ТЕОРИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

2154
УДК 519.36
ТЕОРИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
А.А. Ашимов
Казахский национальный технический университет им. К.И. Сатпаева
Казахстан, 050013, Алматы, ул. Сатпаева, 22
E-mail: [email protected]
Ю.В. Боровский
Казахский национальный технический университет им. К.И. Сатпаева
Казахстан, 050013, Алматы, ул. Сатпаева, 22
E-mail: [email protected]
Ж.М. Адилов
Казахский национальный технический университет им. К.И. Сатпаева
Казахстан, 050013, Алматы, ул. Сатпаева, 22
E-mail: [email protected]
Р.А. Алшанов
Университет «Туран»
Казахстан, 050020, Алматы, ул. Сатпаева, 16
E-mail: [email protected]
Б.Т. Султанов
Казахский национальный технический университет имени К.И. Сатпаева
Казахстан, 050013, Алматы, ул. Сатпаева, 22
E-mail: [email protected]
Ключевые слова: математическая модель, структурная устойчивость, устойчивость
отображений, параметрическая идентификация, параметрическое регулирование
Аннотация: Предложена теория параметрического регулирования макроэкономических
систем из 8 компонент, разработаны математические, алгоритмические ее основы. Ее
эффективность проиллюстрирована на различных классах математических моделей. Отличием данной теории от известной макроэкономической теории является использование (обладающих свойствами структурной устойчивости, и/или устойчивости определяемого моделью отображения, и/или допустимыми значениями показателей устойчивости) математических моделей макроэкономических систем и зависимости результатов
решений поставленных вариационных задач от неуправляемых социальноэкономических факторов для макроэкономического анализа и выработки рекомендаций
в сфере экономической политики.
1. Введение
Развитие адекватных методов на базе математических моделей для макроэкономического анализа и оценки оптимальных значений параметров - инструментов экономиXII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2155
ческой политики регулирования макроэкономической системы на уровнях национальных хозяйств, региональных экономических союзов и мировой экономической системы
является актуальной проблемой, острую необходимость в которых почеркнул последний мировой кризис.
В настоящее время для макроэкономического анализа (в том числе сценарного анализа) [1-6] и оценки оптимальных значений параметров экономической политики [7-9]
регулирования эволюции макроэкономических систем широко используются математические модели соответствующих макроэкономических систем без должного тестирования на возможность их практического применения.
Настоящая работа посвящена развитию теории макроэкономического анализа и
оценке оптимальных значений параметров экономической политики регулирования
макроэкономических систем на базе тестируемых на возможность практического применения соответствующих математических моделей, и она состоит из четырех разделов
и примера.
Во втором разделе описывается состав теории параметрического регулирования, в
третьем – ее алгоритмические основы. В четвертом разделе описываются математические основы теории параметрического регулирования, а в примере проиллюстрированы
применение и эффективность теории параметрического регулирования.
2. Состав теории параметрического регулирования
макроэкономических систем
На основе нижеперечисленных фактов:
решение непрерывной или дискретной динамической системы [которая может содержать как векторы управляемых параметров - инструментов государственной политики, так и векторы неуправляемых параметров] зависит от векторов начальных
условий и параметров (коэффициентов) этой системы;
 решение статической системы (например, статической модели малой открытой экономики) зависит от параметров (коэффициентов) этой системы;
 для того чтобы по результатам исследований динамической системы судить об описываемом ею объекте, необходимо наличие свойства структурной устойчивости
(или грубости) этой системы [10];
 для того чтобы по результатам исследований (статической или динамической) модели судить об описываемом ею объекте, необходимо наличие свойства устойчивости отображения, задаваемого этой моделью [11];
 а также необходимость выполнения условий устойчивости макроэкономической
модели (представленной одной из динамических или статических систем) при малых возмущениях исходных статистических данных для параметрической идентификации модели (входных параметров) [12]
предложен следующий состав (компоненты) теории параметрического регулирования
[13-14].
1) Методы формирования набора (библиотеки) моделей макроэкономических систем.
Эти математические модели ориентированы на описание различных конкретных
социально-экономических ситуаций.
2) Методы оценки условий грубости (структурной устойчивости) динамических математических моделей, методы оценки показателей устойчивости и методы оценки
устойчивости отображений, задаваемых моделью экономической системы страны
из библиотеки (без параметрического регулирования).

XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2156
3) Методы корректировки математической модели с целью достижения ею структурной устойчивости, допустимых значений показателей устойчивости, а также устойчивости отображения, задаваемого моделью.
4) Методы выбора, синтеза законов параметрического регулирования макроэкономической системы на базе ее динамических математических моделей и методы постановки, решения задач параметрического регулирования в виде соответствующих задач математического программирования на базе статических математических моделей макроэкономической системы на основе результатов макроэкономического анализа.
5) Методы оценки условий грубости (структурной устойчивости) динамических математических моделей. Методы оценки показателей устойчивости и методы оценки
устойчивости отображений, задаваемых моделями макроэкономической системы (с
параметрическим регулированием).
6) Методы уточнения ограничений на параметрическое регулирование макроэкономической системы в случае структурной неустойчивости ее математической модели с
параметрическим регулированием. Уточнение ограничений на параметрическое регулирование макроэкономической системы.
7) Методы исследования влияний неуправляемых параметров и функций (неуправляемых факторов) на результаты решения задач вариационного исчисления по синтезу
и выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) законов параметрического регулирования. Исследование точек бифуркаций экстремалей задач вариационного исчисления по выбору оптимальных законов параметрического регулирования. Методы исследования влияний изменения неуправляемых факторов на результаты решения задач математического программирования на базе статических математических моделей.
8) Подход выбора рекомендаций по оценке политических правил в рамках применения
законов параметрического регулирования макроэкономической системы на основе
анализа зависимостей оптимальных значений критериев соответствующих задач параметрического регулирования от значений неуправляемых факторов.
3. Алгоритмические основы теории параметрического
регулирования
3.1. Алгоритм параметрической идентификации большеразмерных
макроэкономических моделей
В рамках разработки 1 компоненты теории параметрического регулирования предлагается следующий алгоритм параметрической идентификации большеразмерных
макроэкономических моделей [13, 14].
Задача параметрической идентификации дискретной динамической макроэкономической модели состоит в нахождении оценок неизвестных значений ее параметров (к
которым относятся неизвестные значения экзогенных функций модели и неизвестные
начальные значения ее динамических уравнений), при которых достигается минимальное значение целевой функции, характеризующей отклонения значений выходных переменных модели от соответствующих наблюдаемых значений (известных статистических данных для значений времени t  t1 , t1  1, , t2 ). Эта задача сводится к нахождению минимального значения функции многих переменных (параметров) в некоторой
замкнутой области D евклидова пространства с ограничениями, накладываемыми как
на значения эндогенных переменных модели (ограничения E), так и на искомые значеXII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2157
ния параметров (ограничения F). В случае большой размерности N этой области, стандартные методы нахождения экстремумов функции часто бывают неэффективными в
связи наличием нескольких локальных минимумов целевой функции. Ниже предлагается алгоритм, учитывающий особенности задачи параметрической идентификации
макроэкономических моделей и позволяющий обойти указанную проблему «локальных
экстремумов».
Ограничения E определяются экономическим смыслом эндогенных переменных
модели (например, их неотрицательностью). В качестве области, определяемой ограничениями F для оценки возможных значений экзогенных параметров, рассматривалась
N
область вида D   i 1[ a i , b i ] , где [a i , bi ] - промежуток возможных значений параметра p i ; i  1,, N . При этом оценки параметров, для которых имелись наблюдаемые
значения, искались в промежутках [a i , bi ] с центрами в соответствующих наблюдаемых значениях (в случае одного такого значения) или в некоторых промежутках, покрывающих наблюдаемые значения (в случае нескольких таких значений). Прочие
промежутки [a i , bi ] для поиска параметров выбирались с помощью косвенных оценок
их возможных значений. Для нахождения минимальных значений непрерывной функции нескольких переменных K : D  R в вычислительных экспериментах использовался алгоритм направленного поиска Нелдера-Мида. Применение этого алгоритма для
начальной точки p1  D можно интерпретировать в виде (сходящейся к локальному
p0  arg min K критерия K) последовательности p1 , p2 , , где
минимуму


