АНАЛИЗ ЭКОНОМИЧЕСКОй ТЕОРИИ ИНДЕКСОВ

cерия А
(экономические науки, социологические науки, психологические науки)
УДК 330.101
S. Zahoroshko
ANALYSIS OF THE ECONOMIC THEORY
OF INDICES
С. С. ЗАХОРОШКО,
заведующий кафедрой экономики АПК
УО «Гродненский государственный
аграрный университет»,
кандидат экономических наук, доцент
АНАЛИЗ Экономической
теории индексов
Исследуется экономическая теория индексов и ее разновидность – теория «истинных» индексов
стоимости жизни. Дается критический анализ теоретико-методологических основ названной теории, показаны недостатки некоторых концептуальных положений.
In this article the economic theory of index numbers and its modification – the theory of «true» costof-living index numbers – are studied. Critical analysis of theoretical and methodological bases of the given
theory is provided. Drawbacks of some conceptual foundations of the theory are pointed out.
Роль индексов в развитии статистики и других
областей знания огромна. О значении теории индексов для экономической науки свидетельствует
тот факт, что многие выдающиеся ученые в той или
иной мере занимались исследованиями в этой области. Достаточно назвать А. Л. Боули, А. Маршалла,
Ф. И. Эджворта, И. Фишера. Лауреаты Нобелевской
премии Д. Кейнс, Р. Фриш, П. Самуэльсон также
придавали первостепенное значение исследованиям в области индексологии. Однако приходится
констатировать, что исследование природы индексов, их содержательной, качественной стороны –
крайне сложная задача, не нашедшая своего решения и в современный период. Поэтому необходимо
заново переосмыслить некоторые тупиковые и застывшие положения индексной теории.
Экономическая теория индексов, вобравшая
в себя несколько подходов, сформировалась как
самостоятельное направление в 1920-е гг. Рагнар
Фриш впервые различает два основных направления
в индексологии: атомистический (стохастическая
и тестовая теории) и новый – функциональный [1].
По его мнению, при атомистическом подходе, данные, используемые при расчете индексов, рассматриваются как независимые переменные, а при
функциональном подходе – как взаимосвязанные.
Р. Фриш проводит различия между этими направлениями: «При функциональном подходе предполагается, что существуют некоторые характеристические
отношения между ценами и объемами. Это меняет
суть проблемы. В то время как при атомистическом
подходе нельзя дать логичное и единственное определение числового индекса, такое определение, как
мы увидим, при функциональном подходе вполне
возможно» [1, с. 3]. Иными словами, наиболее общее
отличие стохастической и тестовой теории от экономической состоит в том, что если первые две исходят
из независимости цен и количества реализованных
товаров, то третья рассматривает цены и количество
как функционально связанные переменные.
64
Активно разрабатывали экономическую теорию индексов Альфред Маршалл, Питер Самуэльсон, Субраманиан Свами. В частности, работа
П. Самуэльсона и С. Свами представляет собой
наиболее солидный обзор экономической теории
индексов [2].
Субраманиан Свами, анализируя критерии
Фишера, упростил систему тестов, сократив их
число до пяти, оставив только критерии пропорциональности, циркулярности, определенности, соизмеримости, обратимости факторов [3].
Он предложил свой способ доказательства совместимости и применимости тестов. В соответствии
с теоремой Свами, тесты пропорциональности,
циркулярности, соизмеримости, обратимости факторов несовместимы, поскольку нет такой индексной формулы, которая удовлетворяла бы им всем.
Свами сконст­руировал свою формулу «идеального» индекса, которая внешне сходна с индексом
Фишера:
(1)
Экономическая основа приведенной формулы крайне туманная в связи с суммированием
цен и количеств в числителе и перемножением
во втором элементе индекса. Сфера практического применения данного индекса, вероятно, будет
ограниченной, поскольку вычисления чрезмерно
усложнены.
