝑞
𝑅𝑛𝑝𝑞
(𝐿)𝑒,ℎ
(𝑒,ℎ)(+−)
= ∆ℎ
𝑅𝑛𝑝𝑞
𝑟𝑛
= ∆ℎ
1
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
𝑟𝑛
𝑟𝑛
]︃
exp [𝑖𝑘𝑧𝑛 ∆ℎ(𝑝 − 𝑞)] ,
exp [2𝑖𝑘𝑧𝑛 ∆ℎ(2𝑁𝑆 + 1 − 𝑝 − 𝑞)]
1 − 𝑟𝑛
(𝑈 )𝑒,ℎ
(𝑒,ℎ)(−+)
𝑅𝑛𝑝𝑞
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
𝑟𝑛
exp(2𝑖𝑘𝑧𝑛 ℎ)
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
− 𝑟𝑛
𝑟𝑛
exp(2𝑖𝑘𝑧𝑛 ℎ)
𝑟𝑛
exp [2𝑖𝑘𝑧𝑛 ∆ℎ(𝑝 + 𝑞 − 1)]
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
𝑟𝑛
1 − 𝑟𝑛
[︃
(𝑒,ℎ)(−−)
−
𝑅𝑛𝑝𝑞
= ∆ℎ 𝜃𝑝−𝑞
+
(2.71)
,
exp(2𝑖𝑘𝑧𝑛 ℎ)
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
𝑟𝑛
exp(2𝑖𝑘𝑧𝑛 ℎ)
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
− 𝑟𝑛
𝑟𝑛
exp(2𝑖𝑘𝑧𝑛 ℎ)
𝑟𝑛
1
,
exp(2𝑖𝑘𝑧𝑛 ℎ)
]︃
exp [−𝑖𝑘𝑧𝑛 ∆ℎ(𝑝 − 𝑞)] .
Первый и последний элементы в (2.71) имеют Теплицеву структуру, и могут быть умно­
жены на вектор с помощью БПФ. Второй и третий элементы зависят от суммы индексов
(𝑝 + 𝑞), и для того, чтобы применить к ним быстрое умножение необходимо сначала изме­
нить порядок нумерации элементов вектора — заменить индекс 𝑞 на 𝑁𝑆 − 𝑞 + 1, а после
выполнения умножения восстановить прежнюю нумерацию.
Наконец, матрица T, которая "собирает"дифрагированные в каждом подслое волны
и "суммирует"их на границе слоя перепишется как
⎛
⎞
(𝑒,ℎ)(++)
(𝑒,ℎ)(−+)
𝑇
𝑇𝑛𝑞
⎝ 𝑛𝑞
⎠
(𝑒,ℎ)(+−)
(𝑒,ℎ)(−−)
𝑇𝑛𝑞
𝑇𝑛𝑞
⎛
⎞
(𝑈 )𝑒,ℎ
exp [𝑖𝑘𝑧𝑛 ∆ℎ(𝑁𝑆 − 𝑞 + 1/2)]
𝑟𝑛
exp [𝑖𝑘𝑧𝑛 ∆ℎ(𝑁𝑆 + 𝑞 − 1/2)]
⎜
⎟
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
⎜ 1 − 𝑟𝑛(𝐿)𝑒,ℎ 𝑟𝑛(𝑈 )𝑒,ℎ exp(2𝑖𝑘𝑧𝑛 ℎ)
1 − 𝑟𝑛
𝑟𝑛
exp(2𝑖𝑘𝑧𝑛 ℎ) ⎟
= ∆ℎ ⎜ (𝐿)𝑒,ℎ
⎟
⎝ 𝑟𝑛
⎠
exp [𝑖𝑘𝑧𝑛 ∆ℎ(𝑁𝑆 − 𝑞 + 1/2)]
exp [𝑖𝑘𝑧𝑛 ∆ℎ(𝑞 − 1/2)]
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
𝑟𝑛
1 − 𝑟𝑛
exp(2𝑖𝑘𝑧𝑛 ℎ)
(𝐿)𝑒,ℎ (𝑈 )𝑒,ℎ
𝑟𝑛
1 − 𝑟𝑛
(2.72)
exp(2𝑖𝑘𝑧𝑛 ℎ)
Таким образом, формулы (2.68), (2.69), (2.71) и (2.72) дают результаты, необходимые для
применения полученных неявных уравнений для расчета дифракции на решетках, заклю­
ченных между произвольными однородными подложкой и покрытием. Важным резуль­
татом данного параграфа является демонстрация и реализация возможности включения
множественных переотражений на границах изучаемого слоя в быструю схему вычисле­
ний, предложенную в параграфе 2.5.
В итоге, окончательный алгоритм для расчета дифракции на профилированной ре­
шетке, включенной в некоторую слоистую структуру, выглядит следующим образом,
49
∙ Расчет падающего поля по формулам (2.68), (2.69) на основании заданных амплитуд
на границах рассматриваемого слоя.
∙ Расчет Фурье-образов диэлектрической и магнитной проницаемостей в каждом под­
слое для заданного типа решетки и предвычисление БПФ от полученных матриц.
∙ Расчет Фурье-образов компонент матрицы Γ (2.60) для заданного типа решетки и
предвычисление БПФ этой матрицы.
∙ Предвычисление БПФ матрицы R (2.71).
∙ Обращение матрицы в (В.20) обобщенным методом минимальных невязок с умноже­
ниями, производимыми посредством БПФ с помощью указанных предвычисленных
матриц, и нахождение дифрагированного поля в каждом подслое.
∙ Расчет амплитуд дифракционных порядков по формуле (2.66) и/или амплитуд полей
на основании (2.67).
2.8. Сходимость численного метода
Теоретические результаты предыдущего параграфа завершают разработку нового
быстрого и малотребовательного по памяти метода расчета дифракции и рассеяния све­
та на, возможно, весьма сложных диэлектрических структурах. Данный параграф де­
монстрирует, что результаты, получаемые с помощью этого метода с большой точностью
согласуются с результатами других хорошо известных методов расчета дифракционных
структур. Для этой цели были выбраны две эталонные структуры, дифракция на кото­
рых может быть рассчитана с помощью ФММ и метода Рэлея. ФММ был выбран в силу
своей популярности и широкой применимости для расчета дифракции на решетках раз­
нообразной формы. Более того, ФММ, как и предложенный метод, работает в Фурье-про­
странстве. Это позволяет ожидать, что при заданном числе дифракционных порядков,
результаты, получаемые с помощью рассматриваемого метода для разных значений 𝑁𝑆
разбиения решетки на подслои, будут стремиться к результатам ФММ при 𝑁𝑆 → ∞.
Второй эталонный метод — метод Рэлея — был выбран потому, что наилучшим образом
описывает дифракцию на синусоидальных решетках [172].
Для сравнения с ФММ была рассчитана дифракция на одномерной и двумерной го­
лографических синусоидальных решетках с непрерывно изменяющимся показателем пре­
50
ломления в объеме слоя с решеткой. При этом диэлектрическая проницаемость задавалась
функцией
⎧
⎪
⎪
⎪
𝜀𝑐 ,
𝑧 > 𝑧𝑢 ,
⎪
⎪
⎨
𝜀(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝜀𝑔 [1 + 𝑐 sin (2𝜋𝑥/Λ𝑥 ) + 𝑐 sin (2𝜋𝑦/Λ𝑦 )] , 𝑧𝑙 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑢 ,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩𝜀 𝑠 ,
𝑧 < 𝑧𝑙 ,
(2.73)
где 𝑐 — постоянный множитель, достаточно малый, чтобы выполнялость условие 𝜀 ≥ 1
(в одномерном случае полагается Λ𝑦 = ∞). Отметим, что описываемая формулой (2.73)
структура не зависит от координаты 𝑧, что позволяет производить ее расчет с помощью
ФММ особенно эффективно [73]. Фурье-матрица [𝜀/𝜀𝑏 ]𝑚𝑛 вычисляется аналитически, то­
гда как расчет [𝜀𝑏 /𝜀]𝑚𝑛 производился численно. Для расчета дифракции используется
формула (2.49). Результаты, полученные с помощью предложенного метода и ФММ при­
ведены в Таблицах Г.1, Г.2 для следующих значений параметров задачи: 𝑛𝑔 = 𝑛𝑠 = 2.5,
𝑛𝑐 = 1, 𝑐 = 0.1, Λ𝑥 = Λ𝑦 = 1 мкм, ℎ = 0.5 мкм, 𝜃𝑖𝑛𝑐 = 𝜙𝑖𝑛𝑐 = 30∘ , 𝜆 = 0.6328 мкм. На
Рис. 2.4, 2.5 показана сходимость метода при увеличении числа разбиений 𝑁𝑆 и сравне­
ние с результатом, полученным с помощью ФММ. Здесь не обозначено число дифракци­
онных порядков 𝑁𝑂 , поскольку в пределах от 10 до 100 для одномерной решетки и от
𝑁𝑂 = 𝑁𝑂𝑋 𝑁𝑂𝑌 = 5 × 5 = 25 до 𝑁𝑂 = 𝑁𝑂𝑋 𝑁𝑂𝑌 = 40 × 40 = 1600 для двумерной решетки
полученные зависимость практически совпадали.
Второе сравнение было проведено с целью проверки точности метода при изучении
сложных профилированных структур. Один из немногих методов, которые могут быть
приняты за эталонные в этом случае, — метод Рэлея. Профиль синусоидальной решетки,
используемой для сравнения, задается функцией
𝑧(𝑥, 𝑦) =
ℎ
[sin(2𝜋𝑥/Λ𝑥 ) + sin(2𝜋𝑦/Λ𝑦 )] ,
2
(2.74)
(в одномерном случае, как и ранее, полагаем Λ𝑦 = ∞), а соответствующее пространствен­
ное распределение диэлектрической проницаемости
⎧
⎪
⎨𝜀𝑠 , 𝑧 ≤ 𝑧(𝑥, 𝑦);
𝜀(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
⎪
⎩𝜀𝑐 , 𝑧 > 𝑧(𝑥, 𝑦).
(2.75)
Сравнение было проведено для значений параметров 𝑛𝑠 = 2.5, 𝑛𝑐 = 1, Λ𝑥 = Λ𝑦 = 1 мкм,
ℎ = 0.2 мкм, 𝜃𝑖𝑛𝑐 = 𝜙𝑖𝑛𝑐 = 30∘ , 𝜆 = 0.6328 мкм.
51
max(∆an)
10-4
maxan(NS) - aref n(NS), TE
maxan(NS) - aref n(NS), TM
maxan(NS) - an(NS/1.5), TE
maxan(NS) - an(NS/1.5), TM
10-5
10
-6
10-7 -3
10
10-2
1/NS
Рис. 2.4. Сходимость метода (относительная ошибка) и сравнение с ФММ (абсолютная ошибка)
при увеличении числа подслоев разбиения слоя с решеткой при расчете дифракции на одномерной
голографической синусоидальной решетке. Параметры расчета: Λ𝑥 = 1 мкм, ℎ = 0.5 мкм, 𝑐 = 0.1,
𝑛𝑠 = 𝑛𝑔 = 2.5, 𝑛𝑐 = 1, 𝜃𝑖𝑛𝑐 = 30∘ , 𝜆 = 0.6328 мкм.
В общем случае Фурье-образы угловых функций, составляющих тензор Γ (2.60),
должны быть рассчитаны для каждого подслоя отдельно. Однако, в рассматриваемом
частном случае синусоидальной решетки они могут быть определены одинаково для всех
слоев сразу. Тригонометрические функции углов 𝜃 и 𝜙, а также их комбинации, входя­
щие в (2.60), могут быть выписаны в явном аналитическом виде на основании (2.74). Для
одномерной решетки Фурье-интегралы берутся аналитически. Для двумерной решетки с
помощью формул для углов и БПФ вычисляются Фурье-матрицы с достаточно большим
размером, чтобы из них можно было выделять подматрицы, соответствующие требуемым
значениям чисел дифракционных порядков 𝑁𝑂𝑋 , 𝑁𝑂𝑌 . При этом увеличение размеров
матриц БПФ позволяет проследить сходимость подматриц к правильным значениям.
На Рис. 2.6, 2.7 показана сходимость метода при расчете дифракции на одномерной
и двумерной синусоидальных решетках, а на Рис. 2.8, 2.9 — сравнение с эталонными реше­
ниями. Из них можно видеть, что для фиксированного числа дифракционных порядков
𝑁𝑂 , увеличение числа подслоев приводит к решению, обладающему постоянной ошибкой.
52
maxan(NS) - an(NS/1.5)
max(∆an)
maxan(NS) - aref n(NS)
10-4
10-5
0.002
0.005
0.01
1/NS
Рис. 2.5. Сходимость метода (относительная ошибка) и сравнение с ФММ (абсолютная ошибка)
при увеличении числа подслоев разбиения слоя с решеткой при расчете дифракции на двумерной
голографической синусоидальной решетке. Параметры расчета: Λ𝑥 = Λ𝑦 = 1 мкм, ℎ = 0.5 мкм,
𝑐 = 0.1, 𝑛𝑠 = 𝑛𝑔 = 2.5, 𝑛𝑐 = 1, 𝜃𝑖𝑛𝑐 = 𝜙𝑖𝑛𝑐 = 30∘ , 𝜆 = 0.6328 мкм.
Последняя характеризует погрешность, вносимую обрезанием бесконечного числа дифрак­
ционных порядков, и уменьшается при увеличении 𝑁𝑂 . Отсюда можно сделать вывод, что
с помощью предложенного метода возможно получать решение с заданной точностью при
условии, что для расчета выбраны достаточно большие значения 𝑁𝑆 и 𝑁𝑂 . Значения ди­
фракционных эффективностей, рассчитанных для синусоидальной решетки приведены в
таблицах Г.3, Г.4 Приложения Г.
В качестве дополнительного критерия сходимости и оценки ошибки можно было бы
выбрать точность выполнения закона сохранения энергии (или энергетический баланс)
[50]. Однако, во всех проведенных расчетах это условие выполнялось с бóльшей точностью
(на один-три порядка), чем показывала сходимость и сравнение с эталонным решением.
Пример зависимости времени вычислений от числа дифракционных порядков при­
веден на Рис. 2.10 для расчета дифракции на двумерной синусоидальной решетке, ана­
логичной вышеописанной, но с глубиной 0.5 мкм и 𝑁𝑆 = 250 для предложенного метода
и ФММ. Как и можно было ожидать, эта зависимость для исследуемого метода близка
53
max(∆an)
10-4
10-5
TE
TM
-6
10
4 10-4
10-3
8 10-3
1/NS
Рис. 2.6. Сходимость метода при увеличении числа подслоев разбиения слоя с решеткой при
расчете дифракции на одномерной синусоидальной решетке. Параметры расчета: Λ𝑥 = 1 мкм,
ℎ = 0.2 мкм, 𝑛𝑠 = 2.5, 𝑛𝑐 = 1, 𝜃𝑖𝑛𝑐 = 30∘ , 𝜆 = 0.6328 мкм.
к линейной. Скачки между отрезками прямой линии обусловлены применением БПФ по
основанию 2 [173], поскольку в методе Теплицевы матрицы растягиваются в циркулян­
ты, размер которых пропорционален целым степеням числа 2, так что размер матриц,
участвующих в вычислениях, удваивается каждый раз, когда эта степень увеличивается.
2.9. Выводы ко второй главе
В данной главе метод обобщенных источников, описанный в обзоре литературы, при­
менен для разработки метода расчета дифракции света в плоских решетках. Выписан
общий вид базисного решения уравнений Максвелла для плоских гармоник электриче­
ских и магнитных источников. На основании этого решения и перехода к двумерному
Фурье-представлению полей и токов в явном аналитическом виде получены компоненты
S-матрицы бесконечно тонкого неоднородного слоя как для голографических, так и для
профилированных решеток. С помощью этих выражений развит численный метод расче­
та дифракции на одномерных и двумерных решетках с произвольным профилем. Далее
с помощью базисного решения получена система интегральных уравнений, описывающая
54
max(∆an)
7 10-4
NO = 15
NO = 22
NO = 33
10-4
10-5
2 10-3
10-2
2 10-2
1/NS
Рис. 2.7. Сходимость метода при увеличении числа подслоев разбиения слоя с решеткой при рас­
чете дифракции на двумерной синусоидальной решетке. Параметры расчета: Λ𝑥 = Λ𝑦 = 1 мкм,
ℎ = 0.2 мкм, 𝑛𝑠 = 2.5, 𝑛𝑐 = 1, 𝜃𝑖𝑛𝑐 = 𝜙𝑖𝑛𝑐 = 30∘ , 𝜆 = 0.6328 мкм.
-4
<∆an>
<∆an>
10
10-5
NO = 25
NO = 38
NO = 58
NO = 90
NO = 140
-6
10
4 10-4
10-3
10-4
NO = 25
NO = 38
NO = 58
NO = 90
NO = 140
10-5
8 10-3
4 10-4
10-3
8 10-3
1/NS
а)
1/NS
б)
Рис. 2.8. Сравнение метода с эталонным решением, полученным методом Рэлея, при увеличении
числа подслоев разбиения слоя с решеткой при расчете дифракции на одномерный синусоидаль­
ной решетке для а) ТЕ- и б) ТМ-поляризаций. Параметры расчета те же, что и для Рис. 2.6.
