3. Пространственные группы симметрии. П. гр. ромбической

Фёдоровские (пространственные)
пространственные)
группы симметрии
Михаил Владимирович Морозов
кафедра минералогии,
минералогии, кристаллографии и петрографии
СанктСанкт-Петербургский горный институт
morozov.minsoc.
morozov.minsoc.ru
Симметрия кристаллического многогранника:
32 точечных группы
(1 точка – центр тяжести – инвариантна).
Кристаллохимия
Симметрия кристаллической структуры:
230 пространственных групп
(инвариантно только пространство целиком).
лекция 3.
Пространственные группы симметрии.
симметрии.
П. гр.
гр. ромбической сингонии.
сингонии.
Открытие: Е.С.Фёдоров (1890), поэтому
п.гр. называют также фёдоровскими группами.
Независимо и почти одновременно: А.Шёнфлис.
«Группа» – математическое понятие, подразумевает
наличие определённых алгебраических операций
(взаимодействий) между членами группы.
2
специальность «Прикладная геохимия,
геохимия, минералогия,
минералогия, петрология»
петрология», 3 семестр
2011
2011
Теория групп
Теория групп
Группа = множество элементов a,b,с…, для которого:
Для групп симметрии:
1) определена однозначная операция «умножения»:
a·b=c
• элемент группы: операция симметрии
• групповое умножение: их последовательное действие
2)
(a · b) · c = a · (b · c)
• единичный элемент: тождество
3) существует элемент группы e:
a·e=e·a=a
4) для каждого элемента существует обратный a-1 и:
a · a-1 = a-1 · a = e
3
П. гр. ромбической сингонии
Аспекты пространственных гр.
Ромб. синг.: прямоугольная э.я.
Принцип обозначения пространственной группы:
Формально мы можем установить её произвольно,
т.е. выбрать X, Y, и Z вдоль любых рёбер.
Бxyz
э.с. ⊥ или || коорд. осям
тип решётки Браве
плоскости с.
пример:
4
оси с.
ZY
Zc
X
a
Pman
Y
b
X X
примитивная ячейка
⊥x Æ m
⊥y Æ a
⊥z Æ n
5
было
стало
Y
Z
Всего может быть до 6 вариантов установок
(в случае ромбической сингонии – когда можно
менять местами любые оси).
6
Аспекты пространственных гр.
ZY
Zc
X
a
Y
b
X X
Y
Z
X X
Исторически для минералов м.б. распространены
другие аспекты («минералогическая» установка).
X
a
X X
аспект
a,-c,b
b,c,a
-c,b,a
c,a,b
b,a,-c
a,b,c
Аспекты пространственных гр.
ZY
Y
b
X X
было
стало
Y
Z
Для перехода между аспектами нужно менять
местами координаты атомов:
аспект
abc
cab
координаты i-го атома
Yi=0.5
Zi=0.32
Xi = 0
Yi=0
Zi=0.5
Xi = 0.32
9
П. гр. ромбической сингонии
пример:
обозн.
abc
acb
cab
8
X
a
Y
Z
обозначение группы
Pman
Pncm
Pcnm
Pbmn
Pnmb
Pmna
Y
Z
Обозначения аспектов п .гр.:
1-я ось 2-я ось 3-я ось
стандартный
X
Y
Z
X
Z
Y
Z
X
Y
и т.п.
Zc
было
стало
Каждая п.гр. обозначается номером по МТК.
Группа 53:
было
стало
7
Аспекты пространственных гр.
ZY
Y
b
X
a
Стандартная ориентировка принята МСК и
опубликована в
Международных таблицах по кристаллографии
(«кристаллографическая» установка).
Y
b
ZY
Zc
было
стало
Возможные ориентировки э.с., характеризующих
п.группу, относительно координатных осей называют
аспектами этой п.гр.
Zc
Аспекты пространственных гр.