 
D
K p j 1  K p j , p j  D , j  1, 2,... . В описании следующего алгоритма мы будем считать, что точка p0 может быть найдена достаточно точно.
Для решения задачи параметрической идентификации рассматриваемой модели на
основе очевидного предположения о несовпадении (в общем случае) точек минимума
двух различных функций предложены два критерия следующего типа:
2
t2 nA
 y i (t )  y i* (t ) 
1
K A ( p) 
 αi  yi* (t )  ,
nα t2  t1  1 t t1 i 1 

2
t2 nB
 y i (t )  y i* (t ) 
1
K B ( p) 
β
 i  y i* (t )  .
n β t2  t1  1 t  t1 i 1 

Здесь t1 ,  , t 2  – промежуток времени идентификации; y i (t ) , y i* (t ) – соответственно расчетные и наблюдаемые значения выходных переменных модели, K A ( p ) –
вспомогательный критерий, K B ( p ) – основной критерий; nB  n A ; αi  0 и βi  0 – некоторые весовые коэффициенты, значения которых определяются в процессе решения
задачи
параметрической
идентификации
динамической
системы;
i 1 αi  nα ;
nA
i 1 βi  nβ .
nB
Задачи минимизации на базе модели соответствующих критериев ( K A и K B ) в области D будем называть соответственно задачей А и задачей B. Укрупненный алгоритм
решения задачи параметрической идентификации модели был выбран в виде следующих шагов.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2158
1) Параллельно, для некоторого вектора начальных значений параметров p1  D , решаются задачи A и B, в результате находятся точки p A0 и pB 0 минимумов критериев K A и K B соответственно.
2) Если для некоторого достаточно малого числа ε верно K B  pB 0   ε , то задача параметрической идентификации модели решена.
3) В противном случае, используя в качестве начальной точки p1 точку pB 0 , решается
задача A, и, используя в качестве начальной точки p1 точку p A0 , решается задача B.
Переход на шаг 2.
Достаточно большое число повторений шагов 1, 2, 3 дает возможность выходить
искомым значениям параметров из окрестностей точек неглобальных минимумов одного критерия с помощью другого критерия и, тем самым, решить задачу параметрической идентификации.
3.2. Методы оценки устойчивости математических моделей
макроэкономических систем
3.2.1. Методы оценки слабой структурной устойчивости динамических моделей. Ниже излагается возможность построения одного вычислительного алгоритма
оценки структурной устойчивости рассматриваемых математических моделей экономической системы страны на базе следующей теоремы (теорема А) Робинсона [15] о
слабой структурной устойчивости.
Теорема. Пусть N  - некоторое многообразие и N - компактное подмножество в
N  такое, что замыкание внутренности N есть N. Пусть некоторое векторное поле
задано в окрестности множества N в N  , это поле определяет C 1 -поток f в этой
окрестности. Обозначим через R f , N  цепочно-рекуррентное множество потока f на
N. Пусть R f , N  содержится внутри N. Пусть оно имеет гиперболическую структуру, кроме того, поток f на R f , N  удовлетворяет также условиям трансверсальности устойчивого и неустойчивого многообразий. Тогда поток f на N слабо структурно
устойчив. В частности, если R f , N  - пустое множество, то поток f слабо структурно устойчив на N. Аналогичный результат справедлив и для дискретной динамической системы (каскада), задаваемого гомеоморфизмом (с образом) f : N  N  .
Разработанный на базе этой теоремы и на основе алгоритма построения символического образа [16] метод численной оценки цепно-рекуррентного множества для компактного подмножества фазового пространства динамической системы позволяет, в
случае пустоты найденного цепно-рекуррентного множества R f , N  , сделать вывод о
слабой структурной устойчивости динамической системы.
Укрупненный алгоритм оценки слабой структурной устойчивости дискретной динамической системы (полукаскада, задаваемого отображением f) с фазовым пространством N   R n , определяемой непрерывно дифференцируемым отображением f можно
записать следующим образом.
1) Нахождение дискретной траектории f t ( x0 ), t  0,, T и линии L, в замкнутой окрестности N которой необходимо оценить слабую структурную устойчивость динамической системы.
2) Оценка обратимости отображения f окрестности линии L с использованием приведенного выше алгоритма.


XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2159
3) Оценка (локализация) цепно-рекуррентного множества R f , N  . При этом в силу
очевидного включения R f , N1   R f , N2  при N1  N2  N  , в качестве компакта N
можно использовать любой параллелепипед, лежащий в N  и содержащий внутри
себя L.
4) В случае если R f , N    , делается вывод о слабой структурной устойчивости исследуемой динамической системы в N.
Этот укрупненный алгоритм применим и для оценки слабой структурной устойчивости непрерывной динамической системы (потока f), если в качестве линии L траекторию L  f t ( x0 ), 0  t  T динамической системы, и пропустить пункт 2 укрупненного
алгоритма. При этом в качестве отображения f в пункте 3 можно использовать отображение f t для некоторого фиксированного t ( t  0 ).
3.2.2. Методы оценки показателей устойчивости отображений, определяемых
моделью. Согласно определению Орлова [12], математической моделью экономической системы в общем виде будем называть некоторое отображение вида f : A  B ,
переводящее значения исходных (экзогенных) данных p  A в решения (значения эндогенных переменных) y  B . Для числа α  0 и p  A показателем устойчивости
β  p,α  модели называется диаметр образа шара радиуса α с центром в точке p (в относительных величинах) при отображении f.
Алгоритм оценки показателя устойчивости β  p,α  модели методом Монте-Карло
состоит в следующем.
1) Выбираются наборы входных параметров (X) и выходных переменных (Y), для которых рассчитываются соответствующие нормированные величины.
2) Определяется вектор нормированных входных данных p, число α  0 и множество
U α ( p)  p1  A : ρ p1,p   α , где ρ(,) - евклидово расстояние.
3) Генерируется набор из достаточно большого числа M псевдослучайных точек
p1, p2 ,, pM  , равномерно распределенных в U α ( p) .


4) Для каждой точки p j полученного набора с помощью просчета модели определяет-
 
ся точка y j  f p j , j  1, , M .



5) Вычисляется значение β  max ρ yi , y j : i, j  1,..., M .
6) Останов.
Если для всех точек p  A численная оценка lim β ( p,α) близка к нулю, то отобраα 0
жение f, задаваемое исследуемой моделью оценивается на множестве A как непрерывно
зависящее от входных значений. Этот факт является необходимым условием для практического использования данной модели
3.2.3. Методы оценки устойчивости отображений, определяемых моделью, в
смысле теории особенностей дифференцируемых отображений. Наличие такого
свойства устойчивости свидетельствует о сохранении качественных свойств отображения, с помощью которого описывается модель, при малых изменениях этого отображения [11]. При адекватном описании реальных экономических явлений с помощью математической модели, устойчивость (или неустойчивость) отображения, представленного с помощью модели, может свидетельствовать об устойчивости (или неустойчивости) соответствующих зависимостей возможных значений экономических показателей
от внешних (управляемых или неуправляемых) факторов при малых изменениях этих
зависимостей. Неустойчивость отображения, задаваемого моделью, может также свидетельствовать о неадекватности исследуемой модели.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2160
В рамках разработки 2 компоненты теории параметрического регулирования - исследования устойчивости задаваемого моделью отображения f предлагается численный
алгоритм оценки множества критических точек исследуемого отображения. Этот алгоритм, в частности, позволяет оценить максимальность ранга матрицы Якоби отображения во всех точках его области определения, то есть, проверить, является ли исследуемое отображение иммерсией или субмерсией. Для случая иммерсии предлагается алгоритм оценки инъективности исследуемого отображения. На основе утверждения, позволяющие оценить устойчивость (а в некоторых случаях соотношений размерностей
образа и прообраза - неустойчивость) исследуемого отображения при выполнении условий иммерсии и инъективности или условия субмерсии для исследуемого отображения и утверждения [17] об условиях устойчивости исследуемого отображения в случае,
если это отображение является субмерсией со складкой предлагается алгоритм, позволяющий оценить отображение f как субмерсию со складкой и оценить устойчивость
исследуемого отображения в этом случае.
4. Математические основы теории параметрического
регулирования
4.1.Условия существования решений задач параметрического
регулирования и условия непрерывной зависимости соответствующих
оптимальных значений критериев от неуправляемых функций
4.1.1. Задача вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования. Рассмотрим управляемую систему
(1)
x (t )  f  x (t ), u (t ), a (t )  , t  [0, T ] , x (0)  x0 ,