дифракцию в плоских неоднородных слоях. На основании данной системы разработан
быстрый и малотребовательный к памяти численный метод расчета дифракции на одно­
мерных и двумерных решетках с произвольным профилем. Проведено сравнение расчетов
55
NO = 15
NO = 22
NO = 33
max(∆an)
10-3
-4
10
2 10-3
10-2
2 10-2
1/NS
Рис. 2.9. Сравнение метода с эталонным решением, полученным методом Рэлея, при увеличении
числа подслоев разбиения слоя с решеткой при расчете дифракции на двумерной синусоидальной
решетке. Параметры расчета те же, что и для Рис. 2.7.
дифракции с эталонными результатами, полученными известными методами. Показано,
что вычислительная сложность разработанного метода существенно ниже, чем у суще­
ствующих аналогов, а именно, она линейна относительно произведения числа узлов сеток
координатного и Фурье-пространств. Кроме того, показано, что наличие произвольных
сред на границах изучаемого слоя может быть точно учтено при сохранении преимуществ
численного метода. Указанные особенности делают использование метода более предпо­
чтительным, чем широко известного ФММ, для решения прикладных задач, связанных с
расчетом дифракции на двумерных решетках со сложным профилем. Результаты, пред­
ставленные в первой главе опубликованы в работах [65, 174, 175].
56
GSM
FMM
N2
6
N
6
10
τ, c
105
104
103
102
10
20
NOx, NOy
30
40
50
Рис. 2.10. Время расчета дифракции на синусоидальной решетке глубиной 0.5 мкм и контрастом
показателя преломления 1.5 с помощью разработанного метода и ФММ.
Глава 3
Органические светодиоды с рассеивающими слоями
3.1. Расчет рассеяния на непериодических структурах
В предыдущей главе был обоснован переход от задачи рассеяния к задаче дифракции
на решетках, и разработан метод точного и эффективного расчета дифракции оптического
излучения на плоских одномерных и двумерных дифракционных решетках. Теперь необхо­
димо произвести обратный переход к расчету рассеяния в непериодических неоднородных
слоях с помощью развитого численного метода. Разработанный подход будет применен к
решению задачи моделирования ОСИД с рассеивающим слоем.
Рассмотрим некоторую непериодическую рассеивающую структуру, схематически
изображенную на Рис. 3.1. Пусть эта структура представляет из себя конечный набор
рассеивающих частиц, которые могут иметь различный размер, форму и быть сделан­
ными из различных материалов. Обозначим характерный размер области, заполненной
частицами, и характерный размер частиц как Λ и 𝑑𝑠 соответственно. Согласно изначаль­
ной идее, описанной во введении к Главе 2, разработанный численный метод требует пре­
образования геометрических параметров и координатной функции диэлектрической про­
ницаемости структуры в Фурье-пространство. Пусть максимальный рассматриваемый в
Фурье-представлении модуль волнового вектора в плоскости 𝑋𝑌 равен 𝛾𝑚𝑎𝑥 . Его необходи­
мо выбирать таким образом, чтобы разрешить характерные размеры частиц 𝛾𝑚𝑎𝑥 ∼ 𝛼/𝑑𝑠 ,
где коэффициент 𝛼 > 1. Если обозначить шаг сетки в сопряженном пространстве как ∆𝛾,
то ∆𝛾 ∼ 1/Λ и 𝛾𝑚𝑎𝑥 = 𝑁𝑂 ∆𝛾. Отсюда следует, что 𝑁𝑂 ∼ 𝛼Λ/𝑑𝑠 . Если выбрать, например,
Λ ∼ 5 мкм, 𝑑𝑠 ∼ 0.5 мкм и 𝛼 ∼ 10, получаем, что число дифракционных порядков в одном
измерении должно быть 𝑁𝑂 ∼ 100.
Рассеяние на непериодической структуре приводит к некоторому непрерывному рас­
пределению рассеянного излучения во всем пространстве как в ближней, так и в дальней
зоне. С другой стороны, дифракция на периодической решетке в дальней зоне излучения
описывается конечным дискретным набором дифракционных порядков. Рассмотрим рас­
сеивающий объем, на который падает плоская волна, распространяющаяся вдоль оси 𝑍.
Через 𝐹 (1) (𝜃) обозначим амплитуду рассеяния в дальней зоне, где 𝜃 — угол между осью
𝑍 и направлением распространения рассеянной волны (для простоты рассмотрим двумер­
58
ный случай). Амплитуда рассеяния от 𝑁 таких же рассеивателей 𝐹 (𝑁 ) , отстоящих друг
от друга на расстояние Λ, и расположенных вдоль оси 𝑋, запишется как
𝑛=𝑁/2
𝐹
(𝑁 )
(𝜃) = 𝐹
(1)
(𝜃)
∑︁
exp(𝑖𝑘0 𝑛Λ sin 𝜃) = 2𝜋𝐹 (1) (𝜃)
𝑛=−𝑁/2
sin [(𝑁 + 1/2)𝑘0 Λ sin 𝜃]
(︀
)︀
,
sin 𝑘0 Λ2sin 𝜃
(3.1)
если пренебречь процессом перерассеяния на разных частях продолженной структуры. То­
гда, в пределе 𝑁 → ∞ получаем, что дифракционные порядки в точности воспроизводят
диаграмму рассеяния:
𝐹
(∞)
(𝜃) = 𝐹
(1)
(𝜃)
∞
∑︁
𝛿 (𝑘0 Λ sin 𝜃 + 2𝜋𝑛) .
(3.2)
𝑛=−∞
Таким образом, для воспроизведения амплитудной диаграммы рассеяния, или дифферен­
циального сечения рассеяния расчета рассеяния с помощью разработанного представле­
ния задачи в Фурье-пространстве, требуется уменьшить вклад, вносимый перерассеянием.
Наиболее простым способом представляется увеличение периода рассматриваемых реше­
ток таким образом, чтобы рассеивающие части отстояли друг от друга на расстояние
порядка нескольких длин волн. Кроме того, изучение решеток с периодом, значительно
превышающим длину волны, необходимо для получения достаточного числа распростра­
няющихся дифракционных порядков, которые должны воспроизводить диаграмму рассе­
яния. В работах [79–81] для расчета двумерных рассеивателей с помощью ФММ были
дополнительно применены идеально сочетающийся слои (ИСС, [82, 83]), расположенные
на границах каждого периода решетки. С их помощью достигалось полное поглощение пе­
рерассеянного излучения. Здесь мы не будет рассматривать ИСС, и покажем, что они не
являются необходимыми для достаточно точного расчета рассеяния. Теперь подробно рас­
Рис. 3.1. Переход от задачи рассеяния на уединенном объекте к задаче дифракции на решетке.
59
смотрим представление рассеивающего слоя в рамках разработанного метода. Рассеиваю­
щие частицы, сравнимые с длинами волн оптического излучения, имеют размеры десятки
и сотни нанометров, и в большинстве приложений их форма может с хорошей точности
считаться сферической. Поэтому, далее будем изучать группы сферических рассеивате­
лей. Для простоты рассмотрим решетку, период которой содержит всего одну сфериче­
скую частицу радиуса 𝑟𝑠 . Приведенные ниже результаты непосредственно переносятся на
случай нескольких частиц. При разбиении слоя с указанной решеткой на подслои, каждый
√︀
подслой будет состоять из кругового включения радиуса 𝑟(𝑧) = 𝑟𝑠2 − 𝑧 2 (здесь начало
системы координат помещено в центр сферы) среды с проницаемостью 𝜀𝑔 в прямоуголь­
ную область, соответствующую среде с проницаемостью 𝜀𝑚 . Вид сверху относительно оси
𝑍 на такой подслой показан на Рис. 3.2. Фурье-образ соответствующей кусочно-заданной
функции вычисляется аналитически и имеет вид
⎧
𝜋𝑟2 (𝑧)
⎪
⎪
𝜀
+
∆𝜀
,
𝑚 = 𝑛 = 0;
𝑚
⎪
⎪
Λ𝑥 Λ𝑦 (︂
⎪
)︂
⎨
√︁
𝜀𝑚𝑛 (𝑧) =
𝑟(𝑧)𝐾𝑥 𝐾𝑦 𝐽1 𝑟 (𝑚𝐾𝑥 )2 + (𝑛𝐾𝑦 )2
⎪
⎪
⎪
√︁
, 𝑚𝑛 =
̸ 0.
∆𝜀
⎪
⎪
⎩
2𝜋 (𝑚𝐾𝑥 )2 + (𝑛𝐾𝑦 )2
(3.3)
Рис. 3.2. Вид сверху относительно оси 𝑍 на подслой решетки, каждый период которой содержит
сферическую частицу.
Более сложным является вычисление Фурье-образов тригонометрических функций
углов, определяющих локальную систему координат на поверхности сферы (2.60). Будем
рассчитывать их в каждом подслое отдельно. Поместив начало координат в центр сфе­
ры, угол 𝜃 между нормалью и осью 𝑍, очевидно, будет константой для каждого отдель­
но взятого подслоя. Так что, необходимо рассмотреть только функции 𝑓𝑠 = sin2 𝜑(𝑥, 𝑦),
60
𝑓𝑐 = cos2 𝜑(𝑥, 𝑦) и 𝑓𝑠 𝑐 = sin 𝜑(𝑥, 𝑦) cos 𝜑(𝑥, 𝑦). Как было упомянуто в главе 2, эти функции
изначально определены на границе раздела сред, то есть, в каждом подслое — на окружно­
сти радиуса 𝑟(𝑧). Доопределим их на всем периоде следующим образом. В окрестности ука­
занной окружности проведем круговую полосу, ограниченную радиусами 𝑟𝑚𝑖𝑛 и 𝑟𝑚𝑎𝑥 , так,
что 𝑟𝑚𝑖𝑛 < 𝑟(𝑧) < 𝑟𝑚𝑎𝑥 , и, кроме того, 𝑟𝑚𝑖𝑛 ≥ 0 и 𝑟𝑚𝑎𝑥 < 1/2 min(Λ𝑥 , Λ𝑦 ). Таким образом,
период оказывается разделен на четыре области, A, B, C и D, показанные на Рис. 3.2. В об­
ластях А и D примем 𝑓𝑠 = 𝑓𝑐 = 0.5, 𝑓𝑠 = 0. Далее введем функцию-"шапочку"переменной
√︀
𝜌 = 𝑥2 + 𝑦 2 :
⎧
⧸︃
[︁
]︁
[︁
]︁
⎪
R𝜌
R𝑟
⎪
𝑡
𝑡
⎪
exp
−
𝑑𝑡
exp
−
𝑑𝑡, 𝑟𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜌 ≤ 𝑟(𝑧),
⎪
(𝑡−𝑟𝑚𝑖𝑛 )(𝑟−𝑡)
(𝑡−𝑟𝑚𝑖𝑛 )(𝑟−𝑡)
⎨
𝑟𝑚𝑖𝑛
𝑟𝑚𝑖𝑛
⧸︃
(3.4)
𝑓ℎ (𝜌) = 𝑟
]︁
[︁
]︁
[︁
𝑟𝑚𝑎𝑥
𝑚𝑎𝑥
⎪
R
R
⎪
𝑡
𝑡
⎪
𝑑𝑡
exp − (𝑟𝑚𝑎𝑥 −𝑡)(𝑡−𝑟)
𝑑𝑡, 𝑟(𝑧) ≤ 𝜌 ≤ 𝑟𝑚𝑎𝑥 ,
exp − (𝑟𝑚𝑎𝑥 −𝑡)(𝑡−𝑟)
⎪
⎩
𝜌
𝑟
график которой приведен на Рис. 3.3. Вычисление функций вида (3.4) выполняется очень
быстро с заданной точностью методом квадратур Гаусса. С помощью (3.4) запишем 𝑓𝑠 и
𝑓𝑐 областях И и С как
1
𝑓𝑠 (𝜌) = 𝑓ℎ (𝜌) sin2 𝜙 + [1 − 𝑓ℎ (𝜌)],
2
1
2
𝑓𝑐 (𝜌) = 𝑓ℎ (𝜌) cos 𝜙 + [1 − 𝑓ℎ (𝜌)],
2
(3.5)
𝑓𝑠𝑐 (𝜌) = 𝑓ℎ (𝜌) sin 𝜙 cos 𝜙,
где sin 𝜙 = 𝑦/𝜌, cos 𝜙 = 𝑥/𝜌. Пример функции 𝑓𝑠 приведен на Рис. 3.4. Функции, анало­
гичные (3.4), хорошо известны в теории обобщенных функций как примеры бесконечно
дифференцируемых распределений [66]. Определения (3.5) введены таким образом, что
на границе раздела сред эти функции совпадают со значениями соответствующих триго­
нометрических функций, и всюду на периоде выполняется основное тригонометрическое
тождество 𝑓𝑠 + 𝑓𝑐 = 1. Далее с помощью (3.5) получаются искомые Фурье-матрицы, со­
ставляющие Γ. Преобразование Фурье вычисляется с помощью БПФ с увеличивающимся
числом точек для получения сходимости подматрицы необходимого размера.
3.2. Рассеяние плоской волны на слое с наночастицами
Перед тем, как применить метод, необходимо, как и ранее, оценить точность по­
лучаемых результатов путем изучения сходимости к эталонному решению. Простейшим
61
1
fh(ρ)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
ρ
Рис. 3.3. Пример графика функции 𝑓ℎ , определенной в (3.4), со значеиями параметров 𝑟𝑚𝑖𝑛 = 1,
𝑟𝑚𝑎𝑥 = 2.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
0.8
0.6
Z 0.4
0.2
0
Λ/2
-Λ/2
Y 0
0 X
Λ/2 -Λ/2
Рис. 3.4. График функции 𝑓𝑠 = sin2 𝜙(𝑥, 𝑦).
трехмерным рассеивающим объектом является однородная сфера. Рассеяние плоской элек­
тромагнитной волны на сфере описывается хорошо известным решением Ми [45].
Для сравнения рассмотрим решетку, состоящую из диэлектрических сфер с показа­
телем преломления 1.5, помещенных в среду с показателем преломления 1, совпадающим
62
с проницаемостями подложки 𝜀𝑠 и покрытия 𝜀𝑐 . Примем радиус сферы равным 1 мкм, а
длину падающей нормально к решетке плоской волны — 0.6328 мкм. Иллюстрацией рас­
суждениям предыдущего параграфа по поводу сравнения дифференциального сечения
рассеяния с дифракционными эффективностями служит Рис. 3.5. На нем хорошо вид­
но, что дифракционные эффективности хорошо воспроизводят все особенности диаграм­
мы рассеяния. На следующем Рис. 3.6 показаны графики сходимости к дифракционных
эффективностей к дифференциальному сечению рассеяния с увеличением числа дифрак­
ционных порядков при фиксированном периоде решетки. Из графиков следует, что для
каждого значения периода решение, полученное методом обобщенных источников, с уве­
личением числа порядков сходится к значению, имеющему некоторую фиксированную
ошибку. Эта ошибка характеризует долю перерассеиваемой энергии. При увеличении пе­
риода она уменьшается и по абсолютной величине при всех расчетах составляет величину
порядка 1%, что, как правило, вполне приемлемо для практических применений и срав­
нения с экспериментом.
Далее перейдем к примеру расчета рассеяния на более сложной структуре. В экс­
перименте информацию о рассеивающем слое могут составлять объемная или массовая
доля частиц и их функция распределения по размерам. Последняя, как правило, достаточ­
но хорошо аппроксимируется Гауссовым распределением, задаваемым средним значением
диаметра частицы и среднеквадратичным отклонением от этого диаметра. Моделирование
падающего на рассеивающий слой излучения с помощью плоской волны означает, что диа­
метр реального падающего пучка должен быть много больше длины волны. Кроме того, он
должен быть много больше периода решетки, используемого для расчета разработанным
методом. Это значит, что для достоверного моделирования рассеяния в этом случае необхо­
димо дополнительно проводить усреднение дифракционных эффективностей по группам
частиц, заполняющих период.
Предложенный метод рассчитывает рассеяние на слое когерентно. Однако, в процес­
се рассеяния в толстых по сравнению с длиной волны слоях происходит потеря когерент­
ности на масштабах порядка нескольких длин волн. Это означает, что описанным мето­
дом можно рассчитывать слои глубиной того же порядка — несколько длин волн. Чтобы
изучать рассеяние в толстых слоях, необходимо разбить слой на несколько более тонких
вторичных слоев, рассчитать компоненты 𝑆10 (1.14) S-матрицы (если рассматривается рас­
сеяние в прямом направлении) для распространяющихся дифракционных порядков в каж­
63
1
Λ = 6 µm
Λ = 8 µm
Λ = 10 µm
Mie
-1
dθ/dΩ
10
-2
10
-3
10
10-4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
θ
а)
Λ = 6 µm
Λ = 8 µm
Λ = 10 µm
Mie
dθ/dΩ
1
10-1
10-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
θ
б)
Рис. 3.5. Нормированное дифференциальное сечение рассеяния плоской волны на сфере, получен­
ное с помощью решения Ми, и дифракционные эффективности дифракции такой же волны на
двумерной решетке из идентичных сфер того же размера для а) ТЕ-поляризации и б) ТМ-поляри­
зации. Радиус сферы равен 1 мкм, длина волны — 0.6328 мкм, контраст показателя преломления
— 1.5.