Последователи экономической теории индексов критикуют тестовую теорию индексов, в том
числе механические, формальные методы Фишера,
а также в большей или меньшей степени его «идеальную» формулу. Но большинство явных противников – это те, кто отвергают ее из-за отсутствия
экономического содержания. Алгоритм Фишера,
полученный эвристическим способом, представлялся многим статистикам малообоснованным, чем
ÏÐÎÁËÅÌÛ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ¹ 3 (40) 2011
С. С. Захорошко. Анализ экономической теории индексов
и был обусловлен поиск других вариантов «идеальных формул», т. е. индексов, удовлетворяющих
ключевым тестам.
В то же время многие приверженцы экономической концепции рассматривают тесты лишь как
вспомогательный инструмент при обосновании тех
или иных формул. Так, ссылаясь на Р. Фриша, Р. Аллен пишет: «Применение критериев не имеет того
центрального теоретического значения, которое
придает им Ирвинг Фишер. Скорее всего, это удобный инструмент при суждении о сравнительных
достоинствах различных формул...» [4, с. 98].
В рамках экономической теории объединились несколько направлений: теория лимитов, теория наилучших линейных индексов, интегральная
теория.
Исторически первым направлением в рамках
экономической теории индексов стала «теория лимитов»*. Остановимся на ней более подробно.
Центральное место в теории лимитов занимают различные лимиты, в пределах которых якобы
находятся «истинные» индексы стоимости жизни.
В современных публикациях лимитам соответствуют «индексы цен постоянной полезности». Считается, что такие индексы должны показывать изменение цен при неизменной полезности товаров.
Одной из ветвей теории лимитов является теория истинных индексов стоимости жизни, в основу которой легла работа советского исследователя
А. А. Конюса «Проблема истинного индекса стоимости жизни» (1924) [5]. Идея «истинного» индекса
стоимости жизни сводится к определению степени
изменения стоимости жизни для двух сравниваемых периодов (или пространственных пунктов).
При этом потребительский набор товаров и услуг
q1 в потребительской корзине субъекта, в рамках
сложившегося уровня жизни, может меняться, но
должен соответствовать равноценному удовлетворению потребностей. В рассуждениях авторов концепции потребительский индекс цен есть индекс
затрат, отражающий некоторый уровень жизни.
По образному выражению Ф. Миллса, «истинный»
индекс стоимости жизни и является мерилом изменения денежной стоимости такой «рыночной
корзинки» [6, с. 290].
В основе теории «истинных» индексов стоимости жизни лежат также следующие предпосылки:
а) уровень жизни субъектов за конкретный
период определяется совокупностью потребленных
товаров и услуг. Уровень жизни зависит только от
цен и денежных расходов субъектов и не зависит от
каких-либо других факторов. В частности, предполагается, что спрос потребителей на товары полностью удовлетворен, семейный состав потребителей
постоянен, вкусы неизменны и т. д.;
б) при данных ценах потребитель выбирает такой набор товаров и услуг, который обеспечивает ему
максимальный из всех возможных уровень жизни;
в) если потребитель в одном из сравниваемых
периодов затратил на товары и услуги определенную сумму денег, то в другом он располагает денежной суммой, позволяющей ему приобрести тот
же набор товаров и услуг по новым ценам.
Опираясь на приведенные положения, сторонники данной теории, например, К. С. Банерджи,
Ф. Миллс и др., считают, что «истинные» индексы
стоимости жизни должны рассчитываться на основе фактической функции полезности, а индекс цен
постоянной полезности находится в пределах между агрегатными индексами Ласпейреса и Пааше.
Эта идея не нова. Такую же точку зрения в разное
время разделяли и другие западные экономисты:
Г. Хаберлер, Р. Фриш, Дж. Кейнс, а в современный
период – Р. Аллен и др.