x  x (t )  x1 (t ),..., x m (t )
где t – время;
1
q


– вектор-функция состояния системы;


u  u (t )  u (t ),..., u (t ) – вектор-функция управления; a  a (t )  a1 (t ),..., a s (t ) – известная вектор-функция; x0 – начальное состояние системы, известный вектор; f – известная вектор-функция своих аргументов.
Задача синтеза оптимальных значений экономических инструментов заключается в
нахождении экстремума следующего критерия
T
(2)
K   F t , x (t ) dt ,
0
где F – известная функция, при фазовых ограничениях
(3)
x (t )  X (t ), t  [0, T ] ,
где X(t) – заданное множество и при явных ограничениях на управление:
(4)
u (t )  U (t ), t  [0, T ] ,
где U(t) – заданное множество.
Сформулируем задачу вариационного исчисления по синтезу оптимальных законов
параметрического регулирования для непрерывной динамической системы.
Задача 1. При известной функции a() найти управление u () , удовлетворяющее
условию (4), чтобы соответствующее ему решение динамической системы (1), удовлетворяло условию (3) и доставляло максимум (минимум) функционалу (2).
Определим множество t, x следующим образом
t , x   f x, w, a (t )  : w  U (t ) .
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2161
Обозначим через Va обозначено множество допустимых пар «состояние – управление» рассматриваемой системы (1) при заданной известной функции a() , т.е. таких пар
вектор-функций x(), u ()  , которые удовлетворяют соотношениям (1), (3), (4).
Пусть B - единичный шар с центром в начале координат в R m , X – замыкание множества  t[ 0,T ] X (t ) и U – замыкание множества  t[ 0,T ]U (t ) .
Пусть множество возможных значений функции a() принадлежит некоторому
множеству A.
Доказательства следующих теорем, устанавливающих достаточные условия существования решения задачи 1 и непрерывной зависимости соответствующего оптимального значения критерия от неуправляемых функций основано на результатах [18].
Теорема 1. Пусть функция a() непрерывна на отрезке [0, T ] , U - компакт в R q ,
функция f непрерывна в X  U  A и для любого   0 существует такое   0 , что
справедливо неравенство
f  x, u, a(t )  f x, u, a(t )   σ x  x t  [0, T ] , x, x  ρB , u U
и существует такая константа   0 , что справедливо неравенство

xf  x, u, a(t )   η 1  x
2
 t [0, T ] , x  R
m
, u U .
Пусть X – компакт, функция F непрерывна на [0, T ]  X . Пусть, кроме того, отображения t  X (t ) , t  U (t ) являются непрерывными для t  [0, T ] в следующем смысле:
если справедливы включения xk  X (t k ) , u k  U (t k ) , где t k  [0, T ] , k  1, 2,... и имеет место сходимость последовательностей t k  t , xk  x , u k  u , то справедливы включения x  X (t ) , u  U (t ) . Тогда, в случае непустоты множества Va и выпуклости
множества t, x для всех t  [0, T ] , x  X (t ) Задача 1 имеет решение в классе измеримых функций.
Теорема 2. Предположим, что при выполнении условий Теоремы 1 в окрестности
точки а функция f непрерывна по второму аргументу и удовлетворяет условию Липшица по первому и третьему аргументам на X  A равномерно по второму аргументу. Тогда оптимальное значение критерия для Задачи 1 непрерывно зависит от неуправляемой функции в точке а.
4.1.2. Задача вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования. Рассматривается система (1), где управление и выбирается из семейства заданных законов регулирования:
(5)
u j (t )  G j v, x (t ) , t  (0, T ), j  1,  , r .
Здесь G j – известная вектор-функция, v  R l – вектор управляющих параметров,
на которые налагаются ограничения вида
(6)
v V ,
где V – некоторое подмножество пространства R l . Кроме того накладываются ограничения:
(7)
G j v, x(t )   U (t ), t  (0, T ) ,
где U (t ) – заданное множество.
Критерии оптимальности
(8)
T


K j  K j (a, v)   F t , x j (t ) dt ,
0
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2162