дом вторичном слое, а затем рассчитать дифракционные эффективности толстого слоя,
последовательно выполняя операцию свертки для вторичных слоев. Отметим, что число
элементов S-матрицы в данном случае фиксировано периодом решетки и диэлектрически­
maxk dσ/dΩ(θk) - bkcosθk
64
Λ = 4 µm
Λ = 6 µm
Λ = 8 µm
0.04
0.03
0.02
0.01
0.01
0.02
0.03
1/NO
Рис. 3.6. Сходимость к решению Ми.
ми проницаемостями матрицы рассеивающего слоя, подложки и покрытия.
В качестве примера рассмотрим рассеивающий слой с показателем преломления ча­
стиц 𝑛𝑔 = 1.7 и показателем преломления матрицы 𝑛𝑚 = 1.6, нанесенный на подложку с
𝑛𝑠 = 1.5 и граничащий с воздухом с 𝑛𝑐 = 1. Пусть средний диаметр частиц ⟨𝑟𝑠 ⟩ = 0.5 мкм,
среднеквадратичное отклонение от этого значения составляет ⟨𝛿𝑟𝑠2 ⟩ = 0.01 мкм, и длина
волны падающего излучения. Диаграммы рассеяния нормально падающей плоской волны
для различной толщины рассеивающего слоя приведены на Рис. 3.7. Как и можно ожи­
дать, с увеличением толщины слоя высота основного максимума уменьшается, а ширина
увеличивается. Зависимость мощности волны, распространяющейся в прямом направле­
нии перпендикулярно рассеивающему слою, показана на Рис. 3.8. Эта кривая хорошо
описывается экспоненциальной функцией 𝐶 exp(−𝜅ℎ). Зависимость значений 𝜅, получен­
ных с помощью интерполяции кривых вида 3.8 указанной экспоненциальной функцией,
от среднего радиуса частиц в слое приведена на Рис. 3.9. Последний график показывает,
что эта зависимость близка к линейной для частиц, размеры которых сравнимы с длиной
волны рассеиваемого излучения.
Одним из аргументов в пользу разработки точного метода решения уравнений Макс­
велла для решения задачи моделирования ОСИД с рассеивающим слоем, указанным в
первой главе, является необходимость учитывать вклад в рассеяние затухающих по оси 𝑍
65
1
h = 30 µm
h = 60 µm
h = 90 µm
dσ/dΩ
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
θ
Рис. 3.7. Диаграммы рассеяния на слоях различной толщины, состоящих из частиц с показателем
преломления 1.7, находящихся в матрице с показателем преломления 1.6. Средний радиус частиц
равен 0.5 мкм, а их распределение по размерам является Гауссовым со среднеквадратичным
отклонением 0.05 мкм. Длина волны падающего излучения — 0.5 мкм.
гармоник. Поэтому, для рассеивающего слоя с указанными выше параметрами приведем
еще один график, демонстрирующий расчет рассеяния затухающих волн. На Рис. 3.10
показана зависимость сечения рассеяния плоских гармоник с единичной амплитудой в за­
висимости от проекции волнового вектора этих гармоник в плоскости 𝑋𝑌 . Из графика,
построенного в полулогарифмическом масштабе, видно, что зависимость можно аппрокси­
мировать экспоненциальной функцией 𝜎(𝛾) = 𝐶1 exp(−𝐶2 𝛾) с коэффициентами 𝐶1 = 12.5,
𝐶2 = 13.4.
3.3. ОСИД с рассеивающими слоями
В данном параграфе рассмотрим приложение разработанных методов к моделиро­
ванию излучения органических светодиодов. Сначала будет описан метод расчета ОСИД
с однородными слоями, основанный на S-матрицах. Затем разработанные в диссертации
подходы будут объединены для решения задачи расчета эффективности ОСИД с рассеи­
вающим слоем.
66
1
dσ/dΩ(θ = 0)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
20
40
60
80
h, µm
100
120
140
Рис. 3.8. Зависимость мощности волны, распространяющейся в прямом направлении перпенди­
кулярно рассеивающему слоя, от толщины слоя.
Приведем дополнительные к формулам (1.15)-(1.17) выражения, необходимые для
моделирования слоистых структур [176]. Рассмотрим планарную структуру, содержащую
слой дипольных источников в плоскости 𝑧 = 𝑧𝑠 (см. Рис. 3.11а)). S-матрицы частей струк­
туры, расположенные сверху и снизу (относительно оси 𝑍) от источников обозначим, со­
ответственно, как 𝑆 𝑈 и 𝑆 𝐿 . При этом будем предполагать, что в некоторой окрестности
точки 𝑧𝑠 структура является однородной и изотропной, и, в частности, плоскость 𝑧 = 𝑧𝑠
не является границей раздела различных сред. Это предположение является вполне реа­
листичным для рассматриваемых задач, и позволяет избежать излишних математических
трудностей. Если плоскость с источниками поместить в однородное изотропное простран­
ство, амплитуды гармоник излучаемого поля 𝑎𝑒,ℎ±
будут определяться формулами (1.19).
𝑑
Эффективные же амплитуды волн 𝑎±
𝑠 (опуская индекс, указывающий поляризацию) вбли­
зи источника можно найти из системы уравнений
−
𝑈 +
𝑎−
𝑠 = 𝑆11 𝑎𝑠 + 𝑎𝑑 ,
+
𝐿 −
𝑎+
𝑠 = 𝑆22 𝑎𝑠 + 𝑎𝑑 ,
(3.6)
67
0.018
κ
0.016
0.014
0.012
0.01
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
⟨rs⟩, µm
0.6
0.7
Рис. 3.9. Зависимость коэффициента затухания мощности волны, распространяющейся в прямом
направлении перпендикулярно рассеивающему слоя, от среднего радиуса рассеивающих частиц
в слое.
откуда следует
(︀
)︀ (︀ +
)︀
𝑈 𝐿 −1
𝐿 −
𝑎+
𝑎𝑑 + 𝑆22
𝑎𝑑 ,
𝑠 = 1 − 𝑆11 𝑆22
(︀
)︀ (︀ −
)︀
𝑈 𝐿 −1
𝑈 +
𝑎−
𝑎𝑑 + 𝑆11
𝑎𝑑 .
𝑠 = 1 − 𝑆11 𝑆22
(3.7)
При этом амплитуды гармоник, распространяющихся от верхней и нижней границ струк­
+
туры, 𝑎−
𝐿 и 𝑎𝑈 (Рис. 3.11а), запишутся как
(︀
)︀ (︀ +
)︀
𝑈 +
𝑈
𝑈 𝐿 −1
𝐿 −
𝑎+
𝑎𝑑 + 𝑆22
𝑎𝑑 ,
𝑈 = 𝑆21 𝑎𝑠 = 𝑆21 1 − 𝑆11 𝑆22
)︀ (︀ −
)︀
(︀
𝑈 +
𝐿
𝑈 𝐿 −1
𝐿 −
𝑎𝑑 + 𝑆11
𝑎𝑑 .
𝑎−
𝐿 = 𝑆12 𝑎𝑠 = 𝑆12 1 − 𝑆11 𝑆22
(3.8)
Далее, если верхнюю часть структуры (относительно положения источников) разбить до­
полнительно на две части плоскостью 𝑧 = 𝑧𝑢 , S-матрицы которых обозначим как 𝑆 𝑈 1,2 (см.
Рис. 3.11б), амплитуды гармоник, возбуждаемых источником, находящимся в плоскости
𝑧 = 𝑧𝑠 , 𝑧𝑢 > 𝑧𝑠 , будут вычисляться как
(︀
)︀ 𝑈 2 +
𝑈1 𝑈2
𝑆11 𝑆21
𝑎𝑠 ,
𝑎+ (𝑧𝑢 ) = 1 − 𝑆22
(︀
)︀ 𝑈 2 𝑈 1 +
𝑈1 𝑈2
𝑎− (𝑧𝑢 ) = 1 − 𝑆22
𝑆11 𝑆11
𝑆21 𝑎𝑠 .
(3.9)
68
10-3
10-4
σ
10-5
10-6
10-7
-8
10
1.6
1.7
1.8
1.9
2
2.1
2.2
2.3
2.4
γ
Рис. 3.10. Зависимость сечения рассеяния затухающих волн от проекции волнового вектора на
плоскость 𝑋𝑌 падающей на рассеивающий слой волны. Кривая линия с отмеченными точка­
ми соответствует численному расчету, а непрерывная прямая линия — интерполяция функцией
𝜎(𝛾) = 𝐶1 exp(−𝐶2 𝛾) с коэффициентами 𝐶1 = 12.5, 𝐶2 = 13.4.
Аналогично, в плоскости 𝑧 = 𝑧𝑙 , 𝑧𝑙 < 𝑧𝑠 , разделяющей нижний слой на подслои с матри­
цами 𝑆 𝐿1,2 (Рис. 3.11в):
(︀
)︀ 𝐿1 𝐿2 −
𝐿2 𝐿1
𝑎+ (𝑧𝑙 ) = 1 − 𝑆11
𝑆22 𝑆22
𝑆12 𝑎𝑠 ,
(︀
)︀ 𝐿2 −
𝐿2 𝐿1
𝑎− (𝑧𝑙 ) = 1 − 𝑆11
𝑆22 𝑆12
𝑎𝑠 .
(3.10)
Полученные формулы (3.7)-(3.10) позволяют на основании заданных амплитуд источников
в свободном пространстве (1.19) находить амплитуды гармоник когерентного поля в лю­
бом слое планарной структуры, при условии, что известны S-матрицы соответствующих
подслоев.
Следующим этапом анализа планарной структуры является расчет потоков электро­
магнитной энергии и анализ каналов ее потерь. Для этого выразим 𝑧-проекцию вектора
Пойнтинга для заданной плоской гармоники поля через ее амплитуды ТЕ и ТМ-поляри­
69
z
a
zs
z
z
+
U
as+
as-
SU
SL
zu
au+
S U2
zs
zs
au-
S U1
zl
SL
SU
al+
S L2
al-
S L1
aLа)
б)
в)
Рис. 3.11. К расчету амплитуд поля в частях слоистой структуры: а) эффективные амплитуды
источника б) амплитуды в верхней части относительно слоя источников в) амплитуды в нижней
части относительно источников.
зованных волн. После несложных алгебраических преобразований имеем,
1
ℜ{[E × H* ]𝑧 }
2 [︂
]︂
(︂ ℎ )︂ (︁
⃒ ℎ+ ⃒2 ⃒ ℎ− ⃒2 )︁
1 ℜ(𝑘𝑧𝑒 ) (︁⃒⃒ 𝑒+ ⃒⃒2 ⃒⃒ 𝑒− ⃒⃒2 )︁
𝑘𝑧
⃒𝑎 ⃒ − ⃒𝑎 ⃒
=
𝑎
− 𝑎
+ℜ
2 𝜔𝜇0
𝜔𝜀
(︂ ℎ )︂
(︀
)︀
𝑘𝑧
ℑ(𝑘𝑧𝑒 ) (︀ 𝑒+ 𝑒−* )︀
ℑ 𝑎 𝑎
−ℑ
ℑ 𝑎ℎ+ 𝑎ℎ−* .
−
𝜔𝜇0
𝜔𝜀
𝑆𝑧 =
(3.11)
Следует отметить, что последнее выражение описывает поток энергии всех волн, включая
затухающие, во всех типах структур, которые могут состоять из чисто диэлектрических,
диэлектрических с поглощением, либо металлических материалов.
Аналогично формуле (3.11) можно найти эффективную мощность, излучаемую рас­
смотренным слоем дипольных источников с эффективными амплитудами (3.7):
𝑃𝑠 = lim 𝑆𝑧 − lim 𝑆𝑧
𝑧→𝑧𝑠 +0
𝑧→𝑧𝑠 −0
⎡
⎤
⃒2 ⃒ 𝑒− ⃒2 ⃒ 𝑒−
⃒ )︁
ℜ(𝑘𝑧𝑒 ) (︁⃒⃒ 𝑒+ ⃒⃒2 ⃒⃒ 𝑒+
⃒ + ⃒𝑎𝑠 ⃒ − ⃒𝑎𝑠 − 𝑎𝑒− ⃒2
𝑎𝑠
− 𝑎𝑠 − 𝑎𝑒+
𝑑
𝑑
⎥
𝜔𝜇0
1⎢
⎢
⎥
)︂
(︂
= ⎣
(︁
)︁
ℎ
⃒ ℎ+ ⃒2 ⃒ ℎ+
⃒2 ⃒ ℎ− ⃒2 ⃒ ℎ−
⃒2 ⎦
𝑘𝑧
2
ℎ+
ℎ−
⃒ 𝑎𝑠 ⃒ − ⃒ 𝑎𝑠 − 𝑎 ⃒ + ⃒ 𝑎𝑠 ⃒ − ⃒ 𝑎𝑠 − 𝑎 ⃒
+ℜ
𝑑
𝑑
𝜔𝜀
(︂ ℎ )︂
(︀
)︀
ℑ(𝑘𝑧𝑒 ) (︀ 𝑒+ 𝑒−* )︀
𝑘𝑧
−
ℑ 𝑎 𝑎
−ℑ
ℑ 𝑎𝑒+ 𝑎𝑒−* .
𝜔𝜇0
𝜔𝜀
(3.12)
Кроме того, для целей оптимизации ОСИД-структур важно рассчитывать мощность энер­
гетических потерь в разных частях структуры. Для некоторого слоя толщины ℎ, заклю­
ченного между плоскостями 𝑧 = 𝑧1 и 𝑧 = 𝑧2 , 𝑧2 − 𝑧1 = ℎ, это может быть сделано на
основании (3.11) и (3.12) как
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑃 (𝑧1 , 𝑧2 ) = 𝑃𝑠 − ⃒⃒ lim 𝑆𝑧 − lim 𝑆𝑧 ⃒⃒ ,
𝑧→𝑧1 +0
𝑧→𝑧2 −0
(3.13)
70
что дает возможность детального анализа потерь на поглощение в планарных структурах.
Как нетрудно заметить, все приведенные данном параграфе выражения описывают
когерентное распространение и поглощение света, учитывая всевозможные интерференци­
онные эффекты. Очевидно, такое описание адекватно при общей толщине структуры, не
превышающей нескольких длин волн. Кроме того, если структура содержит несколько ис­
точников, распространение и поглощение энергии необходимо рассматривать от каждого
источника отдельно. Это связано с тем, что здесь не рассматриваются эффекты коге­
рентного возбуждения и лазерной генерации в планарных структурах (как, например, в
поверхностно-излучающих лазерах с вертикальным резонатором [177]). Толщина ОСИД
почти всегда позволяет когерентно описывать распространение волн отдельных источни­
ков, однако, при этом необходимо учесть, что такие структуры всегда располагаются на
толстых (по сравнению с длиной волны и толщиной структуры) подложках, влияние ко­
торых необходимо учитывать по мощности, а не по амплитуде.
Наличие подложки, и, соответствующей границы раздела подложка-воздух, приво­
дит к двум следствиям: все волны с проекцией волнового вектора на плоскость 𝑋𝑌 𝛾 > 1
полностью отражаются обратно в подложку; в случае 𝛾 < 1 волны частично отражают­
ся от границы подложки с воздухом, что приводит к дополнительной потери в полезной
излучаемой мощности. Этот эффект может описан с помощью известных коэффициентов
отражения 𝑅𝑎 и преломления 𝑇𝑎 по мощности для плоских волн на границе раздела двух
сред [1]:
⃒
⃒
⃒ 𝑘𝑧𝑠 − 𝑘𝑧𝑎 ⃒2
⃒
⃒
=⃒
𝑘𝑧𝑠 + 𝑘𝑧𝑎 ⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑘𝑧𝑠 − 𝜀𝑠 𝑘𝑧𝑎 ⃒2
ℎ
⃒
𝑅𝑎 = ⃒⃒
𝑘𝑧𝑠 + 𝜀𝑠 𝑘𝑧𝑎 ⃒
𝑅𝑎𝑒
(3.14)
𝑇𝑎𝑒,ℎ = 1 − 𝑅𝑧𝑒,ℎ ,
где 𝑘𝑧𝑎 , 𝑘𝑧 𝑠 — 𝑧-проекции волнового вектора в воздухе и подложке, 𝜀𝑠 — как и ранее, ди­
электрическая проницаемость подложки. Коэффициент отражения по мощности от мно­
гослойной структуры находится как норма элемента амплитудной S-матрицы 𝑅𝑠 = |𝑆22 |2 .
