Математические модели в экономике

Лекция от 18.09.2006
Определим кривую безразличия - u(x)=c. Свойства – кривые безразличия не касаются и не
пересекаются. φ(u(x)) также может сравнивать блага, если φ`>0/Обычно рассматривается карта кривых
безразличия.
Виды кривых безразличия:
1) функция Кобба-Дугласа -
u ( x) = x1a1 x2a 2 ; å a i = 1; x1 , x2 > 0
i
2) Функция Стоуна -
u ( x) = Õ ( xi - ai )ai ; a i – минимальное количество дополнительных благ.
i
x2
3)
x1
u ( x) = å ai xi ;
Блага являются полностью заменяемыми.
i
x2
4) Функции Леонтьевского типа -
x1
u ( x) = min{ai xi }
Блага являются
дополняемыми
5) Квазилинейные функции, например, u(x)=ax1+lnx2. В общем случае можно записать u(x)=ax1 +φ(xi), i=2,…,n.
6) Еще один тип функций – функции, у которых не выполнена аксиома 5 (о выпуклости).
X2
x1
Если существует
¶u
= ui , то можно записать уравнение полного дифференциала: du = å ui dxi = 0
¶xi
i
Например, для двух благ – k и l (капитал и труд): u kd k+u ld l=0 à норма замены благом k благо l равна:
g kl =
dxk
u
=- l
dxl
uk
(полезность l-го блага падает)
Теперь можно записать простейшие задачи:
u ( x) - max!
1)
åpx
i i
£R
Но в этой модели не учитывается время, поэтому можно усложнить модель:
i
xi ³ 0
u ( x, h) - max!
2)
åpx
i i
£ wl + R ,
где l – доход от трудовой деятельности,
R
- остальные доходы (наследство и
i
h+l = k
т.д...). В этой модели учитывается, что человек работает не 24 часа, а некоторое время k – например, 16
часов, кроме того, учитывается функция предложения труда.
Запишем функцию Лагранжа для задачи 1):
L( x, l ) = u ( x) + l ( R - å pi xi ) ,
i
очевидно, условия равновесия тогда запишутся:
1
ìui = lpi
ï
í p x = R, i = 1,..., n
i i
ïîå
i
[производные по каждой компоненте лагранжиана]
Для второй задачи:
åpx
i i
+ wh £ vi k + R
i
L( x, h, l ) = u ( x, h) + l ( R + vi k - å pi xi - wh)
i
Рассмотрим простейший пример:
u(x)=x1x2-max!
p 1x1+p2x2 R
Условия равновесия:
ì x2 = lp1 (1)
ï
¶u
, а так как
= u1
í x1 = lp2 (2)
¶x1
ï p x + p x = R(3)
2 2
î 1 1
и
¶u
u
x
p
= u2 , то 1 = 2 = 1
¶x2
u 2 x1 p2
. Выражаем x2 подставляем в (3)
и находим: x1=R/2p 1 и x2 =R/2p 2 (функции спроса на первый и второй товары).
Но может возникнуть и обратная задача – по функции спроса восстановить целевую функцию.
(решать, очевидно нужно интегрированием)
И третий тип задач – задачи сравнительной статики (оценить воздействие: эластичность спроса от цен
и дохода).
xi=x(p,R) – достаточно правдоподобная модель – спрос зависит от ВСЕХ цен.
Dx Dp
:
x p
- на сколько изменится спрос при изменении цена на один процент или в непрерывном
случае:
¶xi pi
= Eijp
¶pi xi
- эластичность спроса от цен (n штук)
¶xi R
= EiR
¶R xi
- эластичность спроса от дохода.
Рассмотрим пример,
u(x,h)=xh – max!
px+ωh ωk+ R
h=λp
x=λω
px+ωh=ωk+ R
h/x=p/ω à h=[p/ω]x à
l=
x=
wk + R
k
k
. Тогда функция предложения труда запишется
;h = +
2p
2 2w
k R
2 2w
Некоторые важные соотношения:
¶xi
¶pi
<0 à закон спроса выполнен;
¶xi
¶pi
>0 à это товар «Гиффена» (или, чаще всего, товары в инфляционной экономике);
2
¶xi
¶p j
>0 à товары взаимозаменяемые, если меньше нуля, то взаимодополняемые;
¶xi p j
¶p j xi
- плохая или хорошая заменяемость (меньше единице, примерно единица или больше) –
разогнутость или вогнутость кривой безразличия;
¶xi
¶R
>0 à нормальный товар, меньше нуля – малоценный товар (любой товар «Гиффена» малоценен,
НО не наоборот, малоценный товар, не всегда является товаром «Гиффена»);
¶xi R
¶R xi
- меньше единицы à товар первой необходимости, примерно равен единицы – второй
необходимости, больше единицы – товар-роскошь. На макро уровне можно сравнить с –сельское
хозяйство, промышленность и услуги.