где x j  x j (t )  x1j (t ),..., x mj (t ) – решение задачи Коши (1) для заданной функции a() и
для выбранного j-го закона регулирования (5).
Рассмотрим следующую вспомогательную экстремальную задачу.
Задача 2*. При заданной функции a() для каждого из r законов регулирования
найти такой вектор управляющих параметров v, чтобы соответствующее ему решение x  x j задачи (1), с законом регулирования u  u j , определяемым по формуле (5),
удовлетворяло условиям (3), (6), (7) и доставляло максимум функционалу (8).
Сформулируем основную задачу вариационного исчисления по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования для неавтономной непрерывной системы.
Задача 2. При известной функции a() среди всех оптимальных законов регулирования в смысле Задачи 2* выбрать тот, который соответствует максимальному значению критерия оптимальности (8).
Обозначим через Waj множество допустимых пар «состояние – управляющий параметр» рассматриваемой системы, т.е. таких пар ( x, v) , которые удовлетворяют равенствам (1), а также включениям (3), (6), (7).
Доказательства следующих теорем, устанавливающих достаточные условия существования решения задачи 2 и непрерывной зависимости соответствующего оптимального значения критерия от неуправляемых функций основано на результатах [18].
Теорема 3. Предположим, что функция a() непрерывна на отрезке [0, T ] , множества U и V компактны, функции f и G j непрерывны и для любого   0 существуют
такие   0 ,   0 , что справедливы неравенства
f  x, u, a(t )   f  x, u, a(t )   σ  x  x  u  u  t  [0, T ] ,
x, x  ρB , u, u U ,
G j (v, x)  G j (v, x)   x  x x, x  ρB , v  V ,
и существует такая константа   0 , что справедливо неравенство



xf x, G j (v, x), a(t )  η 1  x
2
 t [0, T ] , x  R
m
, v V .
Пусть множества Waj не пусты, множества V, U, X компактны, множества X (t ) ,
U (t ) компактны для всех t  [0, T ] , а функция F непрерывна. Тогда Задача 2 имеет решение.
Теорема 4. Предположим, что при выполнении условий теоремы 2 в окрестности
точки а функция f удовлетворяет условию Липшица на множестве X  U  A , а функции G j удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу на Х равномерно по
первому аргументу. Тогда оптимальное значение критерия для Задачи 2 непрерывно
зависит от неуправляемой функции в точке а.
Отметим, что все сформулированные в этой части результаты для неавтономных
динамических систем остаются справедливыми и для автономных динамических систем, если экзогенную векторную функцию a() принять за постоянную. Соответствующие результаты также остаются справедливыми для дискетных автономных и неавтономных систем.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2163
4.2. Точки бифуркации экстремалей задач по выбору оптимальных
законов параметрического регулирования
Введем понятие точки бифуркации экстремалей задачи вариационного исчисления
по выбору (в среде заданного конечного набора алгоритмов) оптимальных законов параметрического регулирования. Наличие такой точки бифуркации для некоторой неуправляемой функции a() означает, что в ее окрестности для рассматриваемой задачи
происходит переход от одного оптимального закона параметрического регулирования к
другому.
Определение 3. Для задачи 2 значение a  A назовем точкой бифуркации экстремалей для задачи максимизации отображений v  K j (a, v) на множествах