Тогда полная мощность, выходящая из подложки в воздух 𝑃𝑎𝑖𝑟 после 𝑁 переотражений,
связана с мощностью, излучаемой в подложку 𝑃𝑠𝑢𝑏 , как
𝑃𝑎𝑖𝑟
1 − (𝑅𝑎 𝑅𝑠 )𝑁
.
= 𝑃𝑠𝑢𝑏 𝑇𝑎
1 − 𝑅𝑎 𝑅𝑠
(3.15)
При этом мощность, которая теряется из-за перепоглощения в структуре, можно оценить
71
как
𝑃𝑟𝑒−𝑎𝑏𝑠 = 𝑃𝑠𝑢𝑏 𝑅𝑎 (1 − 𝑅𝑠 )
1 − (𝑅𝑎 𝑅𝑠 )𝑁
.
1 − 𝑅𝑎 𝑅𝑠
(3.16)
Остальная же энергия оказывается заключенной в подложке:
𝑃𝑠𝑢𝑏−𝑔𝑢𝑖 = 𝑃𝑠𝑢𝑏 (𝑅𝑎 𝑅𝑠 )𝑁 .
(3.17)
Здесь необходимо отметить, что, вообще говоря, при интегрировании мощности интеграл
берется по всем значениям проекций волнового вектора на плоскость 𝑋𝑌 — 𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 . Но,
поскольку компоненты S-матриц есть функции только 𝛾, интегрирование упрощается:
(2𝜋)2
𝑃 (𝜆) =
𝑘04
∞
Z
∞
Z
−∞ −∞
(2𝜋)3
𝑃 (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 , 𝜆)𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 =
𝑘04
∞
Z
𝑃 (𝛾, 𝜆)𝛾𝑑𝛾.
(3.18)
0
Угловую зависимость излучаемой мощности в среде с волновым вектором 𝑘𝑐 в области
спектра от 𝜆1 до 𝜆2 можно вычислить как
(2𝜋)2 𝑘𝑐2
𝑃 (𝜃, 𝜙) =
𝑘04
𝜆
Z2
𝑃 (𝑘𝑐 sin 𝜃, 𝜆) sin 𝜃 cos 𝜃𝑑𝜆.
(3.19)
𝜆1
При проведении численных расчетов интегрирование в (3.18) и (3.19) заменяется на сум­
мирование от 0 до 𝛾𝑚 𝑎𝑥 с шагом ∆𝛾 в (3.18) и от 𝜆1 до 𝜆2 с шагом ∆𝜆 в (3.19).
Полученные в данном параграфе выражения позволяют сформулировать численный
метод расчета параметров планарных светоизлучающих структур, содержащих однород­
ные слои:
1. Задание геометрических параметров структуры — положения границ разделов слоев
и положения светоизлучающих слоев; электродинамических параметров слоев — дис­
персионных зависимостей диэлектрических проницаемостей; и относительных спек­
тров источников.
2. Расчет S-матриц структуры и необходимых ее подчастей по формулам (1.15)-(1.18)
для каждой длины волны 𝜆𝑖 , 𝑖 = 0, . . . , 𝑁𝜆 − 1, и набора проекций волнового вектора
𝛾𝑖 , 𝑖 = 0, . . . , 𝑁𝑘 − 1, от 0 до заданного 𝛾𝑚𝑎𝑥 с шагом ∆𝛾 = 𝛾𝑚𝑎𝑥 /𝑁𝑘 .
3. Расчет амплитуд волн, излучаемых каждым источником, на всех границах разделов
различных сред по формулам (3.7)-(3.10) для всех 𝜆𝑖 и 𝛾𝑖 .
4. Расчет потерь энергии в каждом слое, эффективной энергии эмиссии каждого ис­
точника и эмитируемой в подложку и воздух мощности по формулам (3.11)-(3.13).
72
Сформулированный метод был применен для расчета экспериментальных образцов
ОСИД и сравнения результатов с экспериментальными данными [176]. На Рис. 3.12 пред­
ставлена схема экспериментально ОСИД, использованного для сравнения с теорией. Ре­
зультаты сравнения с экспериментальными данными по измерению спектральной мощно­
сти излучения и цветовых координат диода показаны на Рис. 3.13 и 3.14. Можно видеть,
что модель дает хорошее описание характеристик прибора. На Рис. 3.15 приведен при­
мер анализа потерь в слох ОСИД, проведенный с помощью выражений (3.11)-(3.13). Из
него видно, что выходящее в подложку энергия излучения более, чем в два раза ниже
эффективной излучаемой мощности.
Рис. 3.12. Схема экспериментального ОСИД с однородными слоями, использованного для про­
верки метода. Обозначения: ЭТС — электронно-транспортный слой; БДС — слой-блокиратор
дырок; ЭЛС — электролюминесцентный слой; ЭБС — слой-блокиратор электронов; ДТС — ды­
рочно-транспортный слой; ITO — прозрачный электрод, состоящий из смеси индия и оксида
олова.
Теперь рассмотрим ОСИД, изображенный на Рис. 3.12, в который между слоем ITO
и подложкой включен дополнительный рассеивающий слой. Последний представляет со­
бой однородную матрицу, содержащую диэлектрические частицы, как было описано вы­
ше. Примем, что параметры слоя те же, что и в примерах предыдущего параграфа, т.е.,
показатель преломления частиц равен 1.7, показатель преломления матрицы — 1.6, сред­
ний диаметр частиц составляет 0.5 мкм, а среднеквадратичное отклонение от него есть
73
Рис. 3.13. Сравнение излучаемой спектральной мощности экспериментального ОСИД, изобра­
женного на Рис. 3.12, с полусферической линзой (ПСЛ) и без, измеренной экспериментально и
полученной с помощью моделирования.
0.05 мкм. На Рис. 3.16 показаны спектральные зависимости внешней эффективности для
ОСИД без рассеивающего слоя и с рассеивающим слоем различной толщины ℎ𝑠𝑐 . В зави­
симости от длины волны рассеивающий слой малой толщины увеличивает эффективность
от долей процента до 6 %. При этом, с увеличением длины волны спектральныя эффек­
тивность увеличивается. Данная зависимость может быть объяснена исходя из модового
состава рассматриваемого ОСИД. На Рис. 3.17 показаны зависимости полей основных ТЕ
и ТМ мод диода от координаты 𝑧. Как можно было ожидать, ТМ мода является плазмон­
ной и сконцентрирована на границе металлического катода и электронно-транспортного
слоя. Также ввиду малой длины пробега она почти не вносит вклад в рассеяние. В отли­
чие от нее, распределение поля ТЕ моды значительно шире и имеет максимум в области
прозрачного анода, и с увеличением длины волны все больше распространяется в зону,
куда помещается рассеивающий слой. Кроме того, при изменении длины волны в красную
область спектра действительная часть константы распространения ТЕ моды уменьшает­
ся, что видно из Рис. 3.18, так что эффективность рассеяния этой моды экспоненциально
74
Рис. 3.14. Сравнение цветовых координат экспериментального ОСИД, изображенного на Рис.
3.12, полученных экспериментально и с помощью моделирования.
возрастает (Рис. 3.10).
График 3.16 показывает, что для рассеивающих слоев толщины до нескольких де­
сятков микрон ожидаемые эффекты изменения углового распределения и рассеяния за­
тухающих волн улучшают внешнюю эффективность диода на величину порядка четырех
процентов. При увеличении толщины слоя начинает проявляться противоположный эф­
фект — потеря мощности на рассеяние, что приводит к снижению внешней эффективности
прибора. Рис. 3.19 демонстрирует это снижение.
На основании приведенных расчетов можно сделать следующие выводы. Во-пер­
вых, для достижения максимального положительного эффекта от введения рассеиваю­
щего слоя, его толщина должна быть достаточно мала — порядка нескольких десятков
микрометров. Во-вторых, чтобы получить увеличение существенное повышение внешней
эффективности, до 5-10%, необходимо проводить оптимизацию параметров ОСИД и рас­
сеивающего слоя, что требует достаточно объемных вычислительных затрат. Такая опти­
мизация имеет смысл лишь при заданных материалах и конкретных структурах ОСИД,
и в данной работе не проводилась.
75
1
substrate
air
source emission
Ag cathode
ETL
HBL
emission layer
EBL
HTL
ITO
rel. power
0.8
0.6
0.4
0.2
0
450
500
550
600
650
700
750
λ
Рис. 3.15. Анализ потерь по формулам (3.11)-(3.13) для экспериментального ОСИД, изображен­
ного на Рис. 3.12.
hsc = 0 µm
hsc = 6 µm
hsc = 60 µm
hsc = 120 µm
0.18
0.16
0.14
ηext
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
400
450
500
550
600
650
700
750
λ
Рис. 3.16. Сравнение спектральной внешней эффективности ОСИД, показанного на Рис. 3.12, без
рассеивающего слоя и с рассеивающим слоем различной толщины.
76
TE0, λ = 0.5 µm
TE0, λ = 0.6 µm
TM0, λ = 0.5 µm
TM0, λ = 0.6 µm
2.5
2
Erel
1.5
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
z, µm
0.8
1
1.2
Рис. 3.17. Зависимость относительной амплитуды полей основных ТЕ и ТМ мод на разных длинах
волн для ОСИД с однородными слоями, показанного на Рис. 3.12. Вертикальные линии указы­
вают границы между слоями, за 0 по оси 𝑍 принято положение границы катода с воздухом.
2.1
2
nTE0
1.9
1.8
1.7
1.6
0.4
0.45
0.5
0.55
λ, µm
0.6
0.65
0.7
Рис. 3.18. Спектральная зависимость действительной части константы распространения основной
ТЕ моды для ОСИД с однородными слоями, показанного на Рис. 3.12.
77
0.12
ηext
0.1
0.08
0.077
0.06
0.04
0
20
40
60
80
hsc, µm
100
120
140
Рис. 3.19. Зависимость внешней эффективности ОСИД, показанного на Рис. 3.12, с рассеиваю­
щим слоем от толщины этого слоя. Горизонтальная прямая линия показывает эффективность
аналогичного ОСИД без рассеивающего слоя.
3.4. Выводы к третьей главе
В данной главе описан разработанный способ перехода к от расчета дифракции на
решетках к расчету рассеяния на непериодических структурах. Произведено сравнение по­
лученный метода расчета рассеяния с эталонным аналитическим решением Ми рассеяния
плоской волны на сфере. Подробно описано представление рассеивающего слоя в рам­
ках метода, приведенного в предыдущей главе. Приведены примеры расчета рассеяния
плоских волн на рассеивающем слое, а также рассеяния затухающих волн. Разработана и
проверена с помощью сравнения с экспериментальными данными модель расчета оптиче­
ских свойств ОСИД. В заключение эта модель объединена с методом расчета рассеяния в
плоских слоя, и смоделирован ОСИД с рассеивающим слоем. На основании сделанного мо­
делирования сделаны выводы о влиянии рассеивающего слоя на внешнюю эффективность
ОСИД.
Заключение
Перечислим и охарактеризуем основные результаты диссертационной работы. Пер­
вая глава полностью посвящена обзору работ, имеющих отношение к задачам, решаемым
в диссертации. Во-первых, указан круг методов, с помощью которых возможно решать
задачи дифракции и рассеяния в плоско-слоистых пространственно неоднородных струк­
турах. Более подробно изложено представление, используемое в Фурье-методах как наи­
более близких к подходу, развитому в данной работе. Отдельно описана техника S-мат­
риц, используемая в Главе 3, для моделирования органических светодиодов. Во-вторых,
в параграфе 1.3 изложен метод обобщенных источников, ранее предложенный научным
консультантом диссертанта в работах [84, 85], который является основой теоретической
модели, развиваемой в Главе 2. В последнем параграфе приводится литературный обзор,
связанный с приложением разрабатываемых методов к моделированию ОСИД. Здесь вы­
делена проблема вывода излучения из ОСИД и повышения их внешней эффективности.
Приведены доводы в пользу использования с этой целью рассеивающих слоев. Дан об­
зор связанных с данными вопросами экспериментальных и теоретических работ. Указано,
что строгое моделирование оптических свойств ОСИД с рассеивающими слоями суще­
ствующими методами представляет собой весьма сложную вычислительную задачу, и на
основании известных открытых публикаций показано, что такое моделирование ранее не
проводилось.
Глава 2 диссертации посвящена применению метода обобщенных источников к зада­
че дифракции света на планарных структурах. В начале главы приводятся рассуждения
о том, каким образом на основании требования возможности быстрого матрично-вектор­
ного умножения в Фурье-пространстве можно переформулировать задачу рассеяния на
непериодических плоских структурах в терминах дифракции на одномерных или двумер­
ных дифракционных решетках. Далее для решения задачи на решетках в параграфе 2.3
получены аналитические выражения компонент S-матриц бесконечно тонких слоев, на ко­
торые разбивается голографическая решетка (общий вид компонент S-матриц приведен
в Приложении Б), и с их помощью сформулирован метод расчета дифракции. Однако,
показано, что это метод имеет слишком большую вычислительную сложность — 𝑂(𝑁𝑂3 ),
где 𝑁𝑂 есть число точек в Фурье-пространстве, что не позволяет испльзовать для практи­
ческих применений и расчета сложных структур. Поэтому, полученное базисное решение
79
используется для вывода инегрального уравнения, описывающего дифракцию. Переход
к системе линейных алгебраических уравнений осуществляется путем разбиения слоя с
решеткой на подслои и обрезания бесконечных рядов Фурье. Показано, что для гологра­
фических и профилированных решеток это обрезание должно выполняться различным
образом. Для решения полученной системы линейных уравнений предложен алгоритм,
основанный применении обобщенного метода минимальных невязок и быстрого преобра­
зования Фурье, что позволило получить метод, вычислительная сложность которого есть
𝑂(𝑁𝑂 𝑁𝑆 ), где 𝑁𝑆 — число подслоев. Кроме того, показано, что наличие произвольных
сред на границах изучаемого слоя может быть точно учтено при сохранении преимуществ
численного метода. После описания методов приводится сравнение получаемых результа­
тов с эталонными решениями. Это сравнение демонстрирует состоятельность методов и
возможность контроля ошибки вычислений путем изучения сходимости.
В первом параграфе Главы 3 обсуждается обратный переход от решения задачи ди­
фракции на периодической структуре к задаче рассеяния на непериодической структуре.
Отмечается, что это переход может быть осуществлен без использования искусственных
поглощающих идеально сочетающихся слоев. В параграфе 3.2 показано, что получаемые
решения модельной задачи рассеяния на сфере сходятся к эталонному решению Ми. При­
веденные графики демонстрируют точность метода порядка 1 %, что является достаточ­
ным для большинства приложений. Далее рассматривается моделирование оптических
свойств ОСИД. Для этого развит алгоритм S-матриц, а также получены аналитические
выражения, позволяющие производить расчет потоков и потерь энергии во любом подслое
ОСИД-структуры. Разработанный таким образом метод моделирования ОСИД объединен
с методом расчета рассеяния в слоях, содержащих диэлектрические наночастицы и приме­
нен для расчета ОСИД с рассеивающим слоем. Продемонстрировано увеличение внешней
эффективности ОСИД благодаря рассеивающему слою на величину примерно 4 %. Сде­
лан вывод, что для наилучшего эффекта рассеивающий слой должен быть достаточно
тонким (несколько десятков микрометров).
В заключение еще раз отметим, что в диссертации впервые предложен точный метод
расчета рассеяния и дифракции света в плоско-слоистых неоднородных структурах, вы­
числительная сложность которого линейно зависит от сложности рассматриваемых струк­
тур. Расчет ОСИД с рассеивающим слоем — одно из ряда возможных применений разрабо­
танного метода. Другим перспективным направлением, где в полной мере представляются
80
востребованы скорость и точность метода, является расчет высокоапертурных сложных
дифракционных оптических элементов. Заметим также, что выписанные в Главе 2 фор­
мулы пригодны для учета не только электрических, но и магнитных источников. Это
позволит без значительных изменений применить метод для расчета структур с идеально
сочетающимися слоями, что, возможно, даст улучшение результатов расчета непериоди­
ческих структур.
Литература
1. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. Москва: Наука, 1973.
2. Polerecky L., Hamrle J., MacCraith B. D. Theory of the radiation of dipoles placed within
a multilayer system // Appl. Opt. 2000. Vol. 39. Pp. 3968–3977.
3. Kong J. A. Electromagnetic fields due to dipole antennas over stratified anisotrpic media //
Geophys. 1972. Vol. 37. Pp. 985–996.
4. Chance R. R., Prock A., Silbey R. Molecular fluorescence and energy transfer near inter­
faces // Adv. Chem. Phys. 1987. Vol. 37. Pp. 1–65.
5. Novotny L. Allowed and forbidden light in near-field optics. I. A single dipolar light
source // J. Opt. Soc. Am. A. 1997. Vol. 14. Pp. 91–104.
6. Wait J. R. Electromagnetic waves in stratified media. New-York: Pergamon Press, 1962.
7. Ko D. Y. K., Inkson J. C. Matrix method for tunneling in heterostructures: Resonant
tunneling in multilayer systems // Phys. Rev. B. 1988. Vol. 38. Pp. 9945–9951.