В анализируемой концепции числитель «истинного» индекса стоимости жизни, определяемый для
уровня жизни в базисном периоде, меньше числителя исчисленного индекса, а их знаменатели одинаковы. Поэтому «истинный» индекс стоимости жизни
меньше индекса, взвешенного по весам базисного
периода. Аналогично «истинный» индекс стоимости
жизни, определяемый для характеристики уровня
жизни в текущем периоде, больше индекса цен,
взвешенного по весам текущего периода. Эти два
«истинных» индекса стоимости жизни не будут равны друг другу, поскольку характеризуют изменение
стоимости разных уровней жизни. При этом каждый
из них или оба одновременно могут выходить за
границы двух агрегатных индексов, рассчитанных
по весам базисного и текущего периодов.
Авторы концепции исходят из того, что для нахождения приблизительного значения «истинного»
индекса стоимости жизни достаточно найти условие, при котором отношение стоимостей жизни двух
потребителей было бы заключено в границы тех же
двух агрегатных индексов. Это условие, по А. Конюсу, выражается следующим равенством [5]:
∑pQ
∑p Q
1
1
0
0
=
∑pQ
∑p Q
1
0
0
1
.
(2)
Если равенство (2) соблюдено, отношение
стоимостей жизни за сравниваемые периоды находится в тех же границах, что и «истинный» индекс стоимости жизни. Это позволяет принять «истинный» индекс жизни приблизительно равным
отношению стоимостей.
Легко заметить, что рассматриваемая концепция выстроена в значительной мере искусственно.
Ее положения оторваны от реальной действительности, поскольку содержат чрезмерно много ограничений, которые трудно реализовать на практике.
Так, концепция построена на предположениях об
одинаковой полезности двух различных наборов
товаров и сопоставимости двух бюджетных наборов. Однако допущение об одинаковой полезности
двух различных наборов товаров несостоятельно,
Именно Р. Фриш охарактеризовал ее как «теорию лимитов» [1, с. 17–27].
*
ÏÐÎÁËÅÌÛ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ¹ 3 (40) 2011
65
cерия А
(экономические науки, социологические науки, психологические науки)
поскольку даже взаимозаменяемые товары имеют
разные количественные и качественные характеристики. Поэтому говорить об их одинаковой
полезности можно лишь условно. Два различных
бюджетных набора также несопоставимы. Различия в естественных свойствах товаров делают
бессмысленной саму постановку вопроса об их
одинаковой полезности.
В исследуемой теории предполагается возможность неограниченной замены одних товаров другими. Однако и это предположение нереалистично,
поскольку в реальной экономике потребитель может
потерять работу, нередко сталкивается с дефицитом
товаров, бывает стеснен в расходах, не информирован о наличии и свойствах товаров и т. п.
Как видим, в такой постановке индексы цен
постоянной полезности являются довольно абст­
рактной теоретической конструкцией, а сама концепция имеет весьма условный, умозрительный,
субъективный характер. В силу слабости исходных
методологических принципов она не в состоянии
дать удовлетворительное формальное решение
вопроса об оценке степени изменения стоимости
жизни.
Таким образом, теория «истинных» индексов
стоимости жизни полностью противоречит общеизвестным экономическим фактам и тенденциям,
и поэтому ни ранее, ни сейчас ни одному индексологу не удалось получить пресловутый «истинный»
индекс.
К теории лимитов в какой-то мере примыкает
концепция о «наилучших линейных индексах». Эта
теория утверждает, что истинный индекс лежит
между индексами Ласпейреса и Пааше. Автором
концепции является голландский экономист Генри
Тейл [7]. В 1960 г. он выделил в теории индексов
два подхода: статистический и экономический.
Г. Тейл детально рассмотрел экономическую теорию индексов. Выполнив аналитические расчеты,
он пришел к выводу, что наибольшее практическое
значение имеют только формулы, разработанные
в рамках тестовой теории. Поэтому именно их он
использует в своей концепции.
Теорию «наилучших линейных индексов»
разделяет также профессор Лондонского университета Р. Аллен. В монографии «Экономические
индексы» он дает современную трактовку данного направления [4]. Сравнивая стохастический
и агрегативный подходы, Р. Аллен ищет индексную
функцию, имеющую реальный экономический
смысл. Он отдает предпочтение средней арифметической, несмотря на то, что эта средняя не обладает свойством обратимости. Выбор формулы
индекса автор ставит в прямую зависимость от
экономической интерпретации результатов статистических исследований.