Vaj  v  V : ( x j , v)  Waj , если существуют два различных номера i, j  1,, r , таких,
что справедливо соотношение
maxi K i (a, v)  maxj K j ( a, v )  max maxk K k (a, v ) ,
vV a
k 1,..., r vV a
vV a
причем в любой окрестности точки а найдется такая точка b  A , для которой величина max maxk K k (b, v) достигается для единственного значения k.
k 1,..., r vVb
Доказательство следующей теоремы, дающей достаточные условия существования
такой точки бифуркации, проводится методами классического анализа.
Теорема 5. Пусть при выполнении условий теоремы 4, А есть связное множество,
и существуют два различных значения a0 , a1  A , таких, что максимальные значения
по j  {1,, r} максимумов функций v  K j (a, v) на множествах Vaj достигаются для
различных значений j0 , j1 , то есть справедливы неравенства
max maxj K j ( a0 , v )  maxj K j0 ( a0 , v), max maxj K j ( a1 , v )  maxj K j1 ( a1 , v ) .
j 1,..., r vV
a0
j  j0
vV a 0
0
j 1,..., r vV
a1
j  j1
vV a 1
1
Тогда существует точка a  A бифуркации экстремалей задачи 2 по выбору (в среде
заданного конечного набора алгоритмов) оптимального закона параметрического регулирования.
5. Пример
Эффективность теории параметрического регулирования показана на более двух
десятках математических моделей, относящимся к классам как статических (например,
эконометрическая модель малой открытой экономики), так и динамических моделей
(эндогенные модели экономического роста, вычислимые модели общего равновесия,
динамические стохастические модели общего равновесия) [13-14].
На ниже приведенном примере вычислимой модели общего равновесия (CGE модели) [5, 13, 14] отраслей экономики (далее Модель) пошагово, в соответствии приведенными в разделе 2 компонентами проиллюстрируем применение теории параметрического регулирования. Рассматриваемая Модель, описывающая экономику Республики Казахстан, представлена 16 экономическими агентами (секторами) производителями, а также непроизводительными секторами: совокупный потребитель, правительство
и банковский сектор. Эта модель содержит 698уравнений, с помощью которых рассчитываются значения ее 698 эндогенных переменных. Она также содержит 2045 оцениваемых экзогенных параметров (значений экзогенных функций времени).
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2164
Шаг 1. В результате численного решения задачи параметрической идентификации
на базе годовых статистических данных за 2000-2008 гг. c использованием изложенного в разделе 3.1 алгоритма параметрической идентификации и применением на его шагах 1 и 3 алгоритма Нелдера-Мида было получено значение основного критерия
K B  0,0063 . Это число равно среднеквадратичному значению относительных отклонений расчетных значений (участвующих в основном критерии) 79 эндогенных переменных от соответствующих наблюдаемых величин.
Шаг 2. Верификация CGE модели была проведена с помощью ретроспективного
прогноза (на 2008 год) и расчета показателей устойчивости отображения, задаваемого
исследуемой моделью. Средняя квадратичная погрешность ретроспективного прогноза
всех 491 наблюдаемых эндогенных переменных модели составила 5,86%, что показывает ее приемлемую адекватность. Для расчета показателей устойчивости были выбраны 16 задаваемых Моделью отображений f t : D  Et ( t  2000, , 2015 - расчетное
время), определенных в области D - некоторой окрестности наблюдаемого вектора ~
x0
~
значений экзогенных факторов ( x0 - вектор начальных значений валовых выпусков
всех отраслей экономики Казахстана в 2000 году). В качестве областей значений Et
отображений рассматривались множества векторов всех возможных значений эндогенных переменных Модели для выбранного года t. Результаты оценок показателей устойx0 для отображений f t приведены в таблице 1. Указанные в табличивости β/2 в точке ~
це значения характеризует устойчивость Модели при расчетах с 2000 до 2013 года как
достаточно высокую. Вследствие этого шаг 3 пропускается.
Таблица 1. Оценки показателей устойчивости.
Расчетное время t
Показатель β/2
Расчетное время t
Показатель β/2
2000
0,2152
2007
0,0600
2001
1,5329
2008
0,0114
2002
0,8032
2009
0,6093
2003
0,0147
2010
0,0423
2004
0,0535
2011
0,1531
2005
0,0181
2012
0,4448
2006
0,0325
2013
0,9606
Шаг 4. На основе макроэкономического анализа на базе оцененной Модели были
установлены:
 динамика (и ее тренды) макроэкономических показателей, а также результаты сравнения показателей отраслей на ретроспективном и перспективном периодах;
 справедливость отдельных положений макроэкономической теории о возникновении циклических колебаний некоторых макроэкономических показателей при шоковых изменениях спросов на конечные и инвестиционные товары;