8. Heavens O. S. Optical Properties of thin films. New York: Dover, 1965.
9. Amrein W. O. Scattering theory in quanum mechanics. Massachussets: Addison-Wesley
Publishing Company, Inc., 1977.
10. Pelster R., Gasparian G., Nimtz G. Propagation of plane waves and of waveguide modes
in quasiperiodic dielectric heterostructures // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 55. Pp. 7645–7655.
11. Katsidis C. C., Siapkas D. I. General transfer-matrix method for optical multilayer systems
with coherent, partially coherent, and incoherent interference // Appl. Opt. 2002. Vol. 41.
Pp. 3978–3987.
12. Preist T. W., Cotter N. P. K., Sambles J. W. Periodic multilayer gratings of arbitrary
shape // J. Opt. Soc. Am. A. 1995. Vol. 12. Pp. 1740–1748.
13. Lukosz W., Kunz R. E. Light emission by magnetic and electric dipoles close to a plane
interface. I. Total radiated power // J. Opt. Soc. Am. 1977. Vol. 67. Pp. 1607–1615.
82
14. Lukosz W., Kunz R. E. Light emission by magnetic and electric dipoles close to a plane
interface. II. Radiation patterns of perpendicular oriented dipoles // J. Opt. Soc. Am.
1977. Vol. 67. Pp. 1615–1619.
15. Lukosz W. Theory of optical-environment-dependent spontaneous emission rates for emit­
ters in thin layers // Phys. Rev. B. 1980. Vol. 22. Pp. 3030–3038.
16. Crawford O. H. Radiation from oscillatind dipoles embedded in a layered system // J.
Chem. Phys. 1988. Vol. 89. Pp. 6017–6027.
17. Benisty H., Stanley R., Mayer M. Method of source terms for dipole emission modifca­
tion in modes of arbitrary planar structures // J. Opt. Soc. Am. A. 1998. Vol. 15.
Pp. 1192–1201.
18. Wasey J. A. E., Safonov A., Samuel I. D. W., Barnes W. L. Effects of dipole orientation
and birefringence on the optical emission from thin films // Opt. Commun. 2000. Vol.
183. Pp. 109–121.
19. Danz N., Waldhausl R., Brauer A. Dipole lifetime in stratifed media // J. Opt. Soc. Am.
B. 2002. Vol. 19. Pp. 412–419.
20. Ruppin R., Martin O. J. F. Lifetime of an emitting dipole near various types of interfaces
including magnetic and negative refractive materials // J. Chem. Phys. 2004. Vol. 121.
Pp. 11358–11361.
21. Yin W., Li P., Wang W. The theory of dyadic Green’s function and the radiation carac­
teristics of sources in stratified bi-isotropic media // PIER. 1994. Vol. 9. Pp. 117–136.
22. Hartman R. L. Green dyadic calculations for inhomogeneous optical media // J. Opt. Soc.
Am. A. 2000. Vol. 17. Pp. 1067–1076.
23. Paulus M., Gay-Balmaz P., Martin O. J. F. Accurate and effcient computation of the
Green’s tensor for stratifed media // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62. Pp. 5797–5807.
24. Hanson G. W. Dyadic Green’s function for a multilayered planar medium — a dyadic
eigenfunction approach // IEEE Trans. Antennas. Propagat. 2004. Vol. 52. Pp. 3350–3356.
83
25. Dogan M., Aksun M. I., Swan A. K. et al. Closed-form representations of feld compo­
nents of fluorescent emitters in layered media // J. Opt. Soc. Am. A. 2009. Vol. 26.
Pp. 1458–1466.
26. Бахвалов Н. С. Численные методы. Москва: Лаборатория Базовых Знаний, 2003.
С. 632.
27. Yee K. S. Numerical solution of inital boundary value problems involving Maxwell’s equa­
tions in isotropic media // IEEE Trans. Antenn. Propagat. 1966. Vol. 14. Pp. 302–307.
28. Wong A. K., Neureuther A. R. Rigorous three-dimensional time-domain finite-difference
electromagnetic simulation for photolithographic applications // IEEE Trans. Semicond.
Manufact. 1995. Vol. 8. Pp. 419–431.
29. Guerrieri R., Tadros K. H., Gamelin J., Neureuther A. R. Massively parallel algorithms for
scattering in optical lithography // IEEE Trans. Computer-Aided Design. 1991. Vol. 10.
Pp. 1091–1100.
30. Painter O., Vuckovic J., Scherer A. Defect modes of a two-dimensional photonic crystal
in an optically thin dielectric slab // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. Vol. 16. Pp. 275–285.
31. Boyd R. W., Heebner J. E. Sensitive disk resonator photonic biosensor // Appl. Opt.
2001. Vol. 40. Pp. 5742–5747.
32. Noda S., Fujita M., Asano T. Spontaneous-emission control by photonic crystals and
nanocavities // Nature Photon. 2007. Vol. 1. Pp. 449–458.
33. Mishchenko M. I., Travis L. D., Lacis A. A. Scattering, absorption, and emission of light
by small particles. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. P. 453.
34. Jurgens T. G., Taflove A., Umashankar K., Moore T. G. Finite-differences time-domain
modeling of curved surfaces // IEEE Trans. Antenn. Propagat. 1992. Vol. 40. Pp. 357–366.
35. Kunz K. S. Finite difference time domain method for electromagnetic. New York: CRC
Press, 1993. P. 448.
36. Beilenhoff K., Heinrich W., Hartnagel H. L. Improved finite-difference formulation in fre­
quency domain for three-dimensional scattering problems // IEEE Trans. Microwave The­
ory Tech. 1992. Vol. 40. Pp. 540–546.
84
37. Тыртышников Е. Е. Методы численного анализа. Москва: Издательский центр "Ака­
демия 2007.
38. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. Phyladelphia: SIAM, 2003.
39. Kahnert F. M. Numerical methods in electromagnetic scattering theory // J. Quant.
Spectroc. Radiat. Transf. 2003. Vol. 79-80. Pp. 775–824.
40. Martin O. J. F., Piller N. B. Electromagnetic scttering in polarizable backgrownds //
Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. Pp. 3909–3915.
41. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Москва: Издательство Ино­
странной Литературы, 1958. Т. 2. С. 893.
42. Yurkin M., Hoekstra A. G. The discrete dipole approximation: An overview and recent
developments // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transf. 2007. Vol. 106. Pp. 558–589.
43. Ахмеджданов И. М., Тищенко А. В., Щербаков А. А. Моделирование рассеяния све­
та на наночастицах сложной формы методом обобщенных источников // Оптика и
Спектроскопия. 2008. Т. 105. С. 1034–1039.
44. Mishchenko M. I., Videen G., Khlebtsov N. G., Wriedt T. T-matrix theory of electromag­
netic scattering by particles and its applications: A comprehensive reference database //
J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 2004. Vol. 88. Pp. 357–406.
45. Mie G. Beiträge zur Optik Trüber Medien, speziell Kolloidaler Metallösungen // Ann.
Phys. 1908. Vol. 25. Pp. 377–452.
46. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. Москва:
Мир, 1986.
47. Waterman P. C. Symmetry, unitarity, and geometry in electromagnetic scattering // Phys.
Rev. D. 2009. Vol. 3. Pp. 825–839.
48. Peterson B., Ström S. T matrix for electromagnetic scattering from an arbitrary number
of scatterers and representation of E(3)* // Phys. Rev. D. 1973. Vol. 8. Pp. 3661–3678.
49. Borghese F., Denti P., Saija R., Toscano G. Multiple electromagnetic scattering from a
cluster of spheres. I. Theory // Aerosol Sci. Technol. 1984. Vol. 3. Pp. 227–235.
85
50. Petit R. Electromagnetic theory of graings. New-York: Springer-Verlag, 1980.
51. Peng S. T., Tamir T., Bertoni H. L. Theory of periodic dielect waveguides // IEEE Trans.
Microw. Theory Thech. 1975. Vol. 23. Pp. 123–133.
52. Botten L. C., Craig M. S., McPhedran R. C. et al. The dielectric lamellar diffraction
grating // Optica Acta. 1981. Vol. 28. Pp. 413–428.
53. Botten L. C., Craig M. S., McPhedran R. C. et al. The finitely conducting lamellar diffrac­
tion grating // Optica Acta. 1981. Vol. 28. Pp. 1087–1102.
54. Botten L. C., Craig M. S., McPhedran R. C. Highly conducting lamellar diffraction grat­
ing // Optica Acta. 1981. Vol. 28. Pp. 1003–1107.
55. Tayeb G., Petit R. On the numerical study of deep conducting lamellar diffraction grat­
ings // Optica Acta. 1984. Vol. 31. Pp. 1361–1365.
56. Knop K. Rigorous diffraction theory for transmission phase gratings with deep rectangular
grooves // J. Opt. Soc. Am. 1978. Vol. 68. Pp. 1206–1210.
57. Moharam M. G., Gaylord T. K. Rigorous coupled-wave analysis of planar-grating diffrac­
tion // J. Opt. Soc. Am. 1981. Vol. 71. Pp. 811–818.
58. Burckhardt C. B. Diffraction of a Plane Wave at a Sinusoidally Stratified Dielectric Grat­
ing // J. Opt. Soc. Am. 1966. Vol. 56. Pp. 1502–1508.
59. Loewen E. G., Popov E. Diffraction gratings and applications. New-York: Marcel Dekker,
1997.
60. Nevière M., Popov E. Analysis of dielectric gratings of arbitrary profiles and thicknesses:
comment // J. Opt. Soc. Am. A. 1992. Vol. 9. Pp. 2095–2096.
61. Granet G., Guizal B. Efficient implementation of the coupled-wave method for metallic
lamellar gratings in TM polarization // J. Opt. Soc. Am. A. 1996. Vol. 13. Pp. 1019–1023.
62. Lalanne P., Morris G. M. Highly improved convergence of the coupled-wave method for
TM polarization // J. Opt. Soc. Am. A. 1996. Vol. 13. Pp. 779–784.
63. Li L. Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structures // J. Opt.
Soc. Am. A. 1996. Vol. 13. Pp. 1870–1876.
86
64. Gushchin I., Tishchenko A. V. Fourier modal method for relief gratings with oblique
boundary conditions // J. Opt. Soc. Am. A. 2010. Vol. 27. Pp. 1575–1583.
65. Shcherbakov A. A., Tishchenko A. V. Fast and memory-sparing exact electromagnetic
analysis of arbitrary profile 2D periodic dielectric structures // Journal of Qantitative
Spectroscopy and Radiative Transfer. 2012. Vol. 113. Pp. 158–171.
66. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. Москва: Наука,
1979.
67. Granet G. Reformulation of the lamellar grating problem through the concept of adaptive
spatial resolution // J. Opt. Soc. Am. A. 1999. Vol. 16. Pp. 2510–2516.
68. Popov E., Neviére M. Grating theory: new equations in Fourier space leading to fast con­
verging results for TM polarization // J. Opt. Soc. Am. A. 2000. Vol. 17. Pp. 1773–1784.
69. Lalanne P. Improved formulation of the coupled-wave method for two-dimensional grat­
ings // J. Opt. Soc. Am. A. 1997. Vol. 14. Pp. 1592–1598.
70. Popov E., Neviére M. Maxwell equations in Fourier space: fast-converging formulation for
diffraction by arbitrary shaped, periodic, anisotropic media // J. Opt. Soc. Am. A. 2001.
Vol. 18. Pp. 2886–2894.
71. Granet G., Plumey J.-P. Parametric formulation of the Fourier modal method for crossed
surface-relief gratings // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. 2002. Vol. 4. P. S145.
72. David A., Benisty H., Weisbuch C. Fast factorization rule and plane-wave expansion
method for two-dimensional photonic crystals with arbitrary hole-shape // Phys. Rev.
B. 2006. Vol. 73. Pp. 075107–7.
73. Schuster T., Ruoff J., Kerwein N. et al. Normal vector method for convergence improve­
ment using the RCWA for crossed gratings // J. Opt. Soc. Am. A. 2007. Vol. 24.
Pp. 2880–2890.
74. Götz P., Schuster T., Frenner K. et al. Normal vector method for the RCWA with auto­
mated vector field generation // Opt. Expr. 2008. Vol. 16. Pp. 17295–17301.
75. Hirayama K., Glytsis E. N., Gaylord T. K. Rigorous electromagnetic analysis of diffractive
cylindrical lenses // J. Opt. Soc. Am. A. 1996. Vol. 13. Pp. 2219–2231.
87
76. Lalanne P., Astilean S., Chavel P. Design and fabrication of blazed binary diffractive
elements with sampling periods smaller than the structural cutoff // J. Opt. Soc. Am. A.
1999. Vol. 16. Pp. 1143–1156.
77. Безус Е. А., Досколович Л. Л. Расчет и моделирование дифракционных структур
для формирования двумерных интерференционных картин поверхностных электро­
магнитных волн // Компьютерная Оптика. 2009. Т. 33. С. 10–16.
78. Turunen J., Kuittinen M., Wyrowsky F. Diffractive optics: Electromagnetic approach //
Progress in Optics / Ed. by E. Wolf. 2000. Vol. 40. Pp. 343–388.
79. Edee K., Granet G., Plumey J.-P. Complex coordinate implementation in the curvilinear
coordinate method: application to plane-wave diffraction by nonperiodic rough surfaces //
J. Opt. Soc. Am. A. 2007. Vol. 24. Pp. 1097–1102.
80. Pisarenco M., Maubach J., Setija I., Mattheij R. Aperiodic Fourier modal method in
contrast-?eld formulation for simulation of scattering from ?nite structures // J. Opt.
Soc. Am. A. 2010. Vol. 27. Pp. 2423–2431.
81. Pisarenco M., Maubach J., Setija I., Mattheij R. Modified S-matrix algorithm for the
aperiodic Fourier modal method in contrast-field formulation // J. Opt. Soc. Am. A.
2011. Vol. 28. Pp. 1364–1371.
82. Berenger J.-P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves //
J. Comput. Phys. 1994. Vol. 114. Pp. 185–200.
83. Chew W. C., Weedon W. H. A 3D perfectly matched medium from modified Maxwell’s
equations with stretched coordinates // Microwave Opt. Technol. Lett. 1994. Vol. 7.
Pp. 599–604.
84. Tishchenko A. V. A generalized source method for wave propagation // Pure and Applied
Optics. 1998. Vol. 7. Pp. 1425–1449.
85. Tishchenko A. V. Generalized source method: new possibilities for waveguide and grating
problems // Optical and Quantum Electronics. 2000. Vol. 32. Pp. 1971–1980.
86. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория.
Москва: Наука, 1989. С. 768.
88
87. Tsang L., Kong J. A. Scattering of electromagnetic waves. Advanced topics. New York:
John Wiley Sons, Inc., 2001.
88. Magath T., Serebryannikov A. Fast iterative, coupled-integral-equation technique for inho­
mogeneous pro?led and periodic slabs // J. Opt. Soc. Am. A. 2005. Vol. 22. Pp. 2405–2418.
89. Magath T. Coupled integral equations for diffraction by profiled, anisotropic, periodic
structures // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2006. Vol. 54. Pp. 681–686.
90. van Beurden M. C. Fast convergence with spectral volume integral equation for crossed
block-shaped gratings with improved material interface conditions // J. Opt. Soc. Am. A.
2011. Vol. 28. Pp. 2269–2278.
91. Mitschke U., Bäuerle P. The electroluminescence of organic materials // J. Mater. Chem.
2000. Vol. 10. Pp. 1471–1507.
92. Tang C. W., VanSlyke S. A. Oragnic electroluminescent diodes // Appl. Phys. Lett. 1987.
Vol. 51. Pp. 913–915.
93. Adachi C., Baldo M. A., Thompson M. E., Forrest S. R. Nearly 100% internal phospho­
rescence efficiency in an organic light emitting device // J. Appl. Phys. 2001. Vol. 90.
Pp. 5048–5051.
94. So F., Krummacher B., Mathai M. K. et al. Recent progress in solution processable organic
light emitting devices // J. Appl. Phys. 2007. Vol. 102. Pp. 091101–21.
95. Yersin H. Highly efficient OLEDs with phosphorescent materials. Weinheim: Wiley-VCH,
2008.
96. Nowy S., Reinke N. A., Frischeisen J., Brütting W. Light extraction and optical loss mech­
anisms in organic light-emitting diodes // Proc. SPIE. 2008. Vol. 6999. Pp. 69992V–11.
97. Meerholz K., Muller D. C. Outsmarting waveguide losses in thin-film light-emitting
diodes // Adv. Funct. Mater. 2001. Vol. 11. Pp. 251–253.
98. Riedel B., Hauss J., Geyer U. et al. Methods for increasing the efficiency of organic light
emitting diodes // Solid State and Organic Lightning (SOLED) 2010. 2010. P. SOTuB2.
89
99. Wei M.-K., Lin C.-W., Yang C.-C. et al. Emission characteristics of organic light-emitting
diodes and organic thin-films with planar and corrugated structures // Int. J. Mol. Sci.