Р. Аллен в своей работе детально рассматривает метод перебазирования и сравнивает его
с цепным методом. Особый интерес имеют идеи
автора о способах переключения и смыкания рядов
индексных чисел.
66
Р. Аллен не обошел своим вниманием индексные тесты. Выделяя шесть тестов, он разбивает
их на три группы. В первых двух группах критерии применяются к сериям лет и формулам цены
и количест­ва. Третья группа касается корреспондирующих индексных формул цены и количества.
Применяя данный подход, Р. Аллен исследует свойства формул Ласпейреса и Пааше и взаимосвязь их
друг с другом. Считая среднюю геометрическую из
формул Ласпейреса и Пааше идеальным звеном, он
заявляет: «Наш вывод состоит в том, что идеальный
индекс обладает экономическим смыслом, будучи
пересечением основных агрегативных индексных
чисел, и удовлетворяет всем критериям, за исключением одного – критерия циркулярности, который
должен рассматриваться как не обязательный в экономическом контексте» [4, c. 53].
Упрощенная методика построения наилучших
линейных индексов в трактовке Р. Аллена состоит в следующем. Для индексов цен и продукции
и двух сравниваемых периодов строится матрица
[4, с. 183]:
.
(3)
Разделив элементы матрицы (3) на стоимость
Р. Аллен
продукции в базисном периоде
получает матрицу индексов
,
(4)
и – индексы цен и продукции с базисгде
ными весами;
– индекс стоимости;
р – расхождение между индексами Ласпейреса
и Пааше.
Затем, опираясь на взаимосвязь между индексами продукции, цен и стоимости, Р. Аллен строит
новую матрицу:
(5)
и – истинные индексы цен и прогде
дукции.
Вычитая из второй матрицы первую, он получает
(6)
Далее вычисляется предельная разность между индексами
и :
ÏÐÎÁËÅÌÛ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ¹ 3 (40) 2011
С. С. Захорошко. Анализ экономической теории индексов
,
(10)
(7)
Наилучшими линейными индексами, по мнению Р. Аллена, являются индексы
и при
2
минимуме d . И наконец, он делает вполне традиционный вывод: «Хотя наилучший линейный
индекс не является индексом Ласпейреса или Па­
аше, он в действительности лежит между ними...»
[4, с. 234].
Рассмотренная схема матричного представления индексных наборов достаточно оригинальна
и представляет несомненный интерес с точки зрения всестороннего познания индексных взаимосвязей. Однако установленные лимиты не показывают
четких количественных границ, в пределах которых
находится «истинный» индекс. Не исключены случаи, когда нижний предел будет ниже, а верхний
выше установленных. Описанная методика дает
лишь неплохое приближение, заключенное в пределе d 2, но, к сожалению, не вооружает конкретными индексами и не позволяет вести практические
расчеты.
В русле экономической теории индексов
лежит так называемая интегральная теория, использующая интегральное и дифференциальное
исчисление и отдельные элементы тестовой теории
и теории лимитов.
В 1925 г. французский экономист Ф. Дивизиа
определил общий индекс цен при помощи дифференциального уравнения:
,
(8)
где
– индекс цен Дивизиа;
qt и pt – количество продукции и цены за период t.
Из уравнения следует:
.
(9)
Как видим, индекс Дивизиа – это агрегатный
индекс на «бесконечно малых» интервалах времени.
В дальнейшем в индексологии было предложено более десяти математических аппроксимаций
индекса Дивизиа. Так, в 1936 г. финский экономист
Лео Торнквист, используя известную взаимосвязь
индексов цен, продукции и стоимости, предложил
логарифмическое разложение индекса стоимости
продукции и вывел индекс цен.