 список управляющих параметров (инструментов государственной политики) на основе анализа источников экономического роста.
На основе результатов макроэкономического анализа определены следующие две
задачи параметрического регулирования. Приведем их неформальные формулировки.
Задача 3 (подавления циклических колебаний макроэкономических показателей).
На базе оцененной Модели с использованием сценария шоковых изменениях спросов на
конечные и инвестиционные товары найти значения долей бюджетов 16 агентовпроизводителей идущих на покупку промежуточной продукции, производимой агентами-производителями для 2010-2015 гг.; которые обеспечивали бы нижнюю грань критерия K1 , характеризующего отклонения расчетных значений индекса потребительских цен от соответствующих желаемых значений на указанном периоде при соответствующих фазовых ограничениях и ограничениях на управление.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.
2165
Задача 4 (экономического роста). На базе оцененной Модели найти указанные
значения долей бюджетов агентов-производителей, которые обеспечивали бы верхнюю грань критерия K 2 - реального ВВП Казахстана в 2010-2015 гг. при соответствующих фазовых ограничениях и ограничениях на управление.
Результаты численного решения сформулированных задач демонстрируют (по
сравнению со случаем отсутствия параметрического регулирования) уменьшение критерия K1 со значения 0,424 до 0,000844 и увеличение критерия K 2 на 33,14%.
Шаг 5. Проведена оценка показателей устойчивости в точке ~
x0 для отображений,
задаваемых Моделью с использованием найденных оптимальных законов параметрического регулирования. Расчетные значения β/2 в этих случаях не более чем на 16% превышают соответствующие значения, приведенные в таблице 1. Шаг 6 пропускается.
Шаги 7, 8. Проведен анализ зависимостей оптимальных значений критериев от
значений неуправляемых факторов и на его основе выработаны рекомендации по оценке политических правил при проведении соответствующих экономических политик.
Список литературы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Mundell R.A. A Reconsideration of the Twentieth Century // The American Economic Review. 2000. Vol.
90, No. 3. P. 327-340.
Andrés J., Burriel P., Estrada Á. BEMOD: a Dsge Model for the Spanish Economy and the Rest of the Euro
Area. Documentos de Trabajo N.º 0631. Madrid: Banco de España, 2006, 97 p.
Stähler N., Thomas C. FiMod – a DSGE model for fiscal policy simulations // Economic Modelling. 2012.
Vol. 29, No 2. P. 239-261.
Paltsev S., Reilly J.M., Jacoby H.D., Eckaus R.S., McFarland J., Sarofim M., Asadoorian, M., Babiker,
M.H. The MIT Emissions Prediction and Policy Analysis (EPPA) Model: Version 4. Report No. 125 (2005)
http://globalchange.mit.edu/research/publications/697
Макаров В.Л., Бахтизин А.Р., Сулакшин С.С. Применение вычислимых моделей в государственном
управлении. М.: Научный эксперт, 2007, 304 с.
Fair R.C. Estimating How the Macroeconomy Works. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press,
2004, 307 p.
Adolfson M., Laséen S., Lindé J., Svensson L. Optimal Monetary Policy in an Operational Medium Sized
DSGE Model // Journal of Money, Credit and Banking, Blackwell Publishing. October 2011. Vol. 43, No. 7.
P. 1287-1331.
Acemoğlu D. Introduction to Modern Economic Growth. Princeton: Princeton Univ. Press, 2008. 739 p.
André F.J., Cardenete M.A., Romero C. Designing public policies. An approach based on multi-criteria
analysis and computable general equilibrium modeling, in Lecture Notes in Economics and Mathematical
Systems. Vol. 642. New York: Springer, 2010. 143 p.
Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:
МЦНМО, 2002, 400 с.
Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. М.:
Наука, 1982, 304 с.
Орлов А.И. Эконометрика. Учебник. М.: Экзамен, 2002, 576 с.
Ashimov A.A., Sultanov B.T., Adilov Zh.M., Borovskiy Yu.V., Novikov D.A., Alshanov R.A., Ashimov
As.A. Macroeconomic analysis and parametrical control of a national economy. New York: Springer, 2013.
288 с.
Ашимов А.А., Боровский Ю.В., Султанов Б.Т., Адилов Ж.М., Новиков Д.А., Алшанов Р.А., Ашимов
Ас.А. Макроэкономический анализ и параметрическое регулирование национальной экономики. М.:
Физматлит, 324 с.
Robinson C. Structural Stability on Manifolds with Boundary // Journal of differential equations. 1980. No.
37. Р. 1-11.
Петренко Е.И. Разработка и реализация алгоритмов построения символического множества // Дифференциальные уравнения и процессы управления. 2006. № 3. С. 55-96.
Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности. М.: Мир, 1977. 290 с.
Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.
XII ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ
ВСПУ-2014
Москва 16-19 июня 2014 г.