2010. Vol. 11. Pp. 1527–1545.
100. Boroditsky M., Krauss T. F., Coccioli R. et al. Light extraction from optically pumped
light-emitting diode by thin-slab photonic crystals // Appl. Phys. Lett. 1999. Vol. 75.
Pp. 1036–1039.
101. Lupton J. M., Matterson B. J., Samuel I. D. W. et al. Bragg scattering from periodically
microstructured light emitting diodes // Appl. Phys. Lett. 2000. Vol. 77. Pp. 3340–3342.
102. Revelli J. F., Tutt L. W., Kruschwitz B. E. Waveguide analysis of organic light-emitting
diodes fabricated on surfaces with wavelength-scale periodic gratings // Appl. Opt. 2005.
Vol. 44. Pp. 3224–3237.
103. Kim Y.-C., Do Y.-R. Nanohole-templated organic light-emitting diodes fabricated us­
ing laser-interfering lithography: moth-eye lighting // Opt. Expr.
2005.
Vol. 13.
Pp. 1598–1603.
104. Ziebarth J. M., McGehee M. D. A theoretical and experimental investigation of light ex­
traction from polymer light-emitting diodes // J. Appl. Phys. 2005. Vol. 97. Pp. 064502–7.
105. Vandersteegen P., Nieto A. U., Buggenhout C. V. et al. Employing a 2D surface grating
to improve light out coupling of a substrate emitting organic LED // Proc. SPIE. 2007.
Vol. 6486. Pp. 64860H–8.
106. Geyer U., Hauss J., Riedel B. et al. Large-scale patterning of indium tin oxide electrodes
for guided mode extraction from organic light-emitting diodes // J. Appl. Phys. 2008.
Vol. 104. P. 093111.
107. Tutt L., Revelli J. F. Distribution of radiation from organic light-emitting diode structures
with wavelength-scale gratings as a function of azimuth and polar angles // Opt. Lett.
2008. Vol. 33. Pp. 503–505.
108. Hauss J., Riedel B., Boksrocker T. et al. Periodic nanostructures fabricated by laser in­
terference lithography for guided mode extraction in OLEDs // Solid State and Organic
Lightning (SOLED) 2010. 2010. P. SOThB2.
90
109. Cho H.-H., Park B., Kim H.-J. et al. Solution-processed photonic crystals to enhance the
light outcoupling efficiency of organic light-emitting diodes // Appl. Opt. 2010. Vol. 49.
Pp. 4024–4028.
110. Gu G., Garbuzov D. Z., Burrows P. E. et al. High-external-quantum-efficiency organic
light-emitting devices // Opt. Lett. 1997. Vol. 22. Pp. 396–398.
111. Madigan C. F., Lu M.-H., Sturm J. C. Improvement of output coupling ef?ciency of organic
light-emitting diodes by backside substrate modi?cation // Appl. Phys. Lett. 2000. Vol. 76.
Pp. 1650–1652.
112. Yamasaki T., Sumioka K., Tsutsui T. Organic light-emitting device with an ordered mono­
layer of silica microspheres as a scattering medium // Appl. Phys. Lett. 2000. Vol. 76.
Pp. 1243–1245.
113. Möller S., Forrest S. R. Improved light out-coupling in organic light emitting diodes em­
ploying ordered microlens arrays // J. Appl. Phys. 2002. Vol. 91. Pp. 3324–3327.
114. Peng H., Ho Y. L., Yu X.-J., Wong M. Coupling ef?ciency enhancement in organic
light-emitting devices using microlens array—theory and experiment // J. Disp. Technol.
2005. Vol. 1. Pp. 278–282.
115. Lee J.-H., Ho Y.-H., Chen K.-Y. et al. Efficiency improvement and image quality of or­
ganic light-emitting display by attaching cylindrical microlens arrays // Opt. Expr. 2009.
Vol. 16. Pp. 21184–21190.
116. Lin H. Y., Chen K.-Y., Ho Y.-H. et al. Luminance and image quality analysis of an organic
electroluminescent panel with a patterned microlens array attachment // J. Opt. 2010.
Vol. 12. Pp. 085502–7.
117. Pan C. T., Chen Y. C., Chen M. F., Hsu Y. C. Fabrication and design of various dimensions
of multi-step ashperical microlens arrays for OLED package // Opt. Commun. 2011. Vol.
284. Pp. 3323–3330.
118. Shiang J. J., Duggal A. R. Application of radiative transport theory to light extraction
from organic light emitting diodes // J. Appl. Phys. 2004. Vol. 95. Pp. 2880–2888.
91
119. Liu C.-C., Liu S.-H., Tien K.-C. et al. Microcavity top-emitting organic light-emitting
devices integrated with diffusers for simultaneous enhancement of efficiencies and viewing
characteristics // Appl. Phys. Lett. 2009. Vol. 94. Pp. 103302–3.
120. Tsutsui T., Yahiro M., Yokogawa H. et al. Doubling coupling-out efficiency in organic
light-emitting devices using a thin silica aerogel layer // Adv. Mater. 2001. Vol. 13.
Pp. 1149–1152.
121. Schnitzer I., Yablonovitch E., Caneau C. et al. 30% external quantum efficiency from
surface textured, thin-film light-emitting diodes // Appl. Phys. Lett. 1993. Vol. 63.
Pp. 2174–2177.
122. Windisch R., Heremans P., Knobloch A. et al. Light-emitting diodes with 31modes //
Appl. Phys. Lett. 1999. Vol. 74. Pp. 2256–2258.
123. Matterson B. J., Lupton J. H., Safonov A. F. et al. Increased efficiency and controlled
light output from a microstructured light-emitting diode // Adv. Mater. 2001. Vol. 13.
Pp. 123–127.
124. Nakanishi T., Hiraoka T., Fujimoto A. et al. Improvement of the light extraction efficien­
cy of top-emitting organic light-emitting diodes by a two-dimensional diffraction layer
fabricated using self-assembled nanoparticles // Appl. Opt. 2009. Vol. 48. Pp. 5889–5896.
125. Riedel B., Hauss J., Geyer U. et al. Enhancing outcoupling ef?ciency of indium-tin-ox­
ide-free organic light-emitting diodes via nanostructured high index layers // Appl. Phys.
Lett. 2010. Vol. 96. Pp. 243302–3.
126. Chen S., Kwok H. S. Light extraction from organic light-emitting diodes for lighting ap­
plications by sand-blasting substrates // Opt. Expr. 2010. Vol. 18. Pp. 37–42.
127. Kim T., Kurunthu D., Burdett J. J., Bardeen C. J. The effects of nanopillar surface
texturing on the photoluminescence of polymer films // J. Appl. Phys. 2010. Vol. 108.
Pp. 033114–6.
128. Ho Y.-H., Liu C.-C., Liu S.-W. et al. Efficiency enhancement of flexible organic
light-emitting devices by using antireflection nanopillars // Opt. Expr. 2011. Vol. 19.
Pp. A295–A302.
92
129. Tsutsui T., Takada N., Saito S. Sharply directed emission in organic electrolumines­
cent diodes with an optical-microcavity structure // Appl. Phys. Lett. 1994. Vol. 65.
Pp. 1868–1871.
130. Grüner J., Cacialli F., Friend R. H. Emission enhancement in single-layer conjugated
polymer microcavities // J. Appl. Phys. 1996. Vol. 80. Pp. 207–215.
131. Tokito S., Tsutsui T., Taga Y. Microcavity organic light-emitting diodes for strongly di­
rected pure red, green, and blue emissions // J. Appl. Phys. 1999. Vol. 80. Pp. 2407–2411.
132. Peng H., Sun J., Zhu X. et al. High-ef?ciency microcavity top-emitting organic light-emit­
ting diodes using silver anode // Appl. Phys. Lett. 2006. Vol. 88. Pp. 073517–3.
133. Lee J., Chopra N., So F. Cavity effects on light extraction in organic light emitting de­
vices // Appl. Phys. Lett. 2008. Vol. 92. Pp. 033303–3.
134. Lu A. W., Rakić A. D. Design of microcavity organic light emitting diodes with optimized
electrical and optical performance // Appl. Opt. 2009. Vol. 48. Pp. 2282–2289.
135. Neyts K. A. Simulation of light emission from thin-film microcavities // J. Opt. Soc. Am.
A. 1998. Vol. 15. Pp. 962–971.
136. Lee C.-C., Chang M.-Y., Huang P.-T. et al. Electrical and optical simulation of organic
light-emitting devices with ?uorescent dopant in the emitting layer // J. Appl. Phys. 2007.
Vol. 101. Pp. 114501–11.
137. Chen X.-W., Choy W. C. H., He S. Ef?cient and rigorous modeling of light emission
in planar multilayer organic light-emitting diodes // J. Disp. Technol. 2007. Vol. 3.
Pp. 110–117.
138. Epstein A., Tessler N., Einziger P. D. Optical emission from organic light-emitting
diodes // Proceedings of IEEE 25th Convention of Electrical and Electronics Engineers
in Israel. 2008. Pp. 358–362.
139. Epstein A., Tessler N., Einziger P. D. Electromagnetic radiation from organic light-emit­
ting diodes // PIERS Online. 2009. Vol. 5. Pp. 75–80.
140. Kahen K. B. Rigorous optical modeling of multilayer organic light-emitting diode de­
vices // Appl. Phys. Lett. 2001. Vol. 78. Pp. 1649–1651.
93
141. Chen H.-C., Lee J.-H., Shiau C.-C. et al. Electromagnetic modeling of organic light-emit­
ting devices // J. Lightwave Technol. 2006. Vol. 24. Pp. 2450–2457.
142. Celebi K., Heidel T. D., Baldo M. A. Simplified calculation of dipole energy transport
in a multilayer stack using dyadic Green’s functions // Opt. Expr.
2007.
Vol. 15.
Pp. 1762–1772.
143. Lu M.-H., Sturm J. C. Optimization of external coupling and light emission in organ­
ic light-emitting devices: modeling and experiment // J. Appl. Phys. 2009. Vol. 91.
Pp. 595–604.
144. Cui M., Urbach H. P., de Boer D. K. Optimization of light extraction from OLEDs //
Opt. Expr. 2005. Vol. 15. Pp. 4398–4409.
145. Nowy S., Frischeisen J., Brütting W. Simulation based optimization of light-outcoupling
in organic light-emitting diodes // Proc. SPIE. 2009. Vol. 7415. Pp. 74151C–9.
146. Mladenovski S., Neyts K., Pavicic D. et al. Exceptionally efficient organic light emitting
devices using high refractive index substrates // Opt. Expr. 2009. Vol. 17. Pp. 7562–7570.
147. Krummacher B. C., Nowy S., Frischeisenb J. et al. Efficiency analysis of organic light-emit­
ting diodes based on optical simulation // Org. Electron. 2009. Vol. 10. Pp. 478–485.
148. Nowy S. Understanding losses in OLEDs: optical device simulation and electrical charac­
terization using impedance spectroscopy: Ph. D. thesis / Universität Augsburg. 2010.
149. Kikuta H., Hino S., Maruyama A. Estimation method for the light extraction efficiency
of light-emitting elements with a rigorous grating diffraction theory // J. Opt. Soc. Am.
A. 2006. Vol. 23. Pp. 1207–1213.
150. Khoshnegar M., Sodagar M., Eftekharian A., Khorasani S. Diffraction analysis of ex­
traction efficiency for photonic crystal based white light emitting diodes // European
Conference on Lasers and Electro-Optics 2009 and the European Quantum Electronics
Conference (CLEO Europe - EQEC 2009). 2009. P. 1.
151. Lee Y.-J., Kim S.-H., Huh J. et al. A high-extraction-efficiency nanopatterned organic
light-emitting diode // Appl. Phys. Lett. 2003. Vol. 82. Pp. 3779–3781.
94
152. Do Y. R., Kim Y.-C., Song Y.-W., Lee Y.-H. Enhanced light extraction effciency from or­
ganic light emitting diodes by insertion of a two-dimensional photonic crystal structure //
J. Appl. Phys. 2004. Vol. 96. Pp. 7629–7636.
153. Lee Y.-J., Kim S.-H., Kim G.-H. et al. Far-field radiation of photonic crystal organic
light-emitting diode // Opt. Expr. 2005. Vol. 13. Pp. 5864–5870.
154. Sun Y., Forrest S. R. Organic light emitting devices with enhanced outcoupling via mi­
crolenses fabricated by imprint lithography // J. Appl. Phys. 2006. Vol. 100. Pp. 073106–6.
155. Yan R., Wang Q. Enhancement of light extraction efficiency in OLED with two-dimen­
sional photonic crystal slabs // Chin. Opt. Lett. 2006. Vol. 4. Pp. 353–356.
156. Xu Z., Cao L., Tan Q. et al. Enhancement of light extraction efficiency in OLED with
two-dimensional photonic crystal slabs // Opt. Commun. 2006. Vol. 278. Pp. 211–214.
157. Yu J. W.-C., Guo Y.-B., Chen J.-Y., Hong F. C.-N. Nano-imprint Fabrication and Light
Extraction Simulation of Photonic Crystals on OLED // Proc. SPIE. 2008. Vol. 7140.
Pp. 71400C–10.
158. Jeon S., and J.-W. K. Far-field radiation of photonic crystal organic light-emitting diode //
Opt. Expr. 2005. Vol. 13. Pp. 5864–5870.
159. Jeon S., Kang J.-W., Park H.-D. et al. Ultraviolet nanoimprinted polymer nanostruc­
ture for organic light emitting diode application // Appl. Phys. Lett. 2008. Vol. 92.
Pp. 223307–3.
160. Cho S.-H., Song Y.-W., Lee J. et al. Weak-microcavity organic light-emitting diodes with
improved light out-coupling // Opt. Expr. 2008. Vol. 16. Pp. 12632–12639.
161. Williams J. H. T. Finite element simulations of excitonic solar cells and organic light
emitting diodes: Ph. D. thesis / University of Bath. 2008.
162. Pohl L., Kohári Z., Székely V. Fast field solver for the simulation of large-area OLEDs //
Microelectron. J. 2008. Vol. 41. Pp. 566–573.
163. Altuna A. O., Jeonb S., Shima J. et al. Corrugated organic light emitting diodes for
enhanced light extraction // Org. Electron. 2008. Vol. 7140. Pp. 71400C–10.
95
164. Heikkila O., Oksanen J., Tulkki J. Light extraction limits in textured GaN-InGaN
light-emitting diodes: Radiative transfer analysis // Appl. Phys. Lett. 2011. Vol. 99.
Pp. 161110–3.
165. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. Москва: Физматлит, 2001. С. 534.
166. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Москва: Издательство Ино­
странной Литературы, 1958. Т. 1. С. 931.
167. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. Москва: Мир, 1978. Т. 1.
С. 550.
168. Smith C. F., Peterson A. F., Mittra R. The biconjugate gradient method for electromag­
netic scattering // IEEE Trans. Antennas Propagat. 1990. Vol. 38. Pp. 938–940.
169. der Vorst H. A. V. Bi-CGSTAB: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the
solution of nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1992. Vol. 13.
Pp. 631–644.
170. Sleijpen G. L. G., der Vorst H. A. V., Fokkema D. R. BiCGstab(𝑙) and other hybrid Bi-CG
methods // Numer. Algorithms. 1994. Vol. 7. Pp. 75–109.
171. Saad Y., Schultz M. H. GMRES: A generalized minimal residual algorithm for solving
nonsymmetric linear systems // SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1986. Vol. 7. Pp. 856–869.
172. Tishchenko A. V. Numerical demonstration of the validity of the Rayleigh hypothesis //
Opt. Expr. 2009. Vol. 17. Pp. 17102–17117.
173. Blahut R. E. Fast algorithms for digital signal processing. Cambridge: Cambridge Univer­
sity Press, 2010.
174. Щербаков А. А., Тищенко А. В. Быстрый численный метод для моделирования одно­
мерных дифракционных решеток // Квантовая электроника. 2010. Т. 40. С. 538–544.
175. Shcherbakov A. A., Tishchenko A. V. Fast and efficient diffraction modeling by the gen­
eralized source method // 26-th Annual Review of Progress in Applied Computational
Electromagnetics. 2010. Pp. 160–165.
96
176. Shcherbakov A. A., Tishchenko A. V., Setz D. S., Krummacher B. C. Rigorous S-matrix
approach to the modeling of the optical properties of OLEDs // Organic Electronics. 2011.
Vol. 12. Pp. 654–659.
177. Wilmsen C. W., Temkin H., Coldren L. A. Vertical-cavity surface-emitting lasers: design,
fabrication, characterization and applications. Cambridge: Cambridge University Press,
1999. P. 474.
Приложение А
Поляризация плоских волн
В данном приложении введем обозначения для описания перехода от координатных
компонент амлитуд полей к амплитудам ТЕ- и ТМ-поляризованных волн. Запишем реше­
ние уравнений Максвелла для монохроматического поля в однородной среде с диэлектри­
ческой и магнитной проницаемостями 𝜀𝑏 и 𝜇𝑏 в форме плоской волны как
E(r)± = E± exp (𝑖𝑘𝑥 𝑥 + 𝑖𝑘𝑦 𝑦 ± 𝑖𝑘𝑧 𝑧) ,
(А.1)
H(r)± = H± exp (𝑖𝑘𝑥 𝑥 + 𝑖𝑘𝑦 𝑦 ± 𝑖𝑘𝑧 𝑧) .