Поскольку Ip · Iq = Is, то ln Ip · ln Iq = ln Is. После
преобразований получаем:
ÏÐÎÁËÅÌÛ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ¹ 3 (40) 2011
где
– индекс цен Торнквиста;
pt и pt–1 – цены за период t и t–1;
– средний удельный вес стоимости отдельных товаров в общей стоимости за два смежных
периода t и t–1.
Величина определяется по формуле
, (11)
где dt и dt–1 – удельные веса стоимости отдельных
товаров в общей стоимости за период t и t–1.
В 1937 г. английский статистик Джон Монтгомери, исходя из идеи Л. Торнквиста, что индексы
цен и продукции являются функцией их стоимости, предложил новую аппроксимацию индекса
цен Дивизиа:
,
где
(12)
– индекс цен Монтгомери:
;
(13)
s1 и s0 – отчетные и базисные стоимости продукции;
ip и is – индивидуальные индексы цен и стоимости продукции.
Формула Монтгомери в 1930-е гг. считалась лучшей. Она отвечает большинству тестов,
предъявляемых к индексам, однако ее применение затруднено как сложностью вычислений, так
и невыполнением теста однородности.
В 1974 г. индекс Монтгомери был переоткрыт
финским статистиком Ю. Вартиа [8].
, (14)
где
– индекс Вартиа;
– логарифмическая характеристика среднего удельного веса стоимости товаров в общей
стоимости;
s1 и s0 – отчетные и базисные стоимости товаров.
67
cерия А
(экономические науки, социологические науки, психологические науки)
В 1976 г. Ю. Вартиа модернизировал расчет.
Новый индекс получил название «второго» индекса
Вартиа [9, с. 121–126].
Вартиа рекомендует вычислять
Величину
по формуле
, (15)
где d1 и d0 – отчетные и базисные удельные веса
стоимости отдельных видов продукции в их общей
стоимости.
Второй индекс Вартиа был также получен
независимо на основе метода Дивизиа в работе
К. Сато [10]. Этот индекс Сато – Вартиа рассматривается в настоящее время западными статистиками
как лучший.
Оба индекса Вартиа основаны на разложении
относительного роста итогового показателя с помощью среднего логарифмического, или иначе –
среднего хронологического представления факторов цен и объемов.
Наряду с индексами Монтгомери, Вартиа –
Сато, которые следуют из общего метода Дивизиа
при использовании траекторий показательного
вида, линейные траектории позволяют прийти
к «натуральному индексу» Фогта.
В 1977 г. швейцарский статистик А. Фогт
предложил сразу три формулы для «приближенного» исчисления индекса Дивизиа [11]:
,
при D > 0
,
при D = 0
,
где
– «натуральный индекс» цен Фогта;
p1 и p0 – отчетная и базисная цена продукции;
q1 и q0 – отчетное и базисное количество продукции.
. (16)
Данное решение вызывает возражения в связи
с использованием нескольких альтернативных формул и применением таких функций, как арктангенс
и экспонента. Алгоритмы не удовлетворяют тесту
68
линейной однородности при изменении цен второго периода. Формулы, кроме отмеченного, с трудом
поддаются содержательной интерпретации, громоздки и неудобны с точки зрения выполнения
практических расчетов.
Изучение схемы расчета и конструкции алгоритмов показывает, что индекс Дивизиа и его
«аппроксимации» – это чисто математические,
абстрактные конструкции, в основе которых лежит предположение о наличии неких бесконечно
малых приращений цен и других экономических
показателей. Однако все приросты экономических
показателей относятся не к каким-то бесконечно
малым моментам времени, а к вполне определенным и весьма значительным временным интервалам – году, кварталу, месяцу и т. д. Поэтому интег­
ральная теория исходит из совершенно ложных
предпосылок и полностью противоречит реальным
экономическим фактам.
Ф. Дивизиа и его последователи пытались
учесть в индексных моделях весь поток имеющейся
статистической информации. Однако ни в одной
аппроксимации интегральный индекс не получает
какого-либо определенного числового выражения
и в зависимости от пути интегрирования может
трансформироваться в самые разные формулы,
к сожалению, бесполезные для практической статистики.