Спрос на товары первой необходимости -
третьей необходимости -
x3 =
x1 =
a1 R
R + c1
; второй необходимости -
x2 =
a2 ( R - b1 )
R + c2
;
a3 R ( R - b2 )
. На графике:
R + c3
x
a2
a1
R
0
b1
b2
1) Уравнение Эйлера:
¶f
å ¶x
i
xi = nf ( x)
i
¶f
å ¶x
i
i
p
ij
åE
xi
=n
f ( x)
EiR = -å Eijp (1)
j
R
i
+E =0Þ
j
Слуцкий:
¶xi æç ¶xi
=
¶p j çè ¶p j
ö
¶x
÷
- i x j , то есть константа.
÷
ø compensated ¶Ê
2) Уравнение Энгеля – спрос по доходу.
3
¶xi
= 1(å pi xi £ R)
¶R
i
pi xi = mi R
åp
i
pi xi
mR
Þ pi = i
R
xi
mi =
ß
åm
i
i
¶xi R
= 1 Þ å mi EiR = 1
¶R xi
i
1
4
24
3
Engle
3) Условия агрегации Курно:
xi + å p j
j
¶x j
¶p j
=0
Например, для двух товаров:
¶x1
¶x2
ì
ï x1 + p1 ¶p + p2 ¶p = 0
ï
1
2
Þ ñâîéñòâî : å mi Eijp = - m
í
i
ï p ¶x1 + p ¶x2 + x = 0
1
2
2
ïî ¶p2
¶p2
¶x2
ì ¶x1
ï p1 ¶p + p2 ¶p = - x1
ìm E + m 2 E12 = - m1
ï
1
2
Þ í 1 11
Û (m1
í
îm 2 E21 + m 2 E22 = - m 2
ï p ¶x1 + p ¶x2 = - x
2
2
ïî 1 ¶p2
¶p2
æE
m 2 )çç 11
è E21
E12 ö
÷ = (m1
E22 ÷ø
m2 )
Выявим эффект замены и эффект дохода:
x*=x(R,P)
u(x*)=c*=v(x,R,p); v(x,R,p) – косвенная функция полезности.
Взаимная задача: минимизация функции расходов.
e(p,c)= pih i – min!
u(h) с (*) |η
[h – компенсирующий спрос]
hi 0
Функция расхода – это минимальный доход для обеспечения функции полезности (*)
¶u
ì
ï pi = lui = l
¶h
í
ïîu (h) = c
Взаимная задача:
ìe( p, c) = p1h1 + p2 h2 - min!
ïh , h ³ c
ïï 1 2
cp2
Откуда: h1 =
í p1 = hh2
p1
ï p = hh
2
1
ï
ïîh1h2 = c
и h2
=
cp1
p2
-
кейнсианские функции спроса (зависят от всех цен). Подставляем h в функцию расходов:
e( p, c) = 2 cp1 p2
. Если цены растут, то затраты растут, но при этом функция вогнута (вторые
производные меньше нуля)
h*=h(p,c)=h (p,v(p,R)) – оптимальный кейнсианский спрос; c=c*.
Если это так, то e(p,c)=e(p,v(p,R))=R, x*(p,R)=h*(p,c)
Несколько теорем:
1. Лемма Шепарда:
- функция расходов гомогенна первой степени;
4
- функция расходов вогнута
¶e
= hi ( p, c) - кейнсианская функция спроса.
¶pi
Доказательство:
2. Тождество Роя (целевые функции косвенной и прямой задачи):
xi ( p, R ) = -
¶v
¶pi
¶v
¶R
Доказательство:
3. Условие Слуцкого:
xi(p,R)=hi(p,c)
xi(p,e(p,c))=hi(p,c) (??)
¶hi ¶xi ¶xi ¶e
=
+
¶p j ¶p j ¶R ¶p j
(h j=xj )
¶hi ¶xi ¶xi
=
+
x j ; Откуда получаем основополагающее уравнение Слуцкого:
¶p j ¶p j ¶R
¶xi
=
¶p j
¶hi
¶p
{j
substitution effect
-
¶xi
xj
¶R
1
23
(изменяются цены à изменяется и доход и индивид остается на той же
income effect
кривой безразличия)
5