Здесь знаки ‘’±‘’ соответсвуют волнам, распространяющимся в положительном и отри­
цательном направлениях относительно оси 𝑍, причем полная амплитуда поля является
суммой амлитуд (А.1) со знаками ‘’+‘’ и ‘’−‘’. Проекции волнового вектора связаны соот­
ношением [1]
√︁
𝑘𝑧 = 𝜔 2 𝜀𝑏 𝜇𝑏 − 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑦2 .
(А.2)
В общем случае, когда среда может быть поголщающей, а 𝑘𝑧 , соответственно, комплекс­
ным, волны со знаком ‘’+‘’ можно определить условием 0 ≤ arg 𝑘𝑧 < 𝜋, а со знаком ‘’−‘’
— условием 𝜋 ≤ arg 𝑘𝑧 < 2𝜋.
Амплитуды ТЕ-волн 𝑎𝑒± и ТМ-волн 𝑎ℎ± определим как
𝑎
𝑒±
E± (k × 𝑧ˆ)
𝑘𝑦
𝑘𝑥
=
= 𝐸𝑥± − 𝐸𝑦±
|k × 𝑧ˆ|
𝛾
𝛾
(А.3)
H± (k × 𝑧ˆ)
𝑘𝑦
𝑘𝑥
= 𝐻𝑥± − 𝐻𝑦±
(А.4)
|k × 𝑧ˆ|
𝛾
𝛾
√︀
где 𝛾 = 𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 . С помощью уравнений Максвелла для плоских волн (А.1) находим
𝑎ℎ± =
𝑎𝑒± = ±
𝜔𝜇𝑏 𝑘𝑥
𝜔𝜇𝑏 𝑘𝑦
𝜔𝜇𝑏
𝐻𝑥 ±
𝐻𝑦 −
𝐻𝑧
2𝛾𝑘𝑧
2𝛾𝑘𝑧
2𝛾
(А.5)
𝜔𝜀𝑏 𝑘𝑥
𝜔𝜀𝑏 𝑘𝑦
𝜔𝜀𝑏
𝐸𝑥 ∓
𝐸𝑦 +
𝐸𝑧
(А.6)
2𝛾𝑘𝑧
2𝛾𝑘𝑧
2𝛾
На основании (А.3)-(А.6) можно получить обратное преобразование, которое запишем в
𝑎ℎ± = ∓
матричном виде
⎛
⎛
⎞
⎛
𝑘𝑦
𝑘𝑦
𝑘𝑥 𝑘𝑧
− 𝜔𝜀
𝐸
𝛾
𝑏𝛾
⎜ 𝑥⎟
⎜ 𝛾
⎜ ⎟
⎜ 𝑘𝑥
𝐸
𝑘
𝑘
𝑦
𝑘
⎜ 𝐸𝑦 ⎟ = Q a = ⎜ − 𝛾 − 𝛾𝑥 − 𝜔𝜀 𝛾𝑧
𝑏
⎝ ⎠
⎝
𝛾
0
0
𝐸𝑧
𝜔𝜀𝑏
𝑘𝑥 𝑘𝑧
𝜔𝜀𝑏 𝛾
𝑘𝑦 𝑘𝑧
𝜔𝜀𝑏 𝛾
𝛾
𝜔𝜀𝑏
⎞
𝑎𝑒+
⎞
⎜
⎟
⎟
𝑒−
⎟⎜
𝑎 ⎟
⎟⎜
⎜
⎟
⎟⎜
⎠ ⎜ 𝑎ℎ+ ⎟
⎟
⎝
⎠
ℎ−
𝑎
(А.7)
98
⎛
⎛
⎞
⎛
⎞
𝑎𝑒+
⎞
𝑘𝑦
𝑘𝑦
𝑘𝑥 𝑘𝑧
𝑘𝑥 𝑘𝑧
⎟
⎜
− 𝜔𝜇
𝐻
𝛾
𝛾 ⎟ ⎜ 𝑒− ⎟
𝑏𝛾
⎜ 𝑥⎟
⎜ 𝜔𝜇𝑏 𝛾
⎜𝑎 ⎟
⎜
⎟
⎜ 𝑘𝑦 𝑘𝑧
𝑘𝑦 𝑘𝑧
𝑘𝑥
𝑘𝑥 ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜ 𝐻𝑦 ⎟ = Q𝐻 a = ⎜ 𝜔𝜇
−
−
−
𝜔𝜇𝑏 𝛾
𝛾
𝛾 ⎠ ⎜ ℎ+ ⎟
⎝
⎠
⎝ 𝑏𝛾
⎜𝑎 ⎟
⎠
⎝
0
0
− 𝜔𝜇𝛾 𝑏 − 𝜔𝜇𝛾 𝑏
𝐻𝑧
ℎ−
𝑎
Введем также матрицу Q, составленную из (А.7), (А.8):
⎞
⎛ ⎞ ⎛
Q𝐸
E
⎠ a = Qa
⎝ ⎠=⎝
𝐻
Q
H
(А.8)
(А.9)
Приложение Б
S-матрицы профилированных решеток
В данном приложении получим явные аналитические выражения для компонент
S-матрицы профилированной решетки. Для этого воспользуемся соотношением (2.59) па­
раграфа 2.6, которое выводится в Приложении В. Формула (2.59) описывает дифракцию
на бесконечно тонком слое с разрыной функцией 𝜀(𝑥, 𝑦). Переходя от амплитуд компонент
поля к амплитудам ТЕ- и ТМ-поляризованных гармоник с помощью (А.3)-(А.6), (А.7) и
(А.8), имеем
a = Q̄𝐸 W𝐸 Q𝐸 a𝑖𝑛𝑐 .
(Б.1)
Данное уравнение фактически и определяет S-матрицу (2.28), компоненты которой в яв­
ном виде запишем как
𝑒+𝑒+
𝑒+𝑒−
𝑒−𝑒+
𝑒−𝑒−
𝑆𝑚𝑛
= 𝑆𝑚𝑛
= 𝑆𝑚𝑛
= 𝑆𝑚𝑛
=
1 (︀
𝑘𝑥𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛 + 𝑘𝑦𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛
𝛾𝑚
)︀ 1
− 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑥𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦 + 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑥𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥 + 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑦𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦 − 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑦𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥
,
𝛾𝑛
1 (︀
−𝑘𝑦𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛 + 𝑘𝑥𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛 + 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑥𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥 + 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑥𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦
𝛾𝑚
)︀ 𝑘𝑧𝑛
)︀ 𝛾𝑛
1 (︀
−
,
− 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑦𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥 − 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑦𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦
𝑘𝑦𝑚 Υ𝑥𝑧𝑚𝑛 − 𝑘𝑥𝑚 Υ𝑦𝑧𝑚𝑛
𝜔𝜀𝑏 𝛾𝑛 𝛾𝑚
𝜔𝜀𝑏
1 (︀
𝑒+ℎ−
𝑒−ℎ−
𝑆𝑚𝑛
= 𝑆𝑚𝑛
=
𝑘𝑦𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛 − 𝑘𝑥𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛 − 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑥𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥 − 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑥𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦
𝛾𝑚
)︀ 𝑘𝑧𝑛
)︀ 𝛾𝑛
1 (︀
+ 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑦𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥 + 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑦𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦
−
𝑘𝑦𝑚 Υ𝑥𝑧𝑚𝑛 − 𝑘𝑥𝑚 Υ𝑦𝑧𝑚𝑛
,
𝜔𝜀𝑏 𝛾𝑛 𝛾𝑚
𝜔𝜀𝑏
𝜔𝜀𝑏 (︀
ℎ+𝑒+
ℎ+𝑒−
𝑆𝑚𝑛
= 𝑆𝑚𝑛
=−
𝑘𝑥𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛 − 𝑘𝑥𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛 − 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑥𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦 + 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑥𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥
𝑘𝑧𝑚 𝛾𝑚
)︀ 1
)︀ 1
𝜔𝜀𝑏 (︀
Σ𝑧𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛 − Σ𝑧𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛
−
,
− 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑦𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦 + 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑦𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦
𝛾𝑛
𝛾𝑚
𝛾𝑚
𝜔𝜀𝑏 (︀
ℎ−𝑒−
ℎ−𝑒+
= 𝑆𝑚𝑛
=
𝑆𝑚𝑛
𝑘𝑥𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛 − 𝑘𝑥𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛 − 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑥𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦 + 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑥𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥
𝑘𝑧𝑚 𝛾𝑚
)︀ 1
)︀ 1
𝜔𝜀𝑏 (︀
− 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑦𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦 + 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑦𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦
−
Σ𝑧𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛 − Σ𝑧𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛
,
𝛾𝑛
𝛾𝑚
𝛾𝑚
1 (︀
ℎ+ℎ+
𝑆𝑚𝑛
=
𝑘𝑥𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛 + 𝑘𝑦𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛 − 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑥𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥 − 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑥𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦
𝑘𝑧𝑚 𝛾𝑚
)︀
)︀ 𝑘𝑧𝑛
1 (︀
− 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑦𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥 + 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑦𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦
+
𝑘𝑥𝑚 Υ𝑥𝑧𝑚𝑛 + 𝑘𝑦𝑚 Υ𝑦𝑧𝑚𝑛 𝛾𝑛
𝛾𝑛
𝑘𝑧𝑚 𝛾𝑚
)︀ 𝑘𝑧𝑛
]︀
1 (︀
1 [︀
+
Σ𝑧𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛 + Σ𝑧𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛
+
I − C−1 𝑚𝑛 𝛾𝑛 ,
𝛾𝑚
𝛾𝑚
𝛾𝑚
(Б.2)
𝑒+ℎ+
𝑒−ℎ+
𝑆𝑚𝑛
= 𝑆𝑚𝑛
=
(Б.3)
(Б.4)
(Б.5)
(Б.6)
(Б.7)
100
1 (︀
𝑘𝑥𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛 + 𝑘𝑦𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛 − 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑥𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥 − 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑥𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦
𝑘𝑧𝑚 𝛾𝑚
)︀ 𝑘𝑧𝑛
)︀
1 (︀
− 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑦𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥 + 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑦𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦
+
𝑘𝑥𝑚 Υ𝑥𝑧𝑚𝑛 + 𝑘𝑦𝑚 Υ𝑦𝑧𝑚𝑛 𝛾𝑛
𝛾𝑛
𝑘𝑧𝑚 𝛾𝑚
)︀ 𝑘𝑧𝑛
]︀
1 (︀
1 [︀
+
Σ𝑧𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛 + Σ𝑧𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛
+
I − C−1 𝑚𝑛 𝛾𝑛 ,
𝛾𝑚
𝛾𝑚
𝛾𝑚
1 (︀
ℎ+ℎ−
𝑘𝑥𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛 + 𝑘𝑦𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛 − 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑥𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥 − 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑥𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦
𝑆𝑚𝑛
=−
𝑘𝑧𝑚 𝛾𝑚
)︀ 𝑘𝑧𝑛
)︀
1 (︀
− 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑦𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥 + 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑦𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦
−
𝑘𝑥𝑚 Υ𝑥𝑧𝑚𝑛 + 𝑘𝑦𝑚 Υ𝑦𝑧𝑚𝑛 𝛾𝑛
𝛾𝑛
𝑘𝑧𝑚 𝛾𝑚
)︀ 𝑘𝑧𝑛
]︀
1 (︀
1 [︀
+
Σ𝑧𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛 + Σ𝑧𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛
+
I − C−1 𝑚𝑛 𝛾𝑛 ,
𝛾𝑚
𝛾𝑚
𝛾𝑚
1 (︀
ℎ+ℎ−
𝑘𝑥𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛 + 𝑘𝑦𝑚 ∆𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛 − 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑥𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥 − 𝑘𝑚𝑥 Ω𝑥𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦
𝑆𝑚𝑛
=
𝑘𝑧𝑚 𝛾𝑚
)︀ 𝑘𝑧𝑛
)︀
1 (︀
− 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑦𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑥 + 𝑘𝑚𝑦 Ω𝑦𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑦
−
𝑘𝑥𝑚 Υ𝑥𝑧𝑚𝑛 + 𝑘𝑦𝑚 Υ𝑦𝑧𝑚𝑛 𝛾𝑛
𝛾𝑛
𝑘𝑧𝑚 𝛾𝑚
)︀ 𝑘𝑧𝑛
]︀
1 (︀
1 [︀
+
Σ𝑧𝑥𝑚𝑛 𝑘𝑥𝑛 + Σ𝑧𝑦𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛
+
I − C−1 𝑚𝑛 𝛾𝑛 ,
𝛾𝑚
𝛾𝑚
𝛾𝑚
ℎ+ℎ−
𝑆𝑚𝑛
=−
(Б.8)
(Б.9)
(Б.10)
где введены обозначения
Ω𝛼𝛽 = DΓ𝛼𝛽 + DΓ𝛼𝑧 C−1 Γ𝑧𝛽 D,
Υ𝛼𝛽 = DΓ𝛼𝛽 C−1 ,
(Б.11)
Σ𝛼𝛽 = C−1 Γ𝛼𝛽 D
в соответствии с (2.61), (2.62) и (2.60). Отдельно можно выделить важный частный случай
коллинеарной дифракции ТМ-волны на одномерной дифракционной решетке. Приняв в
преобразованиях (2.55), (2.56) 𝜙 = 0 и 𝑘𝑥𝑚=0 , имеем
ℎ±ℎ±
𝑆𝑚𝑛
=
]︀
1 [︀
∆ − DΓ𝑦𝑦 − DΓ𝑦𝑧 C−1 DΓ𝑧𝑦 𝑚𝑛 (±𝑘𝑧𝑛 ) +
𝑘𝑧𝑚
]︀
]︀
1 [︀ −1
1 [︀
+
C DΓ𝑧𝑦 𝑚𝑛 𝑘𝑛𝑧 +
I − C−1 𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛 .
𝑘𝑦𝑚
𝑘𝑦𝑚
]︀
1 [︀
DΓ𝑦𝑧 C−1 𝑚𝑛 𝑘𝑦𝑛
±𝑘𝑧𝑚
(Б.12)
Здесь первый знак ’‘±’‘ относится к падающим гармоникам, а второй — к дифргирующим.
Итак, приведенные выше формулы (Б.2)-(Б.10) представляют собой аналитические
явные выражения S-матрицы бесконечно тонкого слоя профилированной дифракционной
решетки с произвольным профилем.
Приложение В
Вывод уравнений, описывающих дифракцию на
профилированной решетке
Здесь выведены формулы для описания дифракции на профилированных решетках
с помощью неявного уравнения, приведенных в параграфе 2.3 Главы 2. Введенная ло­
кальная система координат на поверхности решетки позволяет в явном виде записать
соотношения (2.54):
⎛
⎛ [︁ 𝜀 ]︁−1
𝑏
⎞
𝑗
⎜ 𝜀
⎜ n⎟
⎜
⎜ ⎟
0
⎜ 𝑗𝜓 ⎟ = −𝑖𝜔𝜀𝑏 ⎜
⎜
⎝ ⎠
⎝
𝑗𝜑
0
−I
0
[︁ 𝜀 ]︁
0
⎞⎛
⎞
⎟ ⎜ 𝐸n ⎟
⎟⎜
⎟⎜𝐸 ⎟
−I
0
⎟⎝ 𝜓⎟
𝜀𝑏
⎠
[︁ 𝜀 ]︁
⎠
𝐸𝜑
0
−I
𝜀𝑏
(В.1)
С помощью преобразований (2.55), (2.56) перейдем в исходную систему координат 𝑋𝑌 𝑍
⎛ ⎞
⎛ ⎞
𝐸
𝑗𝑥
⎜ 𝑥⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
(В.2)
⎜ 𝑗𝑦 ⎟ = −𝑖𝜔𝜀𝑏 (∆𝑥 I𝛼𝛽 − DΓ𝛼𝛽 ) ⎜ 𝐸𝑦 ⎟ ,
⎝ ⎠
⎝ ⎠
𝐸𝑧
𝑗𝑧
где матрицы ∆𝑥 , D и Γ𝛼𝛽 определены в (2.29), (2.61) и (2.60) соответственно. Чтобы полу­
чить соотношение между источником j и модифицированным полем Ẽ отдельно выпишем
𝑧-компоненту (В.2):
𝑗𝑧 = −𝑖𝜔𝜀𝑏 [−DΓ𝑧𝑥 𝐸𝑥 − DΓ𝑧𝑦 𝐸𝑦 + (∆𝑥 − DΓ𝑧𝑧 )𝐸𝑧 ] .
(В.3)
Затем воспользуемся определением модифицированного поля (2.22), и с помощью (2.62)
запишем
(︂[︁ ]︁
)︂
𝜀
𝑗𝑧
˜
𝐸𝑧 = 𝐸𝑧 −
= −DΓ𝑧𝑥 𝐸𝑥 − DΓ𝑧𝑦 𝐸𝑦 +
− DΓ𝑧𝑧 𝐸𝑧
𝑖𝜔𝜀𝑏
𝜀𝑏
(В.4)
= −DΓ𝑧𝑥 𝐸˜𝑥 − DΓ𝑧𝑦 𝐸˜𝑦 + C𝐸𝑧 .