Сторонники экономической теории широко
использовали в индексном методе математику,
а также первыми обратили внимание на содержательный, экономический смысл индексов. В рамках
исследуемого подхода построен целый ряд алгоритмов, однако все они имеют крайне сложную
конструкцию и довольно туманный экономический
смысл. Формально-математический подход к анализу сложных экономических явлений не позволил
ученым построить экономически обоснованный
и пригодный для практической статистики индекс.
Вследствие того, что вычисления по данным алгоритмам чрезмерно усложнены, сфера их практического применения оказалась крайне ограниченной.
Для экономической концепции индексов характерно взаимопроникновение различных теорий
и направлений. Пытаясь создать стройную теорию,
статистики ищут способы объединения тестовой
концепции и теории лимитов, используя интегральное и дифференциальное исчисление. Однако индексы нуждаются прежде всего в более простых
математических приемах, приближенных к реальной статистической практике. Индексы должны
рассматриваться как экономические показатели,
за которыми стоят определенные экономические
явления и категории. Главное внимание следует
обращать на экономический смысл индексов, на
их качественный, содержательный анализ. Математика в индексном методе должна вплетаться
в экономическую теорию и использоваться исходя
из качественных различий и специфики изучаемых
явлений.
ÏÐÎÁËÅÌÛ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ¹ 3 (40) 2011
С. С. Захорошко. Анализ экономической теории индексов
Общий вывод состоит в том, что, конечно, требуется новая архитектура формул, в которой индекс
был бы действительно средне-относительной величиной, вбирающей в себя факторные взаимосвязи
между показателями, и механизм, учитывающий
народнохозяйственную значимость индексируемых
видов продукции.
СПИСОК ЦИТИРОВАННЫХ
ИСТОЧНИКОВ
1. Frisch, R. Annual survey of general economic
theory: the problem of index numbers / R. Frisch //
Econometrica. – 1936. – № 1. – P. 1–38.
2. Samuelson, P. A. Invariant economic index
numbers and canonical duality: survey and synthesis /
Р. А. Samuelson, S. Swamy // American Economic
Review. – 1974. – № 4. – P. 566–593.
3. Swamy, S. Consistency of Fisher’s Tests /
S. Swamy // Ecnometrica, 1965. – V. 33, № 3. –
Р. 31–39.
4. Аллен, Р. Экономические индексы / Р. Аллен; пер. с англ. – М.: Статистика, 1980. – 256 с.
ÏÐÎÁËÅÌÛ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß ¹ 3 (40) 2011
5. Конюс, А. А. Проблема истинного индекса стоимости жизни / А. А. Конюс // Экономический бюллетень Конъюнктурного ин-та. – 1924. –
№ 9–10. – С. 64–71.
6. Миллс, Ф. Статистические методы / Ф. Миллс;
пер. с англ. – М.: Госстатиздат, 1958. – 497 с.
7. Theil, H. Best linear index numbers of prices
and quantities / Н. Theil // Econometrica. – 1960. –
№ 2. – P. 464–480.
8. Vartia, Y. О. Relative Changes and Economic
Indices / Y. О. Vartia // Licenciate Thesis. Institute of
Statistics, University of Helsinki. – 1974.
9. Vartia, Y. O. Ideal Log-Change Index Numbers /
Y. О. Vartia // Scandinavian J. Statistics. – 1976. –
V. 3, № 3.
10. Sato, K. The Ideal Log-Change Index Number /
К. Sato // The Rev. Econ. and Statistics. – 1976.
11. Vogt, A. Divisia Indices on Different Paths /
А. Vogt // Theory and Applications of Economic Indices.
Proceedings of an International Symposium Held at the
University of Karlsruhe, Wurzburg. – Wien, 1978.
Дата поступления статьи в редакцию: 01.07.2009 г.
69