10
П. гр. ромбической сингонии
построение графика простр. группы
пример:
Класс (т.гр.) mm2, примитивная ячейка
п.гр.:
Pmm2
построение графика простр. группы
Класс (т.гр.) mm2, примитивная ячейка
п.гр.:
Pmm2
Tx
сначала обводим контуры будущей ячейки
КАРАНДАШОМ волнистой линией
11
12
П. гр. ромбической сингонии
пример:
П. гр. ромбической сингонии
построение графика простр. группы
пример:
Класс (т.гр.) mm2, примитивная ячейка
п.гр.:
Pmm2
построение графика простр. группы
Класс (т.гр.) mm2, примитивная ячейка
п.гр.:
Pmm2
т.1
Ty
13
П. гр. ромбической сингонии
пример:
14
П. гр. ромбической сингонии
построение графика простр. группы
пример:
Класс (т.гр.) mm2, примитивная ячейка
п.гр.:
Pmm2
построение графика простр. группы
Класс (т.гр.) mm2, примитивная ячейка
п.гр.:
Pmm2
m·m=2
т.1
Ty
Tx+Ty
Tx
15
П. гр. ромбической сингонии
пример:
16
П. гр. ромбической сингонии
построение графика простр. группы
пример:
Класс (т.гр.) mm2, примитивная ячейка
п.гр.:
Pmm2
построение графика простр. группы
Класс (т.гр.) mm2, примитивная ячейка
п.гр.:
Pmm2
т.2
т.2
т.2
т.2
т.2
итого 4 неэквивалентных системы плоскостей m
17
18
П. гр. ромбической сингонии
П. гр. ромбической сингонии
Класс (т.гр.) mm2, примитивная ячейка:
другие возможные п. гр.
Æ в классе mm2 (ячейка P) возможно 10 п. групп
Pmm2
Pma2 = Pbm2
Pmc21 = Pcm21
Pmn21 = Pnm21
Pnn2
Pna21 = Pbn21
Pnc2 = Pcn2
Pcc2
Pca21 = Pbc21
Pba2
P x y (2)
mm
b a
c c
nn
итого: 4 х 4 = 16 комбинаций
но некоторые из них являются аспектами одной п.гр.
например: Pma2 = Pbm2
Если обе плоскости содержат t || Z ось 2,
если лишь одна из них – результирующая ось 21.
Æ в классе mm2 (ячейка P) возможно 10 пр. групп
19
зная п. гр. можно определить точечную гр. (класс),
убрав из элементов симметрии их трансляционные
20
компоненты
Базо- и бокоцентрированные
ячейки
Выбор начала координат
(0,0,0) = точка с наибольшей симметрией
(важно для рентгеновского структурного анализа).
В mm2: на 2, если нет – m ∩ п.с.о., если нет – на 21.
В ромбической сингонии возможны A-, B-, C-ячейки:
бокоцентрированная B-ячейка
базоцентрированная C-ячейка
Обычно A- и B-ячейки сводят к аспектам C-ячейки.
Но не в классе mm2 ! (2 || Z должно быть).
Из двух равноценных аспектов (A- и B-) выбирают А:
Amm2 Ama2
Abm2
Aba2
неэквивалентны для A-
21
Взаимодействие плоскости с
диагональной трансляцией
Взаимодействие плоскости с
диагональной трансляцией
Ячейка C: Td = Tx / 2 + Ty / 2
П.гр. Cmm2
Td = Tx / 2 + Ty / 2 =
G
Ty
G
Tx
22
Ячейка C: Td = Tx / 2 + Ty / 2
П.гр. Cmm2
Td = Tx / 2 + Ty / 2 =
G
Ty
= t|| + t┴
для плоскости m
t┴ сдвигает её на t/2 (т.1)
t || придаёт ей компонент
трансляции, т.е.
превращает её в п.с.о. (т.4)
G
Tx
= t|| + t┴
для плоскости m
t┴ сдвигает её на t/2 (т.1)
t || придаёт ей компонент
трансляции, т.е.
превращает её в п.с.о. (т.4)
m обязательно чередуется с a или b
запись: m(a,b)
c обязательно чередуется с n
запись: c(n)
23
Обязательность чередования m(a,b), c(n) сокращает число
групп в C-ячейке по сравнению с P: остаются только сочетания24
mm, mc и cc