Это дает возможность явно выписать взаимосвязь реального и модифицированного полей
как
⎛
⎞
⎛
⎞⎛
𝐸˜𝑥
⎞
𝐸
I
0
0
⎜ 𝑥⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ 𝐸𝑦 ⎟ = ⎜
0
I
0 ⎟ ⎜ 𝐸˜𝑦 ⎟ .
⎝ ⎠ ⎝
⎠⎝ ⎠
−1
−1
−1
𝐸𝑧
C DΓ𝑧𝑥 C DΓ𝑧𝑦 C
𝐸˜𝑧
(В.5)
102
Наконец, подставив (В.5) в (В.2), получаем соотношение, из которого следует явный вид
матрицы W𝐸 (2.59):
⎛ ⎞
𝑗
⎜ 𝑥⎟
⎜ ⎟
⎜ 𝑗𝑦 ⎟ = −𝑖𝜔𝜀𝑏
⎝ ⎠
𝑗𝑧
⎞⎛ ⎞ (В.6)
⎛
−1
−1
−1
𝐸˜
∆ − DΓ𝑥𝑥 − DΓ𝑥𝑧 C DΓ𝑧𝑥
−DΓ𝑥𝑦 − DΓ𝑥𝑧 C DΓ𝑧𝑦
−DΓ𝑥𝑧 C
⎟⎜ 𝑥 ⎟
⎜ 𝑥
⎟⎜ ⎟
⎜
× ⎜ −DΓ𝑥𝑦 − DΓ𝑥𝑧 C−1 DΓ𝑧𝑦
∆𝑦 − DΓ𝑦𝑦 − DΓ𝑦𝑧 C−1 DΓ𝑧𝑦 −DΓ𝑦𝑧 C−1 ⎟⎜ 𝐸˜𝑦 ⎟ .
⎠⎝ ⎠
⎝
−1
−1
−1
−C DΓ𝑧𝑥
−C DΓ𝑧𝑦
I−C
𝐸˜𝑧
Отметим здесь, что применение преобразования Фурье к (В.6) является корректным, по­
скольку во всех вышеприведенных вычислениях был соблюден правильный порядок мат­
риц и сохранены различия между нормальными и тангенциальными компонентами полей.
Как было отмечено в параграфе 2.6, полученная матрица W не позволяет сохранить
быстрый численный алгоритм, сформулированный в параграфе 2.5, так как содержит
обратные матрицы C−1 . Чтобы обойти эту проблему представим матрицу C−1 следующим
образом:
−1
C
=
(︂[︁
[︁ 𝜀 ]︁−1
𝜀 ]︁ 2
𝑏
sin 𝜓 +
cos2 𝜓
𝜀𝑏
𝜀
)︂−1
= M−1
𝑥𝑥
[︁ 𝜀 ]︁
𝑏
𝜀
= M−1
𝑦𝑦
[︁ 𝜀 ]︁
𝑏
𝜀
=
[︁ 𝜀 ]︁
𝑏
M−1
𝑧𝑧 ,
𝜀
(В.7)
где матрица M определяется в (2.63). Из (В.7) и (2.65) следует, что
−1
C−1 D = −FM−1
𝑥𝑥 = −FM𝑦𝑦 ,
(В.8)
DC−1 = −GM−1
𝑥𝑥 .
С помощью последних соотношений можно переписать компоненты матрицы W
(︂
[︁ 𝜀 ]︁ )︂
−1
W𝑥𝑥 = ∆𝑥 − DΓ𝑥𝑥 − DΓ𝑥𝑧 C DΓ𝑧𝑥 = ∆𝑥 M𝑥𝑥 + G
Γ𝑥𝑥 M−1
𝑥𝑥 ,
𝜀𝑏
[︁ 𝜀 ]︁
Γ𝑥𝑦 M−1
W𝑥𝑦 = −DΓ𝑥𝑦 − DΓ𝑥𝑧 C−1 DΓ𝑧𝑦 = G
𝑦𝑦 ,
𝜀𝑏
W𝑦𝑦
W𝑥𝑧 = −DC−1 Γ𝑥𝑧 = GΓ𝑥𝑧 M−1
𝑧𝑧 ,
[︁ 𝜀 ]︁
W𝑦𝑥 = −DΓ𝑦𝑥 − DΓ𝑦𝑧 C−1 DΓ𝑧𝑥 = G
Γ𝑦𝑥 M−1
𝑥𝑥 ,
𝜀𝑏
(︂
[︁ 𝜀 ]︁ )︂
−1
Γ𝑦𝑦 M−1
= ∆𝑦 − DΓ𝑦𝑦 − DΓ𝑦𝑧 C DΓ𝑧𝑦 = ∆𝑦 M𝑦𝑦 + G
𝑦𝑦 ,
𝜀𝑏
(В.9)
(В.10)
(В.11)
(В.12)
(В.13)
W𝑦𝑧 = −DC−1 Γ𝑦𝑧 = GΓ𝑦𝑧 M−1
𝑧𝑧 ,
(В.14)
W𝑧𝑥 = −C−1 DΓ𝑧𝑥 = FΓ𝑧𝑥 M−1
𝑥𝑥 ,
(В.15)
103
W𝑧𝑦 = −C−1 DΓ𝑧𝑦 = FΓ𝑧𝑦 M−1
𝑦𝑦 ,
(︁
[︁ 𝜀 ]︁)︁
𝑏
W𝑧𝑧 = I − C−1 = M𝑧𝑧 −
M−1
𝑧𝑧 .
𝜀
(В.16)
(В.17)
Отсюда сразу следует разложение
W = UM−1
(В.18)
и определения (2.63) и (2.64). Таким образом, описанным выше способом удается изба­
виться от обращений матриц и сохранить предложенный быстрый алгоритм и для расчета
профилированных решеток.
Для доказательства (2.66) подставим (В.18) в уравнения (2.47) и (2.49). Первое из
них, определяющее амплитуды дифрагированных гармоник в слое с решеткой, перепишем
как
Q𝐸 a𝑖𝑛𝑐 = Q𝐸 (I − RPWQ𝐸 )a = (I − Q𝐸 RPUM−1 )Q𝐸 a = (M − Q𝐸 RPU)M−1 Q𝐸 a.
(В.19)
Заметим, что в последних преобразованиях участвуют неквадратные матрицы, но разме­
ры единичных матриц не указаны, так как они однозначно определены структурой осталь­
ных частей выражений. В соответствии с общей схемой метода обобщенных источников,
изложенной в параграфе 1.3, неизвестные амплитуды волн внутри слоя есть суперпозиция
внешнего поля и поля обобщенных источников:
a = a𝑖𝑛𝑐 + RPU(M − Q𝐸 RPU)−1 Q𝐸 a𝑖𝑛𝑐
(В.20)
С помощью прямой подстановки можно проверить, что (В.20) удовлетворяет (В.19). На­
конец, (В.20) позволяет получить уравнение на неизвестные амплитуды дифрагирующих
гармоник на границах слоя:
a𝑜𝑢𝑡 (𝑧𝑈 , 𝑧𝐿 ) = a𝑖𝑛𝑐 (𝑧𝑈 , 𝑧𝐿 ) + TPWQ𝐸 a
= a𝑖𝑛𝑐 (𝑧𝑈 , 𝑧𝐿 ) + TPUM−1 Q𝐸 a𝑖𝑛𝑐
+ TPUM−1 Q𝐸 RPU(M − Q𝐸 RPU)−1 Q𝐸 a𝑖𝑛𝑐
[︀
]︀
= a𝑖𝑛𝑐 (𝑧𝑈 , 𝑧𝐿 ) + TPU I + M−1 Q𝐸 RPU(I − M−1 Q𝐸 RPU)−1 M−1 Q𝐸 a𝑖𝑛𝑐
(В.21)
= a𝑖𝑛𝑐 (𝑧𝑈 , 𝑧𝐿 ) + TPU(I − M−1 Q𝐸 RPU)−1 M−1 Q𝐸 a𝑖𝑛𝑐
= a𝑖𝑛𝑐 (𝑧𝑈 , 𝑧𝐿 ) + TPU(M − Q𝐸 RPU)−1 Q𝐸 a𝑖𝑛𝑐
Амплитуды электрического поля в каждом подслое решетки могут быть найдены с помо­
104
щью (В.5), (В.20), (В.7) и (В.8):
⎛
⎞
I
0
0
⎜
⎟
⎜
⎟ 𝐸
E𝑞 = ⎜
0
I
0 ⎟Q a
⎝
⎠
C−1 DΓ𝑧𝑥 C−1 DΓ𝑧𝑦 C−1
⎞
⎛
I
0
0
⎟
⎜
⎟
⎜
𝐸
−1 𝐸
=⎜
0
I
0 ⎟ M(M − Q RPU) Q a𝑖𝑛𝑐
⎠
⎝
C−1 DΓ𝑧𝑥 C−1 DΓ𝑧𝑦 C−1
⎛
⎞
M𝑥𝑥
0
0
⎜
⎟
⎜
⎟
=⎜ 0
M𝑦𝑦
0 ⎟ (M − Q𝐸 RPU)−1 Q𝐸 a𝑖𝑛𝑐
⎝
[︁ 𝜀 ]︁ ⎠
𝑏
−FΓ𝑧𝑥 −FΓ𝑧𝑦
𝜀
(В.22)
Приложение Г
Таблицы дифракционных эффективностей
Таблица Г.1. Дифракционные эффективности, рассчитанные с помощью Фурье-модального мето­
да, для дифракции на голографической синусоидальной решетки с параметрами 𝑛𝑠 = 𝑛𝑔 = 2.5,
𝑛𝑐 = 1, 𝑐 = 0.1, Λ𝑥 = Λ𝑦 = 1 мкм, ℎ = 0.5 мкм, 𝜃𝑖𝑛𝑐 = 𝜙𝑖𝑛𝑐 = 30∘ . Длина волны 𝜆 = 0.6328 мкм.
𝑇𝐸 → 𝑇𝐸
𝑇𝐸 → 𝑇𝑀
𝑇𝑀 → 𝑇𝐸
𝑇𝑀 → 𝑇𝑀
𝑅−1,−1
0.00002023
0.00000881
0.00000892
0.00002558
𝑅−1,0
0.00000245
0.00012953
0.00013144
0.00000363
𝑅−1,1
0.00000264
0.00003574
0.00002347
0.00000169
𝑅0,−1
0.00001274
0.00011071
0.00010857
0.0000115
𝑅0,0
0.21674905
0
0
0.13299097
𝑅0,1
0.00002225
0.00002923
0.00001101
0.00005733
𝑇−1,−1
0.00434515
0.00179887
0.00203992
0.00471442
𝑇−1,0
0.00130657
0.05517545
0.06046241
0.00091777
𝑇−1,1
0.00068412
0.00579083
0.00575216
0.00074238
𝑇0,−1
0.00587329
0.05042814
0.05725842
0.00818631
𝑇0,0
0.52123807
0.00000318
0.00000256
0.58170165
𝑇0,1
0.04015233
0.01455898
0.02021125
0.04424883
𝑇1,−1
0.00317212
0.00324318
0.00379986
0.00276025
𝑇1,0
0.05441954
0.00350231
0.00552772
0.05253578
𝑇1,1
0.0088414
0.00017798
0.00022839
0.00701056
Таблица Г.2. Дифракционные эффективности, рассчитанные с помощью разработанного метода,
для дифракции на голографической решетке с параметрами 𝑛𝑠 = 𝑛𝑔 = 2.5, 𝑛𝑐 = 1, 𝑐 = 0.1,
Λ𝑥 = Λ𝑦 = 1 мкм, ℎ = 0.5 мкм, 𝜃𝑖𝑛𝑐 = 𝜙𝑖𝑛𝑐 = 30∘ . Длина волны 𝜆 = 0.6328 мкм.
𝑇𝐸 → 𝑇𝐸
𝑇𝐸 → 𝑇𝑀
𝑇𝑀 → 𝑇𝐸
𝑇𝑀 → 𝑇𝑀
𝑅−1,−1
0.00002024
0.00000881
0.00000892
0.00002558
𝑅−1,0
0.00000246
0.00012956
0.00013147
0.00000363
𝑅−1,1
0.00000264
0.00003574
0.00002348
0.00000169
𝑅0,−1
0.00001274
0.00011074
0.0001086
0.0000115
106
𝑅0,0
0.21674801
0
0
0.13299014
𝑅0,1
0.00002225
0.00002923
0.00001101
0.00005734
𝑇−1,−1
0.00434517
0.00179887
0.00203993
0.00471443
𝑇−1,0
0.00130657
0.05517556
0.06046262
0.00091777
𝑇−1,1
0.00068412
0.00579085
0.00575209
0.00074237
𝑇0,−1
0.00587331
0.0504283
0.05725868
0.00818634
𝑇0,0
0.52123814
0.00000318
0.00000256
0.58170205
𝑇0,1
0.04015244
0.01455894
0.02021137
0.04424889
𝑇1,−1
0.00317212
0.00324315
0.00379981
0.00276019
𝑇1,0
0.05441989
0.00350228
0.00552777
0.05253564
𝑇1,1
0.00884158
0.00017799
0.00022839
0.0070105
Таблица Г.3. Дифракционные эффективности, рассчитанные с помощью метода Рэлея для ди­
фракции на профилированной синусоидальной решетке с параметрами 𝑛𝑠 = 2.5, 𝑛𝑐 = 1,
Λ𝑥 = Λ𝑦 = 1 мкм, ℎ = 0.2 мкм, 𝜃𝑖𝑛𝑐 = 𝜙𝑖𝑛𝑐 = 30∘ . Длина волны 𝜆 = 0.6328 мкм.
𝑇𝐸 → 𝑇𝐸
𝑇𝐸 → 𝑇𝑀
𝑇𝑀 → 𝑇𝐸
𝑇𝑀 → 𝑇𝑀
𝑅−1,−1
0.00570936
0.00165788
0.00170979
0.00538214
𝑅−1,0
0.00038384
0.02421167
0.02483418
0.00292523
𝑅−1,1
0.00002088
0.0016181
0.00309944
0.00000904
𝑅0,−1
0.00280087
0.02523381
0.02430154
0.00000243
𝑅0,0
0.11579962
0.00012129
0.00012129
0.06583007
𝑅0,1
0.00769935
0.00939271
0.00344653
0.00265069
𝑇−1,−1
0.00585463
0.00352645
0.00412859
0.01043321
𝑇−1,0
0.00276715
0.0614943
0.06898775
0.00019916
𝑇−1,1
0.00425894
0.00714374
0.01087134
0.00090457
𝑇0,−1
0.00705499
0.05044941
0.07311164
0.01455254
𝑇0,0
0.38427102
0.00063096
0.0001435
0.43193664
𝑇0,1
0.07529482
0.00808543
0.03881465
0.06065422
𝑇1,−1
0.00986931
0.00665058
0.00740261
0.00646448
𝑇1,0
0.12919881
0.00325943
0.01542438
0.08630225
𝑇1,1
0.02088205
0.00084845
0.00155674
0.01293191
107
Таблица Г.4. Дифракционные эффективности, рассчитанные с помощью разработанного метода
для дифракции на профилированной синусоидальной решетке с параметрами 𝑛𝑠 = 2.5, 𝑛𝑐 = 1,
Λ𝑥 = Λ𝑦 = 1 мкм, ℎ = 0.2 мкм, 𝜃𝑖𝑛𝑐 = 𝜙𝑖𝑛𝑐 = 30∘ . Длина волны 𝜆 = 0.6328 мкм.
𝑇𝐸 → 𝑇𝐸
𝑇𝐸 → 𝑇𝑀
𝑇𝑀 → 𝑇𝐸
𝑇𝑀 → 𝑇𝑀
𝑅−1,−1
0.00570901
0.00165777
0.00170973
0.00538269
𝑅−1,0
0.00038379
0.02421094
0.02483321
0.00292496
𝑅−1,1
0.00002089
0.0016185
0.00309949
0.00000907
𝑅0,−1
0.00280105
0.02523326
0.02430042
0.00000241
𝑅0,0
0.1157983
0.00012129
0.00012129
0.06582837
𝑅0,1
0.00769927
0.00939297
0.00344634
0.00265114
𝑇−1,−1
0.00585422
0.0035261
0.00412836
0.01043152
𝑇−1,0
0.00276688
0.06149468
0.06898993
0.00019924
𝑇−1,1
0.00425868
0.00714261
0.01087049
0.00090466
𝑇0,−1
0.00705471
0.05044862
0.07311433
0.01455259
𝑇0,0
0.3842799
0.00063101
0.0001435
0.4319457
𝑇0,1
0.07529686
0.00808572
0.03881535
0.06065233
𝑇1,−1
0.00986915
0.0066497
0.00740168
0.00646378
𝑇1,0
0.12919709
0.00325889
0.01542421
0.08629825
𝑇1,1
0.02088019
0.00084873
0.00155664
0.01293038